modify computing

Komp_obr/01-measurements,02-statistics.tex

@@ -0,0 +1,566 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Компьютерная обработка. Лекции 1, 2.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
+\subtitle{Лекция 1. Общие сведения об измерениях. Виды сигналов и методы их анализа.\\
+Лекция 2. Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения}
+\date{18~марта 2021~года}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}{}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}{}
+\tableofcontents[hideallsubsections]
+\end{frame}
+
+\section{Физические измерения}
+\begin{frame}{Физические измерения}
+\begin{defin}
+Экспериментальное определение значения измеряемой величины с применением средств
+измерений называется {\bf измерением}.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Важнейшей особенностью измерений является {\it принципиальная невозможность
+получения результатов измерения, в точности равных истинному значению
+измеряемой величины} (особенно эта особенность проявляется в микромире, где
+господствует принцип неопределенности).
+
+Эта особенность приводит к необходимости оценки степени близости результата
+измерения к истинному значению измеряемой величины, т.е. вычислять
+{\bf погрешность измерения}.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Виды измерений}
+\begin{block}{}
+\ж Статическими\н называют такие измерения, при
+которых зависимость погрешности измерения от скорости измерения пренебрежимо
+мала и ее можно не учитывать.\ж Динамические\н
+измерения противоположны статическим.
+
+Результаты\ж прямых\н измерений находят непосредственно из опыта,\ж косвенных\н же измерений~---
+путем расчета по известной зависимости измеряемой величины от величин, находимых
+прямыми измерениями (например, измерение мощности).
+
+\ж Совместное измерение\н --- одновременное измерение нескольких неодноименных величин для
+нахождения зависимости между ними (например, ВАХ диода).
+
+\ж Совокупное измерение\н~--- это проведение ряда измерений нескольких величин одинаковой
+размерности в различных сочетаниях с нахождением искомых величин из решения системы уравнений
+(например, измерение $R$ включенных треугольником резисторов).
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Представление результатов}
+\only<1>{
+\begin{block}{Табличное}
+Позволяет избежать многократной записи единиц измерения, обозначений измеряемой величины,
+используемых множителей. В таблицы, помимо основных измерений, могут быть включены и результаты
+промежуточных измерений.
+
+Для удобства импортирования данных и одновременно наглядности чтения удобно хранить в формате TSV
+(tab separated values) или CSV (comma separated values).
+SED позволит легко преобразовать TSV/CSV в таблицу \LaTeX.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Графическое}
+На основе графика легко можно сделать вывод о соответствии
+теоретических представлений данным эксперимента, определить вид функциональной
+зависимости измеряемой величины.
+\end{block}
+}
+\only<2>{\img{table1}}
+\only<3>{\vspace*{-1em}\img[0.9]{table2}}
+\only<4>{\vspace*{-2em}\img{graph1}}
+\only<5>{\vspace*{-2em}\img{graph2}}
+\end{frame}
+
+\section{Сигналы и их виды}
+\begin{frame}{Сигналы и их виды}
+\only<1>{
+\begin{defin}
+Если некоторая изменяющаяся величина измеряется непрерывно (или квазинепрерывно), мы
+имеем дело с потоком информации, или\ж сообщением\н.
+В теории информации физический процесс, значения параметров которого отображают
+передаваемое сообщение, называется\ж сигналом\н.
+\end{defin}
+\begin{block}{}
+Модуляция--демодуляция. Зашумление.
+{\bf Помехи}: аддитивные, мультипликативные, фазовые.
+\end{block}
+}
+\only<2>{\img[0.7]{Ampl_modulation}}
+\only<3>{\img{Freq_modulation}}
+\only<4>{\begin{light}\img[0.7]{Phase_modulation}\end{light}}
+\only<5>{Add/mult\img[0.7]{add_mult_noise}}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Виды сигналов}
+\only<1>{
+\begin{block}{Аналоговый}
+Описывается непрерывной (или кусочно--непрерывной) функцией $x(t)$: $t\in[t_0,t_1]$,
+$x\in[x_0,x_1]$. Аудиосигналы, телевизионные сигналы и т.п.
+\end{block}
+\img[0.4]{oscill}
+}
+\only<2>{
+\begin{block}{Дискретный}
+Описывается решетчатой функцией (последовательностью, временн\'ым рядом) $x(nT)$: $x\in[x_0,x_1]$,
+$n=\overline{1,N}$, $T$~--\к интервал дискретизации\н. Величину $f=1/T$
+называют\к частотой дискретизации\н. Если интервал дискретизации является
+постоянной величиной, дискретный сигнал можно задать в виде ряда $\{x_1,\ldots, x_N\}$.
+\end{block}
+\img[0.6]{disc_sig}
+}
+\only<3>{
+\begin{block}{Цифровой}
+Описывается квантованной решетчатой функцией и отличается от обычного дискретного сигнала тем, что
+каждый уровень квантования кодируется двоичным кодом. Таким образом, если
+величина $x\in[x_0,x_1]$ квантуется $N$~разрядным кодом, для
+обратного представления из кода $K_x$ в значение $x$ применяется
+преобразование: $x=x_0+K_x\cdot (x_1-x_0)/2^{N}$. К цифровым сигналам относятся
+сигналы, используемые в системах связи с импульсно--кодовой модуляцией.
+\end{block}
+\img[0.4]{digital_signal}
+}
+\only<4>{\img{Analog_signal}}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Дискретизация}
+\begin{block}{}
+Дискретизация строит по заданному аналоговому сигналу $x(t)$ дискретный сигнал $x_n(nT)$, причем
+$x_n(nT)=x(nT)$. Операция\ж восстановления\н состоит в том, что по заданному дискретному сигналу
+строится аналоговый сигнал.
+\end{block}
+\begin{block}{Теорема Котельникова--Найквиста}
+\begin{itemize}
+\item  любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным
+отсчётам, взятым с частотой $f > 2f_c$, где $f_c$~-- максимальная частота, которой ограничен спектр
+реального сигнала;
+\item если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации
+(наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не
+существует.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Теорема Котельникова--Найквиста}
+\begin{block}{}
+$$\text{Фурье: }X_{s}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum  _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\
+e^{-i2\pi
+nTf}$$
+$$\text{В окне: }X(f) = \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect}
+(Tf)\cdot
+e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]\right\}}$$
+\end{block}
+\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
+\img{ReconstructFilter}
+\column{0.5\textwidth}
+\begin{block}{Формула Уиттекера--Шеннона}
+Восстановить непрерывную функцию из дискретной:
+$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]$$
+\end{block}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Квантование}
+\begin{defin}
+Для преобразования дискретного сигнала в цифровой вид применяется операция\ж квантования\н или\ж
+аналогово--цифрового преобразования\н~(АЦП), которая по заданному дискретному сигналу $x_n(nT)$
+строит цифровой кодированный сигнал $x_d(nT)$, причем $x_n(nT)\approx x_d(nT)$. Обратная квантованию
+операция называется операцией\ж цифро--аналогового преобразования\н~(ЦАП).
+\end{defin}
+\only<1>{\img[0.7]{ADC}}
+\only<2>{\img{DAC}}
+\end{frame}
+
+\section{Литература}
+\begin{frame}{Основная литература}
+\begin{itemize}
+\item Интернет--энциклопедия: http:/\!/wikipedia.org (Википедия).
+\item Гонсалес~Р., Вудс~Р. Цифровая обработка изображений.~--- М.: Техносфера, 2012.~---
+1104~с.
+\item Витязев~В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие.~---
+СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2001.~--- 58~с.
+\item Гонсалес~Р., Вудс~Р., Эддинс~С. Цифровая обработка изображений
+в среде MATLAB.~--- М.: Техносфера, 2006~--- 616~с.
+\item Гмурман~В.\,Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
+Учеб. пособие для вузов.~--- Изд. 7-е, стер.~--- М.: Высш. шк., 2001.~--- 479~с.
+\item Говорухин~В., Цибулин~В. Компьютер в математическом исследовании.
+Учебный курс.~--- СПб.: Питер, 2001.~--- 624~с.
+\item Сергиенко~А.\,Б. Цифровая обработка сигналов.~--- СПб.: Питер, 2005.~---
+604~с.
+\item Чен~К., Джиблин~П., Ирвинг~А. MATLAB в математических исследованиях:
+Пер. с англ.~--- М.: Мир, 2001.~--- 346~с.
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Дополнительная литература}
+\begin{itemize}
+\item Бахвалов~Н.\,С., Жидков~Н.\,П., Кобельков~Г.\,М. Численные методы.~---
+М.: Высш. шк., 1987.~--- 630~с.
+\item Кнут~Д.\,Э. Все про \TeX./ Пер. с англ. М.\,В.~Лисиной.~---
+Протвино: АО~RD\TeX, 1993.~--- 592~с.: ил.
+\item Львовский~С.\,М. Набор и верстка в системе \LaTeX.~--- 3-е изд.,
+исрп. и доп.~--- М.: МЦНМО, 2003.~--- 448~с.
+\item Физическая энциклопедия/ Гл. ред. А.М.~Прохоров.~--- М.: Сов.
+энциклопедия. Тт. I~--~V. 1988.
+\item Цифровая обработка сигналов: Справочник/ Л.М.~Гольденберг,
+Б.Д.~Матюшкин, М.Н.~Поляк.~--- М.: Радио и связь, 1985.~--- 312~с., ил.
+\item \url{http://www.imageprocessingplace.com/}
+\item Pan~G.\,W. Wavelets in electromagnetic and device modeling.~---
+John~Wiley \& Sons, Inc., Hobocen, New Jersey, 2003.~--- 531~p.
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Лекция 2.}
+\end{frame}
+
+
+\section{Случайные величины, вероятность}
+\begin{frame}{Случайные величины, вероятность}
+    \begin{defin}
+        \ж Случайной величиной\н называется величина~$X$, если все ее возможные значения образуют
+        конечную
+        или бесконечную последовательность чисел~$x_1,\ldots$, $x_N$, и если принятие ею каждого из
+        этих
+        значений есть случайное событие.
+    \end{defin}
+    \begin{defin}\begin{columns}\column{0.75\textwidth}
+            \ж Вероятностью\н наступления события называют предел относительной частоты
+            наступления  данного события~$n_k/N$:\column{0.25\textwidth}
+            $$P(x_k)=\lim_{N\to\infty}\frac{n_k}{N}.$$
+        \end{columns}
+    \end{defin}
+    \begin{block}{}
+        Совместные и несовместные события, полная группа, свойства вероятности.
+        Для непрерывных случайных величин вводят понятие\ж плотности вероятности\н:
+        $$\rho(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x<X<x+\Delta x)}{\Delta
+            x}=\frac{dP}{dx}.$$
+        $$P(x_1<X<x_2)=\Int_{x_1}^{x_2}\rho(x)\,dx.$$
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Свойства вероятности}
+\begin{block}{}\def\arraystretch{1.5}
+\centering\begin{tabular}{>{\centering}p{0.45\textwidth}l}
+$P(\emptyset) = 0$ &\\
+$\forall A\subset B \quad P(A) \le P(B)$ & $B$ включает в себя $A$\\
+$0\le P(A) \le 1$ & \\
+$\forall A\subset B\quad P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$ & $B$ наступит без $A$\\
+$P(\overline{A}) =1 - P(A)$ &\\
+$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ & вероятность одного из событий\\
+$P(A\vert B) = \frc{P(AB)}{P(B)}$ & условная вероятность ($A$ при $B$) $\Longrightarrow$\\
+$P(AB) = P(B)\cdot P(A\vert B)$ & или $P(AB) = P(A)\cdot P(B\vert A)$  $\Longrightarrow$\\
+$P(A\vert B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B\vert A)}{P(B)}$ & (теорема Байеса)\\[1em]
+$P(AB) = P(A)\cdot P(B)$ & для независимых событий\\
+\end{tabular}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Характеристики случайных величин}
+\begin{frame}{Характеристики случайных величин}
+\begin{block}{Среднее арифметическое и математическое ожидание}
+    $$\aver{X}=\frc1{N}\sum_{n=1}^N x_n,$$
+    $$M(X)\equiv\mean{X}=\lim_{N\to\infty}\frac1{N}\sum_{n=1}^N x_n\quad\text{и}\quad
+    M(X)=\Infint x\phi(x)\,dx.$$
+\end{block}
+\begin{block}{Свойства математического ожидания}
+    \begin{itemize}\setlength{\itemsep}{2pt}
+        \item $\mean\const=\const$;
+        \item $\mean{\sum\C_n\cdot X_n}=\sum\C_n\cdot \mean{X_n}$,
+        где $\C_n$~-- постоянная величина;
+        \item $\mean{\prod X_n}=\prod \mean{X_n}$ (для независимых случайных величин);
+        \item $\mean{f(x)}=\Infint f(x)\phi(x)\,dx$ (для непрерывных случайных величин).
+    \end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{}
+    \begin{block}{Моменты}
+        Если $f(x)=(x-x_0)^n$, то $\mean{f(x)}$~--- момент порядка~$n$. Если $x_0=0$~---
+        начальный
+        момент, если $x_0=\mean{X}$--- центральный момент.
+
+        Центральный момент второго порядка называют\ж дисперсией\н:
+        $D(X)=\mean{(x-\mean{x})^2}\equiv
+        \mean{x^2}-\mean{x}^2$,  $\sigma=\sqrt{D}$.
+
+        \smallskip
+
+        Свойства дисперсии:
+        \begin{itemize}
+            \item $D(\C)=0$;
+            \item $D(\C X)=\C^2 D(X)$, где $\C$~-- постоянная величина;
+            \item $D(\sum X_n)=\sum D(X_n)$ (для независимых величин).
+        \end{itemize}
+    \end{block}
+    \begin{block}{$\mean{X}\Leftrightarrow\aver{X}$? Закон больших чисел}
+        Неравенство Чебыш\"ева: $P(|X-\mean{X}|\ge\epsilon)\le
+        \frc{D(X)}{\epsilon^2}\quad\Rightarrow$
+        $P(|X-\mean{X}|<\epsilon)=1-P(|X-\mean{X}|\ge\epsilon)\ge1-\frc{D(X)}{\epsilon^2}$.
+        $$\lim_{n\to\infty} P\Bigl(\Bigl|\frac{\sum
+            X_n}{n}-\frac{\sum\mean{X_n}}{n}\Bigr|<\epsilon\Bigr)=1,\;\text{ т.к. }\;
+            D(\frc{\sum X_n}{n})=\frc{D(X)}{n}
+        $$
+        Теорема Бернулли: $\lim\limits_{n\to\infty} P(m/n-p|<\epsilon)=1$ ($m$ событий в $n$
+        испытаний).
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Характеристические значения распределений}
+\begin{block}{Медиана и мода}
+    {\ж Мода}~--- наиболее часто встречающееся значение (но вполне могут быть
+    мультимодальные
+    распределения). {\ж Медиана} делит площадь распределения пополам.
+\end{block}
+\img[0.6]{mode_median}
+\begin{block}{Поиск медианы}
+Самый медленный~--- сортировкой ряда данных, $O(n\ln n)$. Quick Select, $O(n)$. Гистограмма (в т.ч.
+дерево гистограмм), $O(n)$. Для фиксированных $n$~--- opt\_med (,,Numerical Recipes in C``), $O(n)$.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Законы распределения}
+\begin{frame}{Законы распределения}
+    \begin{defin}
+        \ж Закон распределения\н \к дискретной\н случайной величины~--- соответствие между
+        возможными значениями и их вероятностями.
+    \end{defin}
+    \begin{block}{Функция распределения}
+        $$F(x)\equiv P(X\le x)=\Int_{-\infty}^x\phi(x)\,dx, \qquad
+        \Infint\phi(x)\,dx=1.$$
+        $$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).$$
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Равномерное распределение}
+    \begin{columns}\column{0.45\textwidth}
+        \begin{block}{}
+            $$
+            \phi(x)=\begin{cases}\frac1{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b]
+            \end{cases}.
+            $$
+            $$F(x)= \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \le x < b \\ 1, & x \ge
+                b \end{cases}.
+            $$
+        \end{block}\column{0.45\textwidth}
+        \begin{block}{}
+            $\mean{X}=\med(X)=(a+b)/2$, $\moda(X)=\forall x\in[a,b]$,
+            $\displaystyle\sigma^2_X = \frac{(b-a)^2}{12}$.
+        \end{block}
+    \end{columns}
+
+    \smimg[0.45]{Uniform_distribution_PDF}\hspace{3pt}
+    \smimg[0.45]{Uniform_distribution_CDF}
+\end{frame}
+
+\begin{lightframe}{Биномиальное распределение}
+    \vspace*{-0.8em}\begin{block}{}
+        \ж Формула Бернулли\н:
+        $\displaystyle P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad
+        q=1-p.$
+        $$(p+q)^n=C_n^n p^n+\cdots+C_n^k p^k q^{n-k}+\cdots+C_n^0 q^k.$$
+        Описывает вероятность наступления события~$k$
+        раз в~$n$ независимых испытаниях
+    \end{block}\vspace*{-1em}
+    \begin{columns}
+        \column{0.45\textwidth}
+        \img{Binomial_Distribution}
+        \column{0.55\textwidth}
+        \begin{block}{}
+            $$
+            F(k;n,p)=P(X\leq k)=\sum_{i=0}^\floor{k} C_n^i p^i(1-p)^{n-i}.$$
+            $\mean{X}=np$, $\moda(X)=\floor{(n+1)p}$, $\floor{np}\le\med(X)\le\ceil{np}$,
+            $\sigma^2_X = npq$.
+        \end{block}
+    \end{columns}
+\end{lightframe}
+
+\begin{frame}{Распределение Пуассона}
+    \vspace*{-2em}\begin{block}{}
+        При $n\to\infty$ распределение Бернулли преобразуется в распределение Пуассона
+        ($\lambda=np$):
+        $$P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\exp(-\lambda).$$
+    \end{block}
+    \begin{columns}\column{0.48\textwidth}
+        \begin{block}{}
+            $F(k, \lambda) = \displaystyle\frac{\Gamma(k+1,\lambda)}{k!}$,
+            $\mean{X} = \lambda$, $\moda(X) = \floor{\lambda}$,
+            $\med{X}\approx\floor{\lambda+1/3-0.02/\lambda}$,
+            $\sigma^2_X = \lambda$.
+
+            С ростом $\lambda$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса.
+        \end{block}
+        \column{0.48\textwidth}
+        \img{poissonpdf}
+    \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Распределение Гаусса}
+    \vspace*{-2em}\begin{block}{}
+        $
+        \phi (x) = \dfrac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x -\mean{x})^2}{2
+            \sigma^2} \right)
+        $,
+        $F(x) = \displaystyle\frac 1{\sigma \sqrt {2 \pi}} \Int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t
+            -\mean{x})^2}{2 \sigma^2} \right)\, dt$,
+        $\moda(X) = \med{X} = \mean{X}$.
+        $P(\alpha < X < \beta) = \Phi\left(\frac{\beta - \mean{x}}{\sigma}\right) -
+            \Phi\left(\frac{\alpha - \mean{x}}{\sigma}\right)  $,\\
+        функция Лапласа $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x \exp\left(-\frc{t^2}{2}\right)$.
+    \end{block}
+    \img[0.6]{normpdf}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Показательное (экспоненциальное) распределение}
+    \vspace*{-1em}\begin{block}{}
+        Время между двумя последовательными свершениями события
+        $$f(x)=\begin{cases}
+            0,& x<0,\\
+            \lambda\exp(-\lambda x),& x\ge0;
+        \end{cases}\qquad
+        F(x)=\begin{cases}
+            0,& x<0,\\
+            1-\exp(-\lambda x),& x\ge0,
+        \end{cases}
+        $$
+    \end{block}
+    \vspace*{-1em}\begin{block}{}
+        $\mean{X} = \lambda^{-1}$,
+        $\moda(X) = 0$, $\med{X} = \ln(2)/\lambda$,
+        $\sigma^2_X = \lambda^{-2}$.
+    \end{block}
+    \vspace*{-1em}\img[0.5]{exppdf}
+\end{frame}
+
+\section{Корреляция и ковариация}
+\begin{frame}{Корреляция и ковариация}
+    \begin{defin}
+        \ж{}Ковариация\н является мерой линейной зависимости случайных величин и определяется
+        формулой:
+        $\mathrm{cov}(X,Y)=\mean{(X-\mean{X})(Y-\mean{Y})}$ $\Longrightarrow$ $\mathrm{cov}(X,X) =
+        \sigma^2_X$.
+        \к Ковариация независимых случайных величин равна нулю\н, обратное неверно.
+    \end{defin}
+    \begin{block}{}
+        Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения
+        второй имеют
+        тенденцию возрастать, а если знак отрицательный~--- убывать.
+
+        Масштаб зависимости величин пропорционален их дисперсиям $\Longrightarrow$ масштаб можно
+        отнормировать (\ж{}коэффициент корреляции\н Пирсона):
+        $$\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma X\sigma Y}, \qquad \mathbf{r}\in[-1,1].$$
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+    \begin{block}{}
+        Коэффициент корреляции равен~$\pm1$ тогда и только тогда, когда~$X$ и~$Y$ линейно зависимы.
+        Если
+        они независимы, $\rho_{X,Y}=0$ (\ж{}обратное неверно!\н). Промежуточные значения
+        коэффициента
+        корреляции не позволяют однозначно судить о зависимости случайных величин, но позволяет
+        предполагать
+        степень их зависимости.
+    \end{block}
+    \begin{block}{Корреляционная функция}
+        Одна из разновидностей~---\ж автокорреляционная функция\н:
+        $$
+        \Psi(\tau) = \Int f(t) f(t-\tau)\, dt\equiv
+        \Int f(t+\tau) f(t)\,dt.
+        $$
+        Для дискретных случайных величин автокорреляционная функция имеет вид
+        $$
+        \Psi(\tau) = \aver{X(t)X(t-\tau)}\equiv\aver{X(t+\tau)X(t)}.
+        $$
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{}
+    \begin{block}{Взаимно корреляционная функция}
+        Другая разновидность~---\ж кросс--корреляционная функция\н:
+        $$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f^{*}(\tau)g(t+\tau)\,d\tau$$
+        свертка:
+        $$ (f*g)(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f(y)\,g(x-y)\,dy = \Infint f(x-y)\,g(y)\, dy.$$
+
+    \end{block}
+    \img[0.5]{convcorr}
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}{}
+    \begin{block}{}
+        Если $X$ и $Y$~--- две независимых случайных величины с функциями распределения вероятностей
+        $f$ и $g$, то $f\star g$ соответствует распределению вероятностей выражения $-X+Y$, а
+        $f*g$~---
+        распределению вероятностей суммы $X + Y$.
+
+        ВКФ часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее
+        известной,
+        определения сдвига (см.~рис).
+
+        Связь со сверткой: $f(t)\star g(t) = f^*(-t) * g(t)$, если $f$ и $g$ четны, то
+        $f(t)\star g(t) = f(t) * g(t)$. Через преобразование Фурье:
+        $\FT{f \star g} = \FT{f}^*\cdot\FT{g}$.
+    \end{block}\img[0.6]{autocorr}
+\end{frame}
+
+\section{Шум}
+\begin{frame}{Шум}
+    \begin{defin}
+        \ж Шум\н~--- беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложной
+        временной и
+        спектральной структурой.
+    \end{defin}
+    \begin{block}{}
+        \ж Белый шум\н, $\xi(t)$, имеет время корреляции много меньше всех характерных времен
+        физической
+        системы;  $\mean{\xi(t)}=0$,
+        $\Psi(t,\tau)=\aver{\xi(t+\tau)\xi(t)}=\sigma^2(t)\delta(\tau)$.
+        Разновидность~--- AWGN.
+
+        \ж Дробовой шум\н имеет пуассонову статистику~\so $\sigma_X\propto\sqrt{x}$ и
+        $\SNR(N)\propto\sqrt{N}$. Суточные и вековые корреляции.
+
+        Шум вида \ж<<соль--перец>>\н обычно характерен для изображений, считываемых с ПЗС.
+    \end{block}
+\end{frame}
+\begin{frame}{SNR}
+    \begin{defin}
+        \ж SNR\н~--- безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности
+        шума.
+    \end{defin}
+    \begin{block}{}
+        $$\SNR = {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}} = \left ({A_\mathrm{signal} \over
+            A_\mathrm{noise} } \right )^2, \quad
+        \SNR(dB) = 10 \lg \left ( {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}}
+        \right )
+        = 20 \lg \left ( {A_\mathrm{signal} \over A_\mathrm{noise}} \right ).
+        $$
+    \end{block}
+
+    \img[0.6]{SNR}
+    \centerline{\tiny (10, 0, -10~дБ.)}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/01-measurements.tex

