Add lecture about CCDs

Komp_obr_SFedU/additional/01.tex

@@ -0,0 +1,425 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref,aspectratio=169]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Обработка FITS-файлов. Лекциия 1.]{Компьютерная обработка астрономических изображений}
+\subtitle{Получение изображений на ПЗС, базовые манипуляции. Фотометрия. Астрометрия.}
+\date{}
+
+\def\e{{\overline{e}}}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}{}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}{}
+\tableofcontents[hideallsubsections]
+\end{frame}
+
+\section{ПЗС светоприемники}
+\begin{frame}{ПЗС}
+\vspace*{-1.5em}
+\begin{columns}
+\column{0.43\textwidth}
+\img{ccdintro}
+\column{0.55\textwidth}
+\begin{block}{}
+    1969, Уиллард Бойл и Джордж Смит, лаборатории Белла.
+
+    1975 "--- первая ПЗС 100x100 (Steven Sasson, Kodak).
+
+    1976 "--- запуск спутника--шпиона с ПЗС 800x800.
+\end{block}
+\img[0.7]{ccdanatomy}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+    \only<1>{\begin{block}{Тактирование ПЗС}Трехфазное\end{block} \img[0.7]{3phase}}
+    \only<2>{\begin{block}{Тактирование ПЗС}Двухфазное\end{block} \img[0.7]{2phase}}
+\end{frame}
+
+\section{Характеристики детекторов}
+\subsection{Характеристики детекторов}
+\begin{frame}{Характеристики детекторов}
+    \begin{block}{}
+        Размер, количество пикселей (каналов), чувствительность в зависимости от длины волны
+        (квантовая эффективность) и доступный спектральный диапазон, глубина потенциальной ямы,
+        динамический диапазон, линейность, временн\'ое разрешение, возможность  работы в режиме
+        счета фотонов, шумовые характеристики (темновой, считывания), стабильность, цена.
+    \end{block}
+    \begin{block}{Эволюция детекторов}
+        Историческая эволюция: глаз \Arr фотопластинка \Arr одноканальные фотоэлектрические
+        приемники \Arr сканеры фотопластинок \Arr телевизионные сканеры \Arr полупроводниковые
+        устройства (фотодиоды, ПЗС, композитные ИК приемники, болометры, лавинные фотодиоды, КМОП)
+        \Arr устройства, измеряющие энергию фотона (STJ "--- на сверхпроводящих туннельных
+        переходах, transition-edge sensor "--- повышение сопротивления свехпроводящего перехода).
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Квантовая эффективность ПЗС}
+    \only<1>{QE "--- отношение количества падающих фотонов к детектируемым.\img[0.85]{QE_PTGrey}}
+    \only<2>{\img[0.6]{quantumefficiencyfigure1}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Линейность}
+    Линейность ПЗС-камеры Apogee Alta 16M-HC (Kodak KAF-16803).
+    \img[0.5]{Apogee_linearity}
+    $\pm0.5\%$  ($2000\div40000$ ADU); $\pm1.0\%$ ($0\div45000$ ADU).
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Динамический диапазон}
+    \begin{columns}
+    \col{0.4}\begin{block}{}
+            Максимальный размах уровней сигнала, при котором он регистрируется без потерь.\\
+            Идеал "--- бесконечный динамический диапазон.
+        \end{block}
+        \col{0.6}\img{bloomingfigure4}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Пространственное разрешение}
+    \begin{block}{}Степень детализации изображения зависит от условий наблюдения, оптики
+    телескопа и прибора, размера пикселя.
+    \end{block}
+    \img[0.72]{digitalimagingfigure2}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{Выбор светоприемника под масштаб}
+\vspace*{-0.8em}
+\begin{block}{}\centering
+    $5a\ge\Delta x \ge 2a,$ $S_{tel}=\dfrac{F_{tel}}{206265}\quad$.
+    БТА: $1/S=8.6''/$мм, $\Delta x_{1''}=116.36\,$мкм
+
+    $a_{opt}=23.3\,$мкм. Нужен редуктор $\sim2.5\,$раза!
