mirror of
https://github.com/eddyem/phisics_gak.git
synced 2026-03-20 08:41:04 +03:00
initial commit
This commit is contained in:
eddyem
40
adddd/05.tex
Normal file
40
adddd/05.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,40 @@
|
||||
\subsection*{Интегралы движения}
|
||||
\index{Интеграл!движения|(textbf}
|
||||
При движении механической системы~$2s$ величин (обобщенных координат, $q_i$
|
||||
и~$\dot q_i$), определяющих ее состояние, изменяются со временем. Однако, существуют
|
||||
функции этих величин, сохраняющих при движении постоянное значение, зависящее
|
||||
лишь от граничных условий. Эти функции называют\ж интегралами
|
||||
движения\н. Число независимых интегралов движения для
|
||||
замкнутой системы с~$s$ степенями свободы равно~$2s-1$. Если из общего решения
|
||||
уравнения движения исключить постоянную, определяющую начальный момент времени,
|
||||
получим интегралы движения:
|
||||
$$q=q(t+t_0,\C_1,\ldots,\C_{2s-1});\qquad
|
||||
\dot q=\dot q(t+t_0,\C_1,\ldots,\C_{2s-1}).
|
||||
$$
|
||||
|
||||
В механике некоторые интегралы движения связаны с однородностью и изотропностью
|
||||
пространства и времени, причем они обладают свойствами аддитивности. Так, с\к
|
||||
однородностью времени\н связана\ж энергия\н\index{Энергия!механическая} системы.
|
||||
Действительно, в силу однородности времени лагранжиан замкнутой системы от
|
||||
времени не зависит. Продифференцировав уЛ по времени, получим:
|
||||
$$\frac{d}{dt}\Bigl(\sum_i\dot q_i\partder{L}{\dot q_i}-L\Bigr)=0.$$
|
||||
Величина в скобках (один из интегралов движения) и является энергией, а предыдущее
|
||||
уравнение описывает\ж закон сохранения энергии\н\index{Закон!сохранения!энергии}.
|
||||
|
||||
Другой закон сохранения связан с однородностью пространства. В силу этой однородности
|
||||
механические свойства замкнутой системы не изменяются при ее параллельном переносе
|
||||
в пространстве. Формализуя сказанное, получим:
|
||||
$$\delta L=\sum_a\partder{L}{\vec r_a}\delta r_a=\C\sum_a\partder{L}{\vec r_a}=0.$$
|
||||
В силу уЛ, получим:
|
||||
$$\sum_a\frac{d}{dt}\partder{L}{\vec v_a}=\frac{d}{dt}\sum\partder{L}{\vec v_a}=0;\qquad
|
||||
\vec p=\sum_a\partder{L}{\vec v_a}=\sum_a m_a\vec v_a=\const.$$
|
||||
Вектор $\vec p$ называется\ж импульсом\н\index{Импульс} системы, а предыдущее
|
||||
выражение~--- не что иное, как\ж закон сохранения импульса\н\index{Закон!сохранения!импульса}. Из закона сохранения импульса,
|
||||
$\frac{d\vec p}{dt}=0$ вытекает, также, что сумма сил, действующих на частицы
|
||||
замкнутой системы, равна нулю.
|
||||
|
||||
Если движение описывается обобщенными координатами, $q_i$, то производные
|
||||
лагранжиана по обобщенным скоростям, $\partder{L}{\dot q_i}$, называют\ж
|
||||
обобщенными импульсами\н\index{Импульс!обобщенный}, а производные по обобщенным
|
||||
координатам, $\partder{L}{\dot q_i}$~---\ж обобщенными силами\н\index{Сила!обобщенная}.
|
||||
\index{Интеграл!движения|)}
|
||||
50
adddd/08.tex
Normal file
50
adddd/08.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,50 @@
|
||||
\subsection*{Вариационный принцип Гамильтона}
|
||||
\index{Принцип!Гамильтона вариационный|(textbf}
|
||||
Одним из основных понятий механики является понятие\ж материальной
|
||||
точки\н\index{Материальная точка}~(МТ)~--- тела, размерами которого можно пренебречь
|
||||
при описании его движения. Для определения положения системы из~$N$ МТ~(СМТ)
|
||||
в пространстве необходимо задать~$3N$ координат. Вообще, число независимых
|
||||
величин, задание которых однозначно определяет состояние системы, называется\ж
|
||||
степенями свободы\н\index{Степени свободы} этой системы.
|
||||
|
||||
Любые $s$ величин $q_1,\ldots,q_s$, вполне характеризующие положение системы,
|
||||
называют ее\ж обобщенными координатами\н\index{Обобщенные координаты}, а производные
|
||||
$\dot q_1,\ldots,\dot q_s$~---\ж обобщенными скоростями\н. Соотношения, связывающие
|
||||
ускорения частиц с их координатами и скоростями, называют\ж уравнениями
|
||||
движения\н\index{Уравнение!движения}.
|
||||
|
||||
Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается\к принципом
|
||||
наименьшего действия\н (\bf принцип Гамильтона\н):\к
|
||||
каждая механическая система характеризуется определенной функцией обобщенных
|
||||
координат, скоростей и времени, $L=L(q;\dot q; t)$, а движение системы удовлетворяет
|
||||
наименьшему значению интеграла\н
|
||||
$$S=\Int_{t_1}^{t_2}L(q;\dot q;t)\,dt.$$
|
||||
Функция $L$ называется\ж функцией Лагранжа\н\index{Функция!Лагранжа} данной системы,
|
||||
а величина~$S$~---\ж действием\н\index{Действие}.
|
||||
|
||||
Пусть $q(t)$ и есть функция, для которой $S$ имеет минимум. Тогда для любой другой
|
||||
функции $q(t)+\delta q(t)$ действие будет иметь большее значение. Для удовлетворения
|
||||
граничным условиям ($t=t_1$ и~$t=t_2$) должно выполняться: $\delta q(t_1)=
|
||||
\delta q(t_2)=0$.
|
||||
|
||||
Принцип Гамильтона можно формализовать (произведя варьирование и интегрирование
|
||||
по частям):
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\delta S=\underbrace{\partder{L}{\dot q}\,\delta q\Bigr|_{t_1}^{t_2}}_{=0}+
|
||||
\Int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\partder{L}{q}-\frac{d}{dt}\partder{L}{\dot q}\Bigr)\,
|
||||
\delta q\, dt=0.
|
||||
\label{MinAction}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Оставшийся интеграл должен быть равным нулю при произвольных значениях~$\delta q$,
|
||||
что возможно лишь при тождественном равенстве нулю подынтегрального выражения.
|
||||
Таким образом, вариационный принцип привел нас к\ж уравнениям
|
||||
Лагранжа\н\index{Уравнение!Лагранжа} для системы с~$s$ степенями свободы:
|
||||
$$\frac{d}{dt}\partder{L}{\dot q_i}-\partder{L}{q_i}=0,
|
||||
\qquad(i=\overline{1,s}).$$
|
||||
|
||||
Следует заметить, что функция Лагранжа определена лишь с точностью до прибавления
|
||||
к ней полной производной любой функции обобщенных координат и времени. Действительно,
|
||||
при вычислении действия (интегрировании лагранжиана) эта функция даст некую
|
||||
аддитивную постоянную, исчезающую после варьирования действия.
|
||||
|
||||
\index{Принцип!Гамильтона вариационный|)textbf}
|
||||
54
adddd/10.tex
Normal file
54
adddd/10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,54 @@
|
||||
\subsection*{Канонические уравнения Гамильтона}
|
||||
\index{Уравнения!Гамильтона|(textbf}
|
||||
\bf Уравнениями Гамильтона\н\index{Уравнения!Гамильтона} называют дифференциальные
|
||||
уравнения движения замкнутой системы в канонических переменных: обобщенных
|
||||
координатах, $q_i$, и обобщенных импульсах, $p_i$. Для составления уравнений
|
||||
Гамильтона необходимо знать характеристическую функцию системы:\ж функцию
|
||||
Гамильтона\н\index{Функция!Гамильтона}, $H(q,p,t)$. Тогда, если все действующие
|
||||
на систему силы потенциальны, получим уравнения Гамильтона:
|
||||
$$\partder{q_i}{t}=\partder{H}{p_i},\qquad
|
||||
\partder{p_i}{t}=-\partder{H}{q_i}.$$
|
||||
|
||||
Значение функции Гамильтона получим, исходя из первого дифференциала лагранжиана,
|
||||
учитывая, что $\partder{L}{\dot q_i}=p_i$, а $\partder{L}{q_i}=\dot p_i$:
|
||||
$$dL=\sum \dot p_i\,dq_i+\sum p_i\,d\dot q_i,$$
|
||||
что можно переписать в виде:
|
||||
$$d\Bigl(\sum p_i\dot q_i-L\Bigr)=-\sum\dot p_i\, dq_i+\sum\dot q_i\, dp_i.$$
|
||||
Величина, стоящая под знаком дифференциала, имеет смысл энергии системы,
|
||||
т.е. и является функцией Гамильтона. Тогда из уравнения
|
||||
$dH=-\sum\dot p_i\, dq_i+\sum\dot q_i\, dp_i$ можно получить уравнения Гамильтона.
|
||||
|
||||
Подставив уравнения Гамильтона в выражение для полной производной функции Гамильтона
|
||||
по времени, получим: $\dfrac{dH}{dt}=\partder{H}{t}$. В частности, если функция
|
||||
Гамильтона не зависит от времени явно, придем к закону сохранения энергии:
|
||||
$dH/dt=0$.
|
||||
|
||||
Если лагранжиан $L$ содержит малую добавку к функции~$L_0$: $L=L_0+L'$, то
|
||||
соответствующую добавку к функции Гамильтона, $H'$, можно найти, исходя из
|
||||
полных дифференциалов $dL$ и~$dH$:
|
||||
$$(H')_{p,\,q}=-(L')_{\dot q,\,q},\quad\text{аналогично,}\quad
|
||||
\Bigl(\partder{H}{t}\Bigr)_{p,\,q}=-\Bigl(\partder{L}{t}\Bigr)_{\dot q,\,q}.$$
|
||||
\index{Уравнения!Гамильтона|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Скобки Пуассона}
|
||||
\index{Скобки Пуассона|(textbf}
|
||||
Пусть $f(p,q,t)$~--- некоторая функция. Подставив в ее полную производную по времени
|
||||
выражения для $\dot p_i$ и~$\dot q_i$ из уравнений Гамильтона, получим:
|
||||
$$\frac{df}{dt}=\partder{f}{t}+\{H,f\},$$
|
||||
где введено обозначение
|
||||
$$\{H,f\}=\sum_i\Bigl(\partder{H}{p_i}\partder{f}{q_k}-\partder{H}{q_k}
|
||||
\partder{f}{p_k}\Bigr).$$
|
||||
Выражение $\{H,f\}$ называют\ж скобками Пуассона\н для величин $H$ и~$f$.
|
||||
Аналогично можно определить скобки Пуассона для двух любых других функций.
|
||||
|
||||
Из определения скобок Пуассона следуют их\к свойства\н:
|
||||
$$\{g,f\}=-\{f,g\};\quad\{\C_1f+\C_2g,h\}=\C_1\{f,h\}+\C_2\{g,h\};$$
|
||||
$$\{fg,h\}=g\{f,h\}+f\{g,h\};\quad \partder{}{t}\{f,g\}=\{\dot f,g\}+
|
||||
\{f,\dot g\};$$
|
||||
$$\{f,q_i\}=\partder{f}{p_i};\quad\{f,p_i\}=-\partder{f}{q_i};\quad
|
||||
\{p_i,q_k\}=\delta_{ik}.$$
|
||||
$$\bigl\{f,\{g,h\}\bigr\}+\bigl\{h,\{f,g\}\bigr\}+\bigl\{g,\{h,f\}\bigr\}\equiv0.$$
|
||||
Последнее свойство называют\ж тождеством Якоби\н\index{Тождество Якоби}.
|
||||
Из тождества Якоби получим, что если $f$ и~$g$~--- два интеграла движения, то
|
||||
составленные из них скобки, $\{f,g\}$, тоже являются интегралом движения.
|
||||
\index{Скобки Пуассона|)textbf}
|
||||
33
adddd/11.tex
Normal file
33
adddd/11.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,33 @@
|
||||
\subsection*{Уравнение Гамильтона--Якоби}
|
||||
\index{Уравнение!Гамильтона--Якоби|(textbf}
|
||||
Положим в выражении~\eqref{MinAction} $\delta q(t_1)=0$, а $\delta q(t_2)=\delta q$.
|
||||
Заменив $\delta L/\delta\dot q=p$, получим (т.к. траектории удовлетворяют
|
||||
уравнению Лагранжа): $dS=\sum p_i\,\delta q_i$.
|
||||
|
||||
Из определения действия, $dS/dt=L$. Расписав полную производную действия по времени,
|
||||
получим:
|
||||
$$\partder{S}{t}=L-\sum_i p_i\dot q_i=-H,\quad\text{либо}\quad
|
||||
dS=\sum_ip_i\,dq_i-H\,dt.$$
|
||||
|
||||
Если заменить в функции Гамильтона импульсы производными $\delta S/\delta q$,
|
||||
получим уравнение
|
||||
$$\partder{S}{t}+H(q;\partder{S}{q};t)=0,$$
|
||||
которому должна удовлетворять функция $S(q;t)$. Это уравнение называется\ж
|
||||
уравнением Гамильтона--Якоби\н. Решение уравнения для системы с~$s$ степенями
|
||||
свободы содержит $s+1$ произвольных постоянных, при этом, т.к. $S$ входит
|
||||
в уравнение только через свои производные, одна из произвольных постоянных
|
||||
содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл
|
||||
Гамильтона--Якоби имеет вид
|
||||
$$S=f(t;q_1,\ldots,q_s;\C_1,\ldots,\C_s)+\const.$$
|
||||
|
||||
Из найденного решения уравнения Гамильтона--Якоби можно, составив $s$~равенств
|
||||
$\delta S/\delta\C_i=\alpha_i$, найти вид функций $q_i=q_i(t,\C_i,\alpha_i)$.
|
||||
Из уравнений $p_i=\delta S/\delta q_i$ найдем значения функций~$p_i$.
|
||||
|
||||
Метод решения задач механики при помощи уравнения Гамильтона--Якоби имеет важную
|
||||
роль в оптике и квантовой механике. В частности,\ж уравнение
|
||||
эйконала\н\index{Уравнение!эйконала}, известное в геометрической оптике, можно
|
||||
рассматривать как аналог уравнения Гамильтона--Якоби. Роль эйконала (поверхности
|
||||
движущихся волн) играют поверхности $S(q_i)=\const$, а роль световых лучей~---
|
||||
ортогональные к этим поверхностям траектории движения.