@@ -1,322 +0,0 @@
-\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
-\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
-\usepackage{lect}
-
-\title[Компьютерная обработка. Лекция 1.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
-\subtitle{Лекция 1. Общие сведения об измерениях. Виды сигналов и методы их анализа}
-\date{30 июня 2016 года}
-
-\begin{document}
-% Титул
-\begin{frame}{}
-\maketitle
-\end{frame}
-% Содержание
-\begin{frame}{}
-\tableofcontents[hideallsubsections]
-\end{frame}
-
-\section{Физические измерения}
-\begin{frame}{Физические измерения}
-\begin{defin}
-Экспериментальное определение значения измеряемой величины с применением средств
-измерений называется {\bf измерением}.
-\end{defin}
-\begin{block}{}
-Важнейшей особенностью измерений является {\it принципиальная невозможность
-получения результатов измерения, в точности равных истинному значению
-измеряемой величины} (особенно эта особенность проявляется в микромире, где
-господствует принцип неопределенности).
-
-Эта особенность приводит к необходимости оценки степени близости результата
-измерения к истинному значению измеряемой величины, т.е. вычислять
-{\bf погрешность измерения}.
-\end{block}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{Виды измерений}
-\begin{block}{}
-\ж Статическими\н называют такие измерения, при
-которых зависимость погрешности измерения от скорости измерения пренебрежимо
-мала и ее можно не учитывать.\ж Динамические\н
-измерения противоположны статическим.
-
-Результаты\ж прямых\н измерений находят непосредственно из опыта,\ж косвенных\н же измерений~--- 
-путем расчета по известной зависимости измеряемой величины от величин, находимых
-прямыми измерениями (например, измерение мощности).
-
-\ж Совместное измерение\н --- одновременное измерение нескольких неодноименных величин для 
-нахождения зависимости между ними (например, ВАХ диода). 
-
-\ж Совокупное измерение\н~--- это проведение ряда измерений нескольких величин одинаковой 
-размерности в различных сочетаниях с нахождением искомых величин из решения системы уравнений 
-(например, измерение $R$ включенных треугольником резисторов).
-\end{block}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{Представление результатов}
-\begin{block}{Табличное}
-Позволяет избежать многократной записи единиц измерения, обозначений измеряемой величины,
-используемых множителей. В таблицы, помимо основных измерений, могут быть включены и результаты 
-промежуточных измерений.
-
-Для удобства импортирования данных и одновременно наглядности чтения удобно хранить в формате TSV. 
-SED позволит легко преобразовать TSV в таблицу латеха.
-\end{block}
-
-\begin{block}{Графическое}
-На основе графика легко можно сделать вывод о соответствии
-теоретических представлений данным эксперимента, определить вид функциональной
-зависимости измеряемой величины.
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\section{Сигналы и их виды}
-\begin{frame}{Сигналы и их виды}
-\begin{defin}
-Если некоторая изменяющаяся величина измеряется непрерывно (или квазинепрерывно), мы
-имеем дело с потоком информации, или\ж сообщением\н. 
-В теории информации физический процесс, значения параметров которого отображают
-передаваемое сообщение, называется\ж сигналом\н.
-\end{defin}
-\begin{block}{}
-Модуляция--демодуляция. Зашумление.
-{\bf Помехи}: аддитивные, мультипликативные, фазовые.
-\end{block}
-\end{frame}
-\begin{frame}{Виды сигналов}
-\only<1>{
-\begin{block}{Аналоговый}
-Описывается непрерывной (или кусочно--непрерывной) функцией $x(t)$: $t\in[t_0,t_1]$, 
-$x\in[x_0,x_1]$. Аудиосигналы, телевизионные сигналы.
-\end{block}
-\img[0.3]{oscill}
-}
-\only<2>{
-\begin{block}{Дискретный}
-Описывается решетчатой функцией (последовательностью, временн\'ым рядом) $x(nT)$: $x\in[x_0,x_1]$,
-$n=\overline{1,N}$, $T$~--\к интервал дискретизации\н. Величину $f=1/T$
-называют\к частотой дискретизации\н. Если интервал дискретизации является
-постоянной величиной, дискретный сигнал можно задать в виде ряда $\{x_1,\ldots, x_N\}$.
-\end{block}
-\img[0.6]{disc_sig}
-}
-\only<3>{
-\begin{block}{Цифровой}
-Описывается квантованной решетчатой функцией и отличается от обычного дискретного сигнала тем, что
-каждый уровень квантования кодируется двоичным кодом. Таким образом, если
-величина $x\in[x_0,x_1]$ квантуется $N$~разрядным кодом, для
-обратного представления из кода $K_x$ в значение $x$ применяется
-преобразование: $x=x_0+K_x\cdot (x_1-x_0)/2^{N}$. К цифровым сигналам относятся
-сигналы, используемые в системах связи с импульсно--кодовой модуляцией.
-\end{block}
-\img[0.4]{digital_signal}
-}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{Дискретизация}
-\begin{block}{}
-Дискретизация строит по заданному аналоговому сигналу $x(t)$ дискретный сигнал $x_n(nT)$, причем 
-$x_n(nT)=x(nT)$. Операция\ж восстановления\н состоит в том, что по заданному дискретному сигналу
-строится аналоговый сигнал.
-\end{block}
-\begin{block}{Теорема Котельникова--Найквиста}
-\begin{itemize}
-\item  любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным 
-отсчётам, взятым с частотой $f > 2f_c$, где $f_c$~-- максимальная частота, которой ограничен спектр 
-реального сигнала;
-\item если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации 
-(наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не 
-существует.
-\end{itemize}
-\end{block}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{Теорема Котельникова--Найквиста}
-\begin{block}{}
-$$X_{s}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum  _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi 
-nTf}$$
-$$X(f) = \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot 
-e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]\right\}}$$
-\end{block}
-\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
-\img{ReconstructFilter}
-\column{0.5\textwidth}
-\begin{block}{Формула Уиттекера--Шеннона}
-$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]$$
-\end{block}
-\end{columns}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{Квантование}
-\begin{defin}
-Для преобразования дискретного сигнала в цифровой вид применяется операция\ж квантования\н или\ж 
-аналогово--цифрового преобразования\н~(АЦП), которая по заданному дискретному сигналу $x_n(nT)$ 
-строит цифровой кодированный сигнал $x_d(nT)$, причем $x_n(nT)\approx x_d(nT)$. Обратная квантованию 
-операция называется операцией\ж цифро--аналогового преобразования\н~(ЦАП).
-\end{defin}
-\only<1>{\img[0.7]{ADC}}
-\only<2>{\img{DAC}}
-\end{frame}
-
-
-\section{Методы анализа сигналов}
-\begin{frame}{Методы анализа сигналов}
-\begin{block}{Группы методов}
-\begin{description}
-\item[В пространственной области] над сигналом производят какие--либо преобразования, одинаковые 
-для всего сигнала (аддитивные, мультипликативные или матричные) --- бинаризация, гистограммы, 
-свертка, выделение компонент, сглаживание\dots
-\item[В частотной области] работа производится не с сигналом, а с его спектром (обычно Фурье) ---
-свертка через Фурье, сглаживание \slash фильтрация, выделение деталей, деконволюция\dots
-\end{description}
-\end{block}
-\begin{block}{}
-Процесс зашумления сигнала $x(t)$ импульсной (аппаратной) функцией шума $n(t)$ описывается 
-сверткой:
-$x'(t)=x(t)\otimes n(t)$. В пространстве Фурье: 
-$$\FT{x'(t)}=\FT{x(f)}\cdot\FT{n(t)}\text{  или  }X'(f)=X(f)\cdot N(f).$$
-$N(f)$~-- передаточная функция.
-\end{block}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{Вейвлет--анализ}
-\only<1>{\begin{block}{}
-Локализованный в пространственной и частотной области набор ортонормированных функций.
-$$T_{m,n}=\int\limits_{-\infty}^{\infty }x(t)\,\psi_{m,n}^{*}(t)\,dt,$$
-$$x(t)=K_{\psi}\sum\limits_{m=-\infty }^{\infty }\sum\limits_{n=-\infty 
-}^{\infty}T_{m,n}\psi_{m,n}(t).$$
-\end{block}}
-\only<2>{\img{Continuous_wavelet_transform}}
-\only<3>{\begin{block}{}Детализирующие и аппроксимирующие коэффициенты\end{block}
-\img[0.5]{wavelet_img}}
-\end{frame}
-
-
-\section{Обзор программы}
-\begin{frame}{Обзор программы}
-\tableofcontents[currentsection,hideothersubsections,sectionstyle=hide]
-\end{frame}
-
-
-\subsection{Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения}
-\begin{frame}{Статистика и вероятность}
-\begin{block}{}
-Вероятность, плотность вероятности, закон больших чисел, характеристики набора случайных величин, 
-законы распределения, корреляция и ковариация, шум, SNR.
-\end{block}
-\img[0.7]{binopdf}
-\end{frame}
-
-
-\subsection{Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности}
-\begin{frame}{Теория физических измерений}
-\begin{block}{}
-Меры и значения величин, абсолютная и относительная погрешности, промахи, систематические и 
-случайные погрешности, класс точности прибора, доверительный интервал, критерий Стьюдента, правила 
-вычисления погрешностей косвенных измерений, аппроксимация наименьшими квадратами.
-\end{block}
-\img[0.7]{lesssquare}
-\end{frame}
-
-
-\subsection{Теория оценок}
-\begin{frame}{Теория оценок}
-\begin{block}{}
-Правило ,,трех сигм``, теорема Ляпунова, распределение $\chi^2$, распределение Стьюдента, оценки: 
-их виды и надежность.
-\end{block}
-\img[0.5]{chi2}
-\end{frame}
-
-\subsection{Системы уравнений. Степенные и дифференциальные уравнения}
-\begin{frame}{Системы уравнений}
-\begin{block}{}
-Методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя, наименьших квадратов, 
-численные методы; степенные и прочие нелинейные уравнения и метод бисекции; численное 
-интегрирование (прямоугольник, трапеция, Симпсона); обыкновенные дифференциальные уравнения.
-\end{block}
-\img[0.4]{bisect}
-\end{frame}
-
-
-\subsection{Анализ временных рядов. Фурье-- и Вейвлет--анализ}
-\begin{frame}{Анализ временных рядов}
-\begin{block}{}
-Аппроксимация, интерполяция, сплайны, преобразование Лапласа, Z--преобразования, ряды Фурье, 
-Фурье--преобразование, Фурье--фильтрация, вейвлет--анализ и вейвлет--фильтрация.
-\end{block}
-\img[0.7]{Four-filter}
-\end{frame}
-
-
-\subsection{Обработка изображений}
-\begin{frame}{Обработка изображений}
-\vspace{-2em}
-\begin{block}{}
-Цифровые изображения, модели цветовых пространств; преобразования в пространственной области: 
-логарифмическое преобразование, растяжение контрастности, свертка с различными масками, медианный 
-фильтр; гистограмма и эквализация гистограммы; преобразования в частотной области: ДПФ, частотные 
-фильтры; ФРТ и ОПФ; адаптивная медианная фильтрация; инверсная и винеровская фильтрация;
-геометрические преобразования изображений; вейвлет--преобразования; морфологические операции; 
-проблема распознавания изображений.
-\end{block}
-\smimg[0.33]{Noiced}
-\smimg[0.33]{MF3}
-\smimg[0.33]{MF5}
-\end{frame}
-
-\section{Литература}
-\begin{frame}{Основная литература}
-\begin{thebibliography}{9}
-\bibitem{} Интернет--энциклопедия: http:/\!/wikipedia.org (Википедия).
-\bibitem{} Гонсалес~Р., Вудс~Р. Цифровая обработка изображений.~--- М.: Техносфера, 2012.~--- 
-1104~с.
-\bibitem{} Витязев~В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие.~---
-СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2001.~--- 58~с.
-\bibitem{} Гонсалес~Р., Вудс~Р., Эддинс~С. Цифровая обработка изображений
-в среде MATLAB.~--- М.: Техносфера, 2006~--- 616~с.
-\bibitem{} Гмурман~В.\,Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
-Учеб. пособие для вузов.~--- Изд. 7-е, стер.~--- М.: Высш. шк., 2001.~--- 479~с.
-\bibitem{} Говорухин~В., Цибулин~В. Компьютер в математическом исследовании.
-Учебный курс.~--- СПб.: Питер, 2001.~--- 624~с.
-\bibitem{} Сергиенко~А.\,Б. Цифровая обработка сигналов.~--- СПб.: Питер, 2005.~---
-604~с.
-\bibitem{} Чен~К., Джиблин~П., Ирвинг~А. MATLAB в математических исследованиях:
-Пер. с англ.~--- М.: Мир, 2001.~--- 346~с.
-\end{thebibliography}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Дополнительная литература}
-\begin{thebibliography}{9}
-\bibitem{} Бахвалов~Н.\,С., Жидков~Н.\,П., Кобельков~Г.\,М. Численные методы.~---
-М.: Высш. шк., 1987.~--- 630~с.
-\bibitem{} Кнут~Д.\,Э. Все про \TeX./ Пер. с англ. М.\,В.~Лисиной.~---
-Протвино: АО~RD\TeX, 1993.~--- 592~с.: ил.
-\bibitem{} Львовский~С.\,М. Набор и верстка в системе \LaTeX.~--- 3-е изд.,
-исрп. и доп.~--- М.: МЦНМО, 2003.~--- 448~с.
-\bibitem{} Физическая энциклопедия/ Гл. ред. А.М.~Прохоров.~--- М.: Сов.
-энциклопедия. Тт. I~--~V. 1988.
-\bibitem{} Цифровая обработка сигналов: Справочник/ Л.М.~Гольденберг,
-Б.Д.~Матюшкин, М.Н.~Поляк.~--- М.: Радио и связь, 1985.~--- 312~с., ил.
-\bibitem{} Pan~G.\,W. Wavelets in electromagnetic and device modeling.~---
-John~Wiley \& Sons, Inc., Hobocen, New Jersey, 2003.~--- 531~p.
-\end{thebibliography}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
-\centering
-\begin{minipage}{5cm}
-\begin{block}{mailto}
-eddy@sao.ru\\
-edward.emelianoff@gmail.com
-\end{block}\end{minipage}
-\end{frame}
-\end{document}

