mirror of
https://github.com/eddyem/lectures.git
synced 2025-12-06 10:45:09 +03:00
567 lines
21 KiB
TeX
567 lines
21 KiB
TeX
\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
|
||
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
|
||
\usepackage{lect}
|
||
|
||
\title[Компьютерная обработка. Лекции 1, 2.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
|
||
\subtitle{Лекция 1. Общие сведения об измерениях. Виды сигналов и методы их анализа.\\
|
||
Лекция 2. Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения}
|
||
\date{18~марта 2021~года}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
% Титул
|
||
\begin{frame}{}
|
||
\maketitle
|
||
\end{frame}
|
||
% Содержание
|
||
\begin{frame}{}
|
||
\tableofcontents[hideallsubsections]
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Физические измерения}
|
||
\begin{frame}{Физические измерения}
|
||
\begin{defin}
|
||
Экспериментальное определение значения измеряемой величины с применением средств
|
||
измерений называется {\bf измерением}.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Важнейшей особенностью измерений является {\it принципиальная невозможность
|
||
получения результатов измерения, в точности равных истинному значению
|
||
измеряемой величины} (особенно эта особенность проявляется в микромире, где
|
||
господствует принцип неопределенности).
|
||
|
||
Эта особенность приводит к необходимости оценки степени близости результата
|
||
измерения к истинному значению измеряемой величины, т.е. вычислять
|
||
{\bf погрешность измерения}.
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Виды измерений}
|
||
\begin{block}{}
|
||
\ж Статическими\н называют такие измерения, при
|
||
которых зависимость погрешности измерения от скорости измерения пренебрежимо
|
||
мала и ее можно не учитывать.\ж Динамические\н
|
||
измерения противоположны статическим.
|
||
|
||
Результаты\ж прямых\н измерений находят непосредственно из опыта,\ж косвенных\н же измерений~---
|
||
путем расчета по известной зависимости измеряемой величины от величин, находимых
|
||
прямыми измерениями (например, измерение мощности).
|
||
|
||
\ж Совместное измерение\н --- одновременное измерение нескольких неодноименных величин для
|
||
нахождения зависимости между ними (например, ВАХ диода).
|
||
|
||
\ж Совокупное измерение\н~--- это проведение ряда измерений нескольких величин одинаковой
|
||
размерности в различных сочетаниях с нахождением искомых величин из решения системы уравнений
|
||
(например, измерение $R$ включенных треугольником резисторов).
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Представление результатов}
|
||
\only<1>{
|
||
\begin{block}{Табличное}
|
||
Позволяет избежать многократной записи единиц измерения, обозначений измеряемой величины,
|
||
используемых множителей. В таблицы, помимо основных измерений, могут быть включены и результаты
|
||
промежуточных измерений.
|
||
|
||
Для удобства импортирования данных и одновременно наглядности чтения удобно хранить в формате TSV
|
||
(tab separated values) или CSV (comma separated values).
|
||
SED позволит легко преобразовать TSV/CSV в таблицу \LaTeX.
|
||
\end{block}
|
||
|
||
\begin{block}{Графическое}
|
||
На основе графика легко можно сделать вывод о соответствии
|
||
теоретических представлений данным эксперимента, определить вид функциональной
|
||
зависимости измеряемой величины.
|
||
\end{block}
|
||
}
|
||
\only<2>{\img{table1}}
|
||
\only<3>{\vspace*{-1em}\img[0.9]{table2}}
|
||
\only<4>{\vspace*{-2em}\img{graph1}}
|
||
\only<5>{\vspace*{-2em}\img{graph2}}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Сигналы и их виды}
|
||
\begin{frame}{Сигналы и их виды}
|
||
\only<1>{
|
||
\begin{defin}
|
||
Если некоторая изменяющаяся величина измеряется непрерывно (или квазинепрерывно), мы
|
||
имеем дело с потоком информации, или\ж сообщением\н.
