add 2nd additional lecture 4 SFedU

Komp_obr_SFedU/additional/01.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 \usepackage{lect}
 
 \title[ïÂÒÁÂÏÔËÁ FITS-ÆÁÊÌÏ×. ìÅËÃÉÉÑ 1.]{ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÞÅÓËÉÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ}
-\subtitle{Получение изображений на ПЗС, базовые манипуляции. Фотометрия. Астрометрия.}
+\subtitle{Получение изображений на ПЗС, базовые манипуляции. }
 \date{}
 
 \def\e{{\overline{e}}}
@@ -287,133 +287,6 @@ $R=G\cdot\sqrt{b}$.
 \end{block}
 \end{frame}
 
-\section{Фотометрия}
-\begin{frame}{Фотометрия}
-\begin{columns}
-\column{0.45\textwidth}
-\begin{block}{Принципы фотометрии}
-Распределение света от звезды между пикселями неоднородное, зашумленное.
-Для измерения полного потока от звезды, необходимо:
-\begin{itemize}
-\item определить положение звезды на изображении;
-\item при помощи маски выбрать те пиксели, которые принадлежат изображению именно этой звезды;
-\item просуммировать сигнал за вычетом фона.
-\end{itemize}
-\end{block}
-\column{0.45\textwidth}
-\begin{block}{Центроид}
-$$\mean{x}=\frac{\sum x_i I_i}{\sum I_i},\quad \mean{y}=\frac{\sum y_i I_i}{\sum I_i}, \quad
-I_i = S_i - B.$$
-\end{block}
-\end{columns}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{block}{Апертурная фотометрия}
-Проблема: определить радиусы апертур (звезды и фона).
-\end{block}
-\img[0.9]{apert}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{columns}
-\column{0.45\textwidth}
-\img{starphotom}
-\column{0.52\textwidth}
-\begin{block}{Модель апертурной фотометрии}
-Параметры звезды: уровень сигнала, координаты центра, полуширина.
-
-Параметры фона: средний уровень сигнала, $B$.
-
-Параметры светоприемника: квантовая эффективность, шумы.
-
-Радиусы апертур: $r_1$, $r_2$, $r_3$.
-\end{block}
-\end{columns}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{block}{Основные выражения}
-$S = F+B+Q+E$, где $S$~-- накопленный сигнал, $F$~-- сигнал от звезды, $B$~-- фон, $Q$~-- темновой
-ток, $E$~-- bias.
-
-Суммарный сигнал от звезды: $F_\Sigma = \sum F_i=\sum(S_i-[B_i+Q_i+E_i])$.
-
-Шум: $\sigma^2=F_\Sigma + N(\mean{B}+\mean{Q}+\sigma^2_{RO})+\sigma^2_{sky}$, $N$~-- количество
-пикселей маски звезды, $\sigma^2_{RO}$~-- шум считывания. Первый член отражает зависимость
-пуассоновского шума от уровня сигнала. $\sigma^2_{sky}=N(\mean{B}+\mean{Q}+\sigma^2_{RO})/N_{sky}$,
-$N_{sky}$~-- количество пикселей в маске фона.
-
-$\mathrm{SNR}=F_\Sigma/\sigma$. Чем слабее звезда, чем больше уровень фона, чем больше~$N$ и
-меньше~$N_{sky}$, тем худшим будет SNR.
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}
-\begin{columns}
-\column{0.57\textwidth}
-\img{starprofile}
-\column{0.4\textwidth}
-\begin{block}{Профили звезд}
-Средний по изображению профиль позволяет оценить радиусы апертур. Также поможет при апертурной
-коррекции.
-
-Ошибка определения звездной величины: $\sigma_m=1.0857/\mathrm{SNR}$.
