add 4, 6-1

Komp_obr_SFedU/04_Pract.tex

@@ -0,0 +1,582 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{extarticle}
+\usepackage{/home/eddy/ed, verbatim}
+\title{Практикум \No4: системы уравнений, интегралы, производные}
+\author{}\date{}\nocolon
+
+\long\def\task#1{\par\noindent\leavevmode\refstepcounter{sect}\llap{\textbf{\thesect}\;}\indent\textit{#1}\par}
+\def\t#1{{\upshape\ttfamily #1}}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section{Системы уравнений}
+%
+%
+%
+\task{Решить систему уравнений}
+$$\left\{
+\begin{aligned}
+    -x_1+x_2+2x_3&=10;\\
+    3x_1-x_2+x_3&=-20;\\
+    -x_1+3x_2+4x_3&=40.
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+
+Представим ее в виде $\B{Ax=b}$.
+Инициализируем постоянные:
+\begin{verbatim}
+A=[-1 1 2; 3 -1 1; -1 3 4];
+b=[10; -20; 40];
+\end{verbatim}
+
+Нам необходимо проверить на вырожденность матрицу~$\B A$:
+\begin{verbatim}
+det(A)
+ans =  10.000
+\end{verbatim}
+Теперь решить данную систему можно несколькими способами.
+\begin{enumerate}
+\item Через обратную матрицу.
+$$\B A^{-1}\B{Ax}=\B A^{-1}\B b,\quad \Arr \quad
+\B x=\B A^{-1}\B b.$$
+В Octave это примет вид:
+\begin{verbatim}
+x = inv(A)*b
+x =
+1.00000
+19.00000
+-4.00000
+\end{verbatim}
+Проверим решение:
+\begin{verbatim}
+A*x
+ans =
+10.000
+-20.000
+40.000
+\end{verbatim}
+
+\item Метод Гаусса. Приведем к верхней треугольной форме расширенную
+матрицу~$(\B A:\B b)$:
+\begin{verbatim}
+rref([A b])
+ans =
+1.00000    0.00000    0.00000    1.00000
+0.00000    1.00000    0.00000   19.00000
+0.00000    0.00000    1.00000   -4.00000
+\end{verbatim}
+Слева мы получили единичную матрицу, что значительно упрощает вычисления.
+Однако, если бы матрица не имела нулей в правом верхнем углу, мы все равно
+могли бы найти корни системы (обратный ход метода Гаусса).
+
+\item Автоматический метод Гаусса. В данном случае необходимо лишь воспользоваться
+уже известным вам оператором <<левого>> (или обратного) деления:
+\begin{verbatim}
+x = A\b
+x =
+1.0000
+19.0000
+-4.0000
+\end{verbatim}
+Далее мы будем использовать именно этот способ решения линейных систем уравнений.
+\end{enumerate}
+
+%
+%
+%
+\task{Решить систему уравнений, заданную вырожденной матрицей}
+$$\left\{
+\begin{aligned}
+    x_1+3x_2+7x_3&=5;\\
+    -x_1+4x_2+4x_3&=2;\\
+    x_1+10x_2+18x_3&=12.
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+
+\begin{verbatim}
+A = [ 1 3 7; -1 4 4; 1 10 18];
+b = [5; 2; 12];
+det(A)
+ans = 0
+\end{verbatim}
+Так как определитель матрицы коэффициентов равен нулю, невозможно найти обратную
+матрицу. Однако, можно воспользоваться способом решения через\к псевдообратную
+матрицу\н:
+\begin{verbatim}
+x = pinv(A)*b
+x =
+0.38498
+-0.11033
+0.70657
+% check
+A*x
+ans =
+5.0000
+2.0000
+12.0000
+\end{verbatim}
+
+Однако, изменим вектор $\B b$:
+\begin{verbatim}
+b = [3;6;0];
+x = pinv(A)*b
+x =
+-1.08920
+1.25117
+-0.52347
+% check
+A*x
+ans =
+-1.0000
+4.0000
+2.0000
+\end{verbatim}
+В этом случае решение не будет точным (точнее, оно вообще не является решением
+данной системы). Проверим, возможно ли найти общее решение данной системы уравнения,
+приведя к верхней треугольной форме расширенную матрицу $(\B A:\B b)$:
+\begin{verbatim}
+rref([A b])
+ans =
+1.00000   0.00000   2.28571   0.00000
+0.00000   1.00000   1.57143   0.00000
+0.00000   0.00000   0.00000   1.00000
+\end{verbatim}
+Последняя строка содержит ненулевой элемент лишь в столбце свободных членов, что
+однозначно свидетельствует об отсутствии решений данной системы уравнений.
+
+
+\section{Степенные уравнения}
+%
+%
+%
+\task{Найти решение уравнения $2x^2-4x+5=0$.}
+
+Для этого необходимо инициализировать полином набором коэффициентов и найти корни
+командой~\verb'roots'.
+\begin{verbatim}
+    p = [2 -4 5];
+    x = roots(p)
+    x =
+    1.0000 + 1.2247i
+    1.0000 - 1.2247i
+\end{verbatim}
+Итак, корни нашего уравнения: $x=1\pm1.2247i$. Точность вычислений Octave можно
+задать явно командой~\verb'format'. Для отображения результата в виде рациональных
+дробей можно указать следующее.
+\begin{verbatim}
+    format rat
+    x =
+    1 + 4801/3920i
+    1 - 4801/3920i
+\end{verbatim}
+Вернуться к прежнему виду результатов можно командой~\verb'format short'.