+    $m = \dfrac{S_{cam}}{S_{tel}}=\dfrac{F_{cam}}{F_{coll}}<1$
+\end{block}
+\img[0.9]{focal_reducer}
+\end{blueframe}
+
+\section{Шумы}
+\begin{frame}{Шумы}\vspace*{-0.5em}
+\only<1>{
+\begin{columns}
+\col{0.7}
+    \img[0.9]{Kodak_dark}
+\col{0.3}
+\begin{block}{}
+Выходной сигнал всегда отличается от входного: пуассонова статистика фотонов, фон
+неба, тепловой (темновой) шум, космические частицы, шум считывания и т.п.
+
+Темновой шум сильно зависит от температуры.
+\end{block}\vspace*{-0.5em}
+\end{columns}}
+\only<2>{\img[0.55]{ccd_darkcur}}
+\only<3>{
+\begin{block}{}
+    Если пуассонов шум фотонов плоского поля превышает шум считывания, гистограмма имеет почти
+    гауссову
+    форму.
+    $$\sigma\ind{ADU}=\frac{\sqrt{\mean{F}\cdot G}}{G}$$
+    $\sigma\ind{ADU}$~-- полуширина гистограммы плоского поля, $\mean F$~-- средний уровень
+    плоского,
+    $G$~-- gain (коэффициент преобразования фотоэлектронов в ADU).
+
+    Два кадра bias ($B$) и плоского ($F$):
+    $$
+    G = \frac{(\mean{F_1}+\mean{F_2}) -
+    (\mean{B_1}+\mean{B_2})}{\sigma^2_{F_1-F_2}-\sigma^2_{B_1-B_2}}
+    $$
+    Шум считывания:
+    $$
+    RN = \frac{G\cdot\sigma_{B_1-B_2}}{\sqrt2}
+    $$
+\end{block}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+    \begin{block}{Коррелированная двойная выборка}
+        \only<1>{Накопленный каждым пикселем заряд по линии зарядовой связи перемещается в выходной
+        тракт,
+            где преобразуется в напряжение. Перед считыванием очередного заряда тракт сбрасывается,
+            что
+            увеличивает шум считывания.}
+        \only<2>{ДКВ вычисляет уровень полезного сигнала относительно смещения. Первая выборка
+        снимается
+            сразу после сброса выходного тракта ПЗС. Вторая~--- по окончании переноса очередного
+            заряда.
+            Реализуется при помощи усилителей <<выборка--удержание>>, sample-and-hold amplifier.
+            Значительно
+            снижает уровень коррелированных шумов.}
+    \end{block}
+    \only<1>{\img[0.5]{corrs1}}
+    \only<2>{\img[0.5]{corrs2}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{Вкратце о ПЗС}
+\begin{itemize}
+    \item Для повышения эффективности толщина рабочего слоя ПЗС должна быть не больше подложки
+    n-типа,
+    back-illuminated. Усложнение техпроцесса, удорожание.
+    \item Глубокое охлаждение чипа: при $-80\degr$C с ростом температуры на $\sim7\degr$C темновой
+    шум
+    увеличивается в два раза.
+    \item Кремниевая подложка имеет красную границу на $\sim1.1\,$мкм, в ИК светоприемники с
+    кремниевыми подложками не будут работать.
+    \item Утончение чипа приводит к росту прозрачности для больших длин волн и появлению фрингов.
+    \item Большой проблемой является растекание заряда с переэкспонированных пикселей.
+    \item ПЗС невозможно оснастить <<электронным>> затвором, их затвор механический.
+    \item Дефекты подложки приводят к появлению <<горячих>> и <<плохих>> пикселей.
+    \item Постоянное воздействие космических частиц вызывает необратимую деградацию.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Первичная обработка снимков}
+\begin{frame}{Первичная обработка снимков}
+\begin{block}{}
+\ж Квантовая эффективность\н: $\mathrm{QE} = N_\e/N_\gamma$. \ж Выходной сигнал:\н $S$ (ADU).
+Коэффициент усиления (\ж gain\н): $\mathrm{gain}=N_\e/S$.
+Уровень смещения (\ж bias\н)~--- инжектируемый заряд для вывода кривой чувствительности на линейный
+участок \Arr $N_\e = N_{\e bias} + N_{\e object}$, $S = S_{bias} + S_{object}$.
+
+Т.е. $N_\gamma=\mathrm{gain}\cdot S_{object}/\mathrm{QE}$.
+
+\ж Шум считывания\н складывается из шумов переноса заряда и шума усилителя.
+
+Кадр смещения, bias, получается для коррекции сигнала на инжектируемый нулевой заряд, позволяет
+определить шум считывания. Для снижения
+шумов рекомендуется получать медиану как можно большего количества кадров.