-\end{block}
-\end{columns}
-\end{frame}
-
-\section{Астрометрия}
-\begin{frame}{Астрометрия}
-\begin{columns}
-\column{0.57\textwidth}
-\img{diffastrometry}
-\column{0.4\textwidth}
-\begin{block}{}
-Астрометрия позволяет измерить точные координаты звезд на небе, а также определить их параллаксы и
-собственные движения. Первый каталог~--- Гиппарх, точность не выше~$1\degr$. Микросекундной
-точности достиг запущенный в 1989\,г. космический телескоп HIPPARCOS.
-
-Точность GAIA~--- $0.00002''$ ($20\mu as$)~--- толщина человеческого волоса с расстояния в 1000\,км!
-\end{block}
-\end{columns}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{}
-\begin{block}{Каталоги}
-\begin{enumerate}
-\item \textbf{HIPPARCOS}~--- звезды до $m_V=7.3^m$, точность астрометрии до $1\div3\,$mas.
-\item \textbf{TYCHO-2}~--- до $m_V=11^m$, точность $10\div100\,$mas.
-\item \textbf{USNO B 1.0}~--- до $m_V=21^m$, фотометрический каталог с точностью до $0^m.3$.
-\item \textbf{2MASS}~--- 470~миллионов объектов, точность до $70\,$mas.
-\item \textbf{SDSS}~--- фотометрический каталог четверти неба в пяти фильтрах, 287~миллионов
-объектов.
-\end{enumerate}
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{}
-\vspace*{-1em}
-\begin{columns}
-\column{0.5\textwidth}
-\img{WCSfits}
-\column{0.48\textwidth}
-\begin{block}{WCS}
-WCS~--- World Coordinate System. ICRS~--- International Celestial Reference System (привязка к
-барицентру Солнечной системы).
-Ключевые слова WCS в FITS--шапке позволяют осуществить однозначную привязку пиксельных координат к
-мировым (и обратно). Для линейных преобразований: \textbf{CTYPEi}~-- тип оси, \textbf{CRPIXi}~--
-опорный пиксель (в пиксельных координатах), \textbf{CRVALi}~-- значение мировых координат в этом
-пикселе (1~-- $\alpha$, 2~-- $\delta$), \textbf{CDi\_j}~-- матрица коэффициентов, описывающих
-поворот осей и масштаб, \textbf{CUNITi}~-- единицы измерения по данной оси.
-\end{block}
-\end{columns}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{astrometry.net}
-\img[0.6]{astrometrynet}
-\end{frame}
-
 \begin{frame}{óÐÁÓÉÂÏ ÚÁ ×ÎÉÍÁÎÉÅ!}
 \centering
 \begin{minipage}{5cm}

Komp_obr_SFedU/additional/02.tex

@@ -0,0 +1,463 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref,aspectratio=169]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{lect}
+\usepackage{xspace}
+
+\title[Обработка FITS-файлов. Лекциия 2.]{Компьютерная обработка астрономических изображений}
+\subtitle{Фотометрия. Астрометрия. }
+\date{}
+
+\def\e{{\overline{e}}}
+\def\SNR{\ensuremath{\mathrm{SNR}}\xspace}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}{}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}{}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{Фотометрия}
+\begin{frame}{Фотометрия}
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{Принципы фотометрии}
+Распределение света от звезды между пикселями неоднородное, зашумленное.
+Для измерения полного потока от звезды, необходимо:
+\begin{itemize}
+\item определить положение звезды на изображении;
+\item при помощи маски выбрать те пиксели, которые принадлежат изображению именно этой звезды;
+\item просуммировать сигнал за вычетом фона.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{Центроид}
+$$\mean{x}=\frac{\sum x_i I_i}{\sum I_i},\quad \mean{y}=\frac{\sum y_i I_i}{\sum I_i}, \quad
+I_i = S_i - B.$$
+
+Задача детектирования звезд на изображении. Простейший способ построения маски бинаризацией по
+порогу в общем случае не годится. Дифференциальные методы: лапласиан гауссианы и т.п.
