mirror of
https://github.com/eddyem/phisics_gak.git
synced 2025-12-06 02:25:13 +03:00
68 lines
3.4 KiB
TeX
68 lines
3.4 KiB
TeX
\subsection*{Нестационарная теория возмущений}
|
||
\index{Теория!возмущений!нестационарная|(textbf}
|
||
Нестационарная теория возмущений применяется в случае, когда возмущения зависят
|
||
от времени. В этом случае теория возмущений основывается на методе вариации
|
||
постоянных, так же как и в классической механике. Задача состоит в решении уШ
|
||
$$i\hbar\partder{\psi(t)}{t}=(H_0+U(t))\psi(t)$$
|
||
при условии, что в начальный момент система находилась в одном из стационарных
|
||
состояний $\psi^{(0)}_n\exp(-\frac{i}{\hbar}E_n^{(0)}t)$ невозмущенного
|
||
гамильтониана~$H_0$.
|
||
|
||
Решение ищется в виде ряда
|
||
$$\psi(t)=\sum_mC_{mn}(t)\psi^{(0)}_m\exp(-\frac{i}{\hbar}E_m^{(0)}t),$$
|
||
в котором зависимость коэффициентов от времени возникает только благодаря
|
||
возмущению:
|
||
\begin{equation}
|
||
i\hbar\frac{dC_{mn}}{dt}=\sum_k U_{mk}(t)C_{kn}(t),
|
||
\label{VozmTheor}
|
||
\end{equation}
|
||
где $U_{mk}$~-- собственные значения функции возмущений,
|
||
$C_{mn}(-\infty)=\delta_{mn}$.
|
||
|
||
Если возмущение содержит только одну гармонику ($U(t)=V\exp(-i\omega t)$),
|
||
вероятность перехода из состояния~$n$ при $t=-\infty$ в~$m$ при $t=\infty$
|
||
определяется выражением
|
||
$$\lim_{t\to\infty}\frac{d}{dt}|C_{mn}(t)|^2=
|
||
\frac{2\pi}{\hbar}|V_{mn}|^2\delta(E_m^{(0)}-E_n^{(0)}).$$
|
||
Т.о., за бесконечный промежуток времени переход произойдет с сохранением энергии.
|
||
Для вероятности перехода в единицу времени получим:
|
||
$$w_{mn}=\frac{2\pi}{\hbar}|V_{mn}|^2\rho(E_n^{(0)}),$$
|
||
где $\rho$~-- плотность уровней энергии.
|
||
|
||
В квантовой теории поля $C(t)\equiv S(t,-\infty)$, т.е. является матрицей
|
||
рассеяния. Уравнение~\eqref{VozmTheor} удобно записать в операторной форме:
|
||
$$i\hbar\dot S(t,-\infty)=U(t)S(t,-\infty).$$
|
||
Релятивистски инвариантное выражение для матрицы рассеяния можно воспроизвести
|
||
в виде суммы диаграмм Фейнмана. Однако, уже во втором порядке по возмущениям
|
||
в матрице рассеяния появляется расходимость. Для ее преодоления применяется
|
||
процедура перенормировок.
|
||
\index{Теория!возмущений!нестационарная|)textbf}
|
||
|
||
\subsection*{Золотое правило Ферми}
|
||
\index{Золотое правило Ферми|(textbf}
|
||
В квантовой физике, золотое правило Ферми позволяет вычислить вероятность перехода
|
||
между двумя состояниями квантовой системы, используя нестационарную теорию возмущений.
|
||
Хотя правило названо в честь Энрико Ферми, но большинство работы, приводящей к
|
||
Золотому правилу было сделано Дираком.
|
||
|
||
Предположим, что система находится первоначально в состоянии~$\ket{i}$ с
|
||
гамильтонианом~$H_0$. Рассмотрим влияние независимого от времени гамильтониана
|
||
возмущения~$H'$.
|
||
|
||
Вероятность перехода из одного состояния в несколько состояний в единицу времени,
|
||
например, из состояния~$\ket{i}$ в набор состояний~$\ket{f}$, дается в первом порядке
|
||
теории возмущений:
|
||
$$T_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}\bigl|\bra{f}H'\ket{i}\bigr|^2\rho,$$
|
||
где $\rho$ является плотностью конечных состояний, и $\bra{f}H'\ket{i}$~--
|
||
матричный элемент (в бра--кет нотации) возмущения, $H'$, между конечным и начальным
|
||
состояниями.
|
||
|
||
Золотое правило Ферми верно, когда $H'$ независим от времени, $\ket{i}$~--- состояние
|
||
невозмущенного гамильтониана, состояния $\ket{f}$ формируют непрерывный спектр, и
|
||
начальное состояние не было значительно обеднено (например, если рассеяние
|
||
произошло в конечное состояние).
|
||
|
||
Самый общий способ получить уравнение состоит в том, чтобы воспользоваться
|
||
нестационарной теорией возмущения и взять предел для поглощения согласно предположению,
|
||
что время измерения является намного б\'ольшим, чем время, необходимое для перехода.
|
||
\index{Золотое правило Ферми|)textbf} |