add komp_obr

Komp_obr/01-measurements.tex

@@ -0,0 +1,322 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Компьютерная обработка. Лекция 1.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
+\subtitle{Лекция 1. Общие сведения об измерениях. Виды сигналов и методы их анализа}
+\date{30 июня 2016 года}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}{}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}{}
+\tableofcontents[hideallsubsections]
+\end{frame}
+
+\section{Физические измерения}
+\begin{frame}{Физические измерения}
+\begin{defin}
+Экспериментальное определение значения измеряемой величины с применением средств
+измерений называется {\bf измерением}.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Важнейшей особенностью измерений является {\it принципиальная невозможность
+получения результатов измерения, в точности равных истинному значению
+измеряемой величины} (особенно эта особенность проявляется в микромире, где
+господствует принцип неопределенности).
+
+Эта особенность приводит к необходимости оценки степени близости результата
+измерения к истинному значению измеряемой величины, т.е. вычислять
+{\bf погрешность измерения}.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Виды измерений}
+\begin{block}{}
+\ж Статическими\н называют такие измерения, при
+которых зависимость погрешности измерения от скорости измерения пренебрежимо
+мала и ее можно не учитывать.\ж Динамические\н
+измерения противоположны статическим.
+
+Результаты\ж прямых\н измерений находят непосредственно из опыта,\ж косвенных\н же измерений~--- 
+путем расчета по известной зависимости измеряемой величины от величин, находимых
+прямыми измерениями (например, измерение мощности).
+
+\ж Совместное измерение\н --- одновременное измерение нескольких неодноименных величин для 
+нахождения зависимости между ними (например, ВАХ диода). 
+
+\ж Совокупное измерение\н~--- это проведение ряда измерений нескольких величин одинаковой 
+размерности в различных сочетаниях с нахождением искомых величин из решения системы уравнений 
+(например, измерение $R$ включенных треугольником резисторов).
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Представление результатов}
+\begin{block}{Табличное}
+Позволяет избежать многократной записи единиц измерения, обозначений измеряемой величины,
+используемых множителей. В таблицы, помимо основных измерений, могут быть включены и результаты 
+промежуточных измерений.
+
+Для удобства импортирования данных и одновременно наглядности чтения удобно хранить в формате TSV. 
+SED позволит легко преобразовать TSV в таблицу латеха.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Графическое}
+На основе графика легко можно сделать вывод о соответствии
+теоретических представлений данным эксперимента, определить вид функциональной
+зависимости измеряемой величины.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Сигналы и их виды}
+\begin{frame}{Сигналы и их виды}
+\begin{defin}
+Если некоторая изменяющаяся величина измеряется непрерывно (или квазинепрерывно), мы
+имеем дело с потоком информации, или\ж сообщением\н. 
+В теории информации физический процесс, значения параметров которого отображают
+передаваемое сообщение, называется\ж сигналом\н.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Модуляция--демодуляция. Зашумление.
+{\bf Помехи}: аддитивные, мультипликативные, фазовые.
+\end{block}
+\end{frame}
+\begin{frame}{Виды сигналов}
+\only<1>{
+\begin{block}{Аналоговый}
+Описывается непрерывной (или кусочно--непрерывной) функцией $x(t)$: $t\in[t_0,t_1]$, 
+$x\in[x_0,x_1]$. Аудиосигналы, телевизионные сигналы.
+\end{block}
+\img[0.3]{oscill}
+}
+\only<2>{
+\begin{block}{Дискретный}
+Описывается решетчатой функцией (последовательностью, временн\'ым рядом) $x(nT)$: $x\in[x_0,x_1]$,
+$n=\overline{1,N}$, $T$~--\к интервал дискретизации\н. Величину $f=1/T$
+называют\к частотой дискретизации\н. Если интервал дискретизации является
+постоянной величиной, дискретный сигнал можно задать в виде ряда $\{x_1,\ldots, x_N\}$.
+\end{block}
+\img[0.6]{disc_sig}
+}
+\only<3>{
+\begin{block}{Цифровой}
+Описывается квантованной решетчатой функцией и отличается от обычного дискретного сигнала тем, что
+каждый уровень квантования кодируется двоичным кодом. Таким образом, если
+величина $x\in[x_0,x_1]$ квантуется $N$~разрядным кодом, для
+обратного представления из кода $K_x$ в значение $x$ применяется
+преобразование: $x=x_0+K_x\cdot (x_1-x_0)/2^{N}$. К цифровым сигналам относятся
+сигналы, используемые в системах связи с импульсно--кодовой модуляцией.
+\end{block}
+\img[0.4]{digital_signal}
+}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Дискретизация}
+\begin{block}{}
+Дискретизация строит по заданному аналоговому сигналу $x(t)$ дискретный сигнал $x_n(nT)$, причем 
+$x_n(nT)=x(nT)$. Операция\ж восстановления\н состоит в том, что по заданному дискретному сигналу
+строится аналоговый сигнал.
+\end{block}
+\begin{block}{Теорема Котельникова--Найквиста}
+\begin{itemize}
+\item  любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным 
+отсчётам, взятым с частотой $f > 2f_c$, где $f_c$~-- максимальная частота, которой ограничен спектр 
+реального сигнала;
+\item если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации 
+(наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не 
+существует.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Теорема Котельникова--Найквиста}
+\begin{block}{}
+$$X_{s}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum  _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi 
+nTf}$$
+$$X(f) = \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot 
+e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]\right\}}$$
+\end{block}
+\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
+\img{ReconstructFilter}
+\column{0.5\textwidth}
+\begin{block}{Формула Уиттекера--Шеннона}
+$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]$$
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Квантование}
+\begin{defin}
+Для преобразования дискретного сигнала в цифровой вид применяется операция\ж квантования\н или\ж 
+аналогово--цифрового преобразования\н~(АЦП), которая по заданному дискретному сигналу $x_n(nT)$ 
+строит цифровой кодированный сигнал $x_d(nT)$, причем $x_n(nT)\approx x_d(nT)$. Обратная квантованию 
+операция называется операцией\ж цифро--аналогового преобразования\н~(ЦАП).
+\end{defin}
+\only<1>{\img[0.7]{ADC}}
+\only<2>{\img{DAC}}
+\end{frame}
+
+
+\section{Методы анализа сигналов}
+\begin{frame}{Методы анализа сигналов}
+\begin{block}{Группы методов}
+\begin{description}
+\item[В пространственной области] над сигналом производят какие--либо преобразования, одинаковые 
+для всего сигнала (аддитивные, мультипликативные или матричные) --- бинаризация, гистограммы, 
+свертка, выделение компонент, сглаживание\dots
+\item[В частотной области] работа производится не с сигналом, а с его спектром (обычно Фурье) ---
+свертка через Фурье, сглаживание \slash фильтрация, выделение деталей, деконволюция\dots
+\end{description}
+\end{block}
+\begin{block}{}
+Процесс зашумления сигнала $x(t)$ импульсной (аппаратной) функцией шума $n(t)$ описывается 
+сверткой:
+$x'(t)=x(t)\otimes n(t)$. В пространстве Фурье: 
+$$\FT{x'(t)}=\FT{x(f)}\cdot\FT{n(t)}\text{  или  }X'(f)=X(f)\cdot N(f).$$
+$N(f)$~-- передаточная функция.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Вейвлет--анализ}
+\only<1>{\begin{block}{}
+Локализованный в пространственной и частотной области набор ортонормированных функций.