+Морфологические операции\dots
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\subsection{Апертурная фотометрия}
+\begin{frame}
+\begin{block}{Апертурная фотометрия}
+Проблема: определить радиусы апертур (звезды и фона).
+\end{block}
+\img[0.9]{apert}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}
+%\vspace*{-1em}
+\begin{block}{Коррекция апертуры}
+    Почему изображение яркой звезды шире: несмотря на совершенно одинаковую PSF у обеих
+    звезд, при сечении одинаковым порогом яркая звезда всегда <<больше>>. Увеличение апертуры \Arr
+    увеличение шумов, необходимо использовать как можно меньшую апертуру.
+    $$\Delta_N^{bright} = m(N\cdot \FWHM) - m(1\cdot\FWHM)\quad\Arr\quad
+    m^{faint} = m(1\cdot\FWHM) + \Delta_N^{bright},$$
+    $m(x)$~-- звездная величина на апертуре~$x$.
+\end{block}\vspace*{-1em}
+\img[0.45]{fwhm}
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}
+\only<1>{
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\img{starphotom}
+\column{0.52\textwidth}
+\begin{block}{Модель апертурной фотометрии}
+Параметры звезды: уровень сигнала, координаты центра, полуширина.
+
+Параметры фона: средний уровень сигнала, $B$.
+
+Параметры светоприемника: квантовая эффективность, шумы.
+
+Радиусы апертур: $r_1$, $r_2$, $r_3$.
+
+$$m = \C -2.5\lg(N_{star}-N_{sky}).$$
+
+Наиболее оптимальным вариантом будет выбрать $2\cdot r_1$~равным средней по изображению FWHM звезд.
+В  любом случае, потребуется апертурная коррекция результатов.
+\end{block}
+\end{columns}
+}\only<2>{
+\begin{columns}
+\column{0.33\textwidth}
+\img{photcurves}
+\column{0.62\textwidth}
+\begin{block}{}
+PASP, 1989 Steve B.~Howell: <<Two-dimensional aperture photometry: signal-to-noise ratio of
+point-source observations and optimal data-extraction techniques>>.
+
+Масштаб: $0.4''/$пиксель.
+Звездные (инструментальные) величины: 14.2 (квадрат), 14.5 (треугольник), 16.1 (пустой квадрат). По
+б) видно, что у слабой звезды плохо выраженные крылья, что резко уменьшает точность при увеличении
+апертуры. Наибольшие \SNR и точность достигаются при радиусе апертуры примерно равном FWHM/2.
+\end{block}
+\end{columns}
+}\only<3>{\vspace*{-1em}
+\begin{columns}
+\column{0.37\textwidth}
+\img{growth_curves}
+\column{0.55\textwidth}
+\begin{block}{Кривые роста}
+Позволяют определить оптимальный радиус. На а) по вертикали отложена сумма сигнала в данной
+апертуре, деленная на ее площадь. Как только сигнал сравнивается с фоном, кривая идет вниз.
+На б) эти же величины в логарифмической шкале.
+
+По интегральной кривой роста (не нормированной на количество пикселей) можно определить вид
+наиболее подходящей аппроксимирующей функции. Например, интегральные функции для одномерной
+гауссианы и моффата:
+$$G(r)= 1 - \exp \Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\Bigr),\quad \textrm{FWHM}=2\sigma\sqrt{2\ln2};$$
+$$M(r)= 1 - \Bigl(1+\frac{r^2}{\alpha^2}\Bigr)^{1-\beta},\quad \textrm{FWHM}=2\alpha
+\sqrt{2^{1/\beta}-1}.$$
+\end{block}
+\end{columns}
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{block}{Основные выражения}
+$S = F+B+Q+E$, где $S$~-- накопленный сигнал, $F$~-- сигнал от звезды, $B$~-- фон, $Q$~-- темновой
+ток, $E$~-- bias.
+
+Суммарный сигнал от звезды: $F_\Sigma = \sum F_i=\sum(S_i-[B_i+Q_i+E_i])$.
