\thispagestyle{empty}
\chapter{Атомная и ядерная физика, элементарные частицы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Элементарная теория атома водорода}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Проблема устойчивости атома в планетарной модели. Закономерности
в излучении атома водорода}\index{Серии излучения водорода}
Бальмер обнаружил, что для атома водорода длины волн спектральных
линий в видимой и близкой УФ областях расположены согласно закону
$\lambda=\lambda_0\dfrac{n^2}{n^2-4}$, где $n=3,4,5\ldots$.
Для частот эта формула примет вид $\boxed{\omega=R\left(\dfrac1{2^2}-
\dfrac1{n^2}\right)}$, где $R$~--\ж постоянная Ридберга\н\index{Постоянная!Ридберга}.\index{Формула!Бальмера}

Дальнейшие исследования показали, что в спектре водорода имеется еще несколько
серий. В УФ части спектра находится серия Лаймана. Остальные серии лежат в
инфракрасной области. Линии этих серий могут быть представлены в виде
аналогичных формул.

В общем случае придем к формуле $\omega_{nm}=T_1(m)-T_2(n)$,
где $T(x)=R/x^2$~--\ж спектральный терм\н\index{Спектральный терм}
$n=\overline{m+1,\infty}$. Значение $m$ составляет: 1 для\ж серии
Лаймана\н, 2 для\ж серии Бальмера\н, 3 для\ж серии Пашена\н, 4 для\ж
серии \hbox{Брэкета}\н, 5 для\ж серии Пфунда\н и т.д.

Данная обобщенная формула Бальмера является математическим изложением\ж
комбинационного принципа\н\index{Принцип!комбинационный}. Комбинационному
принципу можно дать несколько иную формулировку:\к если известны волновые
числа двух спектральных линий одной и той же серии, то их разность будет также
волновым числом некоторой третьей спектральной линии, принадлежащей тому же
атому\н.

На основе данных закономерностей сложилась\ж модель атома
Томсона\н\index{Модель!Томсона}. Согласно ей, атом является равномерно
заполненным положительным зарядом шаром, внутри которого находятся
отрицательно заряженные валентные электроны.

Данная модель была опровержена опытами по рассеянию $\alpha$-частиц
на атомах металлов. Область, заряженная положительно, оказалась очень
небольшой по сравнению с эффективным размером атома. Появилась\ж
планетарная модель атома\н\index{Модель!Планетарная}. В этой модели
атом состоит из положительно заряженного ядра, занимающего очень небольшую
область пространства, вокруг которого вращаются электроны.

Однако, классическая физика уперлась в тупик, пытаясь доказать возможность
существования планетарной модели. Система движущихся зарядов, согласно
классической физике, должна излучать (чего не наблюдается). При излучении
энергия зарядов постепенно снижается, в результате чего, в конце-концов,
такая система окажется разрушенной, т.к. электрон, постепенно теряя свою
кинетическую энергию, упадет на ядро.

\subsection*{Постулаты Бора. Принцип соответствия}
Для обоснования планетарной модели Нильс Бор ввел три допущения, позволяющих
рассматривать данную систему как устойчивую. Данные допущения носят название\ж
постулатов Бора\н\index{Постулаты Бора}.
\begin{enumerate}
	\item (Постулат стационарных состояний):\к в атоме существует набор
	стационарных состояний, находясь в которых атом не излучает ЭМВ\н.
	Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым
	ускоренно движется электрон, не излучая при этом.
	\item (Правило квантования орбит):\к в стационарном состоянии атома
	электрон, движущийся по круговой орбите, имеет квантованные значения
	момента импульса\н: $L_k=mvr=k\hbar$, где $k$ равно числу дебройлевских
	длин волн электрона, укладывающихся на длине круговой орбиты:
	$k=2\pi r/\lambda_{dB}=rmv/\hbar$.
	\item (Правило частот):\к при переходе атома из одного стационарного
	состояния,$n$, в другое, $m$, происходит излучение или поглощение фотона\н
	$\hbar\omega_{nm}=W_n-W_m$, где $W$~-- энергия атома в стационарном
	состоянии.
\end{enumerate}

Правило квантования орбит получено из\ж постулата Планка\н:\index{Постулат!Планка}
$W_n=n\hbar\omega$. Пусть $q$~-- координата гармонического осциллятора,
$p$~-- его импульс. Тогда $W_n=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{m\omega q^2}2=
n\hbar\omega$. Получили уравнение эллипса:
$$\frac{q^2}{2n\hbar/(m\omega)}+\frac{p^2}{2mn\hbar\omega}=1.$$
Полуосями эллипса являются параметры $a=\sqrt{\dfrac{2n\hbar}{m\omega}}$
и $b=\sqrt{2mn\hbar\omega}$.

Площадь эллипса $S_n=\pi ab=2\pi\hbar n=hn$. Между тем, $S_n=\oint p\,dq=
hn$. Для электрона в качестве $q$ естественно взять фазу колебания $\phi$,
а $p=L$~-- момент импульса электрона. Тогда получим:
$\oint L\,d\phi=hn$. Т.к. сила, с которой ядро действует на электрон,
уравновешивает центробежную силу, получим: $L=\const$,~\Arr
$2\pi L=2\pi\hbar n$,~\Arr $\boxed{L=n\hbar}$. Что означает квантование
момента импульса электрона.

Согласно\ж принципу соответствия\н\index{Принцип!соответствия},\к всякая
более общая теория содержит в себе менее общую, как предельный случай\н.
Например, предельным случаем преобразований Лоренца являются преобразования
Галилея. В\ж формулировке Бора\н принцип соответствия звучит так:\к
выводы и результаты квантовой механики при больших квантовых числах
должны соответствовать классическим результатам\н. Действительно, при
очень больших квантовых числах энергия электрона изменяется квазинепрерывно,
что позволяет использовать методы классической механики.

\subsection*{Опыты Франка и Герца}\index{Опыт!Франка и Герца}
Существование дискретных энергетических уровней атома подтверждается опытами,
осуществленными Франком и Герцем.

В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением ($\sim1$\,мм рт.
ст.), имелись три электрода: катод, сетка и анод. Электроны, вылетавшие из
катода вследствие термоэлектронной эмиссии, ускорялись разностью потенциалов,
приложенной между катодом и сеткой. Эту разность потенциалов можно было
плавно менять с помощью потенциометра. Между сеткой и анодом создавалось
слабое электрическое поле, тормозившее движение электронов к аноду.
Исследовалась зависимость силы тока в цепи анода от напряжения между катодом
и сеткой. Эксперимент показал, что сила тока вначале монотонно возрастала,
достигая максимума, после чего с дальнейшим увеличением напряжения резко
падала, достигая минимума, и снова начинала расти.

Такой ход кривой объясняется тем, что вследствие дискретности энергетических
уровней атомы могут воспринимать энергию только порциями $\Delta E$,
соответствующими разности энергий стационарных состояний.
До тех пор, пока энергия электрона меньше $\Delta E$, соударения между
электроном и атомом ртути носят упругий характер, и энергия электрона при
столкновениях практически не изменяется. Часть электронов попадает на сетку,
остальные же, проскочив через сетку, достигают анода, создавая ток в цепи
гальванометра. Чем больше скорость, с которой электроны достигают сетки
(т.е. чем больше $\Delta E$), тем большей будет доля электронов, проскочивших
через сетку, и тем, следовательно, большей будет сила тока. Когда энергия,
накапливаемая электроном в промежутке катод--сетка, достигает значения
$\Delta E$, соударения перестают быть упругими~--- электроны при ударах об
атомы передают им энергию, и продолжают затем двигаться с меньшей скоростью.
Поэтому число электронов, достигающих анода, уменьшается.

Атомы, получившие при соударении с электронами энергию $\Delta E$, переходят
в возбужденное состояние, из которого они спустя время порядка $10^{-8}$\,с
возвращаются в основное состояние, излучая фотон с частотой
$\omega=\Delta E/\hbar$. При напряжении, превышающем $9.8$\,В, электрон на
пути катод~-- анод может дважды претерпеть неупругое соударение с атомами
ртути, теряя при этом энергию $9.8$\,эВ, вследствие чего сила тока снова
начнет уменьшаться. При еще большем напряжении возможны трехкратные неупругие
соударения электронов с атомами, что приводит к возникновению максимума при
$U=14.7$\,В, и т.д.

\subsection*{Изотопический эффект}
С учетом движения в атоме водорода и электрона, и ядра относительно общего
центра инерции, в формулах, описывающих движение электрона вокруг ядра,
под массой электрона, $m_e$ следует понимать\ж приведенную массу\н\index{Масса!приведенная}
системы электрон--ядро:
$$\mu=\frac{m_eM}{m_e+M}=\frac{m_e}{1+\frac{m_e}{M}},$$
где $M$~-- масса ядра.

С учетом движения ядра постоянная Ридберга имеет наименьшее значение для
атома водорода; предельного значения она достигает при $M=\infty$.
Вследствие различия значений~$R$ для разных~$M$ в спектрах проявляется\ж
изотопический эффект\н\index{Эффект!изотопический}, связанный с
существованием нескольких изотопов одного и того же химического элемента.

Для смеси изотопов этот эффект состоит в наличии дополнительных спектральных
линий к линиям атомов, ядра которых принадлежат изотопу с наибольшей
распространенностью. Интенсивности этих линий относятся, как процентные
содержания изотопов в веществе, а длины волн смещены друг относительно друга
для изотопов с массами~$M'$ и~$M''$ на величину
$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{m_e(M''-M')}{(\rev2[M'+M''])^2}.$$
С другой стороны, $\Delta\lambda/\lambda=(R_1-R_2)/R_1$,
где $R_1$ и~$R_2$~-- постоянные Ридберга для обоих изотопов.

При взаимодействии отрицательных мюонов с веществом, атомные ядра могут
захватывать мюоны на свои орбиты, образуя с ними\ж мезоатомы\н\index{Мезоатомы}.
Поведение мюонов в атомах существенно не отличается от поведения электронов,
за исключением малой продолжительности жизни мюонов. Атомные электроны не
оказывают сильного влияния на движение мюона в атоме. Малый радиус мюонной
орбиты и его уменьшение с ростом заряда ядра приводят к тому, что уже при
$Z\approx30$ мюоны должны проникать в ядро. На энергетических уровнях мюона
поэтому сказываются размеры и структура ядра, которое в этом случае уже
нельзя считать точечным, как это делается при решении уравнения Шр\"едингера
для атома.

При замедлении позитронов в веществе иногда образуется\ж позитроний\н\index{Позитроний}~--
система из позитрона и электрона, движущихся вокруг общего центра тяжести.
Позитрон нельзя считать неподвижным, так как его масса равна массе электрона.
Радиусы орбит в позитронии вдвое больше радиусов соответствующих орбит в
атоме водорода, а энергия связи позитрония вдвое меньше энергии связи атома
водорода. В зависимости от ориентации спинов электрона и позитрона возникают
два состояния позитрония:\к ортосостояние\н при параллельной ориентации
спинов и\к парасостояние\н при их антипараллельной ориентации

\subsection*{Водородоподобные ионы. Релятивистское обобщение модели Бора.
Постоянная тонкой структуры}
Для атома водорода энергия $n$-го уровня $E_n=-R/n^2$. Постоянная Ридберга
$\boxed{R=\dfrac{m_ee^4}{8\epsilon_0^2h^2}}$.\ж Водородоподобными ионами\н
являются ионы атомов со степенями ионизации, равными $N-1$, где
$N$~-- порядковый номер атома. Такими ионами являются, например,
He$^+$ (He$^{I}$), Li$^{II}$, Be$^{III}$ и т.д. Т.е. это атомы с одним
единственным электроном.

Спектральная структура водородоподобных ионов сильно похожа на структуру
спектра атома водорода. Для них получена\ж формула
Бальмера--Ридберга\н\index{Формула!Бальмера--Ридберга}:
$$E_{nm}=Z^2R\left(\rev{m^2}-\rev{n^2}\right),$$
где $Z$~-- заряд ядра атома.

Относительно спинового момента электрона атом водорода является вырожденным:
все энергетические уровни для электронов, отличающихся лишь спиновыми числами,
совпадают. Щелочные металлы, однако, не являются вырожденными относительно
спинового числа. Поэтому их спектры содержат несколько серий:\к
основную\н ($f^{n>4}\to d^3$),\к диффузную\н ($d^{n>2}\to p^3$),\к
резкую\н ($s^{n>3}\to p^3$) и\к главную\н ($p^{n>2}\to s^3$), где
$s$, $p$, $d$ и $f$~-- соответствующие электронные орбиты (\bf термы\н)\index{Терм}.
Энергия $n$-го уровня для таких атомов в данном случае описывается
уравнением $E_n=\dfrac{R}{(n+\alpha)^2}$, где $\alpha<0$~--\ж квантовый
дефект\н\index{Квантовый дефект}, необходимый для расчетов энергий
атома, соответствующих данной серии.

Таким образом, спектр щелочных металлов имеет\ж тонкую структуру\н\index{Тонкая структура}:
большинство линий имеют двойную или б\'ольшую кратность. Сложные линии,
содержащие несколько компонент, называют\ж мультиплетами\н\index{Мультиплет},
в отличие от простых одиночных линий~---\ж синглетов\н\index{Синглет}.

Для объяснения тонкой структуры\ж Гаудсмит\н и\ж Уленбек\н выдвинули
гипотезу, что электрон обладает собственным моментом импульса~---\ж
спином\н\index{Спин}. Наличие спинового момента и все его свойства
вытекают из установленного Дираком уравнения квантовой механики,
удовлетворяющего требованиям теории относительности. Т.о., спин
является одновременно и квантовым, и релятивистским свойством частиц.
Спин электрона $s_e=\pm\hbar/2$. Обычно постоянную Планка в выражении
для спина опускают, просто говоря, что\к электрон обладает полуцелым
спином\н. Модуль спинового момента $M=\hbar\sqrt{s(s+1)}=\rev2\hbar\sqrt3$.\ж
Спиновое магнитное квантовое число\н $M_{s_z}=m_s\hbar$.

Так как момент импульса атомного ядра равен нулю, момент импульса атома
водорода равен моменту импульса электрона, $M_e+M_s$.
$\vec M_j=\vec M_l+\vec M_s$, где $M_l$~--\ж орбитальный момент\н
электрона\index{Момент!орбитальный}, $j=\overline{l+s,l-s}$. Из-за\ж
спин--орбитального взаимодействия\н\index{Взаимодействие!спин--орбитальное}
энергия атома зависит от взаимной ориентации спинового и орбитального
моментов электрона.

Т.о., каждый терм, кроме $s$, распадается на дублеты, соответствующие
разным ориентациям спина. Согласно\ж правилам отбора\н\index{Правила!отбора},
при переходе между разными энергетическими состояниями магнитный момент
атома изменяется как $\Delta j=0,\pm1$. В результате при переходе между двумя
энергетическими уровнями возникают триплеты (точнее, сложные дублеты).

Тонкая структура энергетических уровней является релятивистским эффектом.
Согласно релятивистской квантовой теории, тонкая структура спектра
$\Delta E=\dfrac{\alpha^2}{16}E_i$, где $E_i$~-- энергия ионизации атома
водорода, $\alpha=\dfrac{2\pi e^2}{ch}\approx\dfrac1{137}$~--\ж
постоянная тонкой структуры\н\index{Постоянная!тонкой структуры}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Основы квантовой механики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Квантовая система, ее состояние, измеряемые параметры}
В основе квантовой теории лежат два принципа:\ж принцип
дискретности\н\index{Принцип!дискретности} (некоторые физические величины в
определенных условиях могут принимать только дискретные значения) и\ж
принцип корпускулярно--волнового дуализма\н (микрообъект ведет себя в одних
условиях как волна, в других как частица, являясь до опыта и тем и другим, а
после опыта ни тем, ни другим в классическом смысле слова).

Под\ж состоянием квантовой системы\н\index{Состояние} понимают набор характеристик,
позволяющих выделить и идентифицировать конкретную физическую систему в
конкретных физических условиях.
Под\ж наблюдаемой\н\index{Наблюдаемая} понимают любую физическую величину, которая может быть
измерена в эксперименте, результатом которого должно быть обязательно
действительное число. Под\ж оператором\н\index{Оператор}~$\hat F$ подразумевают правило,
посредством которого одной функции,$\psi$, сопоставляется другая функция,
$\phi$: $\phi=\hat F\psi$.

В\ж фазовом пространстве\н\index{Фазовое пространство}~(ФП) квантовое состояние
системы характеризуется точкой. Если задать положение этой точки относительно
начала отсчета ФП, получим\ж вектор состояния\н системы, который обозначается
как $\bra{\psi}$ (\bf бра--вектор\index{Бра--вектор}\н) или $\ket{\psi}$
(\bf Кэт--вектор\index{Кэт--вектор}\н).

\bf Собственное состояние\н\index{Состояние!собственное} квантовой системы~---
такое состояние, для которого результаты эксперимента можно представить с
полной определенностью. В собственных состояниях физические величины
имеют определенные точные значения (\it чистые состояния\н), а их конкретные
значения называются\ж собственными значениями\н\index{Собственное значение},
$\alpha$.

Для любой наблюдаемой величины $A$ существует линейный оператор~$\hat A$.
Уравнение на собственные значения имеет вид: $\hat A\ket{\psi_i}=\alpha_i
\ket{\psi_i}$.

Совокупность всех собственных значений оператора~$\hat F$ образует его\ж
спектр\н. Задача нахождения спектра конкретного линейного оператора играет
фундаментальную роль в квантовой механике.

Согласно\ж принципу соответствия\н\index{Принцип!соответствия},
$\boxed{\widehat{f(A)}=f(\hat A)}$.

\input{adddd/53}
\subsection*{Свойства волновой функции. Уравнение Шр\"едингера. Стационарные
и нестационарные состояния. Плотность вероятности и плотность потока
вероятности}
\bf Линейным\н\index{Оператор!линейный} называется оператор~$\hat A$, действие
которого на совокупность векторов состояния линейно: для $\ket{\psi}=
\sum c_i\ket{\psi_i}$ выполняется $\hat A\ket{\psi}=\sum c_i\alpha_i
\ket{\psi_i}$.

Помимо линейности, операторы наблюдаемых должны удовлетворять требованию\ж
эрмитовости\н\index{Оператор!эрмитов}: $\bra{\psi}\hat A\ket{\phi}=
\overline{\bra{\phi}\hat A\ket{\psi}}$, т.е. быть самосопряженным.

В векторном представлении основной характеристикой объекта является
вектор состояния~$\ket{\phi}$, который в более простом (но менее наглядном)
случае заменяется скаляром~---\ж волновой функцией\н\index{Функция!волновая}.

Шр\"едингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат
и времени, которую назвал волновой функцией~$\psi$. Вид волновой функции
является решением\ж уравнения Шр\"едингера\н\index{Уравнение!Шр\"едингера} (уШ):
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+U\psi=i\hbar\partder{\psi}{t},\quad
\text{или}\quad\hat H\ket{\psi}=i\hbar\partder{\ket{\psi}}{t}.$$
Обычно исследуются стационарные состояния системы:
$\ket{\psi(t)}=\ket{\psi}\exp(-iEt/\hbar)$.

В\ж стационарном случае\н уШ имеет вид: $\hat H\ket{\psi}=E\ket{\psi}$,
где $E$~-- энергия системы в данном стационарном состоянии.

Согласно Борну, квадрат модуля волновой функции, $|\psi|^2$ определяет
вероятность нахождения частицы в объеме ФП~$dV$:
$dP=A|\psi|^2dV=A\psi^*\psi\,dV$, или, для векторов состояния:
$dP=A\bracket{\psi}$, где $A$~-- некоторый нормировочный коэффициент.
Для того, чтобы избавиться от~$A$, можно нормировать волновую функцию:
$\Int\bracket{\psi}\,dV=1$, в этом случае квадрат модуля волновой
функции будет равняться вероятности нахождения частицы в данном элементе
объема ФП.

Следует указать, что даже нормированная\к волновая функция определена
с точностью до\ж фазового множителя\н\index{Фазовый!множитель}
$\exp(i\alpha)$: если $\bra{\psi_1}=\exp(i\alpha)\bra{\psi}$,
то $\ket{\psi_1}=\ket{\psi}\exp(-i\alpha)$,~\Arr
$\bracket{\psi_1}=\bracket{\psi}$.

Совокупность волновых функций квантовой системы, $\ket{\psi_i}$ образует ее\ж базис\н,
который должен быть\ж ортонормированным\н ($\bra{\psi_i}\cket{\psi_j}=
\delta_{ij}$) и\ж полным\н (любую волновую функцию~$\ket{\psi}$ системы можно линейно
выразить через другие функции базиса: $\ket{\psi}=\sum c_i\ket{\psi_i}$,
хотя бы одна $c_i\ne0$).

Движению микрочастицы соответствует перераспределение плотности вероятности,
$\bracket{\psi}$,
в ФП. Максимум вероятности как бы <<перетекает>> из одних точек ФП в другие.
Движение частиц в пространстве характеризуется специальной величиной~---\ж
плотностью потока вероятности\н\index{Плотность!потока вероятности}, которую
можно найти, опираясь на основное уравнение квантовой механики.

Определим, как изменяется величина плотности вероятности с течением времени:
$\partder{\bracket{\psi}}{t}=-\diver\ket{j}$, где
$\ket{j}=\dfrac{i\hbar}{2m}(\ket{\psi}\nabla\bra{\psi}-
\bra{\psi}\nabla\ket{\psi})$. $\ket{j}$ и есть вектор плотности потока
вероятности, т.к. выражение для производной плотности вероятности совпадает
по форме с законом непрерывности тока. Убыль вероятности нахождения частицы в
объеме~$V$ равна потоку вектора~$\ket{j}$ через поверхность, ограничивающую
объем~$V$.

В силу условия нормировки, суммарное значение вероятности во всем
пространстве~$V$ сохраняется, вероятность лишь может перераспределяться
между отдельными областями. Из смысла волновой функции вытекает, что\к
квантовая механика имеет статистический характер\н, т.е. с помощью
волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может
быть обнаружена в различных точках пространства.

Выведем уШ по де~Бройлю. Волновую функцию частицы можно представить в виде
плоской волны де~Бройля: $\psi=a\exp(-i[\omega t-kx])$, где
$\omega=E/\hbar$, $\lambda=\frac{2\pi\hbar}{mv}$, $k=2\pi/\lambda=
mv/\hbar$,~\Arr $\boxed{\psi=a\exp\Bigl[\frac{i}{\hbar}(px-Et)\Bigr]}$.
$\partder{\psi}{t}=-\dfrac{i}{\hbar}E\psi$, $\dpartder{\psi}{x}=
\Bigl(\dfrac{i}{\hbar}\Bigr)^2p^2\psi$,~\Arr
$E=\dfrac1{\psi}i\hbar\partder{\psi}{t}$, $p^2=-\dfrac1{\psi}\hbar^2
\partder{\psi}{x}$, а т.к. $E=\dfrac{p^2}{2m}$, получим уравнение:
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\dpartder{\psi}{x}=i\hbar\partder{\psi}{t},$$
которое совпадает с уШ при $U=0$.