+$$T_{m,n}=\int\limits_{-\infty}^{\infty }x(t)\,\psi_{m,n}^{*}(t)\,dt,$$
+$$x(t)=K_{\psi}\sum\limits_{m=-\infty }^{\infty }\sum\limits_{n=-\infty 
+}^{\infty}T_{m,n}\psi_{m,n}(t).$$
+\end{block}}
+\only<2>{\img{Continuous_wavelet_transform}}
+\only<3>{\begin{block}{}Детализирующие и аппроксимирующие коэффициенты\end{block}
+\img[0.5]{wavelet_img}}
+\end{frame}
+
+
+\section{Обзор программы}
+\begin{frame}{Обзор программы}
+\tableofcontents[currentsection,hideothersubsections,sectionstyle=hide]
+\end{frame}
+
+
+\subsection{Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения}
+\begin{frame}{Статистика и вероятность}
+\begin{block}{}
+Вероятность, плотность вероятности, закон больших чисел, характеристики набора случайных величин, 
+законы распределения, корреляция и ковариация, шум, SNR.
+\end{block}
+\img[0.7]{binopdf}
+\end{frame}
+
+
+\subsection{Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности}
+\begin{frame}{Теория физических измерений}
+\begin{block}{}
+Меры и значения величин, абсолютная и относительная погрешности, промахи, систематические и 
+случайные погрешности, класс точности прибора, доверительный интервал, критерий Стьюдента, правила 
+вычисления погрешностей косвенных измерений, аппроксимация наименьшими квадратами.
+\end{block}
+\img[0.7]{lesssquare}
+\end{frame}
+
+
+\subsection{Теория оценок}
+\begin{frame}{Теория оценок}
+\begin{block}{}
+Правило ,,трех сигм``, теорема Ляпунова, распределение $\chi^2$, распределение Стьюдента, оценки: 
+их виды и надежность.
+\end{block}
+\img[0.5]{chi2}
+\end{frame}
+
+\subsection{Системы уравнений. Степенные и дифференциальные уравнения}
+\begin{frame}{Системы уравнений}
+\begin{block}{}
+Методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя, наименьших квадратов, 
+численные методы; степенные и прочие нелинейные уравнения и метод бисекции; численное 
+интегрирование (прямоугольник, трапеция, Симпсона); обыкновенные дифференциальные уравнения.
+\end{block}
+\img[0.4]{bisect}
+\end{frame}
+
+
+\subsection{Анализ временных рядов. Фурье-- и Вейвлет--анализ}
+\begin{frame}{Анализ временных рядов}
+\begin{block}{}
+Аппроксимация, интерполяция, сплайны, преобразование Лапласа, Z--преобразования, ряды Фурье, 
+Фурье--преобразование, Фурье--фильтрация, вейвлет--анализ и вейвлет--фильтрация.
+\end{block}
+\img[0.7]{Four-filter}
+\end{frame}
+
+
+\subsection{Обработка изображений}
+\begin{frame}{Обработка изображений}
+\vspace{-2em}
+\begin{block}{}
+Цифровые изображения, модели цветовых пространств; преобразования в пространственной области: 
+логарифмическое преобразование, растяжение контрастности, свертка с различными масками, медианный 
+фильтр; гистограмма и эквализация гистограммы; преобразования в частотной области: ДПФ, частотные 
+фильтры; ФРТ и ОПФ; адаптивная медианная фильтрация; инверсная и винеровская фильтрация;
+геометрические преобразования изображений; вейвлет--преобразования; морфологические операции; 
+проблема распознавания изображений.
+\end{block}
+\smimg[0.33]{Noiced}
+\smimg[0.33]{MF3}
+\smimg[0.33]{MF5}
+\end{frame}
+
+\section{Литература}
+\begin{frame}{Основная литература}
+\begin{thebibliography}{9}
+\bibitem{} Интернет--энциклопедия: http:/\!/wikipedia.org (Википедия).
+\bibitem{} Гонсалес~Р., Вудс~Р. Цифровая обработка изображений.~--- М.: Техносфера, 2012.~--- 
+1104~с.
+\bibitem{} Витязев~В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие.~---
+СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2001.~--- 58~с.
+\bibitem{} Гонсалес~Р., Вудс~Р., Эддинс~С. Цифровая обработка изображений
+в среде MATLAB.~--- М.: Техносфера, 2006~--- 616~с.
+\bibitem{} Гмурман~В.\,Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
+Учеб. пособие для вузов.~--- Изд. 7-е, стер.~--- М.: Высш. шк., 2001.~--- 479~с.
+\bibitem{} Говорухин~В., Цибулин~В. Компьютер в математическом исследовании.
+Учебный курс.~--- СПб.: Питер, 2001.~--- 624~с.
+\bibitem{} Сергиенко~А.\,Б. Цифровая обработка сигналов.~--- СПб.: Питер, 2005.~---
+604~с.
+\bibitem{} Чен~К., Джиблин~П., Ирвинг~А. MATLAB в математических исследованиях:
+Пер. с англ.~--- М.: Мир, 2001.~--- 346~с.
+\end{thebibliography}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Дополнительная литература}
+\begin{thebibliography}{9}
+\bibitem{} Бахвалов~Н.\,С., Жидков~Н.\,П., Кобельков~Г.\,М. Численные методы.~---
+М.: Высш. шк., 1987.~--- 630~с.
+\bibitem{} Кнут~Д.\,Э. Все про \TeX./ Пер. с англ. М.\,В.~Лисиной.~---
+Протвино: АО~RD\TeX, 1993.~--- 592~с.: ил.
+\bibitem{} Львовский~С.\,М. Набор и верстка в системе \LaTeX.~--- 3-е изд.,
+исрп. и доп.~--- М.: МЦНМО, 2003.~--- 448~с.
+\bibitem{} Физическая энциклопедия/ Гл. ред. А.М.~Прохоров.~--- М.: Сов.
+энциклопедия. Тт. I~--~V. 1988.
+\bibitem{} Цифровая обработка сигналов: Справочник/ Л.М.~Гольденберг,
+Б.Д.~Матюшкин, М.Н.~Поляк.~--- М.: Радио и связь, 1985.~--- 312~с., ил.
+\bibitem{} Pan~G.\,W. Wavelets in electromagnetic and device modeling.~---
+John~Wiley \& Sons, Inc., Hobocen, New Jersey, 2003.~--- 531~p.
+\end{thebibliography}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/02-statistics.tex

@@ -0,0 +1,319 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Компьютерная обработка. Лекция 2]{Компьютерная обработка результатов измерений}
+\subtitle{Лекция 2. Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения}
+\date{12 июля 2016 года}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{Случайные величины, вероятность}
+\begin{frame}{Случайные величины, вероятность}
+\begin{defin}
+\ж Случайной величиной\н называется величина~$X$, если все ее возможные значения образуют конечную 
+или бесконечную последовательность чисел~$x_1,\ldots$, $x_N$, и если принятие ею каждого из этих 
+значений есть случайное событие.