+
+\task{Найти корни полинома $p(x)=x^4+2x^3-3x^2+4x+5$ и получить его график на отрезке $[-4, 2]$.}
+\begin{verbatim}
+    p = [1 2 -3 4 5];
+    x = roots(p)
+    x =
+    -3.18248 + 0.00000i
+    0.95560 + 1.11480i
+    0.95560 - 1.11480i
+    -0.72873 + 0.00000i
+
+    x=[-4:.05:2]; y=polyval(p,x);
+    plot(x,y)
+\end{verbatim}
+Нарисуем ось Х:
+\begin{verbatim}
+    hold on
+    plot([-4 2], [0 0],'k')
+\end{verbatim}
+Команда \verb'hold on' позволяет <<дорисовать>> что-либо на уже имеющемся
+графике. Буква~\verb"'k'" в параметре означает рисование черным цветом. Отключить
+вывод на один и тот же график можно командой~\verb'hold off'.
+
+%
+%
+%
+\task{Найти решение уравнения $y=x^3+x^2-3x-3$.}
+
+Зададим функцию:
+\begin{verbatim}
+f = inline("x^3+x^2-3*x-3");
+\end{verbatim}
+
+Функция \t{fsolve} позволяет решать нелинейные уравнения, и ее можно применить в т.ч. к решению
+степенных уравнений. Необходимо задать начальное приближение для поиска. Задавая разные значения,
+получим разные корни:
+\begin{verbatim}
+fsolve (f, 1)
+ans =  1.7321
+fsolve (f, 0)
+ans = -1
+fsolve (f, -2)
+ans = -1.7321
+\end{verbatim}
+Можем проверить корни:
+\begin{verbatim}
+p=[1 1 -3 -3]
+p =
+1   1  -3  -3
+roots(p)
+ans =
+1.7321
+-1.7321
+-1.0000
+\end{verbatim}
+
+А  теперь попробуем решить этим же методом систему уравнений:
+$$\begin{cases}
+\e^{-\e^{-(x+y)}} = y(1+x^2),\\
+x\cos y + y\sin x = 1/2.
+\end{cases}
+$$
+
+Для начала конвертируем их к виду $F(x)=0$:
+$$\begin{cases}
+    \e^{-\e^{-(x+y)}} - y(1+x^2) = 0,\\
+    x\cos y + y\sin x - 1/2 = 0.
+\end{cases}
+$$
+
+Запишем функцию, позволяющую вычислить обе компоненты:
+\verbatiminput{Materials4Pract/04/F.m}
+
+Теперь попробуем найти решение, начиная с $(0,0)$:
+\begin{verbatim}
+fsolve(@F, [0 0])
+ans =
+0.35325   0.60608
+\end{verbatim}
+
+\section{Численное интегрирование, дифференциальные уравнения}
+%
+%
+%
+\task{Найти интеграл $\Int_0^3 x(\sin\frac{1}{x})\sqrt{|1-x|}\,dx$.}
+
+Для вычисления подынтегральной функции в каждом узле интегрирования, нам необходимо задать функцию
+\t{i1.m}:
+\verbatiminput{Materials4Pract/04/i1.m}
+Для интегрирования с оптимальным расчетом квадратур можно использовать функцию \t{quad}:
+\begin{verbatim}
+[q, ier, nfun, err] = quad (@i1, 0, 3)
+ABNORMAL RETURN FROM DQAGP
+q =  1.9819
+ier =  1
+nfun =  5061
+err =  0.00000011522
+\end{verbatim}
+
+\t{q}~-- результат интегрирования, \t{ier}~-- код ошибки интегрирования (при нормальной процедуре
+равен 0), \t{nfun}~-- количество узлов интегрирования, \t{err}~-- оценка ошибки интегрирования.
+
+Здесь и во многих других функциях первым аргументом является либо строка с именем функции, либо
+ссылка на нее (как в данном случае), либо inline-функция.
+
+Еще примеры интегрирования. Квадратурная формула Гаусса--Конрода:
+\begin{verbatim}
+f = inline ("x.^3");
+quadgk (f, 0, 1)
+ans =  0.25000
+\end{verbatim}
+
+Квадратура Кленшоу--Куртиса (и бесконечный предел интегрирования):
+\begin{verbatim}
+f = @(x) x.^3 .* exp (-x);
+quadcc (f, 0, Inf)
+ans =  6.0000
+\end{verbatim}
+
+Квадратура Симпсона:
+\begin{verbatim}
+f = inline ("x.^3");
+quadv(f, 0, 1)
+ans =  0.25000
+\end{verbatim}
+
+Автоматический выбор квадратуры:
+\begin{verbatim}
+integral(f, 0, 1)
+ans =  0.25000
+\end{verbatim}
+
+%
+%
+%
+\task{Найти интеграл $\Int_0^5 (x^4+2x^2-1)dx$}
+
+Можно посчитать интеграл и другим способом, если задан полином: определим коэффициенты полинома,
+вычислим новый полином, являющийся интегралом нашего, а затем, вычитая первообразные, найдем
+искомый интеграл:
+\begin{verbatim}
+c = [1 0 2 0 -1];
+i = polyint(c);
+I = polyval(i, 5) - polyval(i, 0)
+I =  703.33
+\end{verbatim}
+
+Аналогичным образом мы можем вычислять производные:
+\begin{verbatim}
+d = polyder(c);
+polyval(d, [1:5])
+ans =
+8    40   120   272   520
+\end{verbatim}
+
+%
+%
+%
+\task{Вычислить интеграл $\Int_0^1 dx\Int_{-1}^1 \cos(\pi xy)\sqrt{x|y|}\,dy$}
+Для двухмерного интегрирования воспользуемся функцией \t{dblquad}
+\begin{verbatim}
+I = dblquad(@(x, y) cos (pi*x.*y) .* sqrt (x.*abs(y)), 0, 1, -1, 1)
+I =  0.30892
+% OR
+I = quad2d(@(x, y) cos (pi*x.*y) .* sqrt (x.*abs(y)), 0, 1, -1, 1)
+I =  0.30892
+% OR
+[I err] = integral2(@(x, y) cos (pi*x.*y) .* sqrt (x.*abs(y)), 0, 1, -1, 1)
+I =  0.30892
+err =  0.00000030870
+\end{verbatim}
+Тройные интегралы~--- \t{triplequad} или \t{integral3}.