При $U\ne0$, $\dfrac{p^2}{2m}=E-U$,~\Arr $-\dfrac1{\psi}\dfrac{\hbar^2}{2m}
\dpartder{\psi}{x}=\dfrac1{\psi}i\hbar\partder{\psi}{t}-U$,~\Arr
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\dpartder{\psi}{x}+U\psi=i\hbar\partder{\psi}{t}.$$

\subsection*{Операторы физических величин. Среднее значение и дисперсия
физической величины}
Рассмотрим вид операторов физических величин в координатном представлении,
где $\hat x=x$, $\hat y=y$, $\hat z=z$. Для этого воспользуемся принципом
соответствия: $\hat U(x,y,z)=U(\hat x,\hat y,\hat z)$. Получим
для оператора кинетической энергии:
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi=E\psi,\quad\Arr\quad
\boxed{\hat E=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\dpartder{}{x}+\dpartder{}{y}+
\dpartder{}{z}\right)}\,.$$
Оператор импульса:
$$\hat T=\frac{\hat p^2}{2m}=\rev{2m}\left(\hat p_x^2+\hat p_y^2+
\hat p_z^2\right),\;\Arr\; \hat p^2_{x,y,z}=-\hbar^2
\dpartder{}{(x,y,z)},\;
\boxed{\hat p_{x,y,z}=\frac{\hbar}{i}\partder{}{(x,y,z)}}\,.$$
Оператор момента импульса:
$$\vec L=\vec r\times\vec p=\begin{vmatrix}\veci&\vecj&\veck\\
x&y&z&\\p_x&p_y&p_z\end{vmatrix}\;\Arr\;
L_{x,y,z}=i[(y,z,x)p_{z,x,y}-(z,x,y)p_{y,z,x}],\;\Arr$$
$$\boxed{\hat L_x=\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y=\frac{\hbar}{i}\left(y\partder{}{z}-
z\partder{}{y}\right)}\,.$$

Так как квантовая механика оперирует с вероятностными величинами, то
понятие физической величины~$A$ заменяется понятием ее\ж среднего
значения\н:
$$\mean{A}=\Int\psi^*\hat A\psi\,dV,\quad\text{или}\;
\mean{A}=\bra{\psi}\hat A\ket{\psi}.$$
\bf Дисперсия физической величины\н
$$D_A=\mean{A^2}-\mean{A}^2=\Int\psi^*\hat A^2\psi\,dV-\left(
\Int\psi^*\hat A\psi\,dV\right)^2\!\!,\;\text{или}\;
D=\bra{\psi}\hat A^2\ket{\psi}-(\bra{\psi}\hat A\ket{\psi})^2.$$

Флуктуация величины $A$ характеризуется ее\ж среднеквадратичным
отклонением\н: $\sigma_A=\sqrt{D_A}$, которое можно нормировать:
$\delta_A=\sqrt{D_A}/\mean{A}$.

Две наблюдаемые называются\ж совместными\н,\index{Наблюдаемая!совместная}
если изменение одной из них не влияет на изменение другой. $A$ и~$B$
совместны тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы
коммутируют друг с другом: $[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A=0$,~\Arr
$[\hat A,\hat B]\ket{\psi}=\hat A(\hat B\ket{\psi})-\hat B(\hat A\ket{\psi})=
\hat A(\hat B\ket{\psi})-\alpha\hat B\ket{\psi}=0$, где $\alpha$~-- собственное
значение оператора~$\hat A$. Следовательно, вектор $\hat B\ket{\psi}$
также является собственным вектором оператора~$\hat A$, принадлежащим тому
же собственному значению~$\alpha$.

Систему совместных наблюдаемых называют\ж полной\н\index{Наблюдаемая!полная},
если никакие два состояния не имеют одинаковых собственных значений для
всех этих наблюдаемых. Т.о., задание собственных значений всех этих
наблюдаемых однозначно определяет состояние квантовой системы.

\subsection*{Гамильтониан. Собственные значения гамильтониана}
\bf Гамильтониан\н\index{Гамильтониан},~$\hat H$,~--- оператор полной энергии
системы:
$$\hat H=\hat T+\hat U=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+\hat U.$$
В стационарном случае гамильтониан не зависит от времени, следовательно,
уШ превращается в\к уравнение на собственные значения\н~$\hat H$:
$\boxed{\hat H\ket{\psi}=E_n\ket{\psi}}$.

Рассмотрим значения энергии частицы, находящейся в бесконечной одномерной
прямоугольной потенциальной яме с границами~$x=0$ и~$x=l$.
За пределами ямы~$\psi\equiv0$,~\Arr получим ГУ: $\psi(0)=\psi(l)=0$.
Внутри ямы $\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$,~\Arr
$\psi''+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi=0$.

Пусть $k^2=2mE/\hbar^2$, тогда $\psi_{xx}+k^2\psi=0$,~\Arr
$\psi(x)=a\sin(kx+\alpha)$. Из ГУ~\Arr $\alpha=0$,
$kl=\pm n\pi$,~\Arr $k=\pm\pi n/l$. Получим\ж спектр значений энергии
частицы\н: $\boxed{E_n=\dfrac{\pi^2\hbar^2n^2}{2ml}}$. Разность между
соседними уровнями энергии $\Delta E_n=\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2ml^2}
(2n+1)\approx\dfrac{\pi^2\hbar^2}{ml^2}n$.
Собственные функции: $\psi_n=a\sin(\pi nx/l)$. Нормируя, получим:
$\psi=\sqrt{2/l}\sin(\pi nx/l)$.

Т.о., получили\ж дискретный\н\index{Спектр!дискретный} спектр энергии частицы
в потенциальной яме. В отличие от частицы в яме, у свободной частицы спектр
является\ж квазинепрерывным\н\index{Спектр!квазинепрерывный}, условно
его можно считать сплошным (действительно сплошных спектров, ввиду квантового
характера физических процессов, в природе не существует).

Т.о., связанные электроны в атомах при переходах между энергетическими
уровнями формируют дискретный электромагнитный спектр вещества. При торможении
быстрых электронов излучается квазинепрерывный (сплошной) спектр.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Одномерные квантовомеханические задачи}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Свободное движение частицы. Гармонический осциллятор}
(пример с прямоугольной потенциальной ямой см. в предыдущем вопросе)
\paragraph{Свободное движение.}
При свободном движении частицы $U=0$,~\Arr уШ примет вид:
$$\Delta\psi+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi=0,\;\text{или}\;
\Delta\psi+k^2\psi=0,\; k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}.$$
В одномерном случае решение будет представлять собой суперпозицию
движущихся противоположно волн: $\psi=A\exp(-i/\hbar\sqrt{2mE}x)+
B\exp(i/\hbar\sqrt{2mE}x)$, или $\psi=a\cos(kx+\alpha)$.

ГУ в данном случае отсутствуют (частица движется из~$-\infty$ в~$+\infty$),
однако сохраняется требование нормировки. Нахождение нормировочного
интеграла невозможно, поэтому зачастую на частицу накладывают дополнительные
ГУ, ограничивая область ее движения, пусть большим, но конечным интервалом.

\subsection*{Линейный гармонический осциллятор}
Частица с массой $m$ колеблется с частотой~$\omega_0$ вдоль оси~$OX$
под действием квазинепрерывной потенциальной силы~$F=-kx$,
$k=m\omega^2$, $U=m\omega_0^2x^2/2$, уШ:
$$\psi''+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-\frac{m\omega_0^2x^2}{2}\right)
\psi=0.$$
Решения: $E_n=(n+1/2)\hbar\omega_0$, при $n\gg1$: $E_n\approx
n\hbar\omega_0$, как и постулировал Планк.

Собственные функции: $\psi_n=\dfrac1{\sqrt{x_0}}\exp\Bigl(-\dfrac{\chi^2}{2H_n(\chi)}\Bigr)$,
где $\chi=\dfrac{x}{x_0}$, $x_0=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega_0}}$, $H_n$~--\ж
полином Чебышева--Эрмита\н\index{Полином Чебышева--Эрмита} $n$-го
порядка:
$$H_n(\chi)=\frac{(1-)^n}{\sqrt{2^nn!\sqrt{\pi}}}\exp\left(
\chi^2\frac{d^n(\exp[-\chi^2])}{d\chi^n}\right).$$
Функция $\psi_n$ имеет $n$ узлов (точек с $\psi=0$).

Отличием квантовомеханического решения уравнения колебания гармонического
осциллятора от классического является существование энергии нулевых колебаний
($E_0=\hbar\omega_0/2$), в классической же теории $E_0=0$.

\subsection*{Туннельный эффект}
Рассмотрим прохождение частицы слева направо сквозь прямоугольный барьер
$$U=\begin{cases}U_0,&x\in(0,l);\\0,&x\not\in(0,l).\end{cases}$$
Нас интересует случай $E<U$. Вне барьера уШ имеет вид:
$\psi^{(o)}{}''+2mE\psi^{(o)}/\hbar^2=0$, внутри барьера:
$\psi^{(i)}{}''+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_0)\psi^{(i)}=0$.

Будем искать решение в виде $\psi=\exp(\lambda x)$:
$\lambda^2+\frac{2m}{\hbar^2}E=0$,~\Arr
$\lambda=\pm i\alpha$, $\alpha=\sqrt{2mE}/\hbar$.
Следовательно, вне барьера волновая функция является суперпозицией
падающей и отраженной волн де~Бройля: $\psi^{o}_{1,2}=A_{1,2}\exp(i\alpha x)+
B_{1,2}\exp(-i\alpha x)$.

Внутри барьера $\psi^{(i)}=a\exp(\beta x)+b\exp(-\beta x)$, где
$\beta=\sqrt{2m(U_0-E)}/\hbar$.
Т.к. в области справа от барьера нет отраженной волны, $B_2=0$.
Наложим условие непрерывности и гладкости функции $\psi$:
$\dfrac{d\ln\psi}{dx}=\const$,~\Arr $A_1+B_1=a+b$,
$a\exp(\beta l)+b\exp(-\beta l)=A_2\exp(i\alpha l)$,
$i\alpha A_1-i\alpha B_1=\beta a-\beta b$,
$\beta a\exp(\beta l)-\beta b\exp(-\beta l)=i\alpha a\exp(i\alpha l)$.
Пусть $n=\beta/\alpha=\sqrt{(U_0-E)/E}$. Тогда получим следующие выражения
для\к коэффициентов отражения\н и\к преломления\н:
$$R=\frac{|B_1|^2}{|A_1|^2},\qquad D=\frac{|A_2|^2}{|A_1|^2},\qquad
R+D=1.$$
Найдем значение $D$, используя ГУ:
$D\approx\dfrac{16n^2}{(n^2+1)^2}\exp(-2\beta l)$. Обычно опускают
множитель $16n^2/(n^2+1)^2$, имеющий при малых $n$ порядок единицы.
Тогда для $D$ справедлива формула:
$$\boxed{D\approx\exp\Bigl(-\frac{2l}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}\Bigr)}\,.$$
Т.о., существует ненулевая вероятность прохождения частицы через
потенциальный барьер. Это явление называют\ж туннельным эффектом\н\index{Эффект!туннельный}.

Для барьеров сложной формы
$$D\approx\exp\Bigl(-\frac{2}{\hbar}\Int_a^b\!\!\sqrt{2m(U_0-E)}\,dx\Bigr)\,.$$

\subsubsection*{Квазистационарные состояния. Предельный переход к классической
физике}
В случае слабой зависимости волновой функции $\psi$ от времени, плотность
вероятности $|\psi|^2$ также слабо будет изменяться с течением времени.
В этом случае можно считать, что в некотором интересующем интервале времени
$|\psi|^2=\const$. Такие состояния называют\ж квазистационарными\н\index{Состояние!квазистационарное}.

Согласно принципу соответствия, при больших квантовых числах все формулы
квантовой механики преобразуются в соответствующие выражения классической
физики. Действительно, в этом случае квантование энергии происходит
квазинепрерывно (т.е. можно считать энергетический спектр сплошным),
вероятность проникновения частицы сквозь потенциальный барьер становится
равной нулю.

\subsubsection*{Электрон в периодическом потенциале. Энергетические зоны}
Рассмотрим частный случай, когда волновая функция электрона в атоме
сферически симметрична ($s$-орбиталь). Этот случай не предусматривался
классической теорией Бора, где электрон двигался по плоским орбитам.
Однако, в квантовой механике нет никаких препятствий для реализации
такого случая (\it в квантовой механике вообще нельзя говорить о движении
электрона вокруг ядра, можно лишь утверждать, что электрон находится около
ядра со сферически симметричной плотностью вероятности\н $|\psi|^2$).

Пусть $Ze$~-- заряд ядра. Запишем уШ в полярных координатах:
$$\frac{d^2\psi}{dr^2}+\frac2{r}\frac{d\psi}{dr}+\left(
\frac{q}{r}-\beta^2\right)\psi=0,$$
где $\beta^2=-2mE/\hbar^2$, $q=2mZe^2/\hbar^2$. Будем искать решение в виде
$\psi(r)=\dfrac{u(r)}{r}\exp(-\beta r)$. Получим характеристическое уравнение
$$\frac{d^2u}{dr^2}-2\beta\frac{du}{dr}+\frac{q}{r}u=0.$$
Решение характеристического уравнения будем искать в виде ряда
$u=\sum_{k=\gamma}^{\infty}a_kr^k$, где $\gamma$~-- пока еще не определенная
постоянная.

Приравнивая члены с одинаковыми степенями, получим:
$$\gamma(\gamma-1)=0,\qquad k(k+1)a_{k+1}-2\beta ka_k+qa_k=0,\;
\text{при}\; k\ne\gamma.$$
Из первого условия получаем, что $\gamma=1$, иначе $\psi$~-- функция при
$r=0$ обращалась бы в бесконечность.
Из второго условия получим: $\lim_{k\to\infty}u_{k+1}=
\dfrac{2\beta}{k+1}$, т.е. на бесконечности решение ведет себя как
экспоненциальная функция, обращаясь в бесконечность. Следовательно, решение
должно иметь вид конечного ряда. Пусть при $k=n$, $2\beta n-q=0$,
тогда и все последующие члены ряда будут равны нулю. Следовательно,
$n$-й энергетический уровень определим из условия $2\beta n-q=0$.
Тогда решение будет иметь вид
$$E_n=-\frac{mZ^2e^4}{2\hbar^2n^2},$$
что совпадает с соответствующей формулой теории Бора.

Соответствующие волновая функция и плотность вероятности примут вид:
$$\psi=\sqrt{\rev{\pi a_1^3}}\exp\Bigl(-\frac{r}{a_1}\Bigr),\quad
\rho_r=4\pi r^2|\psi|^2=\frac{4}{a_1^3}r^2\exp\Bigl(-
\frac{2r}{a_1}\Bigr),$$
где $a_1=\hbar^2/mZe^2$.

\subsection*{Основы квантовомеханической теории возмущений}
\bf Теория возмущений\н\index{Теория!возмущений}~--- общий метод нахождения
поправок к идеальной системе для нахождения решений для реальной системы.
В данном случае гамильтониан системы представляется в виде $\hat H=
\hat H_0+\hat V$, где $H_0$~-- гамильтониан идеальной системы, допускающий
точное решение, $\hat V$~-- малое слагаемое,\ж оператор
возмущения\н\index{Оператор!возмущения}.

Пусть $\hat V=\lambda\hat W$, где $\lambda$~-- малый безразмерный параметр.
Тогда уШ примет вид $(\hat H_0+\lambda\hat W)\psi=E\psi$. Представляя
волновую функцию как линейную комбинацию собственных векторов базиса~$\hat H_0$,
получим: $\psi=\sum a_n\phi_n$, $(E-E_m^0)a_m=\lambda\sum W_{mn}a_n$,
где $W_{mn}=\Int\phi_m^*\hat W\phi\,dV$, $\hat H_0\phi_n=E_n^0\phi_n$.

Разложим $E_m$ по $\lambda$: $E_m=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nE_m^{(n)}$,
$a_k=\delta_{km}+\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^na_m^{(n)}$.
В первом приближении $E=E_m^{0}+\lambda E_m^{1}=E_m^{0}+\lambda W{mm}=
E_m^0+V_{mm}$, где $V_{mm}=\Int\phi_m^*\hat V\phi_m\,dV$. Т.о., в первом
приближении поправка к энергии равна среднему значению оператора возмущения.
$a_m^1(E_k^0-E_m^0)=W_{mk}$,~\Arr $a_m^1=\dfrac{W_{mk}}{E_k^0-E_m^0}$,
$$\psi_k=\phi_k+\lambda a_k^1\phi_k+\sum_{m\ne k}\frac{V_{mk}}{E_k^0-E_m^0}
\phi_m=\phi_k+\sum_{m\ne k}\frac{V_{mk}}{E_k^0-E_m^0},$$
т.к. $a_k^1=0$ (чисто мнимый коэффициент).

Метод теории возмущений определен только в случае, если рад последовательных
приближений сходится, т.е. каждая последующая поправка меньше предыдущей, и
$|V_{km}|\ll|E_k^0-E_m^0|$.

\subsection*{Тождественность микрочастиц. Бозоны и фермионы. Принцип Паули}
\bf Квантовая статистика\н (к.с.)~--- статистический метод исследования систем
большого количества частиц, подчиняющихся квантовым законам.

К.с. строится на принципе\ж неразличимости\н тождественных
частиц, т.е. все одинаковые частицы считаются принципиально неразличимыми
друг от друга.

Основная задача к.с~--- о распределении частиц по координатам и скоростям.
Обозначим элемент ФП $d\Gamma=dp_x\,dp_y\,dp_z\,dx\,dy\,dz$~---\ж
фазовый объем\н\index{Фазовый!объем}. Согласно квантовой механике, число
возможных квантовых состояний системы $dN=d\Gamma/h^3$.

\bf Бозоны\н\index{Бозон}~--- частицы с целым спином, подчиняющиеся
статистике Бозе--Эйнштейна:\index{Статистика!Бозе--Эйнштейна}
$$f_B=\frac1{\exp\Bigl(\dfrac{W_i-\mu}{kT}\Bigr)-1},$$
где $\mu$~--\ж химический потенциал\н\index{Потенциал!химический},
$\mu=\dfrac{U-TS+pV}{N}$.

\bf Фермионы\н\index{Фермион}~--- частицы с полуцелым спином, подчиняющиеся
статистике Ферми--Дирака:\index{Статистика!Ферми--Дирака}
$$f_F=\frac1{\exp\Bigl(\dfrac{W_i-\mu}{kT}\Bigr)+1}.$$

\bf Вырождение газов\н\index{Газ!вырожденный}~--- отступление в поведении
бозонных и фермионных газов от классического распределения Максвелла--Больцмана.
Вырождение становится существенным при~$T\to0$ и~$\rho\to\infty$.
Вырождение характеризуется\ж параметром вырождения\н\index{Параметр!вырождения}:
$A=\exp(\mu/kT)$. При $A\ll1$ распределения Ферми--Дирака и Бозе--Эйнштейна
не отличаются от распределения Максвелла--Больцмана:\index{Статистика!Максвелла--Больцмана}
$$f=A\exp\Bigl(-\frac{W_i}{kT}\Bigr).$$

\bf Температурой вырождения\н\index{Температура!вырождения}, $T\ind{выр}$ называется
температура, при которой вырождение становится существенным. У газов
$T\ind{выр}$ мала, т.е. при нормальных условиях они подчиняются
статистике Максвелла--Больцмана. Фотонный газ всегда вырожден, т.к. у него
$T\ind{выр}=\infty$. Фотонный газ подчиняется статистике Бозе--Эйнштейна.
В вырожденном состоянии находятся и электроны внутри металлов, т.к.
для них~$T\ind{выр}$ значительно превышает нормальную температуру.

\bf Принцип запрета Паули\н\index{Принцип!запрета Паули}:\к в одном и том
же квантовом состоянии не может существовать более одного фермиона\н.
Следовательно, в вырожденном состоянии фермионы занимают все энергетические
уровни, вплоть до некоторого~$E_F$.

Бозоны же не подчиняются принципу Паули: в сильно вырожденном состоянии они
образуют т.н.\ж бозе--конденсат\н\index{Бозе--конденсат}~--- совокупность
бозонов с одинаковыми энергиями.

\input{adddd/52}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Одноэлектронный атом}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Уравнение Шр\"едингера с центрально симметричным потенциалом}
Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра. Наиболее подходящей
в данном случае является сферическая~СК. Основные операторы примут вид:
$$\hat U=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r};\quad
\hat T=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta;\quad
\psi(r,\theta,\phi,t)=\psi(r,\theta,\phi)\exp\Bigl(-i\frac{E}{\hbar}t\Bigr).$$

Решим стационарное уШ $\hat H\psi=E\psi$, где $\hat H=\hat T+\hat U$.
В сферической СК лапласиан примет вид:
$$\Delta=\rev{r^2}\partder{}{r}\left(r^2\partder{}{r}\right)+
\rev{r^2\sin\theta}\partder{}{\theta}\left(\sin\theta\partder{}{\theta}\right)+
\rev{r^2\sin^2\theta}\dpartder{}{\phi}=\Delta_r+\rev{r^2}\Delta_{\theta\phi},$$
т.к. $x=r\sin\theta\cos\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$, $z=r\cos\theta$.

Пусть $k^2=2m\dfrac{E-U}{\hbar^2}$, тогда получим:
$$\Bigl(\Delta_r+\rev{r^2}\Delta_{\theta\phi}\Bigr)\psi+k^2\psi=0.$$
$\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$,~\Arr
$$\underbrace{\frac{r^2\Delta_rR}{R}+r^2k^2}_{=\lambda}=
-\frac{\Delta_{\theta,\phi}}Y{Y}.$$
Для угловых переменных получим: $\Delta_{\theta,\phi}Y+\lambda Y=0$.
Пусть $Y=\Theta(\theta)\Phi(\phi)$, тогда получим еще два уравнения:
$$\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}+m^2\phi=0;\;\text{и}\;
\rev{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\Bigr)
+\Bigl(\lambda-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\Bigr)\Theta=0.$$
Из условия нормировки $\Int\psi^*\psi\,dV=1$, получим:
$$\Int_0^\infty |R|^2r^2\,dr\Int_0^\pi|\Theta|^2\sin\theta\,d\theta
\Int_0^{2\pi}|\Phi|^2\,d\phi=1.$$
$\Phi=\C\exp(im\phi)$, $\Theta$ находится посредством полиномов
Лежандра,~\Arr
$$Y(\theta,\phi)=\left(\frac{(2l+1)(l-m)}{4\pi(l+m)!}\right)^{1/2}
P_l^m(\cos\theta)\exp(im\phi).$$
Следует указать, что\к решения данного уШ существуют лишь при\н
$\lambda=l(l+1)$.
Число $m$ называют\ж магнитным квантовым числом\н\index{Квантовое число!магнитное},
а число~$l$~---\ж орбитальным квантовым числом\н\index{Квантовое число!орбитальное}.

\subsection*{Операторы квадрата импульса и проекции импульса}
Оператор квадрата импульса $\hat L^2=-\hbar^2\Delta_{\theta,\phi}$,
а т.к. $-\hbar^2\Delta_{\theta,\phi}Y=\hbar^2\lambda Y$, то
$\hat L^2Y=\hbar^2\lambda Y$. Следовательно, собственные значения
оператора~$\hat L^2$: $L^2=\hbar^2\lambda=\hbar^2l(l+1)$.~\Arr
$\boxed{L=\hbar\sqrt{l(l+1)}}$.

Оператор $\hat L_z=-i\hbar\partder{}{\phi}$. $\hat L_z^2\Phi=m^2\hbar^2\Phi$,~\Arr
$\boxed{L_z=m\hbar}$.

Решим теперь радиальное уравнение, зная, что $\lambda=l(l+1)$:
$$\frac{d^2R}{dr^2}+\frac2{r}\frac{dR}{dr}+\frac{2m}{\hbar^2}\Bigl[
E+\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r}-\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\Bigr]R=0.$$
Найдем решение уравнения:
\begin{enumerate}
	\item $r\to\infty$:
	$R''+\frac{2m}{\hbar^2}RE=0$,~\Arr
	$R=A\exp(-\epsilon r)+B\exp(\epsilon r)$, где
	$\epsilon^2=-\frac{2mE}{\hbar^2}$. Для сходимости решения положим~$B=0$.
	Тогда $\boxed{R=A\exp(-\epsilon r)}$.
	\item $l=0$. Пусть $R=A\exp(-\epsilon r)$, тогда
	$\epsilon^2=\dfrac{m^2Z^2E^4}{16\pi^2\epsilon_0^2\hbar^4}$,~\Arr
	$E=-\dfrac{mZ^2e^4}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}$.
	\item Теперь будем искать решение полного уравнения в виде
	$R=f(r)\exp(-\epsilon r)$:
	$$\epsilon^2=\frac{m^2Z^2e^4}{16\pi^2\epsilon_0^2\hbar^4(l+n_r+1)^2}=
	-\frac{2mE}{\hbar^2},$$
	$$\boxed{E=-\frac{mZ^2e^4}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2(l+n_r+1)^2}},$$
	где $n=l+n_r+1$~--\ж главное квантовое число\н\index{Квантовое
	число!главное}.
\end{enumerate}

\subsection*{Волновые функции стационарного состояния атома водорода}
Для основного состояния атома водорода радиальная составляющая
волновой функции $R=Af(r)\exp(-\frac{r}{na})$, где $a$~-- боровский
радиус. Нормируя, получим функцию основного состояния:
$\psi_{1s}=\pi^{-1/2}a^{-3/2}\exp(-r/a)$.
Максимальная вероятность нахождения электрона на $r=a$.
Энергия $1s$ состояния $$E_{1s}=-\frac{mZ^2e^4}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}.$$

\subsection*{Вырождение уровней по орбитальному моменту}
Если представить электрон движущимся по круговой орбите, он будет обладать
магнитным, $\mu=IS=e\nu\pi r^2=evr/2$, и механическим, $L=mvr$, моментами.

