diff --git a/Komp_obr/01-measurements,02-statistics.pdf b/Komp_obr/01-measurements,02-statistics.pdf new file mode 100644 index 0000000..f8cac65 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/01-measurements,02-statistics.pdf differ diff --git a/Komp_obr/01-measurements,02-statistics.tex b/Komp_obr/01-measurements,02-statistics.tex new file mode 100644 index 0000000..d90899e --- /dev/null +++ b/Komp_obr/01-measurements,02-statistics.tex @@ -0,0 +1,566 @@ +\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer} +\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen} +\usepackage{lect} + +\title[Компьютерная обработка. Лекции 1, 2.]{Компьютерная обработка результатов измерений} +\subtitle{Лекция 1. Общие сведения об измерениях. Виды сигналов и методы их анализа.\\ +Лекция 2. Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения} +\date{18~марта 2021~года} + +\begin{document} +% Титул +\begin{frame}{} +\maketitle +\end{frame} +% Содержание +\begin{frame}{} +\tableofcontents[hideallsubsections] +\end{frame} + +\section{Физические измерения} +\begin{frame}{Физические измерения} +\begin{defin} +Экспериментальное определение значения измеряемой величины с применением средств +измерений называется {\bf измерением}. +\end{defin} +\begin{block}{} +Важнейшей особенностью измерений является {\it принципиальная невозможность +получения результатов измерения, в точности равных истинному значению +измеряемой величины} (особенно эта особенность проявляется в микромире, где +господствует принцип неопределенности). + +Эта особенность приводит к необходимости оценки степени близости результата +измерения к истинному значению измеряемой величины, т.е. вычислять +{\bf погрешность измерения}. +\end{block} +\end{frame} + + +\begin{frame}{Виды измерений} +\begin{block}{} +\ж Статическими\н называют такие измерения, при +которых зависимость погрешности измерения от скорости измерения пренебрежимо +мала и ее можно не учитывать.\ж Динамические\н +измерения противоположны статическим. + +Результаты\ж прямых\н измерений находят непосредственно из опыта,\ж косвенных\н же измерений~--- +путем расчета по известной зависимости измеряемой величины от величин, находимых +прямыми измерениями (например, измерение мощности). + +\ж Совместное измерение\н --- одновременное измерение нескольких неодноименных величин для +нахождения зависимости между ними (например, ВАХ диода). + +\ж Совокупное измерение\н~--- это проведение ряда измерений нескольких величин одинаковой +размерности в различных сочетаниях с нахождением искомых величин из решения системы уравнений +(например, измерение $R$ включенных треугольником резисторов). +\end{block} +\end{frame} + + +\begin{frame}{Представление результатов} +\only<1>{ +\begin{block}{Табличное} +Позволяет избежать многократной записи единиц измерения, обозначений измеряемой величины, +используемых множителей. В таблицы, помимо основных измерений, могут быть включены и результаты +промежуточных измерений. + +Для удобства импортирования данных и одновременно наглядности чтения удобно хранить в формате TSV +(tab separated values) или CSV (comma separated values). +SED позволит легко преобразовать TSV/CSV в таблицу \LaTeX. +\end{block} + +\begin{block}{Графическое} +На основе графика легко можно сделать вывод о соответствии +теоретических представлений данным эксперимента, определить вид функциональной +зависимости измеряемой величины. +\end{block} +} +\only<2>{\img{table1}} +\only<3>{\vspace*{-1em}\img[0.9]{table2}} +\only<4>{\vspace*{-2em}\img{graph1}} +\only<5>{\vspace*{-2em}\img{graph2}} +\end{frame} + +\section{Сигналы и их виды} +\begin{frame}{Сигналы и их виды} +\only<1>{ +\begin{defin} +Если некоторая изменяющаяся величина измеряется непрерывно (или квазинепрерывно), мы +имеем дело с потоком информации, или\ж сообщением\н. +В теории информации физический процесс, значения параметров которого отображают +передаваемое сообщение, называется\ж сигналом\н. +\end{defin} +\begin{block}{} +Модуляция--демодуляция. Зашумление. +{\bf Помехи}: аддитивные, мультипликативные, фазовые. +\end{block} +} +\only<2>{\img[0.7]{Ampl_modulation}} +\only<3>{\img{Freq_modulation}} +\only<4>{\begin{light}\img[0.7]{Phase_modulation}\end{light}} +\only<5>{Add/mult\img[0.7]{add_mult_noise}} +\end{frame} + + +\begin{frame}{Виды сигналов} +\only<1>{ +\begin{block}{Аналоговый} +Описывается непрерывной (или кусочно--непрерывной) функцией $x(t)$: $t\in[t_0,t_1]$, +$x\in[x_0,x_1]$. Аудиосигналы, телевизионные сигналы и т.п. +\end{block} +\img[0.4]{oscill} +} +\only<2>{ +\begin{block}{Дискретный} +Описывается решетчатой функцией (последовательностью, временн\'ым рядом) $x(nT)$: $x\in[x_0,x_1]$, +$n=\overline{1,N}$, $T$~--\к интервал дискретизации\н. Величину $f=1/T$ +называют\к частотой дискретизации\н. Если интервал дискретизации является +постоянной величиной, дискретный сигнал можно задать в виде ряда $\{x_1,\ldots, x_N\}$. +\end{block} +\img[0.6]{disc_sig} +} +\only<3>{ +\begin{block}{Цифровой} +Описывается квантованной решетчатой функцией и отличается от обычного дискретного сигнала тем, что +каждый уровень квантования кодируется двоичным кодом. Таким образом, если +величина $x\in[x_0,x_1]$ квантуется $N$~разрядным кодом, для +обратного представления из кода $K_x$ в значение $x$ применяется +преобразование: $x=x_0+K_x\cdot (x_1-x_0)/2^{N}$. К цифровым сигналам относятся +сигналы, используемые в системах связи с импульсно--кодовой модуляцией. +\end{block} +\img[0.4]{digital_signal} +} +\only<4>{\img{Analog_signal}} +\end{frame} + + +\begin{frame}{Дискретизация} +\begin{block}{} +Дискретизация строит по заданному аналоговому сигналу $x(t)$ дискретный сигнал $x_n(nT)$, причем +$x_n(nT)=x(nT)$. Операция\ж восстановления\н состоит в том, что по заданному дискретному сигналу +строится аналоговый сигнал. +\end{block} +\begin{block}{Теорема Котельникова--Найквиста} +\begin{itemize} +\item любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным +отсчётам, взятым с частотой $f > 2f_c$, где $f_c$~-- максимальная частота, которой ограничен спектр +реального сигнала; +\item если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации +(наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не +существует. +\end{itemize} +\end{block} +\end{frame} + + +\begin{frame}{Теорема Котельникова--Найквиста} +\begin{block}{} +$$\text{Фурье: }X_{s}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ +e^{-i2\pi +nTf}$$ +$$\text{В окне: }X(f) = \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} +(Tf)\cdot +e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]\right\}}$$ +\end{block} +\begin{columns}\column{0.5\textwidth} +\img{ReconstructFilter} +\column{0.5\textwidth} +\begin{block}{Формула Уиттекера--Шеннона} +Восстановить непрерывную функцию из дискретной: +$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]$$ +\end{block} +\end{columns} +\end{frame} + + +\begin{frame}{Квантование} +\begin{defin} +Для преобразования дискретного сигнала в цифровой вид применяется операция\ж квантования\н или\ж +аналогово--цифрового преобразования\н~(АЦП), которая по заданному дискретному сигналу $x_n(nT)$ +строит цифровой кодированный сигнал $x_d(nT)$, причем $x_n(nT)\approx x_d(nT)$. Обратная квантованию +операция называется операцией\ж цифро--аналогового преобразования\н~(ЦАП). +\end{defin} +\only<1>{\img[0.7]{ADC}} +\only<2>{\img{DAC}} +\end{frame} + +\section{Литература} +\begin{frame}{Основная литература} +\begin{itemize} +\item Интернет--энциклопедия: http:/\!/wikipedia.org (Википедия). +\item Гонсалес~Р., Вудс~Р. Цифровая обработка изображений.~--- М.: Техносфера, 2012.~--- +1104~с. +\item Витязев~В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие.~--- +СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2001.~--- 58~с. +\item Гонсалес~Р., Вудс~Р., Эддинс~С. Цифровая обработка изображений +в среде MATLAB.~--- М.: Техносфера, 2006~--- 616~с. +\item Гмурман~В.\,Е. Теория вероятностей и математическая статистика. +Учеб. пособие для вузов.~--- Изд. 7-е, стер.~--- М.: Высш. шк., 2001.~--- 479~с. +\item Говорухин~В., Цибулин~В. Компьютер в математическом исследовании. +Учебный курс.~--- СПб.: Питер, 2001.~--- 624~с. +\item Сергиенко~А.\,Б. Цифровая обработка сигналов.~--- СПб.: Питер, 2005.~--- +604~с. +\item Чен~К., Джиблин~П., Ирвинг~А. MATLAB в математических исследованиях: +Пер. с англ.~--- М.: Мир, 2001.~--- 346~с. +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Дополнительная литература} +\begin{itemize} +\item Бахвалов~Н.\,С., Жидков~Н.\,П., Кобельков~Г.\,М. Численные методы.~--- +М.: Высш. шк., 1987.~--- 630~с. +\item Кнут~Д.\,Э. Все про \TeX./ Пер. с англ. М.\,В.~Лисиной.~--- +Протвино: АО~RD\TeX, 1993.~--- 592~с.: ил. +\item Львовский~С.\,М. Набор и верстка в системе \LaTeX.~--- 3-е изд., +исрп. и доп.~--- М.: МЦНМО, 2003.~--- 448~с. +\item Физическая энциклопедия/ Гл. ред. А.М.~Прохоров.~--- М.: Сов. +энциклопедия. Тт. I~--~V. 1988. +\item Цифровая обработка сигналов: Справочник/ Л.М.~Гольденберг, +Б.Д.~Матюшкин, М.Н.~Поляк.~--- М.: Радио и связь, 1985.~--- 312~с., ил. +\item \url{http://www.imageprocessingplace.com/} +\item Pan~G.\,W. Wavelets in electromagnetic and device modeling.~--- +John~Wiley \& Sons, Inc., Hobocen, New Jersey, 2003.~--- 531~p. +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Лекция 2.} +\end{frame} + + +\section{Случайные величины, вероятность} +\begin{frame}{Случайные величины, вероятность} + \begin{defin} + \ж Случайной величиной\н называется величина~$X$, если все ее возможные значения образуют + конечную + или бесконечную последовательность чисел~$x_1,\ldots$, $x_N$, и если принятие ею каждого из + этих + значений есть случайное событие. + \end{defin} + \begin{defin}\begin{columns}\column{0.75\textwidth} + \ж Вероятностью\н наступления события называют предел относительной частоты + наступления данного события~$n_k/N$:\column{0.25\textwidth} + $$P(x_k)=\lim_{N\to\infty}\frac{n_k}{N}.$$ + \end{columns} + \end{defin} + \begin{block}{} + Совместные и несовместные события, полная группа, свойства вероятности. + Для непрерывных случайных величин вводят понятие\ж плотности вероятности\н: + $$\rho(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x{\centering}p{0.45\textwidth}l} +$P(\emptyset) = 0$ &\\ +$\forall A\subset B \quad P(A) \le P(B)$ & $B$ включает в себя $A$\\ +$0\le P(A) \le 1$ & \\ +$\forall A\subset B\quad P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$ & $B$ наступит без $A$\\ +$P(\overline{A}) =1 - P(A)$ &\\ +$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ & вероятность одного из событий\\ +$P(A\vert B) = \frc{P(AB)}{P(B)}$ & условная вероятность ($A$ при $B$) $\Longrightarrow$\\ +$P(AB) = P(B)\cdot P(A\vert B)$ & или $P(AB) = P(A)\cdot P(B\vert A)$ $\Longrightarrow$\\ +$P(A\vert B)=\dfrac{P(A)\cdot P(B\vert A)}{P(B)}$ & (теорема Байеса)\\[1em] +$P(AB) = P(A)\cdot P(B)$ & для независимых событий\\ +\end{tabular} +\end{block} +\end{frame} + +\section{Характеристики случайных величин} +\begin{frame}{Характеристики случайных величин} +\begin{block}{Среднее арифметическое и математическое ожидание} + $$\aver{X}=\frc1{N}\sum_{n=1}^N x_n,$$ + $$M(X)\equiv\mean{X}=\lim_{N\to\infty}\frac1{N}\sum_{n=1}^N x_n\quad\text{и}\quad + M(X)=\Infint x\phi(x)\,dx.$$ +\end{block} +\begin{block}{Свойства математического ожидания} + \begin{itemize}\setlength{\itemsep}{2pt} + \item $\mean\const=\const$; + \item $\mean{\sum\C_n\cdot X_n}=\sum\C_n\cdot \mean{X_n}$, + где $\C_n$~-- постоянная величина; + \item $\mean{\prod X_n}=\prod \mean{X_n}$ (для независимых случайных величин); + \item $\mean{f(x)}=\Infint f(x)\phi(x)\,dx$ (для непрерывных случайных величин). + \end{itemize} +\end{block} +\end{frame} + + +\begin{frame}{} + \begin{block}{Моменты} + Если $f(x)=(x-x_0)^n$, то $\mean{f(x)}$~--- момент порядка~$n$. Если $x_0=0$~--- + начальный + момент, если $x_0=\mean{X}$--- центральный момент. + + Центральный момент второго порядка называют\ж дисперсией\н: + $D(X)=\mean{(x-\mean{x})^2}\equiv + \mean{x^2}-\mean{x}^2$, $\sigma=\sqrt{D}$. + + \smallskip + + Свойства дисперсии: + \begin{itemize} + \item $D(\C)=0$; + \item $D(\C X)=\C^2 D(X)$, где $\C$~-- постоянная величина; + \item $D(\sum X_n)=\sum D(X_n)$ (для независимых величин). + \end{itemize} + \end{block} + \begin{block}{$\mean{X}\Leftrightarrow\aver{X}$? Закон больших чисел} + Неравенство Чебыш\"ева: $P(|X-\mean{X}|\ge\epsilon)\le + \frc{D(X)}{\epsilon^2}\quad\Rightarrow$ + $P(|X-\mean{X}|<\epsilon)=1-P(|X-\mean{X}|\ge\epsilon)\ge1-\frc{D(X)}{\epsilon^2}$. + $$\lim_{n\to\infty} P\Bigl(\Bigl|\frac{\sum + X_n}{n}-\frac{\sum\mean{X_n}}{n}\Bigr|<\epsilon\Bigr)=1,\;\text{ т.к. }\; + D(\frc{\sum X_n}{n})=\frc{D(X)}{n} + $$ + Теорема Бернулли: $\lim\limits_{n\to\infty} P(m/n-p|<\epsilon)=1$ ($m$ событий в $n$ + испытаний). + \end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{Характеристические значения распределений} +\begin{block}{Медиана и мода} + {\ж Мода}~--- наиболее часто встречающееся значение (но вполне могут быть + мультимодальные + распределения). {\ж Медиана} делит площадь распределения пополам. +\end{block} +\img[0.6]{mode_median} +\begin{block}{Поиск медианы} +Самый медленный~--- сортировкой ряда данных, $O(n\ln n)$. Quick Select, $O(n)$. Гистограмма (в т.ч. +дерево гистограмм), $O(n)$. Для фиксированных $n$~--- opt\_med (,,Numerical Recipes in C``), $O(n)$. +\end{block} +\end{frame} + +\section{Законы распределения} +\begin{frame}{Законы распределения} + \begin{defin} + \ж Закон распределения\н \к дискретной\н случайной величины~--- соответствие между + возможными значениями и их вероятностями. + \end{defin} + \begin{block}{Функция распределения} + $$F(x)\equiv P(X\le x)=\Int_{-\infty}^x\phi(x)\,dx, \qquad + \Infint\phi(x)\,dx=1.$$ + $$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).$$ + \end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{Равномерное распределение} + \begin{columns}\column{0.45\textwidth} + \begin{block}{} + $$ + \phi(x)=\begin{cases}\frac1{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] + \end{cases}. + $$ + $$F(x)= \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \le x < b \\ 1, & x \ge + b \end{cases}. + $$ + \end{block}\column{0.45\textwidth} + \begin{block}{} + $\mean{X}=\med(X)=(a+b)/2$, $\moda(X)=\forall x\in[a,b]$, + $\displaystyle\sigma^2_X = \frac{(b-a)^2}{12}$. + \end{block} + \end{columns} + + \smimg[0.45]{Uniform_distribution_PDF}\hspace{3pt} + \smimg[0.45]{Uniform_distribution_CDF} +\end{frame} + +\begin{lightframe}{Биномиальное распределение} + \vspace*{-0.8em}\begin{block}{} + \ж Формула Бернулли\н: + $\displaystyle P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad + q=1-p.$ + $$(p+q)^n=C_n^n p^n+\cdots+C_n^k p^k q^{n-k}+\cdots+C_n^0 q^k.$$ + Описывает вероятность наступления события~$k$ + раз в~$n$ независимых испытаниях + \end{block}\vspace*{-1em} + \begin{columns} + \column{0.45\textwidth} + \img{Binomial_Distribution} + \column{0.55\textwidth} + \begin{block}{} + $$ + F(k;n,p)=P(X\leq k)=\sum_{i=0}^\floor{k} C_n^i p^i(1-p)^{n-i}.$$ + $\mean{X}=np$, $\moda(X)=\floor{(n+1)p}$, $\floor{np}\le\med(X)\le\ceil{np}$, + $\sigma^2_X = npq$. + \end{block} + \end{columns} +\end{lightframe} + +\begin{frame}{Распределение Пуассона} + \vspace*{-2em}\begin{block}{} + При $n\to\infty$ распределение Бернулли преобразуется в распределение Пуассона + ($\lambda=np$): + $$P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\exp(-\lambda).$$ + \end{block} + \begin{columns}\column{0.48\textwidth} + \begin{block}{} + $F(k, \lambda) = \displaystyle\frac{\Gamma(k+1,\lambda)}{k!}$, + $\mean{X} = \lambda$, $\moda(X) = \floor{\lambda}$, + $\med{X}\approx\floor{\lambda+1/3-0.02/\lambda}$, + $\sigma^2_X = \lambda$. + + С ростом $\lambda$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса. + \end{block} + \column{0.48\textwidth} + \img{poissonpdf} + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame}{Распределение Гаусса} + \vspace*{-2em}\begin{block}{} + $ + \phi (x) = \dfrac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x -\mean{x})^2}{2 + \sigma^2} \right) + $, + $F(x) = \displaystyle\frac 1{\sigma \sqrt {2 \pi}} \Int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t + -\mean{x})^2}{2 \sigma^2} \right)\, dt$, + $\moda(X) = \med{X} = \mean{X}$. + $P(\alpha < X < \beta) = \Phi\left(\frac{\beta - \mean{x}}{\sigma}\right) - + \Phi\left(\frac{\alpha - \mean{x}}{\sigma}\right) $,\\ + функция Лапласа $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x \exp\left(-\frc{t^2}{2}\right)$. + \end{block} + \img[0.6]{normpdf} +\end{frame} + +\begin{frame}{Показательное (экспоненциальное) распределение} + \vspace*{-1em}\begin{block}{} + Время между двумя последовательными свершениями события + $$f(x)=\begin{cases} + 0,& x<0,\\ + \lambda\exp(-\lambda x),& x\ge0; + \end{cases}\qquad + F(x)=\begin{cases} + 0,& x<0,\\ + 1-\exp(-\lambda x),& x\ge0, + \end{cases} + $$ + \end{block} + \vspace*{-1em}\begin{block}{} + $\mean{X} = \lambda^{-1}$, + $\moda(X) = 0$, $\med{X} = \ln(2)/\lambda$, + $\sigma^2_X = \lambda^{-2}$. + \end{block} + \vspace*{-1em}\img[0.5]{exppdf} +\end{frame} + +\section{Корреляция и ковариация} +\begin{frame}{Корреляция и ковариация} + \begin{defin} + \ж{}Ковариация\н является мерой линейной зависимости случайных величин и определяется + формулой: + $\mathrm{cov}(X,Y)=\mean{(X-\mean{X})(Y-\mean{Y})}$ $\Longrightarrow$ $\mathrm{cov}(X,X) = + \sigma^2_X$. + \к Ковариация независимых случайных величин равна нулю\н, обратное неверно. + \end{defin} + \begin{block}{} + Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения + второй имеют + тенденцию возрастать, а если знак отрицательный~--- убывать. + + Масштаб зависимости величин пропорционален их дисперсиям $\Longrightarrow$ масштаб можно + отнормировать (\ж{}коэффициент корреляции\н Пирсона): + $$\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma X\sigma Y}, \qquad \mathbf{r}\in[-1,1].$$ + \end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{} + \begin{block}{} + Коэффициент корреляции равен~$\pm1$ тогда и только тогда, когда~$X$ и~$Y$ линейно зависимы. + Если + они независимы, $\rho_{X,Y}=0$ (\ж{}обратное неверно!\н). Промежуточные значения + коэффициента + корреляции не позволяют однозначно судить о зависимости случайных величин, но позволяет + предполагать + степень их зависимости. + \end{block} + \begin{block}{Корреляционная функция} + Одна из разновидностей~---\ж автокорреляционная функция\н: + $$ + \Psi(\tau) = \Int f(t) f(t-\tau)\, dt\equiv + \Int f(t+\tau) f(t)\,dt. + $$ + Для дискретных случайных величин автокорреляционная функция имеет вид + $$ + \Psi(\tau) = \aver{X(t)X(t-\tau)}\equiv\aver{X(t+\tau)X(t)}. + $$ + \end{block} +\end{frame} + +\begin{blueframe}{} + \begin{block}{Взаимно корреляционная функция} + Другая разновидность~---\ж кросс--корреляционная функция\н: + $$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f^{*}(\tau)g(t+\tau)\,d\tau$$ + свертка: + $$ (f*g)(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f(y)\,g(x-y)\,dy = \Infint f(x-y)\,g(y)\, dy.$$ + + \end{block} + \img[0.5]{convcorr} +\end{blueframe} + +\begin{frame}{} + \begin{block}{} + Если $X$ и $Y$~--- две независимых случайных величины с функциями распределения вероятностей + $f$ и $g$, то $f\star g$ соответствует распределению вероятностей выражения $-X+Y$, а + $f*g$~--- + распределению вероятностей суммы $X + Y$. + + ВКФ часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее + известной, + определения сдвига (см.