\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
\usepackage{ed}
\usepackage{lect}

\title[Компьютерная обработка. Лекции 3, 4.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
\subtitle{Лекция 3. Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности.\\
Лекция 4. Теория оценок.}
\date{28 сентября 2016 года}

\begin{document}
% Титул
\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}
% Содержание
\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Измерения и величины}
\begin{frame}{Измерения и величины}
\begin{defin}
\ж Мерой\н называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения и хранения значения 
физической величины.
Результатом сравнения оцениваемой вещи с мерой является именованное число,
называемое\ж значением величины\н.
\end{defin}
\begin{block}{Физические величины}
\begin{itemize}
\item постоянные (инварианты, константы, априорно фиксированные значения);
\item изменяющиеся (по определенному закону от $t$);
\item случайные (не имеющие точного значения).
\end{itemize}
Единицы измерения, размерность.\par
Скалярные, векторные, комплексные, тензорные величины.\par
Метрология.
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Виды измерений}
\begin{description}
\only<1>{
\item[Прямое] при котором искомое значение физической величины получают непосредственно.
\item[Косвенное] на основании результатов прямых измерений других физических величин, 
функционально связанных с искомой величиной.
\item[Совместные] проводимые одновременно для нескольких неодноименных величин для определения 
зависимости  между ними.
\item[Совокупные] при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, 
получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.
\item[Равноточные] выполненные  одинаковыми по точности средствами измерений.
\item[Неравноточные] выполненных различающимися по точности средствами измерений и (или) в разных 
условиях.}
\only<2>{
\item[Однократное, многократное]
\item[Статическое] для  величины, принимаемой в соответствии с конкретной  измерительной задачей за 
неизменную на протяжении времени измерения.
\item[Динамическое] для  изменяющейся по размеру физической величины.
\item[Абсолютное]  основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных 
величин и (или) использовании значений физических констант.
\item[Относительное] сравнение с эталонными мерами.}
\end{description}
\end{frame}


\begin{frame}{Представление результатов измерений}
\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
Графическое
\img[0.7]{graph_res}
\column{0.5\textwidth}
Табличное
\img{tab_res}
\end{columns}
\end{frame}

\section{Погрешность}
\begin{frame}{Погрешность}
\only<1>{
\begin{defin}
\ж Погрешность\н --- отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) 
значения. 
\end{defin}
\begin{block}{}
Абсолютная погрешность, $\Delta x$ (напр., RMS); относительная погрешность, $\delta x=\Delta 
x/\mean{x}$; приведенная погрешность $\gamma x=\Delta x/N_x$ (нормировочный коэффициент).
\end{block}
\begin{block}{По причине возникновения}
\begin{description}
\item[Инструментальные] определяются погрешностями применяемых средств измерений.
\item[Методические] обусловлены  несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу 
методики.
\item[Субъективные] обусловлены качествами экспериментатора.
\end{description}
\end{block}}
\only<2>{
\begin{block}{По характеру проявления}
\begin{description}
\item[Случайные] обусловлены совокупностью внешних факторов, влияющих на результат эксперимента.
\item[Систематические] связаны с влиянием прибора на измеряемую величину или методическими 
ошибками, выявляются лишь сменой прибора\slash метода\slash экспериментатора.
\item[Промахи] наиболее сильно себя проявляют и связаны с неисправностью прибора или 
экспериментатора.
\end{description}
\end{block}
\begin{block}{Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического}
$$
\sigma_{\mean{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}=
\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(\mean{x_i}-\aver{x})^2}{n(n-1)}}.
$$
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}{Доверительный интервал}
\only<1>{\begin{columns}\column{0.6\textwidth}
\begin{block}{Доверительная вероятность}
$p = P(X_0 \le x \le X_1)$
\end{block}
\begin{block}{Математическое ожидание}
Если известен закон распределения (мат. ожидание и дисперсия: $\mu$ и $\sigma$), то 
$$P\Bigl(\mean{X}-z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le
	\mean{X}+z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
где $z_\alpha$~-- $\alpha$--квантиль нормального распределения
\end{block}
\column{0.4\textwidth}
\img{Boxplot_vs_PDF}
Квантили: первый, второй (медиана) и третий.
\end{columns}
}
\only<2>{
\begin{block}{Математическое ожидание}
Если закон распределения неизвестен, то
$$P\Bigl(\mean{X}-t_{1-\frac{\alpha}2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le
	\mean{X}+t_{1-\frac{\alpha}2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
где $S$~-- несмещенный RMS. Величина
$$T=\frac{\mean{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$ имеет распределение Стьюдента, а $t_{\alpha, n-1}$~-- его 
квантили.