\bf Гиромагнитным отношением\н\index{Гиромагнитное отношение} называют
величину $\Gamma=\mu/L=-e/(2m)$.

Экспериментально для свободного электрона получено:
$\Gamma_s=-e/m$, $\mu=e\hbar/(2m)$, $L_s=\hbar/2$.
Величина $\mu_B=\dfrac{e\hbar}{2m}$ называется\ж магнетоном
Бора\н\index{Магнетон Бора}.

\bf Штерн и Герлах\н определили экспериментально магнитные моменты
атомов. Пучек атомов пропускался через неоднородное МП. На атомы действует
сила, зависящая от взаимной ориентации магнитного момента и МП.
Ожидалось, что $\mu$ может иметь любую ориентацию относительно~$H$,
однако, оказалось, что угол между этими величинами может иметь только
дискретные значения, т.е.\к проекция $\mu$ на $H$ квантуется\н.

Для магнитных моментов атомов получились значения порядка нескольких
$\mu_B$, причем у атомов некоторых веществ магнитный момент отсутствовал.

Т.к. механический и магнитный моменты атома связаны, то можно сделать
вывод, что в опытах по определению механического момента свободного электрона
$L_s=\sqrt{s(s+1)}\hbar=\sqrt{3}\hbar/2$ на самом деле измерялся магнитный
момент $L_{sz}=m_s\hbar=\hbar/2$, где $m_s$~--\ж магнитное спиновое
число\н, $m_s=\pm1/2$.

Гипотезу о существовании собственного момента импульса~---\ж
спина\н\index{Спин}~--- электрона выдвинули Уленбек и Гаудсмит.

\subsection*{Спин--орбитальное взаимодействие}
Для электрона $\mu_s/L_s=-e/m_e$, $L_s=\rev2\hbar\sqrt{3}$,~\Arr
$\mu_s=-2\mu_B\sqrt{3}$, $\mu_{sz}=-\frac{e}{m_e}L_{sz}=\pm\mu_B$.

Если электрон находится в состоянии $l\ne0$, его спиновый и орбитальный
моменты, $L_s$ и $L_l$, взаимодействуют между собой, образуя\ж полный
момент\н:
$\boxed{L_j=\hbar\sqrt{j(j+1)}}$, где $j=\overline{l+s,|l-s|}$.
При $l\ne0$ $j=l\pm1/2$, в $s$-состоянии $j=s=1/2$.

\bf Спин--орбитальное взаимодействие\н\index{Взаимодействие!спин--орбитальное}~---
взаимодействие спинового и орбитального магнитных моментов, благодаря
которому образуются состояния с новыми значениями энергии. Т.о., все
уровни с $l\ne0$ у водорода и  щелочных металлов расщепляются на
дублеты. Амплитуда расщепления $i$-го энергетического уровня
$\Delta E_i=\alpha^2 E_i/16$, где $\alpha\approx137$~---\ж
постоянная тонкой структуры\н\index{Постоянная!тонкой структуры}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Многоэлектронные атомы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Общие принципы описания многоэлектронного атома. Атомные
оболочки и подоболочки}
Эксперименты показывают, что по мере роста номера химического элемента
происходит последовательное заполнение электронных состояний атома. Согласно\ж
принципу Паули\н\index{Принцип!Паули}, в одном и том же состоянии не
может быть более одного фермиона.

Согласно принципу тождественности частиц, волновая функция является
симметричной для бозонов и антисимметричной для фермионов.

Принцип Паули объясняет периодичность свойств химических элементов.\ж
Электронная оболочка\н~--- совокупность электронных состояний в атоме с одним
значением главного квантового числа~$n$ (в порядке возрастания:
$K$, $L$, $M$, $N$,\ldots).\ж Подоболочка\н~--- подгруппа входящих в оболочку
электронов с одинаковыми значениями орбитального квантового числа~$l$
(в порядке возрастания: $s$, $p$, $d$, $f$). Полное число электронов в
подоболочке $N_l=2(2l+1)$, а в оболочке~--- $N_n=2\sum_{l=0}^{n-1}
(2l+1)=2n^2$.

Эффективная энергия электрона в приближении центрально симметричного
поля складывается из энергии кулоновского поля, экранированного электронами
внутренних оболочек, и центробежной энергии.

Оценка показывает, что при возрастании~$l$ увеличивается вероятность
нахождения электронов ближе к ядру атома.

Необходимо учесть, что поле экранированного ядра оказывается
короткодействующим. С другой стороны, эффективная энергия растет с ростом~$l$
за счет центробежной энергии. Также необходимо учитывать полное отсутствие
центробежной энергии в $s$-состояниях. Из экспериментов установлено, что
энергия состояния~$4s$ меньше энергии~$3d$,~\Arr после $3p$-орбитали
заполняется~$4s$, а лишь затем~$3d$.

\subsection*{Модель Томаса--Ферми и самосогласованное поле}
\bf Модель самосогласованного поля Хартри\н\index{Поле!самосогласованное}
позволяет свести многоэлектронную задачу к одноэлектронной.
Пусть оператор взаимодействия двух электронов $\hat V_{kl}$,
тогда энергия~$l$-го электрона
$$V_l(\vec r_l)=\sum_{k\ne l}\Int\psi_k^*\hat V_{kl}\psi_l\,d\tau_k.$$
УШ в первом приближении поля Хартри: $(\hat H_l+\hat V_l-E_l)\psi_l^1=0$.

Состояние атома рассматривается как совокупность одноэлектронных состояний,
при этом учитывается лишь основная часть взаимодействия электронов (т.е.
не учитывается спин--орбитальное взаимодействие).

Фок предложил ввести волновую функцию
$$
\Psi(\xi_1,\ldots,\xi_z)=\rev{\sqrt{z}}\begin{vmatrix}
\psi_1(\xi_1)&\cdots&\psi_1(\xi_z)\\
\hdotsfor[3]{3}\\
\psi_z(\xi_1)&\cdots&\psi_z(\xi_z)
\end{vmatrix}.
$$
Однако, метод Хартри--Фока очень сложен, и его сложность резко возрастает
с ростом количества электронов.

Упрощением является\ж метод Томаса--Ферми\н. Он не позволяет объяснить
индивидуальные свойства каждого атома, но позволяет исследовать их общие
свойства. Суть метода в следующем. В многоэлектронных атомах б\'ольшая
часть электронов находится в состояниях с большими~$n$, дебройлевская
длина волны электрона значительно меньше размеров атома. В этих условиях
возможно приближение квазиклассического приближения, позволяющее говорить
об импульсе электрона как функции его координат.
Граничные условия: $\psi(R)=A$, $\lim_{r\to0}r(\psi(r)-A)=Ze$.

Существенный недостаток метода Томаса--Ферми~--- в медленном спадании плотности
электронов на больших расстояниях от ядра, из-за чего был введен ряд
поправок.

Для ионов решение зависит от величины $(Z-N\ind{электронов})/Z\ne0$.
Для положительных ионов получаются конечные значения радиуса атома
даже без введения поправок.

\subsection*{Электронная конфигурация. Приближение $LS$- и $JJ$-связей}
\bf Электронная конфигурация\н\index{Конфигурация электронная}~--- условная
запись распределения электронов по энергетическим состояниям, например,
для натрия: $1s^22s^2p^63s$, что означает, что на первом энергетическом
уровне (первая оболочка) присутствуют 2 электрона в~$s$-состоянии, на
втором~--- 2~в~$s$-состоянии и 6~в~$p$-состоянии, на третьем~--- один
электрон в~$s$-состоянии.

Так как внутренние атомные оболочки полностью заполнены, их полный спиновый
момент равен нулю. Следовательно, спин атома определяется суммарным спином
валентных электронов.

Все электроны обладают спиновым и орбитальным моментами. Наиболее сильным
является взаимодействие электронов с атомным ядром, менее сильными~---
межэлектронные взаимодействия.\ж Межэлектронные взаимодействия\н делятся
на два вида:
\begin{enumerate}
	\item\ж Р\"ессел--Саундерсова связь\н\index{Связь!Рессел--Сау@Р\"ессел--Саундерсова}~($LS$).
	Орбитальные моменты электронов взаимодействуют сильнее между собой,
	чем со спиновыми моментами. В то же время спиновые моменты связаны
	между собой сильнее, чем с орбитальными. В итоге суммарный спиновый
	момент~$L_S=\sum L_s$ и суммарный орбитальный момент~$L_L=\sum L_l$.
	Полный момент $L_J=L_S+L_L$. Энергия связи в данном случае зависит от
	взаимной ориентации частных и суммарных спинов.
	\item\ж JJ--связь\н\index{Связь!JJ@$JJ$}. Если орбитальный и спиновый
	моменты взаимодействуют сильнее друг с другом, чем с подобными себе,
	то результирующий спин $L_J=\sum L_j$, где $L_j=L_s+L_l$. Данный вид
	связи чаще всего наблюдается у тяжелых атомов.
\end{enumerate}

\subsection*{Терм. Тонкая структура терма. Спин и магнитный момент нуклонов
и ядра}
Условно\ж терм\н\index{Терм} (энергетическое состояние электрона) обозначается
так: ${}^{2S+1}L_J$, где $L=\overline{S,P,D,F}$, в зависимости от типа
электронной орбиты. Буквы $s$, $p$, $d$, $f$ соответствуют английским
наименованиям спектральных серий атомов с одним внешним электроном:
$s$~--- внешняя, $p$~--- главная, $d$~--- диффузная и $f$~--- фундаментальная.

В случае, когда квантовое число $S<L$,\ж мультиплетность
терма\н\index{Мультиплетность} (количество подуровней с разными квантовыми
числами~$J$) определяется выражением~$2S+1$, т.к. в данном случае
$J=\overline{L-S,L+S}$. Если же $L<S$, мультиплетность определяется числом
$2L+1$.

\bf Магнитный момент\н\index{Момент!магнитный} атома также разделяется на
спиновый, $\mu_S=-2\mu_B\sqrt{S(S+1)}$, и орбитальный, $\mu_L=-\mu_B
\sqrt{L(L+1)}$. Проекция орбитального момента $\mu_{Lz}=-\mu_B m_L$.
Полный магнитный момент $\mu_J=-\mu_Bg\sqrt{J(J+1)}$, где
$\boxed{g=1+\dfrac{J(J+1)+S(S+1)-L(L-1)}{2J(J+1)}}$~---\ж фактор
Ланде\н\index{Фактор Ланде}. Так, при $S=0$, $\mu_J=\mu_L$, а при
$L=0$, $\mu_J=\mu_S$; $\mu_{Jz}=-\mu_Bgm_J$.

За счет существования магнитного момента атома обнаруживается\ж тонкая
структура термов\н\index{Тонкая структура}: во внешнем МП энергетические
уровни атома расщепляются на несколько компонент (\bf эффект
Зеемана\н\index{Эффект!Зеемана}).

Эффект Зеемана объясняется тем, что во внешнем МП атом получает дополнительную
энергию $\Delta E=-\vec\mu_J\vec B$.

Правила отбора ($\Delta m_J=0,\pm1$ и пр.) накладывают ограничения на
электронные переходы.
$\Delta\omega_0=\mu_BB/\hbar=eB/2m_e$~---\ж лоренцево
смещение\н\index{Лоренцево смещение}.

Нуклоны атомных ядер являются фермионами, т.к. имеют полуцелый спин.
Спин ядра $L=\sqrt{I(I+1)}$, где $I$~--\ж полное квантовое
число\н\index{Квантовое число!полное} атома. Магнитный ядерный момент
$\mu_N=e\hbar/2m_p$, где $m_p$~-- масса протона. Полный магнитный момент
$\mu=g_KL$, где $g_K$~--\ж гиромагнитное
отношение\н\index{Гиромагнитное отношение}.

За счет взаимодействия орбитального и спинового моментов ядра и электронной
оболочки возникает\ж сверхтонкая структура\н\index{Сверхтонкая структура}
спектра.

\subsection*{Изотопические эффекты. Атомы щелочных металлов. Атом гелия}
Вследствие различия значений постоянной Ридберга, $R$, для разных масс
атомного ядра, в спектрах проявляется\ж изотопический
эффект\н\index{Эффект!изотопический}, связанный с существованием\ж
изотопов\н\index{Изотоп} (ядер с одинаковым зарядовым числом, $Z$, и разными
массовыми числами, $A$, одного и того же химического элемента).

Для смеси
изотопов этот эффект состоит в наличии дополнительных спектральных линий к
линиям атомов, ядра которых принадлежат изотопу с наибольшей
распространенностью. Интенсивности этих линий относятся, как процентные
содержания изотопов  в веществе, а длины волн смещены друг относительно друга
для изотопов с массами~$M'$ и~$M''$  на величину~$\Delta\lambda/\lambda=
m_e(M''-M')/\rev2(M'+M'')$.
С другой стороны, $\Delta\lambda/\lambda=(R_1-R_2)/R_1$, где $R_1$ и~$R_2$~--
постоянные Ридберга для обоих изотопов.

\paragraph{Щелочные металлы.}
Спектры испускания атомов щелочных металлов состоят их нескольких серий
линий. Наиболее интенсивные из них: главная (абсорбционная линия,
соответствующая переходу атома в основное состояние), резкая (состоит из
резких линий), диффузная (состоит из размытых линий) и основная (сходна с
сериями водорода).

Особенностью спектров щелочных металлов является то, что аналогичные уровни в
различных рядах лежат на неодинаковой высоте. Спектры щелочных металлов
испускаются при переходах валентного электрона с одного уровня на другой.
Энергия состояния кроме квантового числа,~$n$, зависит также от номера ряда
термов. Различные ряды термов щелочных металлов отличаются значениями
момента импульса валентного электрона. Энергия валентного электрона в атоме
щелочного металла зависит от величины момента импульса электрона.

В более сложных, чем водород, атомах можно считать, что каждый из электронов
движется в усредненном поле ядра и остальных электронов. Это поле уже не
будет кулоновским (т.е. пропорциональным~$1/r^2$), но имеет центральную
симметрию. В самом деле, в зависимости от степени проникновения электрона в
глубь атома, заряд ядра будет для данного электрона в большей или меньшей
степени экранироваться другими электронами, так что эффективный заряд,
воздействующий на рассматриваемый электрон, не будет постоянным. Вместе с
тем, усредненное по времени поле, создаваемое электронами, можно считать
центрально-симметричным.

Решение уШ для электрона, движущегося в центрально-симметричном некулоновском
поле, дает результат, аналогичный результату для водородного атома, с тем
отличием, что энергетические уровни зависят не только от~$n$, но и от~$l$.
Т.о. в этом случае снимается вырождение по~$l$. Отличие в энергии между
состояниями с различными~$l$  и одинаковыми~$n$ вообще не так велико, как
между состояниями с различными~$n$. С увеличением~$l$  энергия уровней с
одинаковыми~$n$ возрастает.

Частота спектральной линии пропорциональна разности термов конечного и
начального состояний. Следовательно, спектральные линии серии натрия могут
быть представлены в следующем виде:
\begin{itemize}
	\item резкая серия: $3P\to nS$ ($n>4$);
	\item главная серия: $3S\to nP$ ($n>3$);
	\item диффузная серия: $3P\to nD$ ($n>3$);
	\item основная серия: $3D\to nF$ ($n>4$).
\end{itemize}

Ридберг установил, что термы щелочных металлов с большой степенью точности
можно представить с помощью эмпирической формулы $\boxed{T(n)=
\frac{R}{(n-\alpha)^2}}$, где $\alpha$~-- дробное число~--- ридберговская
поправка (\bf квантовый дефект\н\index{Квантовый дефект}). Эта поправка имеет
постоянное значение для данного ряда термов. Ее принято обозначать той же
буквой, какой обозначен соответствующий ряд термов. Для $F$-термов эта
поправка равна нулю, поэтому основная серия оказывается водородоподобной.

\paragraph{Атом гелия.} Уровни энергии и собственные функции в нулевом
приближении (при пренебрежении взаимодействием электронов): $E=E_{n1}+E_{n2}$,
$\Psi=\psi_{n1}+\psi_{n2}$, где $E_n=-\pi m_ee^4Z^2/(n^2\hbar)$ и
$\psi_n$~-- водородоподобная волновая функция электрона.  В первом
приближении теории возмущений нормальное состояние атома гелия вычисляется с
учетом энергии взаимного отталкивания электронов, описываемых волновыми
функциями нормального состояния водородоподобного типа. Полная энергия
основного состояния двухэлектронной системы в нулевом приближении:
$E_0=2Z^2E_H$, в первом приближении $E_1=(2Z^2-\frac54Z)E_H$, где~$E_H$~--
энергия атома водорода в нормальном состоянии.

Вследствие того, что оба электрона атома гелия неотличимы друг от друга,
возникает вырождение уровней энергии, связанное с неразличимостью атомных
электронов (обменное вырождение). Общее решение уШ для атома гелия может быть
представлено в виде линейной комбинации его частных решений. При учете
возмущения, обменное вырождение снимается и двукратно вырожденное состояние
расщепляется на два.  Средняя энергия возмущения, $\Delta E=\Int
|\Psi^2|\frac{e}{r^2}\,dV_1\,dV_2$, при нормировке волновой функции
выражается через симметричную и антисимметричную функции.

Существование спина как новой фазовой координаты, приводит к усложнению
волновой функции. Обычно из~$\Psi$ выделяют отдельно спиновую волновую
функцию~$S_\alpha(p_s)$:
$$\Psi=\psi(\vec r,t)S_\alpha(p_s),\quad\text{где}\quad
\alpha=\pm1/2,\quad S_\alpha=\begin{cases}1,&\alpha p_s>0;\\
0,&\alpha p_s<0.\end{cases}$$
Спиновая функция обладает определенными свойствами симметрии, для
двухэлектронной системы возможны четыре спиновые функции. В соответствии с
принципом Паули, полные волновые функции, отвечающие состояниям
двухэлектронной системы, должны быть антисимметричными.

\subsection*{Периодическая система элементов. Правила Хунда}
Принцип Паули дает объяснение периодической структуре химических элементов.
Например, у водорода: $L=0$, $S=1/2$, $J=1/2$~\Arr основным термом
является~${}^2S_{1/2}$. У гелия: $L=0$, $S=0$, $J=0$, основной терм~---
${}^1S_0$, литий: $L=0$, $S=1/2$, $J=1/2$, ${}^2S_{1/2}$ и т.д.

Видно, что при увеличении~$n$ периодически происходит повторение термов,
у $s$-элементов: термы ${}^2S_{1/2}$ и~${}^1S_0$, у $p$-элементов:
${}^2P_{1/2}$, ${}^3P_0$, ${}^4P_{3/2}$, ${}^3P_2$, ${}^2P_{3/2}$,
${}^1S_0$ и т.д.

Согласно принципу Паули, разрешены лишь такие термы, для данной
конфигурации, у которых значения хотя бы одного из магнитных квантовых чисел
$m_s$ и~$m_l$ электронов с равными~$n$ и~$l$ не совпадают.
%Этому требованию
%не удовлетворяют, например, термы ${}^1D$ (т.к. $L=2$, $l_1=l_2=1$),
%${}^3P$ ($S=1$, $S_1=S_2=1/2$). Не противоречат принципу Паули, например,
%термы ${}^1S$. ${}^3P$.  ??????????

\bf Правила Хунда\н\index{Правила!Хунда}
\begin{enumerate}
	\item Из термов, принадлежащих данной конфигурации, минимальной энергией
	обладает терм с максимально возможными~$S$ и~$L$.
	\item Мультиплеты, образованные эквивалентными электронами,
	являются\к правильными\н (с ростом $J$ растет энергия),  если заполнено
	не более половины оболочки, и\к обращенными\н в противоположном случае.
\end{enumerate}
По правилам Хунда и определяются основные термы для данной конфигурации.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Взаимодействие квантовой системы с излучением}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Квантовая система в поле ЭМВ
% Дипольное приближение
% Вероятность перехода
% Матричный элемент оператора дипольного момента
% Понятие о правилах отбора
% Разрешенные и запрещенные переходы
% Спектральные серии (атомы водорода, гелия, щелочных эл-тов)
% Общие представления об ЭМ переходах в многоэлектронном атоме
% Правило Лампорта
% Представление о квантовом ЭМП
% Гамильтонова форма уравнений Максвелла
% Спин и спиральность фотона
% Пространство состояний ЭМП
% ЭМ вакуум
% Спонтанные переходы
% Естественная ширина спектральной линии
% Лэмбовский сдвиг
% Опыт Лэмба и Резерфорда

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Атом во внешнем поле}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Атом в магнитном поле. Слабое и сильное поля. Фактор Ланде}
В\ж векторной модели атома\н\index{Модель!атома векторная} механические и
электромагнитные моменты изображаются в виде векторов. Пусть $M$ и~$M_z$
(некоторый момент атома и его проекция)
имеют фиксированные значения, тогда~$\vec M$ может быть направлен по одной
из образующих конуса вокруг оси~$OZ$.
Можно предположить, что~$\vec M$ прецессирует вокруг оси~$OZ$.

\float{o}{\includegraphics[width=.33\textwidth]{pic/MP_result}}
Допустим, что вдоль $OZ$ создано МП~$\vec B$. С~$M$ связан соответствующий
магнитный момент~$\vec\mu$, т.о., $\vec B$ посредством~$\vec\mu$ воздействует
на~$\vec M$. Чем большей будет величина~$B$, тем большей будет скорость
прецессии~$M$.

Если $\vec M=\vec M_1+\vec M_2$, то векторы $\vec M_1$ и~$\vec M_2$ будут
прецессировать вокруг~$\vec M$, который, в свою очередь, прецессирует
вокруг оси~$OZ$.

В зависимости от соотношения между взаимодействиями магнитных моментов~$\mu_1$
и~$\mu_2$ друг с другом и с~$B$ могут наблюдаться различные явления:
\paragraph{Слабое поле.}\index{Поле!слабое}
$\vec M=\vec
M_1+\vec M_2$. Наблюдается два вида прецессии: $\vec M_1$
и~$\vec M_2$ вокруг~$\vec M$ и~$\vec M$ вокруг~$OZ$. Скорость первого вида
прецессии будет значительно превосходить скорость второго вида,. т.к.
взаимодействие магнитных моментов между собой значительно превышает
взаимодействие их с МП.

\paragraph{Сильное поле.}\index{Поле!сильное}
В данном случае произойдет разрыв связи~$\vec M_1$ с~$\vec M_2$.
Оба момента будут прецессировать независимо друг от друга вокруг
направления внешнего МП.
%Суммарный магнитный момент в данном случае
%не будет являться векторной суммой составляющих моментов.

Подобным образом взаимодействуют между собой спиновый~($M_S$) и
орбитальный~($M_L$)
моменты атома во внешнем МП. Найдем полный магнитный момент~$\mu_J$.

Так как магнетизм спинового момента удвоен, векторы $\vec\mu_J$ и $\vec M_J$
не будут коллинеарны,
$$\aver{\mu_J}=-|\mu_L|\cos\alpha-|\mu_S|\cos\beta.$$
$|\mu_L|=\mu_B\sqrt{L(L+1)}$, $|\mu_S|=2\mu_B\sqrt{S(S+1)}$;
$\vec M_S=\vec M_J-\vec M_L$,~\Arr
$M_S^2=M_J^2+M_L^2-2M_JM_L\cos\alpha$,~\Arr
$$\cos\alpha=\frac{M_J^2+M_L^2-M_S}{2M_JM_L}=
\frac{J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2\sqrt{J(J+1)}\sqrt{L(L+1)}}.$$
Аналогично, т.к. $\vec M_L=\vec M_J-\vec M_S$, получим:
$$\cos\beta=\frac{M_J^2+M_S^2-M_L^2}{2M_JM_S}=
\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2\sqrt{J(J+1)}\sqrt{S(S+1)}}.$$

Таким образом,
$$\mu_J=-\mu_B\sqrt{J(J+1)}\,\frac{3J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}=
-\mu_Bg\sqrt{J(J+1)},$$
где $\boxed{g=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}$~---\ж
фактор Ланде\н\index{Фактор Ланде}.