+
+%
+%
+%
+\task{Решить дифференциальное уравнение $\dot{x}=-\e^t x^2$ при $x(0)=2$.}
+Запишем функцию, вычисляющую $\dot{x}$:
+\verbatiminput{Materials4Pract/04/ode1.m}
+Заданим аргумент $t\in[0,5]$ как вектор в 50 экземпляров
+\begin{verbatim}
+    t = linspace(0,5,50);
+    x = lsode(@ode1, 2, t);
+    plot(t,x)
+\end{verbatim}
+\t{lsode} решает простейшее уравнение $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ при начальных условиях $y(0)$ по
+заданному вектору~$x$.
+
+%
+%
+%
+\task{Решить методом Рунге--Кутты дифференциальное уравнение ван~дер~Поля}
+$y''+\mu(1-y^2)y'+y=0$, $\mu>0$.
+
+Для начала перепишем это уравнение с заменой $y_1=y$, $y_2=y_1'$:
+$y_2'=\mu(1-y_1^2)y_2-y_1$. Для простоты примем~$\mu=1$.
+Введем функцию, описывающую наше уравнение (ее необходимо ввести как новый
+m-файл и сохранить под именем \t{vdp1.m}):
+\verbatiminput{Materials4Pract/04/vdp1.m}
+
+Теперь найдем решение уравнения и отобразим графики функции~$y$ и ее первой
+производной:
+\begin{verbatim}
+    [t, y] = ode45(@vdp1, [0 20], [2; 0]);
+    plot(t, y(:,1), '-', t, y(:,2), '--')
+\end{verbatim}
+Функция \verb'ode45' в качестве первого параметра требует имя функции, в которой
+описано дифференциальное уравнение; второй параметр~--- интервал, в котором
+изменяется аргумент искомой функции; третий аргумент~--- начальные условия для
+функции и ее производной.
+Возвращаемое значение~$y$ содержит два столбца: в первом находится искомая
+функция, а во втором~--- ее первая производная.
+
+Итак, для численного решения дифференциального уравнения в Octave необходимо
+сначала представить это уравнение в виде линейной системы
+$$\left\{\begin{aligned}
+    y_1'&=f_1(x,y_1,\ldots,y_n),\\
+    y_2'&=f_2(x,y_1,\ldots,y_n),\\
+    \cdots\\
+    y_n'&=f_n(x,y_1,\ldots,y_n).
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+Затем функции $f_1$, \ldots, $f_n$ следует определить как строки специальной
+функции, которая будет играть роль первого параметра функции, решающей данное
+уравнение.
+
+
+\section{Численное дифференцирование}
+%
+%
+%
+\task{Для ряда данных вычислить производную и построить график функции и производной}
+\begin{verbatim}
+x = [0:0.01:10];
+y = y=x.^2.*sin(x)+sin(x/11)-tan(x*222)/cos(x);
+\end{verbatim}
+
+Простейший способ найти производную~--- воспользоваться методом разделенных разностей. Функция
+\t{diff} вычисляет разность $y(x_{i+1})-y(x_i)$. Производную $y'(x)$ мы можем рассчитать в нулевом
+приближении либо как $\frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{x_{i+1}-x_i}$, либо как
+$\frac{y(x_i)-y(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}$.
+Попробуем оба способа. Учитывая то, что мы имеем равномерно распределенный ряд, вычисления
+упрощаются.
+\begin{verbatim}
+dy1=[0 diff(y)]/0.01;
+dy2=[diff(y) 0]/0.01;
+plot(x,[y;dy1;dy2])
+\end{verbatim}
+Благодаря гладкости функции и большому шагу, мы практически не видим разницы. Однако, если мы в
+10~раз уменьшим шаг, сдвиг уже будет иметь значение.
+
+Кстати, мы можем и простейшим образом (трапециями) вычислить интеграл:
+\begin{verbatim}
+iy = [cumsum(y)];
+plot(x,[y;dy1;iy])
+legend("F", "dF", "iF")
+\end{verbatim}
+Если добавить ось X (\t{plot(x,[y;dy1;iy], x, zeros(size(x)))}), поведение интегральной кривой
+отлично отразится на оригинальной функции.
+
+%
+%
+%
+\task{Найти производную зашумленного ряда данных.}
+(не удалять предыдущие данные!)