|
||||
\index{Уравнение!Гамильтона--Якоби|)textbf}
|
||||
142
adddd/12.tex
Normal file
142
adddd/12.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,142 @@
|
||||
\subsection*{Деформации и напряжения в твердых телах}
|
||||
\index{Деформации и напряжения|(textbf}
|
||||
Под действием приложенных сил все твердые тела меняют свою форму или объем. Такие
|
||||
изменения называются\ж деформациями\н\index{Деформация}. Различают два предельных
|
||||
случая деформаций:\к упругие\н, исчезающие после прекращения действия приложенных
|
||||
сил, и\к пластические\н, сохраняющиеся в теле после снятия воздействия.
|
||||
Тела, претерпевающие лишь упругие деформации, называют\к идеально упругими\н.
|
||||
Ограничимся рассмотрением малых деформаций, при которых величина деформации
|
||||
пропорциональна первой степени приложенной силы~(\bf закон Гука\index{Закон!Гука}\rm).
|
||||
|
||||
\bf Напряжением\н\index{Напряжение} называют силу, действующую на единицу площади
|
||||
бесконечно малой площадки, расположенной внутри тела. Ориентацию площадки~$dS$
|
||||
можно задать вектором нормали,~$\vec n$. Тогда напряжение обозначим как~$\vec\sigma_n$.
|
||||
Вектор напряжений можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, а
|
||||
также его можно характеризовать компонентами $\sigma_{nx}$, $sigma_{ny}$
|
||||
и~$\sigma_{nz}$. Здесь первый индекс указывает направление нормали к площадке, а
|
||||
второй~--- направление оси, на которую проецируется напряжение~$\vec\sigma_n$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим треугольную пирамиду, являющуюся сечением первого октанта наклонной
|
||||
плоскостью. Второй закон Ньютона для нее примет вид
|
||||
$$m\vec a=\vec f+\sigma_nS+\vec\sigma_{-x}S_x+\vec\sigma_{-y}S_y+\vec\sigma_{-z}S_z.$$
|
||||
Здесь $\vec f$~-- равнодействующая объемных сил (например, силы тяжести),
|
||||
действующих на пирамиду. Стягивая данную пирамиду в точку, в результате предельного
|
||||
перехода получим:
|
||||
$$\vec\sigma_n=\vec\sigma_xn_x+\vec\sigma_yn_y+\vec\sigma_znz.$$
|
||||
Таким образом,\к напряжение в каждой точке упруго деформированного тела можно
|
||||
характеризовать тремя векторами~$\sigma_\aleph$ или девятью
|
||||
проекциями~$\sigma_{\aleph\beth}$\н.
|
||||
Совокупность этих величин называется\ж тензором упругих
|
||||
напряжений\н\index{Тензор!напряжений}.
|
||||
|
||||
Рассматривая момент сил, действующих на элементарный объем, получим:
|
||||
$$(\sigma_{xy}-\sigma_{yx})\,dV=I_z\frac{d\omega_z}{dt},$$
|
||||
или, т.к. момент инерции, $I_z$,~--- бесконечно малая более высокого порядка,
|
||||
чем~$dV$ (т.к. $I_z\propto\rho\,dV\,l^2$), получим:
|
||||
$\boxed{\sigma_{\aleph\beth}=\sigma_{\beth\aleph}}$, т.е.\к тензор упругих
|
||||
деформаций симметричен\н.
|
||||
|
||||
Можно выбрать систему координат так, чтобы свести тензор деформаций к диагональному
|
||||
виду. Такая СК называется\ж главной\н\index{Система!координат!главная}, а
|
||||
соответствующие координатные оси~--- главными осями тензора напряжений.
|
||||
\index{Деформации и напряжения|)textbf}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection*{Модуль Юнга}
|
||||
\index{Модуль!Юнга|(textbf}
|
||||
Напряжения, получаемые стержнем в результате сжатия или растяжения называют,
|
||||
соответственно,\ж давлением\н\index{Давление},~$P$, и\ж
|
||||
натяжением\н\index{Натяжение},~$T$. $P=-T=F/S$. Полученное изменение длины
|
||||
стержня, $\Delta l$, называют\ж абсолютным\н удлинением или сжатием, кроме того
|
||||
вводят понятие\ж относительного\н удлинения (сжатия): $\epsilon=\Delta l/l_0$.
|
||||
|
||||
Для малых деформаций справедлив\ж закон Гука\н\index{Закон!Гука}:\к натяжение
|
||||
(давление) при малых деформациях пропорционально относительному удлинению
|
||||
(сжатию)\н: $T=E\epsilon$. Постоянная $E$, зависящая лишь от материала и
|
||||
физического состояния стержня, называется\ж модулем Юнга\н.
|
||||
|
||||
Более общая форма закона Гука:\к в случае упругих деформаций натяжение является
|
||||
однозначной функцией относительного удлинения:
|
||||
$$T=\E\epsilon+A\epsilon^2+B\epsilon^3+\cdots.$$
|
||||
Таким образом, расчеты с использованием закона Гука верны лишь с относительной
|
||||
ошибкой порядка~$\epsilon$, т.е. для вычисления~$\epsilon$ можно пользоваться
|
||||
и формулой $\epsilon=\Delta l/l$.
|
||||
|
||||
\it Принцип суперпозиции малых деформаций\н гласит, что деформацию, полученную
|
||||
в результате действия нескольких сил, можно вычислить как сумму деформаций от
|
||||
каждой силы в отдельности.
|
||||
|
||||
При деформации внешняя сила расходует энергию, переходящую в\ж упругую
|
||||
энергию\н\index{Энергия!упругая} деформации. При квазистатическом удлинении
|
||||
стержня на~$\Delta l$ под действием переменной силы $F$, упругая энергия,~$U$,
|
||||
и ее объемная плотность,~$u$, равны
|
||||
$$U=\rev2F\Delta l=\rev2k(\Delta l)^2,\qquad
|
||||
u=\rev2E\epsilon^2=\frac{T^2}{2E}=\frac{P^2}{2E}.$$
|
||||
где $k$~--\ж коэффициент упругости\н\index{Коэффициент!упругости}, выражающийся
|
||||
через модуль Юнга, а $F=k\Delta l$ по закону Гука.
|
||||
\index{Модуль!Юнга|)textbf}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection*{Коэффициент Пуассона}
|
||||
\index{Коэффициент!Пуассона|(textbf}
|
||||
Под действием силы $F$ изменяются не только продольные, но и поперечные размеры
|
||||
стержня: при растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются, а при сжатии~---
|
||||
увеличиваются.
|
||||
|
||||
\bf Относительным поперечным сжатием\н (растяжением) называется аналогичная~$\epsilon$
|
||||
величина $-\Delta a/a$. Отношение относительного поперечного сжатия к
|
||||
соответствующему продольному удлинению называется\ж коэффициентом
|
||||
Пуассона\н:
|
||||
$$\mu=-\frac{\Delta a}{a}:\frac{\Delta l}{l}=-\frac{\Delta a}{\Delta l}\cdot\frac{l}{a}.$$
|
||||
|
||||
Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства
|
||||
изотропного материала. Все прочие упругие коэффициенты можно выразить через~$E$
|
||||
и~$\mu$.
|
||||
\index{Коэффициент!Пуассона|)textbf}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection*{Частные случаи упругих деформаций}
|
||||
\subsubsection*{Сдвиг}
|
||||
\index{Сдвиг}
|
||||
Деформация сдвига приводит к плоскопараллельному перемещению одной поверхности
|
||||
тела относительно другой на угол~$\gamma$. Малый сдвиг ($\gamma\ll1$) характеризуется
|
||||
законом $\tau=G\gamma$, где $\tau$~-- касательное напряжение на сдвигаемой
|
||||
поверхности, $G$~--\ж модуль сдвига\н\index{Модуль!сдвига}. $G$~можно выразить
|
||||
через модуль Юнга и коэффициент Пуассона, т.к. сдвиг эквивалентен одновременному
|
||||
растяжению и сжатию тела в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
|
||||
Тогда, т.к. $u=\rev2\tau\gamma=\tau^2/(2G)=(1+\mu)\tau^2/E$, получим:
|
||||
$\boxed{G=E/[2(1+\mu)]}$.
|
||||
\subsubsection*{Кручение}
|
||||
\index{Кручение}
|
||||
Кручение~--- поворот выбранной плоскости в теле относительно другой плоскости
|
||||
на угол~$\phi$.
|
||||
Деформации растяжения, сжатия и сдвига однородны. Однако, при кручении деформация
|
||||
внутри тела меняется от точки к точке. Закон Гука при кручении выглядит так:
|
||||
$M=f\phi$, где $M$~-- вращающий момент, $f$~--\ж модуль
|
||||
кручения\н\index{Модуль!кручения}.
|
||||
|
||||
Т.к. $M=2\pi r\delta r\cdot\tau r$, где $\tau$~-- касательное напряжение,
|
||||
получим:
|
||||
$$u=\rev2\frac{M\phi}{V}=\rev2\frac{2\pi r\delta r\tau r\phi}{2\pi rl\delta r}=\frac{\pi\tau^2 r^3\delta r}{fl}.$$
|
||||
|
||||
Выражая энергию через модуль сдвига, получим:
|
||||
$$f=\frac{2\pi Gr^3\delta r}{l},\quad\Arr\quad\text{для трубки:}\quad
|
||||
f=\frac{\pi G}{2l}(r_2^4-r_1^4).$$
|
||||
\subsubsection*{Изгиб}
|
||||
\index{Изгиб}
|
||||
Изгиб является осесимметричной деформацией, при которой ближняя к оси изгиба
|
||||
поверхность сжимается, а дальняя~--- растягивается. При этом в теле существует
|
||||
поверхность, вдоль которой деформация равна нулю. Она называется\ж нейтральной\н.
|
||||
|
||||
Пусть $R$~-- радиус кривизны нейтральной линии, $\alpha$~-- центральный угол,
|
||||
опирающийся на дугу деформации. Тогда $l_0=R\alpha$. Пусть некоторое волокно расположено
|
||||
на расстоянии~$\xi$ от нейтрального сечения. Если брус не слишком толст
|
||||
($|\xi|\ll R$), то длина волокна $l=(R+\xi)\alpha$, а удлинение, $\Delta l=\xi\alpha$.
|
||||
Следовательно, натяжение вдоль него, $\tau=E\xi/R$.
|
||||
|
||||
В данном случае момент сил натяжения, $M_\tau=EI/R$, где $I=\Int\xi^2,dS$~--
|
||||
\ж момент инерции\н\index{Момент!инерции}. Интегрируя общее выражение для
|
||||
момента инерции, можно получить частные выражения для конкретных тел.
|
||||
|
||||
Если учесть, что $R=(1+y'^2)^{3/2}/y''$, то при $y'\ll1$ квадратом производной
|
||||
можно пренебречь. В этом случае $\boxed{M_\tau=EIy''}$.
|
||||
31
adddd/17.tex
Normal file
31
adddd/17.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,31 @@
|
||||
\subsection*{Циклические процессы}
|
||||
\index{Циклические процессы|(textbf}
|
||||
\bf Термодинамическим циклом\н\index{Цикл!термодинамический} называется круговой
|
||||
процесс, осуществляемый ТД системой.
|
||||
К важнейшим циклам относятся циклы Карно, Клапейрона, Клаузиуса--Ранкина
|
||||
и ряд других.
|
||||
\begin{pict}
|
||||
\includegraphics[width=\textwidth]{pic/Cicles}
|
||||
\caption{Циклы: Карно, Клапейрона и Клаузиуса--Ранкина}
|
||||
\end{pict}
|
||||
|
||||
\paragraph*{Цикл Карно}\index{Цикл!термодинамический!Карно}
|
||||
состоит из двух изотерм и двух адиабат. КПД цикла,
|
||||
$\eta=(T_1-T_2)/T_1$, где $T_1$ и~$T_2$~-- соответственно температуры
|
||||
нагревателя и холодильника тепловой машины. КПД всех остальных циклов ниже.
|
||||
Цикл Карно используется при моделировании теплового двигателя внутреннего
|
||||
сгорания.
|
||||
|
||||
\paragraph*{Цикл Клапейрона}\index{Цикл!термодинамический!Клапейрона}
|
||||
состоит из двух изотерм и двух изохор. КПД цикла,
|
||||
$$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1+\cfrac{c_V(T_1-T_2)}{R\ln(V_B/V_A)}},$$
|
||||
где $c_v$~-- теплоемкость рабочего газа, $V_B/V_A$~-- отношение объемов газа
|
||||
в конце и в начале изотермического расширения, $R$~-- газовая постоянная.
|
||||
|
||||
\paragraph*{Цикл Клаузиуса--Ранкина}\index{Цикл!термодинамический!Клаузиуса--Ранкина}
|
||||
состоит из изохоры, адиабаты и двух изобар. КПД: $\eta=1-(i_4-i_1)/(i_3-i_2)$,
|
||||
где $i_4-i_1$~-- разность энтальпий в изобарном процессе при давлении,
|
||||
соответствующем давлению окружающей двигатель среды, $i_3-i_2$~-- разность
|
||||
энтальпий в изобарном процессе подвода теплоты к рабочему газу в камере сгорания.
|
||||
Данный цикл используется при моделировании жидкостного ракетного двигателя.
|
||||
\index{Циклические процессы|)textbf}
|
||||
119
adddd/27.tex
Normal file
119
adddd/27.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,119 @@
|
||||
\subsection*{Жидкости}
|
||||
\index{Жидкости|(textbf}
|
||||
\bf Жидкость\н~--- вещество в конденсированном состоянии, промежуточном между
|
||||
твердым и газообразным. Область существования жидкостей ограничена со стороны
|
||||
низких температур фазовым переходом в твердое состояние
|
||||
(\bf кристаллизация\rm)\index{Кристаллизация}, а со стороны высоких~--- в
|
||||
газообразное (\bf испарение\rm)\index{Испарение}. Для каждого вещества существует
|
||||
критическая температура, выше которой жидкость не может сосуществовать со своим
|
||||
насыщенным паром. Большинство веществ имеют одну жидкую фазу, однако у
|
||||
некоторых (квантовые жидкости ${}^3He$ и~${}^4He$, жидкие кристаллы) существует
|
||||
две жидкие фазы.
|
||||
|
||||
Можно выделить следующие группы жидкостей:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item атомарные жидкости, связанные Ван-дер-Ваальсовыми силами;
|
||||
\item жидкости из двухатомных молекул, содержащих одинаковые атомы,
|
||||
обладающие квадрупольным электрическим моментом;
|
||||
\item жидкие непереходные металлы, в которых частицы связаны кулоновскими
|
||||
силами;
|
||||
\item жидкости из полярных молекул, связанных диполь-дипольным взаимодействием;
|
||||
\item ассоциированные жидкости или жидкости с водородными связями;
|
||||
\item жидкости из больших молекул, для которых существенны внутренние
|
||||
степени свободы.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Фазовое состояние системы определяется физическими условиями, в которых она
|
||||
находится. Главным образом это температура и давление. Характерным параметром
|
||||
является функция $\epsilon=\epsilon(T,p)$~--- отношение средней энергии взаимодействия
|
||||
молекул к их средней кинетической энергии. Для большинства твердых тел~$\epsilon
|
||||
\gg1$, в газах~$\epsilon\ll1$, в жидкостях же~$\epsilon\approx1$, что и определяет
|
||||
их особенности и промежуточный характер теплового движения частиц.