\subsection*{Эффекты Зеемана и Пашена--Бака}
\bf Эффект Зеемана\н\index{Эффект!Зеемана}~--- расщепление
спектральных линий в~МП. В МП атом приобретает дополнительную энергию
$\Delta E=-\vec\mu_B\vec B$, $\vec\mu_J\vec B=-\mu_Bgm_J$,~\Arr
$\Delta E=\mu_BgBm_J$.

Для синглетных линий $\Delta E=\mu_BBm_J$ (у них $S=0$).
Тогда при $L=0$ расщепления не происходит; при $L=1$ образуется триплет
($\omega_0$, $\omega_0\pm\Delta\omega$);
при $L=2$ возможно пять подуровней, но, согласно\ж правилам отбора\н,
$\Delta m_J=0,\pm1$,~\Arr при переходах с уровней $L=2$ на $L=1$
возникает три линии (триплет).

Полученное смещение линий называют\ж нормальным
(Лоренцевым)\н\index{Лоренцево смещение}: $$\boxed{\Delta\omega_0=
\frac{e}{2m_e}B}$$.

\bf Простой эффект Зеемана\н наблюдается для линий, не имеющих тонкой структуры
(синглетов).

У линий, обладающих тонкой структурой, число компонент превышает три, и
смещение подчиняется закону $\Delta\omega=\Delta\omega_0r/q$, где
$\Delta\omega_0$~-- расщепление для простого эффекта,
$p$ и~$q$~-- небольшие целые числа. В данном случае эффект Зеемана
называют\ж аномальным\н.

\bf Эффект Пашена--Бака\н\index{Эффект!Пашена--Бака} наблюдается
в сильном МП:
$$\Delta E=\mu_B(m_L+2m_S)B=\hbar\Delta\omega_0(m_L+2m_S).$$
В данном случае правило отбора имеет вид: $\Delta m_S=0$,
$\Delta m_L=0,\pm1$.

\subsection*{Электронный парамагнитный резонанс}
Предположим, что на атом в постоянном МП падает ЭМВ с частотой~$\omega$. Тогда
$\hbar\omega=\delta E=\mu_BgB=\hbar\Delta\omega_0g$, где $\delta E$~--
расстояние между атомными подуровнями.

Под действием МП падающей волны происходят переходы атома между соседними
подуровнями~---\ж электронный парамагнитный резонанс\н\index{Электронный
парамагнитный резонанс}~(ЭПР).

Т.к. ЭПР зависит от магнитных свойств атома, он возможен только для
парамагнетиков. Длина резонансной волны составляет порядка нескольких
сантиметров. В состоянии равновесия ЭПР происходит с ослаблением внешнего
ЭМП.

ЭПР используется для исследования структуры кристаллов, магнитных свойств
атомных ядер.

\subsection*{Атом в электрическом поле. Эффект Штарка}
При помещении атома в однородное ЭП с напряженностью~$E$ в нем возникает
дипольный момент~$erE$, энергия уменьшается на величину $\Delta E=-eZE$,
где $Z$~-- заряд ядра атома. Возникает расщепление спектральных линий~---\ж
эффект Штарка\н\index{Эффект!Штарка}

Если величина $E$ небольшая, можно воспользоваться методом возмущений.
Тогда для атома водорода в первом приближении расщепление линий будет
пропорционально~$E$ (\it линейный эффект Штарка\н).

Если поле атома отличается от чисто кулоновского (т.е. для всех атомов,
кроме водорода), нельзя останавливаться на первом приближении:
эффект будет\к квадратичным\н, т.е. $\Delta E\propto E^2$.

\subsection*{Теория рассеяния}
Постановка задачи: пучек частиц сорта $A$, полученный от ускорителя, падает
на мишень из частиц сорта~$B$.

Зная характеристики $A$ и $B$ до эксперимента, необходимо изучить их после.
Если какие-то из характеристик изменяются, можно говорить о произошедшем
рассеянии частиц~$A$ на мишени.\index{Рассеяние}

При столкновении атомов возможны следующие\ж виды
рассеяния\н\index{Рассеяние!виды}:
\begin{enumerate}
	\item\ж упругое\н: структура атомов не изменяется, меняются лишь
	их динамические характеристики;
	\item\ж возбуждение\н: часть энергии одного из атомов передается другому;
	\item\ж ионизация\н: у одного из сталкивающихся атомов происходит отрыв
	одного или нескольких электронов.
\end{enumerate}
Любой такой процесс называют\ж каналом рассеяния\н.

Основной характеристикой рассеяния является его\ж сечение\н.\index{Сечение!
рассеяния}
Сечения рассеяния, в зависимости от типа процесса рассеяния, делятся на:
\begin{itemize}
	\item дифференциальное сечение упругого рассеяния (при упругом рассеянии
	в элемент телесного угла~$d\Omega$, построенного вдоль некоторого
	направления~$\vec K$);
	\item полное сечение упругого рассеяния (при упругом рассеянии на любой
	угол);
	\item дифференциальное сечение возбуждения (при рассеянии в элемент
	телесного угла с возбуждением мишени);
	\item сечение ионизации (при ионизации мишени);
	\item полное сечение (процесс заключается в том, что рассеяние вообще
	имело место).
\end{itemize}

\bf Два типа задач\н:\к прямая\н~--- определить характеристики рассеянных
частиц по характеристикам начальных частиц и рассеивающего поля;\к
обратная\н~---
найти характеристики рассеивающего поля по известным характеристикам
рассеянных и начальных частиц.

Обычно рассматриваются слабосингулярные поля, т.е.
$\lim_{r\to\infty}|rV(r)|=0$, $\lim_{r\to0}|r^2V(r)|=0$.

\bf Дифференциальное сечение рассеяния\н~---
отношение числа частиц, рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла
$d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ к плотности потока падающих частиц
(т.е. это доля частиц, рассеянных в данный элемент телесного угла).

Если величина рассеивающего поля значительно меньше кинетической энергии
налетающей частицы, задачу рассеяния можно свести к теории возмущений.
Рассеяние можно рассматривать как квантовый переход непрерывного спектра
из начального состояния $\vec p_a=\hbar\vec k_a$, $\phi_a=\exp(i\vec k_a\vec
r)$ в конечное $\vec p_b=\hbar\vec k_b$, $\phi_b=\exp(i\vec k_b\vec r)$.

В классическом случае рассеяние характеризуется формулой
Резерфорда\index{Формула!Резерфорда}:
$$\frac{dN}{N}=na\left(\frac{Ze^2}{mv^2}\right)^2\frac{d\Omega}{\sin^4\theta/2}
.$$

В случае рассеяния спиновых частиц вводят понятие\ж парциальных
волн\н\index{Волна!парциальная}~--- волн де Бройля, отвечающих определенному
значению момента импульса (спина). Волновую функцию частиц можно представить
как совокупность парциальных волн.

Каждая парциальная волна представляет собой суперпозицию сходящихся
и расходящихся сферических волн. В центрально симметричных полях моменты
импульса сохраняются, следовательно, все парциальные волны рассеиваются
самостоятельно, независимо от других.

Согласно\ж оптической теореме\н\index{Теорема!оптическая}, интегральное
сечение рассеяния, $\sigma$, связано с мнимой частью амплитуды рассеяния
вперед, $A$: $\sigma=\frac{4\pi}{k}\Im A(\theta)$, $k^2=2m_aE/\hbar^2$.

Важная характеристика рассеяния~---\ж фазовые сдвиги\н\index{Фазовый!сдвиг},
характеризующие волновую функцию рассеянной частицы ($S_l=\exp(2i\delta_l)$).
Их знаки и численные значения реагируют на характер поля и его интенсивность.
Фазовые сдвиги зависят и от номера парциальной волны, $l$, что отражает
вклад каждой парциальной волны в сечение рассеяния.

Свойства фазовых сдвигов следующие. Для поля притяжения $\delta>0$,
для поля отталкивания $\delta <0$. При предельном переходе к классической
механике, $\hbar l\to\rho p$, где $p$~-- импульс частицы, $\rho$~--\к
прицельный параметр\н.

В случае <<медленных>> столкновений решающий вклад в амплитуду рассеяния имеет
парциальная волна с $l=0$.

\bf Эффект Рамзауэра\н\index{Эффект!Рамзауэра}~--- аномальное (с позиции
классической физики) взаимодействие электронов с нейтральными атомами
некоторых газов, заключающееся в резком уменьшении сечения упругого рассеяния
электронов при небольших ($\le1$\,эВ) энергиях столкновения.
Объясняется этот эффект тем, что при некоторых значениях глубины и
размеров потенциальной ямы, создаваемой атомами мишени, она не приводит к
рассеянию тех парциальных волн энергия которых такова, что $\tg Kd=Kd$,
где $K=k^2+K_0^2$, $K_0^2=\frac{2m_bV_0}{\hbar^2}$, где $V_0$~-- глубина
потенциальной ямы, $d$~-- ее размеры.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Химическая связь. Молекулы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Химическая связь}
Взаимодействие атомов в молекулах осуществляется валентными электронами.\ж
Валентность\н\index{Валентность}~--- число электронов, которые атом может
отдать или присоединить (чтобы завершить внешнюю электронную оболочку).

Сначала появилось объяснение гетерополярных химических соединений (\bf
теория Косселя\н\index{Теория!Косселя}), образующихся благодаря
перераспределению электронов во внешних слоях атомов. По этой теории
численная величина валентности (гетерополярная) определяется числом
электронов, которые атом отдает другому атому (положительная ионная
валентность) или получает от него (отрицательная ионная валентность). При
образовании молекулы электроны во внешних оболочках атомов перераспределяются
так, что валентности атомов насыщаются.

Позднее в исследовании образования молекулы появилась\ж теория
Гайтлера--Ландена\н\index{Теория!Гайтлера--Ландена}. Согласно ей, при
образовании гомеополярной молекулы водорода имеет место взаимная компенсация
спинов валентных электронов. Обобщая эти результаты, можно сделать вывод, что
образование гомеополярных молекул происходит при условии взаимной компенсации
спинов валентных электронов, поэтому подобную валентность иногда называют
спиновой.

В случае, если~$s+p$ подгруппа ($d$ подгруппа расположена более глубоко,
поэтому не учитывается) заполнена менее чем на половину, атом отдает валентные
электроны, приобретая положительный заряд; если же она заполнена более чем
на половину, атому энергетически выгоднее присоединить электроны другого
атома, чтобы дополнить внешнюю орбиталь до восьми электронов.

Простейшая молекула с ковалентной связью~--- водород. Неразличимость
электронов приводит к существованию\ж обменного
взаимодействия\н\index{Обменное взаимодействие}, возникающего между
двумя электронами. Следствием этого взаимодействия является обобщение
электронов обоих атомов, причем обобщаться электроны могут лишь в том
случае, когда их спины направлены противоположно (принцип Паули).


\bf Характеристики химической связи\н: энергия, длина, прочность и
насыщаемость.\ж Длина связи\н\index{Длина!связи}~-- эффективное расстояние
между центрами атомов.\ж Энергия связи\н\index{Энергия!связи}~--
энергия, необходимая для разрыва химической связи.\ж Прочность
связи\н\index{Прочность связи}~-- обратная к длине связи величина.\ж
Насыщаемость связи\н\index{Насыщаемость связи}~-- валентные возможности
атомов, образующих химическую связь: возможность образования связи
определяется числом неспаренных электронов; валентные возможности атомов
определяются числом связанных электронных пар.

\bf Молекулярная орбиталь\н\index{Орбиталь молекулярная}~--- волновая
функция электрона, находящегося в поле атомных ядер и усредненном поле
остальных электронов.\ж Метод молекулярных орбиталей\н~--- метод
квантовой химии, основанный на представлении о том, что каждый электрон
молекулы описывается своей орбиталью.

Валентные электроны молекулы находятся не в $s$- или $p$-состояниях, а в
смешанном $s-p$-состоянии. На практике каждую молекулярную орбиталь
представляют как линейную комбинацию атомных орбиталей. Построенная таким
образом волновая функция молекулы уточняется вариационным методом, что
позволяет приблизительно определить энергию состояния молекулы, объяснить
некоторые ее свойства и ее структуру.

\subsection*{Адиабатическое приближение}
Существует два вида химических связей:\ж гетеро-\н и\ж
гомомолекулярная\н\index{Связь!химическая} (т.е. ионная и ковалентная).
В случае ионной связи обобщенная электронная оболочка смещается к одному
из атомов. При ковалентной связи атомы обобщают электронную оболочку
симметрично.

Теорию квантовомеханического обобщения ковалентной связи разработали
Гайтлер и Ланден. УШ для молекулы:
$\hat H\psi_{ij}=E\psi_{ij}$, где
$$\hat H=\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m_1}\Delta_1}_{\text{\cbox{первая
молекула}}}\overbrace{-\frac{\hbar^2}{2m_2}\Delta_2}^{\text{\cbox{вторая
молекула}}}\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m_e}
\sum_{i=1}^N\Delta_i}_{\text{\cbox{электроны}}}
\overbrace{+U(\vec r_i,R_{ji})\vphantom{\Big)}}^{\text{\cbox{энергия
взаимодействия}}}.$$

Рассмотрим приближение $m\gg m_e$: движение молекулы можно разбить на
движение ядер и быстрое движение электронов. $\hat H=\hat T_R+\hat T_r+U$.\ж
Адиабатическое приближение\н\index{Адиабатическое приближение}: ядра считаются
совершенно неподвижными. В последующих приближениях можно учесть движение ядер в
виде малых поправок: $\hat H=\hat H_0+\hat T_R$, где
$\hat H_0=\hat T_r+U$.

Молекулярные спектры состоят из полос, каждая из которых имеет тонкую
структуру. В соответствии с возможными типами движений в молекуле, волновая
функция молекулы может быть приближенно представлена в виде произведения трех
функций, отвечающих электронным движениям, колебаниям и вращениям молекулы.
В итоге решение уШ будет состоять из трех слагаемых:
$E=E_e+E_v+E_r$, где $E_e=U_{0m}(R_{0m})$~-- эффективное значение
потенциальной энергии; $E_v=\hbar\omega_v(v+1/2)$~-- энергия колебаний
в молекуле; $E_r=\dfrac{\hbar^2J(J+1)}{2\mu R_{0m}^2}=\dfrac{\hbar^2J(J+1)}
{2I}$~-- вращательная энергия. Здесь $I$~-- момент инерции молекулы
относительно оси проходящей через ее центр; $J$~-- вращательное квантовое
число; $v$~-- колебательное квантовое число.
Из решения получим следующие\ж выводы\н:
\begin{enumerate}
	\item медленное движение ядер приводит к расщеплению энергетического
	терма на ряд уровней, характеризующихся своими значениями~$v$ и~$J$;
	\item $U(R)$ близка к параболе лишь при $r\ll R_{0m}$ (эффективный
	радиус молекулы);
	\item $E_e\sim1$\,эВ, $E_v\sim0.1$\,эВ; $E_r\sim10^{-4}$\,эВ.
\end{enumerate}

В зависимости от энергии молекулы (т.е. температуры вещества) может
наблюдаться один из следующих видов спектральных полос: вращательные,
колебательно--вращательные и электронно--колебательные.

\subsection*{Молекулярные термы}
Электронные термы молекул не отличаются по своему происхождению (хотя их
значительно больше) от электронных термов изолированных атомов. Любой атом в
молекуле находится в электрическом поле остальных ее атомов. Оно вызывает
расщепление электронных уровней атомов в молекуле. Электронные уровни в
молекуле образованы из электронных уровней ее атомов, расщепленных на
многочисленные подуровни в результате эффекта Штарка во внутримолекулярном
поле.

В двухатомных молекулах силовое поле обладает осевой симметрией относительно
оси симметрии молекулы. Абсолютное значение проекции общего орбитального
момента на эту ось обозначается~$\Lambda$. Соответственно, термы
 с $\Lambda=\overline{0,1,2,\ldots}$ обозначают $\Sigma$, $\Pi$,
$\Delta$,~\ldots.
Кроме того, каждое электронное состояние должно характеризоваться полным
спином, $S$, всех электронов в молекуле. При заданном значении~$S$ возможно
$v=2S+1$ состояний. Величина~$v$, также как и в атоме, определяет
мультиплетность терма.

При смещении из равновесных положений атомов в молекуле могут возникать их
колебания около положения равновесия. Они рассматриваются как  причина
возникновения колебательных спектров молекул.  При малых колебаниях молекулы
уШ сводится к уравнению гармонического осциллятора. В случае ангармонических
колебаний двухатомной молекулы, ее энергетический колебательный спектр будет
иметь квадратичный член.

Возможны два основных вида вращения молекул: вращение молекулы как целого
вокруг некоторого направления или точки и вращение одних частей молекулы
относительно других (внутреннее вращение). Энергетический спектр вращения
двухатомной молекулы как целого находится путем решения уШ для жесткого
ротатора. При вращении молекулы возникает внутримолекулярное магнитное поле,
в котором вырожденные термы, отвечающие значениям~$\pm\Lambda$, расщепляются
на два.

Электронно--колебательные спектры молекул связаны  электронными переходами в
атомах молекулы, колеблющихся около своих равновесных положений. Наложение
колебательного спектра на электронный проявляется в том, что каждой линии
электронного перехода соответствует ряд колебательных линий, образующих\ж
полосу\н.

Для электронных спектров молекул существуют\ж правила
отбора\н:\index{Правила!отбора} $\Delta\Lambda=0,\pm1$, $\Delta\Sigma=0$,
$\Delta\Omega=0,\pm1$, где~$\Omega=\Lambda\pm\Sigma$~--внутреннее квантовое
число молекулы. Существует\ж правило рекомбинационного
запрета\н\index{Правило!рекомбинационного запрета}, согласно которому
запрещены комбинации между термами различной мультиплетности.

Электронные переходы в молекулах совершаются настолько быстро, что за время
переходов не успевают существенно измениться ни расстояния между ядрами в
молекуле, ни их импульсы. Электронные переходы происходят при практически
постоянном расстоянии между ядрами. Такой стационарности внешних условий в
течение перехода соответствует большая его вероятность, а значит и
интенсивность соответствующих спектральных линий (\bf принцип
Франка--Кондона\index{Принцип!Франка--Кондона}\н, вытекающий непосредственно
из адиабатического приближения).

В случае незапрещенного электронного перехода вращательно--колебательные
спектры молекул образуются при изменении колебательного состояния, которое
практически всегда сопровождается изменением их вращательного состояния.
Частоты вращательного спектра намного меньше частот колебательного спектра. В
результате наложения малых вращательных частот на колебательные, линии
колебательного спектра превращаются в полосы, представляющие собой группы
вращательных линий. В результате возникает\ж линейчато--полосатая структура\н
вращательно--колебательного спектра. При наложении
вращательно--колебательного спектра на электронный, влияние вращательного
движения существенно лишь при очень больших значениях~$v$ и~$J$.

\subsection*{Элементы стереохимии}
\bf Стереохимия\н\index{Стереохимия}~--- область химии, изучающая
пространственное строение молекул и влияние его на физические свойства вещества
(статистическая стереохимия) и направление и скорость химической реакции
(динамическая стереохимия).

Пространственное строение молекул характеризуется направленностью связи,
причина этого~--- в различном распределении электронных облаков в пространстве.
Так, $s$-орбиталь в стереохимии представлена в виде сферы, $p$-орбиталь~---
гантели. За счет взаимодействия $s$- и $p$-орбиталей атома происходит их\ж
гибридизация\н~--- изменение формы орбиталей. Так, $s-p$-орбиталь представляет
собой структуру, состоящую из комбинации двух несимметричных гантелеобразных
облаков, погруженных друг в друга; $s-p^2$-орбиталь представляет собой
$Y$-образную структуру; $s-p^3$-орбиталь~--- тетрагональную структуру.

Взаимодействие молекул с различными формами орбиталей приводит к различию
пространственных ориентаций этих молекул. Форма молекул определяет плотность,
прочность и прочие физические и химические свойства вещества.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Основы квантовой теории твердого тела}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Модели твердого тела}
ТТ классифицируются по характеру межатомных связей: металлические, ковалентные,
ионные и молекулярные. Часто обособляют кристаллы с водородной (типа воды)
связью. Также ТТ можно классифицировать по электрическим свойствам: проводники,
изоляторы, полупроводники, полуметаллы.

При взаимодействии атомов разных сортов характер химической связи определяется
их способностью захватывать или отдавать валентный электрон
(\bf электроотрицательность\ж\index{Электроотрицательность}).

Из\ж классических моделей\н ТТ\index{Модель!твердого тела} известны приближения
свободных и независимых электронов.

В приближении свободных электронов не учитывается влияние положительных ионов
на движущиеся электроны в промежутках между их столкновениями.\ж Теория
Друде\н: электронный газ не взаимодействует с ионами, в период между
столкновениями электронов они обладают одинаковыми скоростями.\ж Теория
Лоренца\н: свободные электроны имеют максвелловское распределение по
скоростям.\ж Теория Зоммерфельда\н: свободные электроны имеют распределение
Ферми--Дирака.

В приближении независимых электронов предполагается взаимодействие электронов с
ионами, но не учитывается взаимодействие электронов между собой.

Классические модели не отвечают на вопрос: почему проводимость ТТ меняется в
очень широких пределах (одни из тел~--- проводники, другие~--- диэлектрики, при
определенных условиях возможно возникновение сверхпроводимости).
На данный вопрос способна ответить квантовая теория ТТ~--- приближение\ж
зонной теории\н\index{Зонная теория}.

\subsection*{Зоны Бриллюэна. Энергетические зоны}
Стационарное состояние электронов в ТТ определяется уШ $\hbar H\psi=E\psi$,
$\hbar H=\hbar T+\hbar U$.
$$\psi=\psi(\vec r_1,\ldots,\vec r_n,\vec R_1,\ldots,\vec R_N);\quad
\hat T=-\Bigl(\sum_i\frac{\hbar^2}{2m}\Delta_i+\sum_k\frac{\hbar^2}{2M_k}
\Delta_k);$$
$$\hat U=\rev2\sum_{i,j\ne i}\frac{e^2}{4\pi\epsilon\epsilon_0|\vec r_i
-\vec r_j|}+\rev2\sum_{l,k\ne l}\frac{Z_kZ_le^2}{4\pi\epsilon\epsilon_0|
\vec R_k-\vec R_l|}-\rev2\sum_{i,k}\frac{Z_ke^2}{4\pi\epsilon\epsilon_0
|\vec r_i-\vec R_k|};$$

где $m$~-- масса электрона, $M_k$~-- масса ядра вида~$k$, $\vec r$~-- РВ
электрона, $\vec R$~-- РВ яра.

Согласно\ж адиабатическому приближению\н (которое также называют\ж приближением
Борна--Оппенгеймера\н\index{Приближение!Борна--Оппенгеймера}), можно не
учитывать энергию взаимодействия ядер. Т.о., волновая функция электронов
считается зависимой только от их фазовых координат.

Помимо приближения Борна--Оппенгеймера, используется\ж валентная
аппроксимация\н,\index{Валентная аппроксимация} т.е. воздействие всех электронов
внутренних оболочек атома сводится к экранированию кулоновского поля ядра, а уШ
решается только для валентных электронов.

Однако, даже воспользовавшись всеми приведенными выше приближениями,
оказывается еще невозможным решить уШ. Воспользуемся\ж первым приближением
Хартри--Фока\н\index{Приближение!Хартри--Фока}: потенциальную энергию
взаимодействия электронов сведем к сумме взаимодействия отдельного электрона с
усредненным полем остальных электронов (такое поле называют\ж
самосогласованным\н\index{Поле!самосогласованное}):
$$\rev2\sum_{i,j\ne i}\frac{e^2}{4\pi\epsilon\epsilon_0|\vec r_i-\vec
r_j|}\longrightarrow\sum_i\tilde U_i(\vec r_i).$$
Тогда $\hat H_i=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta_i+\tilde U_i(\vec r_i)+ U_i(\vec
r_i)$, где $U_i$~-- потенциальная энергия $i$-го электрона в поле атомных ядер.
УШ: $\hat H\psi=E\psi$, где $\psi(\vec r_1,\ldots,\vec r_n)=\prod_i
\psi_i(\vec r_i)$. А т.к. $\hat H_i\psi_i=E_i\psi_i$, получим:
$E=\sum E_i$.