+
+Шум: $\sigma^2=F_\Sigma + N(\mean{B}+\mean{Q}+\sigma^2_{RO})+\sigma^2_{sky}$, $N$~-- количество
+пикселей маски звезды, $\sigma^2_{RO}$~-- шум считывания. Первый член отражает зависимость
+пуассонова шума от уровня сигнала. $\sigma^2_{sky}=N(\mean{B}+\mean{Q}+\sigma^2_{RO})/N_{sky}$,
+$N_{sky}$~-- количество пикселей в маске фона.
+
+$\SNR=F_\Sigma/\sigma$. Чем слабее звезда, чем больше уровень фона, чем больше~$N$ и
+меньше~$N_{sky}$, тем худшим будет \SNR.
+
+\vskip6pt
+
+Крайние случаи: <<source limited>> и <<detector limited>>. SL: доминирует пуассонов шум
+фотонов, т.е. $\SNR\approx N_\star/\sqrt{N_\star}=\sqrt{N_\star}\propto\sqrt{t_{exp}}$.
+DL: доминирует шум считывания светоприемника $\SNR\approx N_\star/\sqrt{N\sigma^2_{RO}}\propto
+N_\star\propto t_{exp}$.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\only<1>{
+\begin{columns}
+\column{0.57\textwidth}
+\img{starprofile}
+\column{0.4\textwidth}
+\begin{block}{Профили звезд}
+Средний по изображению профиль позволяет оценить радиусы апертур. Также поможет при апертурной
+коррекции.
+
+Ошибка определения звездной величины: $\sigma_m=1.0857/\SNR$.
+\end{block}
+\end{columns}}
+\only<2>{
+\begin{columns}\column{0.6\textwidth}
+\img[0.9]{Z1000frame}
+\column{0.35\textwidth}
+\begin{block}{}
+Кадр с фотометра-поляриметра MMPP, Zeiss-1000, САО РАН.
+\end{block}
+\end{columns}
+}
+\end{frame}
+
+\subsection{PSF--фотометрия}
+\begin{frame}{PSF--фотометрия (ФРТ)}
+\only<1>{\vspace*{-1em}
+\begin{columns}\column{0.6\textwidth}
+\img[0.9]{roboframe}
+\column{0.35\textwidth}
+\begin{block}{}
+0.5-метровый телескоп Astrosib, фокус Ньютона, САО РАН. Поле примерно $1.5\degr\times1.5\degr$.
+\end{block}
+\end{columns}
+}
+\only<2>{
+\vspace*{-1em}
+\img{roboframepart}\vspace*{-1em}
+\begin{block}{}
+В тесных звездных полях невозможно простейшим способом выделить круговую апертуру фона около
+звезды. Вариант 1: по маске исключить звезды и (например, аппроксимацией B-сплайнами) точно
+выделить фон. Вариант 2: использовать PSF-фотометрию (осложняется на широких полях, т.к. PSF сильно
+меняется по полю).
+\end{block}
+}\only<3>{
+\begin{block}{}
+    Аппроксимация изображений звезд одной из функций фитирования. В общем случае для ускорения
+    задачи
+    необходимо ограничить количество степеней свободы (например, заданием областей положения
+    максимумов), особенно если звезд в кадре тысячи или даже десятки тысяч.
+\end{block}
+\img[0.85]{fitting}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\begin{columns}\column{0.6\textwidth}
+\img{airy}
+\column{0.4\textwidth}
+\begin{block}{}
+Диск Эйри~--- идеальная ФРТ вне атмосферы.
+Эйри (сплошная) и гауссиана (пунктир).
+\end{block}
+\begin{light}\img{Airy_vs_gaus}\end{light}
+\end{columns}
+}\only<2>{
+\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
+\img{moffat}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{}
+Спеклы. Распределения Гаусса (малые телескопы) и Моффата (большие)~--- близкие к идеальной ФРТ на
+наземных телескопах.