|
||||
|
||||
Структуру жидкостей изучают при помощи методов рентгеноструктурного анализа,
|
||||
электронографии и нейтронографии.
|
||||
|
||||
Благодаря тому, что молекулы в жидкости непрерывно и в большом числе совершают
|
||||
переходы из одного положения равновесия в другое, жидкости обладают текучестью,
|
||||
под действием внешней силы вероятность скачков в направлении действия силы
|
||||
увеличивается, и жидкость начинает перемещаться. Под действием периодической
|
||||
внешней силы с периодом порядка времени скачка проявляются упругие свойства
|
||||
жидкостей. Обычно упругие деформации в жидкостях происходят адиабатически
|
||||
(за исключением жидких металлов).
|
||||
|
||||
Равновесные функции жидкости полностью описываются набором функций распределения
|
||||
$F_s(\vec r_1,\ldots,\vec r_s)$, описывающих плотность вероятности нахождения
|
||||
частиц в заданных точках. Число частиц в сферическом слое толщины~$dr$ на
|
||||
расстоянии~$r$ от произвольно выбранной частицы равно
|
||||
$$dN=4\pi nG(r)r^2\,dr,$$
|
||||
где $G(r)$~-- радиальная функция распределения (частный случай $F_s$ при $s=2$),
|
||||
$n$~-- концентрация частиц.
|
||||
В случае парного и центрального взаимодействия между частицами физические свойства
|
||||
жидкости выражаются только через~$G(r)$, например, давление:
|
||||
$$p(n,T)=nkT-\frac{2\pi n^2}3\Int_0^x\Phi'(\vec r)G(\vec r;n,T)r^3\,dr,$$
|
||||
где $\Phi(\vec r)$~--\ж потенциал парного взаимодействия\н.
|
||||
При наличии в жидкости многочастичного взаимодействия термодинамические функции
|
||||
будут содержать еще и старшие функции распределения для~$s>2$.
|
||||
|
||||
Функции многочастичного взаимодействия удовлетворяют системе уравнений Боголюбова,
|
||||
сложность их решения в том, что эти уравнения являются зацепляющимися, т.е. уравнение
|
||||
для~$F_s$ содержит~$F_{s+1}$. Наиболее распространенным приближением для
|
||||
трехчастичного взаимодействия является\ж приближение Кирквуда\н\index{Приближение!Кирквуда}:
|
||||
$$F_3(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3)=G(\vec r_1-\vec r_2)G(\vec r_2-\vec r_3)
|
||||
G(\vec r_3-\vec r_1).$$
|
||||
\index{Жидкости|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Поверхностные явления}
|
||||
\index{Поверхностные явления|(textbf}
|
||||
\bf Поверхностными явлениями\н называют явления, связанные с существованием
|
||||
межфазных границ. В области контакта двух фаз под влиянием их молекулярно-силовых
|
||||
полей происходит образование поверхностного слоя, сопровождающееся
|
||||
адсорбцией, возникновением поверхностной энергии, поверхностного натяжения и
|
||||
других специфических свойств.
|
||||
|
||||
Закономерности поверхностных явлений описываются\ж законом
|
||||
Лапласа\н\index{Закон!Лапласа}:
|
||||
$$p_1-p_2=\sigma\Bigl(\rev{R_1}+\rev{R_2}\Bigr),$$
|
||||
где $R_1$ и $R_2$~-- главные радиусы кривизны в данной точке;
|
||||
и уравнением Юнга, а также\ж обобщенным уравнением адсорбции Гиббса\н\index{Уравнение!адсорбции Гиббса}:
|
||||
$$d\sigma=-\vec s\,dT+(\hat\gamma-\sigma\hat I)\cdot d\hat\epsilon-
|
||||
\sum_i\Gamma_i\,d\mu_i,$$
|
||||
где $\sigma$~-- работа образования единицы поверхности путем разрезания,
|
||||
$\vec s$~-- удельная поверхностная энтропия, $\hat\Gamma$~-- тензор поверхностных
|
||||
натяжений, $\hat I$~-- единичный тензор, $\hat\mu_i$~-- химические потенциалы
|
||||
молекул, $\Gamma_i$~-- их адсорбции; суммирование производится по всем компонентам,
|
||||
для которых возможно равновесие между объемной фазой и поверхностной фазой.
|
||||
Для жидкостей $\sigma$~-- поверхностное натяжение, а деформационный член отсутствует.
|
||||
|
||||
Существенное явление поверхностные явления оказывают на свойства макросистем за
|
||||
счет увеличения поверхности, ее искривления и контакта разнородных поверхностей.
|
||||
Искривление поверхности порождает капиллярные явления. В гетерогенной системе с
|
||||
искривленными поверхностями уже не действует\к правило фаз Гиббса\н, в такой системе
|
||||
число степеней свободы на единицу меньше числа компонент и не зависит от
|
||||
числа фаз.
|
||||
|
||||
К поверхностным явлениям относятся: когезия, адгезия, смачивание, смазочное
|
||||
и моющее действие, трение, пропитка пористых тел. Важную роль поверхностные явления
|
||||
играют в фазовых процессах: на стадии зарождения фаз они создают энергетический
|
||||
барьер, определяющий кинетику процесса и возможность существования метастабильных
|
||||
состояний.
|
||||
|
||||
При расчете формы поверхности жидкости в капиллярах важной величиной является\ж
|
||||
капиллярная постоянная\н\index{Постоянная!капиллярная}: $a=\sqrt{2\sigma/(g\rho)}$.
|
||||
Сумма обратных радиусов кривизны слабо изогнутой поверхности с формой
|
||||
$\zeta=z(x,y)$ определяется формулой:
|
||||
$$\rev{R_1}+\rev{R_2}=-\Bigl(\dpartder{\zeta}{x}+\dpartder{\zeta}{y}\Bigr).$$
|
||||
Уравнение плоской волны, распространяющейся по поверхности жидкости в
|
||||
капилляре имеет вид: $\omega^2=gk+\frac{\alpha}{\rho}k^3$.
|
||||
В случае, когда $k\ll\sqrt{g\rho/\alpha}$, капиллярностью можно пренебречь,
|
||||
и волна распространяется только под действием гравитации. В обратном случае
|
||||
можно пренебречь силой тяжести, тогда $\omega^2=\alpha k^3/\rho$, такие волны
|
||||
называют\ж капиллярными\н\index{Волна!капиллярная}.
|
||||
|
||||
Уравнение стоячей капиллярной волны получается путем интегрирования уравнения
|
||||
Лапласа методом разделения переменных. Формула для частоты стоячих капиллярных
|
||||
волн получена Рэлеем:
|
||||
$$\omega^2=\frac{\alpha}{\rho R^3}l(l-1)(l+2).$$
|
||||
Из уравнения видно, что каждому числу $l$ соответствует $2l+1$ различных функций,
|
||||
т.е. в системе наблюдается $2l+1$-кратное вырождение.
|
||||
\index{Поверхностные явления|)textbf}
|
||||
70
adddd/31.tex
Normal file
70
adddd/31.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,70 @@
|
||||
\subsection*{Кинетическое уравнение Больцмана}
|
||||
\index{Кинетическое уравнение Больцмана|(textbf}
|
||||
Кинетическое уравнение Больцмана~(КуБ)~--- интегродифференциальное уравнение, которому
|
||||
удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из
|
||||
большого числа частиц (например, функция распределения молекулы по скоростям).
|
||||
|
||||
КуБ представляет собой уравнение баланса числа частиц в элементе фазового объема
|
||||
$d\vec v\,d\vec r$ и выражает тот факт, что изменение функции распределения
|
||||
частиц, $f(\vec v,\vec r,t)$, со временем происходит вследствие движения частиц
|
||||
под действием внешних сил и столкновений между ними.
|
||||
|
||||
Для газа, состоящего из частиц одного сорта, КуБ имеет вид:
|
||||
$$\partder{f}{t}+\vec v\partder{f}{\vec r}+\rev{m}\vec F\partder{f}{\vec v}=
|
||||
\Bigl(\partder{f}{t}\Bigr)_\text{ст},$$
|
||||
где $\vec F=\vec F(\vec r,t)$~-- сила, действующая на частицу (может зависеть
|
||||
и от скорости), $(\delta f/\delta t)_\text{ст}$~-- изменение функции распределения
|
||||
вследствие столкновений.
|
||||
|
||||
КуБ учитывает только парные столкновения молекул, оно справедливо при условии,
|
||||
что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области,
|
||||
в которой происходят столкновения. Если система находится в статистическом
|
||||
равновесии, интеграл столкновений обращается в нуль, и решением уравнения
|
||||
является распределение Максвелла.
|
||||
|
||||
При более строгом подходе для построения КуБ исходят из уравнения Лиувилля, из
|
||||
которого получают цепочку уравнений Боголюбова.
|
||||
Решение КуБ позволяет получить макроскопические уравнения для процессов переноса.
|
||||
|
||||
КуБ можно применять и для квантовых газов. В этом случае вид функции распределения
|
||||
определяется видом статистики, которой подчиняется данный газ.
|
||||
\index{Кинетическое уравнение Больцмана|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Понятие об Н--теореме}
|
||||
\index{Н--теорема|(textbf}
|
||||
Н--теорема Больцмана~--- одно из важных положений в кинетической теории газов,
|
||||
согласно которому\к для изолированной системы в неравновесном состоянии существует
|
||||
Н--функция Больцмана, зависящая от функции распределения частиц по скоростям и
|
||||
координатам и монотонно убывающая со временем\н. Н--функция равна энтропии газа,
|
||||
деленной на постоянную Больцмана, следовательно, Н--теорема выражает закон
|
||||
возрастания энтропии для изолированной системы.
|
||||
|
||||
Для газа Н--функция равна:
|
||||
$$H=\Int h(\vec r,t)\,d\vec r=\iint f(\vec v,\vec r,t)
|
||||
\ln f(\vec v,\vec r,t)\,d\vec v\,d\vec r,$$
|
||||
где $f(\vec v,\vec r,t)$~-- функция распределения частиц, удовлетворяющая
|
||||
КуБ, $h(\vec r,t)$~-- пространственная плотность Н--функции (локальная плотность
|
||||
энтропии с обратным знаком). Скорость изменения Н--функции со временем равна
|
||||
$$\partder{H}{t}=\iint (1+\ln f)\partder{f}{t}\,d\vec v\,d\vec r.$$
|
||||
Согласно Н--теореме, для изолированной системы $\delta H/\delta t\le0$, что следует
|
||||
из выражения для скорости изменения Н--функции, если в него подставить~$f$ из
|
||||
КуБ и симметризовать выражение относительно функций распределения сталкивающихся
|
||||
частиц при прямом и обратном соударении. В общем случае для вывода Н--теоремы
|
||||
необходимо использовать принцип детального равновесия.
|
||||
|
||||
В пространственно-неоднородных ограниченных системах необходимы ГУ для функции
|
||||
распределения на границе системы. В этом случае справедливо\к уравнение баланса
|
||||
энтропии\н:
|
||||
$$\partder{h}{t}-\diver\vec S=G\le0,$$
|
||||
где $\vec S$~-- плотность потока энтропии, $G$~--\ж локальное производство\н
|
||||
энтропии с обратным знаком. Таким образом, Н--теорема есть следствие положительности
|
||||
производства энтропии в неравновесной термодинамике (в изолированной же системе
|
||||
суммарный поток энтропии через границу равен нулю).
|
||||
|
||||
Убывание Н--функции (рост энтропии) соответствует возрастанию хаоса в системе, что
|
||||
связано с неустойчивостью фазовых траекторий многих механических систем относительно
|
||||
изменения НУ: малые изменения НУ приводят к большим отклонениям фазовых траекторий.
|
||||
Для макроскопических систем в обычных условиях этот эффект не наблюдается, т.к.
|
||||
макроскопическое наблюдение подразумевает некоторое сглаживание (определяется
|
||||
значительно меньшее число параметров системы, чем число механических НУ).
|
||||
\index{Н--теорема|)textbf}
|
||||
99
adddd/32.tex
Normal file
99
adddd/32.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,99 @@
|
||||
\subsection*{Плазма}
|
||||
\index{Плазма|(textbf}
|
||||
\bf Плазма\н~--- частично или полностью ионизованный газ, в котором плотности
|
||||
разноименных зарядов практически одинаковы.\ж Степенью
|
||||
ионизации\н\index{Степень!ионизации}, $\alpha$, плазмы называют отношение
|
||||
числа ионизованных атомов к их полному числу в единице объема плазмы. В условиях
|
||||
термодинамического равновесия она определяется\ж формулой
|
||||
Саха\н\index{Формула!Саха}: $\boxed{\alpha=(1+K)^{-1/2}}$, $K=N_\lambda
|
||||
\exp(I/kT)$, где $I$~-- энергия ионизации, $N_\lambda=n\lambda_e^3$~--
|
||||
число частиц всех сортов в кубе с ребром, равным тепловой длине волны де~Бройля
|
||||
для электронов: $\lambda_e=\hbar/\sqrt{2\pi m_ekT}$.
|
||||
Плазму с температурой менее $10^5$\,К называют\к низкотемпературной.
|
||||
|
||||
%основные свойства
|
||||
К важнейшим свойствам плазмы относится квазинейтральность. Она соблюдается,
|
||||
если линейные размеры занимаемой плазмой области значительно превосходят\ж
|
||||
дебаевский радиус экранирования\н\index{Радиус!Дебая}:
|
||||
$$r_D=\sqrt{\frac{kT_eT_i}{4\pi q_eq_i(n_eT_e+n_iT_i)}},$$
|
||||
где $q_e$ и~$q_i$~-- заряд электронов и ионов, $n_e$ и~$n_i$~-- электронная и ионная
|
||||
плотности (формула записана в системе СГС).
|
||||
В\ж идеальной\н плазме потенциальная энергия взаимодействия частиц мала по
|
||||
сравнению с их тепловой энергией.
|
||||
|
||||
Частицы плазмы помимо хаотического теплового движения могут участвовать в
|
||||
упорядоченных коллективных процессах, из которых наиболее характерны продольные
|
||||
колебания пространственного заряда~---\ж ленгмюровские
|
||||
волны\н\index{Волны!ленгмюровские}. Их угловая частота, $\omega=\sqrt{4\pi
|
||||
ne^2/m}$, называется\ж плазменной частотой\н\index{Частота!плазменная}.
|
||||
|
||||
В МП на частицы плазмы действует сила Лоренца, в результате которой
|
||||
заряды вращаются с циклотронными частотами $\omega_B=eB/mc$ по ларморовским
|
||||
спиралям радиуса $\rho_B=v_\perp/\omega_B$. При этом электроны вращаются по
|
||||
часовой стрелке (если смотреть в направлении движения), а ионы~--- против.
|
||||
Создаваемые зарядами круговые токи уменьшают внешнее МП. Магнитные моменты
|
||||
круговых токов равны $\mu=mv^2/2B$. В неоднородном поле плазма подобно диамагнетику
|
||||
выталкивается в область более слабого поля, из-за чего плазма становится
|
||||
неустойчивой в неоднородных полях.