|
||
В теории информации физический процесс, значения параметров которого отображают
|
||
передаваемое сообщение, называется\ж сигналом\н.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Модуляция--демодуляция. Зашумление.
|
||
{\bf Помехи}: аддитивные, мультипликативные, фазовые.
|
||
\end{block}
|
||
}
|
||
\only<2>{\img[0.7]{Ampl_modulation}}
|
||
\only<3>{\img{Freq_modulation}}
|
||
\only<4>{\begin{light}\img[0.7]{Phase_modulation}\end{light}}
|
||
\only<5>{Add/mult\img[0.7]{add_mult_noise}}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Виды сигналов}
|
||
\only<1>{
|
||
\begin{block}{Аналоговый}
|
||
Описывается непрерывной (или кусочно--непрерывной) функцией $x(t)$: $t\in[t_0,t_1]$,
|
||
$x\in[x_0,x_1]$. Аудиосигналы, телевизионные сигналы и т.п.
|
||
\end{block}
|
||
\img[0.4]{oscill}
|
||
}
|
||
\only<2>{
|
||
\begin{block}{Дискретный}
|
||
Описывается решетчатой функцией (последовательностью, временн\'ым рядом) $x(nT)$: $x\in[x_0,x_1]$,
|
||
$n=\overline{1,N}$, $T$~--\к интервал дискретизации\н. Величину $f=1/T$
|
||
называют\к частотой дискретизации\н. Если интервал дискретизации является
|
||
постоянной величиной, дискретный сигнал можно задать в виде ряда $\{x_1,\ldots, x_N\}$.
|
||
\end{block}
|
||
\img[0.6]{disc_sig}
|
||
}
|
||
\only<3>{
|
||
\begin{block}{Цифровой}
|
||
Описывается квантованной решетчатой функцией и отличается от обычного дискретного сигнала тем, что
|
||
каждый уровень квантования кодируется двоичным кодом. Таким образом, если
|
||
величина $x\in[x_0,x_1]$ квантуется $N$~разрядным кодом, для
|
||
обратного представления из кода $K_x$ в значение $x$ применяется
|
||
преобразование: $x=x_0+K_x\cdot (x_1-x_0)/2^{N}$. К цифровым сигналам относятся
|
||
сигналы, используемые в системах связи с импульсно--кодовой модуляцией.
|
||
\end{block}
|
||
\img[0.4]{digital_signal}
|
||
}
|
||
\only<4>{\img{Analog_signal}}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Дискретизация}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Дискретизация строит по заданному аналоговому сигналу $x(t)$ дискретный сигнал $x_n(nT)$, причем
|
||
$x_n(nT)=x(nT)$. Операция\ж восстановления\н состоит в том, что по заданному дискретному сигналу
|
||
строится аналоговый сигнал.
|
||
\end{block}
|
||
\begin{block}{Теорема Котельникова--Найквиста}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным
|
||
отсчётам, взятым с частотой $f > 2f_c$, где $f_c$~-- максимальная частота, которой ограничен спектр
|
||
реального сигнала;
|
||
\item если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации
|
||
(наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не
|
||
существует.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Теорема Котельникова--Найквиста}
|
||
\begin{block}{}
|
||
$$\text{Фурье: }X_{s}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\
|
||
e^{-i2\pi
|
||
nTf}$$
|
||
$$\text{В окне: }X(f) = \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect}
|
||
(Tf)\cdot
|
||
e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]\right\}}$$
|
||
\end{block}
|
||
\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
|
||
\img{ReconstructFilter}
|
||
\column{0.5\textwidth}
|
||
\begin{block}{Формула Уиттекера--Шеннона}
|
||
Восстановить непрерывную функцию из дискретной:
|
||
$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]$$
|
||
\end{block}
|
||
\end{columns}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Квантование}
|
||
\begin{defin}
|
||
Для преобразования дискретного сигнала в цифровой вид применяется операция\ж квантования\н или\ж
|
||
аналогово--цифрового преобразования\н~(АЦП), которая по заданному дискретному сигналу $x_n(nT)$
|
||
строит цифровой кодированный сигнал $x_d(nT)$, причем $x_n(nT)\approx x_d(nT)$. Обратная квантованию
|
||
операция называется операцией\ж цифро--аналогового преобразования\н~(ЦАП).
