mirror of
https://github.com/eddyem/phisics_gak.git
synced 2025-12-06 02:25:13 +03:00
33 lines
1.7 KiB
TeX
33 lines
1.7 KiB
TeX
\subsection*{Уравнение Гамильтона--Якоби}
|
||
\index{Уравнение!Гамильтона--Якоби|(textbf}
|
||
Положим в выражении~\eqref{MinAction} $\delta q(t_1)=0$, а $\delta q(t_2)=\delta q$.
|
||
Заменив $\delta L/\delta\dot q=p$, получим (т.к. траектории удовлетворяют
|
||
уравнению Лагранжа): $dS=\sum p_i\,\delta q_i$.
|
||
|
||
Из определения действия, $dS/dt=L$. Расписав полную производную действия по времени,
|
||
получим:
|
||
$$\partder{S}{t}=L-\sum_i p_i\dot q_i=-H,\quad\text{либо}\quad
|
||
dS=\sum_ip_i\,dq_i-H\,dt.$$
|
||
|
||
Если заменить в функции Гамильтона импульсы производными $\delta S/\delta q$,
|
||
получим уравнение
|
||
$$\partder{S}{t}+H(q;\partder{S}{q};t)=0,$$
|
||
которому должна удовлетворять функция $S(q;t)$. Это уравнение называется\ж
|
||
уравнением Гамильтона--Якоби\н. Решение уравнения для системы с~$s$ степенями
|
||
свободы содержит $s+1$ произвольных постоянных, при этом, т.к. $S$ входит
|
||
в уравнение только через свои производные, одна из произвольных постоянных
|
||
содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл
|
||
Гамильтона--Якоби имеет вид
|
||
$$S=f(t;q_1,\ldots,q_s;\C_1,\ldots,\C_s)+\const.$$
|
||
|
||
Из найденного решения уравнения Гамильтона--Якоби можно, составив $s$~равенств
|
||
$\delta S/\delta\C_i=\alpha_i$, найти вид функций $q_i=q_i(t,\C_i,\alpha_i)$.
|
||
Из уравнений $p_i=\delta S/\delta q_i$ найдем значения функций~$p_i$.
|
||
|
||
Метод решения задач механики при помощи уравнения Гамильтона--Якоби имеет важную
|
||
роль в оптике и квантовой механике. В частности,\ж уравнение
|
||
эйконала\н\index{Уравнение!эйконала}, известное в геометрической оптике, можно
|
||
рассматривать как аналог уравнения Гамильтона--Якоби. Роль эйконала (поверхности
|
||
движущихся волн) играют поверхности $S(q_i)=\const$, а роль световых лучей~---
|
||
ортогональные к этим поверхностям траектории движения.
|
||
\index{Уравнение!Гамильтона--Якоби|)textbf} |