Чтобы удовлетворить принципу Паули, вводят антисимметричную волновую
функцию~---\ж определитель Слэтера\н\index{Определитель Слэтера}:
$$\Psi=\rev{\sqrt{n!}}\begin{vmatrix}\psi_1(\vec r_1)&\cdots&\psi_1(\vec
r_n)\\ \hdotsfor[6]{3}\\ \psi_n(\vec r_1)&\cdots&\psi_n(\vec r_n)
\end{vmatrix}\,.$$

Поле $\tilde U_i$ называется самосогласованным, т.к. для его нахождения
необходимо знать все~$\psi_i$, однако, для нахождения~$\psi_i$ необходимо знать
$\tilde U_i$. Для решения данной задачи используют вариационные методы.

Пусть $V(\vec r)=\tilde U(\vec r)+U(\vec r)$. Тогда, т.к. атомы в кристалле
расположены строго периодически, можно утверждать, что $V(\vec r)$ обладает
трехмерной периодичностью. Для получения фундаментальных результатов
оказывается достаточным знать, что период $V$ совпадает с периодом решетки.

Волновые функции электронов выражаются посредством\ж функций
Блоха\н\index{Функция!Блоха}: $\psi_{\veck}(\vec r)=U_{\veck}(\vec
r)\exp(i\veck\vec r)$, где $\veck$~-- волновой вектор электрона,
$k=2\pi/\lambda_{dB}$, где $\lambda_{dB}$~-- дебройлевская длина волны
электрона, $U_{\veck}$~-- периодическая функция.

Функции Блоха удовлетворяют условию периодичности: $\psi_{\veck}(\vec r+\vec
n)=\psi_{\veck}(\vec r)$, где $\vec n=n_1\vec a+n_2\vec b+n_3\vec c$~--\ж
вектор трансляции\н кристаллической решетки. Волновой вектор $\veck=\vec
p/\hbar$ связан с импульсом электрона.

Введем понятие\ж обратной решетки\н\index{Обратная решетка}. Вектор обратной
решетки $\vec H=h\vec a^*+k\vec b^*+l\vec c^*$, где $\vec a^*=\vec b\times\vec
c/V$, $\vec b^*=\vec c\times\vec a/V$, $\vec c^*=\vec a\times\vec b/V$, $V$~--
объем элементарной ячейки кристалла. Объем обратной ячейки $V^*=1/V$.

По определению, $\boxed{\vec H\vec n=1}$.
Следовательно, $\psi_{\veck}=\psi_{\veck+2\pi\vec H}$. Т.о., состояния $\veck$
и~$\veck+2\pi\vec H$ физически эквивалентны, это означает, что\к волновая
функция и энергия электрона в кристалле являются периодическими функциями с
периодом~$2\pi\vec H$\н.

Если в $\veck$-пространстве построить решетку $2\pi\vec a^*$, $2\pi\vec b^*$,
$2\pi\vec c^*$, то все $\veck$-пространство можно разделить на области с
физически эквивалентными свойствами~---\ж зоны Бриллюэна\н\index{Зоны
Бриллюэна}~(зБ). Первая (основная) зБ~--- многогранник минимального объема,
построенный вокруг начала координат~$\vec k$, содержащий все возможные
электронные состояния. Последующие зБ строятся так: выбранный за начало
отсчета предыдущей зоны узел соединяют отрезками с ближайшими эквивалентными
узлами, а затем строят плоскости, проходящие перпендикулярно этим прямым через
их середины.

\float{O}{\includegraphics[width=7cm]{pic/Brilluen}}
Т.к. кристалл имеет ограниченный объем, $\veck$ может иметь только дискретный
ряд значений. Для полного описания всей совокупности состояний электрона в
кристалле достаточно рассмотреть только  область~$\veck$, ограниченную первой
зБ, число $k$ в этой зоне равно числу элементарных ячеек в кристалле.

\bf Энергетическая зона\н\index{Энергетическая зона}~--- совокупность всех
энергетических уровней электрона, описываемых функцией~$E_{n,\veck}$ при
фиксированном значении~$n$.
Все возможные значения~$E$ в каждой энергетической зоне можно получить путем
изменения~$\veck$ в пределах первой~зБ (\bf схема приведенных зон\н).

\float{I}{\includegraphics[width=7cm]{pic/Sp_elec}}
В энергетических схемах удобно также оперировать\ж эффективной массой
электрона\н\index{Масса!электрона эффективная}:
$m^*=\hbar^2(\frac{d^2E}{dk^2})^{-1}$.

В энергетическом спектре электронов существуют разрывы при $k=n\pi/a$
(на границах зБ). Это объясняется тем, что при таких значениях~$k$ выполняются
условия Вульфа--Брэгга $n\lambda=2a$, т.е. функция Блоха представляет собой
стоячую волну, т.к электрон при движении испытывает брэгговское отражение.

Т.о., образуются две комбинации: симметричная и антисимметричная, отвечающие
двум уровням энергии~--- меньшему и большему, в интервале между ними нет ни
одного свободного значения энергии электрона (запрещенная зона).

\subsection*{Примеси и примесные уровни. Дефекты}
Присутствие дефекта или примеси приводит к возникновению возмущения в
периодическом потенциале решетки. Это возмущение локализовано в малой области с
центром в~$\vec r_0$, в котором расположен атом примеси или дефект.

\float{O}{\includegraphics[width=6cm]{pic/Prim-def}}
Наложение на $V(\vec r)$ возмущения $U(\vec r-\vec r_0)$ приводит к отщеплению
уровней от разрешенной зоны. Т.о., в запрещенной зоне появляются разрешенные
уровни. Электрон с энергией~$E\ind{Л}$ локализован в области возмущения.

Для нахождения простых периодических решений используют\ж метод эффективной
массы\н\index{Метод!эффективной массы}:
$$\Bigl(-\frac{\hbar^2}{2m^*}\Delta+U(\vec r)\Bigr)\psi(\vec r)=
E\psi(\vec r),\; m^*=\hbar^2\Bigl(\frac{d^2E}{dk^2}\Bigr)^{-1}\!\!.$$

Для изменения свойств кристаллов зачастую в них специально вводят различные
примеси. Так, в полупроводники вводят акцепторные и донорные примеси для
формирования различных типов примесной проводимости.

\bf Классификация дефектов\н: точечные (вакансии, атомы в междоузлиях);
линейные (дислокации, микротрещины); поверхностные (границы кристалла, дефекты
упаковки, стенки доменов); объемные (микропустоты, вкрапления другой фазы).

Точечные дефекты делятся на дефекты по Френкелю (атом покидает узел, в
результате чего образуется вакансия и атом в междоузлии) и по Шоттки (атом
покидает кристалл~--- образуется вакансия).
Дислокации делятся на краевые и винтовые.
Для характеристики дислокаций вводят понятия\ж контура\н и\ж вектора Бюргера\н.

\subsection*{Статистика носителей заряда. Неравновесные электроны и дырки}
Проводимость полупроводников осуществляется электронами и дырками,
$\sigma=en_e\mu_e+e^+n_p\mu_p$, где $\mu$~-- подвижность соответствующего
носителя заряда, $n$~-- концентрация. Т.к. в собственном полупроводнике $n_e=
n_p$, $\sigma=en(\mu_e+\mu_p)$.

Вероятность нахождения электрона на уровне с энергией~$E$ и вероятность
нахождения дырки на этом уровне равны:
$$F_n(E)=\rev{\exp(\frac{E-E_F}{kT})+1},\qquad
F_p(E)=\rev{\exp(\frac{E_F-E}{kT})+1}.$$

Если ширина энергетической щели, $\Delta E\ll kT$, электроны и дырки
подчиняются распределению Больцмана: $F_n\approx\exp(-\frac{E-E_F}{kT})$,
$F_p\approx\exp(\frac{E-E_F}{kT})$. Т.о., при небольших концентрациях
электронов и дырок они представляют собой невырожденный электронный газ,
аналогичный по своим свойствам классическому идеальному газу.

Уровень Ферми, $E_F$, собственных полупроводников располагается ближе к зоне
проводимости. В примесных же полупроводниках его положение определяется видом и
концентрацией примесей. На рис. справа представлен график зависимости
логарифма\float{r}{\includegraphics[width=6cm]{pic/Prov-pp}}
проводимости полупроводника от обратной температуры для примесной проводимости.
При малых температурах преобладает примесная проводимость. Затем наступает
истощение примесей (все электроны, находящиеся на примесных уровнях, переходят
в зону проводимости). После этого при дальнейшем повышении температуры
остается только собственная проводимость полупроводника.

\subsection*{Проводимости и кинетические свойства твердых тел}
\paragraph{Металлы.}
Валентная зона занята электронами не полностью (один--два электрона), поэтому,
хотя~$\Delta E$ и велика, проводимость металлов довольно высока за счет
заполнения электронами проводимости валентных уровней. Проводимость металлов
зависит от температуры: при достаточно высоких температурах происходит
рассеяние электронов на фононах (из-за чего проводимость резко уменьшается).
При дальнейшем росте температуры концентрация фононов растет, а концентрация
электронов остается постоянной (т.к. электронный газ в металле вырожден). Т.о.,
сопротивление металлов растет линейно в области высоких температур за счет
уменьшения подвижности электронов.

При снижении температуры доминирует рассеяние на примесях и дефектах.
Подвижность электронов при этом практически не зависит от температуры, поэтому
проводимость перестает изменяться при достижении определенной температуры (в
некоторых чистых металлах при криогенных температурах возникает
сверхпроводимость).

\paragraph{Диэлектрики.} В диэлектриках валентная зона полностью заполнена
электронами, при этом~$\Delta E\sim10$\,эВ. В результате диэлектрики очень
плохо проводят электрический ток.

\paragraph{Полупроводники.}
Валентная зоне заполнена целиком, однако, $\Delta E\sim1$\,эВ, т.е. некоторые
электроны могут попасть в зону проводимости. Образуется пара электрон--дырка.
Введение примесей образует дополнительный энергетический уровень (у донорных
примесей~--- ближе к зоне проводимости, у акцепторных~--- к валентной зоне),
что приводит к образованию свободных неравновесных носителей заряда~---
примесной проводимости.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Представление о квазичастицах}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Фононы, плазмоны, экситоны}
Коллективное движение атомов в кристалле представляет собой звуковые волны, а
соответствующие им возбуждения~--- кванты звука~--- называют\ж
фононами\н\index{Фонон}. Т.о., каждую моду $\omega(\veck,s)$ (где
$s=\overline{1,r}$, $r$~-- число атомов на элементарную ячейку) можно возбудить
целым числом фононов~$\hbar\omega(\veck,s)$.

В ТТ возможны как\ж акустические\н, так и\ж оптические\н фононы. Т.к.
$\omega\ind{оптич}>\omega\ind{акуст}$, то и $E\ind{оптич}>E\ind{акуст}$,
т.е. при очень низких температурах могут возбуждаться только акустические
фононы.

Введение понятия фононов позволяет рассматривать ТТ как ящик, заключающий в
себе фононный газ (фононы подчиняются статистике Бозе--Эйнштейна, т.е. являются
бозонами). В результате взаимодействия фононы могут рождаться и исчезать,
т.о., число фононов в ТТ не постоянно. При~$T\to0$ число фононов~$N\to0$.

\bf Плазмон\н\index{Плазмон}~--- квант колебаний плотности плазмы, при которых
частицы разных знаков смещаются друг относительно друга, вызывая колебания ЭП в
плазме.

\bf Экситон\н\index{Экситон}~--- устойчивая пара электрон--дырка с $E<\Delta
E$, т.е. ширины запрещенной зоны (в противном случае электрон станет
свободным). Экситоны легко возникают в диэлектриках, где велико значение ширины
запрещенной зоны. В полупроводниках энергия экситона мала и экситонные орбиты
могут охватывать лишь несколько элементарных ячеек кристалла. В металлах
возникновение экситонов в результате поглощения кванта излучения маловероятно.

Экситонные состояния приводят к поглощению излучения в длинноволновой части
спектра: $\hbar\omega=\Delta E-E_{EX}/m^2_e$, где $\Delta E$~-- ширина
запрещенной зоны, $E_{EX}$~-- энергия экситона.

\bf Экситон Френкеля\н~--- экситон с очень малой энергией. Он располагается в
пределах одного узла кристаллической решетки.\ж Экситон Ванье--Мотта\н имеет
очень большую энергию и его размеры значительно превышают межатомные расстояния.

\subsection*{Конденсация бозонов}
ИГ бозонов подчиняется статистике Бозе--Эйнштейна
$\displaystyle
dn(\epsilon)=\frac{dN(\epsilon)}{\exp(\frac{\epsilon-\mu}{kT})-1}$,
где $dN(\epsilon)$~-- среднее число энергетических уровней
с~$E\in(\epsilon,\epsilon+d\epsilon)$. Для бозонов величина~$\mu<0$, причем
$\partder{\mu}{T}<0$. Следовательно, при уменьшении~$T$ $\mu\to0$.
Максимум~$\mu$ достигается при некоторой температуре~$T_0$. Для всех известных
бозонных газов она очень мала ($\sim1\div2$\,К), но $T_0\ne0$,~\Arr существует
область, где~$\mu=0$. В этой области число частиц, равномерно заполняющих
энергетические уровни, $N'$, меньше полного числа частиц в системе, $N$.
Остальные частицы находятся в особом состоянии на нижнем энергетическом уровне.
Т.о., при уменьшении температуры бозе-газ переходит из обычного газообразного
состояния в состояние\ж бозе--конденсата\н\index{Бозе--конденсат}. Все бозоны
занимают нулевой уровень энергии. При этом наблюдаются особые эффекты типа
сверхпроводимости.

\subsection*{Электронно--фононный гамильтониан. Сверхпроводимость. Модель БКШ}
Микроскопическую теорию сверхпроводимости\index{Сверхпроводимость} разработали
Бардин, Купер, Шриффер и Боголюбов (\bf модель БКШ\н\index{Модель!БКШ}).

Сопротивление металлов обусловлено взаимодействием электронов с фононами,
порожденными колебаниями кристаллической решетки. Такое взаимодействие приводит
к рассеянию электронов.

В случае неподвижных ионов, волновая функция электрона выражается через\ж
функцию Блоха\н\index{Функция!Блоха}: $\psi_{\veck\sigma}=\rev{\sqrt{V}}
\exp(i\veck\vec r)U_{\pi}(\vec r)\chi_\sigma$, где $\chi_\sigma$~-- спиновая
компонента волновой функции. Электронная волновая функция всего металла
является несимметричным произведением (определителем) волновых функций каждого
электрона, а электронный гамильтониан $\hat H_0=\sum_{\veck,\sigma}
\epsilon_{\veck}\hat\alpha_{\veck0}^+\alpha_{\veck\sigma}$, где
$\hat\alpha^+$~-- оператор рождения, а $\hat\alpha$~-- уничтожения фермионов.

Учтем теперь, что при сдвиге иона с $\vec n$ на $\vec\xi_{\vec n}$ энергия
взаимодействия электрона с ионом изменяется на $\sum_{\vec n}\vec\xi_{\vec
n}(\nabla_{\vec n}[W(\vec r-\vec n)])$. В результате получаем\ж
электронно--фононный гамильтониан\н:
$$\hat H\ind{вз}=\Int\hat\Psi^+(\vec r)\sum_{\vec n}\vec\xi_{\vec n}
\bigl(\nabla_{\vec n}W(\vec r-\vec n)\bigr)\hat\Psi(\vec r)\,d\vec r=
-\Int\hat\Psi^+(\vec r)\sum_{\vec n}W(\vec r-\vec n)
(\nabla_{\vec n}\cdot\vec\xi_{\vec n})\hat\Psi\,d\vec r,$$
здесь $\hat\Psi=\rev{\sqrt{V}}\sum_{\veck,\sigma}\hat\alpha_{\veck\sigma}
\exp(i\veck\vec r)U_{\veck}(\vec r\xi_\sigma)$.

Полный гамильтониан системы $\hat H=\hat H_0+\hat H\ind{вз}$, причем
$\hat H_0=\sum_{\veck}\epsilon_{\veck}\hat\alpha_\veck^+\hat\alpha_\veck+
\sum_{\vec a}\hbar\omega_{\vec a}\hat a_{\vec a}^+\hat a_{\vec a}$, где
$\hat a^+$~-- оператор рождения, а $\hat a$~-- оператор уничтожения фононов.

При $T\to0$ можно поступить так, как предложил\ж Фр\"елих\н:
преобразовать~$\hat H$ с точностью до квадрата параметра электрон--фононного
взаимодействия:
$$\hat H\approx\sum_{\veck}\epsilon_\veck{\hat\alpha_\veck}^+\hat\alpha_\veck
-\sum_{\veck}\nu(\vec q)\hat\alpha_{\veck}^+\hat\alpha_{-\veck}
\hat\alpha_{-\veck}^+\hat\alpha_\veck,$$
где $\vec q=2\veck\ne0$, $\nu(\vec q)=|D(\vec q)|^2/(\hbar\omega_{\vec q})$.
Функцию $D(\vec q)$ называют\ж функцией
Фр\"елиха\н\index{Функция!Фрелиха@Фр\"елиха}, характеризующей
электрон--фононное взаимодействие.

Решение уШ показывает, что при определенных условиях между нулевым и первым
возбужденным состояниями возникает энергетическая щель, $\Delta E$, т.о., чтобы
электроны перешли в основное состояние, они должны отдать энергию $E\ge\Delta
E$, электроны приходят в сильно коррелированные состояния и начинают двигаться
парами (\bf куперовские пары\н\index{Куперовские пары}), при этом энергия пары
меньше энергии самостоятельных электронов.

В малых ЭП любой процесс одноэлектронного рассеяния будет приводить к разрыву
куперовской пары и увеличению энергии электронов, следовательно, процесс
рассеяния запрещен, пока полученная извне энергия не превзойдет~$\Delta E$.

Сверхпроводимость возникает лишь в металлах с достаточно большой энергией
электрон--фононного взаимодействия,~\Arr хорошие проводники не могут быть
сверхпроводниками, сверхпроводимостью могут обладать лишь плохо проводящие в
обычном состоянии металлы (а также некоторые виды керамики).

\subsection*{Сверхтекучесть}\index{Сверхтекучесть}
Теорию сверхтекучести разработали\ж Ландау\н (на основе представления о
квантовых жидкостях) и\ж Боголюбов\н (метод двойного квантования).

В состоянии Бозе-конденсата операторы рождения и уничтожения бозонов становятся
коммутативными: $\hat a_0\hat a_0^+-\hat a_0^+\hat a_0=0$.

Пусть $n_0$~-- число бозонов в нулевом состоянии. Боголюбов предложил ввести
для неконденсированного состояния операторы $\hat b_{\veck}=\hat
a_0^+n_0^{-1/2}\hat a_{\veck}$ и $\hat b_{\veck}^+=\hat
a_{\veck}^+n_0^{-1/2}\hat
a_0$, а для конденсированного состояния, соответственно, операторы $\hat
A_{\veck}^+$ и $\hat A_\veck$:
$\hat b_{\veck}=U(\vec k)\hat A_{\veck}+V(\veck)\hat A^+_{-\veck}$, где
$U^2(\veck)-V^2(\veck)=1$. Тогда
$$\hat H=\hat H_0+\sum_{\veck}E(\veck)\hat A_{\veck}^+\hat A_{\veck},$$
оператор $\hat H_0$ соответствует энергии нулевого состояния.

\float{r}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Sverhteku4}}
Характер зависимости $E(\veck)$ представлен на рисунке. Штриховой линией
обозначена энергия невзаимодействующих атомов.

Энергия бозонов имеет локальный минимум при $k=k\ind{Кр}$, соответствующем
ненулевой критической скорости. Т.о., по теории Ландау, энергия возбуждения при
скоростях, меньших критической, является минимальной, и жидкость переходит в
сверхтекучее состояние.

\subsection*{Поляроны}
Согласно классической теории, переменное ЭМП световой волны вызывает
вынужденные колебания связанных зарядов~--- каждую молекулу среды можно
рассматривать как систему осцилляторов с набором собственных частот. Т.к. массы
ионов значительно превосходят массу электрона, они совершают заметные колебания
только под воздействием излучения в оптическом диапазоне.

Совершая вынужденные колебания, электроны и ионы излучают вторичные волны той же
частоты, интерферирующие между собой. Т.о., образуется вторичная волна,
совпадающая по направлению с первичной.

Если среда оптически неоднородна, происходит рассеяние излучения. На границе
двух сред происходят такие процессы, как отражение и преломление.
За счет преобразования энергии ЭМВ в тепловые колебания происходит процесс
поглощения излучения.

\bf Поляроны\н\index{Полярон}~--- квазичастицы в диэлектрике~--- искаженная
область решетки, локализованная вокруг электрона (или дырки) проводимости.
Под действием ЭП электроны перемещаются вместе с поляризационными областями,
возникает поляронная проводимость, характерная для ионных кристаллов.

Т.к. в этом случае электроны проводимости находятся в связанных состояниях, их
эффективная масса значительно превосходит соответствующие массы для металлов и
полупроводников, что означает значительно меньшую подвижность.

\it Поляроны большого радиуса\н возникают, если область искажений значительно
больше межатомного расстояния. Искажения решетки при этом невелики, поляроны
движутся как свободные заряды.

При сильном электрон--фононном взаимодействии возникают\к поляроны малого
радиуса\н~--- перемещающиеся прыжками (<<прыжковая проводимость>>). В слабых ЭП
прыжковая проводимость не возникает.

\subsection*{Оптические свойства твердых тел}
Существуют следующие\ж виды взаимодействия\н ЭМВ с ТТ: с сохранением энергии и
с ее превращением. Причем взаимодействие с превращением энергии делится на виды:
\begin{enumerate}
	\item Пропускание, рассеяние, отражение.
	\item
	\begin{itemize}
		\item Неэлектронное: фотолюминесценция, превращение энергии ЭМВ
		в теплоту, генерация экситонов.
		\item Электронное: эмиссия электрона, генерация свободных электронов,
		генерация пары электрон--дырка.
	\end{itemize}
\end{enumerate}

Свойствами пропускания и отражения обладают диэлектрики и полупроводники. В
металлах наблюдается почти полное отражение для ЭМВ с частотами, превосходящими
плазменную частоту данного металла, т.к. их свойства определяются наличием
свободных электронов, за счет которых проводники практически полностью не
пропускают свет.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Идеальные системы в статистической механике}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Статистики Бозе--Эйнштейна и Ферми--Дирака}
\bf Статистика Бозе--Эйнштейна\н\index{Статистика!Бозе--Эйнштейна}
определяет распределение бозонов по энергетическим уровням:
$$f_B\equiv\frac{dN(E)}{dg_E}=\rev{\exp\Bigl(\cfrac{E-\mu}{kT}\Bigr)-1},$$
где $dN(E)$~-- число частиц с энергиями в интервале $(E,E+dE)$, $dg_E$~-- число
квантовых состояний в данном интервале энергий, $\mu=(U-TS+pV)/N$~--\ж
химический потенциал\н\index{Химический потенциал} (работа, совершаемая в
изобарно--изотермических условиях для увеличения на 1 числа~$N$).

\bf Статистика Ферми--Дирака\н\index{Статистика!Ферми--Дирака}
описывает распределение фермионов по энергетическим уровням:
$$f_F=\rev{\exp\Bigl(\cfrac{E-\mu}{kT}\Bigr)+1}.$$

Обе функции распределения вероятности можно свести к одной формуле:
$$f_F=\rev{\exp\Bigl(\cfrac{E-\mu}{kT}\Bigr)+\delta},$$
где $\delta=1$ для статистики Ферми--Дирака и $\delta=-1$ для статистики
Бозе--Эйнштейна. Если же $\delta=0$ и $\mu=0$, получим классическое
распределение Максвелла--Больцмана.

Для статистик фермионов и бозонов характерно, что при малом количестве частиц
на одно квантовое состояние они превращаются в распределение
Максвелла--Больцмана: $f=A\exp(-E/kT)$. Действительно, это возможно лишь при
$(E-\mu)/kT\gg1$, при этом $E\gg\mu$ и химическим потенциалом (также как и
единицей в знаменателе) можно пренебречь.

\subsection*{Ферми--газ при низких температурах. Электронный газ в металлах}
Система частиц называется\ж вырожденной\н,\index{Вырождение} если ее свойства,
описываемые квантовыми законами, отличаются от свойств классических систем.

Величину $A=\exp(\mu/kT)$ называют\ж параметром
вырождения\н\index{Параметр!вырождения}. При $A\ll1$ статистики Ферми--Дирака и
Бозе--Эйнштейна переходят в статистику Максвелла--Больцмана.