~рис). + + Связь со сверткой: $f(t)\star g(t) = f^*(-t) * g(t)$, если $f$ и $g$ четны, то + $f(t)\star g(t) = f(t) * g(t)$. Через преобразование Фурье: + $\FT{f \star g} = \FT{f}^*\cdot\FT{g}$. + \end{block}\img[0.6]{autocorr} +\end{frame} + +\section{Шум} +\begin{frame}{Шум} + \begin{defin} + \ж Шум\н~--- беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложной + временной и + спектральной структурой. + \end{defin} + \begin{block}{} + \ж Белый шум\н, $\xi(t)$, имеет время корреляции много меньше всех характерных времен + физической + системы; $\mean{\xi(t)}=0$, + $\Psi(t,\tau)=\aver{\xi(t+\tau)\xi(t)}=\sigma^2(t)\delta(\tau)$. + Разновидность~--- AWGN. + + \ж Дробовой шум\н имеет пуассонову статистику~\so $\sigma_X\propto\sqrt{x}$ и + $\SNR(N)\propto\sqrt{N}$. Суточные и вековые корреляции. + + Шум вида \ж<<соль--перец>>\н обычно характерен для изображений, считываемых с ПЗС. + \end{block} +\end{frame} +\begin{frame}{SNR} + \begin{defin} + \ж SNR\н~--- безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности + шума. + \end{defin} + \begin{block}{} + $$\SNR = {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}} = \left ({A_\mathrm{signal} \over + A_\mathrm{noise} } \right )^2, \quad + \SNR(dB) = 10 \lg \left ( {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}} + \right ) + = 20 \lg \left ( {A_\mathrm{signal} \over A_\mathrm{noise}} \right ). + $$ + \end{block} + + \img[0.6]{SNR} + \centerline{\tiny (10, 0, -10~дБ.)} +\end{frame} + + +\begin{frame}{Спасибо за внимание!} +\centering +\begin{minipage}{5cm} +\begin{block}{mailto} +eddy@sao.ru\\ +edward.emelianoff@gmail.com +\end{block}\end{minipage} +\end{frame} +\end{document} diff --git a/Komp_obr/01-measurements.pdf b/Komp_obr/01-measurements.pdf deleted file mode 100644 index 2b1d81e..0000000 Binary files a/Komp_obr/01-measurements.pdf and /dev/null differ diff --git a/Komp_obr/01-measurements.tex b/Komp_obr/01-measurements.tex deleted file mode 100644 index df6f5aa..0000000 --- a/Komp_obr/01-measurements.tex +++ /dev/null @@ -1,322 +0,0 @@ -\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer} -\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen} -\usepackage{lect} - -\title[Компьютерная обработка. Лекция 1.]{Компьютерная обработка результатов измерений} -\subtitle{Лекция 1. Общие сведения об измерениях. Виды сигналов и методы их анализа} -\date{30 июня 2016 года} - -\begin{document} -% Титул -\begin{frame}{} -\maketitle -\end{frame} -% Содержание -\begin{frame}{} -\tableofcontents[hideallsubsections] -\end{frame} - -\section{Физические измерения} -\begin{frame}{Физические измерения} -\begin{defin} -Экспериментальное определение значения измеряемой величины с применением средств -измерений называется {\bf измерением}. -\end{defin} -\begin{block}{} -Важнейшей особенностью измерений является {\it принципиальная невозможность -получения результатов измерения, в точности равных истинному значению -измеряемой величины} (особенно эта особенность проявляется в микромире, где -господствует принцип неопределенности). - -Эта особенность приводит к необходимости оценки степени близости результата -измерения к истинному значению измеряемой величины, т.е. вычислять -{\bf погрешность измерения}. -\end{block} -\end{frame} - - -\begin{frame}{Виды измерений} -\begin{block}{} -\ж Статическими\н называют такие измерения, при -которых зависимость погрешности измерения от скорости измерения пренебрежимо -мала и ее можно не учитывать.\ж Динамические\н -измерения противоположны статическим. - -Результаты\ж прямых\н измерений находят непосредственно из опыта,\ж косвенных\н же измерений~--- -путем расчета по известной зависимости измеряемой величины от величин, находимых -прямыми измерениями (например, измерение мощности). - -\ж Совместное измерение\н --- одновременное измерение нескольких неодноименных величин для -нахождения зависимости между ними (например, ВАХ диода). - -\ж Совокупное измерение\н~--- это проведение ряда измерений нескольких величин одинаковой -размерности в различных сочетаниях с нахождением искомых величин из решения системы уравнений -(например, измерение $R$ включенных треугольником резисторов). -\end{block} -\end{frame} - - -\begin{frame}{Представление результатов} -\begin{block}{Табличное} -Позволяет избежать многократной записи единиц измерения, обозначений измеряемой величины, -используемых множителей. В таблицы, помимо основных измерений, могут быть включены и результаты -промежуточных измерений. - -Для удобства импортирования данных и одновременно наглядности чтения удобно хранить в формате TSV. -SED позволит легко преобразовать TSV в таблицу латеха. -\end{block} - -\begin{block}{Графическое} -На основе графика легко можно сделать вывод о соответствии -теоретических представлений данным эксперимента, определить вид функциональной -зависимости измеряемой величины. -\end{block} -\end{frame} - -\section{Сигналы и их виды} -\begin{frame}{Сигналы и их виды} -\begin{defin} -Если некоторая изменяющаяся величина измеряется непрерывно (или квазинепрерывно), мы -имеем дело с потоком информации, или\ж сообщением\н. -В теории информации физический процесс, значения параметров которого отображают -передаваемое сообщение, называется\ж сигналом\н. -\end{defin} -\begin{block}{} -Модуляция--демодуляция. Зашумление. -{\bf Помехи}: аддитивные, мультипликативные, фазовые. -\end{block} -\end{frame} -\begin{frame}{Виды сигналов} -\only<1>{ -\begin{block}{Аналоговый} -Описывается непрерывной (или кусочно--непрерывной) функцией $x(t)$: $t\in[t_0,t_1]$, -$x\in[x_0,x_1]$. Аудиосигналы, телевизионные сигналы. -\end{block} -\img[0.3]{oscill} -} -\only<2>{ -\begin{block}{Дискретный} -Описывается решетчатой функцией (последовательностью, временн\'ым рядом) $x(nT)$: $x\in[x_0,x_1]$, -$n=\overline{1,N}$, $T$~--\к интервал дискретизации\н. Величину $f=1/T$ -называют\к частотой дискретизации\н. Если интервал дискретизации является -постоянной величиной, дискретный сигнал можно задать в виде ряда $\{x_1,\ldots, x_N\}$. -\end{block} -\img[0.6]{disc_sig} -} -\only<3>{ -\begin{block}{Цифровой} -Описывается квантованной решетчатой функцией и отличается от обычного дискретного сигнала тем, что -каждый уровень квантования кодируется двоичным кодом. Таким образом, если -величина $x\in[x_0,x_1]$ квантуется $N$~разрядным кодом, для -обратного представления из кода $K_x$ в значение $x$ применяется -преобразование: $x=x_0+K_x\cdot (x_1-x_0)/2^{N}$. К цифровым сигналам относятся -сигналы, используемые в системах связи с импульсно--кодовой модуляцией. -\end{block} -\img[0.4]{digital_signal} -} -\end{frame} - - -\begin{frame}{Дискретизация} -\begin{block}{} -Дискретизация строит по заданному аналоговому сигналу $x(t)$ дискретный сигнал $x_n(nT)$, причем -$x_n(nT)=x(nT)$. Операция\ж восстановления\н состоит в том, что по заданному дискретному сигналу -строится аналоговый сигнал. -\end{block} -\begin{block}{Теорема Котельникова--Найквиста} -\begin{itemize} -\item любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным -отсчётам, взятым с частотой $f > 2f_c$, где $f_c$~-- максимальная частота, которой ограничен спектр -реального сигнала; -\item если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации -(наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не -существует. -\end{itemize} -\end{block} -\end{frame} - - -\begin{frame}{Теорема Котельникова--Найквиста} -\begin{block}{} -$$X_{s}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi -nTf}$$ -$$X(f) = \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot -e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]\right\}}$$ -\end{block} -\begin{columns}\column{0.5\textwidth} -\img{ReconstructFilter} -\column{0.5\textwidth} -\begin{block}{Формула Уиттекера--Шеннона} -$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{T}(t-nT)\right]$$ -\end{block} -\end{columns} -\end{frame} - - -\begin{frame}{Квантование} -\begin{defin} -Для преобразования дискретного сигнала в цифровой вид применяется операция\ж квантования\н или\ж -аналогово--цифрового преобразования\н~(АЦП), которая по заданному дискретному сигналу $x_n(nT)$ -строит цифровой кодированный сигнал $x_d(nT)$, причем $x_n(nT)\approx x_d(nT)$. Обратная квантованию -операция называется операцией\ж цифро--аналогового преобразования\н~(ЦАП). -\end{defin} -\only<1>{\img[0.7]{ADC}} -\only<2>{\img{DAC}} -\end{frame} - - -\section{Методы анализа сигналов} -\begin{frame}{Методы анализа сигналов} -\begin{block}{Группы методов} -\begin{description} -\item[В пространственной области] над сигналом производят какие--либо преобразования, одинаковые -для всего сигнала (аддитивные, мультипликативные или матричные) --- бинаризация, гистограммы, -свертка, выделение компонент, сглаживание\dots -\item[В частотной области] работа производится не с сигналом, а с его спектром (обычно Фурье) --- -свертка через Фурье, сглаживание \slash фильтрация, выделение деталей, деконволюция\dots -\end{description} -\end{block} -\begin{block}{} -Процесс зашумления сигнала $x(t)$ импульсной (аппаратной) функцией шума $n(t)$ описывается -сверткой: -$x'(t)=x(t)\otimes n(t)$. В пространстве Фурье: -$$\FT{x'(t)}=\FT{x(f)}\cdot\FT{n(t)}\text{ или }X'(f)=X(f)\cdot N(f).$$ -$N(f)$~-- передаточная функция. -\end{block} -\end{frame} - - -\begin{frame}{Вейвлет--анализ} -\only<1>{\begin{block}{} -Локализованный в пространственной и частотной области набор ортонормированных функций. -$$T_{m,n}=\int\limits_{-\infty}^{\infty }x(t)\,\psi_{m,n}^{*}(t)\,dt,$$ -$$x(t)=K_{\psi}\sum\limits_{m=-\infty }^{\infty }\sum\limits_{n=-\infty -}^{\infty}T_{m,n}\psi_{m,n}(t).$$ -\end{block}} -\only<2>{\img{Continuous_wavelet_transform}} -\only<3>{\begin{block}{}Детализирующие и аппроксимирующие коэффициенты\end{block} -\img[0.5]{wavelet_img}} -\end{frame} - - -\section{Обзор программы} -\begin{frame}{Обзор программы} -\tableofcontents[currentsection,hideothersubsections,sectionstyle=hide] -\end{frame} - - -\subsection{Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения} -\begin{frame}{Статистика и вероятность} -\begin{block}{} -Вероятность, плотность вероятности, закон больших чисел, характеристики набора случайных величин, -законы распределения, корреляция и ковариация, шум, SNR. -\end{block} -\img[0.7]{binopdf} -\end{frame} - - -\subsection{Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности} -\begin{frame}{Теория физических измерений} -\begin{block}{} -Меры и значения величин, абсолютная и относительная погрешности, промахи, систематические и -случайные погрешности, класс точности прибора, доверительный интервал, критерий Стьюдента, правила -вычисления погрешностей косвенных измерений, аппроксимация наименьшими квадратами. -\end{block} -\img[0.7]{lesssquare} -\end{frame} - - -\subsection{Теория оценок} -\begin{frame}{Теория оценок} -\begin{block}{} -Правило ,,трех сигм``, теорема Ляпунова, распределение $\chi^2$, распределение Стьюдента, оценки: -их виды и надежность. -\end{block} -\img[0.5]{chi2} -\end{frame} - -\subsection{Системы уравнений. Степенные и дифференциальные уравнения} -\begin{frame}{Системы уравнений} -\begin{block}{} -Методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя, наименьших квадратов, -численные методы; степенные и прочие нелинейные уравнения и метод бисекции; численное -интегрирование (прямоугольник, трапеция, Симпсона); обыкновенные дифференциальные уравнения. -\end{block} -\img[0.4]{bisect} -\end{frame} - - -\subsection{Анализ временных рядов. Фурье-- и Вейвлет--анализ} -\begin{frame}{Анализ временных рядов} -\begin{block}{} -Аппроксимация, интерполяция, сплайны, преобразование Лапласа, Z--преобразования, ряды Фурье, -Фурье--преобразование, Фурье--фильтрация, вейвлет--анализ и вейвлет--фильтрация. -\end{block} -\img[0.7]{Four-filter} -\end{frame} - - -\subsection{Обработка изображений} -\begin{frame}{Обработка изображений} -\vspace{-2em} -\begin{block}{} -Цифровые изображения, модели цветовых пространств; преобразования в пространственной области: -логарифмическое преобразование, растяжение контрастности, свертка с различными масками, медианный -фильтр; гистограмма и эквализация гистограммы; преобразования в частотной области: ДПФ, частотные -фильтры; ФРТ и ОПФ; адаптивная медианная фильтрация; инверсная и винеровская фильтрация; -геометрические преобразования изображений; вейвлет--преобразования; морфологические операции; -проблема распознавания изображений. -\end{block} -\smimg[0.33]{Noiced} -\smimg[0.33]{MF3} -\smimg[0.33]{MF5} -\end{frame} - -\section{Литература} -\begin{frame}{Основная литература} -\begin{thebibliography}{9} -\bibitem{} Интернет--энциклопедия: http:/\!/wikipedia.org (Википедия). -\bibitem{} Гонсалес~Р., Вудс~Р. Цифровая обработка изображений.~--- М.: Техносфера, 2012.~--- -1104~с. -\bibitem{} Витязев~В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие.~--- -СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2001.~--- 58~с. -\bibitem{} Гонсалес~Р., Вудс~Р., Эддинс~С. Цифровая обработка изображений -в среде MATLAB.~--- М.: Техносфера, 2006~--- 616~с. -\bibitem{} Гмурман~В.\,Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -Учеб. пособие для вузов.~--- Изд. 7-е, стер.~--- М.: Высш. шк., 2001.~--- 479~с. -\bibitem{} Говорухин~В., Цибулин~В. Компьютер в математическом исследовании. -Учебный курс.~--- СПб.: Питер, 2001.~--- 624~с. -\bibitem{} Сергиенко~А.\,Б. Цифровая обработка сигналов.~--- СПб.: Питер, 2005.~--- -604~с. -\bibitem{} Чен~К., Джиблин~П., Ирвинг~А. MATLAB в математических исследованиях: -Пер. с англ.~--- М.: Мир, 2001.~--- 346~с. -\end{thebibliography} -\end{frame} - -\begin{frame}{Дополнительная литература} -\begin{thebibliography}{9} -\bibitem{} Бахвалов~Н.\,С., Жидков~Н.\,П., Кобельков~Г.\,М. Численные методы.~--- -М.: Высш. шк., 1987.~--- 630~с. -\bibitem{} Кнут~Д.\,Э. Все про \TeX./ Пер. с англ. М.\,В.~Лисиной.~--- -Протвино: АО~RD\TeX, 1993.~--- 592~с.: ил. -\bibitem{} Львовский~С.\,М. Набор и верстка в системе \LaTeX.~--- 3-е изд., -исрп. и доп.~--- М.: МЦНМО, 2003.~--- 448~с. -\bibitem{} Физическая энциклопедия/ Гл. ред. А.М.~Прохоров.~--- М.: Сов. -энциклопедия. Тт. I~--~V. 1988. -\bibitem{} Цифровая обработка сигналов: Справочник/ Л.М.~Гольденберг, -Б.Д.~Матюшкин, М.Н.~Поляк.~--- М.: Радио и связь, 1985.~--- 312~с., ил. -\bibitem{} Pan~G.\,W. Wavelets in electromagnetic and device modeling.~--- -John~Wiley \& Sons, Inc., Hobocen, New Jersey, 2003.~--- 531~p. -\end{thebibliography} -\end{frame} - - -\begin{frame}{Спасибо за внимание!} -\centering -\begin{minipage}{5cm} -\begin{block}{mailto} -eddy@sao.ru\\ -edward.emelianoff@gmail.com -\end{block}\end{minipage} -\end{frame} -\end{document} diff --git a/Komp_obr/02-statistics.pdf b/Komp_obr/02-statistics.pdf deleted file mode 100644 index af09aaf..0000000 Binary files a/Komp_obr/02-statistics.pdf and /dev/null differ diff --git a/Komp_obr/02-statistics.tex b/Komp_obr/02-statistics.tex deleted file mode 100644 index 31b18e1..0000000 --- a/Komp_obr/02-statistics.tex +++ /dev/null @@ -1,319 +0,0 @@ -\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer} -\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen} -\usepackage{lect} - -\title[Компьютерная обработка. Лекция 2]{Компьютерная обработка результатов измерений} -\subtitle{Лекция 2. Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения} -\date{12 июля 2016 года} - -\begin{document} -% Титул -\begin{frame} -\maketitle -\end{frame} -% Содержание -\begin{frame} -\tableofcontents -\end{frame} - -\section{Случайные величины, вероятность} -\begin{frame}{Случайные величины, вероятность} -\begin{defin} -\ж Случайной величиной\н называется величина~$X$, если все ее возможные значения образуют конечную -или бесконечную последовательность чисел~$x_1,\ldots$, $x_N$, и если принятие ею каждого из этих -значений есть случайное событие. -\end{defin} -\begin{defin}\begin{columns}\column{0.75\textwidth} -\ж Вероятность\н наступления данного события~--- это предел относительной частоты наступления -данного события~$n_k/N$:\column{0.25\textwidth} -$$P(x_k)=\lim_{N\to\infty}\frac{n_k}{N}.$$ -\end{columns} -\end{defin} -\begin{block}{} -Совместные и несовместные события, полная группа, свойства вероятности. -Для непрерывных случайных величин вводят понятие\ж плотности вероятности\н: -$$\rho(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{P(x{\begin{block}{Медиана и мода} -{\ж Мода}~--- наиболее часто встречающееся значение (но вполне могут быть мультимодальные -распределения). {\ж Медиана} делит площадь распределения пополам. -\end{block} -\img[0.6]{mode_median}} -\only<2>{\begin{block}{Моменты} -Если $f(x)=(x-x_0)^n$, то $\mean{f(x)}$~--- момент порядка~$n$. Если $x_0=0$~--- начальный -момент, если $x_0=\mean{X}$--- центральный момент. - -Моменты нулевого порядка равны~1, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию -случайной величины; центральный момент первого порядка равен нулю. - -Центральный момент второго порядка называют\ж дисперсией\н: $D(X)=\mean{(x-\mean{x})^2}\equiv -\mean{x^2}-\mean{x}^2$, $\sigma=\sqrt{D}$. - -\smallskip - -Свойства дисперсии: -\begin{itemize} -\item $D(\const)=0$; -\item $D(\const X)=C^2 D(X)$, где $\C$~-- постоянная величина; -\item $D(\sum X_n)=\sum D(X_n)$. -\end{itemize} -\end{block} -} -\end{frame} - -\section{Законы распределения} -\begin{frame}{Законы распределения} -\begin{defin} -\ж Закон распределения\н \к дискретной\н случайной величины~--- соответствие между возможными -значениями и их вероятностями. -\end{defin} -\begin{block}{Функция распределения} -$$F(x)\equiv P(X\le x)=\Int_{-\infty}^x\phi(x)\,dx, \qquad -\Infint\phi(x)\,dx=1.$$ -$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a).$$ -\end{block} -\end{frame} - -\begin{frame}{Равномерное распределение} -\begin{columns}\column{0.45\textwidth} -\begin{block}{} -$$ -\phi(x)=\begin{cases}\frac1{b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] -\end{cases}. -$$ -$$F(x)= \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \le x < b \\ 1, & x \ge -b \end{cases}. -$$ -\end{block}\column{0.45\textwidth} -\begin{block}{} -$\mean{X}=\med(X)=(a+b)/2$, $\moda(X)=\forall x\in[a,b]$, -$\displaystyle\sigma^2_X = \frac{(b-a)^2}{12}$. -\end{block} -\end{columns} - -\smimg[0.45]{Uniform_distribution_PDF}\hspace{3pt} -\smimg[0.45]{Uniform_distribution_CDF} -\end{frame} - -\begin{lightframe}{Биномиальное распределение} -\vspace*{-0.8em}\begin{block}{} -\ж Формула Бернулли\н: -$\displaystyle P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad -q=1-p.$ -$$(p+q)^n=C_n^n p^n+\cdots+C_n^k p^k q^{n-k}+\cdots+C_n^0 q^k.$$ -Описывает вероятность наступления события~$k$ -раз в~$n$ независимых испытаниях -\end{block}\vspace*{-1em} -\begin{columns} -\column{0.45\textwidth} -\img{Binomial_Distribution} -\column{0.55\textwidth} -\begin{block}{} -$$ -F(k;n,p)=P(X\leq k)=\sum_{i=0}^\floor{k} C_n^i p^i(1-p)^{n-i}.$$ -$\mean{X}=np$, $\moda(X)=\floor{(n+1)p}$, $\floor{np}\le\med(X)\le\ceil{np}$, -$\sigma^2_X = npq$. -\end{block} -\end{columns} -\end{lightframe} - -\begin{frame}{Распределение Пуассона} -\vspace*{-2em}\begin{block}{} -При $n\to\infty$ распределение Бернулли преобразуется в распределение Пуассона ($\lambda=np$): -$$P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\exp(-\lambda).$$ -\end{block} -\begin{columns}\column{0.48\textwidth} -\begin{block}{} -$F(k, \lambda) = \displaystyle\frac{\Gamma(k+1,\lambda)}{k!