+
+$$G(x,y) = \C\e^{-g},\quad g=\frac{(x-x_0)^2}{2\sigma^2_x}+\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2_y}.$$
+$$M(x,y) = \C\left(1+\frac{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}{\alpha^2}\right)^\beta,$$
+$\alpha>0$~-- масштаб, $\beta>1$~-- форма.
+
+Проблема: аберрации, вариация ФРТ по кадру.
+\end{block}
+\end{columns}
+}
+\end{frame}
+
+\subsection{Дифференциальная фотометрия}
+\begin{frame}{}
+Дифференциальная фотометрия
+\img[0.75]{difff}
+\end{frame}
+
+\subsection{Абсолютная фотометрия}
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\begin{block}{Абсолютная фотометрия}
+Если в кадре нет стандартов:
+\begin{itemize}
+\item провести как можно больше измерений различных стандартов в нужных фильтрах;
+\item диапазон воздушных масс стандартов должен перекрывать диапазон воздушных масс объектов;
+\item цвета стандартов не должны сильно отличаться от цветов объектов;
+\item по проведенным наблюдениям стандартов необходимо получить коэффициенты уравнений
+преобразования от инструментальных величин к стандартным;
+\item используя уравнения преобразований, преобразовать инструментальные величины объектов к
+стандартным.
+
+\vskip8pt
+
+Измерения стандартов необходимо производить с наибольшим \SNR. Пусть фон неба~--- 100~фотонов на
+пиксель в секунду. $\sigma_{sky}=\sqrt{100}=10$. Если мы измеряем объект $N_\star=10$~ф/п/с, то
+$\SNR=1$, т.е. наши измерения имеют уровень в~$1\sigma$. При $N_\star=100$~ф/п/с $\SNR=10$, уровень
+измерений~--- $10\sigma$, что достаточно хорошо для научных измерений, но еще недостаточно для
+измерений стандартов (для них \SNR около тысячи и выше).
+\end{itemize}
+\end{block}
+}\only<2>{
+\begin{block}{Уравнения преобразований}
+Пусть $B,V,R,I$~--- звездные величины стандартов, $b,v,r,i$~--- инструментальные, $X$~--- воздушная
+масса. Тогда получим наборы коэффициентов преобразования цветов, $T$; коэффициентов атмосферной
+экстинкции, $K$; нуль-пунктов, $Z$. Например, для цветов:
+$$B-V = (b-v)T_{bv} + K_{bv}X + Z_{bv},$$
+$$V-R = (v-r)T_{vr} + K_{vr}X + Z_{vr},$$
+$$R-I = (r-i)T_{ri} + K_{ri}X + Z_{ri}\ldots$$
+Для полос:
+$$B = bT_b + K_bX + Z_b,$$
+$$V = vT_v + K_vX + Z_v \ldots$$
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\section{Астрометрия}
+\subsection{SExtractor}
+\begin{frame}[fragile]{SExtractor}
+SExtractor (Source-Extractor)\footnote{\url{https://sextractor.readthedocs.io/}}~--- утилита поиска
+объектов на астрономическом изображении (Emmanuel Bertin). Позволяет
+выявлять звездоподобные и протяженные объекты, проводить простую фотометрию. Работает с умеренно
+переполненными полями. Синтаксис:
+\begin{verbatim}
+sex Image1 [Image2] -c configuration-file [-Parameter1 Value1 -Parameter2 Value2 ...]
+\end{verbatim}
+Конфигурация по умолчанию: \verb'sex -d > default.sex' (или \t{dd} для более интенсивного дампа).
+Простая команда \t{sex} выведет краткую (очень) справку.
+
+Измерения: барицентры по изофотам, апертурная фотометрия, аппроксимация модельной функции для
+поиска источников.