Komp_obr/02-statistics.tex

@@ -1,319 +0,0 @@
-\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
-\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
-\usepackage{lect}
-
-\title[Компьютерная обработка. Лекция 2]{Компьютерная обработка результатов измерений}
-\subtitle{Лекция 2. Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения}
-\date{12 июля 2016 года}
-
-\begin{document}
-% Титул
-\begin{frame}
-\maketitle
-\end{frame}
-% Содержание
-\begin{frame}
-\tableofcontents
-\end{frame}
-
-\section{Случайные величины, вероятность}
-\begin{frame}{Случайные величины, вероятность}
-\begin{defin}
-\ж Случайной величиной\н называется величина~$X$, если все ее возможные значения образуют конечную 
-или бесконечную последовательность чисел~$x_1,\ldots$, $x_N$, и если принятие ею каждого из этих 
-значений есть случайное событие.
-\end{defin}
-\begin{defin}\begin{columns}\column{0.75\textwidth}
-\ж Вероятность\н наступления данного события~--- это предел относительной частоты наступления 
-данного события~$n_k/N$:\column{0.25\textwidth}
-$$P(x_k)=\lim_{N\to\infty}\frac{n_k}{N}.$$
-\end{columns}
-\end{defin}
-\begin{block}{}
-Совместные и несовместные события, полная группа, свойства вероятности. 
-Для непрерывных случайных величин вводят понятие\ж плотности вероятности\н:
-$$\rho(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x<X<x+\Delta x)}{\Delta
-x}=\frac{dP}{dx}.$$
-$$P(x_1<X<x_2)=\Int_{x_1}^{x_2}\rho(x)\,dx.$$
-\end{block}
-\end{frame}
-
-
-\section{Характеристики случайных величин}
-\begin{frame}{Характеристики случайных величин}
-\begin{block}{Независимые случайные величины}
-$P(x_ny_n)=P(x_n)P(y_n)$.
-\end{block}
-\begin{block}{Среднее арифметическое и математическое ожидание}
-$$\aver{X}=\frc1{N}\sum_{n=1}^N x_n,$$
-$$M(X)\equiv\mean{X}=\lim_{N\to\infty}\frac1{N}\sum_{n=1}^N x_n\quad\text{и}\quad
-M(X)=\Infint x\phi(x)\,dx.$$
-\end{block}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{}
-\begin{block}{Свойства математического ожидания}
-\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{2pt}
-\item $\mean\const=\const$;
-\item $\mean{\sum\C_n\cdot X_n}=\sum\C_n\cdot \mean{X_n}$,
-где $\C_n$~-- постоянная величина; 
-\item $\mean{\prod X_n}=\prod \mean{X_n}$ (для независимых случайных величин);
-\item $\mean{f(x)}=\Infint f(x)\phi(x)\,dx$ (для непрерывных случайных величин).
-\end{itemize}
-\end{block}
-\begin{block}{$\mean{X}\Leftrightarrow\aver{X}$? Закон больших чисел}
-Неравенство Чебыш\"ева: $P(|X-\mean{X}|<\epsilon)\ge 1-D(X)/\epsilon^2\quad\Rightarrow$
-$$\lim_{n\to\infty} P\Bigl(\Bigl|\frac{\sum
-X_n}{n}-\frac{\sum\mean{X_n}}{n}\Bigr|<\epsilon\Bigr)=1.$$
-Теорема Бернулли: $\lim\limits_{n\to\infty} P(|m/n-p|<\epsilon)=1$.
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Характеристические значения распределений}
-\only<1>{\begin{block}{Медиана и мода}
-{\ж Мода}~--- наиболее часто встречающееся значение (но вполне могут быть мультимодальные 
-распределения). {\ж Медиана} делит площадь распределения пополам.
-\end{block}
-\img[0.6]{mode_median}}
-\only<2>{\begin{block}{Моменты}
-Если $f(x)=(x-x_0)^n$, то $\mean{f(x)}$~--- момент порядка~$n$. Если $x_0=0$~--- начальный
-момент, если $x_0=\mean{X}$--- центральный момент.
-
-Моменты нулевого порядка равны~1, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию 
-случайной величины; центральный момент первого порядка равен нулю.
-
-Центральный момент второго порядка называют\ж дисперсией\н: $D(X)=\mean{(x-\mean{x})^2}\equiv 
-\mean{x^2}-\mean{x}^2$,  $\sigma=\sqrt{D}$.
-
-\smallskip
-
-Свойства дисперсии:
-\begin{itemize}
-\item $D(\const)=0$;
-\item $D(\const X)=C^2 D(X)$, где $\C$~-- постоянная величина;
-\item $D(\sum X_n)=\sum D(X_n)$.
-\end{itemize}
-\end{block}
-}
-\end{frame}
-
-\section{Законы распределения}
-\begin{frame}{Законы распределения}
-\begin{defin}
-\ж Закон распределения\н \к дискретной\н случайной величины~--- соответствие между возможными 
-значениями и их вероятностями.
-\end{defin}
-\begin{block}{Функция распределения}
-$$F(x)\equiv P(X\le x)=\Int_{-\infty}^x\phi(x)\,dx, \qquad
-\Infint\phi(x)\,dx=1.$$
-$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).$$
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Равномерное распределение}
-\begin{columns}\column{0.45\textwidth}
-\begin{block}{}
-$$
-\phi(x)=\begin{cases}\frac1{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b]
-\end{cases}.
-$$
-$$F(x)= \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \le x < b \\ 1, & x \ge
-b \end{cases}.
-$$
-\end{block}\column{0.45\textwidth}
-\begin{block}{}
-$\mean{X}=\med(X)=(a+b)/2$, $\moda(X)=\forall x\in[a,b]$,
-$\displaystyle\sigma^2_X = \frac{(b-a)^2}{12}$.
-\end{block}
-\end{columns}
-
-\smimg[0.45]{Uniform_distribution_PDF}\hspace{3pt}
-\smimg[0.45]{Uniform_distribution_CDF}
-\end{frame}
-
-\begin{lightframe}{Биномиальное распределение}
-\vspace*{-0.8em}\begin{block}{}
-\ж Формула Бернулли\н:
-$\displaystyle P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad
-q=1-p.$
-$$(p+q)^n=C_n^n p^n+\cdots+C_n^k p^k q^{n-k}+\cdots+C_n^0 q^k.$$
-Описывает вероятность наступления события~$k$
-раз в~$n$ независимых испытаниях
-\end{block}\vspace*{-1em}
-\begin{columns}
-\column{0.45\textwidth}
-\img{Binomial_Distribution}
-\column{0.55\textwidth}
-\begin{block}{}
-$$
-F(k;n,p)=P(X\leq k)=\sum_{i=0}^\floor{k} C_n^i p^i(1-p)^{n-i}.$$
-$\mean{X}=np$, $\moda(X)=\floor{(n+1)p}$, $\floor{np}\le\med(X)\le\ceil{np}$,
-$\sigma^2_X = npq$.
-\end{block}
-\end{columns}
-\end{lightframe}
-
-\begin{frame}{Распределение Пуассона}
-\vspace*{-2em}\begin{block}{}
-При $n\to\infty$ распределение Бернулли преобразуется в распределение Пуассона ($\lambda=np$):
-$$P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\exp(-\lambda).$$
-\end{block}
-\begin{columns}\column{0.48\textwidth}
-\begin{block}{}
-$F(k, \lambda) = \displaystyle\frac{\Gamma(k+1,\lambda)}{k!}$,
-$\mean{X} = \lambda$, $\moda(X) = \floor{\lambda}$, 
-$\med{X}\approx\floor{\lambda+1/3-0.02/\lambda}$,
-$\sigma^2_X = \lambda$.
-
-С ростом $\lambda$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса.
-\end{block}
-\column{0.48\textwidth}
-\img{poissonpdf}
-\end{columns}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Распределение Гаусса}
-\vspace*{-2em}\begin{block}{}
-$$
-\phi (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x -\mean{x})^2}{2
-\sigma^2} \right)
-$$
-\end{block}
-\vspace*{-1em}\begin{block}{}
-$F(x) = \displaystyle\frac 1{\sigma \sqrt {2 \pi}} \Int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t
--\mean{x})^2}{2 \sigma^2} \right)\, dt$,
-$\moda(X) = \med{X} = \mean{X}$.
-\end{block}
-\vspace*{-1em}\img[0.6]{normpdf}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Показательное (экспоненциальное) распределение}
-\vspace*{-1em}\begin{block}{}
-Время между двумя последовательными свершениями события
-$$f(x)=\begin{cases}
-0,& x<0,\\
-\lambda\exp(-\lambda x),& x\ge0;
-\end{cases}\qquad
-F(x)=\begin{cases}
-0,& x<0,\\
-1-\exp(-\lambda x),& x\ge0,
-\end{cases}
-$$
-\end{block}
-\vspace*{-1em}\begin{block}{}
-$\mean{X} = \lambda^{-1}$,
-$\moda(X) = 0$, $\med{X} = \ln(2)/\lambda$,
-$\sigma^2_X = \lambda^{-2}$.
-\end{block}
-\vspace*{-1em}\img[0.5]{exppdf}
-\end{frame}
-
-\section{Корреляция и ковариация}
-\begin{frame}{Корреляция и ковариация}
-\begin{defin}
-\ж{}Ковариация\н является мерой линейной зависимости случайных величин и определяется формулой:
-$\mathrm{cov}(X,Y)=\mean{(X-\mean{X})(Y-\mean{Y})}$ $\Longrightarrow$ $\mathrm{cov}(X,X) = 
-\sigma^2_X$.
-\к Ковариация независимых случайных величин равна нулю\н, обратное неверно.
-\end{defin}
-\begin{block}{}
-Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения второй имеют 
-тенденцию возрастать, а если знак отрицательный~--- убывать.
-
-Масштаб зависимости величин пропорционален их дисперсиям $\Longrightarrow$ масштаб можно 
-отнормировать (\ж{}коэффициент корреляции\н Пирсона):
-$$\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma X\sigma Y}, \qquad \mathbf{r}\in[-1,1].$$
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{}
-\begin{block}{}
-Коэффициент корреляции равен~$\pm1$ тогда и только тогда, когда~$X$ и~$Y$ линейно зависимы. Если 
-они независимы, $\rho_{X,Y}=0$ (\ж{}обратное неверно!\н). Промежуточные значения коэффициента 
-корреляции не позволяют однозначно судить о зависимости случайных величин, но позволяет предполагать 
-степень их зависимости.
-\end{block}
-\begin{block}{Корреляционная функция}
-Одна из разновидностей~---\ж автокорреляционная функция\н:
-$$
-\Psi(\tau) = \Int f(t) f(t-\tau)\, dt\equiv
-\Int f(t+\tau) f(t)\,dt.
-$$
-Для дискретных случайных величин автокорреляционная функция имеет вид
-$$
-\Psi(\tau) = \aver{X(t)X(t-\tau)}\equiv\aver{X(t+\tau)X(t)}.
-$$
-\end{block}
-\end{frame}
-
-\begin{blueframe}{}
-\begin{block}{Взаимно корреляционная функция}
-Другая разновидность~---\ж кросс--корреляционная функция\н:
-$$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f^{*}(\tau)g(t+\tau)\,d\tau$$
-свертка:
-$$ (f*g)(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f(y)\,g(x-y)\,dy = \Infint f(x-y)\,g(y)\, dy.$$
-
-\end{block}
-\img[0.5]{convcorr}
-\end{blueframe}
-
-\begin{frame}{}
-\begin{block}{}
-Если $X$ и $Y$~--- два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей 
-$f$ и $g$, то $f\star g$ соответствует распределению вероятностей выражения $-X+Y$, а $f*g$~---
-распределению вероятностей суммы $X + Y$.
-
-ВКФ часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной, 
-определения сдвига (см.~рис).
-
-Связь со сверткой: $f(t)\star g(t) = f^*(-t) * g(t)$, если $f$ и $g$ четны, то 
-$f(t)\star g(t) = f(t) * g(t)$. Через преобразование Фурье:
-$\FT{f \star g} = \FT{f}^*\cdot\FT{g}$.
-\end{block}\img[0.6]{autocorr}
-\end{frame}
-
-\section{Шум}
-\begin{frame}{Шум}
-\begin{defin}
-\ж Шум\н~--- беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложной временной и
-спектральной структурой.
-\end{defin}
-\begin{block}{}
-\ж Белый шум\н, $\xi(t)$, имеет время корреляции много меньше всех характерных времен физической 
-системы;  $\mean{\xi(t)}=0$, $\Psi(t,\tau)=\aver{\xi(t+\tau)\xi(t)}=\sigma^2(t)\delta(\tau)$.
-Разновидность~--- AWGN.
-
-\ж Дробовой шум\н имеет пуассонову статистику~\so $\sigma_X\propto\sqrt{x}$ и 
-$\SNR(N)\propto\sqrt{N}$. Суточные и вековые корреляции.
-
-Шум вида \ж<<соль--перец>>\н обычно характерен для изображений, считываемых с ПЗС.
-\end{block}
-\end{frame}
-\begin{frame}{SNR}
-\begin{defin}
-\ж SNR\н~--- безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.
-\end{defin}
-\begin{block}{}
-$$\SNR = {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}} = \left ({A_\mathrm{signal} \over 
-A_\mathrm{noise} } \right )^2, \quad
-\SNR(dB) = 10 \lg \left ( {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}}
-\right )
-= 20 \lg \left ( {A_\mathrm{signal} \over A_\mathrm{noise}} \right ).
-$$
-\end{block}
-
-\img[0.6]{SNR}
-\centerline{\tiny (10, 0, -10~дБ.)}
-\end{frame}
-
-
-\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
-\centering
-\begin{minipage}{5cm}
-\begin{block}{mailto}
-eddy@sao.ru\\
-edward.emelianoff@gmail.com
-\end{block}\end{minipage}
-\end{frame}
-\end{document}

Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 \title[Компьютерная обработка. Лекции 3, 4.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
 \subtitle{Лекция 3. Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности.\\
 Лекция 4. Теория оценок.}
-\date{28 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 2016 ÇÏÄÁ}
+\date{22 марта 2021 года}
 
 \begin{document}
 % Титул
@@ -104,7 +104,7 @@ x/\mean{x}$;
 \end{block}
 \begin{block}{Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического}
 $$
-\sigma_{\mean{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}=
+\sigma_{\aver{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}=
 \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(\mean{x_i}-\aver{x})^2}{n(n-1)}}.
 $$
 \end{block}
@@ -118,16 +118,32 @@ $p = P(X_0 \le x \le X_1)$
 \end{block}
 \begin{block}{Математическое ожидание}
 Если известен закон распределения (мат. ожидание и дисперсия: $\mu$ и $\sigma$), то
-$$P\Bigl(\mean{X}-z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le
+$$P\Bigl(\aver{X}-z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le
-	\mean{X}+z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
+	\aver{X}+z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
 где $z_\alpha$~-- $\alpha$--квантиль нормального распределения
 \end{block}
 \column{0.4\textwidth}
 \img{Boxplot_vs_PDF}
-ë×ÁÎÔÉÌÉ: ÐÅÒ×ÙÊ, ×ÔÏÒÏÊ (ÍÅÄÉÁÎÁ) É ÔÒÅÔÉÊ.
+Квартили: первый (0.25-квантиль), второй (0.5-квантиль, медиана) и третий (0.75-квантиль).
 \end{columns}
 }
 \only<2>{
+    \begin{defin}\ж $\alpha$--квантилем\н называется число $x_\alpha$:
+        $P(X\le x_\alpha)\ge\alpha$ и $P(X\ge x_\alpha)\ge1-\alpha$. Т.е. по интегральной функции распределения
+        $F(x_\alpha)=\alpha$. А т.к. $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$, получаем:
+        $$P(x_{1-\frac{\alpha}2}\le X\le x_{1+\frac{\alpha}2})=\alpha.$$
+    \end{defin}
+\begin{block}{Пример}
+В 64 наблюдениях получено: $S_1=\sum x=600$, $S_2=\sum (x-\mean{x})^2=3800$. Вычислить 90\% доверительный
+интервал
+матожидания.
+
+Решение: $\sigma=\sqrt{S_2/(n-1)}=7.72$; $\aver{x}=S_1/n=9.375$. $F(0.05)=1.96$, отсюда найдем границы интервала
+$\aver{x}\pm F(0.05)\sigma/\sqrt{n}$:
+$\mean{x}\in[7.484, 11.266]$ с точностью 90\%.
+\end{block}
+}
+\only<3>{
 \begin{block}{Математическое ожидание}
 Если закон распределения неизвестен, то
 $$P\Bigl(\mean{X}-t_{1-\frac{\alpha}2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le
@@ -141,7 +157,7 @@ $$T=\frac{\mean{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$
 $\mean{X}\pm TS_n/\sqrt{n}$, т.е. $\mu\in(8.6565, 11.3440)$.
 \end{block}
 }
-\only<3>{
+\only<4>{
 \begin{block}{Дисперсия}
 Если известно среднее, можно воспользоваться распределением $\chi^2$.
 $$
@@ -271,6 +287,28 @@ $$P(|x-\mean{x}|<3\sigma)=2\Phi(3)=0.9973.$$
 \end{defin}
 \end{frame}
 
+\section{Иррегулярно распределенные данные}
+\begin{frame}{}
+\begin{columns}
+\column{0.65\textwidth}
+\begin{block}{Иррегулярно распределенные данные}
+БПФ, корреляция, периодограммы и т.п.
+\begin{itemize}
+\item Resampling (если данные достаточно плотно расположены).
+\item Определение периода как расстояния между минимумами (максимумами) из аппроксимации.
+\item Auto Regressive Moving Average (ARMA).
+\item Фильтрация Калмана.
+\item Метод Ваничека (аппроксимация набора данных рядом синусоид).
+\item Периодограмма Ломба-Скаргла (ортогонализация пар синусоид введением задержки во времени,
+Scargle, 1981).
+\item Irregular Autoregressive Model (IAR).
+\item Complex IAR (CIAR).
+\end{itemize}
+\end{block}
+\column{0.32\textwidth}
+\vspace*{-2em}\img{irregular}
+\end{columns}
+\end{frame}
 
 \begin{frame}{Спасибо за внимание!}
 \centering

Komp_obr/05-sistur.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 \title[Компьютерная обработка. Лекция 5.]{Компьютерная обработка результатов
 измерений}
 \subtitle{Лекция 5. Системы уравнений}
-\date{29 сентября 2016 года}
+\date{22 марта 2021 года}
 
 \begin{document}
 % Титул
@@ -36,7 +36,7 @@ $$
 \begin{defin}
 Если существует вектор--столбец~$\B x$, обращающий выражение~$\B{Ax=b}$ в тождество, говорят,
 что~$\B x$ является\ж решением\н данной системы уравнений.
-$|\B A|\ne0$. 
+$\mathrm{det}\,A\equiv |\B A|\ne0$.
 \end{defin}
 \end{frame}
 
@@ -45,14 +45,19 @@ $|\B A|\ne0$.
 $\delta=\B{Ax-b}$.
 Приближенные методы: $\mathrm{min}(\delta)$. Точные методы: $\delta=0$.\\
 \end{block}
-\begin{block}{Метод простой итерации}
-$\B{x=Bx+c}$, $\B x_{n+1}=\B B\B x_n+\B c$.\\
-Сложностью метода простой итерации при решении матриц больших размерностей является особое свойство 
-таких матриц~--- существование\к почти собственных значений\н, $\lambda$: 
-$||\B{Ax}-\lambda\B x||\le\epsilon||\B x||$ при $||\B x||\ne0$.\\
-\end{block}
 \begin{block}{Матричный метод}
-$\B x = \B A^{-1}\B b$
+$\B x = \B A^{-1}\B b$\\
+$\B A \cdot \B A^{-1} = \B A^{-1} \cdot \B A = \B E$.
+Нахождение обратной матрицы:
+\begin{itemize}
+\item с помощью присоединенной: $(\B A | \B E )$ \so $(\B E | \B A^{-1})$;
+\item $\B A^{-1} = \dfrac{\mathrm{adj\,}\B A}{|\B A|}$, присоединенная матрица $\mathrm{adj\,}\B A$
+является транспонированной матрицей алгебраических дополнений ($(-1)^{i+j}M_{ij}$, $M_ij$~--
+соответствующий дополнительный минор~--- определитель матрицы с вычеркнутыми $i$-й строкой и $j$-м
+столбцом).
+\item и т.д., и т.п.
+\end{itemize}
+Формулы Крамера: $x_j = |A_j|/|A|$, $A_j$ получается из $A$ заменой $j$-го столбца на $\B b$.
 \end{block}
 }
 \only<2>{
@@ -82,20 +87,19 @@ $N\propto n^3$~---
 \end{block}
 }
 \only<3>{
-\begin{block}{}
+\begin{block}{Метод Зейделя}
-\ж Метод Зейделя\н: \\
 $$\B{Bx}_{n+1}+\B{Cx}_n=\B b,$$
 где
 $$\B B=\begin{pmatrix}
 a_{11}&0&0&\cdots&0\\
 a_{21}&a_{22}&0&\cdots&0\\
-\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
 a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mm}
 \end{pmatrix},\qquad
 \B C=\begin{pmatrix}
 0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1m}\\
 0&0&a_{23}&\cdots&a_{2m}\\
-\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
 0&0&0&\cdots&0
 \end{pmatrix}.
 $$
@@ -104,6 +108,49 @@ $$\B x_{n+1}=-\B B^{-1}\B{Cx}_n +\B B^{-1}\B b.$$
 \end{block}
 }
 \only<4>{
+\begin{block}{LU-метод}
+$$\B A=\B L\cdot \B U,$$
+где
+$$\B L=\begin{pmatrix}
+l_{11}&0&0&\cdots&0\\
+l_{21}&l_{22}&0&\cdots&0\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+l_{m1}&l_{m2}&l_{m3}&\cdots&l_{mm}
+\end{pmatrix},\qquad
+\B U=\begin{pmatrix}
+1&u_{12}&u_{13}&\cdots&u_{1m}\\
+0&1&u_{23}&\cdots&u_{2m}\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&0&0&\cdots&1
+\end{pmatrix}.
+$$
+Прямой ход:  $\B L\cdot \B U\cdot \B x \equiv \B L\cdot\B y= \B b$, находим $\B y$,
+из $\B U\cdot \B x =\B y$ находим $\B x$.
+$$\begin{cases}
+l_{ij}=a_{ij}-\Sum_{s=1}^{j-1}l_{is}u_{sj},& i\ge j;\\
+u_{ij}=\frac1{l_{ii}}\Bigl(a_{ij}-\Sum_{s=1}^{j-1}l_{is}u_{sj}\Bigr), & i < j.
+\end{cases}
+$$
+LU-разложение возможно для матриц с преобладанием диагональных элементов
+\end{block}
+}
+\only<5>{
+\begin{block}{Разложение Холецкого}
+$\B A=\B L\cdot \B L^T$, либо $\B A=\B U^T\cdot \B U$, где $\B L$~-- нижняя треугольная матрица
+со строго положительными элементами на диагонали, $\B U$~-- верхняя треугольная матрица.
+Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной (относительно главной
+диагонали) положительно-определенной матрицы (все диагональные миноры положительны).
+
+$$\begin{cases}
+l_{ii}=\sqrt{a_{ii} - \Sum_{s=1}^{i-1}l^2_{is}}; \\
+l_{ij} = \frac1{l_{ii}}\Bigl( a_{ij} - \Sum_{s=1}^{j-1}l_{is}l_{js}\Bigr), & j < i.
+\end{cases}
+$$
+
+Прямой и обратный ходы аналогичны LU-разложению.
+\end{block}
+}
+\only<6>{
 \begin{block}{}
 Если $\B A$ содержит~$m$ строк и~$n$ столбцов, то:
 \begin{description}
@@ -115,12 +162,38 @@ $$\B x_{n+1}=-\B B^{-1}\B{Cx}_n +\B B^{-1}\B b.$$
 данной системы может существовать и точное решение).
 \end{description}
 \end{block}
-\begin{block}{Приближенные решения}
+}
-МНК ($\B{x=A\backslash b}$), псевдообратная матрица, \dots
+\only<7>{
+\begin{block}{Метод наименьших квадратов ($m > n$)}
+$\B{x=A\backslash b}$, %), псевдообратная матрица, \dots
+$S=\sum_i(\sum_j a_{ij}x_j - b_i)$, $\partder{S}{x_j}=0$ \so
+$\B C\B x = \B d$, где
+$c_{kj} = \sum_i a_{ik}a_{ij}$, $k,j=\overline{1,n}$, $d_k = \sum_i a_{ik}b_i$.
+Т.о. $\B C = \B A^T\cdot \B A$, $\B d=\B A^T\B b$.
+\end{block}
+\begin{block}{Метод простой итерации}
+$\B{x=Bx+c}$, $\B x_{n+1}=\B B\B x_n+\B c$.\\
+Сложностью метода простой итерации при решении матриц больших размерностей является особое свойство
+таких матриц~--- существование\к почти собственных значений\н, $\lambda$:
+$||\B{Ax}-\lambda\B x||\le\epsilon||\B x||$ при $||\B x||\ne0$.\\
 \end{block}
 }
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Число обусловленности матрицы}
+\begin{block}{Оценка ошибки решения}
+Пусть $\B x'$~-- приближенное решение. Абсолютная и относительная ошибки: $||\B x-\B x'||$
+и $\frc{||\B x-\B x'||}{||\B x||}$. Нам известна невязка $\B r=\B b-A\B x'$:
+$$\B r=A\B x-A\B x'=A(\B x-\B x')\so ||\B x-\B x'||=||A^{-1}\B r||\le ||A^{-1}||\,||\B r||,$$
+а т.к. $||\B b||\le||A||\,||\B x||$, $\frc{1}{||\B x||}\le\frc{||A||}{||\B b||}$:
+$$\frac{||\B x-\B x'||}{||\B x||}\le||A^{-1}||\,||\B r||\,\frac{||A||}{||\B b||}=k(A)\frac{||\B
+r||}{||\B b||}.$$
+\ж Число обусловленности\н: $k(A)=||A||\,||A^{-1}||$. Чем оно больше, тем больше флуктуации $\B x$
+влияют на общее решение. У хорошо обусловленных матриц $K(A)\equiv1$ (напр., ортогональные матрицы,
+у которых $A^T=A^{-1}$).
+\end{block}
+\end{frame}
+
 \section{Степенные уравнения}
 \begin{frame}{Степенные уравнения}
 \begin{defin}
@@ -139,14 +212,30 @@ p_n(x_2)$;
 \end{block}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Бисекция (дихотомия)}
+\img{bisect}
+Отрезок делится вплоть до заданной точности $b_n-a_n\le\epsilon$, корень $x\approx(b_n+a_n)/2$.
+
+Применяется и для поиска значений в упорядоченном ряду.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Метод хорд (секущих)}
+\begin{block}{}
+$$x_{i+1}=x_{i-1}+\frac{y_{i-1}\cdot(x_i-x_{i-1})}{y_i-y_{i-1}}.$$
+\end{block}
+\begin{pict}\smimg[0.5]{chords1}\,\smimg[0.5]{chords2}\end{pict}
+\end{frame}
+
 \begin{blueframe}{Метод Ньютона}
-\img[0.7]{Newton_iteration}
+\begin{block}{}
+$$x_{i+1}=x_i+\frac{y_i}{y'_i}.$$
+\end{block}
+\begin{pict}\smimg[0.5]{newton1}\,\smimg[0.5]{newton2}\end{pict}
 \end{blueframe}
 
 \section{Численное интегрирование и дифференцирование}
-\begin{frame}{Численное интегрирование и дифференцирование}
+\begin{frame}{Численное интегрирование}
-\only<1>{
+\begin{block}{}
-\begin{block}{Численное интегрирование}
 Для численного решения уравнения $\displaystyle I=\Int_a^b f(x)\,dx$ наиболее популярны:
 \begin{description}
 \item[метод прямоугольников] $I\approx\sum_{i=1}^n f(x_i)[x_i-x_{i-1}]$;
@@ -156,18 +245,91 @@ $I\approx\frac{b-a}{6n}\Bigl(f(x_0)+f(x_n)+2\sum_{i=1}^{n/2-1}
 f(x_{2i}) + 4\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})\Bigr)$.
 \end{description}
 и многие другие.
-\end{block}}
+\end{block}
-\only<2>{
+\end{frame}
-\begin{block}{Численное дифференцирование}
+
+\begin{frame}{Метод прямоугольников}
+\begin{columns}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{}
+$$\int_a^b f(x)\,dx\approx$$
+\begin{list}{}{}
+\item $\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i})(x_{i+1}-x_{i})$;
+\item $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})(x_i-x_{i-1})$;
+\item $\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}f\bigl(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\bigr)(x_{i+1}-x_{i})$.
+\end{list}
+Для равномерных сеток:
+
+$\displaystyle h\sum_{i=0}^{n-1} f_i$;
+$\displaystyle h\sum_{i=1}^{n} f_i$;
+$\displaystyle h\bigl(\sum_{i=1}^{n-1} f_i + \frac{f_0+f_n}{2}\bigr)$.
+
+\end{block}
+\column{0.45\textwidth}
+\img{rectangmeth}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{lightframe}{Метод трапеций}
+\begin{columns}
+\column{0.6\textwidth}
+\begin{block}{}
+$$\int_a^b f(x)\,dx\approx
+\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}(x_{i+1}-x_i).$$
+
+Для равномерных сеток~--- формула Котеса:
+$$\int_a^b f(x)\,dx =
+h\left(\frac{f_0+f_n}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f_i\right) + E_n(f),$$
+$$E_n(f)=-\frac{f''(\xi)}{12}(b-a)h^2, \xi\in[a,b].$$
+\end{block}
+\column{0.4\textwidth}
+\img{trapezmeth}
+\end{columns}
+\end{lightframe}
+
+\begin{blueframe}{Метод Симпсона}
+\begin{columns}
+\column{0.6\textwidth}
+\begin{block}{}
+$$\int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\bigl(\frac{a+b}{2}\bigr)\right)$$
+\end{block}
+\column{0.4\textwidth}
+\img{Simpsons_method_illustration}
+\end{columns}
+\begin{block}{}
+Формула Котеса:
+$$I\approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+
+2\sum_{i=1}^{N/2-1}f(x_{2i}) + 4\sum_{i=1}^{N/2}f(x_{2i-1} + f(x_N)\Bigr).$$
+
+\end{block}
+\end{blueframe}
+
+
+\begin{frame}{Численное дифференцирование}
+\begin{block}{}
 Аппроксимация функции интерполяционным многочленом (Ньютона, Стирлинга и т.п.), разделенные
 разности.
-
+\end{block}
-В нулевом приближении можно заменить производную $f^{(n)}$ разделенной разностью $n$-го порядка:
+\begin{block}{Аппроксимация многочленом}
-$$f(x_0; x_1; \ldots; x_n) = \sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)}{\displaystyle
+$$f(x)\approx P_N(x)\quad\Arr\quad f^{(r)}(x)\approx P_N^{(r)}(x).$$
-\prod_{j=0, j\ne i}^n\!\!(x_i - x_j)}.$$
+Полином Ньютона:
-\end{block}}
+$$P_N(x)=\sum_{m=0}^{N}C_x^m\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_m^k\,f(k).$$
+Полином Лагранжа:
+$$P_N(x) = \sum_{k=0}^N y_k \frac {(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1}) \ldots  (x-x_n)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1) \ldots
+(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \ldots  (x_k-x_n)}.$$
+А также: интерполяция кубическими сплайнами, разложение по базису тригонометрических функций и т.п.
+\end{block}
 \end{frame}
 