|
||||
|
||||
Взаимные столкновения частиц плазмы описывают\ж эффективными
|
||||
сечениями\н\index{Сечение!эффективное}, $\sigma$,
|
||||
характеризующими площадь мишени, в которую нужно <<попасть>>, чтобы произошло
|
||||
столкновение. Например, электрон, пролетающий мимо иона на расстоянии\ж прицельного
|
||||
параметра\н\index{Прицельный параметр}, $\rho$, отклоняется силой кулоновского
|
||||
притяжения на угол~$\theta$, примерно равный отношению потенциальной энергии
|
||||
к кинетической, $\theta\approx2\rho_\perp/\rho$, где $\rho_\perp$~-- прицельное
|
||||
расстояние, для которого угол отклонения составляет~$90\degr$.
|
||||
Удобными характеристиками являются\ж длина свободного
|
||||
пробега\н\index{Длина!свободного пробега}, $l=1/(n\sigma)$; частота столкновений,
|
||||
$\nu=nv\sigma$; время между столкновениями, $\tau=1/\nu$.
|
||||
|
||||
Электропроводность полностью ионизованной плазмы не зависит от ее плотности и
|
||||
пропорциональна~$T^{3/2}$. Высокотемпературную плазму можно приближенно
|
||||
рассматривать как сверхпроводник, полагая $\sigma\to\infty$. Это явление приводит
|
||||
к тому, что МП как бы <<вмораживается>> в плазму, что, в свою очередь,
|
||||
может привести к самогенерации МП при хаотическом турбулентном движении плазмы
|
||||
за счет увеличения длины магнитных силовых линий.
|
||||
|
||||
Свойства плазмы сделали возможной жизнь на Земле: магнитное поле Земли является
|
||||
радиационной ловушкой для излучаемой Солнцем плазмы, оно удерживает захваченные
|
||||
им частицы в радиационных поясах Земли.
|
||||
В термоядерных исследованиях используется закрытый тип ловушки (ТОКАМАК).
|
||||
|
||||
%магнитная гидродинамика
|
||||
При описании плазмы уравнениями магнитной гидродинамики,
|
||||
$$\dot\rho=-\rho\diver\vec v;\quad \rho\dotvec v=-\nabla p+
|
||||
\rev c\vecj\times\vec B;\quad p\propto\rho^\gamma,$$
|
||||
учитывается, что\ж магнитное давление\н\index{Давление!магнитное}
|
||||
$p\ind{маг}=B^2/8\pi$ может уравновешивать газодинамическое давление
|
||||
$p\ind{газ}$. В состоянии равновесия при~$v=0$ имеем: $\vecj\times\vec B=
|
||||
c\nabla p$, т.е. магнитные силовые линии и линии тока располагаются на
|
||||
эквибарных поверхностях.
|
||||
При расчетах равновесия тороидальных систем (аксиальная симметрия) используется\ж
|
||||
уравнение Грэда--Шафранова\н\index{Уравнение!Грэда--Шафранова}:
|
||||
$$\dpartder{\Phi}{r}-\rev{r}\partder{\Phi}{r}+\dpartder{\Phi}{z}=
|
||||
F_1+r^2F_2,$$
|
||||
где функции $F_1$ и~$F_2$ зависят лишь от потока~$\Phi$.
|
||||
|
||||
Степень вмороженности МП характеризуется\ж магнитным числом
|
||||
Рейнольдса\н\index{Число!Рейнольдса!магнитное}:
|
||||
$Re_M=4\pi Lv\sigma c^{-2}$, где $L$~-- характерный для плазмы размер,
|
||||
$\sigma$~-- электропроводность плазмы.
|
||||
|
||||
%кинетическое описание
|
||||
Наиболее детальным методом описания плазмы является кинетический метод, основанный
|
||||
на использовании функции распределения частиц по координатам и импульсам. В состоянии
|
||||
ТД равновесия эта функция имеет вид распределения Максвелла, в общем случае
|
||||
ее выводят из кинетического уравнения Больцмана. В случае, когда столкновениями
|
||||
в плазме можно пренебречь (быстрое движение плазмы), кинетическое уравнение
|
||||
переходит в бесстолкновительное уравнение Власова с самосогласованными ЭП и~МП.
|
||||
|
||||
В случае, когда в плазме возбуждены волны, необходимо учитывать взаимодействие
|
||||
частиц с волнами, которые, по аналогии с квантовой электродинамикой, можно
|
||||
изображать графически, подобно диаграммам Феймана.
|
||||
Ввиду большого количества взаимодействий в плазме, она может излучать в довольно
|
||||
широкой спектральной области. Спектр низкотемпературной плазмы является полосатым,
|
||||
за счет фоторекомбинации заряженных частиц. В высокотемпературной плазме возникают
|
||||
также тормозное излучение со сплошным рентгеновским спектром и магнитотронное
|
||||
излучение на гармониках циклотронной частоты.
|
||||
\index{Плазма|)textbf}
|
||||
25
adddd/37.tex
Normal file
25
adddd/37.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,25 @@
|
||||
\subsection*{Радиационное трение}
|
||||
\index{Радиационное трение|(textbf}
|
||||
\bf Радиационным трением\н называется сила, действующая на заряженную частицу
|
||||
со стороны создаваемого ею поля электромагнитного излучения. Движение заряда
|
||||
с ускорением приводит к возникновению излучения, уносящего часть энергии и
|
||||
импульса, поэтому система неравномерно движущихся зарядов не является замкнутой.
|
||||
Такая система ведет себя как механическая система с наличием сил трения.
|
||||
Определить такую силу трения можно, зная теряемую в единицу времени энергию.
|
||||
Так, для нерелятивистского электрона интенсивность излучения составит
|
||||
$I=2e^2a^2/(3c^3)$, где $a$~-- ускорение.
|
||||
Сила трения при приближенно периодическом движении описывается\ж формулой
|
||||
Лоренца\н\index{Формула!Лоренца}:
|
||||
$$F=\frac23\frac{e^2}{c^3}\frac{da}{dt}.$$
|
||||
|
||||
Радиационное трение приводит к затуханию колебаний заряда, что проявляется в
|
||||
уширении спектральной линии излучения.
|
||||
|
||||
Действие радиационного трения на заряд приводит к принципиальным трудностям,
|
||||
тесно связанным с проблемой структуры электрона, природы его массы.
|
||||
Практически для учета действия радиационного трения имеет смысл лишь приближенная
|
||||
постановка задачи методом последовательных приближений. Такой метод дает хорошие
|
||||
результаты для излучения с длиной волны $\lambda\gg r_0=e^2/m_ec^2$
|
||||
(<<\bf классический радиус\rm>>\index{Радиус!электрона} электрона).
|
||||
Реально уже при $\lambda\approx1\,\Ang$ необходимо учитывать квантовые эффекты.
|
||||
\index{Радиационное трение|)textbf}
|
||||
91
adddd/42.tex
Normal file
91
adddd/42.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,91 @@
|
||||
\subsection*{Эффект Черенкова--Вавилова}
|
||||
\index{Эффект!Черенкова--Вавилова|(textbf}
|
||||
\bf Излучением Черенкова--Вавилова\н называют излучение света заряженной частицей,
|
||||
возникающее при ее движении в среде с постоянной скоростью $v$, превышающей
|
||||
фазовую скорость света в этой среде.
|
||||
|
||||
Возникновение эффекта Черенкова--Вавилова можно объяснить с помощью принципа
|
||||
Гюйгенса. Если частица движется в среде со скоростью~$v<c$, испущенные ею
|
||||
в разные моменты времени парциальные волны не взаимодействуют и не имеют общей
|
||||
огибающей, т.е. заряд при этом не излучает. Однако, если $v>c$, соответствующие
|
||||
разным парциальным волнам сферы пересекаются. Их общая огибающая представляет
|
||||
собой конус с вершиной, совпадающей с положением частицы. Нормали к образующим
|
||||
конуса определяют волновые векторы, т.е. направление распространения света.
|
||||
Угол $\theta$, который составляет волновой вектор с направлением движения частицы,
|
||||
удовлетворяет отношению $\cos\theta=u/v=c/(nv)$.
|
||||
\index{Эффект!Черенкова--Вавилова|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Циклотронное и синхротронное излучение}
|
||||
\paragraph*{Циклотронное излучение}\index{Циклотронное излучение|(textbf}
|
||||
является электромагнитным излучением заряженной частицы, движущейся по окружности
|
||||
или спирали в МП, один из видов магнитотормозного излучения. Обычно данный
|
||||
термин применяют к излучению нерелятивистских частиц, происходящему на основной
|
||||
циклотронной частоте и ее первых гармониках (см.\к плазма\rm).
|
||||
\index{Циклотронное излучение|)textbf}
|
||||
\paragraph*{Синхротронное излучение}\index{Синхротронное излучение|(textbf}
|
||||
является магнитотормозным излучением релятивистских частиц, движущихся в
|
||||
однородном МП. В связи с высокой скоростью частиц, сильно преобладает излучение
|
||||
на высших гармониках циклотронной частоты, что приводит к квазинепрерывному
|
||||
спектру излучения.
|
||||
|
||||
Синхротронное излучение распространяется в узком конусе с углом раствора
|
||||
$\psi\propto mc^2/E$, где $m$~-- масса покоя частицы, $E$~-- ее энергия.
|
||||
Полная мощность синхротронного излучения пропорциональна квадрату энергии
|
||||
частицы, квадрату перпендикулярной скорости составляющей МП и обратно
|
||||
пропорциональна четвертой степени массы частицы. Эта зависимость приводит
|
||||
к тому, что синхротронное излучение наиболее существенно для легких частиц.
|
||||
\index{Синхротронное излучение|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Рассеяние ЭМВ на свободных электронах}
|
||||
\index{Эффект!Комптона|(textbf}
|
||||
\bf Эффектом Комптона\н называют рассеяние ЭМВ на свободном электроне, сопровождающееся
|
||||
уменьшением частоты. Эффект хорошо наблюдается для высокочастотного излучения
|
||||
(рентгеновский диапазон и выше).
|
||||
|
||||
Теория эффекта разработана Комптоном и Дебаем. Для его объяснения пришлось
|
||||
предположить, что ЭМВ представляют собой потоки фотонов. Каждый фотон обладает
|
||||
энергией $E=h\nu$ и импульсом $p=(h/\lambda)\vec n$, где $\vec n$~-- орт распространения
|
||||
света.
|
||||
Исходя из законов сохранения, Комптон получил формулу для сдвига длины волны:
|
||||
$$\Delta\lambda\equiv\lambda'-\lambda=
|
||||
\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta),$$
|
||||
где $\lambda'$~-- длина волны после рассеяния, $\theta$~-- угол рассеяния.
|
||||
Параметр $\frac{h}{m_ec}$ называют\ж комптоновской длиной
|
||||
волны\н\index{Длина волны!комптоновская} электрона ($2.4\cdot10^{-12}$\,м).
|
||||
\index{Эффект!Комптона|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Лазеры на свободных электронах}
|
||||
\index{Лазер!на свободных электронах|(textbf}
|
||||
В лазерах на свободных электронах~(ЛСЭ) активной средой является поток электронов,
|
||||
колеблющихся под действием внешнего электромагнитного поля и перемещающихся
|
||||
с релятивистской скоростью $v_\parallel$ в направлении распространения
|
||||
излучаемой волны.
|
||||
|
||||
Благодаря эффекту Допплера частота излучения электронов в ЛСЭ во много раз
|
||||
превышает частоту колебания электронов, $\Omega$:
|
||||
$$\omega\simeq s\Omega\Big/\Bigl(1-\frac{v_\parallel}{c}\cos\phi\Bigr),$$
|
||||
где $s$~-- номер гармоники, $\phi$~-- малый угол между направлением движения
|
||||
электронов и направлением излучения волны: $\phi\lesssim\sqrt{1-(v/c)^2}$,
|
||||
$v^2=v^2_\perp+v^2_\parallel$.
|
||||
|
||||
Достоинством ЛСЭ является возможность плавной перестройки частоты генерации
|
||||
изменением~$v_\parallel$ или~$\phi$.
|
||||
|
||||
При квантовом описании возможность преобладания в ЛСЭ вынужденного излучения
|
||||
над поглощением объясняется небольшим различием частот волн, которые электрон
|
||||
способен излучить и поглотить. Это различие обусловлено отдачей, испытываемой
|
||||
электроном при излучении или поглощении кванта. Т.к. в реальных условиях
|
||||
естественная ширина линии существенно больше разности этих частот, вынужденное
|
||||
поглощение и излучение раздельно не наблюдаются, а преобладание излучения имеет
|
||||
место для волны, частота которой ближе к излучаемой частоте.
|
||||
|
||||
Т.к. излученный $\gamma$-квант обладает энергией, значительно меньшей энергии
|
||||
электрона, один электрон может излучить значительное количество квантов. Поэтому
|
||||
движение и излучение частиц могут быть описаны уравнениями классической
|
||||
электродинамики. В классическом описании вынужденному излучению в ЛСЭ отвечает
|
||||
самосогласованный процесс группировки электронов в сгустки под действием затравочной
|
||||
волны и последующее усиление этой волны в результате когерентного излучения
|
||||
сгустков.
|
||||
|
||||
|
||||
\index{Лазер!на свободных электронах|)textbf}
|
||||
54
adddd/52.tex
Normal file
54
adddd/52.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,54 @@
|
||||
\subsection*{Принцип неопределенности}
|
||||
\index{Принцип!неопределенности|(textbf}
|
||||
\bf Соотношения неопределенностей\н\index{Соотношения!неопределенностей}~(С.н.)~---
|
||||
фундаментальные соотношения квантовой физики, устанавливающие предел точности
|
||||
одновременного определения канонически-сопряженных динамических переменных,
|
||||
характеризующих квантовую систему: координата~--- импульс, действие~--- угол и~т.п.
|
||||
Математически С.н. имеют вид неравенств, например,
|
||||
$\Delta x\Delta p_x\ge\hbar/2$.
|
||||
|
||||
С.н. были установлены Гайзенбергом в ходе мысленного эксперимента, поэтому зачастую их
|
||||
называют <<соотношения Гайзенберга>>. Робертсон показал, что С.н. являются следствием\ж
|
||||
коммутационных соотношений\н\index{Соотношения!коммутационные}
|
||||
$[\hat A,\hat B]=i\hbar$ между операторами соответствующих физических величин,
|
||||
причем $\Delta A$ и~$\Delta B$ являются среднеквадратичными отклонениями.
|
||||
|
||||
Шр\"едингер предложил более общую форму С.н.:
|
||||
$$\Delta x^2\Delta p^2_x\ge\frac{\hbar^2}{4(1-r^2)},$$
|
||||
где $r$~-- коэффициент корреляции операторов $\hat A$ и~$\hat B$. Для сильно
|
||||
коррелированных состояний <<эффективная постоянная Планка>>, $\hbar/
|
||||
\sqrt{1-r^2}$ может существенно превышать~$\hbar$.