}$, -$\mean{X} = \lambda$, $\moda(X) = \floor{\lambda}$, -$\med{X}\approx\floor{\lambda+1/3-0.02/\lambda}$, -$\sigma^2_X = \lambda$. - -С ростом $\lambda$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса. -\end{block} -\column{0.48\textwidth} -\img{poissonpdf} -\end{columns} -\end{frame} - -\begin{frame}{Распределение Гаусса} -\vspace*{-2em}\begin{block}{} -$$ -\phi (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x -\mean{x})^2}{2 -\sigma^2} \right) -$$ -\end{block} -\vspace*{-1em}\begin{block}{} -$F(x) = \displaystyle\frac 1{\sigma \sqrt {2 \pi}} \Int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t --\mean{x})^2}{2 \sigma^2} \right)\, dt$, -$\moda(X) = \med{X} = \mean{X}$. -\end{block} -\vspace*{-1em}\img[0.6]{normpdf} -\end{frame} - -\begin{frame}{Показательное (экспоненциальное) распределение} -\vspace*{-1em}\begin{block}{} -Время между двумя последовательными свершениями события -$$f(x)=\begin{cases} -0,& x<0,\\ -\lambda\exp(-\lambda x),& x\ge0; -\end{cases}\qquad -F(x)=\begin{cases} -0,& x<0,\\ -1-\exp(-\lambda x),& x\ge0, -\end{cases} -$$ -\end{block} -\vspace*{-1em}\begin{block}{} -$\mean{X} = \lambda^{-1}$, -$\moda(X) = 0$, $\med{X} = \ln(2)/\lambda$, -$\sigma^2_X = \lambda^{-2}$. -\end{block} -\vspace*{-1em}\img[0.5]{exppdf} -\end{frame} - -\section{Корреляция и ковариация} -\begin{frame}{Корреляция и ковариация} -\begin{defin} -\ж{}Ковариация\н является мерой линейной зависимости случайных величин и определяется формулой: -$\mathrm{cov}(X,Y)=\mean{(X-\mean{X})(Y-\mean{Y})}$ $\Longrightarrow$ $\mathrm{cov}(X,X) = -\sigma^2_X$. -\к Ковариация независимых случайных величин равна нулю\н, обратное неверно. -\end{defin} -\begin{block}{} -Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения второй имеют -тенденцию возрастать, а если знак отрицательный~--- убывать. - -Масштаб зависимости величин пропорционален их дисперсиям $\Longrightarrow$ масштаб можно -отнормировать (\ж{}коэффициент корреляции\н Пирсона): -$$\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma X\sigma Y}, \qquad \mathbf{r}\in[-1,1].$$ -\end{block} -\end{frame} - -\begin{frame}{} -\begin{block}{} -Коэффициент корреляции равен~$\pm1$ тогда и только тогда, когда~$X$ и~$Y$ линейно зависимы. Если -они независимы, $\rho_{X,Y}=0$ (\ж{}обратное неверно!\н). Промежуточные значения коэффициента -корреляции не позволяют однозначно судить о зависимости случайных величин, но позволяет предполагать -степень их зависимости. -\end{block} -\begin{block}{Корреляционная функция} -Одна из разновидностей~---\ж автокорреляционная функция\н: -$$ -\Psi(\tau) = \Int f(t) f(t-\tau)\, dt\equiv -\Int f(t+\tau) f(t)\,dt. -$$ -Для дискретных случайных величин автокорреляционная функция имеет вид -$$ -\Psi(\tau) = \aver{X(t)X(t-\tau)}\equiv\aver{X(t+\tau)X(t)}. -$$ -\end{block} -\end{frame} - -\begin{blueframe}{} -\begin{block}{Взаимно корреляционная функция} -Другая разновидность~---\ж кросс--корреляционная функция\н: -$$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f^{*}(\tau)g(t+\tau)\,d\tau$$ -свертка: -$$ (f*g)(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Infint f(y)\,g(x-y)\,dy = \Infint f(x-y)\,g(y)\, dy.$$ - -\end{block} -\img[0.5]{convcorr} -\end{blueframe} - -\begin{frame}{} -\begin{block}{} -Если $X$ и $Y$~--- два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей -$f$ и $g$, то $f\star g$ соответствует распределению вероятностей выражения $-X+Y$, а $f*g$~--- -распределению вероятностей суммы $X + Y$. - -ВКФ часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной, -определения сдвига (см.~рис). - -Связь со сверткой: $f(t)\star g(t) = f^*(-t) * g(t)$, если $f$ и $g$ четны, то -$f(t)\star g(t) = f(t) * g(t)$. Через преобразование Фурье: -$\FT{f \star g} = \FT{f}^*\cdot\FT{g}$. -\end{block}\img[0.6]{autocorr} -\end{frame} - -\section{Шум} -\begin{frame}{Шум} -\begin{defin} -\ж Шум\н~--- беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложной временной и -спектральной структурой. -\end{defin} -\begin{block}{} -\ж Белый шум\н, $\xi(t)$, имеет время корреляции много меньше всех характерных времен физической -системы; $\mean{\xi(t)}=0$, $\Psi(t,\tau)=\aver{\xi(t+\tau)\xi(t)}=\sigma^2(t)\delta(\tau)$. -Разновидность~--- AWGN. - -\ж Дробовой шум\н имеет пуассонову статистику~\so $\sigma_X\propto\sqrt{x}$ и -$\SNR(N)\propto\sqrt{N}$. Суточные и вековые корреляции. - -Шум вида \ж<<соль--перец>>\н обычно характерен для изображений, считываемых с ПЗС. -\end{block} -\end{frame} -\begin{frame}{SNR} -\begin{defin} -\ж SNR\н~--- безразмерная величина, равная отношению мощности полезного сигнала к мощности шума. -\end{defin} -\begin{block}{} -$$\SNR = {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}} = \left ({A_\mathrm{signal} \over -A_\mathrm{noise} } \right )^2, \quad -\SNR(dB) = 10 \lg \left ( {P_\mathrm{signal} \over P_\mathrm{noise}} -\right ) -= 20 \lg \left ( {A_\mathrm{signal} \over A_\mathrm{noise}} \right ). -$$ -\end{block} - -\img[0.6]{SNR} -\centerline{\tiny (10, 0, -10~дБ.)} -\end{frame} - - -\begin{frame}{Спасибо за внимание!} -\centering -\begin{minipage}{5cm} -\begin{block}{mailto} -eddy@sao.ru\\ -edward.emelianoff@gmail.com -\end{block}\end{minipage} -\end{frame} -\end{document} diff --git a/Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.pdf b/Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.pdf index 1710e13..d38a20e 100644 Binary files a/Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.pdf and b/Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.pdf differ diff --git a/Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.tex b/Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.tex index 3f3e261..397bc64 100644 --- a/Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.tex +++ b/Komp_obr/03-phis_measurements,04-estimation.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \title[Компьютерная обработка. Лекции 3, 4.]{Компьютерная обработка результатов измерений} \subtitle{Лекция 3. Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности.\\ Лекция 4. Теория оценок.} -\date{28 сентября 2016 года} +\date{22 марта 2021 года} \begin{document} % Титул @@ -21,7 +21,7 @@ \section{Измерения и величины} \begin{frame}{Измерения и величины} \begin{defin} -\ж Мерой\н называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения значения +\ж Мерой\н называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения значения физической величины. Результатом сравнения оцениваемой вещи с мерой является именованное число, называемое\ж значением величины\н. @@ -42,21 +42,21 @@ \begin{description} \only<1>{ \item[Прямое] при котором искомое значение физической величины получают непосредственно. -\item[Косвенное] на основании результатов прямых измерений других физических величин, +\item[Косвенное] на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной. -\item[Совместные] проводимые одновременно для нескольких неодноименных величин для определения +\item[Совместные] проводимые одновременно для нескольких неодноименных величин для определения зависимости между ними. -\item[Совокупные] при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, +\item[Совокупные] при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях. \item[Равноточные] выполненные одинаковыми по точности средствами измерений. -\item[Неравноточные] выполненных различающимися по точности средствами измерений и (или) в разных +\item[Неравноточные] выполненных различающимися по точности средствами измерений и (или) в разных условиях.} \only<2>{ \item[Однократное, многократное] -\item[Статическое] для величины, принимаемой в соответствии с конкретной измерительной задачей за +\item[Статическое] для величины, принимаемой в соответствии с конкретной измерительной задачей за неизменную на протяжении времени измерения. \item[Динамическое] для изменяющейся по размеру физической величины. -\item[Абсолютное] основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных +\item[Абсолютное] основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных величин и (или) использовании значений физических констант. \item[Относительное] сравнение с эталонными мерами.} \end{description} @@ -77,17 +77,17 @@ \begin{frame}{Погрешность} \only<1>{ \begin{defin} -\ж Погрешность\н --- отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) -значения. +\ж Погрешность\н --- отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) +значения. \end{defin} \begin{block}{} -Абсолютная погрешность, $\Delta x$ (напр., RMS); относительная погрешность, $\delta x=\Delta +Абсолютная погрешность, $\Delta x$ (напр., RMS); относительная погрешность, $\delta x=\Delta x/\mean{x}$; приведенная погрешность $\gamma x=\Delta x/N_x$ (нормировочный коэффициент). \end{block} \begin{block}{По причине возникновения} \begin{description} \item[Инструментальные] определяются погрешностями применяемых средств измерений. -\item[Методические] обусловлены несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу +\item[Методические] обусловлены несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики. \item[Субъективные] обусловлены качествами экспериментатора. \end{description} @@ -96,15 +96,15 @@ x/\mean{x}$; \begin{block}{По характеру проявления} \begin{description} \item[Случайные] обусловлены совокупностью внешних факторов, влияющих на результат эксперимента. -\item[Систематические] связаны с влиянием прибора на измеряемую величину или методическими +\item[Систематические] связаны с влиянием прибора на измеряемую величину или методическими ошибками, выявляются лишь сменой прибора\slash метода\slash экспериментатора. -\item[Промахи] наиболее сильно себя проявляют и связаны с неисправностью прибора или +\item[Промахи] наиболее сильно себя проявляют и связаны с неисправностью прибора или экспериментатора. \end{description} \end{block} \begin{block}{Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического} $$ -\sigma_{\mean{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}= +\sigma_{\aver{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}= \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(\mean{x_i}-\aver{x})^2}{n(n-1)}}. $$ \end{block} @@ -117,38 +117,54 @@ $$ $p = P(X_0 \le x \le X_1)$ \end{block} \begin{block}{Математическое ожидание} -Если известен закон распределения (мат. ожидание и дисперсия: $\mu$ и $\sigma$), то -$$P\Bigl(\mean{X}-z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le - \mean{X}+z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$ +Если известен закон распределения (мат. ожидание и дисперсия: $\mu$ и $\sigma$), то +$$P\Bigl(\aver{X}-z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le + \aver{X}+z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$ где $z_\alpha$~-- $\alpha$--квантиль нормального распределения \end{block} \column{0.4\textwidth} \img{Boxplot_vs_PDF} -Квантили: первый, второй (медиана) и третий. +Квартили: первый (0.25-квантиль), второй (0.5-квантиль, медиана) и третий (0.75-квантиль). \end{columns} } \only<2>{ + \begin{defin}\ж $\alpha$--квантилем\н называется число $x_\alpha$: + $P(X\le x_\alpha)\ge\alpha$ и $P(X\ge x_\alpha)\ge1-\alpha$. Т.е. по интегральной функции распределения + $F(x_\alpha)=\alpha$. А т.к. $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$, получаем: + $$P(x_{1-\frac{\alpha}2}\le X\le x_{1+\frac{\alpha}2})=\alpha.$$ + \end{defin} +\begin{block}{Пример} +В 64 наблюдениях получено: $S_1=\sum x=600$, $S_2=\sum (x-\mean{x})^2=3800$. Вычислить 90\% доверительный +интервал +матожидания. + +Решение: $\sigma=\sqrt{S_2/(n-1)}=7.72$; $\aver{x}=S_1/n=9.375$. $F(0.05)=1.96$, отсюда найдем границы интервала +$\aver{x}\pm F(0.05)\sigma/\sqrt{n}$: +$\mean{x}\in[7.484, 11.266]$ с точностью 90\%. +\end{block} +} +\only<3>{ \begin{block}{Математическое ожидание} Если закон распределения неизвестен, то $$P\Bigl(\mean{X}-t_{1-\frac{\alpha}2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \mean{X}+t_{1-\frac{\alpha}2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$ где $S$~-- несмещенный RMS. Величина -$$T=\frac{\mean{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$ имеет распределение Стьюдента, а $t_{\alpha, n-1}$~-- его +$$T=\frac{\mean{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$ имеет распределение Стьюдента, а $t_{\alpha, n-1}$~-- его квантили. -Пример: $\mean{X}=10$, $S_n=2$, $n=11$ (10~степеней свободы), по таблице для двухстороннего +Пример: $\mean{X}=10$, $S_n=2$, $n=11$ (10~степеней свободы), по таблице для двухстороннего распределения Стьюдента с вероятностью~95\% $T_{10}^{95}=2.228$. Тогда доверительный интервал есть $\mean{X}\pm TS_n/\sqrt{n}$, т.е. $\mu\in(8.6565, 11.3440)$. \end{block} } -\only<3>{ +\only<4>{ \begin{block}{Дисперсия} Если известно среднее, можно воспользоваться распределением $\chi^2$. $$ P\Biggl(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n}}\le\sigma^2\le \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n}}\Biggr)=\alpha. $$ -Если же среднее неизвестно, то +Если же среднее неизвестно, то $$ P\Bigl(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n-1}}\le\sigma^2\le \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n-1}}\Bigr)=\alpha. @@ -160,9 +176,9 @@ $$ \begin{frame}{Правила вычисления погрешностей} \begin{block}{} \begin{enumerate} -\item +\item $$\Delta\bigl(\sum a_n\bigr)=\sum\Delta a_n.$$ -\item +\item $$\prod(a_i\pm\Delta a_i)=\prod a_i\prod(1\pm\delta a_i)\approx \prod a_i(1\pm\sum\delta a_i),$$ $$\bigl(a[1\pm\delta a]\bigr)^n\approx a^n(1\pm n\delta a).$$ @@ -183,11 +199,11 @@ $$ \section{Метод наименьших квадратов} \begin{frame}{Метод наименьших квадратов} \begin{block}{} -Пусть имеется функция $f(x|a)$, зависящая от аргумента $x$ и набора параметров~$a$. Данной функции -соответствует набор пар данных $(x_n,y_n)$, причем $y_n=f(x_n|a)+\epsilon_n$, где $\epsilon_n$~-- -случайная ошибка. Математическое ожидание ошибки $\mean{\epsilon}=0$, ее среднеквадратическое -отклонение равно~$\sigma_n$. Для оценки~$a$ (аппроксимации набора данных заданной функцией) -необходимо минимизировать выражение +Пусть имеется функция $f(x|a)$, зависящая от аргумента $x$ и набора параметров~$a$. Данной функции +соответствует набор пар данных $(x_n,y_n)$, причем $y_n=f(x_n|a)+\epsilon_n$, где $\epsilon_n$~-- +случайная ошибка. Математическое ожидание ошибки $\mean{\epsilon}=0$, ее среднеквадратическое +отклонение равно~$\sigma_n$. Для оценки~$a$ (аппроксимации набора данных заданной функцией) +необходимо минимизировать выражение $$\Phi=\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{y_n-f(x_n|a)}{\sigma^2_n}\Bigr)^2.$$ При этом подразумевается, что число измерений превышает число параметров~$a$. \end{block} @@ -195,7 +211,7 @@ $$\Phi=\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{y_n-f(x_n|a)}{\sigma^2_n}\Bigr)^2.$$ \begin{frame}{Пример: линейная зависимость} \begin{block}{} -Пусть $y=ax+b$, $x_n$ известны с пренебрежимо малой погрешностью, $y_n$~-- результаты измерений +Пусть $y=ax+b$, $x_n$ известны с пренебрежимо малой погрешностью, $y_n$~-- результаты измерений с нормальным распределением, $\mean{y_i}=ax_i+b$. Минимизируем величину $Y=\sum(y_i-\mean{y_i})^2$, $\partder{Y}{a}=0$, $\partder{Y}{b}=0$: $$ @@ -221,16 +237,16 @@ $$ \only<1>{\img{lesssquare}} \only<2>{ \begin{block}{} -Некоторые зависимости, можно свести к линейным. Например, $y=\e^{ax+b}$ \so $\ln y=ax+b$. +Некоторые зависимости, можно свести к линейным. Например, $y=\e^{ax+b}$ \so $\ln y=ax+b$. -Возможно также сведение зависимостей к системам линейных уравнений $A\vec{x}=\vec{b}$, ранг матрицы -$A$ должен быть больше количества искомых переменных. Минимизируем +Возможно также сведение зависимостей к системам линейных уравнений $A\vec{x}=\vec{b}$, ранг матрицы +$A$ должен быть больше количества искомых переменных. Минимизируем $(A\vec{x}-\vec{b})^T(A\vec{x}-\vec{b})$, что приводит к системе уравнений $$ A^TA\vec{x}=A^T\vec{b}\quad\so\quad \vec{x}=(A^TA)^{-1}A^T\vec{b}. $$ -Или $\vec{x}=A^{+}\vec{b}$ (псевдообратная матрица), в Octave~--- <<левое деление>> $A\backslash +Или $\vec{x}=A^{+}\vec{b}$ (псевдообратная матрица), в Octave~--- <<левое деление>> $A\backslash b$. \end{block} } @@ -257,20 +273,42 @@ A = T\y \section{Правило <<трех сигм>>} \begin{frame}{Правило <<трех сигм>>} \begin{block}{} -При гауссовом распределении случайной величины вероятность +При гауссовом распределении случайной величины вероятность $$P(|x-\mean{x}|<3\sigma)=2\Phi(3)=0.9973.$$ ($\Phi$~-- нормальное интегральное распределение). \end{block} \begin{defin} -\ж Правило трех сигм\н: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее +\ж Правило трех сигм\н: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения. \end{defin} \begin{defin} -\ж Теорема Ляпунова\н: случайная величина, являющаяся суммой большого числа взаимно независимых +\ж Теорема Ляпунова\н: случайная величина, являющаяся суммой большого числа взаимно независимых случайных величин, имеет нормальное распределение. \end{defin} \end{frame} +\section{Иррегулярно распределенные данные} +\begin{frame}{} +\begin{columns} +\column{0.65\textwidth} +\begin{block}{Иррегулярно распределенные данные} +БПФ, корреляция, периодограммы и т.п. +\begin{itemize} +\item Resampling (если данные достаточно плотно расположены). +\item Определение периода как расстояния между минимумами (максимумами) из аппроксимации. +\item Auto Regressive Moving Average (ARMA). +\item Фильтрация Калмана. +\item Метод Ваничека (аппроксимация набора данных рядом синусоид). +\item Периодограмма Ломба-Скаргла (ортогонализация пар синусоид введением задержки во времени, +Scargle, 1981). +\item Irregular Autoregressive Model (IAR). +\item Complex IAR (CIAR). +\end{itemize} +\end{block} +\column{0.32\textwidth} +\vspace*{-2em}\img{irregular} +\end{columns} +\end{frame} \begin{frame}{Спасибо за внимание!} \centering diff --git a/Komp_obr/05-sistur.pdf b/Komp_obr/05-sistur.pdf index bd2076b..2de3c54 100644 Binary files a/Komp_obr/05-sistur.pdf and b/Komp_obr/05-sistur.pdf differ diff --git a/Komp_obr/05-sistur.tex b/Komp_obr/05-sistur.tex index 2b88aea..fa15bf6 100644 --- a/Komp_obr/05-sistur.tex +++ b/Komp_obr/05-sistur.tex @@ -3,10 +3,10 @@ \usepackage{ed} \usepackage{lect} -\title[Компьютерная обработка. Лекция 5.]{Компьютерная обработка результатов +\title[Компьютерная обработка. Лекция 5.]{Компьютерная обработка результатов измерений} \subtitle{Лекция 5. Системы уравнений} -\date{29 сентября 2016 года} +\date{22 марта 2021 года} \begin{document} % Титул @@ -34,9 +34,9 @@ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2&+\cdots+a_{nn}x_n&=b_n. $$ \end{defin} \begin{defin} -Если существует вектор--столбец~$\B x$, обращающий выражение~$\B{Ax=b}$ в тождество, говорят, +Если существует вектор--столбец~$\B x$, обращающий выражение~$\B{Ax=b}$ в тождество, говорят, что~$\B x$ является\ж решением\н данной системы уравнений. -$|\B A|\ne0$. +$\mathrm{det}\,A\equiv |\B A|\ne0$. \end{defin} \end{frame} @@ -45,14 +45,19 @@ $|\B A|\ne0$. $\delta=\B{Ax-b}$. Приближенные методы: $\mathrm{min}(\delta)$. Точные методы: $\delta=0$.\\ \end{block} -\begin{block}{Метод простой итерации} -$\B{x=Bx+c}$, $\B x_{n+1}=\B B\B x_n+\B c$.\\ -Сложностью метода простой итерации при решении матриц больших размерностей является особое свойство -таких матриц~--- существование\к почти собственных значений\н, $\lambda$: -$||\B{Ax}-\lambda\B x||\le\epsilon||\B x||$ при $||\B x||\ne0$.