+\end{defin}
+\begin{defin}\begin{columns}\column{0.75\textwidth}
+\ж Вероятность\н наступления данного события~--- это предел относительной частоты наступления 
+данного события~$n_k/N$:\column{0.25\textwidth}
+$$P(x_k)=\lim_{N\to\infty}\frac{n_k}{N}.$$
+\end{columns}
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Совместные и несовместные события, полная группа, свойства вероятности. 
+Для непрерывных случайных величин вводят понятие\ж плотности вероятности\н:
+$$\rho(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x<X<x+\Delta x)}{\Delta
+x}=\frac{dP}{dx}.$$
+$$P(x_1<X<x_2)=\Int_{x_1}^{x_2}\rho(x)\,dx.$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\section{Характеристики случайных величин}
+\begin{frame}{Характеристики случайных величин}
+\begin{block}{Независимые случайные величины}
+$P(x_ny_n)=P(x_n)P(y_n)$.
+\end{block}
+\begin{block}{Среднее арифметическое и математическое ожидание}
+$$\aver{X}=\frc1{N}\sum_{n=1}^N x_n,$$
+$$M(X)\equiv\mean{X}=\lim_{N\to\infty}\frac1{N}\sum_{n=1}^N x_n\quad\text{и}\quad
+M(X)=\Infint x\phi(x)\,dx.$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{Свойства математического ожидания}
+\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{2pt}
+\item $\mean\const=\const$;
+\item $\mean{\sum\C_n\cdot X_n}=\sum\C_n\cdot \mean{X_n}$,
+где $\C_n$~-- постоянная величина; 
+\item $\mean{\prod X_n}=\prod \mean{X_n}$ (для независимых случайных величин);
+\item $\mean{f(x)}=\Infint f(x)\phi(x)\,dx$ (для непрерывных случайных величин).
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{$\mean{X}\Leftrightarrow\aver{X}$? Закон больших чисел}
+Неравенство Чебыш\"ева: $P(|X-\mean{X}|<\epsilon)\ge 1-D(X)/\epsilon^2\quad\Rightarrow$
+$$\lim_{n\to\infty} P\Bigl(\Bigl|\frac{\sum
+X_n}{n}-\frac{\sum\mean{X_n}}{n}\Bigr|<\epsilon\Bigr)=1.$$
+Теорема Бернулли: $\lim\limits_{n\to\infty} P(|m/n-p|<\epsilon)=1$.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Характеристические значения распределений}
+\only<1>{\begin{block}{Медиана и мода}
+{\ж Мода}~--- наиболее часто встречающееся значение (но вполне могут быть мультимодальные 
+распределения). {\ж Медиана} делит площадь распределения пополам.
+\end{block}
+\img[0.6]{mode_median}}
+\only<2>{\begin{block}{Моменты}
+Если $f(x)=(x-x_0)^n$, то $\mean{f(x)}$~--- момент порядка~$n$. Если $x_0=0$~--- начальный
+момент, если $x_0=\mean{X}$--- центральный момент.
+
+Моменты нулевого порядка равны~1, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию 
+случайной величины; центральный момент первого порядка равен нулю.
+
+Центральный момент второго порядка называют\ж дисперсией\н: $D(X)=\mean{(x-\mean{x})^2}\equiv 
+\mean{x^2}-\mean{x}^2$,  $\sigma=\sqrt{D}$.
+
+\smallskip
+
+Свойства дисперсии:
+\begin{itemize}
+\item $D(\const)=0$;
+\item $D(\const X)=C^2 D(X)$, где $\C$~-- постоянная величина;
+\item $D(\sum X_n)=\sum D(X_n)$.
+\end{itemize}
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\section{Законы распределения}
+\begin{frame}{Законы распределения}
+\begin{defin}
+\ж Закон распределения\н \к дискретной\н случайной величины~--- соответствие между возможными 
+значениями и их вероятностями.
+\end{defin}
+\begin{block}{Функция распределения}
+$$F(x)\equiv P(X\le x)=\Int_{-\infty}^x\phi(x)\,dx, \qquad
+\Infint\phi(x)\,dx=1.$$
+$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Равномерное распределение}
+\begin{columns}\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{}
+$$
+\phi(x)=\begin{cases}\frac1{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b]
+\end{cases}.
+$$
+$$F(x)= \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \le x < b \\ 1, & x \ge
+b \end{cases}.
+$$
+\end{block}\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{}
+$\mean{X}=\med(X)=(a+b)/2$, $\moda(X)=\forall x\in[a,b]$,
+$\displaystyle\sigma^2_X = \frac{(b-a)^2}{12}$.
+\end{block}
+\end{columns}
+
+\smimg[0.45]{Uniform_distribution_PDF}\hspace{3pt}
+\smimg[0.45]{Uniform_distribution_CDF}
+\end{frame}
+
+\begin{lightframe}{Биномиальное распределение}
+\vspace*{-0.8em}\begin{block}{}
+\ж Формула Бернулли\н:
+$\displaystyle P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad
+q=1-p.$
+$$(p+q)^n=C_n^n p^n+\cdots+C_n^k p^k q^{n-k}+\cdots+C_n^0 q^k.$$
+Описывает вероятность наступления события~$k$
+раз в~$n$ независимых испытаниях
+\end{block}\vspace*{-1em}
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\img{Binomial_Distribution}
+\column{0.55\textwidth}
+\begin{block}{}
+$$
+F(k;n,p)=P(X\leq k)=\sum_{i=0}^\floor{k} C_n^i p^i(1-p)^{n-i}.$$
+$\mean{X}=np$, $\moda(X)=\floor{(n+1)p}$, $\floor{np}\le\med(X)\le\ceil{np}$,
+$\sigma^2_X = npq$.
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{lightframe}
+
+\begin{frame}{Распределение Пуассона}
+\vspace*{-2em}\begin{block}{}
+При $n\to\infty$ распределение Бернулли преобразуется в распределение Пуассона ($\lambda=np$):
+$$P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\exp(-\lambda).$$
+\end{block}
+\begin{columns}\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{}
+$F(k, \lambda) = \displaystyle\frac{\Gamma(k+1,\lambda)}{k!}$,
+$\mean{X} = \lambda$, $\moda(X) = \floor{\lambda}$, 
+$\med{X}\approx\floor{\lambda+1/3-0.02/\lambda}$,
+$\sigma^2_X = \lambda$.
+
+С ростом $\lambda$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса.
+\end{block}
+\column{0.48\textwidth}
+\img{poissonpdf}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Распределение Гаусса}
+\vspace*{-2em}\begin{block}{}
+$$
+\phi (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x -\mean{x})^2}{2
+\sigma^2} \right)
+$$
+\end{block}
+\vspace*{-1em}\begin{block}{}
+$F(x) = \displaystyle\frac 1{\sigma \sqrt {2 \pi}} \Int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t
+-\mean{x})^2}{2 \sigma^2} \right)\, dt$,
+$\moda(X) = \med{X} = \mean{X}$.
