mirror of
https://github.com/eddyem/lectures.git
synced 2025-12-06 02:35:18 +03:00
284 lines
9.9 KiB
TeX
284 lines
9.9 KiB
TeX
\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
|
||
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
|
||
\usepackage{ed}
|
||
\usepackage{lect}
|
||
|
||
\title[Компьютерная обработка. Лекции 3, 4.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
|
||
\subtitle{Лекция 3. Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности.\\
|
||
Лекция 4. Теория оценок.}
|
||
\date{28 сентября 2016 года}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
% Титул
|
||
\begin{frame}
|
||
\maketitle
|
||
\end{frame}
|
||
% Содержание
|
||
\begin{frame}
|
||
\tableofcontents
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Измерения и величины}
|
||
\begin{frame}{Измерения и величины}
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж Мерой\н называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения значения
|
||
физической величины.
|
||
Результатом сравнения оцениваемой вещи с мерой является именованное число,
|
||
называемое\ж значением величины\н.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{Физические величины}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item постоянные (инварианты, константы, априорно фиксированные значения);
|
||
\item изменяющиеся (по определенному закону от $t$);
|
||
\item случайные (не имеющие точного значения).
|
||
\end{itemize}
|
||
Единицы измерения, размерность.\par
|
||
Скалярные, векторные, комплексные, тензорные величины.\par
|
||
Метрология.
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Виды измерений}
|
||
\begin{description}
|
||
\only<1>{
|
||
\item[Прямое] при котором искомое значение физической величины получают непосредственно.
|
||
\item[Косвенное] на основании результатов прямых измерений других физических величин,
|
||
функционально связанных с искомой величиной.
|
||
\item[Совместные] проводимые одновременно для нескольких неодноименных величин для определения
|
||
зависимости между ними.
|
||
\item[Совокупные] при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений,
|
||
получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.
|
||
\item[Равноточные] выполненные одинаковыми по точности средствами измерений.
|
||
\item[Неравноточные] выполненных различающимися по точности средствами измерений и (или) в разных
|
||
условиях.}
|
||
\only<2>{
|
||
\item[Однократное, многократное]
|
||
\item[Статическое] для величины, принимаемой в соответствии с конкретной измерительной задачей за
|
||
неизменную на протяжении времени измерения.
|
||
\item[Динамическое] для изменяющейся по размеру физической величины.
|
||
\item[Абсолютное] основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных
|
||
величин и (или) использовании значений физических констант.
|
||
\item[Относительное] сравнение с эталонными мерами.}
|
||
\end{description}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Представление результатов измерений}
|
||
\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
|
||
Графическое
|
||
\img[0.7]{graph_res}
|
||
\column{0.5\textwidth}
|
||
Табличное
|
||
\img{tab_res}
|
||
\end{columns}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Погрешность}
|
||
\begin{frame}{Погрешность}
|
||
\only<1>{
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж Погрешность\н --- отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного)
|
||
значения.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Абсолютная погрешность, $\Delta x$ (напр., RMS); относительная погрешность, $\delta x=\Delta
|
||
x/\mean{x}$; приведенная погрешность $\gamma x=\Delta x/N_x$ (нормировочный коэффициент).
|
||
\end{block}
|
||
\begin{block}{По причине возникновения}
|
||
\begin{description}
|
||
\item[Инструментальные] определяются погрешностями применяемых средств измерений.
|
||
\item[Методические] обусловлены несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу
|
||
методики.
|
||
\item[Субъективные] обусловлены качествами экспериментатора.
|
||
\end{description}
|
||
\end{block}}
|
||
\only<2>{
|
||
\begin{block}{По характеру проявления}
|
||
\begin{description}
|
||
\item[Случайные] обусловлены совокупностью внешних факторов, влияющих на результат эксперимента.
|
||
\item[Систематические] связаны с влиянием прибора на измеряемую величину или методическими
|
||
ошибками, выявляются лишь сменой прибора\slash метода\slash экспериментатора.
|
||
\item[Промахи] наиболее сильно себя проявляют и связаны с неисправностью прибора или
|
||
экспериментатора.
|
||
\end{description}
|
||
\end{block}
|
||
\begin{block}{Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического}
|
||
$$
|
||
\sigma_{\mean{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}=
|
||
\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(\mean{x_i}-\aver{x})^2}{n(n-1)}}.