\bf Температурой вырождения\н\index{Температура!вырождения}, $T_B$, называется
температура, при которой вырождение становится существенным. При $T\ll T_B$
система частиц вырождена, при $T\gg T_B$ она описывается классическими законами.

\float{O}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Fermi}}
Число электронов с $E\in(E,E+dE)$ равно $dn_0=2f_F\,dg$. $dg=d\Gamma/\hbar^3=
4\pi p^2\,dp/\hbar^3$, а т.к. $p^2=2mE$, $dp=\sqrt{m/2E}dE$, получим:
$$dn_0=\frac{4\pi(2m)^{3/2}}{\hbar^3}\frac{\sqrt{E}dE}{\exp\Bigl(
\cfrac{E-\mu}{kT}\Bigr)+1}.$$

При $T=0$ заняты все энергетические уровни вплоть до уровня Ферми, $\mu_0=E_F$.
При $T=0$ $dn_0=\frac{4\pi(2m)^{3/2}}{\hbar^3}\sqrt{E}\,dE$,~\Arr
$\aver{E}=\frac35E_F$. Т.к. $kT_F=E_F$, $T_F\ge10^4$\,К, то при нормальных
условиях в металлах $kT/E_F\ll1$, т.е. электронный газ является вырожденным.

Химический потенциал, $\mu(T)=E_F(1-\frac{\pi^2}{12}(kT/E_F)^2)$.

\subsection*{Фотонный газ. Бозе--конденсация}
Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе--Эйнштейна.
Для фотонного газа необходимо положить~$\mu=0$, тогда
$$f_\gamma=\rev{\exp\Bigl(\cfrac{E_\gamma}{kT}\Bigr)-1}.$$

Т.к. $dN(E)=V\dfrac{E^2\,dE}{\pi^2c^2\hbar^2}$~--- число энергетических уровней
с энергией $E\in(E,E+dE)$. Следовательно, если $u(E)$~-- плотность
распределения энергии фотонов, то
$$u(E)\,dE=E\,dN(E)=\frac{V}{\pi^2c^2\hbar^3}\frac{E^3\,
dE}{\exp\Bigl(\cfrac{E}{kT}\Bigr)-1},$$
$$u(E)=\frac{V}{\pi^2c^2\hbar^3}\frac{E^3}{\exp\Bigl(\cfrac{\hbar\omega}{kT}
\Bigr)-1 } .$$

Вообще, для бозонов $\mu<0$ и $\partder{\mu}{T}<0$,~\Arr при определенной
температуре, $T_0$, $\mu=0$. Значит, при $T<T_0$ будет существовать особое
состояние~---\ж бозе--конденсат\н\index{Бозе--конденсат}~--- когда все бозоны
занимают нулевое состояние.

\subsection*{Квантовая теория теплоемкости идеального газа с учетом внутренних
молекулярных движений}
Как уже говорилось ранее,
$E\ind{мол}=E\ind{пост}+E\ind{эл}+E\ind{вр}+E\ind{яд}+E\ind{кол}$, т.е. энергия
молекулы
является суммой энергий поступательного движения, электронов, вращательного
и колебательного движения и ядерной энергии. При расчете теплоемкости
$E\ind{яд}$ и~$E\ind{эл}$
обычно не учитывают ввиду малости их вклада.
$E\ind{пост}$ имеет квазинепрерывные значения, $E\ind{вр}$ и~$E\ind{кол}$
квантованы: $E\ind{пост}=\hbar\omega(n+1/2)$, $E\ind{вр}=\frac{\hbar^2}{2J}
m(m+1)$. Межуровневые расстояния $\Delta E\ind{вр}\ll\Delta E\ind{кол}$.

Существенную роль играет расстояние между низшим вращательным уровнем и первым
возбужденным, $\Delta E_0$. В результате столкновений молекул происходит обмен
энергией между поступательными, вращательными и колебательными СС. При малых
температурах, когда $kT\ll\Delta E_0$, вращательные и колебательные СС не
возбуждаются,~\Arr молекула ведет себя как частица без внутренних СС. В этом
случае теплоемкость, $C_V=\frac32R$.

При повышении температуры, $kT\ge\frac{\hbar^2}{2J_0}$, вступают вращательные
уровни, и теплоемкость, $C_V=\frac52R$. Теплоемкость принимает такое значение
вплоть до температуры $T\ind{кол}=\frac{\hbar\omega}{k}$, когда $C_V=\frac72R$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Физическая кинетика}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Микроскопическое состояние системы многих частиц в квантовой и
классической теориях}
Систему многих частиц можно описать динамическим, либо статистическим методами.
Статистические методы имеют более широкое применение (т.к. являются более
простыми). Кроме того, можно использовать ТД подход, тогда нас совершенно не
будет интересовать строение системы.

Микроскопическое состояние характеризуется~$6N$ переменными, которые следует
рассматривать как случайные. Любая частица описывается точкой в ФП и
характеризуется плотностью вероятности (непрерывной величиной). Часто
предполагают, что частицы описываются дискретными величинами, осуществляя таким
образом переход к вероятности нахождения частицы в данном элементе ФП, а не к
плотности вероятности.

Классическая теория рассматривает микросостояние как состояние совокупности
частиц, способных занимать определенное положение в пространстве. Пространство
делится на ячейки по размеру частицы. Однако, классическая механика не смогла
получить распределение частиц по скоростям.

Квантовая механика показала, что частица занимает в ФП ячейку
объемом~$2\pi\hbar^3$. Согласно постулату равновероятности, все микросостояния
равновероятны.\ж Эргодическая гипотеза\н\index{Эргодическая гипотеза}
постулировала равенство среднего по времени и среднего по ансамблю для большого
количества частиц.

\subsection*{Теорема Лиувилля и уравнение Лиувилля для классической функции
распределения}
Воспользуемся эргодической гипотезой, и вместо изучения эволюции системы во
времени будем изучать огромное множество одинаковых подсистем, отличающихся
только начальным составом (суть\ж статистического метода
Гиббса\н)\index{Метод!Гиббса}. При таком подходе состояние\ж статистического
ансамбля\н\index{Статистический ансамбль} (т.е. этого множества подсистем)
характеризуется <<фазовым облаком>>~--- совокупностью точек ФП. При этом все
точки движутся независимо.

Перемещение фазового облака можно рассматривать как течение фазовой жидкости.
Для него уравнение непрерывности: $-\partder{\rho}{t}=\diver(\rho\vec v)$, где
$\rho$~-- число частиц в единице фазового объема, $\vec v$~-- скорость течения
фазовой жидкости.
Т.к. $-\partder{\rho}{t}=\sum_{i=1}^{6N}\partder{}{x_i}(\rho\vec v_i)$,~\Arr
$$\partder{\rho}{t}+\sum_{i=1}^{3N}\Bigl(\partder{}{q_i}(\rho\dot q_i)
+\partder{}{p_i}(\rho\dot p_i)\Bigr)=0;$$
$$\partder{\rho}{t}+\sum_{i=1}^{3N}\left[\dot q_i\partder{\rho}{q_i}
+\dot p_i\partder{\rho}{p_i}+\rho\Bigr(\partder{\dot q_i}{q_i}+
\partder{\dot p_i}{p_i}\Bigl)\right]=0.$$

Воспользуемся гамильтоновой формой уравнений движения:
$\dot q_i=\partder{H}{p_i}$, $\dot p_i=-\partder{H}{q_i}$,
тогда $\partder{\dot p_i}{p_i}=-\partder{\dot q_i}{q_i}$, получим\ж
уравнение Лиувилля\н\index{Уравнение!Лиувилля}:
$$\frac{d\rho}{dt}=\partder{\rho}{t}+\sum_{i=1}^{3N}\Bigr(
\partder{\rho}{q_i}\partder{q_i}{t}+\partder{\rho}{p_i}
\partder{p_i}{t}\Bigr)=0.$$

\bf Теорема Лиувилля\н\index{Теорема!Лиувилля}:\к функция распределения
вероятностей микросостояний квазинепрерывной подсистемы постоянна вдоль фазовой
траектории\н.

Из теоремы Лиувилля следует, что объем элемента ФП, занятого совокупностью
фазовых точек, в процессе движения этих точек остается неизменным по величине
(хотя форма элемента может меняться): $\boxed{\Delta\Gamma=\const}$.
Т.о., движение фазового ансамбля подобно движению несжимаемой жидкости.

\subsection*{Цепочка уравнений Боголюбова для неравновесных функций
распределения}
Рассмотрим кинетическое уравнение Лиувилля $\partder{\omega}{t}+[H,\omega]=0$,
где $H=H_0+H_1$, $[H,\omega]=\partder{H}{p_i}\partder{\omega}{r_i}+
\partder{H}{r_i}\partder{\omega}{p_i}$, $H_0=\sum_{i=1}^N(p_i^2/2m+U(\vec
r_i))$, $H_1=\sum_{i<j}\Phi(|\vec r_i-\vec r_j|)$,
$\omega=\omega(\vec r_1,\ldots, \vec r_N,\vec p_1,\ldots,\vec p_N,t)$.

Введем, следуя Боголюбову, последовательность корреляционных функций, исходя
из уравнения Лиувилля для матрицы плотности, $\partder{\omega}{t}=[H,
\omega]\ind{кл}$. Тогда получим одночастичную функцию распределения:
$F_1(t,\vec r_1,\vec p_1)=V\Int\omega\frac{dq\,dp}{dr_1\,dp_1}$,
двухчастичную функцию: $F_2(t,\vec r_1,\vec r_2,\vec p_1,\vec p_2)=
V^2\Int\omega\frac{dq\,dp}{dr_1\,dr_2\,dp_1\,dp_2}$ и так далее.

Подействуем на уравнение Лиувилля $\partder{\omega}{t}=\sum\Bigl(
\partder{H}{q_i}\partder{\omega}{p_i}-\partder{H}{p_i}\partder{\omega}{q_i}
\Bigr)$ оператором $N\Int_N d\vec r_2\cdots d\vec r_N\,d\vec p_2\cdots
d\vec p_N$, учтя, что
$$\partder{H}{r_1}=\partder{H_1}{r_1}-\partder{U(r_1)}{r_1}+
\sum_{i=2}^N\partder{\Phi(|\vec r_1-\vec r_i|)}{r_1},\quad\Arr$$
$$\partder{F_1}{t}+\frac{p_1}{m}\partder{F_1}{r_1}-\partder{U}{r_1}
\partder{r_1}{p_1}=\frac{N}{V}\sum_{i=2}^N \partder{\Phi(|\vec r_1-\vec
r_N|)}{r_1}\partder{}{p_1}\Bigl(V^2\Int\omega\frac{dq\,dp}{dr_1\,dr_2\,
dp_1\,dp_2}\Bigr).$$
Получим\ж первое уравнение цепочки Боголюбова\н:\index{Цепочка Боголюбова}
$$\partder{F_1}{t}+\frac{p}{m}\partder{F_1}{r}-\partder{U}{r}
\partder{r_1}{p}=\frac{N}{V}\Int\partder{\Phi}{r}\partder{F_2}{p}\,
dr'\,dp'.$$

Итак, получили цепочку уравнений, зацепляющихся через интегральный член:
$L_1(F_1)=\Phi_1(F_2)$, $L_2(F_2)=\Phi_2(F_3)$ и~т.д. Однако, не все уравнения
из цепочки имеют решение, несущее физический смысл.

Основная задача кинетической теории~--- построение замкнутого уравнения,
например, $L_1(F_1)=\tilde\Phi(F_1)$, которое называется\ж интегралом
столкновений\н\index{Интеграл!столкновений}.

Важную роль играет\ж принцип ослабления корреляции\н\index{Принцип!ослабления
корреляции}:
$$F_2(t,\vec r_1,\vec r_2,\vec p_1,\vec p_2)|_{|\vec r_1-\vec
r_2|\to\infty}\to F_1(t,\vec r_1,\vec p_1)F_1(t,\vec r_2,\vec p_2).$$

\subsection*{Приближение самосогласованного поля. Уравнение Власова}
Рассмотрим систему частиц с кулоновским взаимодействием: $\Phi=\pm
e^2/R=\Phi(R)$. Будем считать систему в целом электрически нейтральной. Т.к.
радиус взаимодействия бесконечен, каждая частица постоянно взаимодействует со
всеми остальными, также и все частицы, действуя на данную, создают в точке ее
нахождения общее поле, индивидуальные вклады в которое от какой-либо одной из
них пренебрежимо малы.
Такое поле является самосогласованным. Оно описывается функциями, не
чувствительными к нумерации частиц. Корреляционные функции взаимодействия
частиц пренебрежимо малы:
$$F_2(t,\vec r,\vec r',\vec p,\vec p')=F_1(t,\vec r,\vec p) F_2(t,\vec
r',\vec p')+G_2(t,\vec r,\vec r',\vec p,\vec p')=F_1(t,\vec r,\vec
p)F_1(t,\vec r',\vec p').$$

Во взаимодействии лидирует электростатическое. Радиус экранирования (\bf радиус
Дебая\н), $R_D$, оценивается в рамках равновесной теории.

Для реализации самосогласованного поля необходимо участие большого числа частиц
внутри сферы радиуса~$R_D$, т.е. среднее расстояние между ними будет
значительно меньше~$R_D$, или $v/R_D^3\ll1$ ($v=V/N$~-- удельный фазовый объем
на одну частицу).
При этом, чтобы самосогласованное поле не разрушалось индивидуальными
корреляциями, расстояние между частицами должно значительно превосходить
диаметр частиц (т.е. плазма должна быть достаточно разреженной).
Частица должна находиться внутри сферы радиуса~$R_D$ достаточно долго по
сравнению с временем релаксации.

Ограничиваясь основным членом~$F_2$ и подставляя его в первое уравнение цепочки
Боголюбова, получим интеграл столкновений вида
$$\Phi_1(F_2)=\partder{\tilde U(t,r)}{r}\partder{F_1(t,\vec r,\vec p)}{p},$$
где $\tilde U=\rev v\Int\Phi(|\vec r-\vec r'|)F_1(t,\vec r,\vec p)\,d\vec
r'\,d\vec p'$~--\ж потенциал самосогласованного
поля\н\index{Потенциал!самосогласованного поля}. $\frac{N}{v}\Int F_1\,d\vec
p'=n(t,\vec r')$,~\Arr получим\ж уравнение Власова\н\index{Уравнение!Власова}:
$$\partder{F_1}{t}+\frac{p}{m}\partder{F_1}{r}-\partder{(U+\tilde U)}{r}
\partder{F_1}{p}=0.$$

\subsection*{Плазменные колебания}
Дальнодействующий характер кулоновских сил взаимодействия определяет
существование в плазме свободных колебаний. Созданное в некоторый момент
времени изменение плотности электронов в плазме не релаксирует, как плотность в
обычном газе, а колеблется с определенной частотой, зависящей только от
концентрации электронов (т.к. изменение плотности электронов вызывает
возникновение объемного заряда).

Рассмотрим параллелепипед $dV=S\,dx$. Т.к. массы ионов довольно велики, будем
считать их неподвижными. Пусть электрон претерпевает смещение~$\xi(x)$. Тогда
возникнет объемный заряд
$$dq=enS\xi(x)-enS\xi(x+dx)\approx-en\frac{d\xi}{dx}=-en\frac{d\xi}{dx}\,dV,
\quad\Arr\quad \boxed{\rho=\frac{dq}{dV}=-en\frac{d\xi}{dx}}\,.
$$

Уравнение движения электрона имеет вид $m\ddot\xi=-ne^2\xi$,~\Arr $\ddot\xi+
ne^2\xi/m=0$, $\xi=\xi_0\cos(\omega_0t+\phi)$, где
$\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{ne^2}{m}}}$~--\ж ленгмюровская
частота\н\index{Частота!ленгмюровская} (частота возникающих в плазме
электронных колебаний). Наличие колебаний в плазме было установлено Рэлеем и
Ленгмюром.

\subsection*{Уравнение кинетического баланса. Принцип детального равновесия}
Благодаря движению частиц, поле, созданное системой, флуктуирует~--- движение
частицы оказываются стохастическим (т.е. вероятностным).

Пусть $W(y,x|\tau,t)$~-- плотность вероятности перехода частицы из точки~$x$ в
точку~$y$ за время~$\tau$, $t$~-- время выхода точки из~$x$. Тогда вероятность
перехода $dw=W(y,x|\tau,t)\,dy$. Если переход $x\to y$ не зависит от
предыстории системы, процесс называется\ж
марковским\н\index{Процесс!марковский}.

Введем\ж принцип детального равновесия\н\index{Принцип!детального равновесия}:
будем считать вероятности прямого и обратного переходов одинаковыми (т.е.
считаем физические законы симметричными относительно замены $t\to-t$).

Разложим $W$ при малых~$\tau$ по степеням~$\tau$, ограничившись двумя первыми
членами: $W(y,x|\tau,t)\approx\Phi(y,x,t)+\tau P(y,x,t)$, где $P$~--
вероятность перехода~$x\to y$ за единицу времени; $\Phi$~-- вероятность
<<мгновенного>> перехода. Т.к. за время~$\tau=0$ частица не может покинуть~$x$,
$\Phi(y,x,t)=A(y,t)\delta(y-x)$. $\Int W\,dy=1$,~\Arr $A(x,t)=1 -\tau \Int
P(y,x,t)\,dy$,~\Arr
$$W(y,x|\tau,t)=\Bigl(1-\tau\Int P(z,y,t)\,dz\Bigr)\delta(y-x)+
\tau P(y,x,t).$$

Выясним связь $W$ с функцией $f(\vec r,\vec p,t)=f(x,t)$. Пусть при~$t=0$
$f=f(x,0)$. Для изменения числа частиц в~$dx$ за время~$t$ имеем:
$$[f(x,t)-f(x,0)]\,dx=dx\Int[W(x,z|t,0)f(z,0)- W(z,x|t,0)f(x,0)]\,dz.$$
Т.к. $\Int W\,dz=1$, получим: $f(x,t)=\Int W(x,z|t,0)f(z,0)\,dz$. Перепишем
последнее уравнение как $f(y,t_\tau)=\Int W(y,x|\tau,t)f(x,t)\,dx$.
Подставляя~$W$ и переходя к пределу при~$\tau\to0$, получим\ж уравнение
кинетического баланса\н\index{Уравнение!кинетического баланса}:
$$\partder{f(x,t)}{t}=\Int[P(x,z,t)f(z,t)-P(z,x,t)f(x,t)]\,dz.$$
Левая часть уравнения~--- изменение плотности числа частиц в точке~$x$ в момент
времени~$t$ за единицу времени, обусловленное приходом в эту точку частиц из
остальных точек (первое слагаемое) и уходом частиц (второе слагаемое).

Можно перейти от классического определения к квантово-механическим дискретным
состояниям:
$$\frac{dN_i}{t}=\sum_{i\ne j}(P_{ij}N_j-P_{ji}N_i).$$

Если система замкнута, имеет место принцип детального равновесия:
$P(x,y,t)=P(y,x,t)$, или $P_{ij}=P_{ji}$.

\input{adddd/60}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Свойства атомных ядер}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Опыт Резерфорда. Распределение зарядов в ядре}
Томсоном была предложена статическая модель атома (положительно заряженный
шарик с электронами внутри). Исследования Резерфорда\index{Опыт!Резерфорда} по
рассеянию $\alpha$-частиц при прохождении ими через газы и металлические фольги
показали несостоятельность модели Томсона.

Опыты Резерфорда, Гейгера и Марсдена~--- наблюдения треков $\alpha$-частиц в
камере Вильсона~--- показали, что эти частицы проходят большое расстояние, не
испытывая заметных отклонений,~\Arr атом является весьма прозрачным для
$\alpha$-частиц (а не заполнен зарядом и массой). Отклонение некоторых частиц на
углы~$>90\degr$ показало, что атом внутри имеет чрезвычайно сильное ЭП,
сосредоточенное в небольшой~($\sim10^{-14}\div10^{-15}$\,м) области в центре
атома (т.е. в его\ж ядре\н\index{Ядро атома}).

Резерфорд получил формулу для дифференциального сечения рассеяния
$\alpha$-частиц:
$$d\sigma=\left(\rev{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{mv_0^2}\right)^2
\frac{d\Omega}{\sin^4\frac{\theta}2},$$
а т.к. $d\sigma=2\pi b\,db$ (где $b$~-- прицельный параметр), то
экспериментально замеряя углы~$\theta$, можно найти~$b$.

Заряд ядра положителен и кратен заряду электрона: $q=Ze$. Т.о., $Z$~-- число
положительно заряженных частиц (\bf протонов\н\index{Протон}) в составе ядра.

Опыты по рассеиванию быстрых электронов на атомных ядрах показали, что
плотность заряда распределена в ядре неравномерно.

Общие размеры ядра характеризуют\ж среднеквадратичный\н (усредненный по
плотности заряда) и\ж эквивалентный\н (радиус шарика с равномерно
распределенным зарядом, $Ze$)\ж радиусы\н. Ср. кв. радиус:
$$a^2=\Infint r^2\rho(\vec r)\,d\vec r=\Infint r^2\rho(\vec r)4\pi r^2\,dr.$$
Экв. радиус: $R\ind{Э}=a\sqrt{5/3}$.

Наиболее универсальной моделью распределения заряда в ядре является\ж
однородная модель Ферми\н:\index{Модель!Ферми}
$$\rho(r)=\frac{\rho_0}{1+\exp\cfrac{r-R_{1/2}}{\delta}},$$
где $\delta$~-- некоторый параметр, $R_{1/2}$~--\ж радиус половинной плотности\н
($\rho(R_{1/2})=\rho_0/2$).

Для легких ядер более подходит\ж гауссова модель\н\index{Модель!Гаусса}:
$$\rho(r)=\Bigl(\frac3{2\pi a^2}\Bigr)^{3/2}\exp\Bigl(-\frac32
\frac{r^2}{a^2}\Bigr).$$

\bf Выводы экспериментов\н:
\begin{enumerate}
	\item во внутренних оболочках $\rho=\const$, на периферии~$\rho$ спадает по
	закону Ферми. В легких ядрах заряд распределен согласно гауссовой форме, в
	тяжелый ядрах~-- согласно форме Ферми;
	\item скорость спадания,~$\delta$, для всех ядер приблизительно одинакова:
	$\delta\cong0.55$\,фм;
	\item $R_{1/2}$ и $R\ind{Э}$ пропорциональны $\sqrt[3]{A}$, где $A$~--
	массовое число ядра;
	\item в легких ядрах нейтроны и протоны распределены одинаково, в
	тяжелых же протоны концентрируются ближе к центру ядра, оболочка состоит
	из нейтронов.
\end{enumerate}

\subsection*{Масса и энергия связи ядра}
В теоретической физике масса ядра измеряется в энергетических единицах, в
прикладной оперируют атомными единицами массы~(а.е.м.). Массы протона и
нейтрона порядка~1\,а.е.м., т.о., масса ядра пропорциональна массовому числу.
Однако, $\sum(m_p+m_n)\ne m\ind{ядра}$.\ж Дефект массы\н\index{Дефект массы}:
$\Delta=m\ind{ядра}-A$.\ж Упаковочный
коэффициент\н\index{Коэффициент!упаковочный}: $f=\Delta/A$.\ж Энергия
связи\н\index{Энергия!связи}:
$E\ind{св}=-(m\ind{ядра}-[Zm_p+Nm_n])=-(M-[Am_n-Z\Delta m_N])$,
где $\Delta m_N=m_n-m_p$. Энергия связи~--- это энергия, которая выделяется при
объединении свободных нуклонов в ядро.

\bf Нуклиды\н\index{Нуклиды}~--- группы ядер. В зависимости от соотношения
$A$---$Z$ выделяют\ж изотопы\н\index{Изотоп}~(нуклиды с одинаковыми~$Z$),\ж
изобары\н\index{Изобары}~(нуклиды с одинаковыми~$A$),\ж
изотоны\н\index{Изотоны}~(нуклиды с одинаковыми~$N=A-Z$),\ж
зеркальные\н (нуклиды с одинаковым\ж нейтронным избытком\н\index{Нейтронный
избыток} $T_{\zeta}=\rev2(N-Z)$).

\subsection*{Стабильные и радиоактивные ядра}
Атомные ядра делят на стабильные и нестабильные (радиоактивные).\ж
Стабильными\н называют ядра, у которых спонтанный распад и превращения являются
энергетически невозможными. Например, у стабильных ядер $A<36$, $T_\zeta\le1$.
На плоскости $N$---$Z$ стабильные ядра располагаются в окрестности кривой
устойчивости, в начале кривой $N/Z=1$, в конце $N/Z=1/6$.