+\end{block}
+\vspace*{-1em}\img[0.6]{normpdf}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Показательное (экспоненциальное) распределение}
+\vspace*{-1em}\begin{block}{}
+Время между двумя последовательными свершениями события
+$$f(x)=\begin{cases}
+0,& x<0,\\
+\lambda\exp(-\lambda x),& x\ge0;
+\end{cases}\qquad
+F(x)=\begin{cases}
+0,& x<0,\\
+1-\exp(-\lambda x),& x\ge0,
+\end{cases}
+$$
+\end{block}
+\vspace*{-1em}\begin{block}{}
+$\mean{X} = \lambda^{-1}$,
+$\moda(X) = 0$, $\med{X} = \ln(2)/\lambda$,
+$\sigma^2_X = \lambda^{-2}$.
+\end{block}
+\vspace*{-1em}\img[0.5]{exppdf}
+\end{frame}
+
+\section{Корреляция и ковариация}
+\begin{frame}{Корреляция и ковариация}
+\begin{defin}
+\ж{}Ковариация\н является мерой линейной зависимости случайных величин и определяется формулой:
+$\mathrm{cov}(X,Y)=\mean{(X-\mean{X})(Y-\mean{Y})}$ $\Longrightarrow$ $\mathrm{cov}(X,X) = 
+\sigma^2_X$.
+\к Ковариация независимых случайных величин равна нулю\н, обратное неверно.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения второй имеют 
+тенденцию возрастать, а если знак отрицательный~--- убывать.
+
+Масштаб зависимости величин пропорционален их дисперсиям $\Longrightarrow$ масштаб можно 
+отнормировать (\ж{}коэффициент корреляции\н Пирсона):
+$$\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma X\sigma Y}, \qquad \mathbf{r}\in[-1,1].$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{}
+Коэффициент корреляции равен~$\pm1$ тогда и только тогда, когда~$X$ и~$Y$ линейно зависимы. Если 
+они независимы, $\rho_{X,Y}=0$ (\ж{}обратное неверно!\н). Промежуточные значения коэффициента 
+корреляции не позволяют однозначно судить о зависимости случайных величин, но позволяет предполагать 
+степень их зависимости.
+\end{block}
+\begin{block}{Корреляционная функция}
+Одна из разновидностей~---\ж автокорреляционная функция\н:
+$$
+\Psi(\tau) = \Int f(t) f(t-\tau)\, dt\equiv
+\Int f(t+\tau) f(t)\,dt.
+$$
+Для дискретных случайных величин автокорреляционная функция имеет вид
+$$
+\Psi(\tau) = \aver{X(t)X(t-\tau)}\equiv\aver{X(t+\tau)X(t)}.
+$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{}
+\begin{block}{Взаимно корреляционная функция}
+Другая разновидность~---\ж кросс--корреляционная функция\н:
+$$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f^{*}(\tau)g(t+\tau)\,d\tau$$
+свертка:
+$$ (f*g)(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f(y)\,g(x-y)\,dy = \Infint f(x-y)\,g(y)\, dy.$$
+
+\end{block}
+\img[0.5]{convcorr}
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{}
+Если $X$ и $Y$~--- два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей 
+$f$ и $g$, то $f\star g$ соответствует распределению вероятностей выражения $-X+Y$, а $f*g$~---
+распределению вероятностей суммы $X + Y$.
+
+ВКФ часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной, 
+определения сдвига (см.~рис).
+
+Связь со сверткой: $f(t)\star g(t) = f^*(-t) * g(t)$, если $f$ и $g$ четны, то 
+$f(t)\star g(t) = f(t) * g(t)$. Через преобразование Фурье:
+$\FT{f \star g} = \FT{f}^*\cdot\FT{g}$.
+\end{block}\img[0.6]{autocorr}
+\end{frame}
+
+\section{Шум}
+\begin{frame}{Шум}
+\begin{defin}
+\ж Шум\н~--- беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложной временной и
+спектральной структурой.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+\ж Белый шум\н, $\xi(t)$, имеет время корреляции много меньше всех характерных времен физической 
+системы;  $\mean{\xi(t)}=0$, $\Psi(t,\tau)=\aver{\xi(t+\tau)\xi(t)}=\sigma^2(t)\delta(\tau)$.
+Разновидность~--- AWGN.
+
+\ж Дробовой шум\н имеет пуассонову статистику~\so $\sigma_X\propto\sqrt{x}$ и 
+$\SNR(N)\propto\sqrt{N}$. Суточные и вековые корреляции.
+
+Шум вида \ж<<соль--перец>>\н обычно характерен для изображений, считываемых с ПЗС.
+\end{block}
+\end{frame}
+\begin{frame}{SNR}
+\begin{defin}
+\ж SNR\н~--- безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+$$\SNR = {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}} = \left ({A_\mathrm{signal} \over 
+A_\mathrm{noise} } \right )^2, \quad
+\SNR(dB) = 10 \lg \left ( {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}}
+\right )
+= 20 \lg \left ( {A_\mathrm{signal} \over A_\mathrm{noise}} \right ).
+$$
+\end{block}
+
+\img[0.6]{SNR}
+\centerline{\tiny (10, 0, -10~дБ.)}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.tex

@@ -0,0 +1,283 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{ed}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Компьютерная обработка. Лекции 3, 4.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
+\subtitle{Лекция 3. Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности.\\
+Лекция 4. Теория оценок.}
+\date{28 сентября 2016 года}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{Измерения и величины}
+\begin{frame}{Измерения и величины}
+\begin{defin}
+\ж Мерой\н называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения значения 
+физической величины.
+Результатом сравнения оцениваемой вещи с мерой является именованное число,
+называемое\ж значением величины\н.
+\end{defin}
+\begin{block}{Физические величины}
+\begin{itemize}
+\item постоянные (инварианты, константы, априорно фиксированные значения);
+\item изменяющиеся (по определенному закону от $t$);
+\item случайные (не имеющие точного значения).
+\end{itemize}
+Единицы измерения, размерность.\par
+Скалярные, векторные, комплексные, тензорные величины.\par
+Метрология.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Виды измерений}
+\begin{description}
+\only<1>{
+\item[Прямое] при котором искомое значение физической величины получают непосредственно.
+\item[Косвенное] на основании результатов прямых измерений других физических величин, 
+функционально связанных с искомой величиной.
+\item[Совместные] проводимые одновременно для нескольких неодноименных величин для определения 
+зависимости  между ними.
+\item[Совокупные] при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, 
+получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.
+\item[Равноточные] выполненные  одинаковыми по точности средствами измерений.
+\item[Неравноточные] выполненных различающимися по точности средствами измерений и (или) в разных 
+условиях.}
+\only<2>{
+\item[Однократное, многократное]
+\item[Статическое] для  величины, принимаемой в соответствии с конкретной  измерительной задачей за 
+неизменную на протяжении времени измерения.
+\item[Динамическое] для  изменяющейся по размеру физической величины.
+\item[Абсолютное]  основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных 
+величин и (или) использовании значений физических констант.
+\item[Относительное] сравнение с эталонными мерами.}
+\end{description}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Представление результатов измерений}
+\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
+Графическое
+\img[0.7]{graph_res}
+\column{0.5\textwidth}
+Табличное
+\img{tab_res}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\section{Погрешность}
+\begin{frame}{Погрешность}
+\only<1>{
+\begin{defin}
+\ж Погрешность\н --- отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) 
+значения. 