|
||
$$
|
||
\end{block}
|
||
}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Доверительный интервал}
|
||
\only<1>{\begin{columns}\column{0.6\textwidth}
|
||
\begin{block}{Доверительная вероятность}
|
||
$p = P(X_0 \le x \le X_1)$
|
||
\end{block}
|
||
\begin{block}{Математическое ожидание}
|
||
Если известен закон распределения (мат. ожидание и дисперсия: $\mu$ и $\sigma$), то
|
||
$$P\Bigl(\mean{X}-z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le
|
||
\mean{X}+z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
|
||
где $z_\alpha$~-- $\alpha$--квантиль нормального распределения
|
||
\end{block}
|
||
\column{0.4\textwidth}
|
||
\img{Boxplot_vs_PDF}
|
||
Квантили: первый, второй (медиана) и третий.
|
||
\end{columns}
|
||
}
|
||
\only<2>{
|
||
\begin{block}{Математическое ожидание}
|
||
Если закон распределения неизвестен, то
|
||
$$P\Bigl(\mean{X}-t_{1-\frac{\alpha}2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le
|
||
\mean{X}+t_{1-\frac{\alpha}2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
|
||
где $S$~-- несмещенный RMS. Величина
|
||
$$T=\frac{\mean{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$ имеет распределение Стьюдента, а $t_{\alpha, n-1}$~-- его
|
||
квантили.
|
||
|
||
Пример: $\mean{X}=10$, $S_n=2$, $n=11$ (10~степеней свободы), по таблице для двухстороннего
|
||
распределения Стьюдента с вероятностью~95\% $T_{10}^{95}=2.228$. Тогда доверительный интервал есть
|
||
$\mean{X}\pm TS_n/\sqrt{n}$, т.е. $\mu\in(8.6565, 11.3440)$.
|
||
\end{block}
|
||
}
|
||
\only<3>{
|
||
\begin{block}{Дисперсия}
|
||
Если известно среднее, можно воспользоваться распределением $\chi^2$.
|
||
$$
|
||
P\Biggl(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n}}\le\sigma^2\le
|
||
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n}}\Biggr)=\alpha.
|
||
$$
|
||
Если же среднее неизвестно, то
|
||
$$
|
||
P\Bigl(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n-1}}\le\sigma^2\le
|
||
\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n-1}}\Bigr)=\alpha.
|
||
$$
|
||
\end{block}
|
||
}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Правила вычисления погрешностей}
|
||
\begin{block}{}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
$$\Delta\bigl(\sum a_n\bigr)=\sum\Delta a_n.$$
|
||
\item
|
||
$$\prod(a_i\pm\Delta a_i)=\prod a_i\prod(1\pm\delta a_i)\approx
|
||
\prod a_i(1\pm\sum\delta a_i),$$
|
||
$$\bigl(a[1\pm\delta a]\bigr)^n\approx a^n(1\pm n\delta a).$$
|
||
\item\ж В сложных функциях\н вида $y=f(x_1,\ldots,x_n)$ можно оценить
|
||
погрешность, воспользовавшись приближением:
|
||
$$
|
||
\delta y\approx\Bigl|\frac{dy}{y}\Bigr|=\Bigl|
|
||
\frac{d f(x_1,\ldots,x_n)}{f(x_1,\ldots,x_n)}\Bigr|,
|
||
$$
|
||
в котором следует заменить $\frc{dx_i}{x_i}=\delta x_i$~-- относительная
|
||
погрешность
|
||
измерения величины~$x_i$, $d x_i=\Delta x_i$~-- абсолютная погрешность. Все
|
||
слагаемые необходимо суммировать по абсолютной величине.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Метод наименьших квадратов}
|
||
\begin{frame}{Метод наименьших квадратов}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Пусть имеется функция $f(x|a)$, зависящая от аргумента $x$ и набора параметров~$a$. Данной функции
|
||
соответствует набор пар данных $(x_n,y_n)$, причем $y_n=f(x_n|a)+\epsilon_n$, где $\epsilon_n$~--
|
||
случайная ошибка. Математическое ожидание ошибки $\mean{\epsilon}=0$, ее среднеквадратическое
|
||
отклонение равно~$\sigma_n$. Для оценки~$a$ (аппроксимации набора данных заданной функцией)
|
||
необходимо минимизировать выражение
|
||
$$\Phi=\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{y_n-f(x_n|a)}{\sigma^2_n}\Bigr)^2.$$
|
||
При этом подразумевается, что число измерений превышает число параметров~$a$.