\float{L}{\includegraphics[width=6cm]{pic/Nuclear}}
Различие стабильности изотопов находится в зависимости от четности~$N$ и~$Z$, а
также от величины~$A$. Наиболее стабильны четно--четные ядра (четные~$Z$
и~$N$); четно--нечетные и нечетно--четные менее стабильны; наименее стабильными
являются нечетно--нечетные ядра (из них стабильны только ядра с~$Z=N$).

Нестабильность ядер делят на два вида: по отношению к группам нуклонов и по
отношению к изменению заряда ядра.

\bf Виды радиоактивности\н: испускание $\alpha$-частиц, $\beta^\pm$-распад,
$K$-захват (электронный захват из~$K$-слоя), сопровождающиеся
$\gamma$-излучением, деление ядра на два осколка, испускание нейтрона.

Критерием устойчивости является линия $Z=A/(1.98+0.015A^{2/3})$. Линии $E_n=0$
и $E_p=0$~--- испускание нейтрона или протона соответственно.

\subsection*{Квантовые характеристики ядерных состояний. Спин ядра.
Статические мультипольные моменты ядер}
В теории атомного ядра волновые функции характеризуются\ж четностью\н. Пусть
оператор~$\hat P$ меняет знаки координат: $\vec r\to-\vec r$. Тогда, если $\hat
P\psi(\vec r,t)=\psi(-\vec r,t)$, волновая функция $\psi$ является четной, если
же $\hat P\psi(\vec ,t)=-\psi(-\vec r,t)$,~--- нечетной.

Четность состояния частицы, находящейся в центральносимметричном поле и
обладающей внутренней четностью, $\xi$, и орбитальным моментом, $l$, равна
$\lambda=(-1)^l\xi$\index{Четность}. Четность системы $\lambda=n\lambda_k$.
Параметр $(-1)^l$ характеризует\ж орбитальную четность\н,\ж внутренняя
четность\н, $\xi$, является четностью частицы в СК, связанной с ней.
Большинство процессов протекает с\к сохранением четности\н.

Протоны и нейтроны обладают полуцелым спином, $s$. Полный момент инерции нуклона
$\vec j=\vec l+\vec s$, $j=\overline{|l-s|,l+s}$, а т.к. $s=1/2$, то
$j=l\pm1/2$.

Атомное ядро обладает\ж полным моментом импульса\н $\vec J=\vec L+\vec I$, где
$\vec I$~-- суммарный спиновый момент нуклонов (\bf спин
ядра\н)\index{Спин!ядра}.

Ядро определяется волновой функцией $\psi_{IM}$: $\hat{\vec
I}^2\psi_{IM}=I(I+1)\psi_{IM}$, $\hat I_Z\psi_{IM}=M\psi_{IM}$, где
$M=\pm1/2,\ldots,\pm I$ (или $M=0,\ldots,\pm I$), $I=n/2$, где $n>0$.

\bf Закономерности\н:
\begin{enumerate}
	\item у ядер с четным $A$ $I$ целые, у ядер с нечетным $A$~--- полуцелые;
	\item в основном и возбужденном состояниях спин может быть разным;
	\item спины всех четно--четных ядер в основном состоянии равны нулю;
	\item спины стабильных ядер лежат в интервале $[0,9/2]$.
\end{enumerate}

Система частиц с зарядами $q_i$ может обладать\ж электрическими моментами\н всех
порядков, начиная с нулевого, входящими в члены мультипликативного разложения
энергии взаимодействия системы с внешним ЭП.\к Нулевой момент\н~--- полный
заряд ядра, $Q=\sum q_i$, $E^{(0)}=Q\phi$.\к Первый момент\н~--- дипольный
момент, $\vec p=\sum q_i\vec r_i$, $E^{(1)}=\vec p\cdot(\nabla\phi)=-\vec p\vec
E$.\к Второй момент\н~--- квадрупольный, $Q_{ij}=\sum_n
q_n(3x_i^nx_j^n-r^2\delta_{ij})$, $E^{(2)}=-\rev6Q_{ij}\partder{E_i}{x_{ji}}$.

Кроме того, у ядра существуют\ж магнитные моменты\н, главный из них~---
дипольный: $\vec\mu=\rev2\sum q_i|\vec r_i\times\vec v_i|$,
$E^{(1)}=-\vec\mu\vec B$.\к Дипольный магнитный момент любого ядра в основном
состоянии равен нулю\н.
$\vec\mu=\vec\mu_p+\vec\mu_n+\vec\mu_l$, $\vec\mu_p=g_p\mu\ind{яд}\vec s$,
$\vec\mu_n=g_n\vec\mu\ind{яд}\vec s$, $\vec\mu_l=g_l\mu\ind{яд}\vec l$,~\Arr
$\vec\mu-g\mu\ind{яд}\vec I$.

Квадрупольный магнитный момент ядра делят на внутренний (в собственной СК), $Q_
0$, и внешний (в лабораторной СК), $Q$. Такое различие связано с
прецессией~$Q_0$ вокруг некоторой оси. Для большинства ядер $Q_0>0$. Внешние
квадрупольные моменты ядер с~$I=0$ и~$I=1/2$ равны нулю вне зависимости от
значения~$Q_0$. Всегда~$Q<Q_0$. У многих ядер~$Q_0$ довольно велики, что
свидетельствует о резко несферической форме ядра.

\subsection*{Радиоактивность. Законы радиоактивного распада. Статистический
характер распада}
\bf Радиоактивность\н\index{Радиоактивность} (РА)~--- самопроизвольное
превращение одних атомных ядер в другие, сопровождающееся испусканием
элементарных частиц. РА делят на естественную и искусственную.

\bf Простой РА распад\н~--- такой распад, при котором распадается ядро, не
являющееся продуктом РА распада.

Уменьшение количества нераспавшихся ядер происходит по закону $dN=-\lambda
N\,dt$,~\Arr $\boxed{N=N_0\exp(-\lambda t)}$. Вычислим\ж период полураспада\н
(время, за которое распаду подвергается половина первоначального количества РА
вещества): $N_0/2=N_0\exp(-\lambda T_{1/2})$,~\Arr $\boxed{T_{1/2}=\ln
2/\lambda}$.\ж Среднее время жизни ядра\н, $\tau=1/\lambda=T_{1/2}/\ln2$,~\Arr
$N=N_0\exp(-t/\tau)$. Единицу ядерной активности называют Беккерель (1 распад в
секунду).

\bf Активность\н РА распада: $A=|\frac{dN}{dt}|=\lambda
N$,~\Arr $\boxed{A=\lambda N_0\exp(-t/\tau)}$.

\bf Сложный РА распад\н~--- такой распад, при котором распадается ядро, в
данный момент являющееся продуктом распада: $N_1\to N_2\to\ldots$.
Описывается двумя ДУ: $\frac{dN_1}{dt}=-\lambda_1N_1$, $\frac{dN_2}{dt}=
\lambda_1N_1-\lambda_2N_2$,~\Arr
$$\left\{\begin{array}{rcl}N_1&=&N_{10}\exp(-\lambda_1t),\\
N_2&=&N_{20}\exp(-\lambda_2t)+\frac{\lambda_1N_{10}}{\lambda_2-\lambda_1}
[\exp(-\lambda_1t)-\exp(-\lambda_2t)].
\end{array}\right.$$
Если $T_{1/2}^{(1)}\gg T_{1/2}^{(2)}$ ($\lambda_1\ll\lambda_2$) и
$T\ll T_{1/2}^{(1)}$, то приближенно получим: $N_1=N_{10}$. Пусть
$N_{20}=0$,~\Arr $N_2(t)\approx\frac{\lambda_1}{\lambda_2}N_{10}(1-
\exp(-\lambda_2t))$.
$\lim_{t\to\infty}N_2=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}N_{10}=\const$,~\Arr
$\boxed{\lambda_1N_1=\lambda_2N_2}$~---\ж вековое равновесие\н.

\paragraph{$\alpha$-распад.}
Спектр $\alpha$-распада показывает, что у ядер существует энергетическая
структура по аналогии с атомной. Существует сильная нулевая линия и ряд
боковых.\ж Закон Гейгера--Неттола\н: $\ln\lambda=AB\ln R_\alpha$, где
$R_\alpha$~-- пробег $\alpha$-частицы.
\float{R}{\vspace*{20pt}\includegraphics[height=4cm]{pic/alpha_rasp}%
\vspace*{-30pt}}
\paragraph{$\beta$-распад.} К данному виду распада относятся $\beta^-$ и
$\beta^+$ распады и $K$-захват.
${}^A_ZX\to{}^A_{Z+1}Y+e+\tilde\nu$~--- $\beta^-$-распад;
${}^A_ZX\to{}^A_{Z-1}Y+e^+\nu$~--- $\beta^+$-распад;
${}^A_ZX+e\to{}^A_{Z-1}X+\nu$~--- $K$-захват.

\paragraph{Спонтанное деление.} ${}^A_ZX\to{}^{A-A_1}_{Z-Z_1}X_1+
{}^{A_1}_{Z_1}X_2$, $A_1\approx A/2$, $Z_1\approx Z/2$.

\subsection*{Экспериментальное доказательство существования
нейтрино}\index{Нейтрино}
Паули предположил, что существует нейтральная частица с нулевой массой,
появляющаяся в результате $\beta$-распада. Существование нейтрино первым
подтвердил Аллен в реакции $K$-захвата лития, исследуя энергию отдачи ядра,
затем~--- в ${}^{37}Ar$.

Рейнес и Коуэн зарегистрировали нейтрино непосредственно с помощью реакции
$K$-захвата: вблизи реактора установили водородный сцинтиллятор с добавкой
кадмия~--- первое прямое доказательство существования нейтрино.

Для характеристики нейтрино, $\nu$, и антинейтрино, $\tilde\nu$, ввели понятие
лептонного заряда,~$L$, ($L=+1$ для $e^-$, $\mu^-$ и $\nu$; $L=-1$ для $e^+$,
$\mu^+$ и $\tilde\nu$; $L=0$ для остальных). У нейтрино обнаружена спиральность.

Затем было открыто несохранение четности в слабом взаимодействии, что позволило
описать поведение нейтрино более простыми уравнениями. Было установлено, что
нейтрино является левовинтовым ($s_\nu=-1$), а антинейтрино~--- правовинтовым
($s_{\tilde\nu}=1$).

Позднее, помимо электронного нейтрино были обнаружены мюонное и тауонное
нейтрино. Это послужило причиной введения тауонного и мюонного зарядов:
$L=L_e+L_\mu+L_\tau$.

Оценка массы нейтрино показала, что их средняя масса не превышает
$30\div40$\,эВ. Аргументом в пользу ненулевого значения массы нейтрино является
<<скрытая масса>> гало галактики. Наличие массы нейтрино объяснило бы также
формирование сверхскоплений галактик.

Космология, в зависимости от средней плотности Вселенной, прогнозирует
несколько исходов ее эволюции. С этой точки зрения очень важно иметь
представление о точном значении массы нейтрино.
Так, если $m_\nu\gtrsim30$\,эВ, то плотность Вселенной превосходит критическую
плотность, и Вселенная будет пульсирующей, либо коллапсирующей.

\subsection*{Несохранение четности в распаде}
Четность, $\lambda$, связана с преобразованием пространственной инвариантности.
Если четность сохраняется, то данный процесс является зеркально симметричным,
т.о., закон сохранения четности связан с зеркальной симметричностью
пространства, т.е. $[\hat H,\hat P]=0$.

Исследование реакций с учетом слабого взаимодействия (например, $\beta$-распад)
показало, что четность в них не сохраняется.

Особенной ярко зеркальная асимметрия проявляется в свойствах нейтрино: все
нейтрино обладают отрицательной спиральностью, а все антинейтрино~--
положительной. Но при пространственной инверсии знак спина инвертируется:
<<зазеркальных>> нейтрино и антинейтрино в нашем мире не существует.

\subsection*{Электронные и магнитные переходы}
Переход из возбужденного состояния в основное может сопровождаться испусканием
$\gamma$-излучения\index{Гамма--излучение} (ультракоротковолновые ЭМВ). Волновые
свойства
$\gamma$-частиц проявляются очень слабо, значительно сильнее проявляются их
корпускулярные свойства.

Энергия, излучаемая системой, может быть разложена на следующие части:
электрическое дипольное, электрическое квадрупольное и магнитное дипольное
излучения.

При $\gamma$-излучении существует ограничение на волновые функции~---\ж правила
отбора\н\index{Правила!отбора}:
\begin{itemize}
	\item для дипольного ЭП: $\Delta l=\pm1$, $\Delta m=0,
	\pm1$, $\Delta j=0, \pm1$ (исключая переходы $0\to0$);
	\item для дипольного МП: $\Delta j=0, \pm1$;
	\item для квадрупольного ЭП: $\Delta j=0, \pm1, \pm2$, запрещенными
	являются переходы $0\to0$, $\rev2\to\rev2$ и $0\rightleftarrows1$.
\end{itemize}

\subsection*{Внутренняя конверсия}
Возбужденное ядро может перейти в основное состояние еще и посредством
внутренней конверсии, или конверсии с образованием электрон--позитронных пар.
Явление\ж внутренней конверсии\н\index{Внутренняя конверсия} на атомных
электронах состоит в том, что в тяжелых возбужденных ядрах испускаются группы
моноэнергетических электронов из внутренних слоев (K, L, M) электронной
оболочки атома. В отличие от электронов $\beta$-распада, конверсионные
электроны имеют линейчатый спектр.

Электроны конверсии возникают путем прямой передачи энергии электрону от ядра.
Т.к. на место дырки во внутренней оболочке переходит электрон с более высокого
уровня, возникает характерное рентгеновское излучение.

\bf Парциальный коэффициент внутренней конверсии\н: $\omega_K=N_K/N_\gamma$,
где $N_K$~-- число электронов на K-оболочке, $N_\gamma$~-- число испущенных
оболочкой $\gamma$-квантов. Аналогично рассчитываются парциальные коэффициенты
для L и~M оболочек.\ж Полный коэффициент внутренней конверсии\н
$\omega=\sum\omega_i$.

Если энергия возбуждения ядра $E^*>2m_ec^2$, может возникнуть
электрон--позитронная пара. Т.к. ядро заряжено положительно, энергия
образовавшихся частиц различна.

\subsection*{Эффект М\"ессбауэра}
\bf Эффект М\"ессбауэра\н\index{Эффект!Мессбауэра@М\"ессбауэра}~--- испускание
или поглощение $\gamma$-квантов атомными ядрами в твердом теле, не
сопровождающееся изменением колебательной энергии тела, т.е. испусканием или
поглощением фононов.
Данный эффект аналогичен
эффекту резкого поглощения света возбужденными атомами, но, в связи с тем, что
на ядро действует отдача, $E_\gamma=E-T$. Для осуществления поглощения
необходимо, чтобы $\Delta E<\Gamma$, где $\Delta E=E-E_\gamma=T$,
$\Gamma=\hbar/\tau$~-- ширина возбужденного уровня.

Т.к. $\Delta E=\frac{E^2}{2m}$, то для ядер ($E\sim1\,$МэВ) $\Delta E$ очень
велико, сильно превосходя ширину возбужденного уровня. Для атомов же $\Delta
E\sim10\,$МэВ${}<\Gamma$.

М\"ессбауэр установил, что при определенных условиях резонансное поглощение
становится возможным: необходимо перейти к сильно охлажденным\к
кристаллическим\н приемнику и источнику $\gamma$-квантов. В небольшой доле
случаев импульс отдачи берет на себя вся кристаллическая решетка, что приводит к
снижению~$\Delta E$.

М\"ессбауэр измерял зависимость скорости счета детектора от скорости источника.
При $v=0$ наблюдалось резонансное поглощение, но при скоростях в несколько см/с
резонансное поглощение полностью исчезало, т.о., плавно меняя скорость
источника можно исследовать форму линии поглощения.

Благодаря эффекту М\"ессбауэра можно измерять очень малые изменения энергии:
$\Gamma/E\sim10^{-11}$. Этот эффект позволил определить гравитационное красное
смещение в поле тяжести Земли.

\section{Радиоактивность}
\input{adddd/69}
\input{adddd/72}

\section{Нестационарная теория возмущений}
\input{adddd/63}
\input{adddd/64}



%\thispagestyle{empty}
%\chapter{Элементарные частицы}
\section{Нуклон--нуклонное взаимодействие}
\subsection*{Система двух нуклонов. Дейтрон}
\bf Нуклоны\н\index{Нуклон} в атомном ядре удерживаются\ж ядерными
силами\н\index{Сила!ядерная}, представляющими собой сильное взаимодействие.

Ядерные силы проявляются в парном взаимодействии нуклонов (дейтерий),
взаимодействии свободных нуклонов с составными ядрами и ядер друг с другом,
взаимодействии нуклонов внутри ядра.

\bf Свойства\н ядерных сил:
\begin{enumerate}
	\item двухчастичное приближение: силы взаимодействия нуклонов не
изменяются
	из-за присоединения других нуклонов, $\hat H=\sum{a<b}\hat H_{ab}$;
	\item эти силы потенциальные в хорошем приближении;
	\item силы интенсивны;
	\item силы короткодействующие;
	\item на сверхмалых расстояниях хорошо работает\ж приближение центрального
	поля\н;
	\item ядерный потенциал обладает сингулярным поведением;
	\item силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов;
	\item силы нецентральные.
\end{enumerate}

У\ж дейтерия\н\index{Дейтерий} спин, $I=1$, масса, $M_D\equiv\mu\ne M_p+M_n$.
Волновая функция, $\psi=\rev2R(r)Y(\theta,\phi)$. Для оценки радиуса дейтерия
необходимо решить уШ:
$$\frac{d^2R(r)}{dr^2}+\frac{2\mu}{\hbar^2}\Bigl[E-U-
\frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu^2}\Bigr]R(r)=0.$$
При $l=0$, $R''+\frac{2\mu}{\hbar^2}[E-U]R=0$. Это уравнение было решено для
разных потенциалов (графики потенциалов приведены на рисунке).
%\float{}{\hbox to 0pt{\includegraphics[width=.3\textwidth]{pic/D1}}
%\hbox{\parbox{.3\textwidth}{Виды соответствующих потенциалов}}}
\begin{pict}
\includegraphics[width=.8\textwidth]{pic/D1}
\caption{Виды соответствующих потенциалов}
\end{pict}
\begin{enumerate}
	\item $$U=\begin{cases}
		-U_0,&r\le a\\
		0,&r>a;\\
	\end{cases}\quad\text{$a$~-- радиус дейтерия.}$$
	\item $$U(a)=-\frac{U_0}{l},\quad U(r)=-U_0\exp(-\tfrac{r}{a}).$$
	\item\ж Потенциал Юкавы\н\index{Потенциал!Юкавы}:
		$$U(a)=-\frac{U_0}{a},\quad U(r)=-\frac{U_0\exp(-\frac{r}{a}
		)}{\frac{r}{a}}.$$
	\item\ж Потенциал Вуда--Саксона\н\index{Потенциал!Вуда--Саксона}:
		$$U(r)=-\frac{U_0}{1+\exp(\frac{r-a}{\delta})},\quad
		\delta\approx0.55\,\text{фм.}$$
	\item Потенциал с непрерывной отталкивающей сердцевиной:
	$$U(a)=-\frac{U_0}{a},\quad U(r)=
	\begin{cases}
		-U_0\exp(-\tfrac{r}{b}),&r>b\\
		+\infty,&r<b.\\
	\end{cases}$$
\end{enumerate}
Общим для всех потенциалов является малое значение~$a$ и большая величина~$U_0$.

В случае прямоугольной ямы, $R_D=\rev\gamma$, где $\gamma=\rev\hbar
\sqrt{2\mu\Delta E}$, $\Delta E=-E$, $\psi=\sqrt{\frac{\gamma}{2\pi}}
\frac{\exp(-\gamma^2)}{r}$.

\subsection*{Нуклон--нуклонное рассеяние}
Можно выделить три группы исследований рассеяния нуклонов на нуклонах:
в камере Вильсона;
в фотопленке;
в ионизационной камере.

Исследование распределения рассеянных нуклонов по углу, $\theta$, и энергии
показало, что $d\sigma/d\Omega\propto\cos\theta$. Это справедливо, лишь если
дебройлевская длина волны нуклона превосходит радиус нуклонных сил. Т.о.,
радиус действия ядерных сил оказывается равным $R\approx2\,$фм.

\subsection*{Спиновая зависимость. Тензорный характер ядерных сил}
Опыты рассеяния медленных нейтронов на медленных атомах водорода
показали, что сечения рассеяния различны для орто- и пара-атомов:
$\sigma\ind{орто}\sim30\sigma\ind{пара}$ (у орто-атомов водорода спины
коллинеарны, у пара-атомов~--- антиколлинеарны).
Таким образом, для учета спиновой зависимости ядерных сил в оператор
взаимодействия, $\hat U$, необходимо добавить слагаемое, зависящее от
направлений спинов взаимодействующих ядер:
$$\hat U=\hat V_1(r)+\hat V_2(r)\cdot\vec S_1\cdot\vec S_2.$$
Кроме того, ядерные силы являются нецентрированными, т.е. они зависят не только
от взаимной ориентации спинов, но и от их ориентации относительно прямой,
соединяющей нуклоны (об этом говорит, например, то, что $M_D\ne M_p+M_n$).
Т.о., ядерные силы являются\ж тензорными\н.

Для учета тензорного характера ядерных сил к оператору $\hat H$ необходимо
добавить третье слагаемое с множителем $(\vec S_1\vec n)\cdot(\vec S_2\vec n)$,
где $\vec n$~-- единичный орт, проведенный от первого ядра ко второму:
$$\hat H=\hat V_1(r)+\hat V_2(r)(\vec S_1\vec S_2)
+\hat V_3(\vec S_1\vec n)(\vec S_2\vec n).$$

\subsection*{Зарядовая независимость ядерных сил}
\bf Зарядовая симметрия\н~--- равенство ядерных сил, действующих в
протон-протонных и нейтрон-нейтронных взаимодействиях (об этом говорит
равенство сечений рассеяния протонов на протонах и нейтронов на нейтронах).\ж
Зарядовая независимость\н~--- равенство сил, действующих между протонами и
нейтронами (более общий случай зарядовой симметрии).

\subsection*{Изоспин}
Нуклону приписывается квантовое число $T=1/2$~---\ж изоспин\н\index{Изоспин}.
Состояния протонов и нейтронов отличаются проекцией изоспина, $T_z$: у протона
она считается положительной, а у нейтрона~--- отрицательной. Волновая функция
нуклона, $\psi=a\binom10+b\binom01=a\psi_p+b\psi_n$.

\bf Барионный заряд\н\index{Заряд!барионный}, $B=1$. Электрический заряд,
$q=e(T_z+B/2)$.

Рассмотрим систему двух нуклонов, $N'$ и~$N''$ с изоспинами $T'$ и~$T''$.
Введем оператор\к полного изоспина\н: $T=T'+T''$. Полный изоспин может
принимать значения 0~(изосинглетное состояние) и 1~(изотриплетное состояние).
Т.к. $T_z=T_z'+T_z''$, у систем $p-p$ $T_z=1$, $n-n$~--- $T_z=-1$, $p-n$~---
$T_z=0$. Следовательно, дейтерий может находиться и в изосинглетном, и в
изотриплетном состояниях.

Согласно\ж обобщенному принципу Паули\н\index{Принцип!Паули!обобщенный}, $\psi$
системы нуклонов антисимметрична относительно перестановки любых их пар,~\Arr
изотриплетному состоянию соответствует антисимметричная, а изосинглетному~---
симметричная волновая функция. Т.о., получили\ж принцип изоспиновой
инвариантности\н\index{Принцип!изоспиновой инвариантности}:\к взаимодействия в
системах $p-p$, $n-n$ и~$p-n$ одинаковы для одинаковых изоспиновых состояний.

\subsection*{Обменный характер ядерных сил. Мезонная теория}
Для большинства ядер энергия связи, $E\ind{св}\propto A$ ($A$~-- количество
нуклонов в ядре), $V\propto A$. Двухчастичное приближение и учет тензорных сил
не способны объяснить такое поведение спиновых сил.
Для их объяснения необходимо  ввести взаимодействие, препятствующее чрезмерному
сближению частиц, т.е. допустить, что\к ядерные силы обладают свойством
насыщения\н. Любой нуклон притягивает небольшое число соседей и отталкивает
остальные  частицы. Соответствующие силы назвали\ж
обменными\н\index{Обменные силы}. Необменные силы были названы\ж силами
Вигнера\н.