+
+Обязательно к прочтению: <<Source Extractor for Dummies>> by Dr.~Benne W.~Holverda.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\vspace*{-1em}
+\img{sexalgo}
+\column{0.5\textwidth}
+\begin{block}{Алгоритм}
+\begin{itemize}
+\item Измерение фона и его RMS.
+\item Извлечение фона.
+\item Применение заданных фильтров.
+\item Поиск объектов (по порогу).
+\item Разделение <<слившихся>> объектов.
+\item Измерение их форм и положений.
+\item Выделение индивидуальных объектов.
+\item Фотометрия.
+\item Классификация (звезда или нет?).
+\item Формирование выходных файлов.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\subsection{Астрометрия}
+\begin{frame}{Астрометрия}
+\begin{columns}
+\column{0.57\textwidth}
+\img{diffastrometry}
+\column{0.4\textwidth}
+\begin{block}{}
+Астрометрия позволяет измерить точные координаты звезд на небе, а также определить их параллаксы и
+собственные движения. Первый каталог~--- Иппарх, точность не выше~$1\degr$.
+XVI~век~--- Тихо Браге, $1'$. XVII~век~-- точность в единицы секунд в очень малом поле.
+Параллаксы до Бесселя~--- 0!
+Микросекундной точности достиг запущенный в 1989\,г. космический телескоп HIPPARCOS.
+
+Точность GAIA~--- $0.00002''$ ($20\mu as$)~--- толщина человеческого волоса с расстояния в 1000\,км!
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{Каталоги}
+\begin{enumerate}
+\item \textbf{HIPPARCOS}~--- звезды до $m_V=7.3^m$, точность астрометрии до $1\div3\,$mas
+(J1991.25). Полосы B и~V для 188~тыс звезд.  Собственные движения (PM) $\sim1\div2\,$mas/y.
+\item \textbf{TYCHO-2}~--- до $m_V=11^m$, точность $10\div100\,$mas. 2.5~млн. звезд, PM
+$\sim1\div3\,$mas/y.
+\item \textbf{USNO B 1.0}~--- до $m_V=21^m$, фотометрический каталог с точностью до $0^m.3$. Свыше
+миллиарда объектов.
+\item \textbf{2MASS}~--- 470~миллионов объектов, точность до $70\,$mas. Полосы J, H и K.  Без PM.
+\item \textbf{SDSS}~--- фотометрический каталог четверти неба в пяти фильтрах, 287~миллионов
+объектов. Включает спектры галактик и квазаров.
+
+Библиотеки SOFA и ERFA (одно и то же с разными лицензиями) позволяют преобразовывать координаты
+между эпохами и вычислять видимое место.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\vspace*{-1em}
+\begin{columns}
+\column{0.5\textwidth}
+\img{WCSfits}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{WCS}
+WCS~--- World Coordinate System. ICRS~--- International Celestial Reference System (привязка к
+барицентру Солнечной системы).
+Ключевые слова WCS в FITS--шапке позволяют осуществить однозначную привязку пиксельных координат к
+мировым (и обратно). Для линейных преобразований: \textbf{CTYPEi}~-- тип оси, \textbf{CRPIXi}~--
+опорный пиксель (в пиксельных координатах), \textbf{CRVALi}~-- значение мировых координат в этом
+пикселе (1~-- $\alpha$, 2~-- $\delta$), \textbf{CDELTi}~-- масштаб по соответствующей оси,
+\textbf{CROTA2}~-- угол поворота, \textbf{CDi\_j}~-- матрица коэффициентов, описывающих поворот
+осей и масштаб, \textbf{CUNITi}~-- единицы измерения по данной оси.