+\begin{block}{Разделенные разности}
+ В нулевом приближении можно заменить производную $f^{(n)}$ разделенной разностью $n$-го порядка.
+$$f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n})=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_j)}{\prod \limits _{i=0 \atop i\neq j}^{n}(x_{j}-x_{i})}}.$$
+В частности:
+$$f(x_0;\;x_1)={\frac {f(x_1)}{x_1-x_0}}+{\frac {f(x_0)}{x_0-x_1}},$$
+$$f(x_0;\;x_1;\;x_2)={\frac {f(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}}+{\frac {f(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_0)}}+{\frac
+{f(x_0)}{(x_0-x_2)(x_0-x_1)}}\ldots$$
+\end{block}
+
 \section{Дифференциальные уравнения}
 \begin{frame}{Дифференциальные уравнения}
 \only<1>{
@@ -214,6 +376,25 @@ $$f(z,x,y,\partder{z}{x},\partder{z}{y})=0.$$
 }
 \end{frame}
 
+\begin{blueframe}{}
+\begin{block}{Метод Эйлера}
+Аппроксимация интегральной кривой кусочно-линейной функцией. Задача Коши в простейшем виде:
+$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$, $y|_{x=x_0}=y_0$. Решение ищется на интервале $(x_0, b]$.
+$$y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1}),\qquad i=\overline{1,n}.$$
+\end{block}
+\img[0.5]{Euler_method}
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{Метод Рунге-Кутты}
+$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr),\qquad \text{где}$$
+$k_1=f(x_n,y_n)$, $k_2=f\bigl(x_n+\frc{h}2, y_n+\frc{h}2 k_1\bigr)$,
+$k_3=f\bigl(x_n+\frc{h}2, y_n+\frc{h}2 k_2\bigr)$,
+$k_4=f(x_n+h,y_n+hk_3)$ ($h$~-- шаг сетки по $x$).
+\end{block}
+\img[0.5]{Runge-Kutta}
+\end{frame}
+
 
 \begin{frame}{Спасибо за внимание!}
 \centering

Komp_obr/06-analysis.tex

@@ -1,11 +1,11 @@
 \documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
-%\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
 \usepackage{ed}
 \usepackage{lect}
 
 \title[ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ. ìÅËÃÉÑ 6.]{ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ}
 \subtitle{ìÅËÃÉÑ 6. áÎÁÌÉÚ ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×. æÕÒØÅ-- É ÷ÅÊ×ÌÅÔ--ÁÎÁÌÉÚ}
-\date{5 ÏËÔÑÂÒÑ 2016 ÇÏÄÁ}
+\date{29 марта 2021 года}
 
 \begin{document}
 % ôÉÔÕÌ
@@ -79,11 +79,319 @@ B--
 ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÕÚÌÏ×: $n\ge k+1$.
 \end{block}
 \begin{block}{óÐÌÁÊÎÙ áËÉÍÙ}
-äÁÀÔ ÍÅÎØÛÉÅ ÏÓÃÉÌÌÑÃÉÉ.
+Также кубические. Устойчивы к осцилляциям. Локальность (окрестность из 5--6 точек) "--- существенно
-\end{block}}
+более быстрое разложение.
+\end{block}
+\begin{block}{Кривые Безье}
+Параметрические полиномиальны кривые, проходящие через опорны точки только в начале и конце области
+определения.
+\end{block}
+}
 \only<2>{
 \img[0.7]{1D_Inter_polation}
 }
+\only<3>{
+\img{bezier}
+\centering{Интерполяция кривой Безье}
+}
+\end{frame}
+
+\section{Модель ARMA}
+\begin{frame}{Модель ARMA (авторегрессия и скользящее среднее)}
+\only<1>{
+\begin{block}{Авторегрессия}
+Процесс авторегрессии выражается уравнением
+$$x_k=\C + \sum_{i=1}^{n}\phi_i x_{k-i} + \epsilon_k,\qquad\text{где $\C$~-- константа,
+$\epsilon$~--
+шум.}$$
+Процесс будет стационарным, лишь если $\phi_i$ заключены в определенном диапазоне, что не приведет
+к негораниченному росту~$x_k$.
+\end{block}
+\begin{block}{Скользящее среднее}
+$$x_k=\C + \epsilon_k - \sum_{i=1}^{n}\theta_i\epsilon_{k-i},\qquad\text{объект~-- сумма ошибок.}$$
+\end{block}}
+\only<2>{
+\begin{block}{ARMA}
+$$x_k=\C + \epsilon_k + \sum_{i=1}^{p}\phi_i x_{k-i} + \sum_{i=1}^{q}\theta_i\epsilon_{k-i}\qquad
+\text{--- процесс ARMA(p,q).}$$
+Для определения порядков $p$ и $q$ может применяться, например, автокорреляция и частичная
+автокорреляция, ЧАКФ. Для нахождения коэффициентов~--- метод наименьших квадратов и т.п.
+
+В ЧАКФ из переменных вычисляется их регрессия (удаляются линейные зависимости):
+$$PACF(k)=corr(x_{t+k}-x_{t+k}^{k-1}, x_t-x_{t}^{k-1}),$$
+$$x_{t}^{k-1}=\sum_{i=1}^{k-1}\beta_i x_{t+k-i}\qquad\text{--- СЛАУ.}$$
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\section{Преобразования Лапласа, Z--преобразования}
+\begin{frame}{Преобразование Лапласа}
+\only<1>{
+\begin{block}{}
+В линейной теории управления аналогами преобразований Фурье выступают
+преобразования Лапласа и Z--преобразования.
+
+Для комплексного переменного $s$ преобразование Лапласа определяется так:
+$$
+F(s)=\LT{f(t)}(s)=\Int_0^{\infty}f(t)\e^{-st}dt.
+\label{Laplas_transform}
+$$
+Использование преобразований Лапласа имеет тот смысл, что управляющая
+функция $f(t)$ чаще всего является чисто действительной, а ее
+состояние в момент времени $t<0$ не определено или же не
+интересует исследователя.
+
+$$f(t)=\ILT{F(s)}= \frac{1}{2\pi i}\lim_{\omega\to\infty}\Int_{\gamma-\omega}^{\gamma+\omega}
+\e^{st}F(s)\,ds,$$
+где $\gamma$ определяет область сходимости $F(s)$.
+\end{block}}
+\only<2>{
+\begin{block}{Связь с преобразованием Фурье}
+$$
+\FT{F}\equiv F(u)=\Infint f(x)\e^{-2\pi i ux}\,dx
+$$
+$$\LT{f(t)}(2\pi u)=\Int_0^{\infty}f(t)\e^{-2\pi iut}dt=\FT{f(t)},\qquad f(t)=0\when{t<0}.$$
+Лаплас \arr Фурье: $s \arr2\pi iu $ \Arr расширение свойств ПФ на ПЛ.
+
+Сведение линейных диф. уравнений к алгебраическим \Arr теория управления:
+$$\LT{\dfrac{df(t)}{dt}}(s)=s^{1}\LT{f(t)}(s)-f(0)\quad\Arr$$
+$$\quad\LT{f^{(n)}(t)}(s)=s^{n}\LT{f(t)}-\sum_{k=1}^n s^{n-k}f^{(k-1)}(0).$$
+\end{block}
+}
+\only<3>{
+\begin{block}{Передаточная функция}
+$i(t)$~--- входной сигнал управляющей системы, $o(t)$~---
+выходной сигнал; $I(s)=\LT{i}$, $O(s)=\LT{o}$.
+{\ж Передаточная функция} с нулевыми начальными условиями:
+$$
+T(s)=\frac{O(s)}{I(s)}.
+$$
+$T(s)$ описывает динамику системы, совершенно отвлекаясь от ее внутреннего функционирования.
+
+$$o(t)=\ILT{T\cdot I}.$$
+\end{block}
+
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Преобразование Лапласа, примеры}
+\only<1>{
+\begin{block}{Функция Хевисайда}
+\begin{columns}
+\column{0.3\textwidth}
+$$\eta(t)=\left\{\begin{aligned}
+0,\quad t<0,\\
+1,\quad t\ge0.
+\end{aligned}\right.$$
+\column{0.7\textwidth}
+$$\displaystyle F(p)=\Int_0^\infty \eta(t)\,\e^{-st}dt=\Int_0^\infty\e^{-st}dt=\frac{1}{s},\quad\Re(
+s) > 0.$$
+\end{columns}
+\end{block}
+\begin{block}{Экспонента}
+$$\Int_0^\infty\e^t\e^{-st}dt=\Int_0^\infty\e^{-t(s-1)}dt=\left.\frac{\e^{-(s-1)t}}{-(s-1)}\right|_0^\infty=
+\frac{1}{s-1},\quad \Re(s)>1;$$
+$$\Int_0^\infty\e^{\lambda t}\e^{-st}dt=\frac{1}{s-\lambda},\quad \Re(s)>\lambda.$$
+\end{block}
+}
+\only<2>{
+\begin{block}{$\sin$, $\cos$}
+$$\Int_0^\infty \sin\alpha t\e^{-st}dt=\Int_0^\infty\frac{\e^{i\alpha t}-\e^{-i\alpha
+t}}{2i}\e^{-st}dt=\frac{\alpha}{s^2+\alpha^2},$$
+$$\Int_0^\infty \cos\alpha t\e^{-st}dt=\Int_0^\infty\frac{\e^{i\alpha t}+\e^{-i\alpha
+t}}{2i}\e^{-st}dt=\frac{s}{s^2+\alpha^2}.$$
+\end{block}
+\begin{block}{$\sh$, $\ch$}
+$$\Int_0^\infty \sh\alpha t\e^{-st}dt=\frac{\alpha}{s^2-\alpha^2},$$
+$$\Int_0^\infty \ch\alpha t\e^{-st}dt=\frac{s}{s^2-\alpha^2}.$$
+\end{block}
+}
+\only<3>{\begin{block}{Диф. уравнения}
+Решить задачу Коши $x'''+x'=1$, $x(0)=x'(0)=x''(0)=0$. Вычислим преобразование Лапласа (учитывая,
+что все н.у. нулевые):
+$$s^3F(s)+sF(s)=\frac{1}{s}\Arr F(s)=\frac{1}{s^2(s^2+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2+1},$$
+Обратное преобразование:
+$$x(t)=t-\sin t.$$
+\end{block}
+}
+\only<4>{
+\begin{block}{Конденсатор}
+Ток $i=C\frac{du}{dt}$, Лаплас: $I(s)=C(sU(s)-u(0))$. Отсюда $U(s)=\frac{I(s)}{sC}+\frac{u(0)}{s}$.
+Комплексное сопротивление $Z(s)=\left.\frac{U(s)}{I(s)}\right|_{u(0)=0}$. Импеданс
+конденсатора: $Z=\frac{1}{sC}$.
+\end{block}
+\begin{block}{Индуктивность}
+$u=L\frac{di}{dt}$, $U(s)=L(sI(s)-i(0))$, $Z(s)=\left.\frac{U(s)}{I(s)}\right|_{i(0)=0}$,
+$Z=sL$.
+\end{block}
+}
+\only<5>{
+\begin{block}{Общая передаточная функция}
+Рассмотрим диф. уравнение
+$$\sum_{i=0}^n a_i y^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^m b_j x^{(j)}(t).$$
+При нулевых начальных условиях его преобразование Лапласа:
+$$Y(s)\sum a_i s^i = X(s)\sum b_j s^j,\quad\Arr\quad
+Y(s)=\frac{b_0 + b_1 s + \ldots + b_m s^m}{a_0 + a_1 s + \ldots + a_n s^n}X(s).$$
+\ж Передаточная функция\н:
+$$W(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_0 + b_1 s + \ldots + b_m s^m}{a_0 + a_1 s + \ldots + a_n s^n}.$$
+Корни $b_i$~-- \ж нули\н передаточной функции, корни $a_i$~-- ее\ж полюса\н.
+\end{block}
+}
+\only<6>{
+\begin{block}{Переходная характеристика}
+ПХ~--- реакция системы на ступенчатую функцию (Хевисайда): $$Y(s)=\dfrac{1}{s}W(s).$$
+Основные виды: апериодическая (монотонная)~-- плавное возрастание или затухание с постоянным знаком
+производной; периодическая колебательная~-- бесконечное количество раз смены знака производной с
+постоянным периодом; колебательная апериодическая~-- период смены знака производной непостоянен,
+его количество конечно.
+
+Для последовательных звеньев $W(s)=\prod_{i=1}^n W_i(s)$. У параллельных суммирующих звеньев
+$W(s)=\sum_{i=1}^n W_i(s)$.
+
+Обратная связь: $Y=W_1X_1$, $X_1=X\pm X_2=X\pm W_2 W_1 X_1$, $X_1=X\pm X_1 W_1 W_2$
+$$X_1 = \frac{X}{1\mp W_1 W_2},\quad Y=\frac{W_1 X}{1\mp W_1 W_2},\quad
+W=\frac{W_1}{1\mp W_1 W_2}.$$
+\end{block}
+}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Z--преобразования (преобразования Лорана)}
+\begin{block}{}
+Являются дискретными аналогами преобразований Лапласа.
+
+Z--преобразование дискретного сигнала $\mathrm{i}={i_k}$, где
+$k=0,\ldots,\infty$,
+имеет следующий вид:
+$$
+I(z)\equiv\ZT{\mathrm{i}}=\sum_{k=0}^\infty i_k(t)z^{-k},
+$$
+$$
+i_n = \IZT{I}=
+\frac1{2\pi}\Oint_C I(z)z^{n}dz,
+$$
+где $C$~-- контур, охватывающий область сходимости $Z$.
+\end{block}
+\begin{block}{}
+Отклик на сдвиг:
+$$\ZT{\strut\mathrm{i}(t+n\Delta t)}=z^n\ZT{\strut\mathrm{i}(t)}.$$
+Связь с преобразованием Лапласа ($t\ll\Delta T$):
+$$\LT{\strut\mathrm{i}(t)}(s)=\ZT{\strut\mathrm{i}(t)}\e^{-st}.$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{Фурье--анализ}
+\begin{frame}{Фурье--анализ}
+\only<1>{
+\begin{block}{Ряд Фурье}
+$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a'_n\cos(nx)+\sum_{n=1}^\infty b'_n\sin(nx).$$
+Коэффициенты $a_n$ и~$b_n$ рассчитываются по формулам
+$$a_n=\rev\pi\Int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad
+b_n=\rev\pi\Int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx.$$
+
+$$\text{Если}\quad S_k(x) = \sum_{n=0}^k a'_n\cos(nx)+\sum_{n=1}^k b'_n\sin(nx),\quad\text{то}$$
+$$\lim_{n\to\infty}\Int_{-\pi}^\pi\Bigl(f(x)-S_k(x)\Bigr)dx = 0.$$
+\end{block}
+}
+\only<2>{
+\img{aliasing_fourier}
+\centering{Ложная синусоида (<<aliasing>>, муар).}
+}
+\only<3>{
+\begin{block}{Свойства}
+\begin{itemize}
+\item свертка: $\FT{f\cdot g}=\sqrt{2\pi}\FT{f}\cdot\FT{g}$,
+\item дифференцирование: $\FT{f^{n}} = (2\pi i\nu)^n\FT{f}$,
+\item сдвиг: $\FT{f(x-x_0)\strut}=\e^{-2\pi i\nu x_0}\FT{f}$,
+\item частотный сдвиг: $\FT{\e^{iat}f(t)}=F(2\pi\nu-a)$,
+\item масштабирование: $\FT{\C f}=\rev{|\C|}\FT{f}(\nu/a)$,
+\item $\FT{\delta(t)\strut}=\frac1{\sqrt{2\pi}}$,
+\item $\FT{1}=\sqrt{2\pi}\delta(2\pi\nu)$,
+\item $\FT{\e^{iat}}=\sqrt{2\pi}\delta(2\pi\nu-a)$.
+\end{itemize}
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\img{FM-AM}
+\centering{Спектры ЧМ~(сверху) и АМ~(снизу) сигналов, образованных из двух
+одинаковых гармонических сигналов}
+}
+\only<2>{
+\img{Four-filter}
+\centering{Фурье-фильтрация. Точками обозначен оригинальный сигнал, линией~---
+зашумленный сигнал, кружками~--- отфильтрованный.}
+}
+\end{frame}
+
+\section{Вейвлет--анализ}
+\begin{frame}{Вейвлет--анализ}
+\only<1>{
+\begin{defin}
+\ж Вейвлеты\н~--- класс функций, использующихся для пространственной и масштабируемой локализации
+заданной функции. Семейство вейвлетов может быть образовано из функции~$\psi(x)$ (ее иногда
+называют <<материнским вейвлетом>>), ограниченной на конечном интервале. <<Дочерние>> вейвлеты
+$\psi^{a,b}(x)$ образуются из <<материнского>> путем сдвига и масштабирования.
+\end{defin}
+
+\begin{block}{}
+Отдельный вейвлет можно определить как
+$$\psi^{a,b}(x)=|a|^{-1/2}\psi\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr).$$
+Тогда\ж базис вейвлетов\н (\it{}прямое вейвлет--преобразование\н),
+соответствующих функции~$f(x)$ определяется как
+$$W_\psi(f)(a,b)=\rev{\sqrt a}\Infint f(t)\psi^*\Bigl(\frac{t-b}{a}\Bigr)\,dt.
+\label{waveletb}$$
+где $a, b\in \mathbb{R}$, $a\ne0$.
+\end{block}
+}
+% \only<2>{
+% \begin{block}{Коэффициенты}
+% $$C_{j,k}=W_\psi(f)(2^{-j},k\cdot2^{-j}).$$
+%
+% \end{block}
+% }
+\only<2>{
+\begin{block}{Дискретное вейвлет--преобразование}
+$a=a_{0}^{m},\quad b=nb_{0}$, в этом случае
+$$\psi_{{m,n}}=a_{0}^{-m/2}\psi \left(\frac  {t-nb_0}{a_0^m}\right).$$
+
+$$W_{m,n}=\Int_{-\infty }^{\infty }x(t)\,\psi_{m,n}^{*}(t)\,dt.$$
+
+$$x(t)=K_\psi \Sum_{m=-\infty}^{\infty }\Sum_{n=-\infty }^\infty W_{m,n}\psi _{m,n}(t),$$
+где $K_\psi$~-- постоянная нормировки.
+\end{block}
+}
+% \only<2>{
+% \begin{block}{Свойства вейвлетов и требования}
+% \begin{itemize}
+% \item $\Infint\psi(t)\,dt=0$; $\Infint|\psi(t)|^2 dt<\infty$;
+% \item $\WT{af(t)+bg(t)}=a\WT{f(t)}+b\WF{g(t)}$;
+% \item $\WT{f(t-t_0)}=
+% \end{itemize}
+%
+% \end{block}
+% }
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\img[0.9]{wavelet}
+\centering{Локализация}
+}
+\only<2>{
+\img[0.6]{scale}
+\centering{Масштабирование}
+}
+\only<3>{
+\img[0.8]{fourwav}
+\centering{Фурье и вейвлеты}
+}
+\only<4>{
+\img[0.5]{curvelet}
+\centering{Курвлеты}
+}
 \end{frame}
 