|
||||
|
||||
С.н. имеют место для любых физических величин $f$ и~$g$, которым соответствуют
|
||||
некоммутирующие эрмитовы операторы. Если коммутатор $[\hat f,\hat g]=i\hbar\hat c$,
|
||||
то С.н. имеют вид
|
||||
$$\Delta f^2\Delta g^2\ge\frac{\hbar^2}{4}\bigm|\mean{\hat c}\bigm|^2.$$
|
||||
|
||||
Среди физических толкований Н.с. можно выделить по крайней мере три уровня.
|
||||
Наиболее часто Н.с. трактуют как\к ограничение на экспериментально достижимую
|
||||
точность измерения характеристик квантовых объектов, обусловленное неадекватностью
|
||||
классических приборов целям квантовых измерений\н.
|
||||
Другое толкование исходит из того, что С.н. есть следствие внутренних свойств
|
||||
квантовых объектов (корпускулярно--волновой дуализм):\к для полного описания
|
||||
квантовой системы равно необходимо учесть как ее корпускулярные, так и волновые
|
||||
свойства\н.
|
||||
|
||||
Второе толкование значительно шире и представляет собой общий\к принцип неопределенности\н.
|
||||
Этот принцип является предпосылкой\ж принципа
|
||||
дополнительности\н\index{Принцип!дополнительности} Бора:\к получение экспериментальной
|
||||
информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект, неизбежно
|
||||
связано с потерей информации о некоторых других величинах, канонически сопряженных
|
||||
с первыми\н. С.н. с этой точки зрения можно трактовать как способ сохранения
|
||||
классических понятий для описания квантовых систем путем взаимного ограничения
|
||||
области их совместного применения.
|
||||
|
||||
Третья трактовка С.н. связана с соотношением $\Delta E\Delta t\gtrsim\hbar$.
|
||||
Можно утверждать, что\к за ограниченный интервал времени невозможно точно
|
||||
определить энергию системы\н, или же:\к неопределенность энергии состояния
|
||||
возбужденной квантовой системы тесно связана с ее временем жизни\н.
|
||||
|
||||
Из С.н. можно оценить, например, <<скорость вращения>> электрона вокруг
|
||||
ядра атома водорода в основном состоянии:
|
||||
$$v\ge\Delta p/m\sim \hbar/mr_0\sim e^2/\hbar,\quad\Arr\quad
|
||||
v/c\approx e^2/\hbar c\approx\alpha\approx1/137.$$
|
||||
\index{Принцип!неопределенности|)textbf}
|
||||
36
adddd/53.tex
Normal file
36
adddd/53.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,36 @@
|
||||
\subsection*{Уравнения Гайзенберга}
|
||||
\index{Уравнения!Гайзенберга|(textbf}
|
||||
Если $\ket{\Psi_0}$~--- вектор состояния системы в начальный момент времени,
|
||||
то в представлении Шр\"едингера вектор состояния в произвольный момент
|
||||
времени примет вид: $\ket{\Psi(t)}=\hat U(t,t_0)\ket{\Psi_0}$, где $\hat U$~--\ж
|
||||
унитарный оператор эволюции\н\index{Оператор!эволюции} системы:
|
||||
$\hat U\hat U^*=1$. Если гамильтониан системы, $\hat H$, не зависит от времени,
|
||||
среднее значение любой величины~$F$ можно представить в виде среднего значения
|
||||
некоторого оператора $\hat F_0$, взятого по начальному вектору состояния:
|
||||
$$\mean{F}=\bra{\Psi(t)}\hat F\ket{\Psi(t)}=\bra{\Psi_0}\hat F_0\ket{\Psi_0}.$$
|
||||
Оператор $\hat F_0=\hat U^*\hat F\hat U$ называется оператором физической величины
|
||||
в представлении Гайзенберга.
|
||||
Для любой физической величины, $G$, оператор которой коммутирует с гамильтонианом,
|
||||
$[\hat G,\hat H]=0$, $G=G_0$.
|
||||
|
||||
Используя уравнения для оператора эволюции
|
||||
$$i\hbar\partder{\hat U}{t}=\hat H\hat U,\qquad
|
||||
-i\hbar\partder{\hat U^*}{t}=\hat U^*\hat H,$$
|
||||
можно найти производную по времени оператора $\hat F_0$:
|
||||
$$\partder{\hat F_0}{t}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat F_0]+\partder{\hat F_0}{t}.$$
|
||||
Это уравнение и правила коммутации операторов физических величин служат основой
|
||||
квантовомеханического описания динамической системы в представлении Гайзенберга.
|
||||
|
||||
Если в качестве векторов состояния выбраны состояния $\bra{n}$ и~$\bra{m}$ с
|
||||
определенной энергией $E_n$ и~$E_m$, то между матрицами операторов в представлении
|
||||
Шр\"едингера и Гайзенберга существует связь:
|
||||
$$\bra{m}\hat F\ket{n}=\bra{m}\hat F\ket{n}\exp(i\omega_{mn}t),\qquad
|
||||
\omega_{mn}=(E_m-E_n)/\hbar.$$
|
||||
|
||||
Для динамических переменных (например, координат, $q_i$, и импульсов, $p_i$)
|
||||
операторные уравнения с учетом коммутационных соотношений, $[\hat p_i,
|
||||
\hat q_i]=i\hbar\delta_{ij}$ принимают вид, аналогичный классическим
|
||||
уравнениям Гамильтона (\bf теорема Эренфеста\н\index{Теорема!Эренфеста}):
|
||||
$$\frac{d\hat q_i}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat q_i]=\partder{\hat H}{\hat p_i},\qquad
|
||||
\frac{d\hat p_i}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat p_i]=\partder{\hat H}{\hat q_i}.$$
|
||||
\index{Уравнения!Гайзенберга|)textbf}
|
||||
55
adddd/60.tex
Normal file
55
adddd/60.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,55 @@
|
||||
\subsection*{Уравнение Дирака}
|
||||
\index{Уравнение!Дирака|(textbf}
|
||||
\bf Уравнением Дирака\н называют квантовое уравнение для частиц с полуцелым
|
||||
спином, полученное из следующих требований:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item уравнение для волновой функции частицы $\psi(x,t)$ должно быть
|
||||
линейным, чтобы выполнялся принцип суперпозиции состояний;
|
||||
\item в уравнение должна входить первая производная $\psi$ по времени,
|
||||
чтобы задание $\psi$ в начальный момент определяло волновую
|
||||
функцию в любой другой момент времени;
|
||||
\item уравнение должно быть инвариантным относительно преобразований
|
||||
Лоренца;
|
||||
\item величина $\psi^*\psi$ должна иметь смысл плотности вероятности
|
||||
нахождения частицы в точке~$x$ в момент времени~$t$;
|
||||
\item уравнение для свободной частицы должно быть построено так, чтобы
|
||||
состояние с импульсом~$\vec p$ и энергией~$E$ было его решением только
|
||||
в случае выполнения соотношения $E^2=\hbar^2p^2+m^2c^4$, или, в системе
|
||||
$\hbar=1$, $c=1$: $E^2=p^2+m^2$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Всем этим требованиям удовлетворяет система решений четырехмерной волновой
|
||||
функции $\psi=(\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi+_4)$.
|
||||
|
||||
Ковариантный вид уравнений Дирака зависит от выбора метрики пространства-времени.
|
||||
Если $x^2=g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}=t^2-\vec x^2$, где $g_{\mu\nu}$~-- метрический
|
||||
тензор, то уравнение имеет вид:
|
||||
$$i\gamma^{\mu}\partder{\psi(x)}{x^\mu}-m\psi(x)=0,\qquad
|
||||
\mu=1,2,3,4.$$
|
||||
где $\gamma$~--\ж матрицы Дирака\н\index{Матрица!Дирака}. Для четырехмерного
|
||||
вектора тока $j^{\mu}=\psi^*\gamma^{\mu}\psi$ вытекает уравнение непрерывности:
|
||||
$\partder{j^{\mu}}{x^{\mu}}=0$.
|
||||
|
||||
Для данного импульса $\vec p$ уравнение Дирака имеет четыре линейно независимые
|
||||
решения: два с положительной энергией $E=p_0=\sqrt{\vec p^2+m^2}$ и два с
|
||||
отрицательной энергией $E=-p_0$. Их можно записать в ковариантном виде
|
||||
$$\psi_{\pm p}(x)=\rev{(2\pi)^{3/2}}u(\pm p)\exp(\mp ipx),$$
|
||||
где $u(p)$ удовлетворяет уравнениям $(\hat p\mp m)u(\pm p)=0$,
|
||||
$\hat p=\gamma^\mu p_\mu=\gamma^0p^0-\gamma^\alpha p^\alpha$, $\alpha=1,2,3$;
|
||||
$u^*(\pm p)(\hat p\mp m)=0$.
|
||||
|
||||
Для каждой пары $u$--$u^*$ в качестве независимых могут быть выбраны решения
|
||||
с определенной спиральностью (проекцией спина на направление импульса)
|
||||
$\lambda=0,\pm1/2$. Для $\lambda=0$ решения свободного уравнения Дирака являются
|
||||
собственными функциями матрицы $\gamma^5=-i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$:
|
||||
$$\gamma^5u_\lambda(\pm p)=\mp2\lambda u_\lambda(\pm p).$$
|
||||
|
||||
Решения уравнения Дирака с отрицательной энергией показались лишенными смысла.
|
||||
Для устранения неопределенности их смысла Дирак предположил, что состоянием
|
||||
с минимальной энергией (вакуумным состоянием) является состояние, в котором
|
||||
все уровни с отрицательной энергией заполнены. Если из вакуума <<вырвать>>
|
||||
одно состояние (т.е. образовать в нем <<дырку Дирака>>), полученное состояние
|
||||
будет иметь положительную энергию. Эта частица будет иметь массу, равную массе
|
||||
электрона и заряд~$+e$ (позитрон). По существу, решения с отрицательной энергией
|
||||
требуют выхода за рамки одночастичного уравнения и осуществляются только в
|
||||
квантовой теории поля.
|
||||
\index{Уравнение!Дирака|)textbf}
|
||||
68
adddd/63.tex
Normal file
68
adddd/63.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,68 @@
|
||||
\subsection*{Нестационарная теория возмущений}
|
||||
\index{Теория!возмущений!нестационарная|(textbf}
|
||||
Нестационарная теория возмущений применяется в случае, когда возмущения зависят
|
||||
от времени. В этом случае теория возмущений основывается на методе вариации
|
||||
постоянных, так же как и в классической механике. Задача состоит в решении уШ
|
||||
$$i\hbar\partder{\psi(t)}{t}=(H_0+U(t))\psi(t)$$
|
||||
при условии, что в начальный момент система находилась в одном из стационарных
|
||||
состояний $\psi^{(0)}_n\exp(-\frac{i}{\hbar}E_n^{(0)}t)$ невозмущенного
|
||||
гамильтониана~$H_0$.
|
||||
|
||||
Решение ищется в виде ряда
|
||||
$$\psi(t)=\sum_mC_{mn}(t)\psi^{(0)}_m\exp(-\frac{i}{\hbar}E_m^{(0)}t),$$
|
||||
в котором зависимость коэффициентов от времени возникает только благодаря
|
||||
возмущению:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
i\hbar\frac{dC_{mn}}{dt}=\sum_k U_{mk}(t)C_{kn}(t),
|
||||
\label{VozmTheor}
|
||||
\end{equation}
|
||||
где $U_{mk}$~-- собственные значения функции возмущений,
|
||||
$C_{mn}(-\infty)=\delta_{mn}$.
|
||||
|
||||
Если возмущение содержит только одну гармонику ($U(t)=V\exp(-i\omega t)$),
|
||||
вероятность перехода из состояния~$n$ при $t=-\infty$ в~$m$ при $t=\infty$
|
||||
определяется выражением
|
||||
$$\lim_{t\to\infty}\frac{d}{dt}|C_{mn}(t)|^2=
|
||||
\frac{2\pi}{\hbar}|V_{mn}|^2\delta(E_m^{(0)}-E_n^{(0)}).$$
|
||||
Т.о., за бесконечный промежуток времени переход произойдет с сохранением энергии.
|
||||
Для вероятности перехода в единицу времени получим:
|
||||
$$w_{mn}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{mn}|^2\rho(E_n^{(0)}),$$
|
||||
где $\rho$~-- плотность уровней энергии.
|
||||
|
||||
В квантовой теории поля $C(t)\equiv S(t,-\infty)$, т.е. является матрицей
|
||||
рассеяния. Уравнение~\eqref{VozmTheor} удобно записать в операторной форме:
|
||||
$$i\hbar\dot S(t,-\infty)=U(t)S(t,-\infty).$$
|
||||
Релятивистски инвариантное выражение для матрицы рассеяния можно воспроизвести
|
||||
в виде суммы диаграмм Фейнмана. Однако, уже во втором порядке по возмущениям
|
||||
в матрице рассеяния появляется расходимость. Для ее преодоления применяется
|
||||
процедура перенормировок.
|
||||
\index{Теория!возмущений!нестационарная|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Золотое правило Ферми}
|
||||
\index{Золотое правило Ферми|(textbf}
|
||||
В квантовой физике, золотое правило Ферми позволяет вычислить вероятность перехода
|
||||
между двумя состояниями квантовой системы, используя нестационарную теорию возмущений.
|
||||
Хотя правило названо в честь Энрико Ферми, но большинство работы, приводящей к
|
||||
Золотому правилу было сделано Дираком.
|
||||
|
||||
Предположим, что система находится первоначально в состоянии~$\ket{i}$ с
|
||||
гамильтонианом~$H_0$. Рассмотрим влияние независимого от времени гамильтониана
|
||||
возмущения~$H'$.
|
||||
|
||||
Вероятность перехода из одного состояния в несколько состояний в единицу времени,
|
||||
например, из состояния~$\ket{i}$ в набор состояний~$\ket{f}$, дается в первом порядке
|
||||
теории возмущений:
|
||||
$$T_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}\bigl|\bra{f}H'\ket{i}\bigr|^2\rho,$$
|
||||
где $\rho$ является плотностью конечных состояний, и $\bra{f}H'\ket{i}$~--
|
||||
матричный элемент (в бра--кет нотации) возмущения, $H'$, между конечным и начальным
|
||||
состояниями.
|
||||
|
||||
Золотое правило Ферми верно, когда $H'$ независим от времени, $\ket{i}$~--- состояние
|
||||
невозмущенного гамильтониана, состояния $\ket{f}$ формируют непрерывный спектр, и
|
||||
начальное состояние не было значительно обеднено (например, если рассеяние
|
||||
произошло в конечное состояние).
|
||||
|
||||
Самый общий способ получить уравнение состоит в том, чтобы воспользоваться
|
||||
нестационарной теорией возмущения и взять предел для поглощения согласно предположению,
|
||||
что время измерения является намного б\'ольшим, чем время, необходимое для перехода.