\\ -\end{block} \begin{block}{Матричный метод} -$\B x = \B A^{-1}\B b$ +$\B x = \B A^{-1}\B b$\\ +$\B A \cdot \B A^{-1} = \B A^{-1} \cdot \B A = \B E$. +Нахождение обратной матрицы: +\begin{itemize} +\item с помощью присоединенной: $(\B A | \B E )$ \so $(\B E | \B A^{-1})$; +\item $\B A^{-1} = \dfrac{\mathrm{adj\,}\B A}{|\B A|}$, присоединенная матрица $\mathrm{adj\,}\B A$ +является транспонированной матрицей алгебраических дополнений ($(-1)^{i+j}M_{ij}$, $M_ij$~-- +соответствующий дополнительный минор~--- определитель матрицы с вычеркнутыми $i$-й строкой и $j$-м +столбцом). +\item и т.д., и т.п. +\end{itemize} +Формулы Крамера: $x_j = |A_j|/|A|$, $A_j$ получается из $A$ заменой $j$-го столбца на $\B b$. \end{block} } \only<2>{ @@ -82,20 +87,19 @@ $N\propto n^3$~--- \end{block} } \only<3>{ -\begin{block}{} -\ж Метод Зейделя\н: \\ +\begin{block}{Метод Зейделя} $$\B{Bx}_{n+1}+\B{Cx}_n=\B b,$$ где $$\B B=\begin{pmatrix} a_{11}&0&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&0&\cdots&0\\ -\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mm} \end{pmatrix},\qquad \B C=\begin{pmatrix} 0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1m}\\ 0&0&a_{23}&\cdots&a_{2m}\\ -\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}. $$ @@ -104,6 +108,49 @@ $$\B x_{n+1}=-\B B^{-1}\B{Cx}_n +\B B^{-1}\B b.$$ \end{block} } \only<4>{ +\begin{block}{LU-метод} +$$\B A=\B L\cdot \B U,$$ +где +$$\B L=\begin{pmatrix} +l_{11}&0&0&\cdots&0\\ +l_{21}&l_{22}&0&\cdots&0\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +l_{m1}&l_{m2}&l_{m3}&\cdots&l_{mm} +\end{pmatrix},\qquad +\B U=\begin{pmatrix} +1&u_{12}&u_{13}&\cdots&u_{1m}\\ +0&1&u_{23}&\cdots&u_{2m}\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&0&0&\cdots&1 +\end{pmatrix}. +$$ +Прямой ход: $\B L\cdot \B U\cdot \B x \equiv \B L\cdot\B y= \B b$, находим $\B y$, +из $\B U\cdot \B x =\B y$ находим $\B x$. +$$\begin{cases} +l_{ij}=a_{ij}-\Sum_{s=1}^{j-1}l_{is}u_{sj},& i\ge j;\\ +u_{ij}=\frac1{l_{ii}}\Bigl(a_{ij}-\Sum_{s=1}^{j-1}l_{is}u_{sj}\Bigr), & i < j. +\end{cases} +$$ +LU-разложение возможно для матриц с преобладанием диагональных элементов +\end{block} +} +\only<5>{ +\begin{block}{Разложение Холецкого} +$\B A=\B L\cdot \B L^T$, либо $\B A=\B U^T\cdot \B U$, где $\B L$~-- нижняя треугольная матрица +со строго положительными элементами на диагонали, $\B U$~-- верхняя треугольная матрица. +Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной (относительно главной +диагонали) положительно-определенной матрицы (все диагональные миноры положительны). + +$$\begin{cases} +l_{ii}=\sqrt{a_{ii} - \Sum_{s=1}^{i-1}l^2_{is}}; \\ +l_{ij} = \frac1{l_{ii}}\Bigl( a_{ij} - \Sum_{s=1}^{j-1}l_{is}l_{js}\Bigr), & j < i. +\end{cases} +$$ + +Прямой и обратный ходы аналогичны LU-разложению. +\end{block} +} +\only<6>{ \begin{block}{} Если $\B A$ содержит~$m$ строк и~$n$ столбцов, то: \begin{description} @@ -115,38 +162,80 @@ $$\B x_{n+1}=-\B B^{-1}\B{Cx}_n +\B B^{-1}\B b.$$ данной системы может существовать и точное решение). \end{description} \end{block} -\begin{block}{Приближенные решения} -МНК ($\B{x=A\backslash b}$), псевдообратная матрица, \dots +} +\only<7>{ +\begin{block}{Метод наименьших квадратов ($m > n$)} +$\B{x=A\backslash b}$, %), псевдообратная матрица, \dots +$S=\sum_i(\sum_j a_{ij}x_j - b_i)$, $\partder{S}{x_j}=0$ \so +$\B C\B x = \B d$, где +$c_{kj} = \sum_i a_{ik}a_{ij}$, $k,j=\overline{1,n}$, $d_k = \sum_i a_{ik}b_i$. +Т.о. $\B C = \B A^T\cdot \B A$, $\B d=\B A^T\B b$. +\end{block} +\begin{block}{Метод простой итерации} +$\B{x=Bx+c}$, $\B x_{n+1}=\B B\B x_n+\B c$.\\ +Сложностью метода простой итерации при решении матриц больших размерностей является особое свойство +таких матриц~--- существование\к почти собственных значений\н, $\lambda$: +$||\B{Ax}-\lambda\B x||\le\epsilon||\B x||$ при $||\B x||\ne0$.\\ \end{block} } \end{frame} +\begin{frame}{Число обусловленности матрицы} +\begin{block}{Оценка ошибки решения} +Пусть $\B x'$~-- приближенное решение. Абсолютная и относительная ошибки: $||\B x-\B x'||$ +и $\frc{||\B x-\B x'||}{||\B x||}$. Нам известна невязка $\B r=\B b-A\B x'$: +$$\B r=A\B x-A\B x'=A(\B x-\B x')\so ||\B x-\B x'||=||A^{-1}\B r||\le ||A^{-1}||\,||\B r||,$$ +а т.к. $||\B b||\le||A||\,||\B x||$, $\frc{1}{||\B x||}\le\frc{||A||}{||\B b||}$: +$$\frac{||\B x-\B x'||}{||\B x||}\le||A^{-1}||\,||\B r||\,\frac{||A||}{||\B b||}=k(A)\frac{||\B +r||}{||\B b||}.$$ +\ж Число обусловленности\н: $k(A)=||A||\,||A^{-1}||$. Чем оно больше, тем больше флуктуации $\B x$ +влияют на общее решение. У хорошо обусловленных матриц $K(A)\equiv1$ (напр., ортогональные матрицы, +у которых $A^T=A^{-1}$). +\end{block} +\end{frame} + \section{Степенные уравнения} \begin{frame}{Степенные уравнения} \begin{defin} -\ж Степенное уравнение\н имеет вид $p_n(x)=0$, где $p_n(x)$~-- полином~$n$~-й степени вида +\ж Степенное уравнение\н имеет вид $p_n(x)=0$, где $p_n(x)$~-- полином~$n$~-й степени вида $p_n(x)=\sum_{i=0}^n C_nx^n$. \end{defin} \begin{block}{Методы решения} Точные~--- до третьей степени включительно (в общем случае) и итерационные: \begin{description} \item[бисекция] деление пополам отрезка, где находится корень; -\item[метод хорд] замена полинома хордой, проходящей через точки $(x_1, p_n(x_1)$ и $(x_2, +\item[метод хорд] замена полинома хордой, проходящей через точки $(x_1, p_n(x_1)$ и $(x_2, p_n(x_2)$; -\item[метод Ньютона] имеет быструю сходимость, но требует знакопостоянства $f'(x)$ и $f''(x)$ на +\item[метод Ньютона] имеет быструю сходимость, но требует знакопостоянства $f'(x)$ и $f''(x)$ на выбранном интервале $(x_1, x_2)$. \end{description} \end{block} \end{frame} +\begin{frame}{Бисекция (дихотомия)} +\img{bisect} +Отрезок делится вплоть до заданной точности $b_n-a_n\le\epsilon$, корень $x\approx(b_n+a_n)/2$. + +Применяется и для поиска значений в упорядоченном ряду. +\end{frame} + +\begin{frame}{Метод хорд (секущих)} +\begin{block}{} +$$x_{i+1}=x_{i-1}+\frac{y_{i-1}\cdot(x_i-x_{i-1})}{y_i-y_{i-1}}.$$ +\end{block} +\begin{pict}\smimg[0.5]{chords1}\,\smimg[0.5]{chords2}\end{pict} +\end{frame} + \begin{blueframe}{Метод Ньютона} -\img[0.7]{Newton_iteration} +\begin{block}{} +$$x_{i+1}=x_i+\frac{y_i}{y'_i}.$$ +\end{block} +\begin{pict}\smimg[0.5]{newton1}\,\smimg[0.5]{newton2}\end{pict} \end{blueframe} \section{Численное интегрирование и дифференцирование} -\begin{frame}{Численное интегрирование и дифференцирование} -\only<1>{ -\begin{block}{Численное интегрирование} +\begin{frame}{Численное интегрирование} +\begin{block}{} Для численного решения уравнения $\displaystyle I=\Int_a^b f(x)\,dx$ наиболее популярны: \begin{description} \item[метод прямоугольников] $I\approx\sum_{i=1}^n f(x_i)[x_i-x_{i-1}]$; @@ -156,18 +245,91 @@ $I\approx\frac{b-a}{6n}\Bigl(f(x_0)+f(x_n)+2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i}) + 4\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})\Bigr)$. \end{description} и многие другие. -\end{block}} -\only<2>{ -\begin{block}{Численное дифференцирование} -Аппроксимация функции интерполяционным многочленом (Ньютона, Стирлинга и т.п.), разделенные -разности. - -В нулевом приближении можно заменить производную $f^{(n)}$ разделенной разностью $n$-го порядка: -$$f(x_0; x_1; \ldots; x_n) = \sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)}{\displaystyle -\prod_{j=0, j\ne i}^n\!\!(x_i - x_j)}.$$ -\end{block}} +\end{block} \end{frame} +\begin{frame}{Метод прямоугольников} +\begin{columns} +\column{0.45\textwidth} +\begin{block}{} +$$\int_a^b f(x)\,dx\approx$$ +\begin{list}{}{} +\item $\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i})(x_{i+1}-x_{i})$; +\item $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})(x_i-x_{i-1})$; +\item $\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}f\bigl(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\bigr)(x_{i+1}-x_{i})$. +\end{list} +Для равномерных сеток: + +$\displaystyle h\sum_{i=0}^{n-1} f_i$; +$\displaystyle h\sum_{i=1}^{n} f_i$; +$\displaystyle h\bigl(\sum_{i=1}^{n-1} f_i + \frac{f_0+f_n}{2}\bigr)$. + +\end{block} +\column{0.45\textwidth} +\img{rectangmeth} +\end{columns} +\end{frame} + +\begin{lightframe}{Метод трапеций} +\begin{columns} +\column{0.6\textwidth} +\begin{block}{} +$$\int_a^b f(x)\,dx\approx +\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}(x_{i+1}-x_i).$$ + +Для равномерных сеток~--- формула Котеса: +$$\int_a^b f(x)\,dx = +h\left(\frac{f_0+f_n}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f_i\right) + E_n(f),$$ +$$E_n(f)=-\frac{f''(\xi)}{12}(b-a)h^2, \xi\in[a,b].$$ +\end{block} +\column{0.4\textwidth} +\img{trapezmeth} +\end{columns} +\end{lightframe} + +\begin{blueframe}{Метод Симпсона} +\begin{columns} +\column{0.6\textwidth} +\begin{block}{} +$$\int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\bigl(\frac{a+b}{2}\bigr)\right)$$ +\end{block} +\column{0.4\textwidth} +\img{Simpsons_method_illustration} +\end{columns} +\begin{block}{} +Формула Котеса: +$$I\approx \frac{h}{3}\Bigl(f(x_0)+ +2\sum_{i=1}^{N/2-1}f(x_{2i}) + 4\sum_{i=1}^{N/2}f(x_{2i-1} + f(x_N)\Bigr).$$ + +\end{block} +\end{blueframe} + + +\begin{frame}{Численное дифференцирование} +\begin{block}{} +Аппроксимация функции интерполяционным многочленом (Ньютона, Стирлинга и т.п.), разделенные +разности. +\end{block} +\begin{block}{Аппроксимация многочленом} +$$f(x)\approx P_N(x)\quad\Arr\quad f^{(r)}(x)\approx P_N^{(r)}(x).$$ +Полином Ньютона: +$$P_N(x)=\sum_{m=0}^{N}C_x^m\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_m^k\,f(k).$$ +Полином Лагранжа: +$$P_N(x) = \sum_{k=0}^N y_k \frac {(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1}) \ldots (x-x_n)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1) \ldots +(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \ldots (x_k-x_n)}.$$ +А также: интерполяция кубическими сплайнами, разложение по базису тригонометрических функций и т.п. +\end{block} +\end{frame} + +\begin{block}{Разделенные разности} + В нулевом приближении можно заменить производную $f^{(n)}$ разделенной разностью $n$-го порядка. +$$f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n})=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_j)}{\prod \limits _{i=0 \atop i\neq j}^{n}(x_{j}-x_{i})}}.$$ +В частности: +$$f(x_0;\;x_1)={\frac {f(x_1)}{x_1-x_0}}+{\frac {f(x_0)}{x_0-x_1}},$$ +$$f(x_0;\;x_1;\;x_2)={\frac {f(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}}+{\frac {f(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_0)}}+{\frac +{f(x_0)}{(x_0-x_2)(x_0-x_1)}}\ldots$$ +\end{block} + \section{Дифференциальные уравнения} \begin{frame}{Дифференциальные уравнения} \only<1>{ @@ -181,7 +343,7 @@ $$y'=f(x,y) \so \phi(y)\,dy=\psi(x)\,dx \so y=y_0+\Int_0^{x}\psi(x)\,dx.$$ ОДУ второго порядка: $$Ay''+By'+Cy+Dx=0.$$ -Если $D\equiv0$, а множители $A$, $B$ и~$C$~--- константы, имеем однородное ОДУ. +Если $D\equiv0$, а множители $A$, $B$ и~$C$~--- константы, имеем однородное ОДУ. $y=\C_1\exp(k_1x)+\C_2\exp(k_2x)$, где~$k_1$ и~$k_2$~-- корни\к характеристического уравнения\н $Ak^2+Bk+C=0$. \end{block}} @@ -208,12 +370,31 @@ $$f(z,x,y,\partder{z}{x},\partder{z}{y})=0.$$ \begin{block}{Методы решения} Рунге--Кутты, Эйлера, Адамса, конечных разностей и т.п. -Дифференциальные уравнения высших порядков сводят путем замены переменных к системе ОДУ первого +Дифференциальные уравнения высших порядков сводят путем замены переменных к системе ОДУ первого порядка. \end{block} } \end{frame} +\begin{blueframe}{} +\begin{block}{Метод Эйлера} +Аппроксимация интегральной кривой кусочно-линейной функцией. Задача Коши в простейшем виде: +$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$, $y|_{x=x_0}=y_0$. Решение ищется на интервале $(x_0, b]$. +$$y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1}),\qquad i=\overline{1,n}.$$ +\end{block} +\img[0.5]{Euler_method} +\end{blueframe} + +\begin{frame}{} +\begin{block}{Метод Рунге-Кутты} +$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr),\qquad \text{где}$$ +$k_1=f(x_n,y_n)$, $k_2=f\bigl(x_n+\frc{h}2, y_n+\frc{h}2 k_1\bigr)$, +$k_3=f\bigl(x_n+\frc{h}2, y_n+\frc{h}2 k_2\bigr)$, +$k_4=f(x_n+h,y_n+hk_3)$ ($h$~-- шаг сетки по $x$). +\end{block} +\img[0.5]{Runge-Kutta} +\end{frame} + \begin{frame}{Спасибо за внимание!} \centering diff --git a/Komp_obr/06-analysis.pdf b/Komp_obr/06-analysis.pdf index 2f63354..e218ffa 100644 Binary files a/Komp_obr/06-analysis.pdf and b/Komp_obr/06-analysis.pdf differ diff --git a/Komp_obr/06-analysis.tex b/Komp_obr/06-analysis.tex index 74eb611..e579819 100644 --- a/Komp_obr/06-analysis.tex +++ b/Komp_obr/06-analysis.tex @@ -1,11 +1,11 @@ \documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer} -%\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen} +\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen} \usepackage{ed} \usepackage{lect} \title[Компьютерная обработка. Лекция 6.]{Компьютерная обработка результатов измерений} \subtitle{Лекция 6. Анализ временных рядов. Фурье-- и Вейвлет--анализ} -\date{5 октября 2016 года} +\date{29 марта 2021 года} \begin{document} % Титул @@ -21,14 +21,14 @@ \begin{frame}{Аппроксимация и интерполяция} \only<1>{ \begin{defin} -\ж Аппроксимация\н. Некоторую функцию $f(x)$, $x\in(x_0, x_1)$ требуется приближенно заменить +\ж Аппроксимация\н. Некоторую функцию $f(x)$, $x\in(x_0, x_1)$ требуется приближенно заменить некоторой функцией~$g(x)$ так, чтобы отклонение~$g(x)$ от~$f(x)$ в заданной области было наименьшим. \end{defin} \begin{block}{} Точечная (интерполяция, среднеквадратичное приближение и т.п.) и непрерывная аппроксимации. \end{block} \begin{defin} -\ж Интерполяция\н является частным случаем аппроксимации, позволяющем вычислить промежуточные +\ж Интерполяция\н является частным случаем аппроксимации, позволяющем вычислить промежуточные значения дискретной функции. \end{defin}} \begin{block}{Ряд Тейлора} @@ -49,7 +49,7 @@ $\Delta^k y_n = \Delta^{k-1}y_{n+1} - \Delta^{k-1}y_n$). \begin{frame}{} \begin{defin} -\ж Сплайн\н~--- кусочная полиномиальная функция, которая на заданном отрезке может принимать очень +\ж Сплайн\н~--- кусочная полиномиальная функция, которая на заданном отрезке может принимать очень простую форму, в то же время имея гибкость и гладкость. \end{defin} @@ -57,14 +57,14 @@ $\Delta^k y_n = \Delta^{k-1}y_{n+1} - \Delta^{k-1}y_n$). Набор полиномов степени $k$ со следующими ограничениями: \begin{itemize} \item сплайны должны совпадать в узловых точках с задающей функцией: $p_n(x_n) = f(x_n)$; -\item предыдущий сплайн должен переходить в следующий в точках сшивания, +\item предыдущий сплайн должен переходить в следующий в точках сшивания, $p_n(x_n)=p_{n+1}(x_n)$; \item все производные до $f^{(k-1)}$ должны быть непрерывными и гладкими: $p^i_n(x_n)=p^i_{n+1}(x_n)$ для $i=\overline{1,k-1}$; \end{itemize} -$n-1$ полином степени $k$ имеют $(k+1)(n-1)=(k+1)n-k-1$ свободных коэффициентов. Данные ограничения +$n-1$ полином степени $k$ имеют $(k+1)(n-1)=(k+1)n-k-1$ свободных коэффициентов. Данные ограничения дают нам -$n+(n-2)\cdot k=(k+1)n-2k$ уравнений. Чтобы получить еще $k-1$ уравнений, нужны дополнительные +$n+(n-2)\cdot k=(k+1)n-2k$ уравнений. Чтобы получить еще $k-1$ уравнений, нужны дополнительные условия. Чем больше $k$, тем тяжелей. Поэтому обычно дальше $k=3$ не идут. \end{block} \end{frame} @@ -72,18 +72,326 @@ $n+(n-2)\cdot k=(k+1)n-2k$ \begin{frame}{} \only<1>{ \begin{block}{B--сплайн} -Базисные сплайны менее подвержены влиянию изменения отдельных точек данных (изменение одной вершины -B--сплайна степени $k$ ведет к изменению лишь $k+1$ соседних сплайнов). При этом, однако, теряются -точные интерполяционные свойства: $p_n(x_n)\ne f(x_n)$ \so снижается влияние шумов (B--сплайн -проходит только через первый и последний узлы, повышаем степень~--- улучшаем сглаживание данных). +Базисные сплайны менее подвержены влиянию изменения отдельных точек данных (изменение одной вершины +B--сплайна степени $k$ ведет к изменению лишь $k+1$ соседних сплайнов). При этом, однако, теряются +точные интерполяционные свойства: $p_n(x_n)\ne f(x_n)$ \so снижается влияние шумов (B--сплайн +проходит только через первый и последний узлы, повышаем степень~--- улучшаем сглаживание данных). Количество узлов: $n\ge k+1$. \end{block} \begin{block}{Сплайны Акимы} -Дают меньшие осцилляции. -\end{block}} +Также кубические. Устойчивы к осцилляциям. Локальность (окрестность из 5--6 точек) "--- существенно +более быстрое разложение. +\end{block} +\begin{block}{Кривые Безье} +Параметрические полиномиальны кривые, проходящие через опорны точки только в начале и конце области +определения. +\end{block} +} \only<2>{ \img[0.7]{1D_Inter_polation} } +\only<3>{ +\img{bezier} +\centering{Интерполяция кривой Безье} +} +\end{frame} + +\section{Модель ARMA} +\begin{frame}{Модель ARMA (авторегрессия и скользящее среднее)} +\only<1>{ +\begin{block}{Авторегрессия} +Процесс авторегрессии выражается уравнением +$$x_k=\C + \sum_{i=1}^{n}\phi_i x_{k-i} + \epsilon_k,\qquad\text{где $\C$~-- константа, +$\epsilon$~-- +шум.}$$ +Процесс будет стационарным, лишь если $\phi_i$ заключены в определенном диапазоне, что не приведет +к негораниченному росту~$x_k$. +\end{block} +\begin{block}{Скользящее среднее} +$$x_k=\C + \epsilon_k - \sum_{i=1}^{n}\theta_i\epsilon_{k-i},\qquad\text{объект~-- сумма ошибок.}$$ +\end{block}} +\only<2>{ +\begin{block}{ARMA} +$$x_k=\C + \epsilon_k + \sum_{i=1}^{p}\phi_i x_{k-i} + \sum_{i=1}^{q}\theta_i\epsilon_{k-i}\qquad +\text{--- процесс ARMA(p,q).}$$ +Для определения порядков $p$ и $q$ может применяться, например, автокорреляция и частичная +автокорреляция, ЧАКФ. Для нахождения коэффициентов~--- метод наименьших квадратов и т.п. + +В ЧАКФ из переменных вычисляется их регрессия (удаляются линейные зависимости): +$$PACF(k)=corr(x_{t+k}-x_{t+k}^{k-1}, x_t-x_{t}^{k-1}),$$ +$$x_{t}^{k-1}=\sum_{i=1}^{k-1}\beta_i x_{t+k-i}\qquad\text{--- СЛАУ.}$$ +\end{block} +} +\end{frame} + +\section{Преобразования Лапласа, Z--преобразования} +\begin{frame}{Преобразование Лапласа} +\only<1>{ +\begin{block}{} +В линейной теории управления аналогами преобразований Фурье выступают +преобразования Лапласа и Z--преобразования. + +Для комплексного переменного $s$ преобразование Лапласа определяется так: +$$ +F(s)=\LT{f(t)}(s)=\Int_0^{\infty}f(t)\e^{-st}dt. +\label{Laplas_transform} +$$ +Использование преобразований Лапласа имеет тот смысл, что управляющая +функция $f(t)$ чаще всего является чисто действительной, а ее +состояние в момент времени $t<0$ не определено или же не +интересует исследователя. + +$$f(t)=\ILT{F(s)}= \frac{1}{2\pi i}\lim_{\omega\to\infty}\Int_{\gamma-\omega}^{\gamma+\omega} +\e^{st}F(s)\,ds,$$ +где $\gamma$ определяет область сходимости $F(s)$. +\end{block}} +\only<2>{ +\begin{block}{Связь с преобразованием Фурье} +$$ +\FT{F}\equiv F(u)=\Infint f(x)\e^{-2\pi i ux}\,dx +$$ +$$\LT{f(t)}(2\pi u)=\Int_0^{\infty}f(t)\e^{-2\pi iut}dt=\FT{f(t)},\qquad f(t)=0\when{t<0}.$$ +Лаплас \arr Фурье: $s \arr2\pi iu $ \Arr расширение свойств ПФ на ПЛ. + +Сведение линейных диф. уравнений к алгебраическим \Arr теория управления: +$$\LT{\dfrac{df(t)}{dt}}(s)=s^{1}\LT{f(t)}(s)-f(0)\quad\Arr$$ +$$\quad\LT{f^{(n)}(t)}(s)=s^{n}\LT{f(t)}-\sum_{k=1}^n s^{n-k}f^{(k-1)}(0).$$ +\end{block} +} +\only<3>{ +\begin{block}{Передаточная функция} +$i(t)$~--- входной сигнал управляющей системы, $o(t)$~--- +выходной сигнал; $I(s)=\LT{i}$, $O(s)=\LT{o}$. +{\ж Передаточная функция} с нулевыми начальными условиями: +$$ +T(s)=\frac{O(s)}{I(s)}. +$$ +$T(s)$ описывает динамику системы, совершенно отвлекаясь от ее внутреннего функционирования. + +$$o(t)=\ILT{T\cdot I}.