+
+О функции \t{polyder} мы уже упоминали. Она отлично подходит для тех наборов данных, которые можно
+аппроксимировать полиномом. Давайте повторим предыдущие вычисления \t{y}, но добавим шум в 10дБ:
+\begin{verbatim}
+yn = awgn(y, 10, "measured");
+plot(x,[y;yn], x, zeros(size(x)))
+\end{verbatim}
+Естественно, функции \t{diff} и \t{cumsum} в данном случае будут давать ужасный результат:
+\begin{verbatim}
+plot(x,[yn;[0 diff(yn)]/0.01])
+\end{verbatim}
+
+Попробуем аппроксимировать нашу кривую полиномом десятой степени и сравнить на графике (а потом
+сравним с оригиналом):
+\begin{verbatim}
+p=polyfit(x,yn, 10);
+plot(x,[yn; polyval(p,x)])
+plot(x,[y; polyval(p,x)])
+\end{verbatim}
+Естественно, в самом начале (в районе нуля) шумы настолько велики, что аппроксимация получается,
+мягко говоря, не очень. Но это все равно лучше, чем начальный зашумленный ряд.
+
+Теперь вычисляем производную и сравним с предыдущей.
+\begin{verbatim}
+dp = polyder(p);
+dyp=polyval(dp, x);
+plot(x,[dy1;dyp])
+\end{verbatim}
+И еще:
+\begin{verbatim}
+plot(x,[y;yn;dy1;dyp])
+\end{verbatim}
+
+Можно попробовать разные степени полинома для аппроксимации этой функции, сравнив результаты.
+
+Еще одним вариантом вычисления производной является функция \t{gradient}. Здесь можно
+<<автоматически>> учесть шаг:
+\begin{verbatim}
+plot(x,[y;dy1;gradient(y,0.01)])
+\end{verbatim}
+А в случае неравномерно распределенных данных, мы можем задать вектор \t{x}.
+\begin{verbatim}
+x = [0 0.1 0.5 1 1.1 1.5 7 7.1 7.2 7.5 10 10.5 12 15 20 20.1 25 45 47 56 100];
+y = x.^2.*sin(x)+sin(x/11)-tan(x*222)/cos(x);
+dyy = gradient(y, x);
+x1 = [0:0.1:100];
+y1 = x1.^2.*sin(x1)+sin(x1/11)-tan(x1*222)/cos(x1);
+plot(x, dyy, x1, [0 diff(y1)])
+% и сравним с ходом оригинальной функции
+plot(x, [y; dyy], x1, [y1; [0 diff(y1)]])
+% who is who
+legend("bad", "dbad", "ori", "dori")
+\end{verbatim}
+
+\task{Вычислите вторую производную предыдущей функции}
+Для этого можно воспользоваться функцией \t{del2} (дискретный Лапласиан):
+\begin{verbatim}
+plot(x,[y;del2(y)*1e4])
+\end{verbatim}
+Не забываем, что т.к. мы вычисляем вторую производную, то интервал необходимо возвести в квадрат!
+
+Естественно, N-ю производную мы можем вычислить и многократным вызовом функции \t{diff}, если
+данные распределены равномерно.
+
+
+\section{Задания для самостоятельного выполнения}
+\begin{enumerate}
+\item
+Решите систему уравнений
+$$\left\{\begin{aligned}
+    x_1+2x_2+3x_3&=1;\\
+    2x_1-x_2+4x_3&=2;\\
+    x_1-3x_2+x_3&=3.
+\end{aligned}\right.
+$$
+%(1,$\pi$,0)
+
+\item Решите систему уравнений
+$$\left\{\begin{aligned}
+    x_1+x_2/2+x_3/3&=1;\\
+    x_1/2+x_2/3+x_3/4&=0;\\
+    x_1/3+x_2/4+x_3/5&=0.
+\end{aligned}\right.
+$$
+Обратите внимание, что определитель матрицы коэффициентов {\tt det(A) = 4.6296e-04}.
+Такие системы называются\ж плохо обусловленными\н. Их решения сильно осциллируют
+при малейших изменениях коэффициентов матрицы.
+
+\item
+Решите уравнение $x^7-2x^5+3x^3-4x=0$.
+%(  $0$,
+%$\pm1.2848$,
+%$0.9304 \pm 0.8313i$,
+%$-0.9304 \pm 0.8313i$).
+
+\item
+Решите систему уравнений
+$$
+\left\{\begin{aligned}
+\e^{x+y} &= \sin x;\\
+\cos x &= \ln y - 1.
+\end{aligned}\right.
+$$
+
+\item
+Вычислите $\Int_0^1 \ln (x+1)\sin x\, dx$.
+
+\item
+Вычислите $\Int_{-1}^2 dx\Int_{-\pi}^0 dy\Int_0^1\frac{ln(xyz)}{\cos(xy)}dz$.
+
+\item
+Найдите решение уравнения ван~дер~Поля при $\mu=5$.
+% (1.2350)
+
+\item
+Постройте график решения задачи Коши методом Рунге--Кутты на интервале
+$[0,1]$ для уравнения $y'=x^3\sin y+1$ при $y(0)=0$.
+
+\item
+Найдите решение системы уравнений:
+$$
+\left\{\begin{aligned}
+2(x-4)^2 + 7(y-8)^2 &= z^2;\\
+5(x-1)^2 +1 + 2z^2 &= 4(y+3)^2;\\
+x^2 + y^2 + z^2 &= 0.\\
+\end{aligned}\right.
+$$
+
+\item Вычислите производную и интеграл для ряда данных $y=y(t)$.
+
+\begin{verbatim}
+t = [0 1 3 5 9 10 11 15 20 21 23 25 50 52 57 59 60 73 94 96 99 100];
+y = [41.6 -0.4 7.6 -25.8 5.3 23.1 636.7 -46.7 -3.7 -29.1 96.6 3.3 -9.4 56.7
+     17.5 -17.1 17.4 4.3 -0.3 12.3 85.9 44.2];
+\end{verbatim}
+
+\item Вычислить производную и интеграл для функции $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$ с отношением
+сигнал-шум 10дБ на
+промежутке $[-10,10]$.