|
||
\end{defin}
|
||
\only<1>{\img[0.7]{ADC}}
|
||
\only<2>{\img{DAC}}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Литература}
|
||
\begin{frame}{Основная литература}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Интернет--энциклопедия: http:/\!/wikipedia.org (Википедия).
|
||
\item Гонсалес~Р., Вудс~Р. Цифровая обработка изображений.~--- М.: Техносфера, 2012.~---
|
||
1104~с.
|
||
\item Витязев~В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие.~---
|
||
СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2001.~--- 58~с.
|
||
\item Гонсалес~Р., Вудс~Р., Эддинс~С. Цифровая обработка изображений
|
||
в среде MATLAB.~--- М.: Техносфера, 2006~--- 616~с.
|
||
\item Гмурман~В.\,Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
|
||
Учеб. пособие для вузов.~--- Изд. 7-е, стер.~--- М.: Высш. шк., 2001.~--- 479~с.
|
||
\item Говорухин~В., Цибулин~В. Компьютер в математическом исследовании.
|
||
Учебный курс.~--- СПб.: Питер, 2001.~--- 624~с.
|
||
\item Сергиенко~А.\,Б. Цифровая обработка сигналов.~--- СПб.: Питер, 2005.~---
|
||
604~с.
|
||
\item Чен~К., Джиблин~П., Ирвинг~А. MATLAB в математических исследованиях:
|
||
Пер. с англ.~--- М.: Мир, 2001.~--- 346~с.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Дополнительная литература}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Бахвалов~Н.\,С., Жидков~Н.\,П., Кобельков~Г.\,М. Численные методы.~---
|
||
М.: Высш. шк., 1987.~--- 630~с.
|
||
\item Кнут~Д.\,Э. Все про \TeX./ Пер. с англ. М.\,В.~Лисиной.~---
|
||
Протвино: АО~RD\TeX, 1993.~--- 592~с.: ил.
|
||
\item Львовский~С.\,М. Набор и верстка в системе \LaTeX.~--- 3-е изд.,
|
||
исрп. и доп.~--- М.: МЦНМО, 2003.~--- 448~с.
|
||
\item Физическая энциклопедия/ Гл. ред. А.М.~Прохоров.~--- М.: Сов.
|
||
энциклопедия. Тт. I~--~V. 1988.
|
||
\item Цифровая обработка сигналов: Справочник/ Л.М.~Гольденберг,
|
||
Б.Д.~Матюшкин, М.Н.~Поляк.~--- М.: Радио и связь, 1985.~--- 312~с., ил.
|
||
\item \url{http://www.imageprocessingplace.com/}
|
||
\item Pan~G.\,W. Wavelets in electromagnetic and device modeling.~---
|
||
John~Wiley \& Sons, Inc., Hobocen, New Jersey, 2003.~--- 531~p.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Лекция 2.}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\section{Случайные величины, вероятность}
|
||
\begin{frame}{Случайные величины, вероятность}
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж Случайной величиной\н называется величина~$X$, если все ее возможные значения образуют
|
||
конечную
|
||
или бесконечную последовательность чисел~$x_1,\ldots$, $x_N$, и если принятие ею каждого из
|
||
этих
|
||
значений есть случайное событие.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{defin}\begin{columns}\column{0.75\textwidth}
|
||
\ж Вероятностью\н наступления события называют предел относительной частоты
|
||
наступления данного события~$n_k/N$:\column{0.25\textwidth}
|
||
$$P(x_k)=\lim_{N\to\infty}\frac{n_k}{N}.$$
|
||
\end{columns}
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Совместные и несовместные события, полная группа, свойства вероятности.