+
+Темновой кадр, \ж dark\н, (с закрытой диафрагмой) содержит информацию о темновых шумах.
+
+Плоское поле, \ж flat\н, необходимо для коррекции виньетирования и неоднородностей оптических
+систем. Отражает попиксельную неоднородность чувствительности.
+
+\ж Биннинг\н. Сложение происходит до АЦП, поэтому увеличивается полезный сигнал в N раз при том же
+уровне шума, т.е. влияние шума считывания снижается. Увеличение скорости считывания и уровня
+сигнала (но уменьшение разрешения).
+
+\ж Overscan\н~--- служебная (не засвечиваемая) область ПЗС, позволяет грубо оценивать bias без
+получения отдельного кадра.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{block}{Сигнал-шум}
+    В общем случае
+    $$\mathrm{SNR}=N_*\cdot\left[N_*+n_{pix}\Bigl(1+\cfrac{n_{pix}}{n_B}\Bigr)
+    \bigl(N_S+N_D+N^2_R+G^2\sigma^2_f\bigr)\right]^{-1/2},
+    $$
+    $N_*$~-- количество фотонов от объекта; $n_{pix}$~-- количество пикселей для вычисления SNR;
+    $n_B$~--
+    количество пикселей для оценки фона; $N_S$~-- количество фоновых фотонов на пиксель; $N_D$~--
+    количество
+    темновых фотонов на пиксель; $N^2_R$~-- количество электронов на пиксель вследствие шума
+    считывания; $G$~--
+    gain; $\sigma_f\approx0.289$~-- ошибка квантования, вносимая АЦП. Если $G$~невелик,
+    $n_B$~велико, часть
+    членов можно опустить. По времени экспозиции:
+    $$\mathrm{SNR}=Nt\cdot\bigl[Nt+n_{pix}(N_St+N_Dt+N^2_R)\bigr]^{-1/2},
+    $$
+    т.е. $\mathrm{SNR}\propto\sqrt{t}$. Для ярких источников $\mathrm{SNR}\propto\sqrt{Nt}$.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{block}{Первичная редукция}
+\only<1>{
+Итак, чтобы в нулевом приближении избавиться от влияния на сигнал оптической системы и ПЗС,
+необходимо выполнить следующее:
+$$S_0=\frac{S-D}{(F-D)_{norm}},$$
+где $S$~-- object, $D$~-- dark, $F$~-- flat, $norm$~-- нормировка на единицу. В случае очень
+больших экспозиций object (час и выше), невозможно получить хотя бы пару десятков кадров dark в тех
+же условиях и до следующей ночи наблюдений. В этом случае используют т.н. superdark, $SD$~---
+экстраполяцию линеаризованной МНК  зависимости $\{D(t)-B\}$, где $B$~-- bias:
+$$S_0=\frac{S-B-SD\cdot t_S}{(F-D_F)_{norm}},$$
+здесь, т.к. flat обычно имеет небольшую экспозицию, несложно накопить для них <<честные>> темновые.
+}\only<2>{
+Для каждой ночи наблюдений при коротких экспозициях <<научных кадров>> необходимо:
+\begin{enumerate}
+\item $30\div100$ dark frames;
+\item $30\div100$ flatfields.
+\end{enumerate}
+В случе слишком длинных экспозиций, необходимо:
+\begin{enumerate}
+\item $10\div20$ bias frames;
+\item не меньше 10 dark frames на каждую из минимум 10 экспозиций;
+\item около 30 dark frames с экспозицией flatfield;
+\item $30\div100$ flatfields.
+\end{enumerate}
+}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Получение характеристик ПЗС}
+\begin{frame}{Получение характеристик ПЗС}
+\begin{block}{}
+\only<1>{
+Обозначим gain как $G$. $N_\e=G\cdot S$. Выраженную в электронах, дисперсию полного шума <<плоского
+поля>>, полученного в лаборатории на условно идеальном источнике освещения можно записать как
+$$\sigma^2 = \sigma^2_\gamma + R^2 + \sigma^2_{CCD},$$
+где $\sigma_\gamma$~-- фотонный шум, $R$~-- шум считывания, $\sigma_{CCD}$~-- прочие шумы ПЗС
+(неоднородность чувствительности пикселей и т.п.). Избавиться от последнего члена мы можем,
+используя разность двух изображений с одинаковыми экспозициями, но в этом случае полученную
+дисперсию следует разделить на два. Данная операция поможет также избавиться от аддитивной добавки
+к $S$, вызванной bias и темновым током.