$$ +\end{block} + +} +\end{frame} + +\begin{frame}{Преобразование Лапласа, примеры} +\only<1>{ +\begin{block}{Функция Хевисайда} +\begin{columns} +\column{0.3\textwidth} +$$\eta(t)=\left\{\begin{aligned} +0,\quad t<0,\\ +1,\quad t\ge0. +\end{aligned}\right.$$ +\column{0.7\textwidth} +$$\displaystyle F(p)=\Int_0^\infty \eta(t)\,\e^{-st}dt=\Int_0^\infty\e^{-st}dt=\frac{1}{s},\quad\Re( +s) > 0.$$ +\end{columns} +\end{block} +\begin{block}{Экспонента} +$$\Int_0^\infty\e^t\e^{-st}dt=\Int_0^\infty\e^{-t(s-1)}dt=\left.\frac{\e^{-(s-1)t}}{-(s-1)}\right|_0^\infty= +\frac{1}{s-1},\quad \Re(s)>1;$$ +$$\Int_0^\infty\e^{\lambda t}\e^{-st}dt=\frac{1}{s-\lambda},\quad \Re(s)>\lambda.$$ +\end{block} +} +\only<2>{ +\begin{block}{$\sin$, $\cos$} +$$\Int_0^\infty \sin\alpha t\e^{-st}dt=\Int_0^\infty\frac{\e^{i\alpha t}-\e^{-i\alpha +t}}{2i}\e^{-st}dt=\frac{\alpha}{s^2+\alpha^2},$$ +$$\Int_0^\infty \cos\alpha t\e^{-st}dt=\Int_0^\infty\frac{\e^{i\alpha t}+\e^{-i\alpha +t}}{2i}\e^{-st}dt=\frac{s}{s^2+\alpha^2}.$$ +\end{block} +\begin{block}{$\sh$, $\ch$} +$$\Int_0^\infty \sh\alpha t\e^{-st}dt=\frac{\alpha}{s^2-\alpha^2},$$ +$$\Int_0^\infty \ch\alpha t\e^{-st}dt=\frac{s}{s^2-\alpha^2}.$$ +\end{block} +} +\only<3>{\begin{block}{Диф. уравнения} +Решить задачу Коши $x'''+x'=1$, $x(0)=x'(0)=x''(0)=0$. Вычислим преобразование Лапласа (учитывая, +что все н.у. нулевые): +$$s^3F(s)+sF(s)=\frac{1}{s}\Arr F(s)=\frac{1}{s^2(s^2+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2+1},$$ +Обратное преобразование: +$$x(t)=t-\sin t.$$ +\end{block} +} +\only<4>{ +\begin{block}{Конденсатор} +Ток $i=C\frac{du}{dt}$, Лаплас: $I(s)=C(sU(s)-u(0))$. Отсюда $U(s)=\frac{I(s)}{sC}+\frac{u(0)}{s}$. +Комплексное сопротивление $Z(s)=\left.\frac{U(s)}{I(s)}\right|_{u(0)=0}$. Импеданс +конденсатора: $Z=\frac{1}{sC}$. +\end{block} +\begin{block}{Индуктивность} +$u=L\frac{di}{dt}$, $U(s)=L(sI(s)-i(0))$, $Z(s)=\left.\frac{U(s)}{I(s)}\right|_{i(0)=0}$, +$Z=sL$. +\end{block} +} +\only<5>{ +\begin{block}{Общая передаточная функция} +Рассмотрим диф. уравнение +$$\sum_{i=0}^n a_i y^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^m b_j x^{(j)}(t).$$ +При нулевых начальных условиях его преобразование Лапласа: +$$Y(s)\sum a_i s^i = X(s)\sum b_j s^j,\quad\Arr\quad +Y(s)=\frac{b_0 + b_1 s + \ldots + b_m s^m}{a_0 + a_1 s + \ldots + a_n s^n}X(s).$$ +\ж Передаточная функция\н: +$$W(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_0 + b_1 s + \ldots + b_m s^m}{a_0 + a_1 s + \ldots + a_n s^n}.$$ +Корни $b_i$~-- \ж нули\н передаточной функции, корни $a_i$~-- ее\ж полюса\н. +\end{block} +} +\only<6>{ +\begin{block}{Переходная характеристика} +ПХ~--- реакция системы на ступенчатую функцию (Хевисайда): $$Y(s)=\dfrac{1}{s}W(s).$$ +Основные виды: апериодическая (монотонная)~-- плавное возрастание или затухание с постоянным знаком +производной; периодическая колебательная~-- бесконечное количество раз смены знака производной с +постоянным периодом; колебательная апериодическая~-- период смены знака производной непостоянен, +его количество конечно. + +Для последовательных звеньев $W(s)=\prod_{i=1}^n W_i(s)$. У параллельных суммирующих звеньев +$W(s)=\sum_{i=1}^n W_i(s)$. + +Обратная связь: $Y=W_1X_1$, $X_1=X\pm X_2=X\pm W_2 W_1 X_1$, $X_1=X\pm X_1 W_1 W_2$ +$$X_1 = \frac{X}{1\mp W_1 W_2},\quad Y=\frac{W_1 X}{1\mp W_1 W_2},\quad +W=\frac{W_1}{1\mp W_1 W_2}.$$ +\end{block} +} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Z--преобразования (преобразования Лорана)} +\begin{block}{} +Являются дискретными аналогами преобразований Лапласа. + +Z--преобразование дискретного сигнала $\mathrm{i}={i_k}$, где +$k=0,\ldots,\infty$, +имеет следующий вид: +$$ +I(z)\equiv\ZT{\mathrm{i}}=\sum_{k=0}^\infty i_k(t)z^{-k}, +$$ +$$ +i_n = \IZT{I}= +\frac1{2\pi}\Oint_C I(z)z^{n}dz, +$$ +где $C$~-- контур, охватывающий область сходимости $Z$. +\end{block} +\begin{block}{} +Отклик на сдвиг: +$$\ZT{\strut\mathrm{i}(t+n\Delta t)}=z^n\ZT{\strut\mathrm{i}(t)}.$$ +Связь с преобразованием Лапласа ($t\ll\Delta T$): +$$\LT{\strut\mathrm{i}(t)}(s)=\ZT{\strut\mathrm{i}(t)}\e^{-st}.$$ +\end{block} +\end{frame} + +\section{Фурье--анализ} +\begin{frame}{Фурье--анализ} +\only<1>{ +\begin{block}{Ряд Фурье} +$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a'_n\cos(nx)+\sum_{n=1}^\infty b'_n\sin(nx).$$ +Коэффициенты $a_n$ и~$b_n$ рассчитываются по формулам +$$a_n=\rev\pi\Int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad +b_n=\rev\pi\Int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx.$$ + +$$\text{Если}\quad S_k(x) = \sum_{n=0}^k a'_n\cos(nx)+\sum_{n=1}^k b'_n\sin(nx),\quad\text{то}$$ +$$\lim_{n\to\infty}\Int_{-\pi}^\pi\Bigl(f(x)-S_k(x)\Bigr)dx = 0.$$ +\end{block} +} +\only<2>{ +\img{aliasing_fourier} +\centering{Ложная синусоида (<>, муар).} +} +\only<3>{ +\begin{block}{Свойства} +\begin{itemize} +\item свертка: $\FT{f\cdot g}=\sqrt{2\pi}\FT{f}\cdot\FT{g}$, +\item дифференцирование: $\FT{f^{n}} = (2\pi i\nu)^n\FT{f}$, +\item сдвиг: $\FT{f(x-x_0)\strut}=\e^{-2\pi i\nu x_0}\FT{f}$, +\item частотный сдвиг: $\FT{\e^{iat}f(t)}=F(2\pi\nu-a)$, +\item масштабирование: $\FT{\C f}=\rev{|\C|}\FT{f}(\nu/a)$, +\item $\FT{\delta(t)\strut}=\frac1{\sqrt{2\pi}}$, +\item $\FT{1}=\sqrt{2\pi}\delta(2\pi\nu)$, +\item $\FT{\e^{iat}}=\sqrt{2\pi}\delta(2\pi\nu-a)$. +\end{itemize} +\end{block} +} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\only<1>{ +\img{FM-AM} +\centering{Спектры ЧМ~(сверху) и АМ~(снизу) сигналов, образованных из двух +одинаковых гармонических сигналов} +} +\only<2>{ +\img{Four-filter} +\centering{Фурье-фильтрация. Точками обозначен оригинальный сигнал, линией~--- +зашумленный сигнал, кружками~--- отфильтрованный.} +} +\end{frame} + +\section{Вейвлет--анализ} +\begin{frame}{Вейвлет--анализ} +\only<1>{ +\begin{defin} +\ж Вейвлеты\н~--- класс функций, использующихся для пространственной и масштабируемой локализации +заданной функции. Семейство вейвлетов может быть образовано из функции~$\psi(x)$ (ее иногда +называют <<материнским вейвлетом>>), ограниченной на конечном интервале. <<Дочерние>> вейвлеты +$\psi^{a,b}(x)$ образуются из <<материнского>> путем сдвига и масштабирования. +\end{defin} + +\begin{block}{} +Отдельный вейвлет можно определить как +$$\psi^{a,b}(x)=|a|^{-1/2}\psi\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr).$$ +Тогда\ж базис вейвлетов\н (\it{}прямое вейвлет--преобразование\н), +соответствующих функции~$f(x)$ определяется как +$$W_\psi(f)(a,b)=\rev{\sqrt a}\Infint f(t)\psi^*\Bigl(\frac{t-b}{a}\Bigr)\,dt. +\label{waveletb}$$ +где $a, b\in \mathbb{R}$, $a\ne0$. +\end{block} +} +% \only<2>{ +% \begin{block}{Коэффициенты} +% $$C_{j,k}=W_\psi(f)(2^{-j},k\cdot2^{-j}).$$ +% +% \end{block} +% } +\only<2>{ +\begin{block}{Дискретное вейвлет--преобразование} +$a=a_{0}^{m},\quad b=nb_{0}$, в этом случае +$$\psi_{{m,n}}=a_{0}^{-m/2}\psi \left(\frac {t-nb_0}{a_0^m}\right).$$ + +$$W_{m,n}=\Int_{-\infty }^{\infty }x(t)\,\psi_{m,n}^{*}(t)\,dt.$$ + +$$x(t)=K_\psi \Sum_{m=-\infty}^{\infty }\Sum_{n=-\infty }^\infty W_{m,n}\psi _{m,n}(t),$$ +где $K_\psi$~-- постоянная нормировки. +\end{block} +} +% \only<2>{ +% \begin{block}{Свойства вейвлетов и требования} +% \begin{itemize} +% \item $\Infint\psi(t)\,dt=0$; $\Infint|\psi(t)|^2 dt<\infty$; +% \item $\WT{af(t)+bg(t)}=a\WT{f(t)}+b\WF{g(t)}$; +% \item $\WT{f(t-t_0)}= +% \end{itemize} +% +% \end{block} +% } +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\only<1>{ +\img[0.9]{wavelet} +\centering{Локализация} +} +\only<2>{ +\img[0.6]{scale} +\centering{Масштабирование} +} +\only<3>{ +\img[0.8]{fourwav} +\centering{Фурье и вейвлеты} +} +\only<4>{ +\img[0.5]{curvelet} +\centering{Курвлеты} +} \end{frame} diff --git a/Komp_obr/07-iproc_1.pdf b/Komp_obr/07-iproc_1.pdf new file mode 100644 index 0000000..9b39e78 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/07-iproc_1.pdf differ diff --git a/Komp_obr/07-iproc_1.tex b/Komp_obr/07-iproc_1.tex new file mode 100644 index 0000000..fbdc462 --- /dev/null +++ b/Komp_obr/07-iproc_1.tex @@ -0,0 +1,309 @@ +\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer} +\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen} +%\usepackage{ed} +\usepackage{lect} + +\title[Компьютерная обработка. Лекция 7.1.]{Компьютерная обработка результатов измерений} +\subtitle{Лекция 7.1. Обработка изображений} +\date{31 марта 2021 года} + +\begin{document} +% Титул +\begin{frame} +\maketitle +\end{frame} +% Содержание +\begin{frame} +\tableofcontents +\end{frame} + +\section{Цифровые изображения} +\begin{frame}{Цифровые изображения} +\begin{defin} +\ж Изображение\н представляет собой двумерную функцию $f(x,y)$, где~$x$ и~$y$~--- +пространственные координаты, а уровень~$f$ называется\ж +интенсивностью\н изображения в данной точке (цветное изображение является +совокупностью по крайней мере трех функций $r(x,y)$, $g(x,y)$ и~$b(x,y)$). +Если величины~$x$, $y$ и~$f$ принимают дискретные значения, говорят о\к цифровом +изображении\н. Элементарная единица цифрового изображения называется\ж +пикселем\н. +\end{defin} +\begin{block}{Дискретизация} +Процедуру квантования (\bf дискретизации\н) квазинепрерывного изображения $I_0(X,Y)$ можно представить в виде: +$$ +I(x,y)=\mathrm{round}\Bigl(\frac{2^N-1}{I_{max}}\Int_{S_{x,y}}I_0(X,Y) +\,dXdY\Bigr)+\delta_{x,y}. +$$ +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{RGB-модель} +\only<1>{ +\img[0.6]{RGB} +\centering{Аддитивная RGB-модель} +}\only<2>{ +\img[0.6]{sRGB} +} +\end{frame} + +\begin{blueframe}{CMYK-модель} +\only<1>{ +\img[0.5]{CMYK} +\centering{Субстрактивная CMYK-модель} +}\only<2>{ +\img[0.6]{colormodels} +} +\end{blueframe} + +\begin{frame}{} +\img[0.6]{Bayer_pattern} +\centering{Маска Байера} +\end{frame} + +\section{Математический аппарат} +\begin{frame}{Математический аппарат} +\only<1>{\img[0.7]{neighbourhoods} +\centering{Соседство}} +\only<2>{\img[0.6]{connregs} +\centering{Связность} +} +\only<3>{\img[0.6]{msquare} +\centering{Границы, контуры} +} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{block}{Расстояние} +\begin{itemize} +\item Евклидово: $D_{e(p,q)}=\sqrt{(x_p-x_q)^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}}$. +\item Метрика $L_{1}$: $D_{4}(p,q)=|x_{p}-x_{q}|+|y_{p}-y_{q}|$. +\item Метрика $L_{\infty}$: $D_{8}(p,q)=\max\bigl(|x_{p}-x_{q}|,|y_{p}-y_{q}|\bigr)$. +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Поэлементные и матричные операции} +$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix},\quad{} +B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}.$$ +Поэлементное произведение: +$$A\cdot B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}\\a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}\end{bmatrix}.$$ +Матричное произведение: +$$A\times B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ +a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}.$$ +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{} + +\begin{block}{Аффинные преобразования} +$$\begin{pmatrix}x'&y'&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}\times\B{T}.$$ +\end{block} +\begin{columns}\column{0.5\textwidth} +\begin{block}{} +Тождество: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\ +Масштаб: $\B{T}=\begin{pmatrix}c_{x} & 0 & 0\\ 0 & c_{y} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\ +Поворот: $\B{T}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\ +Сдвиг: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ t_{x} & t_{y} & 1\end{pmatrix},$\\ + +\end{block} +\column{0.45\textwidth} +\begin{block}{} +Скос $y$: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ s_{v} & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\ +Скос $x$: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & s_{h} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\ +Отражение $x$: $\B{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\ +Отражение $y$: $\B{T}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\ +\end{block} +\end{columns} +\begin{block}{}Комбинация пребразований: $\B{M}=\prod_{i}\B{T_{i}}$\end{block} +\end{frame} + +\section{Пространственные и градационные преобразования} +\begin{frame}{Пространственные и градационные преобразования} +\begin{defin} +\ж Преобразования в пространственной области\н работают непосредственно с пикселями изображения: +$$T(u,v)=\Sum_{x=0}^{M-1}\Sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)r(x,y,u,v),\qquad\text{где $r$~-- ядро +преобразования.}$$ +\end{defin} +\begin{block}{Градационные преобразования ($I\in[0, L-1]$, $I'=r(I)$)} +\begin{itemize} + \item негатив: $r = L-1 -I$; + \item логарифмическое: $r=\C\ln(1+I)$; + \item гамма-коррекция: $r=\C(L-1)\cdot i^\gamma$, $i=\dfrac{I}{L-1}$; + \item кусочно-линейные преобразования (усиление контраста). +\end{itemize} +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\only<1>{ +\img[0.8]{bitplanes} +\centering{Битовые плоскости} +}\only<2>{ +\img[0.4]{graycode} +\centering{Битовые плоскости в кодах Грея} +} +\end{frame} + +\begin{frame}{Гистограмма} +\img[0.9]{histogram} +\end{frame} +\begin{frame}{} +\only<1>{ +\begin{block}{Эквализация гистограммы} +$$s_k=(L-1)\Sum_{j=0}^{k}p_j=\frac{L-1}{MN}\Sum_{j=0}^{k}n_j.$$ +\end{block} +\img[0.7]{histeq} +} +\only<2>{ +\begin{block}{Приведение гистограммы $p_r\arr p_z$} +\begin{enumerate} + \item Получение эквализованной гистограммы, $s_k$. + \item Вычисление функции преобразования $G(z_q)=(L-1)\Sum_{j=0}^{q}p_z(z_j)$. + \item Нахождение для каждого $s_k$ соответствующего значения $z_q$, для которого $G(z_q)$ наиболее +близко к~$s_k$. + \item Формирование приведенного изображения. +\end{enumerate} +\end{block} +} +\only<3,4>{ +\begin{block}{Локальная гистограммная обработка} +\only<3>{\img[0.8]{h1}} +\only<4>{\img[0.8]{h2}} +\end{block} +} +\end{frame} + +\begin{frame}{Эквализация гистограммы} +\only<1>{M13: без и с эквализацией:\\ +\smimg[0.48]{M13_nohisteq}\hfil\smimg[0.48]{M13_histeq} +} +\only<2>{M29: без и с эквализацией:\\ + \smimg[0.48]{M29_nohisteq}\hfil\smimg[0.48]{M29_histeq} +} +\end{frame} + +\def\svec#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}} +\def\smat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} +\def\pb#1#2{\parbox{0.4\textwidth}{\centering{#1}\par\noindent\centering{\includegraphics{#2}}}} +\begin{frame}{Пространственная фильтрация} +\only<1>{ +\begin{block}{} +$$f=\svec{0&0&0&1&0&0&0&0},\qquad w=\svec{1&2&3&4&5}.$$ +\end{block} +\begin{columns} +\column{0.48\textwidth} +\begin{block}{Корреляция, $v=f\star w$} +$$0:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&2&3&4&5\\}$$ +$$3:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&2&3&4&5\\}$$ +$$7:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5\\}$$ +$$a:\qquad\svec{0&0&0&5&4&3&2&1&0&0&0&0}$$ +$$v:\qquad\svec{0&5&4&3&2&1&0&0}$$ +\end{block} +\column{0.48\textwidth} +\begin{block}{Свертка, $v=f*w$} +$$0:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\5&4&3&2&1\\}$$ +$$3:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&5&4&3&2&1\\}$$ +$$7:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&5&4&3&2&1\\}$$ +$$a:\qquad\svec{0&0&0&1&2&3&4&5&0&0&0&0}$$ +$$v:\qquad\svec{0&1&2&3&4&5&0&0}$$ +\end{block} +\end{columns} +}\only<2>{ +\begin{columns} +\column{0.48\textwidth} +\begin{block}{} +\pb{Идентичность}{Vd-Orig} $\smat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$\\[2pt] +\pb{$f'(x,y)$}{Vd-Edge1} $\smat{1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1}$\\[2pt] +\pb{Лапласиан}{Vd-Edge2} $\smat{0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0}$\\[2pt] +\pb{Лапласиан}{Vd-Edge3} $\smat{1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1}$ +\end{block} +\column{0.48\textwidth} +\begin{block}{} +\pb{Резкость}{Vd-Sharp} $\smat{0&-1&0\\-1&5&-1\\0&-1&0}$\\[2pt] +\pb{Размытие}{Vd-Blur2} $\dfrac{1}{9}\smat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}$\\[2pt] +\pb{Гаусс}{Vd-Blur1} $\dfrac{1}{16}\smat{1&2&1\\2&4&2\\1&2&1}$\\[2pt] +\pb{LoG}{Vd-LOG} $\dfrac{1}{64}\smat{11&27&11\\27&-202&27\\11&27&11}$ +\end{block} +\end{columns} +} +\end{frame} + +\begin{frame}{Пространственная фильтрация FITS} +\only<1>{Оригинал:\\ + \smimg[0.5]{objFull}\;\smimg[0.5]{objCrop} +} +\only<2>{Фильтр Гаусса $1\times1$ пиксель:\\ + \smimg[0.5]{gaussFull}\;\smimg[0.5]{gaussCrop} +} +\only<3>{Фильтр лапласиана гауссианы $1\times1$ пиксель:\\ + \smimg[0.5]{lapgaussFull}\;\smimg[0.5]{lapgaussCrop} +} +\only<4>{Фильтр Прюитта (горизонтальный):\\ + \smimg[0.5]{prewitthFull}\;\smimg[0.5]{prewitthCrop} +} +\only<5>{Фильтр Прюитта (вертикальный):\\ + \smimg[0.5]{prewittvFull}\;\smimg[0.5]{prewittvCrop} +} +\only<6>{Простой градиент (через фильтры Прюитта):\\ + \smimg[0.5]{gradientFull}\;\smimg[0.5]{gradientCrop} +} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\only<1>{ +\begin{block}{Медианная фильтрация} +\centering{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{image020} \hspace{3em} +\includegraphics[width=0.4\textwidth]{image021}} +\end{block} +}\only<2>{ +\begin{block}{Адаптивный медианный фильтр} +Зона $K\times K$ пикселей, $I_{min}$, $I_{max}$, $I_{med}$, $I_{xy}$ (интенсивность в данной +точке), $K_{max}$~-- максимальный размер зоны. +\begin{enumerate} +\item $A_1=I_{med}-I_{min}$, $A_2=I_{med}-I_{max}$; если $A_1>0$ и $A_2<0$ переход на 2, иначе +$++K$; если $K0$ и $B_2<0$, вернуть $I_{xy}$, иначе +вернуть $I_{med}$. +\end{enumerate} + +\end{block} +}\only<3>{ +\centering{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{imf_ori} \hspace{3em} +\includegraphics[width=0.377\textwidth]{imf_mean}} +\centering{\includegraphics[width=0.377\textwidth]{imf_median} \hspace{3em} +\includegraphics[width=0.35\textwidth]{imf_adpmed}} +} +\only<4>{Медианная фильтрация $r=1$\,пиксель и $r=5$\,пикселей:\\ + \smimg[0.5]{median1}\;\smimg[0.5]{median5} +} +\only<5>{Оригинал, адаптивная медиана ($r=1$) и медиана ($r=1$):\\ + \img{oriadpmed} +} +\end{frame} + + +\section{Частотные преобразования} +\begin{frame}{Частотные преобразования} +\begin{block}{Двумерное ДПФ} +$$F(u,v)=\Sum_{x=0}^{M-1}\Sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) \exp\Bigl(-2\pi +i\bigl(\frc{ux}{M}+\frc{vy}{N}\bigr)\Bigr).$$ +$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\Sum_{u=0}^{M-1}\Sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) \exp\Bigl(2\pi +i\bigl(\frc{ux}{M}+\frc{vy}{N}\bigr)\Bigr).$$ + +\end{block} +\centering{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Vd-Fpwr} \hspace{3em} +\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Vd-phase}} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\img{fft} +\end{frame} + + +\begin{frame}{Спасибо за внимание!} +\centering +\begin{minipage}{5cm} +\begin{block}{mailto} +eddy@sao.ru\\ +edward.emelianoff@gmail.com +\end{block}\end{minipage} +\end{frame} +\end{document} diff --git a/Komp_obr/07-iproc_2.pdf b/Komp_obr/07-iproc_2.pdf new file mode 100644 index 0000000..5a861e7 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/07-iproc_2.pdf differ diff --git a/Komp_obr/07-iproc_2.tex b/Komp_obr/07-iproc_2.tex new file mode 100644 index 0000000..f834423 --- /dev/null +++ b/Komp_obr/07-iproc_2.tex @@ -0,0 +1,273 @@ +\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer} +\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen} +\usepackage{lect} + +\title[Компьютерная обработка. Лекция 7.2.]{Компьютерная обработка результатов измерений} +\subtitle{Лекция 7.2. Обработка изображений} +\date{1 апреля 2021 года} + +\begin{document} +% Титул +\begin{frame} +\maketitle +\end{frame} +% Содержание +\begin{frame} +\tableofcontents +\end{frame} + +\section{Вейвлеты} +\begin{frame}{Вейвлеты} +\only<1>{\img[0.6]{pyramid} +\begin{block}{Пирамида изображений} +Пирамида приближений (аппроксимирующие коэффициенты), пирамида ошибок (детализирующие коэффициенты). +Пирамида Лапласа (только пирамида ошибок, компрессия); гауссова пирамида (только приближения, синтез +текстур).