+
+\end{enumerate}
+\end{document}

Komp_obr_SFedU/06-iproc_1.tex

@@ -0,0 +1,511 @@
+\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
+\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
+%\usepackage{ed}
+\usepackage{lect}
+
+\title[Компьютерная обработка. Лекция 6]{Компьютерная обработка результатов измерений}
+\subtitle{Лекция 6. Обработка изображений, часть 1}
+\date{}
+
+\begin{document}
+% Титул
+\begin{frame}
+\maketitle
+\end{frame}
+% Содержание
+\begin{frame}
+\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{Цифровые изображения}
+\begin{frame}{Цифровые изображения}
+\begin{defin}
+\ж Изображение\н представляет собой двумерную функцию $f(x,y)$, где~$x$ и~$y$~---
+пространственные координаты, а уровень~$f$ называется\ж
+интенсивностью\н изображения в данной точке (цветное изображение является
+совокупностью по крайней мере трех функций $r(x,y)$, $g(x,y)$ и~$b(x,y)$).
+Если величины~$x$, $y$ и~$f$ принимают дискретные значения, говорят о\к цифровом
+изображении\н. Элементарная единица цифрового изображения называется\ж
+пикселем\н.
+\end{defin}
+\begin{block}{Дискретизация}
+Процедуру квантования (\bf дискретизации\н) квазинепрерывного изображения $I_0(X,Y)$  можно представить в виде:
+$$
+I(x,y)=\mathrm{round}\Bigl(\frac{2^N-1}{I_{max}}\Int_{S_{x,y}}I_0(X,Y)
+\,dXdY\Bigr)+\delta_{x,y}.
+$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{RGB-модель}
+\only<1>{
+\img[0.6]{RGB}
+\centering{Аддитивная RGB-модель}
+}\only<2>{
+\img[0.6]{sRGB}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{blueframe}{CMYK-модель}
+\only<1>{
+\img[0.5]{CMYK}
+\centering{Субстрактивная CMYK-модель}
+}\only<2>{
+\img[0.6]{colormodels}
+}
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}{}
+\img[0.6]{Bayer_pattern}
+\centering{Маска Байера}
+\end{frame}
+
+\section{Математический аппарат}
+\begin{frame}{Математический аппарат}
+\only<1>{\img[0.7]{neighbourhoods}
+\centering{Соседство}}
+\only<2>{\img[0.6]{connregs}
+\centering{Связность}
+}
+\only<3>{\img[0.6]{msquare}
+\centering{Границы, контуры}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{Расстояние}
+\begin{itemize}
+\item Евклидово: $D_{e(p,q)}=\sqrt{(x_p-x_q)^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}}$.
+\item Метрика $L_{1}$: $D_{4}(p,q)=|x_{p}-x_{q}|+|y_{p}-y_{q}|$.
+\item Метрика $L_{\infty}$: $D_{8}(p,q)=\max\bigl(|x_{p}-x_{q}|,|y_{p}-y_{q}|\bigr)$.
+\end{itemize}
+\end{block}
+\begin{block}{Поэлементные и матричные операции}
+$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix},\quad{}
+B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}.$$
+Поэлементное произведение:
+$$A\cdot B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}\\a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}\end{bmatrix}.$$
+Матричное произведение:
+$$A\times B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\
+a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}.$$
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+
+\begin{block}{Аффинные преобразования}
+$$\begin{pmatrix}x'&y'&1\end{pmatrix}^T=\B{A}\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}^T.$$
+\end{block}
+
+\begin{block}{}
+\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
+Тождество: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+Масштаб: $\B{A}=\begin{pmatrix}c_{x} & 0 & 0\\ 0 & c_{y} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+Поворот: $\B{A}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 &
+1\end{pmatrix},$\\
+Сдвиг: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+
+\column{0.45\textwidth}
+
+Скос $y$: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ s_v & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+Скос $x$: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & s_h & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+Отражение $x$: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+Отражение $y$: $\B{A}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
+\end{columns}
+\end{block}
+\begin{block}{}Комбинация пребразований: $\B{M}=\prod_{i}\B{T_{i}}$ (зависит от
+порядка!).\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\begin{block}{Операции над множествами}
+Множества и дополнения: $A\cup A^C = \Omega$, $A\cap A^C=\emptyset$. ($A^C\equiv\overline{A}$).
+
+Множество через операцию:  $A^C=\{a\,|\,a\not\in A\}$. Подмножества: $A\subset B$ или $B \supset
+A$.
+
+Операции: $A-B=A\backslash B=A\cap B^C$, $A+B=A\cup B$.
+
+Ассоциативность: $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$, $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$.
+
+Дистрибутивность: $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$, $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup
+C)$.
+
+Законы де-Моргана: $(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$, $(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$.
+\end{block}
+\begin{block}{Логические (булевы) операции}
+$\cup\Arr \vee$ (дизъюнкция, <<или>>, \t{|}), $\cap\Arr\wedge$ (конъюнкция, <<и>>, \t{\&}),
+$A^C\Arr\overline{A}$
+(отрицание).