+
+Т.к. фотонный шум пропорционален корню из сигнала, в ADU получим:
+$\sigma^2=S/G + R^2_{ADU}$. Выделим область в несколько десятков тысяч квадратных пикселей на
+изображении в зоне, где уровень освещенности можно аппроксимировать горизонтальной плоскостью с
+высокой точностью.
+}\only<2>{
+Получим:
+$$\sigma^2 = \frac{\sum \bigl(S_1(x,y)-S_x(x,y)\bigr)^2}{2(N-1)},$$
+где $N$~-- количество пикселей. Средний уровень обозначим как $S=(S_1+S_2)/2$.
+
+Определение $\sigma^2$ и $\aver{S}$ необходимо провести для как можно большего значения разных
+времен экспозиции.
+Далее можно построить зависимость
+$$\sigma^2 = S/G + R^2_{ADU},$$
+линейно ее аппроксимировать к виду $\sigma^2=a\cdot S + b$ и получить значения $G=1/a$,
+$R=G\cdot\sqrt{b}$.
+}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Фотометрия}
+\begin{frame}{Фотометрия}
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{Принципы фотометрии}
+Распределение света от звезды между пикселями неоднородное, зашумленное.
+Для измерения полного потока от звезды, необходимо:
+\begin{itemize}
+\item определить положение звезды на изображении;
+\item при помощи маски выбрать те пиксели, которые принадлежат изображению именно этой звезды;
+\item просуммировать сигнал за вычетом фона.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{Центроид}
+$$\mean{x}=\frac{\sum x_i I_i}{\sum I_i},\quad \mean{y}=\frac{\sum y_i I_i}{\sum I_i}, \quad
+I_i = S_i - B.$$
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{block}{Апертурная фотометрия}
+Проблема: определить радиусы апертур (звезды и фона).
+\end{block}
+\img[0.9]{apert}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\img{starphotom}
+\column{0.52\textwidth}
+\begin{block}{Модель апертурной фотометрии}
+Параметры звезды: уровень сигнала, координаты центра, полуширина.
+
+Параметры фона: средний уровень сигнала, $B$.
+
+Параметры светоприемника: квантовая эффективность, шумы.
+
+Радиусы апертур: $r_1$, $r_2$, $r_3$.
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{block}{Основные выражения}
+$S = F+B+Q+E$, где $S$~-- накопленный сигнал, $F$~-- сигнал от звезды, $B$~-- фон, $Q$~-- темновой
+ток, $E$~-- bias.
+
+Суммарный сигнал от звезды: $F_\Sigma = \sum F_i=\sum(S_i-[B_i+Q_i+E_i])$.
+
+Шум: $\sigma^2=F_\Sigma + N(\mean{B}+\mean{Q}+\sigma^2_{RO})+\sigma^2_{sky}$, $N$~-- количество
+пикселей маски звезды, $\sigma^2_{RO}$~-- шум считывания. Первый член отражает зависимость
+пуассоновского шума от уровня сигнала. $\sigma^2_{sky}=N(\mean{B}+\mean{Q}+\sigma^2_{RO})/N_{sky}$,
+$N_{sky}$~-- количество пикселей в маске фона.
+
+$\mathrm{SNR}=F_\Sigma/\sigma$. Чем слабее звезда, чем больше уровень фона, чем больше~$N$ и
+меньше~$N_{sky}$, тем худшим будет SNR.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{columns}
+\column{0.57\textwidth}
+\img{starprofile}
+\column{0.4\textwidth}
+\begin{block}{Профили звезд}
+Средний по изображению профиль позволяет оценить радиусы апертур. Также поможет при апертурной
+коррекции.
+
+Ошибка определения звездной величины: $\sigma_m=1.0857/\mathrm{SNR}$.
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\section{Астрометрия}
+\begin{frame}{Астрометрия}
+\begin{columns}
+\column{0.57\textwidth}
+\img{diffastrometry}
+\column{0.4\textwidth}
+\begin{block}{}
+Астрометрия позволяет измерить точные координаты звезд на небе, а также определить их параллаксы и
+собственные движения. Первый каталог~--- Гиппарх, точность не выше~$1\degr$. Микросекундной
+точности достиг запущенный в 1989\,г. космический телескоп HIPPARCOS.