|
||
Для непрерывных случайных величин вводят понятие\ж плотности вероятности\н:
|
||
$$\rho(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x<X<x+\Delta x)}{\Delta
|
||
x}=\frac{dP}{dx}.$$
|
||
$$P(x_1<X<x_2)=\Int_{x_1}^{x_2}\rho(x)\,dx.$$
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Свойства вероятности}
|
||
\begin{block}{}\def\arraystretch{1.5}
|
||
\centering\begin{tabular}{>{\centering}p{0.45\textwidth}l}
|
||
$P(\emptyset) = 0$ &\\
|
||
$\forall A\subset B \quad P(A) \le P(B)$ & $B$ включает в себя $A$\\
|
||
$0\le P(A) \le 1$ & \\
|
||
$\forall A\subset B\quad P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$ & $B$ наступит без $A$\\
|
||
$P(\overline{A}) =1 - P(A)$ &\\
|
||
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ & вероятность одного из событий\\
|
||
$P(A\vert B) = \frc{P(AB)}{P(B)}$ & условная вероятность ($A$ при $B$) $\Longrightarrow$\\
|
||
$P(AB) = P(B)\cdot P(A\vert B)$ & или $P(AB) = P(A)\cdot P(B\vert A)$ $\Longrightarrow$\\
|
||
$P(A\vert B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B\vert A)}{P(B)}$ & (теорема Байеса)\\[1em]
|
||
$P(AB) = P(A)\cdot P(B)$ & для независимых событий\\
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Характеристики случайных величин}
|
||
\begin{frame}{Характеристики случайных величин}
|
||
\begin{block}{Среднее арифметическое и математическое ожидание}
|
||
$$\aver{X}=\frc1{N}\sum_{n=1}^N x_n,$$
|
||
$$M(X)\equiv\mean{X}=\lim_{N\to\infty}\frac1{N}\sum_{n=1}^N x_n\quad\text{и}\quad
|
||
M(X)=\Infint x\phi(x)\,dx.$$
|
||
\end{block}
|
||
\begin{block}{Свойства математического ожидания}
|
||
\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{2pt}
|
||
\item $\mean\const=\const$;
|
||
\item $\mean{\sum\C_n\cdot X_n}=\sum\C_n\cdot \mean{X_n}$,
|
||
где $\C_n$~-- постоянная величина;
|
||
\item $\mean{\prod X_n}=\prod \mean{X_n}$ (для независимых случайных величин);
|
||
\item $\mean{f(x)}=\Infint f(x)\phi(x)\,dx$ (для непрерывных случайных величин).
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{}
|
||
\begin{block}{Моменты}
|
||
Если $f(x)=(x-x_0)^n$, то $\mean{f(x)}$~--- момент порядка~$n$. Если $x_0=0$~---
|
||
начальный
|
||
момент, если $x_0=\mean{X}$--- центральный момент.
|
||
|
||
Центральный момент второго порядка называют\ж дисперсией\н:
|
||
$D(X)=\mean{(x-\mean{x})^2}\equiv
|
||
\mean{x^2}-\mean{x}^2$, $\sigma=\sqrt{D}$.
|
||
|
||
\smallskip
|
||
|
||
Свойства дисперсии:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $D(\C)=0$;
|
||
\item $D(\C X)=\C^2 D(X)$, где $\C$~-- постоянная величина;
|
||
\item $D(\sum X_n)=\sum D(X_n)$ (для независимых величин).
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{block}
|
||
\begin{block}{$\mean{X}\Leftrightarrow\aver{X}$? Закон больших чисел}
|
||
Неравенство Чебыш\"ева: $P(|X-\mean{X}|\ge\epsilon)\le
|
||
\frc{D(X)}{\epsilon^2}\quad\Rightarrow$
|
||
$P(|X-\mean{X}|<\epsilon)=1-P(|X-\mean{X}|\ge\epsilon)\ge1-\frc{D(X)}{\epsilon^2}$.
|
||
$$\lim_{n\to\infty} P\Bigl(\Bigl|\frac{\sum
|
||
X_n}{n}-\frac{\sum\mean{X_n}}{n}\Bigr|<\epsilon\Bigr)=1,\;\text{ т.к. }\;
|
||
D(\frc{\sum X_n}{n})=\frc{D(X)}{n}
|
||
$$
|
||
Теорема Бернулли: $\lim\limits_{n\to\infty} P(m/n-p|<\epsilon)=1$ ($m$ событий в $n$
|
||
испытаний).