Пример: $\mean{X}=10$, $S_n=2$, $n=11$ (10~степеней свободы), по таблице для двухстороннего 
распределения Стьюдента с вероятностью~95\% $T_{10}^{95}=2.228$. Тогда доверительный интервал есть
$\mean{X}\pm TS_n/\sqrt{n}$, т.е. $\mu\in(8.6565, 11.3440)$.
\end{block}
}
\only<3>{
\begin{block}{Дисперсия}
Если известно среднее, можно воспользоваться распределением $\chi^2$.
$$
P\Biggl(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n}}\le\sigma^2\le
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n}}\Biggr)=\alpha.
$$
Если же среднее неизвестно, то 
$$
P\Bigl(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n-1}}\le\sigma^2\le
\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n-1}}\Bigr)=\alpha.
$$
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}{Правила вычисления погрешностей}
\begin{block}{}
\begin{enumerate}
\item 
$$\Delta\bigl(\sum a_n\bigr)=\sum\Delta a_n.$$
\item 
$$\prod(a_i\pm\Delta a_i)=\prod a_i\prod(1\pm\delta a_i)\approx
\prod a_i(1\pm\sum\delta a_i),$$
$$\bigl(a[1\pm\delta a]\bigr)^n\approx a^n(1\pm n\delta a).$$
\item\ж В сложных функциях\н вида $y=f(x_1,\ldots,x_n)$ можно оценить
погрешность, воспользовавшись приближением:
$$
\delta y\approx\Bigl|\frac{dy}{y}\Bigr|=\Bigl|
\frac{d f(x_1,\ldots,x_n)}{f(x_1,\ldots,x_n)}\Bigr|,
$$
в котором следует заменить $\frc{dx_i}{x_i}=\delta x_i$~-- относительная
погрешность
измерения величины~$x_i$, $d x_i=\Delta x_i$~-- абсолютная погрешность. Все
слагаемые необходимо суммировать по абсолютной величине.
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}

\section{Метод наименьших квадратов}
\begin{frame}{Метод наименьших квадратов}
\begin{block}{}
Пусть имеется функция $f(x|a)$, зависящая от аргумента $x$ и набора параметров~$a$. Данной функции 
соответствует набор пар данных $(x_n,y_n)$, причем $y_n=f(x_n|a)+\epsilon_n$, где $\epsilon_n$~-- 
случайная ошибка. Математическое ожидание ошибки $\mean{\epsilon}=0$, ее среднеквадратическое 
отклонение равно~$\sigma_n$. Для оценки~$a$ (аппроксимации набора данных заданной функцией) 
необходимо минимизировать выражение 
$$\Phi=\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{y_n-f(x_n|a)}{\sigma^2_n}\Bigr)^2.$$
При этом подразумевается, что  число измерений превышает число параметров~$a$.
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Пример: линейная зависимость}
\begin{block}{}
Пусть $y=ax+b$, $x_n$ известны с пренебрежимо малой погрешностью, $y_n$~-- результаты измерений 
с нормальным распределением, $\mean{y_i}=ax_i+b$. Минимизируем величину $Y=\sum(y_i-\mean{y_i})^2$,
$\partder{Y}{a}=0$, $\partder{Y}{b}=0$:
$$
a=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x^2_i-\Bigl(\sum x_i\Bigr)^2}=
\frac{\mean{xy}-\mean{x}\,\mean{y}}{\mean{x^2}-(\mean{x})^2},
$$
$$
b=\frac{\sum x_i^2\sum y_i-\sum x_i\sum x_i y_i}{n\sum x^2_i-\Bigl(\sum
x_i\Bigr)^2}=
\frac{\mean{x^2\strut}\,\mean{\strut
y}-\mean{x}\,\mean{xy}}{\mean{x^2}-(\mean{x})^2}.
$$
$$
\sigma^2=\frac{n}{n-2}\Bigl(\mean{y^2}-(\mean{y})^2-a^2\bigl[
\mean{x^2}-(\mean{x})^2\bigr]\Bigr),\qquad
\sigma^2_a=\frac{\sigma^2}{n\bigl(\mean{x^2}-(\mean{x})^2\bigr)},\quad
\sigma_b^2=\sigma_a^2\mean{x^2}.
$$
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Аппроксимация МНК}
\only<1>{\img{lesssquare}}
\only<2>{
\begin{block}{}
Некоторые зависимости, можно свести к линейным. Например, $y=\e^{ax+b}$ \so $\ln y=ax+b$. 

Возможно также сведение зависимостей к системам линейных уравнений $A\vec{x}=\vec{b}$, ранг матрицы 
$A$ должен быть больше количества искомых переменных. Минимизируем 
$(A\vec{x}-\vec{b})^T(A\vec{x}-\vec{b})$, что приводит к системе уравнений
$$
A^TA\vec{x}=A^T\vec{b}\quad\so\quad
\vec{x}=(A^TA)^{-1}A^T\vec{b}.
$$
Или $\vec{x}=A^{+}\vec{b}$ (псевдообратная матрица), в Octave~--- <<левое деление>> $A\backslash 
b$.
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{}
\begin{block}{Пример}
Пусть заведомо величина изменяется по закону $y=a_0+a_1\e^{-t}+a_2te^{-t}$.
В матричном виде $Y=TA$, где $T$~-- функциональная матрица, у которой в первом столбце
размещены единицы (соответствует умножению на~$a_0$), во втором~--- функция
$\e^{-t}$, а в третьем~--- $t\e^{-t}$. Коэффициенты~$A$ найдем при помощи МНК:
$A=T\backslash Y$.
\begin{verbatim}
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';
T = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)];
A = T\y
\end{verbatim}

\end{block}

\end{frame}

\section{Правило <<трех сигм>>}
\begin{frame}{Правило <<трех сигм>>}
\begin{block}{}
При гауссовом распределении случайной величины вероятность 
$$P(|x-\mean{x}|<3\sigma)=2\Phi(3)=0.9973.$$
($\Phi$~-- нормальное интегральное распределение).
\end{block}
\begin{defin}
\ж Правило трех сигм\н: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее 
отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.
\end{defin}
\begin{defin}
\ж Теорема Ляпунова\н: случайная величина, являющаяся суммой большого числа взаимно независимых 
случайных величин, имеет нормальное распределение.
\end{defin}
\end{frame}


\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
\centering
\begin{minipage}{5cm}
\begin{block}{mailto}
eddy@sao.ru\\
edward.emelianoff@gmail.com
\end{block}\end{minipage}
\end{frame}
\end{document}