+
+Точность GAIA~--- $0.00002''$ ($20\mu as$)~--- толщина человеческого волоса с расстояния в 1000\,км!
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{Каталоги}
+\begin{enumerate}
+\item \textbf{HIPPARCOS}~--- звезды до $m_V=7.3^m$, точность астрометрии до $1\div3\,$mas.
+\item \textbf{TYCHO-2}~--- до $m_V=11^m$, точность $10\div100\,$mas.
+\item \textbf{USNO B 1.0}~--- до $m_V=21^m$, фотометрический каталог с точностью до $0^m.3$.
+\item \textbf{2MASS}~--- 470~миллионов объектов, точность до $70\,$mas.
+\item \textbf{SDSS}~--- фотометрический каталог четверти неба в пяти фильтрах, 287~миллионов
+объектов.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\vspace*{-1em}
+\begin{columns}
+\column{0.5\textwidth}
+\img{WCSfits}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{WCS}
+WCS~--- World Coordinate System. ICRS~--- International Celestial Reference System (привязка к
+барицентру Солнечной системы).
+Ключевые слова WCS в FITS--шапке позволяют осуществить однозначную привязку пиксельных координат к
+мировым (и обратно). Для линейных преобразований: \textbf{CTYPEi}~-- тип оси, \textbf{CRPIXi}~--
+опорный пиксель (в пиксельных координатах), \textbf{CRVALi}~-- значение мировых координат в этом
+пикселе (1~-- $\alpha$, 2~-- $\delta$), \textbf{CDi\_j}~-- матрица коэффициентов, описывающих
+поворот осей и масштаб, \textbf{CUNITi}~-- единицы измерения по данной оси.
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{astrometry.net}
+\img[0.6]{astrometrynet}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr_SFedU/additional/lect.sty

@@ -0,0 +1,143 @@
+\usepackage[T2A]{fontenc}       %ÐÏÄÄÅÒÖËÁ ËÉÒÉÌÌÉÃÙ
+\usepackage[koi8-r]{inputenc}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+\usepackage{array}
+\usepackage{xspace}
+%\usepackage[intlimits]{amsmath}
+
+
+\def\No{\textnumero}
+
+\graphicspath{{./pic/}}
+\usetheme{Boadilla}
+\usefonttheme{structurebold}
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+\setbeamercovered{transparent}
+
+\newenvironment{pict}%
+    {\begin{figure}[!h]\begin{center}\noindent}%
+    {\end{center}\end{figure}}
+
+\def\col#1{\column{#1\textwidth}}
+
+\setbeamercolor{color1}{bg=blue!50!black,fg=white}
+\setbeamercolor{light1}{bg=blue!20!white,fg=black}
+\setbeamercolor{normal text}{bg=blue!20!black,fg=cyan!70!white}
+\setbeamercolor{frametitle}{fg=red,bg=blue!40!black}
+\setbeamercolor{title}{fg=red,bg=blue!40!black}
+\setbeamercolor{block title}{fg=cyan,bg=blue!40!black}
+\newenvironment{defin}{\begin{beamercolorbox}[shadow=true, rounded=true]{color1}}%
+{\end{beamercolorbox}}
+\newenvironment{light}{\begin{beamercolorbox}[shadow=false,rounded=false]{light1}}%
+    {\end{beamercolorbox}}
+\newcommand{\img}[2][]{\begin{pict}\includegraphics[width=#1\columnwidth]{#2}\end{pict}}
+\newcommand{\smimg}[2][]{\includegraphics[width=#1\columnwidth]{#2}}