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Характеристические значения распределений}
|
||
\begin{block}{Медиана и мода}
|
||
{\ж Мода}~--- наиболее часто встречающееся значение (но вполне могут быть
|
||
мультимодальные
|
||
распределения). {\ж Медиана} делит площадь распределения пополам.
|
||
\end{block}
|
||
\img[0.6]{mode_median}
|
||
\begin{block}{Поиск медианы}
|
||
Самый медленный~--- сортировкой ряда данных, $O(n\ln n)$. Quick Select, $O(n)$. Гистограмма (в т.ч.
|
||
дерево гистограмм), $O(n)$. Для фиксированных $n$~--- opt\_med (,,Numerical Recipes in C``), $O(n)$.
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Законы распределения}
|
||
\begin{frame}{Законы распределения}
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж Закон распределения\н \к дискретной\н случайной величины~--- соответствие между
|
||
возможными значениями и их вероятностями.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{Функция распределения}
|
||
$$F(x)\equiv P(X\le x)=\Int_{-\infty}^x\phi(x)\,dx, \qquad
|
||
\Infint\phi(x)\,dx=1.$$
|
||
$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).$$
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Равномерное распределение}
|
||
\begin{columns}\column{0.45\textwidth}
|
||
\begin{block}{}
|
||
$$
|
||
\phi(x)=\begin{cases}\frac1{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b]
|
||
\end{cases}.
|
||
$$
|
||
$$F(x)= \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \le x < b \\ 1, & x \ge
|
||
b \end{cases}.
|
||
$$
|
||
\end{block}\column{0.45\textwidth}
|
||
\begin{block}{}
|
||
$\mean{X}=\med(X)=(a+b)/2$, $\moda(X)=\forall x\in[a,b]$,
|
||
$\displaystyle\sigma^2_X = \frac{(b-a)^2}{12}$.
|
||
\end{block}
|
||
\end{columns}
|
||
|
||
\smimg[0.45]{Uniform_distribution_PDF}\hspace{3pt}
|
||
\smimg[0.45]{Uniform_distribution_CDF}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{lightframe}{Биномиальное распределение}
|
||
\vspace*{-0.8em}\begin{block}{}
|
||
\ж Формула Бернулли\н:
|
||
$\displaystyle P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad
|
||
q=1-p.$
|
||
$$(p+q)^n=C_n^n p^n+\cdots+C_n^k p^k q^{n-k}+\cdots+C_n^0 q^k.$$
|
||
Описывает вероятность наступления события~$k$
|
||
раз в~$n$ независимых испытаниях
|
||
\end{block}\vspace*{-1em}
|
||
\begin{columns}
|
||
\column{0.45\textwidth}
|
||
\img{Binomial_Distribution}
|
||
\column{0.55\textwidth}
|
||
\begin{block}{}
|
||
$$
|
||
F(k;n,p)=P(X\leq k)=\sum_{i=0}^\floor{k} C_n^i p^i(1-p)^{n-i}.$$
|
||
$\mean{X}=np$, $\moda(X)=\floor{(n+1)p}$, $\floor{np}\le\med(X)\le\ceil{np}$,
|
||
$\sigma^2_X = npq$.