 

Komp_obr/07-iproc_1.tex

@@ -0,0 +1,309 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+%\usepackage{ed}
+\usepackage{lect}
+
+\title[ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ. ìÅËÃÉÑ 7.1.]{ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ}
+\subtitle{ìÅËÃÉÑ 7.1. ïÂÒÁÂÏÔËÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ}
+\date{31 ÍÁÒÔÁ 2021 ÇÏÄÁ}
+
+\begin{document}
+% ôÉÔÕÌ
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{ãÉÆÒÏ×ÙÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ}
+\begin{frame}{ãÉÆÒÏ×ÙÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ}
+\begin{defin}
+\Ö éÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ\Î ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ $f(x,y)$, ÇÄÅ~$x$ É~$y$~---
+ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, Á ÕÒÏ×ÅÎØ~$f$ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ\Ö
+ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏÓÔØÀ\Î ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ (Ã×ÅÔÎÏÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
+ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØÀ ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÔÒÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ $r(x,y)$, $g(x,y)$ É~$b(x,y)$).
+åÓÌÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ~$x$, $y$ É~$f$ ÐÒÉÎÉÍÁÀÔ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÇÏ×ÏÒÑÔ Ï\Ë ÃÉÆÒÏ×ÏÍ
+ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÉ\Î. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÅÄÉÎÉÃÁ ÃÉÆÒÏ×ÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ\Ö
+ÐÉËÓÅÌÅÍ\Î.
+\end{defin}
+\begin{block}{äÉÓËÒÅÔÉÚÁÃÉÑ}
+ðÒÏÃÅÄÕÒÕ Ë×ÁÎÔÏ×ÁÎÉÑ (\bf ÄÉÓËÒÅÔÉÚÁÃÉÉ\Î) Ë×ÁÚÉÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ $I_0(X,Y)$  ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ:
+$$
+I(x,y)=\mathrm{round}\Bigl(\frac{2^N-1}{I_{max}}\Int_{S_{x,y}}I_0(X,Y)
+\,dXdY\Bigr)+\delta_{x,y}.
+$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{RGB-ÍÏÄÅÌØ}
+\only<1>{
+\img[0.6]{RGB}
+\centering{áÄÄÉÔÉ×ÎÁÑ RGB-ÍÏÄÅÌØ}
+}\only<2>{
+\img[0.6]{sRGB}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{CMYK-ÍÏÄÅÌØ}
+\only<1>{
+\img[0.5]{CMYK}
+\centering{óÕÂÓÔÒÁËÔÉ×ÎÁÑ CMYK-ÍÏÄÅÌØ}
+}\only<2>{
+\img[0.6]{colormodels}
+}
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}{}
+\img[0.6]{Bayer_pattern}
+\centering{íÁÓËÁ âÁÊÅÒÁ}
+\end{frame}
+
+\section{íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÐÐÁÒÁÔ}
+\begin{frame}{íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÐÐÁÒÁÔ}
+\only<1>{\img[0.7]{neighbourhoods}
+\centering{óÏÓÅÄÓÔ×Ï}}
+\only<2>{\img[0.6]{connregs}
+\centering{ó×ÑÚÎÏÓÔØ}
+}
+\only<3>{\img[0.6]{msquare}
+\centering{çÒÁÎÉÃÙ, ËÏÎÔÕÒÙ}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ}
+\begin{itemize}
+\item å×ËÌÉÄÏ×Ï: $D_{e(p,q)}=\sqrt{(x_p-x_q)^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}}$.
+\item íÅÔÒÉËÁ $L_{1}$: $D_{4}(p,q)=|x_{p}-x_{q}|+|y_{p}-y_{q}|$.
+\item íÅÔÒÉËÁ $L_{\infty}$: $D_{8}(p,q)=\max\bigl(|x_{p}-x_{q}|,|y_{p}-y_{q}|\bigr)$.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{ðÏÜÌÅÍÅÎÔÎÙÅ É ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ}
+$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix},\quad{}
+B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}.$$
+ðÏÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ:
+$$A\cdot B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}\\a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}\end{bmatrix}.$$
+íÁÔÒÉÞÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ:
+$$A\times B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\
+a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}.$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+
+\begin{block}{áÆÆÉÎÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ}
+$$\begin{pmatrix}x'&y'&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}\times\B{T}.$$
+\end{block}
+\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
+\begin{block}{}
+ôÏÖÄÅÓÔ×Ï: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+íÁÓÛÔÁÂ: $\B{T}=\begin{pmatrix}c_{x} & 0 & 0\\ 0 & c_{y} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+ðÏ×ÏÒÏÔ: $\B{T}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+óÄ×ÉÇ: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ t_{x} & t_{y} & 1\end{pmatrix},$\\
+
+\end{block}
+\column{0.45\textwidth}
+\begin{block}{}
+óËÏÓ $y$: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ s_{v} & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+óËÏÓ $x$: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & s_{h} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+ïÔÒÁÖÅÎÉÅ $x$: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+ïÔÒÁÖÅÎÉÅ $y$: $\B{T}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+\end{block}
+\end{columns}
+\begin{block}{}ëÏÍÂÉÎÁÃÉÑ ÐÒÅÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ: $\B{M}=\prod_{i}\B{T_{i}}$\end{block}
+\end{frame}
+
+\section{ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ É ÇÒÁÄÁÃÉÏÎÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ}
+\begin{frame}{ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ É ÇÒÁÄÁÃÉÏÎÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ}
+\begin{defin}
+\Ö ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ\Î ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ Ó ÐÉËÓÅÌÑÍÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ:
+$$T(u,v)=\Sum_{x=0}^{M-1}\Sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)r(x,y,u,v),\qquad\text{ÇÄÅ $r$~-- ÑÄÒÏ
+ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ.}$$
+\end{defin}
+\begin{block}{çÒÁÄÁÃÉÏÎÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ($I\in[0, L-1]$, $I'=r(I)$)}
+\begin{itemize}
+ \item ÎÅÇÁÔÉ×: $r = L-1 -I$;
+ \item ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÏÅ: $r=\C\ln(1+I)$;
+ \item ÇÁÍÍÁ-ËÏÒÒÅËÃÉÑ: $r=\C(L-1)\cdot i^\gamma$, $i=\dfrac{I}{L-1}$;
+ \item ËÕÓÏÞÎÏ-ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ (ÕÓÉÌÅÎÉÅ ËÏÎÔÒÁÓÔÁ).
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\img[0.8]{bitplanes}
+\centering{âÉÔÏ×ÙÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ}
+}\only<2>{
+\img[0.4]{graycode}
+\centering{âÉÔÏ×ÙÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ × ËÏÄÁÈ çÒÅÑ}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{çÉÓÔÏÇÒÁÍÍÁ}
+\img[0.9]{histogram}
+\end{frame}
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\begin{block}{üË×ÁÌÉÚÁÃÉÑ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ}
+$$s_k=(L-1)\Sum_{j=0}^{k}p_j=\frac{L-1}{MN}\Sum_{j=0}^{k}n_j.$$
+\end{block}
+\img[0.7]{histeq}
+}
+\only<2>{
+\begin{block}{ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ $p_r\arr p_z$}
+\begin{enumerate}
+ \item ðÏÌÕÞÅÎÉÅ ÜË×ÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ, $s_k$.
+ \item ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ $G(z_q)=(L-1)\Sum_{j=0}^{q}p_z(z_j)$.
+ \item îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ $s_k$ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ $z_q$, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ $G(z_q)$ ÎÁÉÂÏÌÅÅ
+ÂÌÉÚËÏ		Ë~$s_k$.
+ \item æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+}
+\only<3,4>{
+\begin{block}{ìÏËÁÌØÎÁÑ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ}
+\only<3>{\img[0.8]{h1}}
+\only<4>{\img[0.8]{h2}}
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{üË×ÁÌÉÚÁÃÉÑ ÇÉÓÔÏÇÒÁÍÍÙ}
+\only<1>{M13: ÂÅÚ É Ó ÜË×ÁÌÉÚÁÃÉÅÊ:\\
+\smimg[0.48]{M13_nohisteq}\hfil\smimg[0.48]{M13_histeq}
+}
+\only<2>{M29: ÂÅÚ É Ó ÜË×ÁÌÉÚÁÃÉÅÊ:\\
+    \smimg[0.48]{M29_nohisteq}\hfil\smimg[0.48]{M29_histeq}
+}
+\end{frame}
+
+\def\svec#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
+\def\smat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
+\def\pb#1#2{\parbox{0.4\textwidth}{\centering{#1}\par\noindent\centering{\includegraphics{#2}}}}
+\begin{frame}{ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÉÌØÔÒÁÃÉÑ}
+\only<1>{
+\begin{block}{}
+$$f=\svec{0&0&0&1&0&0&0&0},\qquad w=\svec{1&2&3&4&5}.$$
+\end{block}
+\begin{columns}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{ëÏÒÒÅÌÑÃÉÑ, $v=f\star w$}
+$$0:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&2&3&4&5\\}$$
+$$3:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&2&3&4&5\\}$$
+$$7:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5\\}$$
+$$a:\qquad\svec{0&0&0&5&4&3&2&1&0&0&0&0}$$
+$$v:\qquad\svec{0&5&4&3&2&1&0&0}$$
+\end{block}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{ó×ÅÒÔËÁ, $v=f*w$}
+$$0:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\5&4&3&2&1\\}$$
+$$3:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&5&4&3&2&1\\}$$
+$$7:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&5&4&3&2&1\\}$$
+$$a:\qquad\svec{0&0&0&1&2&3&4&5&0&0&0&0}$$
+$$v:\qquad\svec{0&1&2&3&4&5&0&0}$$
+\end{block}
+\end{columns}
+}\only<2>{
+\begin{columns}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{}
+\pb{éÄÅÎÔÉÞÎÏÓÔØ}{Vd-Orig} $\smat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$\\[2pt]
+\pb{$f'(x,y)$}{Vd-Edge1} $\smat{1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1}$\\[2pt]
+\pb{ìÁÐÌÁÓÉÁÎ}{Vd-Edge2} $\smat{0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0}$\\[2pt]
+\pb{ìÁÐÌÁÓÉÁÎ}{Vd-Edge3} $\smat{1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1}$
+\end{block}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{}
+\pb{òÅÚËÏÓÔØ}{Vd-Sharp} $\smat{0&-1&0\\-1&5&-1\\0&-1&0}$\\[2pt]
+\pb{òÁÚÍÙÔÉÅ}{Vd-Blur2} $\dfrac{1}{9}\smat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}$\\[2pt]
+\pb{çÁÕÓÓ}{Vd-Blur1} $\dfrac{1}{16}\smat{1&2&1\\2&4&2\\1&2&1}$\\[2pt]
+\pb{LoG}{Vd-LOG} $\dfrac{1}{64}\smat{11&27&11\\27&-202&27\\11&27&11}$
+\end{block}
+\end{columns}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÉÌØÔÒÁÃÉÑ FITS}
+\only<1>{ïÒÉÇÉÎÁÌ:\\
+    \smimg[0.5]{objFull}\;\smimg[0.5]{objCrop}
+}
+\only<2>{æÉÌØÔÒ çÁÕÓÓÁ $1\times1$ ÐÉËÓÅÌØ:\\
+    \smimg[0.5]{gaussFull}\;\smimg[0.5]{gaussCrop}
+}
+\only<3>{æÉÌØÔÒ ÌÁÐÌÁÓÉÁÎÁ ÇÁÕÓÓÉÁÎÙ $1\times1$ ÐÉËÓÅÌØ:\\
+    \smimg[0.5]{lapgaussFull}\;\smimg[0.5]{lapgaussCrop}
+}
+\only<4>{æÉÌØÔÒ ðÒÀÉÔÔÁ (ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÊ):\\
+    \smimg[0.5]{prewitthFull}\;\smimg[0.5]{prewitthCrop}
+}
+\only<5>{æÉÌØÔÒ ðÒÀÉÔÔÁ (×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÊ):\\
+    \smimg[0.5]{prewittvFull}\;\smimg[0.5]{prewittvCrop}
+}
+\only<6>{ðÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÄÉÅÎÔ (ÞÅÒÅÚ ÆÉÌØÔÒÙ ðÒÀÉÔÔÁ):\\
+    \smimg[0.5]{gradientFull}\;\smimg[0.5]{gradientCrop}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\begin{block}{íÅÄÉÁÎÎÁÑ ÆÉÌØÔÒÁÃÉÑ}
+\centering{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{image020} \hspace{3em}
+\includegraphics[width=0.4\textwidth]{image021}}
+\end{block}
+}\only<2>{
+\begin{block}{áÄÁÐÔÉ×ÎÙÊ ÍÅÄÉÁÎÎÙÊ ÆÉÌØÔÒ}
+úÏÎÁ $K\times K$ ÐÉËÓÅÌÅÊ, $I_{min}$, $I_{max}$, $I_{med}$, $I_{xy}$ (ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏÓÔØ × ÄÁÎÎÏÊ
+ÔÏÞËÅ), $K_{max}$~-- ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÒÁÚÍÅÒ ÚÏÎÙ.
+\begin{enumerate}
+\item $A_1=I_{med}-I_{min}$, $A_2=I_{med}-I_{max}$; ÅÓÌÉ $A_1>0$ É $A_2<0$ ÐÅÒÅÈÏÄ ÎÁ 2, ÉÎÁÞÅ
+$++K$; ÅÓÌÉ $K<K_{max}$, ÐÏ×ÔÏÒÉÔØ, ÉÎÁÞÅ ×ÅÒÎÕÔØ $I_{xy}$.
+\item $B_1=I_{xy}-I_{min}$, $B_2=I_{xy}-I_{max}$; ÅÓÌÉ $B_1>0$ É $B_2<0$, ×ÅÒÎÕÔØ $I_{xy}$, ÉÎÁÞÅ
+×ÅÒÎÕÔØ $I_{med}$.
+\end{enumerate}
+
+\end{block}
+}\only<3>{
+\centering{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{imf_ori} \hspace{3em}
+\includegraphics[width=0.377\textwidth]{imf_mean}}
+\centering{\includegraphics[width=0.377\textwidth]{imf_median} \hspace{3em}
+\includegraphics[width=0.35\textwidth]{imf_adpmed}}
+}
+\only<4>{íÅÄÉÁÎÎÁÑ ÆÉÌØÔÒÁÃÉÑ $r=1$\,ÐÉËÓÅÌØ É $r=5$\,ÐÉËÓÅÌÅÊ:\\
+    \smimg[0.5]{median1}\;\smimg[0.5]{median5}
+}
+\only<5>{ïÒÉÇÉÎÁÌ, ÁÄÁÐÔÉ×ÎÁÑ ÍÅÄÉÁÎÁ ($r=1$) É ÍÅÄÉÁÎÁ ($r=1$):\\
+    \img{oriadpmed}
+}
+\end{frame}
+
+
+\section{þÁÓÔÏÔÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ}
+\begin{frame}{þÁÓÔÏÔÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ}
+\begin{block}{ä×ÕÍÅÒÎÏÅ äðæ}
+$$F(u,v)=\Sum_{x=0}^{M-1}\Sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) \exp\Bigl(-2\pi
+i\bigl(\frc{ux}{M}+\frc{vy}{N}\bigr)\Bigr).$$
+$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\Sum_{u=0}^{M-1}\Sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) \exp\Bigl(2\pi
+i\bigl(\frc{ux}{M}+\frc{vy}{N}\bigr)\Bigr).$$
+
+\end{block}
+\centering{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Vd-Fpwr} \hspace{3em}
+\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Vd-phase}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\img{fft}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{óÐÁÓÉÂÏ ÚÁ ×ÎÉÍÁÎÉÅ!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/07-iproc_2.tex