+\end{block}
+}\only<2>{
+\img{SETS}
+}
+\end{frame}
+
+\section{Пространственные и градационные преобразования}
+\begin{frame}{Пространственные и градационные преобразования}
+\begin{defin}
+\ж Преобразования в пространственной области\н работают непосредственно с пикселями изображения:
+$$T(u,v)=\Sum_{x=0}^{M-1}\Sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)r(x,y,u,v),\qquad\text{где $r$~-- ядро
+преобразования.}$$
+\end{defin}
+\begin{block}{Градационные преобразования ($I\in[0, I_{max}]$, $I'=f(I)$)}
+\begin{itemize}
+ \item негатив: $I' = I_{max} - I$;
+ \item логарифмическое: $I' = \C\ln(1+I)$;
+ \item гамма-коррекция: $I'=\C I_{max}\cdot i^\gamma$, $i=\dfrac{I}{I_{max}}$;
+ \item кусочно-линейные преобразования (усиление контраста).
+\end{itemize}
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\img[0.8]{hystotransf}
+}\only<2>{
+Логарифмическое преобразование.
+\img{logtransf}
+}\only<3,4,5>{
+\only<3>{Степенное преобразование (гамма-коррекция).\img[0.8]{gammacorrt}}
+\only<4>{\img[0.85]{gammacorr}}
+\only<5>{\img[0.8]{gammacorr1}}
+}
+\only<6>{Кусочно-линейные преобразования.
+    \img[0.7]{piecewise}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\img[0.8]{bitplanes}
+\centering{Битовые плоскости}
+}\only<2>{
+\img[0.4]{graycode}
+\centering{Битовые плоскости в кодах Грея}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Гистограмма}
+\only<1>{
+\img[0.9]{histogram}
+}\only<2>{
+\img{histograms}
+}
+\end{frame}
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+Неоднозначное (необратимое) и однозначное (возможно, обратимое) отображения:
+\img{badhisto}
+}\only<2>{
+Эквализация гистограммы
+\img[0.8]{histeq}
+}
+\only<3>{
+$N_i$~-- количество пикселей на $i$-м уровне, $L$~-- максимальная интенсивность,
+$M=\Sum_0^L N_i$~общее количество пикселей.
+
+Эквализация: $i' = \frac{\Sum_{j=0}^i N_j}{M}L$.
+
+Если $n_i$~-- доля с $i$-м уровнем, то: $i' = L\Sum_{j=0}^i n_j$.
+
+\img{HEscheme}
+}
+\only<4>{
+\begin{block}{Приведение гистограммы $p_r\arr p_z$}
+\begin{enumerate}
+ \item Получение эквализованной гистограммы, $s_k$.
+ \item Вычисление функции преобразования $G(z_q)=L\Sum_{j=0}^{q}p_z(z_j)$.
+ \item Нахождение для каждого $s_k$ соответствующего значения $z_q$, для которого $G(z_q)$ наиболее
+близко		к~$s_k$.
+ \item Формирование приведенного изображения.
+\end{enumerate}
+\end{block}
+}
+\only<5,6,7>{
+\begin{block}{Локальная гистограммная обработка}
+\only<5>{\img[0.8]{h1}}
+\only<6>{\img[0.8]{h2}}
+\only<7>{\img{localheq}}
+\end{block}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Эквализация гистограммы}
+\only<1>{M13: без и с эквализацией:\\
+\smimg[0.48]{M13_nohisteq}\hfil\smimg[0.48]{M13_histeq}
+}
+\only<2>{M29: без и с эквализацией:\\
+    \smimg[0.48]{M29_nohisteq}\hfil\smimg[0.48]{M29_histeq}
+}
+\end{frame}
+
+\def\svec#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
+\def\smat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
+\def\pb#1#2{\parbox{0.4\textwidth}{\centering{#1}\par\noindent\centering{\includegraphics{#2}}}}
+\begin{frame}{Пространственная фильтрация}
+\only<1>{
+\begin{block}{}
+$w(s,t)$~-- ядро преобразования размера $m\times n$ ($m=2a+1$, $n=2b+1$),
+$f(x,y)$~-- исходное изображение, $g(x,y)$~-- результат. Преобразование:
+$$g(x,y) = \sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^{b}w(s,t)f(x+s,y+t),$$
+что является расширением одномерного преобразования:
+$$g(x)=\sum_{s=-a}^{a}w(s)f(x+s).$$
+\end{block}
+}\only<2>{
+\begin{block}{}
+$$f=\svec{0&0&0&1&0&0&0&0},\qquad w=\svec{1&2&3&4&5}.$$
+\end{block}
+\begin{columns}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Корреляция, $v=f\star w$}
+$$0:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&2&3&4&5\\}$$
+$$3:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&2&3&4&5\\}$$
+$$7:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5\\}$$
+$$a:\qquad\svec{0&0&0&5&4&3&2&1&0&0&0&0}$$
+$$v:\qquad\svec{0&5&4&3&2&1&0&0}$$
+\end{block}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{Свертка, $v=f*w$}
+$$0:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\5&4&3&2&1\\}$$
+$$3:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&5&4&3&2&1\\}$$
+$$7:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&5&4&3&2&1\\}$$
+$$a:\qquad\svec{0&0&0&1&2&3&4&5&0&0&0&0}$$
+$$v:\qquad\svec{0&1&2&3&4&5&0&0}$$
+\end{block}
+\end{columns}
+}\only<3>{
+\img[0.65]{imconv}
+}\only<4>{