|
||
\end{block}
|
||
\end{columns}
|
||
\end{lightframe}
|
||
|
||
\begin{frame}{Распределение Пуассона}
|
||
\vspace*{-2em}\begin{block}{}
|
||
При $n\to\infty$ распределение Бернулли преобразуется в распределение Пуассона
|
||
($\lambda=np$):
|
||
$$P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\exp(-\lambda).$$
|
||
\end{block}
|
||
\begin{columns}\column{0.48\textwidth}
|
||
\begin{block}{}
|
||
$F(k, \lambda) = \displaystyle\frac{\Gamma(k+1,\lambda)}{k!}$,
|
||
$\mean{X} = \lambda$, $\moda(X) = \floor{\lambda}$,
|
||
$\med{X}\approx\floor{\lambda+1/3-0.02/\lambda}$,
|
||
$\sigma^2_X = \lambda$.
|
||
|
||
С ростом $\lambda$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса.
|
||
\end{block}
|
||
\column{0.48\textwidth}
|
||
\img{poissonpdf}
|
||
\end{columns}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Распределение Гаусса}
|
||
\vspace*{-2em}\begin{block}{}
|
||
$
|
||
\phi (x) = \dfrac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x -\mean{x})^2}{2
|
||
\sigma^2} \right)
|
||
$,
|
||
$F(x) = \displaystyle\frac 1{\sigma \sqrt {2 \pi}} \Int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t
|
||
-\mean{x})^2}{2 \sigma^2} \right)\, dt$,
|
||
$\moda(X) = \med{X} = \mean{X}$.
|
||
$P(\alpha < X < \beta) = \Phi\left(\frac{\beta - \mean{x}}{\sigma}\right) -
|
||
\Phi\left(\frac{\alpha - \mean{x}}{\sigma}\right) $,\\
|
||
функция Лапласа $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x \exp\left(-\frc{t^2}{2}\right)$.
|
||
\end{block}
|
||
\img[0.6]{normpdf}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{Показательное (экспоненциальное) распределение}
|
||
\vspace*{-1em}\begin{block}{}
|
||
Время между двумя последовательными свершениями события
|
||
$$f(x)=\begin{cases}
|
||
0,& x<0,\\
|
||
\lambda\exp(-\lambda x),& x\ge0;
|
||
\end{cases}\qquad
|
||
F(x)=\begin{cases}
|
||
0,& x<0,\\
|
||
1-\exp(-\lambda x),& x\ge0,
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
\end{block}
|
||
\vspace*{-1em}\begin{block}{}
|
||
$\mean{X} = \lambda^{-1}$,
|
||
$\moda(X) = 0$, $\med{X} = \ln(2)/\lambda$,
|
||
$\sigma^2_X = \lambda^{-2}$.
|
||
\end{block}
|
||
\vspace*{-1em}\img[0.5]{exppdf}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Корреляция и ковариация}
|
||
\begin{frame}{Корреляция и ковариация}
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж{}Ковариация\н является мерой линейной зависимости случайных величин и определяется
|
||
формулой:
|
||
$\mathrm{cov}(X,Y)=\mean{(X-\mean{X})(Y-\mean{Y})}$ $\Longrightarrow$ $\mathrm{cov}(X,X) =
|
||
\sigma^2_X$.
|
||
\к Ковариация независимых случайных величин равна нулю\н, обратное неверно.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения
|
||
второй имеют
|
||
тенденцию возрастать, а если знак отрицательный~--- убывать.
|
||
|
||
Масштаб зависимости величин пропорционален их дисперсиям $\Longrightarrow$ масштаб можно
|
||
отнормировать (\ж{}коэффициент корреляции\н Пирсона):
|
||
$$\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma X\sigma Y}, \qquad \mathbf{r}\in[-1,1].$$
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{frame}{}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Коэффициент корреляции равен~$\pm1$ тогда и только тогда, когда~$X$ и~$Y$ линейно зависимы.
|
||
Если
|
||
они независимы, $\rho_{X,Y}=0$ (\ж{}обратное неверно!\н). Промежуточные значения
|
||
коэффициента
|
||
корреляции не позволяют однозначно судить о зависимости случайных величин, но позволяет
|
||
предполагать
|
||
степень их зависимости.
