mirror of
https://github.com/eddyem/phisics_gak.git
synced 2025-12-06 02:25:13 +03:00
41 lines
2.4 KiB
TeX
41 lines
2.4 KiB
TeX
\subsection*{Интегралы движения}
|
||
\index{Интеграл!движения|(textbf}
|
||
При движении механической системы~$2s$ величин (обобщенных координат, $q_i$
|
||
и~$\dot q_i$), определяющих ее состояние, изменяются со временем. Однако, существуют
|
||
функции этих величин, сохраняющих при движении постоянное значение, зависящее
|
||
лишь от граничных условий. Эти функции называют\ж интегралами
|
||
движения\н. Число независимых интегралов движения для
|
||
замкнутой системы с~$s$ степенями свободы равно~$2s-1$. Если из общего решения
|
||
уравнения движения исключить постоянную, определяющую начальный момент времени,
|
||
получим интегралы движения:
|
||
$$q=q(t+t_0,\C_1,\ldots,\C_{2s-1});\qquad
|
||
\dot q=\dot q(t+t_0,\C_1,\ldots,\C_{2s-1}).
|
||
$$
|
||
|
||
В механике некоторые интегралы движения связаны с однородностью и изотропностью
|
||
пространства и времени, причем они обладают свойствами аддитивности. Так, с\к
|
||
однородностью времени\н связана\ж энергия\н\index{Энергия!механическая} системы.
|
||
Действительно, в силу однородности времени лагранжиан замкнутой системы от
|
||
времени не зависит. Продифференцировав уЛ по времени, получим:
|
||
$$\frac{d}{dt}\Bigl(\sum_i\dot q_i\partder{L}{\dot q_i}-L\Bigr)=0.$$
|
||
Величина в скобках (один из интегралов движения) и является энергией, а предыдущее
|
||
уравнение описывает\ж закон сохранения энергии\н\index{Закон!сохранения!энергии}.
|
||
|
||
Другой закон сохранения связан с однородностью пространства. В силу этой однородности
|
||
механические свойства замкнутой системы не изменяются при ее параллельном переносе
|
||
в пространстве. Формализуя сказанное, получим:
|
||
$$\delta L=\sum_a\partder{L}{\vec r_a}\delta r_a=\C\sum_a\partder{L}{\vec r_a}=0.$$
|
||
В силу уЛ, получим:
|
||
$$\sum_a\frac{d}{dt}\partder{L}{\vec v_a}=\frac{d}{dt}\sum\partder{L}{\vec v_a}=0;\qquad
|
||
\vec p=\sum_a\partder{L}{\vec v_a}=\sum_a m_a\vec v_a=\const.$$
|
||
Вектор $\vec p$ называется\ж импульсом\н\index{Импульс} системы, а предыдущее
|
||
выражение~--- не что иное, как\ж закон сохранения импульса\н\index{Закон!сохранения!импульса}. Из закона сохранения импульса,
|
||
$\frac{d\vec p}{dt}=0$ вытекает, также, что сумма сил, действующих на частицы
|
||
замкнутой системы, равна нулю.
|
||
|
||
Если движение описывается обобщенными координатами, $q_i$, то производные
|
||
лагранжиана по обобщенным скоростям, $\partder{L}{\dot q_i}$, называют\ж
|
||
обобщенными импульсами\н\index{Импульс!обобщенный}, а производные по обобщенным
|
||
координатам, $\partder{L}{\dot q_i}$~---\ж обобщенными силами\н\index{Сила!обобщенная}.
|
||
\index{Интеграл!движения|)}
|