+\begin{columns}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{}
+\pb{Идентичность}{Vd-Orig} $\smat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$\\[2pt]
+\pb{$f'(x,y)$}{Vd-Edge1} $\smat{1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1}$\\[2pt]
+\pb{Лапласиан}{Vd-Edge2} $\smat{0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0}$\\[2pt]
+\pb{Лапласиан}{Vd-Edge3} $\smat{1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1}$
+\end{block}
+\column{0.48\textwidth}
+\begin{block}{}
+\pb{Резкость}{Vd-Sharp} $\smat{0&-1&0\\-1&5&-1\\0&-1&0}$\\[2pt]
+\pb{Размытие}{Vd-Blur2} $\dfrac{1}{9}\smat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}$\\[2pt]
+\pb{Гаусс}{Vd-Blur1} $\dfrac{1}{16}\smat{1&2&1\\2&4&2\\1&2&1}$\\[2pt]
+\pb{LoG}{Vd-LOG} $\dfrac{1}{64}\smat{11&27&11\\27&-202&27\\11&27&11}$
+\end{block}
+\end{columns}
+}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Пространственная фильтрация FITS}
+\only<1>{Оригинал:\\
+    \smimg[0.5]{objFull}\;\smimg[0.5]{objCrop}
+}
+\only<2>{Фильтр Гаусса $1\times1$ пиксель:\\
+    \smimg[0.5]{gaussFull}\;\smimg[0.5]{gaussCrop}
+}
+\only<3>{Фильтр лапласиана гауссианы $1\times1$ пиксель:\\
+    \smimg[0.5]{lapgaussFull}\;\smimg[0.5]{lapgaussCrop}
+}
+\only<4>{Фильтр Прюитта (горизонтальный):\\
+    \smimg[0.5]{prewitthFull}\;\smimg[0.5]{prewitthCrop}
+}
+\only<5>{Фильтр Прюитта (вертикальный):\\
+    \smimg[0.5]{prewittvFull}\;\smimg[0.5]{prewittvCrop}
+}
+\only<6>{Простой градиент (через фильтры Прюитта):\\
+    \smimg[0.5]{gradientFull}\;\smimg[0.5]{gradientCrop}
+}
+\end{frame}
+
+
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+\begin{block}{Медианная фильтрация}
+\centering{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{image020} \hspace{3em}
+\includegraphics[width=0.4\textwidth]{image021}}
+\end{block}
+}\only<2>{
+\begin{block}{Адаптивный медианный фильтр}
+Зона $K\times K$ пикселей, $I_{min}$, $I_{max}$, $I_{med}$, $I_{xy}$ (интенсивность в данной
+точке), $K_{max}$~-- максимальный размер зоны.
+\begin{enumerate}
+\item $A_1=I_{med}-I_{min}$, $A_2=I_{med}-I_{max}$; если $A_1>0$ и $A_2<0$ переход на 2, иначе
+$++K$; если $K<K_{max}$, повторить, иначе вернуть $I_{xy}$.
+\item $B_1=I_{xy}-I_{min}$, $B_2=I_{xy}-I_{max}$; если $B_1>0$ и $B_2<0$, вернуть $I_{xy}$, иначе
+вернуть $I_{med}$.
+\end{enumerate}
+
+\end{block}
+}\only<3>{
+\centering{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{imf_ori} \hspace{3em}
+\includegraphics[width=0.377\textwidth]{imf_mean}}
+\centering{\includegraphics[width=0.377\textwidth]{imf_median} \hspace{3em}
+\includegraphics[width=0.35\textwidth]{imf_adpmed}}
+}
+\only<4>{Медианная фильтрация $r=1$\,пиксель и $r=5$\,пикселей:\\
+    \smimg[0.5]{median1}\;\smimg[0.5]{median5}
+}
+\only<5>{Оригинал, адаптивная медиана ($r=1$) и медиана ($r=1$):\\
+    \img{oriadpmed}
+}
+\end{frame}
+
+
+\section{Частотные преобразования}
+\begin{frame}{Частотные преобразования}
+\begin{block}{Двумерное ДПФ}
+$$F(u,v)=\Sum_{x=0}^{M-1}\Sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) \exp\Bigl(-2\pi
+i\bigl(\frc{ux}{M}+\frc{vy}{N}\bigr)\Bigr).$$
+$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\Sum_{u=0}^{M-1}\Sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) \exp\Bigl(2\pi
+i\bigl(\frc{ux}{M}+\frc{vy}{N}\bigr)\Bigr).$$
+
+Частотные преобразования:
+$$g(x,y)=\Re\left(\IFT{H(u,v)\cdot F(u,v)}\right),$$
+где $g$~-- результат, $H$~-- \ж передаточная функция фильтра\н, $F$~-- Фурье-образ исходного
+изображения.
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+Ложные частоты (aliasing, муар)
+\only<1>{\img{aliasing1}}
+\only<2>{\img[0.8]{aliasing2}}
+\only<3>{\img[0.8]{aliasing3}}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{block}{Связь пространственных и частотных преобразований}
+Пусть $f(x,y)$~--- изображение размера $M\times N$, а $F(u,v)=\FT{f}$~--- его Фурье-образ. Тогда
+шаг по $u$ и $v$ определяется выражениями:
+$$\Delta u=\frac{1}{M\Delta x}, \quad \Delta v = \frac{1}{N\Delta y}.$$
+\ж Смещение\н изображения (не оказывает эффекта на модуль БПФ):
+$$f(x,y)\exp[2\pi i (u_0x/M+v_0y/N)]\Leftrightarrow F(u-u_0, v-v_0),$$
+$$f(x-x_0,y-y_0)\Leftrightarrow F(u,v)\exp[-2\pi i(x_0u/M+y_0v/M)].$$
+В полярных координатах $f(r,\theta+\theta_0)\Leftrightarrow F(\omega, \phi+\theta_0)$, т.е.
+вращение изображения приводит к повороту Фурье-образа на тот же угол.
+
+Фурье-образ~--- периодическая функция, возможны краевые эффекты!