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Пример: линейная зависимость}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Пусть $y=ax+b$, $x_n$ известны с пренебрежимо малой погрешностью, $y_n$~-- результаты измерений
|
||
с нормальным распределением, $\mean{y_i}=ax_i+b$. Минимизируем величину $Y=\sum(y_i-\mean{y_i})^2$,
|
||
$\partder{Y}{a}=0$, $\partder{Y}{b}=0$:
|
||
$$
|
||
a=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x^2_i-\Bigl(\sum x_i\Bigr)^2}=
|
||
\frac{\mean{xy}-\mean{x}\,\mean{y}}{\mean{x^2}-(\mean{x})^2},
|
||
$$
|
||
$$
|
||
b=\frac{\sum x_i^2\sum y_i-\sum x_i\sum x_i y_i}{n\sum x^2_i-\Bigl(\sum
|
||
x_i\Bigr)^2}=
|
||
\frac{\mean{x^2\strut}\,\mean{\strut
|
||
y}-\mean{x}\,\mean{xy}}{\mean{x^2}-(\mean{x})^2}.
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\sigma^2=\frac{n}{n-2}\Bigl(\mean{y^2}-(\mean{y})^2-a^2\bigl[
|
||
\mean{x^2}-(\mean{x})^2\bigr]\Bigr),\qquad
|
||
\sigma^2_a=\frac{\sigma^2}{n\bigl(\mean{x^2}-(\mean{x})^2\bigr)},\quad
|
||
\sigma_b^2=\sigma_a^2\mean{x^2}.
|
||
$$
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Аппроксимация МНК}
|
||
\only<1>{\img{lesssquare}}
|
||
\only<2>{
|
||
\begin{block}{}
|
||
Некоторые зависимости, можно свести к линейным. Например, $y=\e^{ax+b}$ \so $\ln y=ax+b$.
|
||
|
||
Возможно также сведение зависимостей к системам линейных уравнений $A\vec{x}=\vec{b}$, ранг матрицы
|
||
$A$ должен быть больше количества искомых переменных. Минимизируем
|
||
$(A\vec{x}-\vec{b})^T(A\vec{x}-\vec{b})$, что приводит к системе уравнений
|
||
$$
|
||
A^TA\vec{x}=A^T\vec{b}\quad\so\quad
|
||
\vec{x}=(A^TA)^{-1}A^T\vec{b}.
|
||
$$
|
||
Или $\vec{x}=A^{+}\vec{b}$ (псевдообратная матрица), в Octave~--- <<левое деление>> $A\backslash
|
||
b$.
|
||
\end{block}
|
||
}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}[fragile]{}
|
||
\begin{block}{Пример}
|
||
Пусть заведомо величина изменяется по закону $y=a_0+a_1\e^{-t}+a_2te^{-t}$.
|
||
В матричном виде $Y=TA$, где $T$~-- функциональная матрица, у которой в первом столбце
|
||
размещены единицы (соответствует умножению на~$a_0$), во втором~--- функция
|
||
$\e^{-t}$, а в третьем~--- $t\e^{-t}$. Коэффициенты~$A$ найдем при помощи МНК:
|
||
$A=T\backslash Y$.
|
||
\begin{verbatim}
|
||
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
|
||
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';
|
||
T = [ones(size(t)) exp(-t) t.*exp(-t)];
|
||
A = T\y
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
\end{block}
|
||
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Правило <<трех сигм>>}
|
||
\begin{frame}{Правило <<трех сигм>>}
|
||
\begin{block}{}
|
||
При гауссовом распределении случайной величины вероятность
|
||
$$P(|x-\mean{x}|<3\sigma)=2\Phi(3)=0.9973.$$
|
||
($\Phi$~-- нормальное интегральное распределение).
|
||
\end{block}
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж Правило трех сигм\н: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее
|
||
отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж Теорема Ляпунова\н: случайная величина, являющаяся суммой большого числа взаимно независимых
|
||
случайных величин, имеет нормальное распределение.
|
||
\end{defin}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
|
||
\centering
|
||
\begin{minipage}{5cm}
|
||
\begin{block}{mailto}
|
||
eddy@sao.ru\\
|
||
edward.emelianoff@gmail.com
|
||
\end{block}\end{minipage}
|
||
\end{frame}
|
||
\end{document}
|