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Абсолютная погрешность, $\Delta x$ (напр., RMS); относительная погрешность, $\delta x=\Delta 
+x/\mean{x}$; приведенная погрешность $\gamma x=\Delta x/N_x$ (нормировочный коэффициент).
+\end{block}
+\begin{block}{По причине возникновения}
+\begin{description}
+\item[Инструментальные] определяются погрешностями применяемых средств измерений.
+\item[Методические] обусловлены  несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу 
+методики.
+\item[Субъективные] обусловлены качествами экспериментатора.
+\end{description}
+\end{block}}
+\only<2>{
+\begin{block}{По характеру проявления}
+\begin{description}
+\item[Случайные] обусловлены совокупностью внешних факторов, влияющих на результат эксперимента.
+\item[Систематические] связаны с влиянием прибора на измеряемую величину или методическими 
+ошибками, выявляются лишь сменой прибора\slash метода\slash экспериментатора.
+\item[Промахи] наиболее сильно себя проявляют и связаны с неисправностью прибора или 
+экспериментатора.
+\end{description}
+\end{block}
+\begin{block}{Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического}
+$$
+\sigma_{\mean{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}=
+\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(\mean{x_i}-\aver{x})^2}{n(n-1)}}.
+$$
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Доверительный интервал}
+\only<1>{\begin{columns}\column{0.6\textwidth}
+\begin{block}{Доверительная вероятность}
+$p = P(X_0 \le x \le X_1)$
+\end{block}
+\begin{block}{Математическое ожидание}
+Если известен закон распределения (мат. ожидание и дисперсия: $\mu$ и $\sigma$), то 
+$$P\Bigl(\mean{X}-z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le
+	\mean{X}+z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
+где $z_\alpha$~-- $\alpha$--квантиль нормального распределения
+\end{block}
+\column{0.4\textwidth}
+\img{Boxplot_vs_PDF}
+Квантили: первый, второй (медиана) и третий.
+\end{columns}
+}
+\only<2>{
+\begin{block}{Математическое ожидание}
+Если закон распределения неизвестен, то
+$$P\Bigl(\mean{X}-t_{1-\frac{\alpha}2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le
+	\mean{X}+t_{1-\frac{\alpha}2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
+где $S$~-- несмещенный RMS. Величина
+$$T=\frac{\mean{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$ имеет распределение Стьюдента, а $t_{\alpha, n-1}$~-- его 
+квантили.
+
+Пример: $\mean{X}=10$, $S_n=2$, $n=11$ (10~степеней свободы), по таблице для двухстороннего 
+распределения Стьюдента с вероятностью~95\% $T_{10}^{95}=2.228$. Тогда доверительный интервал есть
+$\mean{X}\pm TS_n/\sqrt{n}$, т.е. $\mu\in(8.6565, 11.3440)$.
+\end{block}
+}
+\only<3>{
+\begin{block}{Дисперсия}
+Если известно среднее, можно воспользоваться распределением $\chi^2$.
+$$
+P\Biggl(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n}}\le\sigma^2\le
+\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n}}\Biggr)=\alpha.
+$$
+Если же среднее неизвестно, то 
+$$
+P\Bigl(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n-1}}\le\sigma^2\le
+\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n-1}}\Bigr)=\alpha.
+$$
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Правила вычисления погрешностей}
+\begin{block}{}
+\begin{enumerate}
+\item 
+$$\Delta\bigl(\sum a_n\bigr)=\sum\Delta a_n.$$
+\item 
+$$\prod(a_i\pm\Delta a_i)=\prod a_i\prod(1\pm\delta a_i)\approx
+\prod a_i(1\pm\sum\delta a_i),$$
+$$\bigl(a[1\pm\delta a]\bigr)^n\approx a^n(1\pm n\delta a).$$
+\item\ж В сложных функциях\н вида $y=f(x_1,\ldots,x_n)$ можно оценить
+погрешность, воспользовавшись приближением:
+$$
+\delta y\approx\Bigl|\frac{dy}{y}\Bigr|=\Bigl|
+\frac{d f(x_1,\ldots,x_n)}{f(x_1,\ldots,x_n)}\Bigr|,
+$$
+в котором следует заменить $\frc{dx_i}{x_i}=\delta x_i$~-- относительная
+погрешность
+измерения величины~$x_i$, $d x_i=\Delta x_i$~-- абсолютная погрешность. Все
+слагаемые необходимо суммировать по абсолютной величине.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Метод наименьших квадратов}
+\begin{frame}{Метод наименьших квадратов}
+\begin{block}{}
+Пусть имеется функция $f(x|a)$, зависящая от аргумента $x$ и набора параметров~$a$. Данной функции 
+соответствует набор пар данных $(x_n,y_n)$, причем $y_n=f(x_n|a)+\epsilon_n$, где $\epsilon_n$~-- 
+случайная ошибка. Математическое ожидание ошибки $\mean{\epsilon}=0$, ее среднеквадратическое 
+отклонение равно~$\sigma_n$. Для оценки~$a$ (аппроксимации набора данных заданной функцией) 
+необходимо минимизировать выражение 
+$$\Phi=\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{y_n-f(x_n|a)}{\sigma^2_n}\Bigr)^2.$$
+При этом подразумевается, что  число измерений превышает число параметров~$a$.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Пример: линейная зависимость}
+\begin{block}{}
+Пусть $y=ax+b$, $x_n$ известны с пренебрежимо малой погрешностью, $y_n$~-- результаты измерений 
+с нормальным распределением, $\mean{y_i}=ax_i+b$. Минимизируем величину $Y=\sum(y_i-\mean{y_i})^2$,
+$\partder{Y}{a}=0$, $\partder{Y}{b}=0$:
+$$
+a=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x^2_i-\Bigl(\sum x_i\Bigr)^2}=
+\frac{\mean{xy}-\mean{x}\,\mean{y}}{\mean{x^2}-(\mean{x})^2},
+$$
+$$
+b=\frac{\sum x_i^2\sum y_i-\sum x_i\sum x_i y_i}{n\sum x^2_i-\Bigl(\sum
+x_i\Bigr)^2}=
+\frac{\mean{x^2\strut}\,\mean{\strut
+y}-\mean{x}\,\mean{xy}}{\mean{x^2}-(\mean{x})^2}.
+$$
+$$
+\sigma^2=\frac{n}{n-2}\Bigl(\mean{y^2}-(\mean{y})^2-a^2\bigl[
+\mean{x^2}-(\mean{x})^2\bigr]\Bigr),\qquad
+\sigma^2_a=\frac{\sigma^2}{n\bigl(\mean{x^2}-(\mean{x})^2\bigr)},\quad
+\sigma_b^2=\sigma_a^2\mean{x^2}.
+$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Аппроксимация МНК}
+\only<1>{\img{lesssquare}}
+\only<2>{
+\begin{block}{}
+Некоторые зависимости, можно свести к линейным. Например, $y=\e^{ax+b}$ \so $\ln y=ax+b$. 