|
||
\end{block}
|
||
\begin{block}{Корреляционная функция}
|
||
Одна из разновидностей~---\ж автокорреляционная функция\н:
|
||
$$
|
||
\Psi(\tau) = \Int f(t) f(t-\tau)\, dt\equiv
|
||
\Int f(t+\tau) f(t)\,dt.
|
||
$$
|
||
Для дискретных случайных величин автокорреляционная функция имеет вид
|
||
$$
|
||
\Psi(\tau) = \aver{X(t)X(t-\tau)}\equiv\aver{X(t+\tau)X(t)}.
|
||
$$
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\begin{blueframe}{}
|
||
\begin{block}{Взаимно корреляционная функция}
|
||
Другая разновидность~---\ж кросс--корреляционная функция\н:
|
||
$$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f^{*}(\tau)g(t+\tau)\,d\tau$$
|
||
свертка:
|
||
$$ (f*g)(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f(y)\,g(x-y)\,dy = \Infint f(x-y)\,g(y)\, dy.$$
|
||
|
||
\end{block}
|
||
\img[0.5]{convcorr}
|
||
\end{blueframe}
|
||
|
||
\begin{frame}{}
|
||
\begin{block}{}
|
||
Если $X$ и $Y$~--- две независимых случайных величины с функциями распределения вероятностей
|
||
$f$ и $g$, то $f\star g$ соответствует распределению вероятностей выражения $-X+Y$, а
|
||
$f*g$~---
|
||
распределению вероятностей суммы $X + Y$.
|
||
|
||
ВКФ часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее
|
||
известной,
|
||
определения сдвига (см.~рис).
|
||
|
||
Связь со сверткой: $f(t)\star g(t) = f^*(-t) * g(t)$, если $f$ и $g$ четны, то
|
||
$f(t)\star g(t) = f(t) * g(t)$. Через преобразование Фурье:
|
||
$\FT{f \star g} = \FT{f}^*\cdot\FT{g}$.
|
||
\end{block}\img[0.6]{autocorr}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
\section{Шум}
|
||
\begin{frame}{Шум}
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж Шум\н~--- беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложной
|
||
временной и
|
||
спектральной структурой.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{}
|
||
\ж Белый шум\н, $\xi(t)$, имеет время корреляции много меньше всех характерных времен
|
||
физической
|
||
системы; $\mean{\xi(t)}=0$,
|
||
$\Psi(t,\tau)=\aver{\xi(t+\tau)\xi(t)}=\sigma^2(t)\delta(\tau)$.
|
||
Разновидность~--- AWGN.
|
||
|
||
\ж Дробовой шум\н имеет пуассонову статистику~\so $\sigma_X\propto\sqrt{x}$ и
|
||
$\SNR(N)\propto\sqrt{N}$. Суточные и вековые корреляции.
|
||
|
||
Шум вида \ж<<соль--перец>>\н обычно характерен для изображений, считываемых с ПЗС.
|
||
\end{block}
|
||
\end{frame}
|
||
\begin{frame}{SNR}
|
||
\begin{defin}
|
||
\ж SNR\н~--- безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности
|
||
шума.
|
||
\end{defin}
|
||
\begin{block}{}
|
||
$$\SNR = {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}} = \left ({A_\mathrm{signal} \over
|
||
A_\mathrm{noise} } \right )^2, \quad
|
||
\SNR(dB) = 10 \lg \left ( {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}}
|
||
\right )
|
||
= 20 \lg \left ( {A_\mathrm{signal} \over A_\mathrm{noise}} \right ).
|
||
$$
|
||
\end{block}
|
||
|
||
\img[0.6]{SNR}
|
||
\centerline{\tiny (10, 0, -10~дБ.)}
|
||
\end{frame}
|
||
|
||
|
||
\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
|
||
\centering
|
||
\begin{minipage}{5cm}
|
||
\begin{block}{mailto}
|
||
eddy@sao.ru\\
|
||
edward.emelianoff@gmail.com
|
||
\end{block}\end{minipage}
|
||
\end{frame}
|
||
\end{document}
|