\end{block}} +\only<2>{\img[0.7]{lappyramid}} +\only<3>{\img[0.5]{orapple}\centerline{ +Объединение пирамид Лапласа.}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Вейвлеты} +\only<1>{\img[0.6]{2d-haar-basis}} +\only<2>{\img[0.8]{wvpyramid01}} +\only<3>{\img[0.8]{wvpyramid02}} +\only<4>{\img[0.8]{wvpyramid}} +\only<5>{\img[0.8]{wvpyramid03}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Пакеты вейвлетов} +\only<1>{\img[0.95]{wpack01}} +\only<2>{\img[0.95]{wpack02}} +\only<3>{\img[0.7]{wpack03}} +\only<4>{\img[0.8]{wpack04}\tiny (a) normal brain; (b) 2-level DWT of normal brain; (c) 2-level +DWPT of normal brain; (d) AD brain; (e) 2-level DWT of AD brain; (f) 2-level DWPT of AD brain.} +\end{frame} + +\section{Морфологические операции} +\begin{frame}{Морфологические операции} +\only<1>{ +\begin{block}{Основные понятия} +\begin{itemize} +\item Пусть $A$~-- некоторая область на бинарном изображении, $a=(a_1,a_2)\in A$~-- точка, ей +принадлежащая; интенсивность в точке $a$ обозначим как $v(a)$. +\item {\bf Объект}: $A=\{a\;|\;v(a)==1, \forall a \text{ 4/8-connected}\}$. +\item {\bf Фон}: $B=\{b\;|\;b==0 \cup b\text{ not connected}\}$. +\item {\bf Сдвиг}: $A_x=\{c\;|\;c=a+x, \forall a\in A\}$. +\item {\bf Отражение}: $\hat A=\{c \;|\; c=-a, \forall a\in A\}$. +\item {\bf Дополнение}: $A^C=\{c \;|\; c\notin A\}$. +\item {\bf Сумма}: $A+B=\{c \;|\; c\in (A\cup B)\}=A\cup B$. +\item {\bf Разность}: $A-B=\{c \;|\; c\in A, c\notin B\}=A \cap B^C$. +\end{itemize} +\end{block}} +\only<2>{\img[0.8]{baseimop}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Эрозия (усечение)} +\begin{block}{} +$$A\ominus B=\{x \;|\; B_x\subseteq A\}\text{ или } +A\ominus B=\{x \;|\; B_x\cap A^C=\varnothing\}\text{ или } +A\ominus B=\bigcap_{b\in B}A_b +$$ +\end{block} +\only<1>{\img[0.7]{erosion}} +\only<2>{\img[0.7]{erosion01}} +\only<3>{\img{erosion02}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Дилатация (наращивание)} +\begin{block}{} +$$A\oplus B = \{x \;|\; \hat B_z\cap A \ne\varnothing\} \text{ или } +A\oplus B = \bigcup_{b\in B}A_b=\bigcup_{a\in A}B_a +$$ +\end{block} +\only<1>{\img[0.7]{dilation}} +\only<2>{\img{dilation01}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Свойства} +\begin{block}{} +\centerline{Коммутативность:} +$$A\oplus B = B\oplus A\qquad A\ominus B \ne B\ominus A$$ +\centerline{Ассоциативность:} +$$A\oplus (B\cup C)=(A\oplus B)\cup(A\oplus C)\qquad A\ominus (B\cup C)=(A\ominus B)\cap(A\ominus +C)$$ +$$(A\ominus B)\ominus C = A\ominus(B\oplus C)$$ +\centerline{Двойственность:} +$$(A\ominus B)^C=A^C\oplus\hat B\qquad +(A\oplus B)^C =A^C\ominus\hat B$$ +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{Открытие (размыкание)} +\begin{block}{}$$A\circ B = (A\ominus B)\oplus B$$\end{block} +\img{opening01} +\end{frame} + +\begin{frame}{Закрытие (замыкание)} +\begin{block}{} +$$A\bullet B = (A\oplus B)\ominus B$$ +\img{closing01} +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\img{morph01} +\end{frame} + +\begin{frame}{<> и <>} +\begin{block}{} +$$A\hat\circ B = A\backslash (A\circ B), \qquad +A\hat\bullet B = (A\bullet B)\backslash A$$ +\end{block} +\only<1>{\img[0.8]{tophat}} +\only<2>{\img[0.8]{bottomhat}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Hit-and-miss} +\only<1,2>{\begin{block}{}$$A \circledast B = (A\ominus B_1)\cap(A^C\ominus B_2),\quad\text{где}$$ +$$B_1=\{b \;|\; b\in B, b=1\},\; B_2=\{\tilde b \;|\; b\in B, b=0\}$$ +\end{block}} +\only<1>{\img[0.8]{hitamiss01}} +\only<2>{\img[0.8]{hitamiss02}} +\only<3>{\img[0.8]{hit_and_miss_skel}$$S=A\backslash \bigcup_{i}(A\circledast B_i)$$} +\only<4>{\img{skel01}} +\only<5>{\img{skel02}} +\end{frame} + +\section{Сегментация изображений} +\begin{frame}{Сегментация изображений} +\begin{block}{Основы} +\begin{itemize} +\item Сегментация: $\cup_{i=1}^n R_i \,\cup\, \cup_{i=1}^n B_i= R$, все $R_i$ связные, $B_i$~-- +фон. +\item $R_i\cap R_j=\varnothing$ $\forall i\ne j$. +\item $Q(R_i) = 1$, $i=\overline{1,n}$, $Q$~-- логический предикат. +\item $Q(R_i\cup R_j)=0$ $\forall i\ne j$. +\end{itemize} +\end{block} +\begin{block}{Производные} +\begin{itemize} +\item $\partder{f}{x}\equiv f'_x=f(x+1)-f(x)$ +\item $\dpartder{f}{x}\equiv f''_x = f'_x(x+1)-f'_x(x)=f(x+2)+f(x)-2f(x+1)$ +\item $\nabla^2f(x,y) = f''_x(x,y)+f''_y(x,y) \Arr$ + $\nabla^2 f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$ +\end{itemize} +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{Примеры (M13)} +\only<1>{Оригинал:\\ + \smimg[0.5]{origFull}\;\smimg[0.5]{origCrop} +} +\only<2>{Бинаризация по постоянному порогу:\\ + \smimg[0.5]{binFull}\;\smimg[0.5]{binCrop} +} +\only<3>{Четырехкратная эрозия:\\ + \smimg[0.5]{erosion4Full}\;\smimg[0.5]{erosion4Crop} +} +\only<4>{Четырехкратное размыкание:\\ + \smimg[0.5]{opening4Full}\;\smimg[0.5]{opening4Crop} +} +\only<5>{Оригинал с предыдущей маской:\\ + \smimg[0.5]{objE4D4Full}\;\smimg[0.5]{objE4D4Crop} +} +\only<6>{Двадцатипятикратная эрозия:\\ + \smimg[0.5]{erosion25Full}\;\smimg[0.5]{erosion25Crop} +} +\only<7>{Маска (25 эрозий и 200 дилатаций):\\ + \smimg[0.5]{opE25D200Full}\;\smimg[0.5]{opE25D200Crop} +} +\only<8>{Оригинал с предыдущей маской:\\ + \smimg[0.5]{objE25D200Full}\;\smimg[0.5]{objE25D200Crop} +} +\only<9>{Выделенные объекты (размыкание х4 и х10; 237 и 9 объектов в поле соответственно):\\ + \smimg[0.5]{count4}\;\smimg[0.5]{count10} +} +\end{frame} + +\begin{frame}{Обнаружение линий, точек и перепадов} +\only<1>{\centerline{Точки --- лапласиан, линии, перепады --- градиент}\img[0.8]{prewitt} +\centerline{Prewitt}} +\only<2>{\img[0.7]{compmask}} +\only<3>{\begin{block}{Градиент} +$$\nabla \vec f = (f'_x, f'_y) = \bigl(f(x+1,y)-f(x,y), f(x,y+1)-f(x,y)\bigr)$$ +\end{block}\img[0.8]{imgrad}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Выделение границ} +\only<1>{\begin{block}{Морфологический градиент} +$$\beta(A)=A\backslash(A\ominus B)\qquad +\beta'(A)=(A\oplus B)\backslash A\qquad +\beta''(A)=(A\oplus B)\backslash(A\ominus B)$$ +\end{block}\img{morphgrad}} +\only<2>{\begin{block}{Canny} +\begin{enumerate} +\item Размывание изображения гауссовым фильтром. +\item Вычисление частных производных $I'_x$ и $I'_y$ (Робертс, Собель, Прюитт, LoG, DoG\dots) и +компонентов градиента: $M=\sqrt{(I'_x)^2+(I'_y)^2}$, $\theta=\arctg\frc{I'_y}{I'_x}$. +\item Пороговое преобразование $M$: $M_T = M$, если $M>T$, иначе $M_T=0$. +\item Обнуление немаксимальных $M_T$ по направлению $\theta$ (по двум соседям). +\item Получение двух пороговых значений: $M_{T_1}$ и $M_{T_2}$; $T_1{\img[0.6]{canny01}\centerline{Образец}} +\only<4>{\img[0.6]{canny02}\centerline{Sobel}} +\only<5>{\img[0.6]{canny03}\centerline{Prewitt}} +\only<6>{\img[0.6]{canny04}\centerline{DoG}} +\only<7>{\img[0.6]{canny05}\centerline{Canny, $\sigma=5$, $T_1=0.8$, $T_2=0.95$}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Обнаружение прямых и окружностей} +\only<1>{\begin{block}{Преобразование Хафа} +$$r = x\cos\theta + y\sin\theta$$ +\end{block} +\img[0.5]{R_theta_line}} +\only<2>{\img{htdiagram}} +\only<3>{\img[0.7]{htexample}} +\only<4>{\img{htEx}} +\only<5>{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{h01}\hfil + \includegraphics[width=0.48\textwidth]{h02}} +\only<6>{\begin{block}{Преобразование Хафа для поиска окружностей} +$$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$$ +\end{block}\img{htcirc01}} +\only<7>{\img{htcirc02}\centerline{Трехмерный массив в случае неизвестных центра и радиуса.}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Пример: датчик волнового фронта} +\img{Hough_ex} +\end{frame} + +\begin{frame}{Сегментация по морфологическим водоразделам} +\only<1>{\begin{block}{} +Бинарные изображения: итеративные дилатации с построением перегородок в местах +образовавшихся пересечений. +\end{block}} +\only<2,3>{\begin{block}{}Бинарные изображения: преобразования расстояний\end{block}} +\only<1>{\img[0.5]{watershed}} +\only<2>{\img[0.4]{wat01}} +\only<3>{\img[0.75]{wat02}} +\only<4>{\begin{block}{} +В общем случае: различные алгоритмы заполнения. +\end{block} +\img[0.7]{watershed01}} +\end{frame} + +\begin{frame}{Спасибо за внимание!} +\centering +\begin{minipage}{5cm} +\begin{block}{mailto} +eddy@sao.ru\\ +edward.emelianoff@gmail.com +\end{block}\end{minipage} +\begin{block}{Литература} +\begin{itemize} +\item Gonzalez \& Woods. Digital Image Processing, 3rd edition. 2008. +\item Gonzalez \& Woods \& Eddins. Digital Image Processing Using MATLAB, 2nd edition. 2009. +\item \url{http://www.imageprocessingplace.com/root_files_V3/tutorials.htm} +\end{itemize} +\end{block} + +\end{frame} +\end{document} diff --git a/Komp_obr/07-iproc_3.pdf b/Komp_obr/07-iproc_3.pdf new file mode 100644 index 0000000..b4a17e6 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/07-iproc_3.pdf differ diff --git a/Komp_obr/07-iproc_3.tex b/Komp_obr/07-iproc_3.tex new file mode 100644 index 0000000..8eb4295 --- /dev/null +++ b/Komp_obr/07-iproc_3.tex @@ -0,0 +1,287 @@ +\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer} +\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen} +\usepackage{lect} + +\title[Компьютерная обработка. Лекция 7.3.]{Компьютерная обработка результатов измерений} +\subtitle{Лекция 7.3. Обработка астрономических изображений} +\date{5 апреля 2021 года} + +\begin{document} +% Титул +\begin{frame} +\maketitle +\end{frame} +% Содержание +\begin{frame} +\tableofcontents +\end{frame} + +\section{Сигнал--шум} +\begin{blueframe}{} +\only<1>{ +\begin{block}{SNR} +$$\SNR = \frac{N}{\sqrt{N}}= \sqrt{N},\qquad N=N_{star}+N_{sky}\quad\Arr$$ +$$\SNR\approx\frac{N_{star}}{\sqrt{N_{star}+2N_{sky}}},\qquad N=t_{exp}\cdot R\quad\Arr$$ +$$\SNR\approx\frac{R_{star}\sqrt{t_{exp}}}{\sqrt{R_{star}+2R_{sky}}}\quad\Arr\quad + \SNR\propto\sqrt{t_{exp}}$$ +$$R=R_0\cdot S_{mirror}\propto D_{mirror}^2\quad\Arr\quad \SNR\propto D_{mirror}$$ +$$N_{meas}\text{ коротких экспозиций вместо +одной:}\quad\sigma_{mean}=\frac{\sigma_{individ}}{\sqrt{N_{meas}}}\propto\frac{\sqrt{S}}{N_{meas}}$$ +$$\SNR_{mean}=\frac{S/N_{meas}}{\sigma_{mean}}\propto\sqrt{S}=\SNR_{long}\quad\text{только если } +\sigma\approx\sigma_{phot}!!!$$ +\end{block} +} +\only<2>{ + \begin{block}{Коррекция апертуры} % CCDPhotometryBook.pdf + Почему изображение яркой звезды шире: несмотря на совершенно одинаковую PSF у обеих звезд, при сечении + одинаковым порогом яркая звезда всегда <<больше>>. Увеличение апертуры \Arr увеличение шумов, необходимо + использовать как можно меньшую апертуру. + $$\Delta_N^{bright} = m(N\cdot \FWHM) - m(1\cdot\FWHM)\quad\Arr\quad + m^{faint} = m(1\cdot\FWHM) + \Delta_N^{bright},$$ + $m(x)$~-- звездная величина на апертуре~$x$. + \end{block}\vspace*{-1em} + \img[0.6]{fwhm} +} +\end{blueframe} + +\section{Деконволюция} +\begin{frame}{Деконволюция} +\only<1>{ +\begin{block}{} +$$I(x,y) = P(x,y)*O(x,y)+N(x,y),\quad\text{$P$~-- PSF}\quad\text{или}$$ +$$\FT{I}=\FT{O}\cdot\FT{P}+\FT{N}\quad\Arr\quad +\FT{O}=\frac{\FT{I} - \FT{N}}{\FT{P}}$$ +$$\text{Наименьшие квадраты:}\quad +\FT{O}=\frac{\FT{P}^*\FT{I}}{|\FT{P}|^2}$$ +$$\text{Регуляризация Тихонова, $\min(J_T)$ ($H$~-- HPF):}\quad +\quad J_T=||I-P*O|| - \lambda||H*O||,$$ +$$\FT{O}=\frac{\FT{P}^*\FT{I}}{|\FT{P}|^2+\lambda|\FT{H}|^2}$$ +\end{block} +}\only<2>{ +\begin{block}{Регуляризация по Байесу} +$$p(O|I)=\frac{p(I|O)\cdot p(O)}{p(I)}$$ +$$\text{Maximum likelihood:}\quad \mathrm{ML}(O)=\max_O p(I|O)$$ +$$\text{Maximum-a-posteriori solution:}\quad +\mathrm{MAP}(O)=\max_O p(I|O)\cdot p(O)$$ +\end{block} +\begin{block}{} +\begin{itemize} +\item Итерационная регуляризация +\item Вейвлет-регуляризация +\item \dots +\end{itemize} +\end{block} +} +\end{frame} + +\begin{frame}{Функция рассеяния точки} +\only<1>{\img[0.6]{moffat}} +\only<2>{\begin{block}{} +\begin{itemize} +\item Гаусс: $f(x) = f_0\exp\Bigl(\dfrac{-(x-x_0)^2}{2\sigma^2}\Bigr)$, $\FWHM\approx2.355\sigma$ +\item Моффат: $f(x) = f_0\Bigl(1+\dfrac{(x-x_0)^2}{\alpha^2}\Bigr)^{-\beta}$, +$\FWHM\approx2\alpha\sqrt{2^{1/\beta}-1}$ +\item Фрид: $\FT{f} \propto \exp\Bigl[-(bu)^{5/3}\Bigr]$, +$\FWHM\approx 2.921 b$ (Моффат с $\beta=4.765$, типичные же $\beta=2.5\cdots4.5$). +\end{itemize} +\end{block} +} +\end{frame} + +\section{Обнаружение} +\begin{frame}{Обнаружение} +\begin{block}{Простейший алгоритм} +\begin{enumerate} +\item Вычисление и вычитание фона +\item Свертка с маской и бинаризация +\item Обнаружение связных областей +\item Уточнение фона, goto 1 +\item Классификация, фотометрия и т.п. +\end{enumerate} +\end{block} +\end{frame} + +\begin{blueframe}{} +\img{objdet} +\end{blueframe} + +\begin{blueframe}{Изофоты} +\only<1>{\begin{block}{Метод шагающих квадратов} +Бинаризуем изображение по заданному порогу. По соседям каждого пикселя вычисляем битовую маску +($0\div15$). От точки $1\div14$ строим изолинию, соответственно меняя значения в пикселях маски. Каждый узел +изолинии~--- линейная или другая интерполяция интенсивности в пикселях оригинала. +\end{block} +\img[0.5]{isophotes} +} +\only<2>{\img{Marching_squares_algorithm}} +\end{blueframe} + +\begin{frame}{WCS-привязка} +\only<1>{ +\img[0.6]{WCS_triangles} +\centerline{A.~P\'al, G.\'A.~Bakos. PASP {\bf 118}: 1474--1483, 2006. }} +\only<2>{ +\img[0.65]{WCS_quad} +\centerline{\url{astrometry.net}}} +\only<3>{\begin{block}{} +\begin{itemize} +\item Положение нескольких звезд характеризуется параметром, инвариантным к зеркалированию, масштабированию, +вращению и переносу. Устойчивым к шуму. +\item Квадрату ABCD соответствует четырехмерный код в относительных координатах точек C и D. +\item Проблема вырождения: при смене порядка A, B или C, D код <<отражается>>. +\item На небе строится сетка с масштабируемым шагом, по каталожным данным в ее ячейках определяются квадраты +с ниспадающей яркостью звезд. +\item Полученный набор кодов позволяет идентифицировать участки неба вплоть до самых мелких масштабов (нужны +хотя бы четыре звезды в кадре). +\item Чем больше звезд на кадре, тем надежней будет идентификация. +\end{itemize} +\end{block} +} +\end{frame} + +\begin{blueframe}{Триангуляция Делоне} +\img[0.6]{delaunay} +\end{blueframe} + +\begin{blueframe}{Диаграммы Вороного} +\only<1>{\img[0.6]{voronoi}} +\only<2>{\img[0.6]{delvor}} +\end{blueframe} + +\begin{frame}{Свойства триангуляции Делоне} +\begin{block}{} +\begin{itemize} +\item ТД взаимно однозначно соответствует диаграмме Вороного для того же множества точек. +Как следствие: если никакие четыре точки не лежат на одной окружности, ТД единственна. +\item ТД максимизирует минимальный угол среди всех углов всех построенных треугольников, тем +самым избегаются <<тонкие>> треугольники. +\item ТД максимизирует сумму радиусов вписанных окружностей. +\item ТД минимизирует максимальный радиус минимального объемлющего шара. +\item ТД на плоскости обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около +треугольников, среди всех возможных триангуляций. +\end{itemize} +\end{block} +\end{frame} + +\begin{blueframe}{K-nearest} +\begin{columns} +\column{0.5\textwidth} +\begin{block}{} +Классификация объекта по $k$~ближайшим соседям. В случае первой выборки~--- треугольник, в случае второй~--- +квадрат. + +$k$ может быть дробным, если применять взвешенные расстояния. +\end{block} +\column{0.5\textwidth} +\img{knearest} +\end{columns} +\end{blueframe} + +\section{Анализ разреженных данных} +\begin{frame}{Анализ разреженных данных} +\only<1>{ +\begin{block}{Корреляция} +$$C(\tau)=\frac{[a(t)-\aver{a}][b(t+\tau)-\aver{b}]}{\sigma_a\sigma_b}$$ +$$\text{Unbinned: } U_{ij}=\frac{(a_i-\aver{a})(b_j-\aver{b})}{ +\sqrt{(\sigma_a^2-e^2_a)(\sigma_b^2-e^2_b)}},\qquad \Delta t_{ij}=t_j-t_i\qquad$$ +$$C(\tau)=\frac1{N_\tau}U_{ij,\tau},\qquad +\tau-\Delta\tau/2\le\Delta t_{ij}\le\tau+\Delta\tau/2$$ +Не нужна интерполяция! +\end{block} +}\only<2>{ +\img[0.8]{scatter_corr}\centerline{Пунктир~--- корреляция через интерполяцию}} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\only<1>{ +\begin{block}{Периодограмма Ломба--Скаргла (Lomb--Scargle)} +$$P_{x}(\omega )={\frac {1}{2}}\left({\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau +)\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega +(t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right)$$ +$$\tg{2\omega \tau }={\frac {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}$$ +\end{block} +\img{lombscargle} +}\only<2>{ +\begin{block}{Преобразование Фурье} +$$ P_m=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i\frac{2\pi}{N}mn}\quad\Arr\quad +P_m=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i\frac{2\pi}{T}mt_n},\quad T=t_N-t_1$$ +В octave: \tt{irsa\_dft(X,Y,freq)}: +$\displaystyle P(\nu)=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i \nu_n\cdot t_n}$ +\end{block}} +\only<3>{\img[0.8]{scat01}} +\only<4>{\img[0.8]{scatFFT}} +\only<3,4>{\centerline{$T=111.5\quad\Arr\quad \nu\approx0.00897$}} +\end{frame} + +% \begin{frame}{} +% \only<1>{ +% \begin{block}{} +% \end{block} +% }\only<2>{ +% \img[0.8]{} +% } +% \end{frame} + + + +\section{Робастные методы} +\begin{frame}{Робастные методы} +\begin{block}{} +Робастная надежность МНК~--- 0! + +Простейшая робастная оценка~--- медиана (можно <<засорить>> до 50\% данных!). +Оценка <<плохости>>: $MAD=\med(x_i-\med(x))$. + +Группировка данных и метод усеченных квадратов. + +Метод наименьших медиан квадратов: $\min\bigl(\med(x^2)\bigr)$. + +Оценка дисперсии: $\med(|x_i-\med(x)|)\approx0.67\sigma$. + +M-, R-, S-, Q- оценки. + + +\end{block} +\end{frame} + + + + +\begin{frame}{Программное обеспечение} +\begin{block}{\url{http://heasarc.gsfc.nasa.gov/docs/heasarc/astro-update/}} +\begin{itemize} +\item ASTROPY: A single core package for Astronomy in Python +\item Aladin: An interactive software sky atlas +\item CFITSIO: FITS file access subroutine library +\item GSL: GNU Scientific Library +\item IDLAUL: IDL Astronomical Users Library +\item IRAF: Image Reduction and Analysis Facility +\item MIDAS: Munich Image Data Analysis System +\item PyRAF: Run IRAF tasks in Python +\item SAOImage ds9: FITS image viewer and analyzer +\item SEXTRACTOR: Builds catalogue of objects from an astronomical image +\item WCSLIB: World Coordinate System software library +\item \dots~\url{http://tdc-www.harvard.edu/astro.software.html} +\end{itemize} +\end{block} +\end{frame} + +\begin{frame}{Литература} +\begin{itemize} +\item W. Romanishin. An Introduction to Astronomical Photometry Using CCDs. +\item Jean-Luc Starck and Fionn Murtagh. Handbook of Astronomical Data Analysis. +\item E.D.~Feigelson, G.J.~Babu. Modern Statistical Methods for Astronomy With R Applications. +\item R.A.~Edelson, J.H.~Krolik. The discrete correlation function --- A new method for analyzing +unevenly sampled variability data. ApJ, {\bf 333},1988, 646--659. +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Спасибо за внимание!