+
+Возможно также сведение зависимостей к системам линейных уравнений $A\vec{x}=\vec{b}$, ранг матрицы 
+$A$ должен быть больше количества искомых переменных. Минимизируем 
+$(A\vec{x}-\vec{b})^T(A\vec{x}-\vec{b})$, что приводит к системе уравнений
+$$
+A^TA\vec{x}=A^T\vec{b}\quad\so\quad
+\vec{x}=(A^TA)^{-1}A^T\vec{b}.
+$$
+Или $\vec{x}=A^{+}\vec{b}$ (псевдообратная матрица), в Octave~--- <<левое деление>> $A\backslash 
+b$.
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}[fragile]{}
+\begin{block}{Пример}
+Пусть заведомо величина изменяется по закону $y=a_0+a_1\e^{-t}+a_2te^{-t}$.
+В матричном виде $Y=TA$, где $T$~-- функциональная матрица, у которой в первом столбце
+размещены единицы (соответствует умножению на~$a_0$), во втором~--- функция
+$\e^{-t}$, а в третьем~--- $t\e^{-t}$. Коэффициенты~$A$ найдем при помощи МНК:
+$A=T\backslash Y$.
+\begin{verbatim}
+t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
+y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';
+T = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)];
+A = T\y
+\end{verbatim}
+
+\end{block}
+
+\end{frame}
+
+\section{Правило <<трех сигм>>}
+\begin{frame}{Правило <<трех сигм>>}
+\begin{block}{}
+При гауссовом распределении случайной величины вероятность 
+$$P(|x-\mean{x}|<3\sigma)=2\Phi(3)=0.9973.$$
+($\Phi$~-- нормальное интегральное распределение).
+\end{block}
+\begin{defin}
+\ж Правило трех сигм\н: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее 
+отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.
+\end{defin}
+\begin{defin}
+\ж Теорема Ляпунова\н: случайная величина, являющаяся суммой большого числа взаимно независимых 
+случайных величин, имеет нормальное распределение.
+\end{defin}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/05-sistur.tex

@@ -0,0 +1,226 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{ed}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Компьютерная обработка. Лекция 5.]{Компьютерная обработка результатов 
+измерений}
+\subtitle{Лекция 5. Системы уравнений}
+\date{29 сентября 2016 года}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{Системы уравнений}
+\begin{frame}{Системы уравнений}
+\begin{defin}
+\ж Система линейных уравнений\н для $n$ неизвестных имеет вид:
+$$
+\left\{
+\begin{aligned}
+a_{11}x_1+a_{12}x_2&+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1;\\
+a_{21}x_1+a_{22}x_2&+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2;\\
+\cdots\\
+a_{n1}x_1+a_{n2}x_2&+\cdots+a_{nn}x_n&=b_n.
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+\end{defin}
+\begin{defin}
+Если существует вектор--столбец~$\B x$, обращающий выражение~$\B{Ax=b}$ в тождество, говорят, 
+что~$\B x$ является\ж решением\н данной системы уравнений.
+$|\B A|\ne0$. 
+\end{defin}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Методы решений}
+\only<1>{\begin{block}{}
+$\delta=\B{Ax-b}$.
+Приближенные методы: $\mathrm{min}(\delta)$. Точные методы: $\delta=0$.\\
+\end{block}
+\begin{block}{Метод простой итерации}
+$\B{x=Bx+c}$, $\B x_{n+1}=\B B\B x_n+\B c$.\\
+Сложностью метода простой итерации при решении матриц больших размерностей является особое свойство 
+таких матриц~--- существование\к почти собственных значений\н, $\lambda$: 
+$||\B{Ax}-\lambda\B x||\le\epsilon||\B x||$ при $||\B x||\ne0$.\\
+\end{block}
+\begin{block}{Матричный метод}
+$\B x = \B A^{-1}\B b$
+\end{block}
+}
+\only<2>{
+\begin{block}{Метод Гаусса}
+$$
+\B A_d\B{x} = \pmb\beta,\quad
+\B A_d=\begin{pmatrix}
+\alpha_{11}&\alpha_{12}&\alpha_{13}&\cdots&\alpha_{1m}\\
+0&\alpha_{22}&\alpha_{23}&\cdots&\alpha_{2m}\\
+\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
+0&0&0&\cdots&\alpha_{mm}
+\end{pmatrix}.
+$$
+Прямой ход~--- преобразование к диагональной форме:
+$$
+\left(\begin{matrix}
+\alpha_{11}&\alpha_{12}&\alpha_{13}&\cdots&\alpha_{1m}\\
+0&\alpha_{22}&\alpha_{23}&\cdots&\alpha_{2m}\\
+\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
+0&0&0&\cdots&\alpha_{mm}
+\end{matrix}\middle|
+\begin{matrix}\beta_1\\\beta_2\\\cdot\\\beta_m\end{matrix}\right).
+$$
+Обратный ход~--- последовательное нахождение $x_m$, $x_{m-1}$, \dots, $x_1$.
+
+$N\propto n^3$~--- прямой, $N\propto n^2$~--- обратный ход.
+\end{block}
+}
+\only<3>{
+\begin{block}{}
+\ж Метод Зейделя\н: \\
+$$\B{Bx}_{n+1}+\B{Cx}_n=\B b,$$
+где
+$$\B B=\begin{pmatrix}
+a_{11}&0&0&\cdots&0\\
+a_{21}&a_{22}&0&\cdots&0\\
+\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
+a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mm}
+\end{pmatrix},\qquad
+\B C=\begin{pmatrix}
+0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1m}\\
+0&0&a_{23}&\cdots&a_{2m}\\
+\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
+0&0&0&\cdots&0
+\end{pmatrix}.
+$$
+Отсюда получаем
+$$\B x_{n+1}=-\B B^{-1}\B{Cx}_n +\B B^{-1}\B b.$$
+\end{block}
+}
+\only<4>{
+\begin{block}{}
+Если $\B A$ содержит~$m$ строк и~$n$ столбцов, то:
+\begin{description}
+\item[$m=n$] квадратная матрица, возможно существование точного решения;
+\item[$m<n$] недоопределенная система, решение возможно лишь в общем виде
+с по крайней мере~$n-m$ свободных коэффициентов;
+\item[$m>n$] переопределенная система, приближенное решение которой находится
+при помощи метода наименьших квадратов (в случае линейной зависимости строк
+данной системы может существовать и точное решение).
+\end{description}
+\end{block}
+\begin{block}{Приближенные решения}
+МНК ($\B{x=A\backslash b}$), псевдообратная матрица, \dots
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\section{Степенные уравнения}
+\begin{frame}{Степенные уравнения}
+\begin{defin}
+\ж Степенное уравнение\н имеет вид $p_n(x)=0$, где $p_n(x)$~-- полином~$n$~-й степени вида 
+$p_n(x)=\sum_{i=0}^n C_nx^n$.
+\end{defin}
+\begin{block}{Методы решения}
+Точные~--- до третьей степени включительно (в общем случае) и итерационные:
+\begin{description}
+\item[бисекция] деление пополам отрезка, где находится корень;
+\item[метод хорд] замена полинома хордой, проходящей через точки $(x_1, p_n(x_1)$ и $(x_2, 
+p_n(x_2)$;
+\item[метод Ньютона] имеет быструю сходимость, но требует знакопостоянства $f'(x)$ и $f''(x)$ на 
+выбранном интервале $(x_1, x_2)$.
