phisics_gak/adddd/31.tex

\subsection*{Кинетическое уравнение Больцмана}
\index{Кинетическое уравнение Больцмана|(textbf}
Кинетическое уравнение Больцмана~(КуБ)~--- интегродифференциальное уравнение, которому
удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из
большого числа частиц (например, функция распределения молекулы по скоростям).

КуБ представляет собой уравнение баланса числа частиц в элементе фазового объема
$d\vec v\,d\vec r$ и выражает тот факт, что изменение функции распределения
частиц, $f(\vec v,\vec r,t)$, со временем происходит вследствие движения частиц
под действием внешних сил и столкновений между ними.

Для газа, состоящего из частиц одного сорта, КуБ имеет вид:
$$\partder{f}{t}+\vec v\partder{f}{\vec r}+\rev{m}\vec F\partder{f}{\vec v}=
\Bigl(\partder{f}{t}\Bigr)_\text{ст},$$
где $\vec F=\vec F(\vec r,t)$~-- сила, действующая на частицу (может зависеть
и от скорости), $(\delta f/\delta t)_\text{ст}$~-- изменение функции распределения
вследствие столкновений.

КуБ учитывает только парные столкновения молекул, оно справедливо при условии,
что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области,
в которой происходят столкновения. Если система находится в статистическом
равновесии, интеграл столкновений обращается в нуль, и решением уравнения
является распределение Максвелла.

При более строгом подходе для построения КуБ исходят из уравнения Лиувилля, из
которого получают цепочку уравнений Боголюбова.
Решение КуБ позволяет получить макроскопические уравнения для процессов переноса.

КуБ можно применять и для квантовых газов. В этом случае вид функции распределения
определяется видом статистики, которой подчиняется данный газ.
\index{Кинетическое уравнение Больцмана|)textbf}

\subsection*{Понятие об Н--теореме}
\index{Н--теорема|(textbf}
Н--теорема Больцмана~--- одно из важных положений в кинетической теории газов,
согласно которому\к для изолированной системы в неравновесном состоянии существует
Н--функция Больцмана, зависящая от функции распределения частиц по скоростям и
координатам и монотонно убывающая со временем\н. Н--функция равна энтропии газа,
деленной на постоянную Больцмана, следовательно, Н--теорема выражает закон
возрастания энтропии для изолированной системы.

Для газа Н--функция равна:
$$H=\Int h(\vec r,t)\,d\vec r=\iint f(\vec v,\vec r,t)
\ln f(\vec v,\vec r,t)\,d\vec v\,d\vec r,$$
где $f(\vec v,\vec r,t)$~-- функция распределения частиц, удовлетворяющая
КуБ, $h(\vec r,t)$~-- пространственная плотность Н--функции (локальная плотность
энтропии с обратным знаком). Скорость изменения Н--функции со временем равна
$$\partder{H}{t}=\iint (1+\ln f)\partder{f}{t}\,d\vec v\,d\vec r.$$
Согласно Н--теореме, для изолированной системы $\delta H/\delta t\le0$, что следует
из выражения для скорости изменения Н--функции, если в него подставить~$f$ из
КуБ и симметризовать выражение относительно функций распределения сталкивающихся
частиц при прямом и обратном соударении. В общем случае для вывода Н--теоремы
необходимо использовать принцип детального равновесия.

В пространственно-неоднородных ограниченных системах необходимы ГУ для функции
распределения на границе системы. В этом случае справедливо\к уравнение баланса
энтропии\н:
$$\partder{h}{t}-\diver\vec S=G\le0,$$
где $\vec S$~-- плотность потока энтропии, $G$~--\ж локальное производство\н
энтропии с обратным знаком. Таким образом, Н--теорема есть следствие положительности
производства энтропии в неравновесной термодинамике (в изолированной же системе
суммарный поток энтропии через границу равен нулю).

Убывание Н--функции (рост энтропии) соответствует возрастанию хаоса в системе, что
связано с неустойчивостью фазовых траекторий многих механических систем относительно
изменения НУ: малые изменения НУ приводят к большим отклонениям фазовых траекторий.
Для макроскопических систем в обычных условиях этот эффект не наблюдается, т.к.
макроскопическое наблюдение подразумевает некоторое сглаживание (определяется
значительно меньшее число параметров системы, чем число механических НУ).
\index{Н--теорема|)textbf}