@@ -0,0 +1,273 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{lect}
+
+\title[ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ. ìÅËÃÉÑ 7.2.]{ëÏÍÐØÀÔÅÒÎÁÑ ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÉÚÍÅÒÅÎÉÊ}
+\subtitle{ìÅËÃÉÑ 7.2. ïÂÒÁÂÏÔËÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ}
+\date{1 ÁÐÒÅÌÑ 2021 ÇÏÄÁ}
+
+\begin{document}
+% ôÉÔÕÌ
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{÷ÅÊ×ÌÅÔÙ}
+\begin{frame}{÷ÅÊ×ÌÅÔÙ}
+\only<1>{\img[0.6]{pyramid}
+\begin{block}{ðÉÒÁÍÉÄÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ}
+ðÉÒÁÍÉÄÁ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÊ (ÁÐÐÒÏËÓÉÍÉÒÕÀÝÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ), ÐÉÒÁÍÉÄÁ ÏÛÉÂÏË (ÄÅÔÁÌÉÚÉÒÕÀÝÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ).
+ðÉÒÁÍÉÄÁ ìÁÐÌÁÓÁ (ÔÏÌØËÏ ÐÉÒÁÍÉÄÁ ÏÛÉÂÏË, ËÏÍÐÒÅÓÓÉÑ); ÇÁÕÓÓÏ×Á ÐÉÒÁÍÉÄÁ (ÔÏÌØËÏ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ, ÓÉÎÔÅÚ
+ÔÅËÓÔÕÒ).\end{block}}
+\only<2>{\img[0.7]{lappyramid}}
+\only<3>{\img[0.5]{orapple}\centerline{
+ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÐÉÒÁÍÉÄ ìÁÐÌÁÓÁ.}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{÷ÅÊ×ÌÅÔÙ}
+\only<1>{\img[0.6]{2d-haar-basis}}
+\only<2>{\img[0.8]{wvpyramid01}}
+\only<3>{\img[0.8]{wvpyramid02}}
+\only<4>{\img[0.8]{wvpyramid}}
+\only<5>{\img[0.8]{wvpyramid03}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{ðÁËÅÔÙ ×ÅÊ×ÌÅÔÏ×}
+\only<1>{\img[0.95]{wpack01}}
+\only<2>{\img[0.95]{wpack02}}
+\only<3>{\img[0.7]{wpack03}}
+\only<4>{\img[0.8]{wpack04}\tiny (a) normal brain; (b) 2-level DWT of normal brain; (c) 2-level
+DWPT of normal brain; (d) AD brain; (e) 2-level DWT of AD brain; (f) 2-level DWPT of AD brain.}
+\end{frame}
+
+\section{íÏÒÆÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ}
+\begin{frame}{íÏÒÆÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ}
+\only<1>{
+\begin{block}{ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ}
+\begin{itemize}
+\item ðÕÓÔØ $A$~-- ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ ÎÁ ÂÉÎÁÒÎÏÍ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÉ, $a=(a_1,a_2)\in A$~-- ÔÏÞËÁ, ÅÊ
+ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÁÑ; ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏÓÔØ × ÔÏÞËÅ $a$ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÁË $v(a)$.
+\item {\bf ïÂßÅËÔ}: $A=\{a\;|\;v(a)==1, \forall a \text{ 4/8-connected}\}$.
+\item {\bf æÏÎ}: $B=\{b\;|\;b==0 \cup b\text{ not connected}\}$.
+\item {\bf óÄ×ÉÇ}: $A_x=\{c\;|\;c=a+x, \forall a\in A\}$.
+\item {\bf ïÔÒÁÖÅÎÉÅ}: $\hat A=\{c \;|\; c=-a, \forall a\in A\}$.
+\item {\bf äÏÐÏÌÎÅÎÉÅ}: $A^C=\{c \;|\; c\notin A\}$.
+\item {\bf óÕÍÍÁ}: $A+B=\{c \;|\; c\in (A\cup B)\}=A\cup B$.
+\item {\bf òÁÚÎÏÓÔØ}: $A-B=\{c \;|\; c\in A, c\notin B\}=A \cap B^C$.
+\end{itemize}
+\end{block}}
+\only<2>{\img[0.8]{baseimop}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{üÒÏÚÉÑ (ÕÓÅÞÅÎÉÅ)}
+\begin{block}{}
+$$A\ominus B=\{x \;|\; B_x\subseteq A\}\text{ ÉÌÉ }
+A\ominus B=\{x \;|\; B_x\cap A^C=\varnothing\}\text{ ÉÌÉ }
+A\ominus B=\bigcap_{b\in B}A_b
+$$
+\end{block}
+\only<1>{\img[0.7]{erosion}}
+\only<2>{\img[0.7]{erosion01}}
+\only<3>{\img{erosion02}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{äÉÌÁÔÁÃÉÑ (ÎÁÒÁÝÉ×ÁÎÉÅ)}
+\begin{block}{}
+$$A\oplus B = \{x \;|\; \hat B_z\cap A \ne\varnothing\} \text{ ÉÌÉ }
+A\oplus B = \bigcup_{b\in B}A_b=\bigcup_{a\in A}B_a
+$$
+\end{block}
+\only<1>{\img[0.7]{dilation}}
+\only<2>{\img{dilation01}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{ó×ÏÊÓÔ×Á}
+\begin{block}{}
+\centerline{ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ:}
+$$A\oplus B = B\oplus A\qquad A\ominus B \ne B\ominus A$$
+\centerline{áÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ:}
+$$A\oplus (B\cup C)=(A\oplus B)\cup(A\oplus C)\qquad A\ominus (B\cup C)=(A\ominus B)\cap(A\ominus
+C)$$
+$$(A\ominus B)\ominus C = A\ominus(B\oplus C)$$
+\centerline{ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ:}
+$$(A\ominus B)^C=A^C\oplus\hat B\qquad
+(A\oplus B)^C =A^C\ominus\hat B$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{ïÔËÒÙÔÉÅ (ÒÁÚÍÙËÁÎÉÅ)}
+\begin{block}{}$$A\circ B = (A\ominus B)\oplus B$$\end{block}
+\img{opening01}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{úÁËÒÙÔÉÅ (ÚÁÍÙËÁÎÉÅ)}
+\begin{block}{}
+$$A\bullet B = (A\oplus B)\ominus B$$
+\img{closing01}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\img{morph01}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{<<Top hat>> É <<Bottom hat>>}
+\begin{block}{}
+$$A\hat\circ B = A\backslash (A\circ B), \qquad
+A\hat\bullet B = (A\bullet B)\backslash A$$
+\end{block}
+\only<1>{\img[0.8]{tophat}}
+\only<2>{\img[0.8]{bottomhat}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Hit-and-miss}
+\only<1,2>{\begin{block}{}$$A \circledast B = (A\ominus B_1)\cap(A^C\ominus B_2),\quad\text{ÇÄÅ}$$
+$$B_1=\{b \;|\; b\in B, b=1\},\; B_2=\{\tilde b \;|\; b\in B, b=0\}$$
+\end{block}}
+\only<1>{\img[0.8]{hitamiss01}}
+\only<2>{\img[0.8]{hitamiss02}}
+\only<3>{\img[0.8]{hit_and_miss_skel}$$S=A\backslash \bigcup_{i}(A\circledast B_i)$$}
+\only<4>{\img{skel01}}
+\only<5>{\img{skel02}}
+\end{frame}
+
+\section{óÅÇÍÅÎÔÁÃÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ}
+\begin{frame}{óÅÇÍÅÎÔÁÃÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ}
+\begin{block}{ïÓÎÏ×Ù}
+\begin{itemize}
+\item óÅÇÍÅÎÔÁÃÉÑ: $\cup_{i=1}^n R_i \,\cup\, \cup_{i=1}^n B_i= R$, ×ÓÅ $R_i$ Ó×ÑÚÎÙÅ, $B_i$~--
+ÆÏÎ.
+\item $R_i\cap R_j=\varnothing$ $\forall i\ne j$.
+\item $Q(R_i) = 1$, $i=\overline{1,n}$, $Q$~-- ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÐÒÅÄÉËÁÔ.
+\item $Q(R_i\cup R_j)=0$ $\forall i\ne j$.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ}
+\begin{itemize}
+\item $\partder{f}{x}\equiv f'_x=f(x+1)-f(x)$
+\item $\dpartder{f}{x}\equiv f''_x = f'_x(x+1)-f'_x(x)=f(x+2)+f(x)-2f(x+1)$
+\item $\nabla^2f(x,y) = f''_x(x,y)+f''_y(x,y) \Arr$
+ $\nabla^2 f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{ðÒÉÍÅÒÙ (M13)}
+\only<1>{ïÒÉÇÉÎÁÌ:\\
+    \smimg[0.5]{origFull}\;\smimg[0.5]{origCrop}
+}
+\only<2>{âÉÎÁÒÉÚÁÃÉÑ ÐÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÍÕ ÐÏÒÏÇÕ:\\
+    \smimg[0.5]{binFull}\;\smimg[0.5]{binCrop}
+}
+\only<3>{þÅÔÙÒÅÈËÒÁÔÎÁÑ ÜÒÏÚÉÑ:\\
+    \smimg[0.5]{erosion4Full}\;\smimg[0.5]{erosion4Crop}
+}
+\only<4>{þÅÔÙÒÅÈËÒÁÔÎÏÅ ÒÁÚÍÙËÁÎÉÅ:\\
+    \smimg[0.5]{opening4Full}\;\smimg[0.5]{opening4Crop}
+}
+\only<5>{ïÒÉÇÉÎÁÌ Ó ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÍÁÓËÏÊ:\\
+    \smimg[0.5]{objE4D4Full}\;\smimg[0.5]{objE4D4Crop}
+}
+\only<6>{ä×ÁÄÃÁÔÉÐÑÔÉËÒÁÔÎÁÑ ÜÒÏÚÉÑ:\\
+    \smimg[0.5]{erosion25Full}\;\smimg[0.5]{erosion25Crop}
+}
+\only<7>{íÁÓËÁ (25 ÜÒÏÚÉÊ É 200 ÄÉÌÁÔÁÃÉÊ):\\
+    \smimg[0.5]{opE25D200Full}\;\smimg[0.5]{opE25D200Crop}
+}
+\only<8>{ïÒÉÇÉÎÁÌ Ó ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÍÁÓËÏÊ:\\
+    \smimg[0.5]{objE25D200Full}\;\smimg[0.5]{objE25D200Crop}
+}
+\only<9>{÷ÙÄÅÌÅÎÎÙÅ ÏÂßÅËÔÙ (ÒÁÚÍÙËÁÎÉÅ È4 É È10; 237 É 9 ÏÂßÅËÔÏ× × ÐÏÌÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ):\\
+    \smimg[0.5]{count4}\;\smimg[0.5]{count10}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{ïÂÎÁÒÕÖÅÎÉÅ ÌÉÎÉÊ, ÔÏÞÅË É ÐÅÒÅÐÁÄÏ×}
+\only<1>{\centerline{ôÏÞËÉ --- ÌÁÐÌÁÓÉÁÎ, ÌÉÎÉÉ, ÐÅÒÅÐÁÄÙ --- ÇÒÁÄÉÅÎÔ}\img[0.8]{prewitt}
+\centerline{Prewitt}}
+\only<2>{\img[0.7]{compmask}}
+\only<3>{\begin{block}{çÒÁÄÉÅÎÔ}
+$$\nabla \vec f = (f'_x, f'_y) = \bigl(f(x+1,y)-f(x,y), f(x,y+1)-f(x,y)\bigr)$$
+\end{block}\img[0.8]{imgrad}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ÇÒÁÎÉÃ}
+\only<1>{\begin{block}{íÏÒÆÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÇÒÁÄÉÅÎÔ}
+$$\beta(A)=A\backslash(A\ominus B)\qquad
+\beta'(A)=(A\oplus B)\backslash A\qquad
+\beta''(A)=(A\oplus B)\backslash(A\ominus B)$$
+\end{block}\img{morphgrad}}
+\only<2>{\begin{block}{Canny}
+\begin{enumerate}
+\item òÁÚÍÙ×ÁÎÉÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÍ ÆÉÌØÔÒÏÍ.
+\item ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ $I'_x$ É $I'_y$ (òÏÂÅÒÔÓ, óÏÂÅÌØ, ðÒÀÉÔÔ, LoG, DoG\dots) É
+ËÏÍÐÏÎÅÎÔÏ× ÇÒÁÄÉÅÎÔÁ: $M=\sqrt{(I'_x)^2+(I'_y)^2}$, $\theta=\arctg\frc{I'_y}{I'_x}$.
+\item ðÏÒÏÇÏ×ÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ $M$: $M_T = M$, ÅÓÌÉ $M>T$, ÉÎÁÞÅ $M_T=0$.
+\item ïÂÎÕÌÅÎÉÅ ÎÅÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ $M_T$ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ $\theta$ (ÐÏ Ä×ÕÍ ÓÏÓÅÄÑÍ).
+\item ðÏÌÕÞÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÐÏÒÏÇÏ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ: $M_{T_1}$ É $M_{T_2}$; $T_1<T_2$.
+\item úÁÐÏÌÎÅÎÉÅ ÐÒÏÐÕÓËÏ× × $M_{T_2}$ ÐÏ ÓÏÓÅÄÎÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ × $M_{T_1}$.
+\end{enumerate}
+\end{block}}
+\only<3>{\img[0.6]{canny01}\centerline{ïÂÒÁÚÅÃ}}
+\only<4>{\img[0.6]{canny02}\centerline{Sobel}}
+\only<5>{\img[0.6]{canny03}\centerline{Prewitt}}
+\only<6>{\img[0.6]{canny04}\centerline{DoG}}
+\only<7>{\img[0.6]{canny05}\centerline{Canny, $\sigma=5$, $T_1=0.8$, $T_2=0.95$}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{ïÂÎÁÒÕÖÅÎÉÅ ÐÒÑÍÙÈ É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ}
+\only<1>{\begin{block}{ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ èÁÆÁ}
+$$r = x\cos\theta + y\sin\theta$$
+\end{block}
+\img[0.5]{R_theta_line}}
+\only<2>{\img{htdiagram}}
+\only<3>{\img[0.7]{htexample}}
+\only<4>{\img{htEx}}
+\only<5>{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{h01}\hfil
+	\includegraphics[width=0.48\textwidth]{h02}}
+\only<6>{\begin{block}{ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ èÁÆÁ ÄÌÑ ÐÏÉÓËÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ}
+$$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$$
+\end{block}\img{htcirc01}}
+\only<7>{\img{htcirc02}\centerline{ôÒÅÈÍÅÒÎÙÊ ÍÁÓÓÉ× × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÃÅÎÔÒÁ É ÒÁÄÉÕÓÁ.}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{ðÒÉÍÅÒ: ÄÁÔÞÉË ×ÏÌÎÏ×ÏÇÏ ÆÒÏÎÔÁ}
+\img{Hough_ex}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{óÅÇÍÅÎÔÁÃÉÑ ÐÏ ÍÏÒÆÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ×ÏÄÏÒÁÚÄÅÌÁÍ}
+\only<1>{\begin{block}{}
+âÉÎÁÒÎÙÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ: ÉÔÅÒÁÔÉ×ÎÙÅ ÄÉÌÁÔÁÃÉÉ Ó ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅÍ ÐÅÒÅÇÏÒÏÄÏË × ÍÅÓÔÁÈ
+ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÈÓÑ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ.
+\end{block}}
+\only<2,3>{\begin{block}{}âÉÎÁÒÎÙÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ: ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ\end{block}}
+\only<1>{\img[0.5]{watershed}}
+\only<2>{\img[0.4]{wat01}}
+\only<3>{\img[0.75]{wat02}}
+\only<4>{\begin{block}{}
+÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ: ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÑ.
+\end{block}
+\img[0.7]{watershed01}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{óÐÁÓÉÂÏ ÚÁ ×ÎÉÍÁÎÉÅ!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\begin{block}{ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ}
+\begin{itemize}
+\item Gonzalez \& Woods. Digital Image Processing, 3rd edition. 2008.
+\item Gonzalez \& Woods \& Eddins. Digital Image Processing Using MATLAB, 2nd edition. 2009.
+\item \url{http://www.imageprocessingplace.com/root_files_V3/tutorials.htm}
+\end{itemize}
+\end{block}
+
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/07-iproc_3.tex