+\end{description}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{Метод Ньютона}
+\img[0.7]{Newton_iteration}
+\end{blueframe}
+
+\section{Численное интегрирование и дифференцирование}
+\begin{frame}{Численное интегрирование и дифференцирование}
+\only<1>{
+\begin{block}{Численное интегрирование}
+Для численного решения уравнения $\displaystyle I=\Int_a^b f(x)\,dx$ наиболее популярны:
+\begin{description}
+\item[метод прямоугольников] $I\approx\sum_{i=1}^n f(x_i)[x_i-x_{i-1}]$;
+\item[метод трапеций] $I\approx\sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}[x_i-x_{i-1}]$;
+\item[метод Симпсона] $\Int_{-1}^1 f(x)\,dx\approx\frac13\bigl(f(-1)+4f(0)+f(1)\bigr)$ \so
+$I\approx\frac{b-a}{6n}\Bigl(f(x_0)+f(x_n)+2\sum_{i=1}^{n/2-1}
+f(x_{2i}) + 4\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})\Bigr)$.
+\end{description}
+и многие другие.
+\end{block}}
+\only<2>{
+\begin{block}{Численное дифференцирование}
+Аппроксимация функции интерполяционным многочленом (Ньютона, Стирлинга и т.п.), разделенные 
+разности.
+
+В нулевом приближении можно заменить производную $f^{(n)}$ разделенной разностью $n$-го порядка:
+$$f(x_0; x_1; \ldots; x_n) = \sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)}{\displaystyle
+\prod_{j=0, j\ne i}^n\!\!(x_i - x_j)}.$$
+\end{block}}
+\end{frame}
+
+\section{Дифференциальные уравнения}
+\begin{frame}{Дифференциальные уравнения}
+\only<1>{
+\begin{defin}
+\ж Обыкновенные дифференциальные уравнения\н~(ОДУ) порядка~$n$ задаются в виде
+функции $f(x,y,y',\ldots,y^{(n)})=0$.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Разделение переменных:\vspace{-2em}
+$$y'=f(x,y) \so \phi(y)\,dy=\psi(x)\,dx \so y=y_0+\Int_0^{x}\psi(x)\,dx.$$
+
+ОДУ второго порядка:
+$$Ay''+By'+Cy+Dx=0.$$
+Если $D\equiv0$, а множители $A$, $B$ и~$C$~--- константы, имеем однородное ОДУ. 
+$y=\C_1\exp(k_1x)+\C_2\exp(k_2x)$, где~$k_1$ и~$k_2$~-- корни\к
+характеристического уравнения\н $Ak^2+Bk+C=0$.
+\end{block}}
+\only<2>{
+\begin{defin}
+\ж Дифференциальные уравнения в частных производных\н~(ЧДУ) для функции
+$y=y(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ имеют вид
+$$f(y,x_1,\ldots,x_n;\partder{y}{x_1},\ldots;\dpartder{y}{x_1},\ldots;\cdots;
+\frac{\partial^m y}{\partial x_1^m},\ldots)=0.$$
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Однако, наиболее часто встречаются ЧДУ первого порядка для функции двух
+переменных $z=z(x,y)$ вида
+$$f(z,x,y,\partder{z}{x},\partder{z}{y})=0.$$
+\end{block}}
+\only<3>{
+\begin{block}
+\ж Нелинейные\н дифференциальные уравнения содержат некоторые производные
+функции~$y$ не как простые множители, а как аргументы функций (чаще всего~---
+степенных), например: $(y'')^3-\sin y'=\tg(xy)$. Обычные физические задачи
+никогда не приводят к таким уравнениям, однако, и их решения вполне можно
+найти при помощи численных методов.
+\end{block}
+\begin{block}{Методы решения}
+Рунге--Кутты, Эйлера, Адамса, конечных разностей и т.п.
+
+Дифференциальные уравнения высших порядков сводят путем замены переменных к системе ОДУ первого 
+порядка.
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/06-analysis.tex

@@ -0,0 +1,99 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+%\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{ed}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Компьютерная обработка. Лекция 6.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
+\subtitle{Лекция 6. Анализ временных рядов. Фурье-- и Вейвлет--анализ}
+\date{5 октября 2016 года}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{Аппроксимация и интерполяция}
+\begin{frame}{Аппроксимация и интерполяция}
+\only<1>{
+\begin{defin}
+\ж Аппроксимация\н. Некоторую функцию $f(x)$, $x\in(x_0, x_1)$ требуется приближенно заменить 
+некоторой функцией~$g(x)$ так, чтобы отклонение~$g(x)$ от~$f(x)$ в заданной области было наименьшим.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Точечная (интерполяция, среднеквадратичное приближение и т.п.) и непрерывная аппроксимации.
+\end{block}
+\begin{defin}
+\ж Интерполяция\н является частным случаем аппроксимации, позволяющем вычислить промежуточные 
+значения дискретной функции.
+\end{defin}}
+\begin{block}{Ряд Тейлора}
+$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\cdots+\frac{(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0)}{n!}+R_n.$$
+\end{block}
+\only<2>{
+\begin{block}{}
+Выбирая первые $N$ членов ряда Тейлора получаем разные виды интерполяции. Линейная:
+$$f_n(x)\approx y_n+(x-x_n)\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}.$$
+Ньютона (для равноотстоящих $x$, $h=x_{n+1}-x_n$):
+$$f^k_n(x)\approx y_n + q\Delta y_n + \frac{1(1-q)}{2!}\Delta^2y_n + \cdots
++\frac{q(q-1)\cdots(q-k+1)}{k!}\Delta^ky_n,$$
+где  $q=\dfrac{x-x_n}{h}$, $\Delta^i$~-- конечные разности ($\Delta y_n = y_{n+1}-y_n$, \dots,
+$\Delta^k y_n = \Delta^{k-1}y_{n+1} - \Delta^{k-1}y_n$).
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{defin}
+\ж Сплайн\н~--- кусочная полиномиальная функция, которая на заданном отрезке может принимать очень 
+простую форму, в то же время имея гибкость и гладкость.
+\end{defin}
+
+\begin{block}{Степенной сплайн}
+Набор полиномов степени $k$ со следующими ограничениями:
+\begin{itemize}
+\item сплайны должны совпадать в узловых точках с задающей функцией: $p_n(x_n) = f(x_n)$;
+\item предыдущий сплайн должен переходить в следующий в точках сшивания, 
+$p_n(x_n)=p_{n+1}(x_n)$;
+\item все производные до $f^{(k-1)}$ должны быть непрерывными и гладкими:
+$p^i_n(x_n)=p^i_{n+1}(x_n)$ для $i=\overline{1,k-1}$;
+\end{itemize}
+$n-1$ полином степени $k$ имеют $(k+1)(n-1)=(k+1)n-k-1$ свободных коэффициентов. Данные ограничения 
+дают нам
+$n+(n-2)\cdot k=(k+1)n-2k$ уравнений. Чтобы получить еще $k-1$ уравнений, нужны дополнительные 
+условия. Чем больше $k$, тем тяжелей. Поэтому обычно дальше $k=3$ не идут.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\begin{block}{B--сплайн}
+Базисные сплайны менее подвержены влиянию изменения отдельных точек данных (изменение одной вершины 
+B--сплайна степени $k$ ведет к изменению лишь $k+1$ соседних сплайнов). При этом, однако, теряются 
+точные интерполяционные свойства: $p_n(x_n)\ne f(x_n)$ \so снижается влияние шумов (B--сплайн 
+проходит только через первый и последний узлы, повышаем степень~--- улучшаем сглаживание данных). 