+\end{block}
+\end{columns}
+}\only<2>{
+\begin{columns}
+\column{0.47\textwidth}
+\begin{block}{Простейший случай}
+Обозначим \textbf{CRPIX}~-- $p$, \textbf{CRVAL}~-- $v$, \textbf{CDELT}~-- $d$, \textbf{CROTA2}~--
+$r$, \textbf{CD}~-- $c$, тогда
+$$\begin{cases}
+\alpha = d_1(x-p_1)\cos r - d_2(y-p_2)\sin r,\\
+\delta = d_1(x-p_1)\sin r + d_2(y-p_2)\cos r;\end{cases}$$
+
+$$\begin{cases}\alpha = c_{11}(x-p_1) - c_{12}(y-p_2),\\
+\delta = c_{21}(x-p_1) + c_{22}(y-p_2).\end{cases}$$
+
+$$\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix} d_1\cos r &-d_2\sin r\\ d_1\sin r & d_2\cos r\end{pmatrix}
+$$
+\end{block}
+\column{0.47\textwidth}
+\begin{block}{}
+Пакет \t{wcstools}. Утилиты \t{xy2sky} и \t{sky2xy}. Полный список: \t{man wcstools} или
+утилита \t{wcstools}. \t{imcat} отображает объекты из каталогов (каталоги необходимо сохранить в
+поддиректории \t{/data/astrocat/}). \t{imhead}~-- отобразить шапку. И множество других утилит для
+работы с WCS и шапкой файлов.
+
+Утилита \t{ds9} имеет возможность отображать объекты из различных каталогов.
+\end{block}
+\end{columns}
+}
+\end{frame}
+
+\subsection{astrometry.net}
+\begin{frame}{astrometry.net}
+\only<1>{
+\begin{block}{}
+Построение базы данных.
+\begin{enumerate}
+\item Используя астрометрические каталоги построить базу данных особого вида признаков (хешей).
+\item Хеши должны быть масштабируемыми для ускорения поиска по разным изображениям.
+\item Функция сравнения хешей должна учитывать погрешности каталогов, шум и аберрации изображений.
+\item На изображениях вполне могут находиться звезды, которых нет в каталогах и обратно: часть
+звезд может отсутствовать.
+\item Функция сравнения хешей должна быть устойчивой и однозначной.
+\item Вначале на снимке ищутся эти самые признаки, по ним определяются масштаб, ориентация и
+координаты изображения. Далее происходит собственно астрометрия.
+\savei
+\end{enumerate}
+\end{block}
+}\only<2>{
+\begin{enumerate}
+\conti
+\item Хешами служит набор чисел, определяющих относительные координаты внутренних двух звезд внутри
+квадрата, сформированного внешними двумя. В результате образуется четырехмерный код,
+характеризующий данный признак. Зеркалирование изображения приводит к зеркалированию кода, приводя
+к вырождению признака относительно зеркалирования, однако, хеш инвариантен к масштабированию,
+переносу и повороту.
+\item Для равномерно распределенных в пространстве звезд хеши равномерно распределены в 4D.
+\item Хеш строится лишь по таким четверкам примерно одинаковой яркости, где~C и~D внутри круга AB.
+\item Каталоги: USNO-B (миллиард объектов) и TYCHO-2 (2.5~млн ярчайших звезд).
+\item Небесная сфера последовательно масштабируется, для каждого масштаба отбирается несколько
+ярчайших признаков соответствующих масштабу размеров.
+\item Объекты каждой ячейки кодируются и образуют четырехмерное дерево.
+\end{enumerate}
+}\only<3>{\img[0.6]{astrometrynet}
+}\only<4>{
+Процедура астрометрии.
+\begin{enumerate}
+\item Идентификация объектов на изображении и определение координат звезд (например, используя
+SExtractor).
+\item Обнаружение всех подходящих квадратов и вычисление соответствующих им хешей.
+\item Поиск совпадений (с заданной точностью) в базе данных.
+\item Если пара квадратов отождествлена, по остальным проводится уточнение ориентации положения и
+масштаба кадра.
+\item Если отождествлен лишь один квадрат, поиск считается неудачным.
+\item Для ускорения поиска желательно указать диапазон масштабов изображения, примерные координаты
+центра и допуск на радиус поиска.
+\end{enumerate}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}