@@ -0,0 +1,287 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Компьютерная обработка. Лекция 7.3.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
+\subtitle{Лекция 7.3. Обработка астрономических изображений}
+\date{5 апреля 2021 года}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{Сигнал--шум}
+\begin{blueframe}{}
+\only<1>{
+\begin{block}{SNR}
+$$\SNR = \frac{N}{\sqrt{N}}= \sqrt{N},\qquad N=N_{star}+N_{sky}\quad\Arr$$
+$$\SNR\approx\frac{N_{star}}{\sqrt{N_{star}+2N_{sky}}},\qquad N=t_{exp}\cdot R\quad\Arr$$
+$$\SNR\approx\frac{R_{star}\sqrt{t_{exp}}}{\sqrt{R_{star}+2R_{sky}}}\quad\Arr\quad
+	\SNR\propto\sqrt{t_{exp}}$$
+$$R=R_0\cdot S_{mirror}\propto D_{mirror}^2\quad\Arr\quad \SNR\propto D_{mirror}$$
+$$N_{meas}\text{ коротких экспозиций вместо
+одной:}\quad\sigma_{mean}=\frac{\sigma_{individ}}{\sqrt{N_{meas}}}\propto\frac{\sqrt{S}}{N_{meas}}$$
+$$\SNR_{mean}=\frac{S/N_{meas}}{\sigma_{mean}}\propto\sqrt{S}=\SNR_{long}\quad\text{только если }
+\sigma\approx\sigma_{phot}!!!$$
+\end{block}
+}
+\only<2>{
+    \begin{block}{Коррекция апертуры} % CCDPhotometryBook.pdf
+        Почему изображение яркой звезды шире: несмотря на совершенно одинаковую PSF у обеих звезд, при сечении
+        одинаковым порогом яркая звезда всегда <<больше>>. Увеличение апертуры \Arr увеличение шумов, необходимо
+        использовать как можно меньшую апертуру.
+        $$\Delta_N^{bright} = m(N\cdot \FWHM) - m(1\cdot\FWHM)\quad\Arr\quad
+        m^{faint} = m(1\cdot\FWHM) + \Delta_N^{bright},$$
+        $m(x)$~-- звездная величина на апертуре~$x$.
+    \end{block}\vspace*{-1em}
+    \img[0.6]{fwhm}
+}
+\end{blueframe}
+
+\section{Деконволюция}
+\begin{frame}{Деконволюция}
+\only<1>{
+\begin{block}{}
+$$I(x,y) = P(x,y)*O(x,y)+N(x,y),\quad\text{$P$~-- PSF}\quad\text{или}$$
+$$\FT{I}=\FT{O}\cdot\FT{P}+\FT{N}\quad\Arr\quad
+\FT{O}=\frac{\FT{I} - \FT{N}}{\FT{P}}$$
+$$\text{Наименьшие квадраты:}\quad
+\FT{O}=\frac{\FT{P}^*\FT{I}}{|\FT{P}|^2}$$
+$$\text{Регуляризация Тихонова, $\min(J_T)$ ($H$~-- HPF):}\quad
+\quad J_T=||I-P*O|| - \lambda||H*O||,$$
+$$\FT{O}=\frac{\FT{P}^*\FT{I}}{|\FT{P}|^2+\lambda|\FT{H}|^2}$$
+\end{block}
+}\only<2>{
+\begin{block}{Регуляризация по Байесу}
+$$p(O|I)=\frac{p(I|O)\cdot p(O)}{p(I)}$$
+$$\text{Maximum likelihood:}\quad \mathrm{ML}(O)=\max_O p(I|O)$$
+$$\text{Maximum-a-posteriori solution:}\quad
+\mathrm{MAP}(O)=\max_O p(I|O)\cdot p(O)$$
+\end{block}
+\begin{block}{}
+\begin{itemize}
+\item Итерационная регуляризация
+\item Вейвлет-регуляризация
+\item \dots
+\end{itemize}
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Функция рассеяния точки}
+\only<1>{\img[0.6]{moffat}}
+\only<2>{\begin{block}{}
+\begin{itemize}
+\item Гаусс: $f(x) = f_0\exp\Bigl(\dfrac{-(x-x_0)^2}{2\sigma^2}\Bigr)$, $\FWHM\approx2.355\sigma$
+\item Моффат: $f(x) = f_0\Bigl(1+\dfrac{(x-x_0)^2}{\alpha^2}\Bigr)^{-\beta}$,
+$\FWHM\approx2\alpha\sqrt{2^{1/\beta}-1}$
+\item Фрид: $\FT{f} \propto \exp\Bigl[-(bu)^{5/3}\Bigr]$,
+$\FWHM\approx 2.921 b$ (Моффат с $\beta=4.765$, типичные же $\beta=2.5\cdots4.5$).
+\end{itemize}
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\section{Обнаружение}
+\begin{frame}{Обнаружение}
+\begin{block}{Простейший алгоритм}
+\begin{enumerate}
+\item Вычисление и вычитание фона
+\item Свертка с маской и бинаризация
+\item Обнаружение связных областей
+\item Уточнение фона, goto 1
+\item Классификация, фотометрия и т.п.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{}
+\img{objdet}
+\end{blueframe}
+
+\begin{blueframe}{Изофоты}
+\only<1>{\begin{block}{Метод шагающих квадратов}
+Бинаризуем изображение по заданному порогу. По соседям каждого пикселя вычисляем битовую маску
+($0\div15$). От точки $1\div14$ строим изолинию, соответственно меняя значения в пикселях маски. Каждый узел
+изолинии~--- линейная или другая интерполяция интенсивности в пикселях оригинала.
+\end{block}
+\img[0.5]{isophotes}
+}
+\only<2>{\img{Marching_squares_algorithm}}
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}{WCS-привязка}
+\only<1>{
+\img[0.6]{WCS_triangles}
+\centerline{A.~P\'al, G.\'A.~Bakos. PASP {\bf 118}: 1474--1483, 2006. }}
+\only<2>{
+\img[0.65]{WCS_quad}
+\centerline{\url{astrometry.net}}}
+\only<3>{\begin{block}{}
+\begin{itemize}
+\item Положение нескольких звезд характеризуется параметром, инвариантным к зеркалированию, масштабированию,
+вращению и переносу. Устойчивым к шуму.
+\item Квадрату ABCD соответствует четырехмерный код в относительных координатах точек C и D.
+\item Проблема вырождения: при смене порядка A, B или C, D код <<отражается>>.
+\item На небе строится сетка с масштабируемым шагом, по каталожным данным в ее ячейках определяются квадраты
+с ниспадающей яркостью звезд.
+\item Полученный набор кодов позволяет идентифицировать участки неба вплоть до самых мелких масштабов (нужны
+хотя бы четыре звезды в кадре).
+\item Чем больше звезд на кадре, тем надежней будет идентификация.
+\end{itemize}
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{Триангуляция Делоне}
+\img[0.6]{delaunay}
+\end{blueframe}
+
+\begin{blueframe}{Диаграммы Вороного}
+\only<1>{\img[0.6]{voronoi}}
+\only<2>{\img[0.6]{delvor}}
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}{Свойства триангуляции Делоне}
+\begin{block}{}
+\begin{itemize}
+\item ТД взаимно однозначно соответствует диаграмме Вороного для того же множества точек.
+Как следствие: если никакие четыре точки не лежат на одной окружности, ТД единственна.
+\item ТД максимизирует минимальный угол среди всех углов всех построенных треугольников, тем
+самым избегаются <<тонкие>> треугольники.
+\item ТД максимизирует сумму радиусов вписанных окружностей.
+\item ТД минимизирует максимальный радиус минимального объемлющего шара.
+\item ТД  на плоскости обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около
+треугольников, среди всех возможных триангуляций.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{K-nearest}
+\begin{columns}
+\column{0.5\textwidth}
+\begin{block}{}
+Классификация объекта по $k$~ближайшим соседям. В случае первой выборки~--- треугольник, в случае второй~---
+квадрат.
+
+$k$ может быть дробным, если применять взвешенные расстояния.
+\end{block}
+\column{0.5\textwidth}
+\img{knearest}
+\end{columns}
+\end{blueframe}
+
+\section{Анализ разреженных данных}
+\begin{frame}{Анализ разреженных данных}
+\only<1>{
+\begin{block}{Корреляция}
+$$C(\tau)=\frac{[a(t)-\aver{a}][b(t+\tau)-\aver{b}]}{\sigma_a\sigma_b}$$
+$$\text{Unbinned: } U_{ij}=\frac{(a_i-\aver{a})(b_j-\aver{b})}{
+\sqrt{(\sigma_a^2-e^2_a)(\sigma_b^2-e^2_b)}},\qquad \Delta t_{ij}=t_j-t_i\qquad$$
+$$C(\tau)=\frac1{N_\tau}U_{ij,\tau},\qquad
+\tau-\Delta\tau/2\le\Delta t_{ij}\le\tau+\Delta\tau/2$$
+Не нужна интерполяция!
+\end{block}
+}\only<2>{
+\img[0.8]{scatter_corr}\centerline{Пунктир~--- корреляция через интерполяцию}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\begin{block}{Периодограмма Ломба--Скаргла (Lomb--Scargle)}
+$$P_{x}(\omega )={\frac  {1}{2}}\left({\frac  {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau
+)\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac  {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega
+(t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right)$$
+$$\tg{2\omega \tau }={\frac  {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}$$
+\end{block}
+\img{lombscargle}
+}\only<2>{
+\begin{block}{Преобразование Фурье}
+$$ P_m=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i\frac{2\pi}{N}mn}\quad\Arr\quad
+P_m=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i\frac{2\pi}{T}mt_n},\quad T=t_N-t_1$$
+В octave: \tt{irsa\_dft(X,Y,freq)}:
+$\displaystyle P(\nu)=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i \nu_n\cdot t_n}$
+\end{block}}
+\only<3>{\img[0.8]{scat01}}
+\only<4>{\img[0.8]{scatFFT}}
+\only<3,4>{\centerline{$T=111.5\quad\Arr\quad \nu\approx0.00897$}}
+\end{frame}
+
+% \begin{frame}{}
+% \only<1>{
+% \begin{block}{}
+% \end{block}
+% }\only<2>{
+% \img[0.8]{}
+% }
+% \end{frame}
+
+
+
+\section{Робастные методы}
+\begin{frame}{Робастные методы}
+\begin{block}{}
+Робастная надежность МНК~--- 0!
+
+Простейшая робастная оценка~--- медиана (можно <<засорить>> до 50\% данных!).
+Оценка <<плохости>>: $MAD=\med(x_i-\med(x))$.
+
+Группировка данных и метод усеченных квадратов.
+
+Метод наименьших медиан квадратов: $\min\bigl(\med(x^2)\bigr)$.
+
+Оценка дисперсии: $\med(|x_i-\med(x)|)\approx0.67\sigma$.
+
+M-, R-, S-, Q- оценки.
+
+
+\end{block}
+\end{frame}
+
+
+
+
+\begin{frame}{Программное обеспечение}
+\begin{block}{\url{http://heasarc.gsfc.nasa.gov/docs/heasarc/astro-update/}}
+\begin{itemize}
+\item ASTROPY: A single core package for Astronomy in Python
+\item Aladin: An interactive software sky atlas
+\item CFITSIO: FITS file access subroutine library
+\item GSL: GNU Scientific Library
+\item IDLAUL: IDL Astronomical Users Library
+\item IRAF: Image Reduction and Analysis Facility
+\item MIDAS: Munich Image Data Analysis System
+\item PyRAF: Run IRAF tasks in Python
+\item SAOImage ds9: FITS image viewer and analyzer
+\item SEXTRACTOR: Builds catalogue of objects from an astronomical image
+\item WCSLIB: World Coordinate System software library
+\item \dots~\url{http://tdc-www.harvard.edu/astro.software.html}
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Литература}
+\begin{itemize}
+\item W. Romanishin. An Introduction to Astronomical Photometry Using CCDs.
+\item Jean-Luc Starck and Fionn Murtagh. Handbook of Astronomical Data Analysis.
+\item E.D.~Feigelson, G.J.~Babu. Modern Statistical Methods for Astronomy With R Applications.
+\item R.A.~Edelson, J.H.~Krolik. The discrete correlation function --- A new method for analyzing
+unevenly sampled variability data. ApJ, {\bf 333},1988, 646--659.
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}

Komp_obr/lect.sty

@@ -1,6 +1,7 @@
 \usepackage[T2A]{fontenc}       %ÐÏÄÄÅÒÖËÁ ËÉÒÉÌÌÉÃÙ
 \usepackage[koi8-r]{inputenc}
 \usepackage[english,russian]{babel}
+\usepackage{array}
 \usepackage{xspace}
 %\usepackage[intlimits]{amsmath}
 
@@ -18,12 +19,15 @@
     {\end{center}\end{figure}}
 
 \setbeamercolor{color1}{bg=blue!50!black,fg=white}
+\setbeamercolor{light1}{bg=blue!20!white,fg=black}
 \setbeamercolor{normal text}{bg=blue!20!black,fg=cyan!70!white}
 \setbeamercolor{frametitle}{fg=red,bg=blue!40!black}
 \setbeamercolor{title}{fg=red,bg=blue!40!black}
 \setbeamercolor{block title}{fg=cyan,bg=blue!40!black}
 \newenvironment{defin}{\begin{beamercolorbox}[shadow=true, rounded=true]{color1}}%
 {\end{beamercolorbox}}
+\newenvironment{light}{\begin{beamercolorbox}[shadow=false,rounded=false]{light1}}%
+    {\end{beamercolorbox}}
 \newcommand{\img}[2][]{\begin{pict}\includegraphics[width=#1\columnwidth]{#2}\end{pict}}
 \newcommand{\smimg}[2][]{\includegraphics[width=#1\columnwidth]{#2}}
 \logo{\includegraphics[width=1cm,height=1cm,keepaspectratio]{saologo.jpg}}
@@ -64,22 +68,65 @@
 \newenvironment{blueframe}{\bgroup\setbeamercolor{normal text}%
 {bg=cyan!70!white}\begin{frame}}{\end{frame}\egroup}
 
+\newsavebox{\hght} % for ddotvec
+\newlength{\lngth}
+
+\def\arr{\ensuremath{\,\rightarrow\,}}	% óÔÒÅÌËÁ ×ÐÒÁ×Ï
+\def\Arr{\ensuremath{\,\Rightarrow\,}}	% ÖÉÒÎÁÑ -//-
 \def\aver#1{\bgroup\mathopen{<}#1\mathclose{>}\egroup}
+\def\Ang{\mbox{\rm\AA}}	% áÎÇÓÔÒÅÍ
 \def\B#1{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
 \def\ceil#1{\bgroup\lceil #1\rceil\egroup}
 \def\const{\ensuremath{\mathfrak{const}}}
 \def\C{\ensuremath{\mathfrak{C}}}
+\def\degr{\ensuremath{^\circ}}		% çÒÁÄÕÓ
+\def\ddotvec#1{	% ×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÏ ×ÒÅÍÅÎÉ
+    \savebox{\hght}{$\vec{#1}$}\ddot{\raisebox{0pt}[.8\ht\hght]{$\vec{#1}$}}}
+\def\dotvec#1{ % ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ×ÅËÔÏÒÁ ÐÏ ×ÒÅÍÅÎÉ
+    \savebox{\hght}{$\vec{#1}$}\dot{\raisebox{0pt}[.8\ht\hght]{$\vec{#1}$}}}
 \def\dpartder#1#2{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}	% ×ÔÏÒÁÑ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
 \def\e{\mathop{\mathrm e}\nolimits}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}		% ëÒÁÓÉ×ÙÊ ÜÐÓÉÌÏÎ
+\def\frc#1#2{\raisebox{2pt}{$#1$}\big/\raisebox{-3pt}{$#2$}}	% a/b, a ×ÙÛÅ, b ÎÉÖÅ
 \def\floor#1{\bgroup\lfloor #1\rfloor\egroup}
 \def\frc#1#2{\bgroup\raisebox{2pt}{$#1$}\big/\raisebox{-3pt}{$#2$}\egroup}
-\def\FT#1{\mathcal{F}(#1)}
+\def\F{\ensuremath{\mathop{\mathfrak F}}\nolimits}	% ëÒÁÓÉ×ÁÑ æ
+\def\FT#1{\mathcal{F}\left(#1\right)}
+\def\FWHM{\mathrm{FWHM}}
+\renewcommand{\ge}{\geqslant}
+\def\grad{\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits} % çÒÁÄÉÅÎÔ
+\def\ind#1{_{\text{\scriptsize #1}}}	% îÉÖÎÉÊ ÉÎÄÅËÓ ÒÕÓÓ. ÂÕË×ÁÍÉ
+\def\indfrac#1#2{\raisebox{2pt}{$\frac{\mbox{\small $#1$}}{\mbox{\small $#2$}}$}}
+\def\I{\ensuremath{\mathfrak{I}}}	% éÎÔÅÇÒÁÌ
+\def\IFT#1{\mathcal{F}^{-1}\left(#1\right)} 	% ïÂÒÁÔÎÏÅ æð
+\def\IInt{\mathop{{\int\!\!\!\int}}\limits}	% ä×ÏÊÎÏÊ ÂÏÌØÛÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
+\def\ILT#1{\mathop{\mathfrak{L}}\nolimits^{-1}\left(#1\right)} % ïÂÒÁÔÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒ. ìÁÐÌÁÓÁ
 \def\Int{\int\limits}
 \def\Infint{\int\limits_{-\infty}^\infty}
+\def\IZT#1{\mathop{\mathcal{Z}}\nolimits^{-1}\left(#1\right)} % ïÂÒÁÔÎÏÅ Z-ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
+\renewcommand{\kappa}{\varkappa}		% ëÒÁÓÉ×ÁÑ ËÁÐÐÁ
+\renewcommand{\le}{\leqslant}			% íÅÎØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ
+\def\ltextarrow#1{\ensuremath{\stackrel{#1}\leftarrow}} % óÔÒÅÌËÁ ×ÌÅ×Ï Ó ÐÏÄÐÉÓØÀ Ó×ÅÒÈÕ
+\def\lvec{\overrightarrow}		% äÌÉÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ
+\def\LT#1{\mathop{\mathfrak{L}}\nolimits\left(#1\right)} % ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ìÁÐÌÁÓÁ
 \def\mean#1{\overline{#1}}
 \def\med{\mathop{\mathrm{med}}\nolimits}
 \def\moda{\mathop{\mathrm{Mo}}\nolimits}
+\def\Oint{\oint\limits}		% âÏÌØÛÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
 \def\partder#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}
+\renewcommand{\phi}{\varphi}			% ëÒÁÓÉ×ÁÑ ÆÉ
+\def\rev#1{\frac{1}{#1}}		% ïÂÒÁÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
+\def\rot{\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits} % òÏÔÏÒ
+\def\rtextarrow#1{\ensuremath{\stackrel{#1}\rightarrow}} % óÔÒÅÌËÁ ×ÐÒÁ×Ï Ó ÐÏÄÐÉÓØÀ
+\def\R{\ensuremath{\mathbb{R}}} % ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ
 \def\so{\ensuremath{\Longrightarrow}\xspace} % ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
+\def\sinc{\mathop{\mathrm{sinc}}\nolimits} % éÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ ÓÉÎÕÓ
 \def\SNR{\mathop{\mathrm{SNR}}\nolimits}
-
+\def\Sum{\sum\limits}
+\def\Tr{\mathop{\mathrm{Tr}}\nolimits}	% óÌÅÄ ÍÁÔÒÉÃÙ
+\def\veci{{\vec\imath}}		% i-ÏÒÔ
+\def\vecj{{\vec\jmath}}		% j-ÏÒÔ
+\def\veck{{\vec{k}}}			% k-ÏÒÔ
+\def\when#1{\ensuremath{\Bigr|_{#1}}} % ÷ÅÒÔ. ÌÉÎÉÑ Ó ÎÉÖÎÉÍ ÉÎÄÅËÓÏÍ
+\def\WT#1{\ensuremath{\mathop{\mathrm{WT}\left(#1\strut\right)}}} % ×ÅÊ×ÌÅÔ-ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
+\def\ZT#1{\mathop{\mathcal{Z}}\nolimits\left(#1\right)} % Z-ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