+Количество узлов: $n\ge k+1$.
+\end{block}
+\begin{block}{Сплайны Акимы}
+Дают меньшие осцилляции.
+\end{block}}
+\only<2>{
+\img[0.7]{1D_Inter_polation}
+}
+\end{frame}
+
+
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/Makefile

@@ -0,0 +1,11 @@
+SRCS = $(wildcard *.tex)
+PDFS = $(SRCS:.tex=.pdf)
+
+
+all: $(PDFS)
+
+%.pdf : %.tex
+	latexmk --pdf $<
+
+clean:
+	rm -f *.aux *.log *.nav *.out *.snm *.vrb *.backup *.toc *~ *.fls *.fdb_latexmk

Komp_obr/lect.sty

@@ -0,0 +1,85 @@
+\usepackage[T2A]{fontenc}       %ÐÏÄÄÅÒÖËÁ ËÉÒÉÌÌÉÃÙ
+\usepackage[koi8-r]{inputenc}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+\usepackage{xspace}
+%\usepackage[intlimits]{amsmath}
+
+
+\def\No{\textnumero}
+
+\graphicspath{{./pic/}}
+\usetheme{Boadilla}
+\usefonttheme{structurebold}
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+\setbeamercovered{transparent}
+
+\newenvironment{pict}%
+    {\begin{figure}[!h]\begin{center}\noindent}%
+    {\end{center}\end{figure}}
+
+\setbeamercolor{color1}{bg=blue!50!black,fg=white}
+\setbeamercolor{normal text}{bg=blue!20!black,fg=cyan!70!white}
+\setbeamercolor{frametitle}{fg=red,bg=blue!40!black}
+\setbeamercolor{title}{fg=red,bg=blue!40!black}
+\setbeamercolor{block title}{fg=cyan,bg=blue!40!black}
+\newenvironment{defin}{\begin{beamercolorbox}[shadow=true, rounded=true]{color1}}%
+{\end{beamercolorbox}}
+\newcommand{\img}[2][]{\begin{pict}\includegraphics[width=#1\columnwidth]{#2}\end{pict}}
+\newcommand{\smimg}[2][]{\includegraphics[width=#1\columnwidth]{#2}}
+\logo{\includegraphics[width=1cm,height=1cm,keepaspectratio]{saologo.jpg}}
+
+\def\daterussian{ % fix for iÀÎÑ and iÀÌÑ
+  \def\today{\number\day~\ifcase\month\or
+   \cyrya\cyrn\cyrv\cyra\cyrr\cyrya\or
+   \cyrf\cyre\cyrv\cyrr\cyra\cyrl\cyrya\or
+   \cyrm\cyra\cyrr\cyrt\cyra\or
+   \cyra\cyrp\cyrr\cyre\cyrl\cyrya\or
+   \cyrm\cyra\cyrya\or
+   \cyri\cyryu\cyrn\cyrya\or
+   \cyri\cyryu\cyrl\cyrya\or
+   \cyra\cyrv\cyrg\cyru\cyrs\cyrt\cyra\or
+   \cyrs\cyre\cyrn\cyrt\cyrya\cyrb\cyrr\cyrya\or
+   \cyro\cyrk\cyrt\cyrya\cyrb\cyrr\cyrya\or
+   \cyrn\cyro\cyrya\cyrb\cyrr\cyrya\or
+   \cyrd\cyre\cyrk\cyra\cyrb\cyrr\cyrya\fi
+   \space \number\year~\cyrg.}}
+
+\author[åÍÅÌØÑÎÏ× ü.÷.]{åÍÅÌØÑÎÏ× üÄÕÁÒÄ ÷ÌÁÄÉÍÉÒÏ×ÉÞ}
+\institute[óáï òáî]{óÐÅÃÉÁÌØÎÁÑ ÁÓÔÒÏÆÉÚÉÞÅÓËÁÑ ÏÂÓÅÒ×ÁÔÏÒÉÑ òáî\\
+	{\tiny ìÁÂÏÒÁÔÏÒÉÑ ÏÂÅÓÐÅÞÅÎÉÑ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÊ}\\
+}
+
+\def\Ö{\bf}
+\def\Ô{\tt}
+\def\Î{\normalfont}
+\def\Ë{\it}
+\def\t#1{\texttt{#1}}
+\def\bi{\bfseries\itshape} % öÉÒÎÙÊ ËÕÒÓÉ×
+\def\red#1{\textcolor{red}{#1}}
+\def\green#1{\textcolor{green}{#1}}
+\def\blue#1{\textcolor{blue}{#1}}
+
+\newenvironment{lightframe}{\bgroup\setbeamercolor{normal text}%
+{bg=blue}\begin{frame}}{\end{frame}\egroup}
+\newenvironment{blueframe}{\bgroup\setbeamercolor{normal text}%
+{bg=cyan!70!white}\begin{frame}}{\end{frame}\egroup}
+
+\def\aver#1{\bgroup\mathopen{<}#1\mathclose{>}\egroup}
+\def\B#1{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
+\def\ceil#1{\bgroup\lceil #1\rceil\egroup}
+\def\const{\ensuremath{\mathfrak{const}}}
+\def\C{\ensuremath{\mathfrak{C}}}
+\def\dpartder#1#2{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}	% ×ÔÏÒÁÑ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
+\def\e{\mathop{\mathrm e}\nolimits}
+\def\floor#1{\bgroup\lfloor #1\rfloor\egroup}
+\def\frc#1#2{\bgroup\raisebox{2pt}{$#1$}\big/\raisebox{-3pt}{$#2$}\egroup}
+\def\FT#1{\mathcal{F}(#1)}
+\def\Int{\int\limits}
+\def\Infint{\int\limits_{-\infty}^\infty}
+\def\mean#1{\overline{#1}}
+\def\med{\mathop{\mathrm{med}}\nolimits}
+\def\moda{\mathop{\mathrm{Mo}}\nolimits}
+\def\partder#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}
+\def\so{\ensuremath{\Longrightarrow}\xspace} % ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
+\def\SNR{\mathop{\mathrm{SNR}}\nolimits}
+

Komp_obr/template.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{ed}
+\usepackage{lect}
+
+\title[ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ. ìÅËÃÉÑ .]{ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ}
+\subtitle{ìÅËÃÉÑ .}
+\date{23 ÍÁÑ 2016 ÇÏÄÁ}
+
+\begin{document}
+% ôÉÔÕÌ
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{óÐÁÓÉÂÏ ÚÁ ×ÎÉÍÁÎÉÅ!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

README.md

@@ -2,3 +2,6 @@
 
 ## Astroschool_lect
 Лекции для 4-й сессии астрофизической школы ("Траектория")
+
+## Komp_obr
+Лекции для аспирантов САО РАН по программе "Компьютерная обработка результатов измерений"