|
||||
\index{Золотое правило Ферми|)textbf}
|
||||
27
adddd/64.tex
Normal file
27
adddd/64.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,27 @@
|
||||
\subsection*{Вторичное квантование}
|
||||
\index{Квантование!вторичное|(textbf}
|
||||
\bf Вторичное квантование\н~--- метод описания многочастичных квантовомеханических
|
||||
систем.
|
||||
В особенности часто этот метод применяется для задач квантовой теории поля и в
|
||||
многочастичных задачах физики конденсированных сред. Суть метода вторичного
|
||||
квантования в том, что вместо волновых функций частиц в координатном или в
|
||||
импульсном представлении вводятся волновые функции в представлении чисел
|
||||
заполнения различных состояний одной частицы. Переходы между различными состояниями
|
||||
одной частицы при этом описываются как уменьшение числа заполнения, соответствующего
|
||||
одной волновой функции, на единицу, и увеличение числа заполнения другого состояния
|
||||
на единицу. Достоинство метода вторичного квантования в том, что он позволяет
|
||||
единообразно описывать системы с различным числом частиц, как с конечным фиксированным
|
||||
(в задачах физики конденсированных сред), так и с переменным, потенциально бесконечным
|
||||
(в задачах квантовой теории поля), числом частиц.
|
||||
|
||||
Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе--Эйнштейна операторы, изменяющие числа
|
||||
заполнения состояний на единицу работают так же как операторы рождения и
|
||||
уничтожения в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе:
|
||||
$[a_i,a_j^{+}]=\delta_{ij}$, $[a_i,a_j]=0,$
|
||||
где квадратные скобки означают коммутатор, а $\delta_{ij}$~-- символ Кронекера.
|
||||
|
||||
Для фермионов используются другие операторы, которые удовлетворяют
|
||||
антикоммутационным соотношениям:
|
||||
$$\left\{a_i,a_j^{+}\right\}=a_i a_j^{+}+a_j^{+}a_i=\delta_{ij},\qquad
|
||||
\left\{a_i,a_j\right\}=0$$
|
||||
\index{Квантование!вторичное|)textbf}
|
||||
152
adddd/69.tex
Normal file
152
adddd/69.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,152 @@
|
||||
\subsection*{Деление и синтез ядер}
|
||||
\index{Ядерные реакции|(textbf}
|
||||
\bf Радиоактивность\н (от лат. radio~--- <<излучаю>>, radius~---
|
||||
<<луч>> и activus~--- <<действенный>>)~--- явление спонтанного превращения неустойчивого
|
||||
изотопа химического элемента в другой изотоп (обычно другого элемента) (радиоактивный
|
||||
распад), или (реже)~--- явление спонтанного испускания $\gamma$-частиц без превращения.
|
||||
\it Естественная радиоактивность\н~--- самопроизвольный распад ядер элементов,
|
||||
встречающихся в природе.\к Искусственная радиоактивность\н~--- самопроизвольный
|
||||
распад ядер элементов, полученных искусственным путем через соответствующие
|
||||
ядерные реакции.
|
||||
|
||||
Э.~Резерфорд экспериментально установил, что соли урана испускают лучи трех типов,
|
||||
которые по-разному отклоняются в магнитном поле:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item лучи первого типа отклоняются так же, как поток положительно заряженных
|
||||
частиц, их назвали $\alpha$-лучами;
|
||||
\item лучи второго типа отклоняются в магнитном поле так же, как поток
|
||||
отрицательно заряженных частиц (в противоположную сторону), их назвали
|
||||
$\beta$-лучами;
|
||||
\item лучи третьего типа, которые не отклоняются магнитным полем, назвали
|
||||
$\gamma$-излучением.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Энергетические спектры $\alpha$-частиц и $\gamma$-квантов, излучаемых радиоактивными
|
||||
ядрами, дискретные, а спектр $\beta$-частиц~--- непрерывный.
|
||||
|
||||
\bf Ядерная реакция\н~--- процесс превращения атомных ядер, происходящий при их
|
||||
взаимодействии с элементарными частицами, $\gamma$-квантами и друг с другом, часто
|
||||
приводящий к выделению колоссального количества энергии. Ядерные реакции могут
|
||||
происходить как с выделением, так и с поглощением энергии. Реакции первого типа,
|
||||
экзотермические, служат основой ядерной энергетики и являются источником энергии
|
||||
звезд. Реакции, идущие с поглощением энергии (эндотермические), могут происходить
|
||||
только при условии, что кинетическая энергия сталкивающихся частиц (в системе центра
|
||||
масс) выше определенной величины (порога реакции).
|
||||
|
||||
\paragraph*{Запись ядерных реакций.}
|
||||
Ядерные реакции записываются в виде специальных формул, в которых встречаются
|
||||
обозначения атомных ядер и элементарных частиц.\ж Первый способ\н написания формул
|
||||
ядерных реакций аналогичен записи формул реакций химических: слева записывается
|
||||
сумма исходных частиц, справа~--- сумма получившихся частиц (продуктов реакции),
|
||||
а между ними ставится стрелка.
|
||||
Так, реакция радиационного захвата нейтрона ядром кадмия-113 записывается так:
|
||||
${}^{113}_{48}\textrm{Cd} + n \rightarrow {}^{114}_{48}\textrm{Cd} + \gamma$.
|
||||
|
||||
Мы видим, что число протонов и нейтронов справа и слева остается одинаковым
|
||||
(барионное число сохраняется). Это же относится к электрическим зарядам, лептонным
|
||||
числам и другим сохраняющимся величинам (энергия, импульс, момент импульса, и~т.п.).
|
||||
В некоторых реакциях, где участвует слабое взаимодействие, протоны могут
|
||||
превращаться в нейтроны и наоборот, однако их суммарное число не меняется.
|
||||
|
||||
\bf Второй способ\н записи, более удобный для ядерной физики, имеет вид
|
||||
$ A (a, b\ldots) B$, где $A$~-- ядро мишени, $a$~-- бомбардирующая частица
|
||||
(в том числе ядро), $b\ldots$~-- испускаемые частицы (в том числе ядра),
|
||||
$B$~-- остаточное ядро. В скобках записываются более легкие продукты реакции,
|
||||
вне~--- более тяжелые. Так, вышеприведенная реакция захвата нейтрона может быть
|
||||
записана в таком виде:
|
||||
${}^{113}_{48}\textrm{Cd}(n, \gamma) {}^{114}_{48}\textrm{Cd}$.
|
||||
|
||||
Первое принудительное ядерное превращение азота в кислород, которое провел
|
||||
Резерфорд, обстреливая азот $\alpha$-частицами, записывается в виде формулы
|
||||
${}^{14}_{7}\textrm{N} (\alpha, p) {}^{17}_{8}\textrm{O}$,
|
||||
где $p = {}^{1}_{1}\textrm{H}$~-- протон.
|
||||
В <<химической>> записи эта реакция выглядит, как
|
||||
${}^{14}_{7}\textrm{N} + \alpha \rightarrow p + {}^{17}_{8}\textrm{O}$.
|
||||
|
||||
\paragraph*{Каналы и сечение реакций.}
|
||||
\index{Канал реакции}
|
||||
Типы и квантовое состояние частиц (ядер) до начала реакции определяют\ж входной
|
||||
канал реакции\н. После завершения реакции совокупность образовавшихся продуктов
|
||||
реакции и их квантовых состояний определяет\ж выходной канал реакции\н. Реакция
|
||||
полностью характеризуется входным и выходным каналами. Вероятность реакции
|
||||
определяется\ж поперечным сечением\н реакции. В лабораторной системе отсчета (где
|
||||
ядро-мишень покоится) вероятность взаимодействия в единицу времени равна
|
||||
произведению сечения (выраженного в единицах площади) на поток падающих частиц
|
||||
(выраженный в количестве частиц, пересекающих за единицу времени единичную площадку).
|
||||
Если для одного входного канала могут осуществляться несколько выходных каналов, то
|
||||
отношения вероятностей выходных каналов реакции равно отношению их сечений. В
|
||||
ядерной физике сечения реакций обычно выражаются в специальной единице~---\ж
|
||||
барнах\н\index{Барн}, равных $10^{-24}\,\text{см}^2$.
|
||||
\index{Ядерные реакции|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Ядерный реактор}
|
||||
\index{Ядерный реактор|(textbf}
|
||||
\bf Ядерный реактор\н~--- устройство, в котором осуществляется управляемая цепная
|
||||
ядерная реакция, сопровождающаяся выделением энергии.
|
||||
|
||||
Превращение вещества сопровождается выделением свободной энергии лишь в том случае,
|
||||
если вещество обладает запасом энергий. Последнее означает, что микрочастицы
|
||||
вещества находятся в состоянии с энергией покоя большей, чем в другом возможном,
|
||||
переход в которое существует. Самопроизвольному переходу всегда препятствует\к
|
||||
энергетический барьер\н, для преодоления которого микрочастица должна получить
|
||||
извне какое-то количество энергии~---\ж энергии
|
||||
возбуждения\н\index{Энергия!возбуждения}. Существуют два способа преодоления
|
||||
энергетического барьера: либо за счет кинетической энергии сталкивающихся частиц,
|
||||
либо за счет энергии связи присоединяющейся частицы.
|
||||
|
||||
Если иметь в виду макроскопические масштабы энерговыделения, то необходимую для
|
||||
возбуждения реакций кинетическую энергию должны иметь все или сначала хотя бы некоторая
|
||||
доля частиц вещества. Это достижимо только при повышении температуры среды до величины,
|
||||
при которой энергия теплового движения приближается к величине энергетического порога,
|
||||
ограничивающего течение процесса ($\sim10^7$\,К).
|
||||
|
||||
Любой ядерный реактор состоит из следующих частей:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item активная зона с ядерным топливом и замедлителем;
|
||||
\item отражатель нейтронов, окружающий активную зону;
|
||||
\item теплоноситель;
|
||||
\item система регулирования цепной реакции, в том числе аварийная защита;
|
||||
\item радиационная защита;
|
||||
\item система дистанционного управления.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Основная характеристика реактора~--- его\ж выходная мощность\н. Мощность в 1~МВт
|
||||
соответствует цепной реакции, при которой происходит $3\cdot10^{16}$ делений в
|
||||
секунду.
|
||||
|
||||
Текущее состояние ядерного реактора можно охарактеризовать\ж эффективным
|
||||
коэффициентом размножения нейтронов\н\index{Коэффициент!размножения}, $k$, или\ж
|
||||
реактивностью\н\index{Реактивность}~$\rho$, которые связаны следующим соотношением:
|
||||
$\rho = {{k-1} \over k}$.
|
||||
|
||||
Для этих величин характерны следующие значения:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $k > 1$~--- цепная реакция нарастает во времени, реактор находится в
|
||||
надкритичном состоянии, его реактивность $\rho > 0$;
|
||||
\item $k < 1$~--- реакция затухает, реактор подкритичен, $\rho < 0$;
|
||||
\item $k = 1$, $\rho = 0$~--- число делений ядер постоянно, реактор находится
|
||||
в стабильном критическом состоянии.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\bf Критический объем ядерного реактора\н~--- объем активной зоны реактора в
|
||||
критическом состоянии.\ж Критическая масса\н~--- масса делящегося вещества реактора,
|
||||
находящегося в критическом состоянии.
|
||||
С целью уменьшения утечки нейтронов, активной зоне придают сферическую или близкую к
|
||||
сферической форму.
|
||||
|
||||
Ядерный реактор может работать с заданной мощностью в течение длительного времени
|
||||
только в том случае, если в начале работы имеет запас реактивности. Протекающие в
|
||||
реакторе процессы вызывают ухудшение размножающих свойств среды, и без механизма
|
||||
восстановления реактивности реактор не смог бы работать даже малое время.
|
||||
Первоначальный запас реактивности создается путем постройки активной зоны с
|
||||
размерами, значительно превосходящими критические. Чтобы реактор не становился
|
||||
надкритичным, в активную зону вводятся вещества-поглотители нейтронов.
|
||||
Управление ядерным реактором упрощает тот факт, что часть нейтронов при делении
|
||||
вылетает из осколков с запаздыванием, которое может составить от~$0.2$ до~$55$\,с.
|
||||
Благодаря этому, нейтронный поток и, соответственно, мощность изменяются достаточно
|
||||
плавно, давая время на принятие решения и изменение состояния реактора извне.
|
||||
|
||||
На случай непредвиденного катастрофического развития цепной реакции, в каждом реакторе
|
||||
предусмотрено экстренное прекращение цепной реакции, осуществляемое сбрасыванием в
|
||||
активную зону специальных аварийных стержней или стержней безопасности~--- система
|
||||
аварийной защиты.
|
||||
\index{Ядерный реактор|)textbf}
|
||||
40
adddd/72.tex
Normal file
40
adddd/72.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,40 @@
|
||||
\subsection*{Механизмы ядерных реакций}
|
||||
\index{Механизмы ядерных реакций|(textbf}
|
||||
Характер взаимодействия налетающей частицы с ядром зависит от ее кинетической
|
||||
энергии, массы, заряда и др. характеристик. Он определяется теми степенями свободы
|
||||
ядра (ядер) которые возбуждаются в ходе столкновения. Различие между ядерными
|
||||
реакциями включает и их различную длительность.
|
||||
|
||||
Если налетающая частица лишь касается ядра-мишени, а длительность столкновения
|
||||
приблизительно равна времени, необходимому для прохождения налетающей частицей
|
||||
расстояния, равного радиусу ядра-мишени ($\sim10^{-22}$\,с), то такие реакции
|
||||
относят к классу\ж прямых\н. Общим для всех прямых
|
||||
ядерных реакций является селективное возбуждение небольшого числа определенных
|
||||
состояний (степеней свободы). В прямом процессе после первого столкновения
|
||||
налетающая частица имеет достаточную энергию, чтобы преодолеть ядерные силы
|
||||
притяжения в область действия которых она попала. Примерами прямого взаимодействия
|
||||
являются неупругое рассеяние нейтронов, реакции обмена зарядом.
|
||||
|
||||
Угловые распределения продуктов прямых ядерных реакций (зависимость вероятности
|
||||
вылета от угла, отсчитанного от направления пучка) позволяют определить квантовые
|
||||
числа селективно заселяемых состояний в каждой конкретной реакции, а величина
|
||||
сечения при заданной энергии~--- структуру этих состояний.
|
||||
|
||||
Если падающая частица не покидает область взаимодействия после первого столкновения,
|
||||
то она вовлекается в каскад последовательных столкновений, в результате которых ее
|
||||
начальная кинетическая энергия постепенно распределяется среди нуклонов ядра и
|
||||
возбужденными оказываются многие степени свободы, а состояние ядра постепенно
|
||||
усложняется.
|
||||
В процессе дальнейшей релаксации наступает статистическое равновесие и образуется
|
||||
составное ядро, время жизни которого~$\sim10^{-14}\div10^{-18\,}$с. Распад
|
||||
составного ядра не зависит от способа его образования. Тип распада определяется
|
||||
энергией возбуждения, угловым моментом, четностью и изотопическим спином ядра.
|
||||
Энергетический спектр частиц, испускаемых в процессе девозбуждения составного ядра,
|
||||
характеризуется максвелловской формой и симметричным распределением
|
||||
<<вперед~--- назад>> относительно пучка (в системе центра инерции).