} +\centering +\begin{minipage}{5cm} +\begin{block}{mailto} +eddy@sao.ru\\ +edward.emelianoff@gmail.com +\end{block}\end{minipage} +\end{frame} +\end{document} diff --git a/Komp_obr/lect.sty b/Komp_obr/lect.sty index 93cbf33..b3d87fe 100644 --- a/Komp_obr/lect.sty +++ b/Komp_obr/lect.sty @@ -1,6 +1,7 @@ \usepackage[T2A]{fontenc} %поддержка кириллицы \usepackage[koi8-r]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} +\usepackage{array} \usepackage{xspace} %\usepackage[intlimits]{amsmath} @@ -18,12 +19,15 @@ {\end{center}\end{figure}} \setbeamercolor{color1}{bg=blue!50!black,fg=white} +\setbeamercolor{light1}{bg=blue!20!white,fg=black} \setbeamercolor{normal text}{bg=blue!20!black,fg=cyan!70!white} \setbeamercolor{frametitle}{fg=red,bg=blue!40!black} \setbeamercolor{title}{fg=red,bg=blue!40!black} \setbeamercolor{block title}{fg=cyan,bg=blue!40!black} \newenvironment{defin}{\begin{beamercolorbox}[shadow=true, rounded=true]{color1}}% {\end{beamercolorbox}} +\newenvironment{light}{\begin{beamercolorbox}[shadow=false,rounded=false]{light1}}% + {\end{beamercolorbox}} \newcommand{\img}[2][]{\begin{pict}\includegraphics[width=#1\columnwidth]{#2}\end{pict}} \newcommand{\smimg}[2][]{\includegraphics[width=#1\columnwidth]{#2}} \logo{\includegraphics[width=1cm,height=1cm,keepaspectratio]{saologo.jpg}} @@ -64,22 +68,65 @@ \newenvironment{blueframe}{\bgroup\setbeamercolor{normal text}% {bg=cyan!70!white}\begin{frame}}{\end{frame}\egroup} +\newsavebox{\hght} % for ddotvec +\newlength{\lngth} + +\def\arr{\ensuremath{\,\rightarrow\,}} % Стрелка вправо +\def\Arr{\ensuremath{\,\Rightarrow\,}} % жирная -//- \def\aver#1{\bgroup\mathopen{<}#1\mathclose{>}\egroup} +\def\Ang{\mbox{\rm\AA}} % Ангстрем \def\B#1{\ensuremath{\mathbf{#1}}} \def\ceil#1{\bgroup\lceil #1\rceil\egroup} \def\const{\ensuremath{\mathfrak{const}}} \def\C{\ensuremath{\mathfrak{C}}} +\def\degr{\ensuremath{^\circ}} % Градус +\def\ddotvec#1{ % вторая производная вектора по времени + \savebox{\hght}{$\vec{#1}$}\ddot{\raisebox{0pt}[.8\ht\hght]{$\vec{#1}$}}} +\def\dotvec#1{ % Производная вектора по времени + \savebox{\hght}{$\vec{#1}$}\dot{\raisebox{0pt}[.8\ht\hght]{$\vec{#1}$}}} \def\dpartder#1#2{\dfrac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} % вторая частная производная \def\e{\mathop{\mathrm e}\nolimits} +\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} % Красивый эпсилон +\def\frc#1#2{\raisebox{2pt}{$#1$}\big/\raisebox{-3pt}{$#2$}} % a/b, a выше, b ниже \def\floor#1{\bgroup\lfloor #1\rfloor\egroup} \def\frc#1#2{\bgroup\raisebox{2pt}{$#1$}\big/\raisebox{-3pt}{$#2$}\egroup} -\def\FT#1{\mathcal{F}(#1)} +\def\F{\ensuremath{\mathop{\mathfrak F}}\nolimits} % Красивая Ф +\def\FT#1{\mathcal{F}\left(#1\right)} +\def\FWHM{\mathrm{FWHM}} +\renewcommand{\ge}{\geqslant} +\def\grad{\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits} % Градиент +\def\ind#1{_{\text{\scriptsize #1}}} % Нижний индекс русс. буквами +\def\indfrac#1#2{\raisebox{2pt}{$\frac{\mbox{\small $#1$}}{\mbox{\small $#2$}}$}} +\def\I{\ensuremath{\mathfrak{I}}} % Интеграл +\def\IFT#1{\mathcal{F}^{-1}\left(#1\right)} % Обратное ФП +\def\IInt{\mathop{{\int\!\!\!\int}}\limits} % Двойной большой интеграл +\def\ILT#1{\mathop{\mathfrak{L}}\nolimits^{-1}\left(#1\right)} % Обратное преобр. Лапласа \def\Int{\int\limits} \def\Infint{\int\limits_{-\infty}^\infty} +\def\IZT#1{\mathop{\mathcal{Z}}\nolimits^{-1}\left(#1\right)} % Обратное Z-преобразование +\renewcommand{\kappa}{\varkappa} % Красивая каппа +\renewcommand{\le}{\leqslant} % Меньше или равно +\def\ltextarrow#1{\ensuremath{\stackrel{#1}\leftarrow}} % Стрелка влево с подписью сверху +\def\lvec{\overrightarrow} % Длинный вектор +\def\LT#1{\mathop{\mathfrak{L}}\nolimits\left(#1\right)} % Преобразование Лапласа \def\mean#1{\overline{#1}} \def\med{\mathop{\mathrm{med}}\nolimits} \def\moda{\mathop{\mathrm{Mo}}\nolimits} +\def\Oint{\oint\limits} % Большой интеграл \def\partder#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} +\renewcommand{\phi}{\varphi} % Красивая фи +\def\rev#1{\frac{1}{#1}} % Обратная величина +\def\rot{\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits} % Ротор +\def\rtextarrow#1{\ensuremath{\stackrel{#1}\rightarrow}} % Стрелка вправо с подписью +\def\R{\ensuremath{\mathbb{R}}} % рациональные числа \def\so{\ensuremath{\Longrightarrow}\xspace} % следовательно +\def\sinc{\mathop{\mathrm{sinc}}\nolimits} % Интегральный синус \def\SNR{\mathop{\mathrm{SNR}}\nolimits} - +\def\Sum{\sum\limits} +\def\Tr{\mathop{\mathrm{Tr}}\nolimits} % След матрицы +\def\veci{{\vec\imath}} % i-орт +\def\vecj{{\vec\jmath}} % j-орт +\def\veck{{\vec{k}}} % k-орт +\def\when#1{\ensuremath{\Bigr|_{#1}}} % Верт. линия с нижним индексом +\def\WT#1{\ensuremath{\mathop{\mathrm{WT}\left(#1\strut\right)}}} % вейвлет-преобразование +\def\ZT#1{\mathop{\mathcal{Z}}\nolimits\left(#1\right)} % Z-преобразование diff --git a/Komp_obr/pic/1D_Inter_polation.png b/Komp_obr/pic/1D_Inter_polation.png new file mode 100644 index 0000000..1a656b1 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/1D_Inter_polation.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/2d-haar-basis.png b/Komp_obr/pic/2d-haar-basis.png new file mode 100644 index 0000000..d5d8090 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/2d-haar-basis.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Ampl_modulation.png b/Komp_obr/pic/Ampl_modulation.png new file mode 100644 index 0000000..a6dd643 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Ampl_modulation.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Analog_signal.jpg b/Komp_obr/pic/Analog_signal.jpg new file mode 100644 index 0000000..4132458 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Analog_signal.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/Bayer_pattern.pdf b/Komp_obr/pic/Bayer_pattern.pdf new file mode 100644 index 0000000..68d5b9a Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Bayer_pattern.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/CMYK.png b/Komp_obr/pic/CMYK.png new file mode 100644 index 0000000..a6754bc Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/CMYK.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Euler_method.pdf b/Komp_obr/pic/Euler_method.pdf new file mode 100644 index 0000000..7daf5da Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Euler_method.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/FM-AM.pdf b/Komp_obr/pic/FM-AM.pdf new file mode 100644 index 0000000..bc44b89 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/FM-AM.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/Four-filter.pdf b/Komp_obr/pic/Four-filter.pdf index b0cfb64..4af2cac 100644 Binary files a/Komp_obr/pic/Four-filter.pdf and b/Komp_obr/pic/Four-filter.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/Freq_modulation.jpeg b/Komp_obr/pic/Freq_modulation.jpeg new file mode 100644 index 0000000..ef6125a Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Freq_modulation.jpeg differ diff --git a/Komp_obr/pic/Hough_ex.png b/Komp_obr/pic/Hough_ex.png new file mode 100644 index 0000000..6310531 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Hough_ex.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/M13_histeq.jpg b/Komp_obr/pic/M13_histeq.jpg new file mode 100644 index 0000000..4e9218a Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/M13_histeq.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/M13_nohisteq.jpg b/Komp_obr/pic/M13_nohisteq.jpg new file mode 100644 index 0000000..d01dcdd Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/M13_nohisteq.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/M29_histeq.jpg b/Komp_obr/pic/M29_histeq.jpg new file mode 100644 index 0000000..2db9487 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/M29_histeq.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/M29_nohisteq.jpg b/Komp_obr/pic/M29_nohisteq.jpg new file mode 100644 index 0000000..973f637 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/M29_nohisteq.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/Marching_squares_algorithm.pdf b/Komp_obr/pic/Marching_squares_algorithm.pdf new file mode 100644 index 0000000..e201cc7 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Marching_squares_algorithm.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/Phase_modulation.pdf b/Komp_obr/pic/Phase_modulation.pdf new file mode 100644 index 0000000..f14c6c4 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Phase_modulation.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/RGB.jpg b/Komp_obr/pic/RGB.jpg new file mode 100644 index 0000000..70d67d0 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/RGB.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/R_theta_line.jpg b/Komp_obr/pic/R_theta_line.jpg new file mode 100644 index 0000000..c977264 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/R_theta_line.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/Runge-Kutta.pdf b/Komp_obr/pic/Runge-Kutta.pdf new file mode 100644 index 0000000..0659110 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Runge-Kutta.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/Simpsons_method_illustration.pdf b/Komp_obr/pic/Simpsons_method_illustration.pdf new file mode 100644 index 0000000..de35fa1 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Simpsons_method_illustration.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-Blur1.png b/Komp_obr/pic/Vd-Blur1.png new file mode 100644 index 0000000..86be616 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-Blur1.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-Blur2.png b/Komp_obr/pic/Vd-Blur2.png new file mode 100644 index 0000000..4aed30e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-Blur2.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-Edge1.png b/Komp_obr/pic/Vd-Edge1.png new file mode 100644 index 0000000..76ecee9 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-Edge1.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-Edge2.png b/Komp_obr/pic/Vd-Edge2.png new file mode 100644 index 0000000..38865af Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-Edge2.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-Edge3.png b/Komp_obr/pic/Vd-Edge3.png new file mode 100644 index 0000000..fd989c6 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-Edge3.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-Fpwr.png b/Komp_obr/pic/Vd-Fpwr.png new file mode 100644 index 0000000..ad9044e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-Fpwr.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-LOG.png b/Komp_obr/pic/Vd-LOG.png new file mode 100644 index 0000000..5ceb9ec Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-LOG.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-Orig.png b/Komp_obr/pic/Vd-Orig.png new file mode 100644 index 0000000..136493e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-Orig.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-Sharp.png b/Komp_obr/pic/Vd-Sharp.png new file mode 100644 index 0000000..f52b7fa Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-Sharp.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/Vd-phase.png b/Komp_obr/pic/Vd-phase.png new file mode 100644 index 0000000..a1bd4d5 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/Vd-phase.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/WCS_quad.png b/Komp_obr/pic/WCS_quad.png new file mode 100644 index 0000000..6034721 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/WCS_quad.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/WCS_triangles.pdf b/Komp_obr/pic/WCS_triangles.pdf new file mode 100644 index 0000000..0741099 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/WCS_triangles.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/add_mult_noise.png b/Komp_obr/pic/add_mult_noise.png new file mode 100644 index 0000000..338b958 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/add_mult_noise.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/aliasing_fourier.png b/Komp_obr/pic/aliasing_fourier.png new file mode 100644 index 0000000..238ba92 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/aliasing_fourier.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/baseimop.jpg b/Komp_obr/pic/baseimop.jpg new file mode 100644 index 0000000..239cd8e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/baseimop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/bezier.png b/Komp_obr/pic/bezier.png new file mode 100644 index 0000000..ea5ea5f Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/bezier.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/binCrop.jpg b/Komp_obr/pic/binCrop.jpg new file mode 100644 index 0000000..89a3a9f Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/binCrop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/binFull.jpg b/Komp_obr/pic/binFull.jpg new file mode 100644 index 0000000..273ea0a Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/binFull.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/bisect.png b/Komp_obr/pic/bisect.png new file mode 100644 index 0000000..79a38fc Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/bisect.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/bitplanes.png b/Komp_obr/pic/bitplanes.png new file mode 100644 index 0000000..3b0da32 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/bitplanes.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/bottomhat.jpg b/Komp_obr/pic/bottomhat.jpg new file mode 100644 index 0000000..994a165 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/bottomhat.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/canny01.jpg b/Komp_obr/pic/canny01.jpg new file mode 100644 index 0000000..0e0f35e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/canny01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/canny02.jpg b/Komp_obr/pic/canny02.jpg new file mode 100644 index 0000000..9c5b376 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/canny02.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/canny03.jpg b/Komp_obr/pic/canny03.jpg new file mode 100644 index 0000000..326a438 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/canny03.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/canny04.jpg b/Komp_obr/pic/canny04.jpg new file mode 100644 index 0000000..79cc0af Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/canny04.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/canny05.jpg b/Komp_obr/pic/canny05.jpg new file mode 100644 index 0000000..1de8292 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/canny05.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/chords1.png b/Komp_obr/pic/chords1.png new file mode 100644 index 0000000..2207ddf Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/chords1.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/chords2.png b/Komp_obr/pic/chords2.png new file mode 100644 index 0000000..bc7448b Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/chords2.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/closing01.jpg b/Komp_obr/pic/closing01.jpg new file mode 100644 index 0000000..beb3e0d Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/closing01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/colormodels.pdf b/Komp_obr/pic/colormodels.pdf new file mode 100644 index 0000000..e62f59c Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/colormodels.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/compmask.jpg b/Komp_obr/pic/compmask.jpg new file mode 100644 index 0000000..7673f5b Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/compmask.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/connregs.png b/Komp_obr/pic/connregs.png new file mode 100644 index 0000000..c7384c1 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/connregs.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/count10.png b/Komp_obr/pic/count10.png new file mode 100644 index 0000000..f629913 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/count10.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/count4.png b/Komp_obr/pic/count4.png new file mode 100644 index 0000000..695dabb Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/count4.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/curvelet.png b/Komp_obr/pic/curvelet.png new file mode 100644 index 0000000..919d2e8 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/curvelet.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/delaunay.pdf b/Komp_obr/pic/delaunay.pdf new file mode 100644 index 0000000..ad6d464 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/delaunay.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/delvor.pdf b/Komp_obr/pic/delvor.pdf new file mode 100644 index 0000000..3974edb Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/delvor.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/dilation.png b/Komp_obr/pic/dilation.png new file mode 100644 index 0000000..f84c7f3 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/dilation.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/dilation01.jpg b/Komp_obr/pic/dilation01.jpg new file mode 100644 index 0000000..0eec94a Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/dilation01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/edge_DoG.gif b/Komp_obr/pic/edge_DoG.gif new file mode 100644 index 0000000..8692050 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/edge_DoG.gif differ diff --git a/Komp_obr/pic/edge_Prewitt.gif b/Komp_obr/pic/edge_Prewitt.gif new file mode 100644 index 0000000..35c764d Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/edge_Prewitt.gif differ diff --git a/Komp_obr/pic/edge_Sobel.gif b/Komp_obr/pic/edge_Sobel.gif new file mode 100644 index 0000000..e989aa6 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/edge_Sobel.gif differ diff --git a/Komp_obr/pic/edge_canny.gif b/Komp_obr/pic/edge_canny.gif new file mode 100644 index 0000000..bee5b5c Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/edge_canny.gif differ diff --git a/Komp_obr/pic/erosion.png b/Komp_obr/pic/erosion.png new file mode 100644 index 0000000..93d9a45 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/erosion.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/erosion01.png b/Komp_obr/pic/erosion01.png new file mode 100644 index 0000000..23b4ebd Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/erosion01.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/erosion02.png b/Komp_obr/pic/erosion02.png new file mode 100644 index 0000000..0501214 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/erosion02.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/erosion25Crop.jpg b/Komp_obr/pic/erosion25Crop.jpg new file mode 100644 index 0000000..3449fcf Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/erosion25Crop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/erosion25Full.jpg b/Komp_obr/pic/erosion25Full.jpg new file mode 100644 index 0000000..6355043 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/erosion25Full.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/erosion4Crop.jpg b/Komp_obr/pic/erosion4Crop.jpg new file mode 100644 index 0000000..a58f2b6 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/erosion4Crop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/erosion4Full.jpg b/Komp_obr/pic/erosion4Full.jpg new file mode 100644 index 0000000..386486a Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/erosion4Full.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/fft.jpg b/Komp_obr/pic/fft.jpg new file mode 100644 index 0000000..6edf70c Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/fft.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/fourwav.png b/Komp_obr/pic/fourwav.png new file mode 100644 index 0000000..1dee1f0 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/fourwav.