+\logo{\includegraphics[width=1cm,height=1cm,keepaspectratio]{saologo.jpg}}
+
+\def\daterussian{ % fix for iÀÎÑ and iÀÌÑ
+  \def\today{\number\day~\ifcase\month\or
+   \cyrya\cyrn\cyrv\cyra\cyrr\cyrya\or
+   \cyrf\cyre\cyrv\cyrr\cyra\cyrl\cyrya\or
+   \cyrm\cyra\cyrr\cyrt\cyra\or
+   \cyra\cyrp\cyrr\cyre\cyrl\cyrya\or
+   \cyrm\cyra\cyrya\or
+   \cyri\cyryu\cyrn\cyrya\or
+   \cyri\cyryu\cyrl\cyrya\or
+   \cyra\cyrv\cyrg\cyru\cyrs\cyrt\cyra\or
+   \cyrs\cyre\cyrn\cyrt\cyrya\cyrb\cyrr\cyrya\or
+   \cyro\cyrk\cyrt\cyrya\cyrb\cyrr\cyrya\or
+   \cyrn\cyro\cyrya\cyrb\cyrr\cyrya\or
+   \cyrd\cyre\cyrk\cyra\cyrb\cyrr\cyrya\fi
+   \space \number\year~\cyrg.}}
+
+\author[åÍÅÌØÑÎÏ× ü.÷.]{åÍÅÌØÑÎÏ× üÄÕÁÒÄ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÏ×ÉÞ}
+\institute[óáï òáî]{óÐÅÃÉÁÌØÎÁÑ ÁÓÔÒÏÆÉÚÉÞÅÓËÁÑ ÏÂÓÅÒ×ÁÔÏÒÉÑ òáî\\
+	{\tiny ìÁÂÏÒÁÔÏÒÉÑ ÆÉÚÉËÉ ÏÐÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÒÁÎÚÉÅÎÔÏ×}\\
+}
+
+\def\Ö{\bf}
+\def\Ô{\tt}
+\def\Î{\normalfont}
+\def\Ë{\it}
+\def\t#1{\texttt{#1}}
+\def\bi{\bfseries\itshape} % öÉÒÎÙÊ ËÕÒÓÉ×
+\def\red#1{\textcolor{red}{#1}}
+\def\green#1{\textcolor{green}{#1}}
+\def\blue#1{\textcolor{blue}{#1}}
+
+\newenvironment{lightframe}{\bgroup\setbeamercolor{normal text}%
+{bg=blue}\begin{frame}}{\end{frame}\egroup}
+\newenvironment{blueframe}{\bgroup\setbeamercolor{normal text}%
+{bg=cyan!70!white}\begin{frame}}{\end{frame}\egroup}
+
+% save & continue counters in different frames
+\newcounter{saveenumi}
+\newcommand{\savei}{\setcounter{saveenumi}{\value{enumi}}}
+\newcommand{\conti}{\setcounter{enumi}{\value{saveenumi}}}
+%\resetcounteronoverlays{saveenumi}
+
+\newsavebox{\hght} % for ddotvec
+\newlength{\lngth}
+
+\def\arr{\ensuremath{\,\rightarrow\,}}	% óÔÒÅÌËÁ ×ÐÒÁ×Ï
+\def\Arr{\ensuremath{\,\Rightarrow\,}}	% ÖÉÒÎÁÑ -//-
+\def\aver#1{\bgroup\mathopen{<}#1\mathclose{>}\egroup}
+\def\Ang{\mbox{\rm\AA}}	% áÎÇÓÔÒÅÍ
+\def\B#1{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
+\def\bsl{\textbackslash}
+\def\ceil#1{\bgroup\lceil #1\rceil\egroup}
+\def\const{\ensuremath{\mathfrak{const}}}
+\def\C{\ensuremath{\mathfrak{C}}}
+\def\degr{\ensuremath{^\circ}}		% çÒÁÄÕÓ
+\def\ddotvec#1{	% ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÏ ×ÒÅÍÅÎÉ
+    \savebox{\hght}{$\vec{#1}$}\ddot{\raisebox{0pt}[.8\ht\hght]{$\vec{#1}$}}}
+\def\dotvec#1{ % ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÏ ×ÒÅÍÅÎÉ
+    \savebox{\hght}{$\vec{#1}$}\dot{\raisebox{0pt}[.8\ht\hght]{$\vec{#1}$}}}
+\def\dpartder#1#2{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}	% ×ÔÏÒÁÑ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
+\def\e{\mathop{\mathrm e}\nolimits}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}		% ëÒÁÓÉ×ÙÊ ÜÐÓÉÌÏÎ
+\def\frc#1#2{\raisebox{2pt}{$#1$}\big/\raisebox{-3pt}{$#2$}}	% a/b, a ×ÙÛÅ, b ÎÉÖÅ
+\def\floor#1{\bgroup\lfloor #1\rfloor\egroup}