+\end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\only<1>{
+\begin{block}{Спектр и фаза}
+$F(u,v)=\Re(u,v)+\Im(u,v)=|F(u,v)|\e^i\phi(u,v)$, где $|F(u,v)|$~-- \ж спектр\н изображения, а
+$\phi(u,v)$~-- его\ж фаза\н (фазовый угол, $\phi(u,v)=\arctan\dfrac{\Im(u,v)}{\Re(u,v)}$).
+
+Зная компоненты образа, можно в Octave вычислить угол как \t{atan2(I,R)}.
+
+\ж Спектр мощности\н $P(u,v)=|F(u,v)|^2=\Re^2(u,v)+\Im^2(u,v)$. Спектры и фаза обладают симметрией:
+$|F(u,v)|=|F(-u,-v)|$, $R(u,v)=R(-u,-v)$, $\phi(u,v)=-\phi(-u,-v)$.
+
+$F(0,0)=\sum\sum f(x,y)=MN\left(\frac{1}{MN}\sum\sum f(x,y)\right)=MN\aver{f}$~--- пропорциональна
+среднему значению изображения. Удаление $F(0,0)/MN$ эквивалентно вычитанию среднего.
+\end{block}
+}\only<2>{\begin{columns}\column{0.3\textwidth}
+Изображение, спектр, центрированный спектр (\t{fftshift}) и логарифмическое преобразование
+центрированного спектра.
+\column{0.7\textwidth}\img{fft1}
+\end{columns}
+}\only<3>{
+\img[0.7]{fft2}
+}\only<4>{Фазы центрированного, смещенного и повернутого прямоугольников
+\img{fftphases}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+НЧ-фильтр, ВЧ-фильтр, ВЧ-фильтр со смещением:
+\img{lphpfilter}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+Краевые эффекты: изображение, НЧ-фильтр Гаусса без дополнения изображения нулями, НЧ-фильтр Гаусса
+с дополнением нулями. При расширении изображения симметричным дополнением края не будут так
+изменяться.
+\img{lpfilt.png}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\vspace*{-1em}
+\begin{columns}
+\column{0.4\textwidth}
+Изображение с муаром (скан газетного рисунка),\\
+его спектр,\\
+спектр после фильтрации,\\
+изображение  после фильтрации.
+\column{0.6\textwidth}
+\img[0.9]{ftfilt}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\section{Сигнал--шум}
+\begin{blueframe}{}
+    \only<1>{
+        \begin{block}{SNR}
+            $$\SNR = \frac{N}{\sqrt{N}}= \sqrt{N},\qquad N=N_{star}+N_{sky}\quad\Arr$$
+            $$\SNR\approx\frac{N_{star}}{\sqrt{N_{star}+2N_{sky}}},\qquad N=t_{exp}\cdot
+            R\quad\Arr$$
+            $$\SNR\approx\frac{R_{star}\sqrt{t_{exp}}}{\sqrt{R_{star}+2R_{sky}}}\quad\Arr\quad
+            \SNR\propto\sqrt{t_{exp}}$$
+            $$R=R_0\cdot S_{mirror}\propto D_{mirror}^2\quad\Arr\quad \SNR\propto D_{mirror}$$
+            $$N_{meas}\text{ коротких экспозиций вместо
+                одной:}\quad\sigma_{mean}=\frac{\sigma_{individ}}{\sqrt{N_{meas}}}\propto\frac{\sqrt{S}}{N_{meas}}$$
+            $$\SNR_{mean}=\frac{S/N_{meas}}{\sigma_{mean}}\propto\sqrt{S}=\SNR_{long}\quad\text{только
+             если }
+            \sigma\approx\sigma_{phot}!!!$$
+        \end{block}
+    }
+    \only<2>{
+        \begin{block}{Коррекция апертуры} % CCDPhotometryBook.pdf
+            Почему изображение яркой звезды шире: несмотря на совершенно одинаковую PSF у обеих
+            звезд, при сечении
+            одинаковым порогом яркая звезда всегда <<больше>>. Увеличение апертуры \Arr увеличение
+            шумов, необходимо
+            использовать как можно меньшую апертуру.
+            $$\Delta_N^{bright} = m(N\cdot \FWHM) - m(1\cdot\FWHM)\quad\Arr\quad
+            m^{faint} = m(1\cdot\FWHM) + \Delta_N^{bright},$$
+            $m(x)$~-- звездная величина на апертуре~$x$.
+        \end{block}\vspace*{-1em}
+        \img[0.6]{fwhm}
+    }
+\end{blueframe}
+
+\begin{frame}{}
+\only<1>{
+Функции плотности вероятности разных шумов.
+\img{noicepdf}
+}\only<2>{
+Гистограммы с шумами: нормальный, Рэлея, гамма:
+\img{difnoice}
+}\only<3>{
+Гистограммы с шумами: экспоненциальным, равномерным, импульсным (<<соль--перец>>):
+\img{difnoice1}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+Фильтры: среднее арифметическое, гауссов, минимум по области, максимум по области, медианный,
+адаптивный медианный и т.п. Пример: медианный и адаптивный медианный фильтры по области $7\times7$
+пикселей.
+\img{adpmed}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+Удаление гармонических шумов частотными фильтрами. Изображение, спектр, маска фильтра, итог.
+\img[0.7]{filterft}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
+\centering
+\begin{minipage}{5cm}
+\begin{block}{mailto}
+eddy@sao.ru\\
+edward.emelianoff@gmail.com
+\end{block}\end{minipage}
+\end{frame}
+\end{document}