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/fuzzy_edge_demo.gif b/Komp_obr/pic/fuzzy_edge_demo.gif new file mode 100644 index 0000000..f894c7e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/fuzzy_edge_demo.gif differ diff --git a/Komp_obr/pic/fwhm.pdf b/Komp_obr/pic/fwhm.pdf new file mode 100644 index 0000000..39892b4 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/fwhm.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/gaussCrop.jpg b/Komp_obr/pic/gaussCrop.jpg new file mode 100644 index 0000000..db79abf Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/gaussCrop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/gaussFull.jpg b/Komp_obr/pic/gaussFull.jpg new file mode 100644 index 0000000..31d89a9 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/gaussFull.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/gradientCrop.jpg b/Komp_obr/pic/gradientCrop.jpg new file mode 100644 index 0000000..e513218 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/gradientCrop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/gradientFull.jpg b/Komp_obr/pic/gradientFull.jpg new file mode 100644 index 0000000..ee6355b Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/gradientFull.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/graph1.png b/Komp_obr/pic/graph1.png new file mode 100644 index 0000000..be9c51b Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/graph1.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/graph2.png b/Komp_obr/pic/graph2.png new file mode 100644 index 0000000..8463772 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/graph2.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/graycode.png b/Komp_obr/pic/graycode.png new file mode 100644 index 0000000..412a1a0 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/graycode.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/h01.png b/Komp_obr/pic/h01.png new file mode 100644 index 0000000..7e44152 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/h01.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/h02.png b/Komp_obr/pic/h02.png new file mode 100644 index 0000000..2f36e66 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/h02.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/h1.png b/Komp_obr/pic/h1.png new file mode 100644 index 0000000..1f20dc9 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/h1.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/h2.png b/Komp_obr/pic/h2.png new file mode 100644 index 0000000..c2f99c6 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/h2.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/histeq.png b/Komp_obr/pic/histeq.png new file mode 100644 index 0000000..7dd0242 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/histeq.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/histogram.jpg b/Komp_obr/pic/histogram.jpg new file mode 100644 index 0000000..95695c0 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/histogram.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/hit_and_miss_skel.jpg b/Komp_obr/pic/hit_and_miss_skel.jpg new file mode 100644 index 0000000..c7d56a0 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/hit_and_miss_skel.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/hitamiss01.jpg b/Komp_obr/pic/hitamiss01.jpg new file mode 100644 index 0000000..86672e0 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/hitamiss01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/hitamiss02.jpg b/Komp_obr/pic/hitamiss02.jpg new file mode 100644 index 0000000..8fed802 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/hitamiss02.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/htEx.jpg b/Komp_obr/pic/htEx.jpg new file mode 100644 index 0000000..45c3a4a Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/htEx.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/htcirc01.jpg b/Komp_obr/pic/htcirc01.jpg new file mode 100644 index 0000000..3333fd4 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/htcirc01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/htcirc02.jpg b/Komp_obr/pic/htcirc02.jpg new file mode 100644 index 0000000..edd374f Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/htcirc02.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/htdiagram.png b/Komp_obr/pic/htdiagram.png new file mode 100644 index 0000000..0eb02c1 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/htdiagram.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/htexample.png b/Komp_obr/pic/htexample.png new file mode 100644 index 0000000..b4d902c Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/htexample.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/image020.png b/Komp_obr/pic/image020.png new file mode 100644 index 0000000..f690712 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/image020.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/image021.png b/Komp_obr/pic/image021.png new file mode 100644 index 0000000..55259cb Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/image021.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/imf_adpmed.png b/Komp_obr/pic/imf_adpmed.png new file mode 100644 index 0000000..a962f97 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/imf_adpmed.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/imf_mean.png b/Komp_obr/pic/imf_mean.png new file mode 100644 index 0000000..adb3512 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/imf_mean.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/imf_median.png b/Komp_obr/pic/imf_median.png new file mode 100644 index 0000000..89e43c9 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/imf_median.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/imf_ori.png b/Komp_obr/pic/imf_ori.png new file mode 100644 index 0000000..70d1d48 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/imf_ori.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/imgrad.jpg b/Komp_obr/pic/imgrad.jpg new file mode 100644 index 0000000..f74f9c2 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/imgrad.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/irregular.png b/Komp_obr/pic/irregular.png new file mode 100644 index 0000000..9719708 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/irregular.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/isol1.png b/Komp_obr/pic/isol1.png new file mode 100644 index 0000000..016ad61 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/isol1.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/isol2.png b/Komp_obr/pic/isol2.png new file mode 100644 index 0000000..b9ba282 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/isol2.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/isophotes.png b/Komp_obr/pic/isophotes.png new file mode 100644 index 0000000..c1cf02d Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/isophotes.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/knearest.pdf b/Komp_obr/pic/knearest.pdf new file mode 100644 index 0000000..dda30c8 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/knearest.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/lapgaussCrop.jpg b/Komp_obr/pic/lapgaussCrop.jpg new file mode 100644 index 0000000..991c5d4 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/lapgaussCrop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/lapgaussFull.jpg b/Komp_obr/pic/lapgaussFull.jpg new file mode 100644 index 0000000..e6430d9 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/lapgaussFull.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/lappyramid.png b/Komp_obr/pic/lappyramid.png new file mode 100644 index 0000000..797de63 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/lappyramid.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/lombscargle.pdf b/Komp_obr/pic/lombscargle.pdf new file mode 100644 index 0000000..e2228fc Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/lombscargle.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/median1.jpg b/Komp_obr/pic/median1.jpg new file mode 100644 index 0000000..382dec5 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/median1.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/median5.jpg b/Komp_obr/pic/median5.jpg new file mode 100644 index 0000000..245fd78 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/median5.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/moffat.png b/Komp_obr/pic/moffat.png new file mode 100644 index 0000000..e168308 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/moffat.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/morph01.jpg b/Komp_obr/pic/morph01.jpg new file mode 100644 index 0000000..cd368fa Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/morph01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/morphgrad.jpg b/Komp_obr/pic/morphgrad.jpg new file mode 100644 index 0000000..f9507ba Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/morphgrad.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/msquare.pdf b/Komp_obr/pic/msquare.pdf new file mode 100644 index 0000000..c40ccdb Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/msquare.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/neighbourhoods.png b/Komp_obr/pic/neighbourhoods.png new file mode 100644 index 0000000..739607b Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/neighbourhoods.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/newton1.png b/Komp_obr/pic/newton1.png new file mode 100644 index 0000000..2f68c85 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/newton1.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/newton2.png b/Komp_obr/pic/newton2.png new file mode 100644 index 0000000..d1d0acf Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/newton2.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/objCrop.jpg b/Komp_obr/pic/objCrop.jpg new file mode 100644 index 0000000..139f47e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/objCrop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/objE25D200Crop.jpg b/Komp_obr/pic/objE25D200Crop.jpg new file mode 100644 index 0000000..9165530 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/objE25D200Crop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/objE25D200Full.jpg b/Komp_obr/pic/objE25D200Full.jpg new file mode 100644 index 0000000..3ee1e05 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/objE25D200Full.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/objE4D4Crop.jpg b/Komp_obr/pic/objE4D4Crop.jpg new file mode 100644 index 0000000..7a068c2 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/objE4D4Crop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/objE4D4Full.jpg b/Komp_obr/pic/objE4D4Full.jpg new file mode 100644 index 0000000..d30971d Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/objE4D4Full.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/objFull.jpg b/Komp_obr/pic/objFull.jpg new file mode 100644 index 0000000..6c83d80 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/objFull.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/objdet.pdf b/Komp_obr/pic/objdet.pdf new file mode 100644 index 0000000..9d50a8f Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/objdet.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/opE25D200Crop.jpg b/Komp_obr/pic/opE25D200Crop.jpg new file mode 100644 index 0000000..fc333f9 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/opE25D200Crop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/opE25D200Full.jpg b/Komp_obr/pic/opE25D200Full.jpg new file mode 100644 index 0000000..dc8462f Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/opE25D200Full.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/opening01.jpg b/Komp_obr/pic/opening01.jpg new file mode 100644 index 0000000..d3e3633 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/opening01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/opening4Crop.jpg b/Komp_obr/pic/opening4Crop.jpg new file mode 100644 index 0000000..d3fe9a9 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/opening4Crop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/opening4Full.jpg b/Komp_obr/pic/opening4Full.jpg new file mode 100644 index 0000000..34e8abe Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/opening4Full.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/orapple.jpg b/Komp_obr/pic/orapple.jpg new file mode 100644 index 0000000..49da80f Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/orapple.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/oriadpmed.jpg b/Komp_obr/pic/oriadpmed.jpg new file mode 100644 index 0000000..f743175 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/oriadpmed.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/origCrop.jpg b/Komp_obr/pic/origCrop.jpg new file mode 100644 index 0000000..9d1667e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/origCrop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/origFull.jpg b/Komp_obr/pic/origFull.jpg new file mode 100644 index 0000000..470f777 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/origFull.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/prewitt.jpg b/Komp_obr/pic/prewitt.jpg new file mode 100644 index 0000000..41c9697 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/prewitt.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/prewitthCrop.jpg b/Komp_obr/pic/prewitthCrop.jpg new file mode 100644 index 0000000..89a6897 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/prewitthCrop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/prewitthFull.jpg b/Komp_obr/pic/prewitthFull.jpg new file mode 100644 index 0000000..1ff0e8f Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/prewitthFull.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/prewittvCrop.jpg b/Komp_obr/pic/prewittvCrop.jpg new file mode 100644 index 0000000..ce57ba3 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/prewittvCrop.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/prewittvFull.jpg b/Komp_obr/pic/prewittvFull.jpg new file mode 100644 index 0000000..960b47f Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/prewittvFull.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/pyramid.jpg b/Komp_obr/pic/pyramid.jpg new file mode 100644 index 0000000..2039784 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/pyramid.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/rectangmeth.png b/Komp_obr/pic/rectangmeth.png new file mode 100644 index 0000000..9dad549 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/rectangmeth.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/sRGB.png b/Komp_obr/pic/sRGB.png new file mode 100644 index 0000000..96b454e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/sRGB.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/scale.jpg b/Komp_obr/pic/scale.jpg new file mode 100644 index 0000000..8df56a1 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/scale.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/scat01.png b/Komp_obr/pic/scat01.png new file mode 100644 index 0000000..57fd1c5 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/scat01.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/scatFFT.png b/Komp_obr/pic/scatFFT.png new file mode 100644 index 0000000..aa59dee Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/scatFFT.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/scatter_corr.png b/Komp_obr/pic/scatter_corr.png new file mode 100644 index 0000000..903fb7b Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/scatter_corr.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/skel01.jpg b/Komp_obr/pic/skel01.jpg new file mode 100644 index 0000000..df6e5ce Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/skel01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/skel02.png b/Komp_obr/pic/skel02.png new file mode 100644 index 0000000..eebd13e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/skel02.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/table1.png b/Komp_obr/pic/table1.png new file mode 100644 index 0000000..da315a1 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/table1.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/table2.png b/Komp_obr/pic/table2.png new file mode 100644 index 0000000..73c0dac Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/table2.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/tophat.jpg b/Komp_obr/pic/tophat.jpg new file mode 100644 index 0000000..a664af0 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/tophat.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/trapezmeth.png b/Komp_obr/pic/trapezmeth.png new file mode 100644 index 0000000..e330454 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/trapezmeth.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/voronoi.pdf b/Komp_obr/pic/voronoi.pdf new file mode 100644 index 0000000..1065b97 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/voronoi.pdf differ diff --git a/Komp_obr/pic/wat01.jpg b/Komp_obr/pic/wat01.jpg new file mode 100644 index 0000000..055a2f5 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wat01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/wat02.jpg b/Komp_obr/pic/wat02.jpg new file mode 100644 index 0000000..940c2db Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wat02.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/watershed.jpg b/Komp_obr/pic/watershed.jpg new file mode 100644 index 0000000..3bab44e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/watershed.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/watershed01.png b/Komp_obr/pic/watershed01.png new file mode 100644 index 0000000..11d0a58 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/watershed01.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/wavelet.jpg b/Komp_obr/pic/wavelet.jpg new file mode 100644 index 0000000..94ba87e Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wavelet.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/wpack01.png b/Komp_obr/pic/wpack01.png new file mode 100644 index 0000000..90d11b4 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wpack01.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/wpack02.png b/Komp_obr/pic/wpack02.png new file mode 100644 index 0000000..8df4268 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wpack02.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/wpack03.png b/Komp_obr/pic/wpack03.png new file mode 100644 index 0000000..2719769 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wpack03.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/wpack04.png b/Komp_obr/pic/wpack04.png new file mode 100644 index 0000000..4156f31 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wpack04.png differ diff --git a/Komp_obr/pic/wvpyramid.jpg b/Komp_obr/pic/wvpyramid.jpg new file mode 100644 index 0000000..7d62021 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wvpyramid.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/wvpyramid01.jpg b/Komp_obr/pic/wvpyramid01.jpg new file mode 100644 index 0000000..18f35c7 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wvpyramid01.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/wvpyramid02.jpg b/Komp_obr/pic/wvpyramid02.jpg new file mode 100644 index 0000000..a10c398 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wvpyramid02.jpg differ diff --git a/Komp_obr/pic/wvpyramid03.png b/Komp_obr/pic/wvpyramid03.png new file mode 100644 index 0000000..ca1ead2 Binary files /dev/null and b/Komp_obr/pic/wvpyramid03.png differ