+\def\frc#1#2{\bgroup\raisebox{2pt}{$#1$}\big/\raisebox{-3pt}{$#2$}\egroup}
+\def\F{\ensuremath{\mathop{\mathfrak F}}\nolimits}	% ëÒÁÓÉ×ÁÑ æ
+\def\FT#1{\mathcal{F}\left(#1\right)}
+\def\FWHM{\mathrm{FWHM}}
+\renewcommand{\ge}{\geqslant}
+\def\grad{\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits} % çÒÁÄÉÅÎÔ
+\def\ind#1{_{\text{\scriptsize #1}}}	% îÉÖÎÉÊ ÉÎÄÅËÓ ÒÕÓÓ. ÂÕË×ÁÍÉ
+\def\indfrac#1#2{\raisebox{2pt}{$\frac{\mbox{\small $#1$}}{\mbox{\small $#2$}}$}}
+\def\I{\ensuremath{\mathfrak{I}}}	% éÎÔÅÇÒÁÌ
+\def\IFT#1{\mathcal{F}^{-1}\left(#1\right)} 	% ïÂÒÁÔÎÏÅ æð
+\def\IInt{\mathop{{\int\!\!\!\int}}\limits}	% ä×ÏÊÎÏÊ ÂÏÌØÛÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+\def\ILT#1{\mathop{\mathfrak{L}}\nolimits^{-1}\left(#1\right)} % ïÂÒÁÔÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒ. ìÁÐÌÁÓÁ
+\def\Int{\int\limits}
+\def\Infint{\int\limits_{-\infty}^\infty}
+\def\IZT#1{\mathop{\mathcal{Z}}\nolimits^{-1}\left(#1\right)} % ïÂÒÁÔÎÏÅ Z-ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
+\renewcommand{\kappa}{\varkappa}		% ëÒÁÓÉ×ÁÑ ËÁÐÐÁ
+\renewcommand{\le}{\leqslant}			% íÅÎØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ
+\def\ltextarrow#1{\ensuremath{\stackrel{#1}\leftarrow}} % óÔÒÅÌËÁ ×ÌÅ×Ï Ó ÐÏÄÐÉÓØÀ Ó×ÅÒÈÕ
+\def\lvec{\overrightarrow}		% äÌÉÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ
+\def\LT#1{\mathop{\mathfrak{L}}\nolimits\left(#1\right)} % ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ìÁÐÌÁÓÁ
+\def\mean#1{\overline{#1}}
+\def\med{\mathop{\mathrm{med}}\nolimits}
+\def\moda{\mathop{\mathrm{Mo}}\nolimits}
+\def\Oint{\oint\limits}		% âÏÌØÛÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+\def\partder#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}
+\renewcommand{\phi}{\varphi}			% ëÒÁÓÉ×ÁÑ ÆÉ
+\def\rev#1{\frac{1}{#1}}		% ïÂÒÁÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
+\def\rot{\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits} % òÏÔÏÒ
+\def\rtextarrow#1{\ensuremath{\stackrel{#1}\rightarrow}} % óÔÒÅÌËÁ ×ÐÒÁ×Ï Ó ÐÏÄÐÉÓØÀ
+\def\R{\ensuremath{\mathbb{R}}} % ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ
+\def\so{\ensuremath{\Longrightarrow}\xspace} % ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
+\def\sinc{\mathop{\mathrm{sinc}}\nolimits} % éÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÓÉÎÕÓ
+\def\SNR{\mathop{\mathrm{SNR}}\nolimits}
+\def\Sum{\sum\limits}
+\def\Tr{\mathop{\mathrm{Tr}}\nolimits}	% óÌÅÄ ÍÁÔÒÉÃÙ
+\def\veci{{\vec\imath}}		% i-ÏÒÔ
+\def\vecj{{\vec\jmath}}		% j-ÏÒÔ
+\def\veck{{\vec{k}}}			% k-ÏÒÔ
+\def\vl{\xspace\textbar\xspace}
+\def\when#1{\ensuremath{\Bigr|_{#1}}} % ÷ÅÒÔ. ÌÉÎÉÑ Ó ÎÉÖÎÉÍ ÉÎÄÅËÓÏÍ
+\def\WT#1{\ensuremath{\mathop{\mathrm{WT}\left(#1\strut\right)}}} % ×ÅÊ×ÌÅÔ-ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
+\def\ZT#1{\mathop{\mathcal{Z}}\nolimits\left(#1\right)} % Z-ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
+