|
||||
|
||||
В случае распада средних и тяжелых составных ядер вероятность испускания нейтронов
|
||||
значительно превышает вероятность эмиссии заряженных частиц, вылету которых
|
||||
препятствует кулоновский барьер ядра. В тяжелых ядрах с испусканием нейтронов
|
||||
конкурируют процессы деления ядер и альфа-распада.
|
||||
\index{Механизмы ядерных реакций|)textbf}
|
||||
28
adddd/75.tex
Normal file
28
adddd/75.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,28 @@
|
||||
\subsection*{Электромагнитное взаимодействие}
|
||||
\index{Взаимодействие!электромагнитное|(textbf}
|
||||
Электромагнитное взаимодействие~--- одно из четырех\ж фундаментальных
|
||||
взаимодействий\н. Электромагнитное взаимодействие существует между частицами,
|
||||
обладающими электрическим зарядом, а также между электрически нейтральными
|
||||
составными частицами, части которых обладают зарядом. Например, нейтрон~--- нейтральная
|
||||
частица, однако он содержит в своем составе заряженные кварки и потому участвует в
|
||||
электромагнитном взаимодействии (в частности, обладает ненулевым магнитным моментом).
|
||||
|
||||
Из фундаментальных частиц в электромагнитном взаимодействии участвуют кварки,
|
||||
электрон, мюон и тауон, а также заряженные калибровочные $W^{\pm}$ бозоны.
|
||||
С точки зрения квантовой теории поля электромагнитное взаимодействие переносится безмассовым бозоном~---\ж фотоном\н\index{Фотон}.
|
||||
|
||||
Электромагнитное взаимодействие отличается от слабого и сильного взаимодействия
|
||||
своим дальнодействующим характером~--- сила взаимодействия между двумя зарядами
|
||||
спадает только как вторая степень расстояния. По такому же закону спадает с
|
||||
расстоянием гравитационное взаимодействие. Электромагнитное взаимодействие
|
||||
заряженных частиц намного сильнее гравитационного, и единственная причина, по
|
||||
которой электромагнитное взаимодействие не проявляется с большой силой на
|
||||
космических масштабах~--- электрическая нейтральность материи, то есть наличие
|
||||
в каждой области Вселенной с высокой степенью точности равных количеств
|
||||
положительных и отрицательных зарядов.
|
||||
|
||||
На проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует\ж сила Ампера\н:
|
||||
$\vec{F}_A = I \cdot [\Delta \vec{l} \times \vec{B}]$.
|
||||
На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует\ж сила Лоренца\н:
|
||||
$\vec{F}_L = q \cdot [\vec{v} \times \vec{B}]$.
|
||||
\index{Взаимодействие!электромагнитное|)textbf}
|
||||
69
adddd/79.tex
Normal file
69
adddd/79.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,69 @@
|
||||
\subsection*{Нуклеосинтез во Вселенной. Ядерные реакции в звездах}
|
||||
\index{Нуклеосинтез|(textbf}
|
||||
\bf Нуклеосинтез\н~--- процесс синтеза ядер химических элементов тяжелее водорода.
|
||||
Различают\к первичный нуклеосинтез\н, проходивший на начальных стадиях существования
|
||||
Вселенной в процессе Большого Взрыва и\к звездный нуклеосинтез\н.
|
||||
|
||||
В процессе первичного нуклеосинтеза образуются элементы не тяжелее лития.
|
||||
Стандартная модель Большого Взрыва предсказывает следующее соотношение элементов:
|
||||
H~--- 75\%, ${}^4$He~--- 25\%, H${}_2$~--- $3\cdot10^{-5}$\%,
|
||||
${}^3$He~--- $2\cdot10^{-5}$\%, ${}^7$Li~--- $10^{-9}$\%, что хорошо согласуется с
|
||||
экспериментальными данными.
|
||||
|
||||
Синтез более тяжелых ядер происходит в звездах. Легкие ядра (до углерода ${}^{12}$C
|
||||
включительно) могут синтезироваться в недрах относительно немассивных звезд в\ж
|
||||
цикле Бете\н\index{Цикл!Бете}~(двухчастичные взаимодействия) и тройной гелиевой
|
||||
реакции:
|
||||
${}^4\text{He}+{}^4\text{He}\to{}^8\text{Be}$,
|
||||
${}^8\text{Be} + {}^4\text{He}\to{}^{12}\text{C}$.
|
||||
|
||||
Ядра до железа ${}^{56}$Fe синтезируются путем слияния более легких ядер в недрах
|
||||
массивных звезд, синтез тяжелых и сверхтяжелых ядер идет путем нейтронного захвата
|
||||
в предсверхновых звездах и при взрывах сверхновых.
|
||||
Экспериментальным подтверждением этого факта служит низкое содержание тяжелых
|
||||
элементов в старых звездах, образовавшихся на ранних стадиях эволюции Вселенной.
|
||||
\index{Нуклеосинтез|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsection*{Космические лучи}
|
||||
\index{Космические лучи|(textbf}
|
||||
Естественная радиоактивность космоса (\bf космические лучи\н\index{Космические лучи})
|
||||
представляет собой поток заряженных частиц высоких энергий, падающих на Землю из
|
||||
космического пространства (первичные лучи), а также поток вторичных частиц,
|
||||
родившихся в реакциях в верхних слоях земной атмосферы. До развития ускорительной
|
||||
техники космические лучи служили единственным источником элементарных частиц высокой
|
||||
энергии.
|
||||
Основными источниками первичных космических лучей являются взрывы сверхновых звезд (галактические космические лучи) и Солнце.
|
||||
|
||||
Химический спектр космических лучей в пересчете энергии на нуклон более чем на 94\%
|
||||
состоит из протонов, еще на 4\%~--- из ядер гелия ($\alpha$-частиц). Есть также
|
||||
ядра других элементов, но их доля значительно меньше. В пересчете энергии на
|
||||
частицу доля протонов составляет около 35\%, доля тяжелых ядер соответственно больше.
|
||||
Кроме того, в состав космических лучей входят электроны, позитроны и антиадроны.
|
||||
|
||||
Традиционно частицы, наблюдаемые в космических лучах, делят на группы: легкие, средние,
|
||||
тяжелые и сверхтяжелые. Особенностью химического состава первичных лучей является
|
||||
аномально высокое (в несколько тысяч раз) содержание ядер легкой группы (литий,
|
||||
бериллий, бор) по сравнению с составом звезд и межзвездного газа. Данное явление
|
||||
объясняется тем, что частицы космических лучей под воздействием галактического
|
||||
магнитного поля хаотически блуждают в пространстве, прежде чем достигнуть Земли.
|
||||
За время блуждания ядра сверхтяжелой группы могут неупруго провзаимодействовать с
|
||||
межзвездным газом и расколоться на более легкие фракции. Данное предположение
|
||||
подтверждается тем, что космические лучи обладают очень высокой степенью изотропии.
|
||||
|
||||
В результате взаимодействия с ядрами атмосферы первичные космические лучи (в
|
||||
основном, протоны) создают большое число вторичных частиц~--- пионов, протонов,
|
||||
нейтронов, мюонов, электронов, позитронов и фотонов. Таким образом, вместо одной
|
||||
первичной частицы возникает большое число вторичных частиц, которые делятся на
|
||||
адронную, мюонную и электронно--фотонную компоненты. Такой каскад покрывает
|
||||
большую территорию и называется\ж широким атмосферным ливнем\н.
|
||||
|
||||
В одном акте взаимодействия протон обычно теряет~$\sim~50$\% своей энергии, а в
|
||||
результате взаимодействия возникают в основном пионы. Каждое последующее
|
||||
взаимодействие первичной частицы добавляет в каскад новые адроны, которые летят
|
||||
преимущественно по направлению первичной частицы, образуя адронное ядро ливня.
|
||||
|
||||
Образующиеся пионы могут взаимодействовать с ядрами атмосферы, а могут распадаться,
|
||||
формируя мюонную и электронно-фотонную компоненты ливня. Адронная компонента до
|
||||
поверхности Земли практически не доходит, превращаясь в мюоны, нейтрино и
|
||||
гамма-кванты.
|
||||
\index{Космические лучи|)textbf}
|
||||
123
adddd/80.tex
Normal file
123
adddd/80.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,123 @@
|
||||
\subsection*{Взаимодействие частиц и излучений с веществом}
|
||||
\index{Взаимодействие!частиц с веществом|(textbf}
|
||||
\subsubsection*{Прохождение тяжелых частиц через вещество}
|
||||
Тяжелая заряженная частица взаимодействует с электрическими полями электронов
|
||||
и атомных ядер. Она либо ионизует, либо возбуждает атомы. Осуществляется также
|
||||
и чисто ядерное взаимодействие частицы с атомным ядром. Основными характеристиками
|
||||
при ионизации являются\ж средние ионизационные потери\н частицы на единицу
|
||||
длины пути, $dE/dx$, а также ее\ж полный пробег\н в веществе,~$R$.
|
||||
|
||||
При прохождении частицы с зарядом $Ze$ мимо электрона происходит передача
|
||||
электрону импульса $p=2Ze^2/bv$, где $v$~-- скорость частицы, $b$~-- прицельный
|
||||
параметр (минимальное расстояние между частицей и электроном).
|
||||
За счет взаимодействия частица теряет, а электрон приобретает энергию $p^2/2m_e$.
|
||||
При прохождении частицы через плоскопараллельный слой вещества происходит потеря
|
||||
энергии за счет взаимодействия со всеми электронами.
|
||||
Для полного пробега частицы получим формулу: $R=(M/z^2)f(v_0)+\C$.
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Прохождение легких частиц через вещество}
|
||||
Путь легкой частицы в среде будет не прямолинейным, а извилистым за счет значительной
|
||||
величины изменения импульса частицы при взаимодействии. Если интенсивность пучка
|
||||
тяжелых частиц резко обрывается при достижении глубины, равной~$R$, то интенсивность
|
||||
пучка легких частиц убывает плавно. Можно ввести понятие\ж максимального\н и\ж
|
||||
среднего\н пробега. Максимальный пробег~--- минимальная толщина вещества, полностью
|
||||
задерживающая поток частиц. Средний пробег~--- средняя длина прямолинейного участка
|
||||
пути частицы.
|
||||
|
||||
Еще одной особенностью взаимодействия легких частиц с веществом является то, что
|
||||
электрон (позитрон) в результате столкновений излучает (тормозное излучение), т.е.
|
||||
помимо ионизационных появляются и\ж радиационные потери\н. Кроме того, при
|
||||
движении электрона в среде проявляются\к квантовые обменные эффекты\н, наблюдающиеся
|
||||
во всякой системе тождественных частиц. Взаимодействие позитрона и электрона среды
|
||||
может привести к их аннигиляции.
|
||||
|
||||
Торможение электронов высоких энергий используется в электронных ускорителях для
|
||||
получения пучков $\gamma$-лучей. В классическом приближении интенсивность
|
||||
тормозного излучения определяется выражением
|
||||
$w=\frac23\frac{e^2}{c^3}\dot v^2,$
|
||||
где $\dot v=F/m_e$~-- ускорение электрона. Исходя из этой формулы, получим,
|
||||
что интенсивность излучения при торможении протона в $(m_p/m_e)^2\approx3.4\cdot
|
||||
10^6$~раз слабее излучения электронов.
|
||||
|
||||
Тормозное излучение при взаимодействии электрона с атомом сильно зависит от
|
||||
степени экранирования ЭП ядра атомными электронами. Пренебрегая экранированием,
|
||||
можно утверждать, что теряемая электроном на радиационное торможение энергия
|
||||
пропорциональна плотности вещества и проходимому в нем пути,
|
||||
$-(dE/dx)\ind{рад}=E/l_r$, где $l_r$~--\ж радиационная длина\н\index{Длина!радиационная}.
|
||||
|
||||
Отношение радиационных потерь к ионизационным можно рассчитать при помощи
|
||||
приближенного соотношения
|
||||
$$\frac{(dE/dx)\ind{рад}}{(dE/dx)\ind{иониз}}\approx\frac{EZ}{800},$$
|
||||
где $E$ измеряется в МэВ. Энергия, $E\ind{кр}$, при которой радиационные потери
|
||||
становятся равными ионизационным, называется\ж
|
||||
критической\н\index{Энергия!критическая}: $E\ind{кр}\approx800/Z$.
|
||||
При очень высоких энергиях можно получить формулу для определения энергии
|
||||
электрона: $E=E_0\exp(-x/l_r)$.
|
||||
\index{Взаимодействие!частиц с веществом|)textbf}
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Прохождение $\gamma$-частиц через вещество}
|
||||
\index{Взаимодействие!излучения с веществом|(textbf}
|
||||
К $\gamma$-излучению\index{g-излучение@$\gamma$-излучение} относят электромагнитные
|
||||
волны, длина которых значительно меньше межатомных расстояний, т.е.
|
||||
$\lambda\ll1\Ang$ или $E\gg12.5\,$кэВ. Наибольший интерес для практических приложений
|
||||
представляет область от десятков кэВ до сотен МэВ.
|
||||
|
||||
Теория прохождения $\gamma$-излучения через вещество~--- проблема квантовой
|
||||
электродинамики. За счет электромагнитных взаимодействий $\gamma$-излучение
|
||||
поглощается и рассеивается веществом. Однако, радиус взаимодействия $\gamma$-квантов
|
||||
и электрона ограничен комптоновской длиной волны электрона (порядка $10^{-13}$\,м),
|
||||
поэтому вероятность таких столкновений довольно мала.
|
||||
Т.к. $\gamma$-частицы являются безмассовыми, они не могут замедляться в веществе,
|
||||
взаимодействие приводит только к изменению их траекторий, поглощению или
|
||||
рождению пар частица--античастица.
|
||||
Для квантов нельзя ввести понятие пробега.
|
||||
|
||||
При прохождении через вещество интенсивность $\gamma$-пучка экспоненциально
|
||||
убывает, подобно закону Бугера: $I(x)=I(0)\exp(-n\sigma x)$, где $\sigma$--
|
||||
полное эффективное сечение ослабления, $n$~-- концентрация атомов поглотителя.
|
||||
Основными процессами, выводящими кванты из параллельного пучка, являются
|
||||
фотоэффект, эффект Комптона и рождение электронно--позитронных пар.
|
||||
|
||||
Отличие фотоэффекта на $\gamma$-квантах в том, что электрон не может поглотить
|
||||
или испустить квант такой энергии. Вся энергия кванта передается электрону
|
||||
и атомному остатку (при этом происходит ионизация). Эффективное сечение фотоэффекта
|
||||
сильно зависит от энергии кванта, испытывая резкие падения на энергиях ионизации с
|
||||
$i$-й оболочки и соблюдая общее падение при увеличении энергии.
|
||||
Вероятность фотоэффекта пропорциональна примерно квадрату заряда ядра, поэтому
|
||||
он наиболее существенен при взаимодействии $\gamma$-квантов с тяжелыми ядрами.
|
||||
|
||||
При сильном возрастании энергии кванта (больше энергии связи электронов в атоме)
|
||||
наибольшая доля энергетических потерь приходится на эффект Комптона.
|
||||
Сечение рассеяния <<мягких>> $\gamma$-квантов ($h\nu\ll m_ec^2$) на электроне
|
||||
определяется\ж формулой Томсона\н\index{Формула!Томсона}:
|
||||
$$\sigma_T=\frac{8\pi}{3}r_e^2=0.665\cdot10^{-28}\,\text{см}^2,$$
|
||||
где $r_e$~-- классический <<радиус>> электрона ($r_e=e^2/m_ec^2=2.82\cdot10^{-15}\,$м).
|
||||
Томсоновское рассеяние является когерентным. Однако, рассеяние квантов с б\'ольшими
|
||||
энергиями уже не может описываться формулой Томсона и является некогерентным.
|
||||
Вероятность комптоновского рассеяния на ядрах значительно ниже, т.к. в этом случае
|
||||
роль $r_e$ играет величина $Z^2e^2/M\ind{яд}c^2$.
|
||||
|
||||
При аннигиляции электрона и позитрона должны возникать по меньшей мере два
|
||||
$\gamma$-кванта (иначе нарушался бы закон сохранения импульса). Следовательно,
|
||||
свободно распространяющийся квант не может породить пару позитрон--электрон.
|
||||
Однако, рождение таких пар может происходить в электрическом поле ядра.
|
||||
Пары рождаются в околоядерной области толщиной порядка комптоновской длины
|
||||
волны электрона. Импульс отдачи воспринимается ядром, что обеспечивает ЗСИ.
|
||||
Для того, чтобы квант породил электрон--позитронную пару, его энергия должна
|
||||
быть больше энергий покоя этих частиц (порядка 1\,МэВ). Если же пара рождается
|
||||
при взаимодействии кванта с электроном, электрон получает энергию того же
|
||||
порядка, что и частица пары, поэтому в данном случае энергия кванта должна
|
||||
существенно превышать 1\,МэВ. В области от~2.5 до~25\,МэВ расчеты для эффективного
|
||||
сечения образования пары на атомном ядре приводят к выражению
|
||||
$$\sigma\ind{пар}\propto Z^2\ln(\hbar\omega/m_ec^2).$$
|
||||
При очень высоких энергиях $\sigma\ind{пар}\approx0.08Z^2r_e^2$ из-за экранирования
|
||||
заряда ядра электронами. Для квантов со сверхбольшими энергиями рождение пар
|
||||
становится единственным механизмом поглощения $\gamma$-излучения в веществе.
|
||||
\index{Взаимодействие!излучения с веществом|)textbf}
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Помимо перечисленных возможны и такие взаимодействия частиц или излучения с
|
||||
веществом как: упругие соударения с атомными ядрами, излучение Вавилова--Черенкова,
|
||||
аннигиляционные потери, ядерный фотоэффект (выбивание из ядер нуклонов),
|
||||
процесс рождения мюонных пар, электрон--позитронные ливни (при сверхбольших
|
||||
энергиях квантов или частиц), наведение радиоактивности.
|
||||
65
adddd/81.tex
Normal file
65
adddd/81.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,65 @@
|
||||
\subsection*{Принципы и методы ускорения заряженных частиц}
|
||||
\index{Ускоритель|(textbf}
|
||||
Ускоритель заряженных частиц~--- установка, служащая для ускорения заряженных
|
||||
частиц (элементарных частиц, ионов) до высоких энергий. Простейшее представление
|
||||
об ускорителе дает устройство электронно-лучевой трубки телевизора. Современные
|
||||
ускорители, подчас, являются огромными дорогостоящими комплексами, которые не может
|
||||
позволить себе даже крупное государство. Например, возводимый в настоящий момент
|
||||
Большой адронный коллайдер в ЦЕРНе, представляет собой кольцо периметром 27~км,
|
||||
потребляющее 120~МВт электроэнергии.
|
||||
|
||||
В основе работы ускорителя заложено взаимодействие заряженных частиц с
|
||||
ЭП и МП. ЭП способно напрямую совершать работу над частицей, то есть увеличивать
|
||||
ее энергию. МП же, создавая силу Лоренца, лишь отклоняет частицу, не изменяя ее
|
||||
энергии, и задает орбиту, по которой движутся частицы.
|
||||
|
||||
Ускорители можно принципиально разделить на две большие группы: линейные ускорители,
|
||||
где пучок частиц однократно проходит ускоряющие промежутки, и циклические ускорители,
|
||||
в которых пучки движутся по замкнутым кривым типа окружностей, проходя ускоряющие
|
||||
промежутки много раз. Можно также классифицировать ускорители по назначению: коллайдеры,
|
||||
источники нейтронов, бустеры, источники синхротронного излучения, установки для терапии
|
||||
рака, промышленные ускорители.
|
||||
|
||||
Идеологически наиболее простым является\ж линейный ускоритель\н. Высоковольтное
|
||||
ЭП создается т.н.\ж генератором
|
||||
Ван~де~Граафа\н\index{Генератор Ван~де~Граафа}, основанном на механическом переносе
|
||||
зарядов транспортерной лентой. Максимальные электрические напряжения~$\sim20\,$МВ
|
||||
определяют максимальную энергию частиц:~$\sim20\,$МэВ.
|
||||
|
||||
Идея\ж циклотрона\н\index{Циклотрон} проста. Между двумя полукруглыми полыми
|
||||
электродами, т.н. дуантами, приложено переменное электрическое напряжение. Дуанты
|
||||
помещены между полюсами электромагнита, создающего постоянное МП.
|
||||
Частица, вращаясь по окружности в магнитном поле, ускоряется на каждом обороте
|
||||
ЭП в щели между дуантами. Для этого необходимо, чтобы частота
|
||||
изменения полярности напряжения на дуантах была равна частоте обращения частицы.
|
||||
Иными словами, циклотрон является резонансным ускорителем. Понятно, что с увеличением
|
||||
энергии, на каждом обороте, радиус траектории частицы будет увеличиваться, пока
|
||||
она не выйдет за пределы дуантов. Энергия частиц~--- до 50\,МэВ на нуклон.
|
||||
|
||||
\bf Бетатрон\н~--- циклический ускоритель, в котором ускорение частиц осуществляется
|
||||
вихревым ЭП, индуцируемым изменением магнитного потока,
|
||||
охватываемого орбитой пучка. Поскольку для создания вихревого ЭП
|
||||
необходимо изменять МП сердечника, а МП в несверхпроводящих
|
||||
машинах обычно ограничены эффектами насыщения железа на уровне $\sim20\,$кГс,
|
||||
возникает ограничение сверху на максимальную энергию бетатрона. Бетатроны
|
||||
используются преимущественно для ускорения электронов до энергий $10\div100\,$МэВ
|
||||
(максимум достигнутой в бетатроне энергии~--- 300\,МэВ).
|
||||
|
||||
Принципиальное отличие\ж фазотрона\н\index{Фазотрон} от циклотрона~--- изменяемая в
|
||||
процессе ускорения частота ЭП. Это позволяет, за счет автофазировки,
|
||||
поднять максимальную энергию ускоряемых ионов по сравнению с предельным значением
|
||||
для циклотрона. Энергия в фазотронах достигает $600\div700\,$МэВ.
|
||||
|
||||
\bf Синхрофазотрон\н\index{Синхрофазотрон}~--- циклический ускоритель с постоянной
|
||||
длиной равновесной орбиты. Чтобы частицы в процессе ускорения оставались на той же
|
||||
орбите, изменяется как ведущее МП, так и частота ускоряющего
|
||||
ЭП. Большинство современных циклических ускорителей являются сильнофокусирующими
|
||||
синхрофазотронами. Для ультрарелятивистских электронов в процессе ускорения частота
|
||||
обращения практически не меняется, и используются\ж синхротроны\н\index{Синхротрон}~---
|
||||
циклические ускорители с постоянной длиной орбиты и постоянной частотой ускоряющего
|
||||
ЭП, но изменяющимся ведущим МП.
|
||||
|
||||
Кроме научных исследований, небольшие линейные ускорители электронов находят
|
||||
широкое применение в пищевой промышленности (для стерилизации продуктов питания)
|
||||
и медицине (лечение рака).
|
||||
\index{Ускоритель|)textbf}
|
||||
89
adddd/82.tex
Normal file
89
adddd/82.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,89 @@
|
||||
\subsection*{Методы детектирования частиц}
|
||||
\index{Детекторы|(textbf}
|
||||
\bf Камера Вильсона\н\index{Камера Вильсона}~--- один из первых в истории приборов для регистрации следов
|
||||
(треков) заряженных частиц.
|
||||
Принцип действия камеры использует явление конденсации перенасыщенного пара: при
|
||||
появлении в среде пара каких-либо центров конденсации (в частности, ионов,
|
||||
сопровождающих след быстрой заряженной частицы) на них образуются мелкие капли
|
||||
жидкости. Эти капли достигают значительных размеров и могут быть сфотографированы.
|
||||
Источник исследуемых частиц может располагаться либо внутри камеры, либо вне ее
|
||||
(в этом случае частицы залетают через прозрачное для них окно). Для исследования
|
||||
количественных характеристик частиц (например, массы и скорости) камеру помещают
|
||||
в МП, искривляющее треки.
|
||||
|
||||
Камера Вильсона сыграла огромную роль в изучении строения вещества. На протяжении
|
||||
нескольких десятилетий она оставалась практически единственным инструментом для
|
||||
визуального исследования ядерных излучений. Впоследствии камера Вильсона в качестве
|
||||
основного средства исследования радиации уступила место пузырьковым и искровым камерам.
|
||||
|
||||
\bf Пузырьковая камера\н\index{Пузырьковая камера} заполнена жидкостью, которая находится в состоянии,
|
||||
близком к вскипанию. При резком уменьшении давления жидкость становится перегретой.
|
||||
Если в данном состоянии в камеру попадет ионизирующая частица, то ее траектория
|
||||
будет отмечена цепочкой пузырьков пара и может быть сфотографирована.
|
||||
|
||||
В качестве рабочей жидкости наиболее часто применяют жидкие водород и дейтерий
|
||||
(криогенные пузырьковые камеры), а также пропан, различные фреоны, ксенон, смесь
|
||||
ксенона с пропаном (тяжеложидкостные пузырьковые камеры).
|
||||
Перегрев жидкости достигается за счет быстрого понижения давления до значения,
|
||||
при котором температура жидкости оказывается выше температуры кипения.
|
||||
Понижение давления осуществляется за время $\sim5\div15\,$мс перемещением поршня
|
||||
либо сбросом внешнего давления из объема, ограниченного гибкой мембраной.
|
||||
|
||||
Частицы впускаются в камеру в момент ее максимальной чувствительности. Спустя
|
||||
некоторое время, необходимое для достижения пузырьками достаточно больших размеров,
|
||||
камера освещается и следы фотографируются (стереофотосъемка с помощью 2--4 объективов).
|
||||
После фотографирования давление поднимается до прежней величины, пузырьки исчезают,
|
||||
и камера снова оказывается готовой к действию. Весь цикл работы составляет
|
||||
величину менее 1\,с, время чувствительности~$\sim10\div40\,$мс.
|
||||
|
||||
Пузырьковые камеры (кроме ксеноновых) размещаются в сильных магнитных полях. Это
|
||||
позволяет определить импульсы заряженных частиц по измерению радиусов кривизны их
|
||||
траекторий.
|
||||
|
||||
Пузырьковые камеры, как правило, используются для регистрации актов взаимодействия
|
||||
частиц высоких энергий с ядрами рабочей жидкости или актов распада частиц.
|
||||
В первом случае рабочая жидкость исполняет роли и регистрирующей среды,
|
||||
и среды-мишени.
|
||||
Основное преимущество пузырьковой камеры~--- изотропная пространственная
|
||||
чувствительность к регистрации частиц и высокая точность измерения их импульсов.
|
||||
Недостаток пузырьковой камеры~--- слабая управляемость, необходимая для отбора
|
||||
нужных актов взаимодействия частиц или их распада.
|
||||
|
||||
\bf Сцинтилляторы\н\index{Сцинтиллятор}~--- вещества, обладающие способностью
|
||||
излучать свет при поглощении ионизирующего излучения. Как правило, излучаемое
|
||||
количество фотонов для данного типа излучения приближенно пропорционально
|
||||
поглощенной энергии, что позволяет получать энергетические спектры излучения.
|
||||
Сцинтилляционные детекторы ядерных излучений~--- основное применение сцинтилляторов.
|
||||
В сцинтилляционном детекторе свет, излученный при сцинтилляции, собирается на
|
||||
фотоприемнике, преобразуется в импульс тока, усиливается и записывается той или
|
||||
иной регистрирующей системой.
|
||||
|
||||
Даже при поглощении частиц с одинаковой энергией амплитуда импульса на выходе
|
||||
фотоприемника сцинтилляционного детектора меняется от события к событию. Это связано
|
||||
со статистическим характером процессов сбора фотонов на фотоприемнике и последующего
|
||||
усиления; с различной вероятностью доставки фотона к фотоприемнику из разных точек
|
||||
сцинтиллятора; с разбросом высвечиваемого числа фотонов. В результате, в набранном
|
||||
спектре линия (которая для идеального детектора представляла бы дельта-функцию)
|
||||
оказывается размытой, ее можно представить в виде гауссианы с дисперсией~$\sigma$.
|
||||
В качестве характеристики энергетического разрешения детектора используется полная
|
||||
ширина линии на половине высоты (FWHM), отнесенная к медиане линии и выраженная
|
||||
в процентах. FWHM в 2,355 раза больше дисперсии гауссианы. Поскольку энергетическое
|
||||
разрешение зависит от энергии (как правило, оно пропорционально $E^{-1/2}$), его
|
||||
следует указывать для конкретной энергии. Чаще всего разрешение указывают для
|
||||
энергии гамма-линии цезия-137 (661~кэВ).
|
||||
|
||||
\bf Счетчик Гейгера--Мюллера\н\index{Счетчик Гейгера--Мюллера}~--- газоразрядный
|
||||
прибор для подсче та числа попавших в него ионизирующих частиц. Представляет собой
|
||||
газонаполненный конденсатор, пробивающийся при пролете ионизирующей частицы через
|
||||
объем газа.
|
||||
Дополнительная электронная схема обеспечивает счетчик питанием (как правило, не
|
||||
менее 300\,В), обеспечивает, при необходимости, гашение разряда и подсчитывает
|
||||
количество разрядов.
|
||||
|
||||
Счетчики Гейгера разделяются на несамогасящиеся и самогасящиеся (не требующие
|
||||
внешней схемы прекращения разряда).
|
||||
Чувствительность счетчика определяется составом газа, его объемом и материалом
|
||||
(и толщиной) его стенок.
|
||||
В бытовых дозиметрах и радиометрах производства СССР и России обычно применяются
|
||||
400-вольтовые счетчики.
|
||||
\index{Детекторы|)textbf}
|
||||
Reference in New Issue
Block a user