Из обменных сил выделяют:\ж силы Майорана\н (перестановка координат
нуклонов),\ж силы Барлетта\н (перестановка спинов) и силы\ж Гайзенберга\н
(перестановка как координат, так и спинов).

Первой теорией обменных сил является\ж мезонная
теория\н\index{Теория!мезонная}. Согласно гипотезе Юкавы, ядерное
взаимодействие~--- результатобмена нуклонов виртуальными мезонами (квантами
сильного поля). В последствии в космическом излучении были обнаружены\ж
$\mathbf\pi$-мезоны\н (пионы).

У пиона $T=1$, $T_z=0,\pm1$ (соответственно,
выделяют $\pi^+$, $\pi^0$ и~$\pi^-$ пионы). Истинно нейтральной является
$\pi^0$-мезон, $\pi^+$ или $\pi^-$-мезоны~--- античастицы. Спин пионов равен
нулю, четность отрицательна. Масса пиона, $m_\pi\approx270m_e$. Пионы являются
нестабильными частицами, периоды полураспада составляют $\sim10^{-8}\,$с для
$\pi^\pm$-мезонов и $\sim10^{-16}\,$с для $\pi^0$-мезонов.

Возможны следующие виды реакций:
$$p\rightleftarrows p+\pi^0;\quad
n\rightleftarrows n+\pi^0;\quad
p\rightleftarrows n+\pi^+;\quad
n\rightleftarrows p+\pi^-.$$

Мезонная теория предсказала ряд фактов:
\begin{itemize}
	\item существование пионов;
	\item характеристики пионов;
	\item большую величину сечения рассеяния пионов на нуклонах;
	\item многообразие взаимных превращений частиц с участием пионов;
	\item фоторождение пионов: $\gamma+p\to n+\pi^+$.
\end{itemize}

\subsection*{Модели ядер. Обоснование оболочечной модели}
Три вида ядерных моделей:
\begin{itemize}
	\item\ж коллективные\н: ядерная материя, капельная теория, несферическая
	модель;
	\item\ж обобщенные\н: ферми--газ, оболочечные модели (по аналогии с
	оболочечной моделью атома);
	\item\ж одночастичные\н: обобщение сильного и слабого взаимодействий,
	обобщения парных корреляций.
\end{itemize}

Из моделей можно получить\ж полуэмпирическую формулу
Бейцзеккера\н\index{Формула!Бейцзеккера}:
$$E=\alpha_1A-\alpha_2A^{2/3}-\alpha_3Z^2A^{-1/3 } -
\alpha_4\frac{(A-2Z)^2}{A}-\alpha_5A^{-3/4}\delta(A-2Z)+
\Delta mc^2.$$
Член с $\alpha_1$ соответствует постоянству удельной энергии связи,
с~$\alpha_2$~-- поверхностной энергии, с~$\alpha_3$~-- кулоновской энергии,
с~$\alpha_4$~-- эффекту симметрии, с~$\alpha_5$~-- эффекту спаривания; $\Delta
mc^2$~--\ж дефект массы\н\index{Дефект массы} ядра.

В пользу модели ядерных оболочек говорит существование\ж <<магических
чисел>>\н\index{Магическое число}~--- стабильность ядер с количеством
нейтронов, $N$, или протонов, $Z$, равным 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, а также
особая стабильность <<дважды магических>> ядер ($N=Z$ и оба равны одному из
магических чисел).

Было предположено, что нуклоны в ядре квазинезависимы и движутся в усредненном
поле, обладающем центральной симметрией. Их движение подчиняется законам
квантовой механики. Оболочки заполняются в соответствии с принципом Паули, что
и дает значения магических чисел (полностью заполненные оболочки).

Кроме того, эта модель описывает спины, четности и магнитные моменты ядер, в
которых имеется один нуклон сверх заполненных оболочек или недостает одного
нуклона. Но для других ядер предсказания оболочечной модели неоднозначны.

Основной недостаток данной модели: она не может объяснить большие квадрупольные
моменты некоторых ядер (что устраняется в обобщенных моделях).

\subsection*{Одночастичные состояния. Деформация ядер}
В одночастичных моделях предполагается, что нуклоны движутся в
самосогласованном поле остальных нуклонов, либо же (модель ферми--газа) вообще
не взаимодействуют друг с другом.

Говоря о форме ядра, прежде всего имеют в виду форму его самосогласованного
поля. Т.к. $Q_0\ne0$, то форма несферическая (подобна эллипсоиду вращения).

\bf Параметр деформации\н: $\beta=\Delta R/R$, где $R$~-- размер полуоси
симметрии, $\Delta R$~-- разность между большой и малой полуосями симметрии.
Если заряд в ядре распределен равномерно, то $Q_0=\frac45ZR^2\beta$.

Еще одним доказательством несферичности ядер является их <<вращение>>:
существование вращательных полос в энергетических спектрах ядер,
$E_I=\frac{\hbar^2}{2J}I(I+1)$.

Из соображений симметрии следует, что четности всех вращательных состояний
положительны, а спин $I^\eta=0^+,2^+,4^+,\ldots$.

\subsection*{Обобщенная модель}
Обобщенные модели исходят из обобщения коллективных и одиночных моделей.
Ядро~--- сгусток вещества, окруженный несколькими внешними нейтронами.
Поведение ядерного остова определяется одной из коллективных моделей, а
поведение внешних нуклонов~--- самосогласованным полем.
\begin{enumerate}
	\item\к Обобщенная модель со слабым взаимодействием\н. Ядро имеет сплошной
	сферический четно--четный состав, определенный капельной моделью,
	оставшиеся нейтроны совершают независимые движения в поле остова. Слабое
	взаимодействие коллективных и одночастичных степеней свободы.
	\item\к Обобщенная модель с сильным взаимодействием\н.
	Ядро имеет остов, образуемый нуклонами\к заполненных\н оболочек, внешние
	нуклоны интенсивно взаимодействуют с остовом. Эти нуклоны могут вызывать
	колебания остова и его деформацию.
	\item\к Обобщенная модель парных корреляций\н. Эта модель учитывает
	остаточное взаимодействие внешних нуклонов (по типу оболочечной модели
	с парными корреляциями). Данная модель является наиболее современной.
\end{enumerate}







\section{Частицы и взаимодействия}
\subsection*{Фундаментальные взаимодействия. Постоянные и радиусы
взаимодействий}
Все виды взаимодействий считаются обусловленными соответствующими частицами
(реальными или виртуальными): $\pi$-мезонами, фотонами, электронами и нейтрино
(позитронами и антинейтрино), гравитонами. Конечная скорость обменных частиц
обуславливает ненулевое время всех взаимодействий и их инерционность.

\paragraph*{Сильное взаимодействие}\index{Взаимодействие!сильное}
Этот вид взаимодействия обеспечивает ядерные силы, удерживающие нуклоны в ядре.
Т.к. данное взаимодействие наиболее интенсивно, будем считать условно, что его
интенсивность, $I=1$. Радиус взаимодействия, $R\sim10^{-15}\,$м, характерное
время, $\tau\sim10^{-23}\,$с.\ж Характерным временем\н\index{Характерное время}
называется минимальное время жизни частиц, подвергающихся распаду за счет
данного типа взаимодействия, или же отношение характерного радиуса
взаимодействия к скорости~($c$).

Более точно интенсивность сильного взаимодействия в ядре определяется формулой
$\boxed{I=\dfrac{g^2}{\hbar c}}$, где $g$~-- мезонный заряд взаимодействующих
частиц.

Сильное взаимодействие обеспечивается виртуальными $\pi$-мезонами (пионами).

При данном виде взаимодействия выполняются\к законы сохранения\н: заряда,
барионного заряда, энергии, импульса, спина, изоспина и его проекции,
странности и четности.

\paragraph*{Электромагнитное
взаимодействие}\index{Взаимодействие!электромагнитное}
Данное взаимодействие происходит между заряженными частицами. Интенсивность,
$\boxed{I=\dfrac{e^2}{\hbar c}\sim\dfrac1{137}}$, характерное время,
$\tau\sim10^{-20}\,$с, радиус взаимодействия, $R=\infty$.
Взаимодействие обеспечивается виртуальными и реальными фотонами.

При данном взаимодействии выполняются все законы сохранения, кроме сохранения
изоспина, в результате чего возникает различие между массами частиц с равными
проекциями изоспина.

\paragraph*{Слабое взаимодействие}\index{Взаимодействие!слабое}
Данный вид взаимодействия наблюдается при $\beta$-распаде. Интенсивность,
$\boxed{I=\dfrac{f^2}{\hbar c}\sim10^{-12}}$ ($f$~-- лептонный заряд), радиус,
$R\sim10^{-18}\,$м, время, $\tau\sim10^{-13}\,$с. Носителями взаимодействия
являются промежуточные бозоны.

При слабом взаимодействии не выполняются законы сохранения изоспина и его
проекции, странности и честности.

\paragraph*{Сверхслабое (гравитационное)
взаимодействие}\index{Взаимодействие!гравитационное}
Существует между всеми частицами. Интенсивность, $I\sim10^{-38}$, радиус,
$R=\infty$, время неизвестно. Носителями взаимодействия являются гипотетические
частицы~---\ж гравитоны\н\index{Гравитон}, имеющие спин, $s=2$, и нулевой
магнитный момент. Естественно, что столь малая интенсивность данного вида
взаимодействия не играет никакой роли в микромире. Т.о., можно сказать, что
сверхслабое взаимодействие существенно только в макро- и мегамире.

\subsection*{Диаграммы Фейнмана}
Любой процесс взаимодействия можно представить как последовательность
элементарных актов, например, испускание или поглощение виртуальной частицы.

\begin{pict}
$$
\begin{matrix}
\xymatrix{
e^-&&&e^-\\
&\ar@{->}[ul]\ar@{~}[r] &\ar@{->}[ur]\\
e^-\ar@{->}[ur] &&&\ar@1{->}[ul]e^-
}\\
e^-+e^-\to\\
\to e^-+e^-
\end{matrix}\;
\begin{matrix}
\xymatrix{
e^-&&&\gamma\\
&\ar[ul]&\ar[l]\ar@{~}[ur]\\
\gamma\ar@{~}[ur] &&&\ar[ul]e^-\\
}\\
\gamma+e^-\to\\
\to\gamma+e^-
\end{matrix}\;
\begin{matrix}
\xymatrix{
\mu^-&&\mu^+\\
&\ar[ul]\ar@{~}[d]\ar@{~}[ur]\\
&\ar[dr]\\
e^-\ar[ur] &&e^+
}\\
e^-+e^+\to\\
\to\mu^-+\mu^+
\end{matrix}\;
\begin{matrix}
\xymatrix{
e^-&\tilde\nu_e\ar@{-->}[d]&\nu_\mu\\
&\ar[ul]\ar@{-->}[ur]\\
&\mu^-\ar[u]
}\\
\mu^-\to\\
\to e^-+\tilde\nu_e+\nu_\mu.
\end{matrix}
$$
\end{pict}

\bf Правило Фейнмана\н\index{Правило!Фейнмана}: при выбранном
положительном направлении оси времени графики, имеющие то же направление,
отвечают движению частицы, $Q$, а направленные противоположно~--- движению
античастицы, $\tilde Q$. Т.к. фотон тождественен антифотону, он не снабжается
стрелкой, обозначаясь волнистой линией.

Любой процесс, т.о., допускает простое наглядное графическое представление при
помощи\ж диаграмм Фейнмана\н\index{Диаграмма!Фейнмана}. На них линии со
свободным концом обозначают реальные начальные и конечные частицы, а все
внутренние линии~--- виртуальные или промежуточные частицы. Будем считать, что
ось времени направлена снизу вверх. Тогда, получим примеры диаграмм для
электромагнитного и слабого взаимодействия.


\subsection*{Основные характеристики частиц. Квантовые числа}
Характеристики частиц делятся на две группы:\ж геометрические\н, связанные со
свойством пространства--времени, и\ж внутренние\н, отражающие симметрию
фундаментальных взаимодействий.

\begin{description}
\item[Геометрические характеристики.]
	\item[Масса, $m$.]\index{Масса} Чисто динамическая характеристика. Не
	может служить основным классификационным признаком (хотя на заре развития
	квантовой механики частицы делили по массе на лептоны, мезоны и барионы).
	\item[Спин, $I$.]\index{Спин} Собственный момент импульса частицы. Его
	значение однозначно определяет тип статистики для описания поведения
	частицы, а также вид ее волновой функции.
	\item[Пространственная четность, $\eta_P$.]\index{Четность} Определяет
	поведение волновой функции частицы относительно пространственной инверсии.
	Саму частицу характеризует\ж внутренняя\н пространственная четность,
	$\eta_0$ (без влияния момента импульса).
\end{description}

\begin{description}
\item[Внутренние характеристики.]
	\item[Электрический заряд, $q$.]\index{Заряд!электрический} В единицах
	$e$.
	\item[Магнитный момент, $\mu$.]\index{Момент!магнитный} Характеризует
	взаимодействие частицы с внешним ЭМП. $\mu$ связан со спином, $I$, и
	существует лишь при $I\ge1/2$. Имеет динамическое происхождение.
	\item[Лептонный заряд, $L$.]\index{Заряд!лептонный} $L=1$ у лептонов,
	$L=-1$ у антилептонов и $L=0$ 	у прочих частиц. Полный лептонный заряд
	складывается из электронного, мюонного и тауонного зарядов:
	$L=L_e+L_\mu+L_\tau$.
	\item[Барионный заряд, $B$.]\index{Заряд!барионный} Вводится аналогично
	лептонному заряду. Также является аддитивной величиной. Барионный заряд
	атомных ядер называют\ж массовым числом\н\index{Число!массовое}, $A$.
	\item[Изоспин, $T$.]\index{Изоспин} Приписывается изомультиплету и
	определяет число его членов, $N=2T+1$.
	\item[Проекция изоспина, $T_z$.] Различна для членов мультиплета.
	Электрический заряд барионов, $q=T_z+\rev2B$.
	\item[Странность, $S$.]\index{Странность} Вводится, чтобы электрические
	заряды <<странных>> частиц удовлетворяли обобщенному соотношению:
	$q=T_z+\rev2(B+S)$. $S=0$ у обычных частиц, $S=1$ у K-мезонов, $S=-1$
	у $\Lambda$- и $\Sigma$-гиперонов, $S=-2$ у каскадного $\Xi$-гиперона,
	$S=-3$ у $\Omega$-гиперона.
	\item[Гиперзаряд, $Y$.]\index{Гиперзаряд} $Y=B+S$,~\Arr $q=T_z+\rev2Y$.
	Тогда,т.к. $\aver{T_z}=0$, то $Y=2\aver{q}$. Гиперзаряд является более
	удобной величиной, чем странность.
	\item[Очарование, $C$.]\index{Очарование} Введена после открытия
	<<очаровательных>> частиц. $q=T_z+\rev2(B+S+C)$.
	\item[Зарядовая четность, $\eta_c$.]\index{Четность!зарядовая}
	Определяет поведение волновой функции при операции зарядового
	сопряжения, $\hat C$, переводящей волновую функцию частицы в $\psi$
	античастицы: $\hat C\psi=\eta_c\psi$, $\eta_c^2=1$,~\Arr
	$\eta_c=\pm1$. Зарядовой четностью обладают только\ж истинно
	нейтральные\н частицы, тождественные своим античастицам.
	\item[Среднее время жизни, $\tau$.]
\end{description}

\subsection*{Законы сохранения}\index{Закон!сохранения}
\bf Универсальные законы сохранения\н: четырехимпульса (однородность
четырехмерного пространства Минковского), момента импульса (изотропность
пространства) и заряда, помимо электрического, еще и $B$, и $L$,
(инвариантность калибровочных преобразований).

В сильном взаимодействии сохраняется странность (гиперзаряд) и изоспин (в связи
с изоспиновой симметрией).

Электромагнитное взаимодействие не столь симметричное, в нем не сохраняется
изоспин (однако, сохраняется его проекция).

Слабое взаимодействие наименее симметрично. В нем не сохраняются четность,
изоспин и его проекция, спин.

Допустим, теперь, что наблюдается реакция $a+b\to c+d$, где $a$, $b$, $c$
и~$d$~-- некоторые частицы. Если данная реакция протекает, то сохраняются все
законы, соответствующие данному взаимодействию (и обратно, с поправкой на
особенности слабого и сверхслабого взаимодействий). Неизменности законов
сохранения будут соответствовать, в данном случае, и производные реакции,\к в
которых частица с одной стороны отношения будет перенесена в другую, с заменой
на соответствующую античастицу\н. Так, например, реакция комптоновского
рассеяния кванта на электроне, $\gamma+e^-\to\gamma+e^-$, может быть превращена
в реакцию аннигиляции электрона и позитрона: $e^-+e^+\to2\gamma$.

\subsection*{Классификация частиц}
Частицы классифицируются по следующим признакам:
\begin{itemize}
	\item по отношению к слабому взаимодействию:\ж адроны\н (участвуют)
	и\ж аденоны\н (не участвуют);
	\item по времени жизни:\ж стабильные\н и\ж резонансные\н;
	\item по спину:\ж фермионы\н и\ж бозоны\н;
	\item по характеру сильного взаимодействия:\ж изомультиплеты\н;
	\item в соответствии с набором квантовых чисел:\ж частицы\н;
	\item любой частице сопоставляется\ж античастица\н.
\end{itemize}

Элементарные частицы делят на\ж адроны\н\index{Адроны} и\ж фундаментальные\н.
Адроны рассматриваются в качестве составных частиц, а фундаментальные являются
истинно элементарными.
Фундаментальные частицы:\ж кванты\н\index{Кванты} ($\gamma$-квант ЭМП и
$G$-квант гравитационного поля) и\ж лептоны\н\index{Лептоны} (E-лептоны:
$\e^-$ и $\nu_e$; M-лептоны: $\mu^+$ и $\mu_e$; T-лептоны: $\tau^-$ и
$\nu_\tau$).
Адроны делятся на\ж стабильные\н и\ж резонансы\н\index{Резонансы}.
Стабильные адроны:\ж мезоны\н\index{Мезоны} ($\pi$, $\eta$, k, D в
разновидностях ${}^+$, ${}^0$ и ${}^-$) и\ж барионы\н\index{Барионы}
(N-нуклон: протон, p, и нейтрон, n; $\Lambda$-, $\Sigma$-, $\Xi$-, $\Omega$-,
$\Lambda_C$- гипероны).
Резонансы:\ж мезонные\н ($\rho$, $\omega$ и K) и\ж барионные\н ($\Delta$,
$\Sigma^*$ и $\Xi^*$). Резонансы имеют наименьшее время жизни
($\sim10^{-22}\div10^{-23}\,$с), чем больше масса резонанса, тем больше для
него число возможных каналов распада. Время жизни стабильных адронов превышает
(у некоторых~--- незначительно) характерное время сильного взаимодействия.

Современная физика предполагает, что все адроны состоят из фундаментальных
частиц~---\ж кварков\н\index{Кварки}, носящих дробный заряд ($q=-1/3,0,1/3\,$e)
и обладающих всеми характеристиками адронов и некоторыми дополнительными
характеристиками (цвет, запах, странность, очарование, красота). Комбинации
кварков и\ж глюонов\н\index{Глюоны}, посредством которых осуществляется
межкварковое взаимодействие, образуют более тяжелые комплексы~--- адроны.

Согласно уравнениям Дирака, кроме состояний с положительной энергией могут
существовать состояния с энергией отрицательной.\ж Вакуум\н\index{Вакуум}~---
состояние, в котором все уровни $E<0$ заселены электронами, а уровни $E\ge0$
свободны. Если электрону с $E<0$ сообщить энергию $E\ge2m_ec^2$, он перейдет в
состояние с положительной энергией и будет вести себя как электрон с
положительным зарядом~--- позитрон (антиэлектрон).

При встрече частицы с античастицей происходит аннигиляция с выбросом свободной
энергии. Каждая частица имеет соответствующую античастицу.

В сильных ЭМП из вакуума под действием $\gamma$-квантов могут рождаться пары
электрон--позитрон. Аналогично, при аннигиляции электрона и позитрона
происходит выброс $\gamma$-кванта.

\subsection*{Единый принцип взаимодействий}
Схожесть свойств лептонов заставила задуматься о том, не являются ли они
проявлением одних и тех же частиц. Это обстоятельство положило начало\ж теории
электрослабого взаимодействия\н\index{Взаимодействие!электрослабое}: пары
лептон\,--\,соответствующее ему нейтрино рассматриваются как дублетные
представления одних и тех же частиц, различающиеся между собой лишь значением\ж
слабого изоспина\н. Объединение слабого и электромагнитного взаимодействий
возможно при энергиях, превышающих массу промежуточного W-бозона
($\sim80\,$ГэВ)~--- кванта электрослабого поля. Еще одним подтверждением теории
электрослабого взаимодействия является осцилляция нейтрино (за промежуток
времени от рождения и до взаимодействия с какой-либо частицей нейтрино может
изменить свой тип), т.е. взаимное превращение $\nu_e\rightleftarrows\nu_\tau
\rightleftarrows\nu_\mu$.

Помимо лептонов и кварков (фермионов), к истинно фундаментальным частицам
относятся калибровочные бозоны (глюоны, фотоны, промежуточные бозоны)~---
кванты взаимодействий. Кроме того, к этой группе следует отнести гравитон.

Теория, сводящая все виды взаимодействия к одному, и представляющая все частицы
спинорными разновидностями единой квантовой системы (или линейной комбинации
основных квантовых систем), называется\ж теорией Великого
объединения\н\index{Теория!Великого объединения}. Экспериментальное
подтверждение данной теории в лабораторных условиях невозможно ввиду
чрезвычайно высоких уровней энергии, при которых исчезает различие между видами
взаимодействий.

Возможно, что существование различных внутренних квантовых
чисел у элементарных частиц означает более сложную геометрию микромира,
отвечающую большему числу измерений, чем макроскопическая геометрия. Эти идеи
отражены в\ж теории суперструн\н\index{Теория!суперструн}, являющихся аналогами
струн, протянутых в многомерном ($\sim10$) пространстве. Тогда элементарные
частицы являются специфическими возбуждениями суперструн. Считается. что
<<лишние>> измерения не обнаруживают себя в силу компактификации, т.е.
образования замкнутых подпространств с характерными размерами
$\sim10^{-35}\,$м. Пока теория суперструн, равно как и различные варианты
теории Великого объединения, остаются не подкрепленными экспериментальными
данными.

Физика элементарных частиц сложна еще и тем, что свойства пространства--времени
на сверхмалых расстояниях ($\sim10^{-35}\,$м) невозможно предсказать. Здесь
проявляется квантовый характер пространства--времени (не определено, возможно
ли существование областей с размерами, меньшими кванту
пространства--времени~--- фундаментальной длины). Кроме того, на таких
расстояниях возможна флуктуация метрики за счет квантовых гравитационных
эффектов. Таким образом, для построения теории Великого объединения скорее
всего, необходимо исследовать взаимодействие сверхмалых частиц, имеющих
значительные массы, на расстояниях пора фундаментальной длины, когда
интенсивность гравитационного взаимодействия становится сравнима с
интенсивностью сильного взаимодействия.

\input{adddd/75}

\section{Сильные и слабые взаимодействия}
\subsection*{Классификация адронов}
Количество адронов достигает нескольких сотен, подавляющее большинство из
них~--- резонансы. У адронов обнаружена электромагнитная структура. Это
вынудило искать руководящие принципы, упорядочивающие классификацию адронов.

Основные адроны:
\begin{itemize}
	\item нуклоны, $S=0$, $T=3/2$;
	\item $\Delta$-гиперон, $S=0$, $T=3/2$;
	\item $\Lambda$-гиперон, $S=-1$, $T=0$;
	\item $\Sigma$-гиперон, $S=-1$, $T=1$;
	\item $\Xi$-гиперон, $S=-2$, $T=1/2$;
	\item $\Omega$-гиперон, $S=-3$, $T=0$.
\end{itemize}

Мезоны ($\pi$, $\eta$, $k$, $D$) имеют несколько меньшую, по сравнению с
гиперонами, массу.

\subsection*{Супермультиплеты. Кварки}
Если на плоскости $T_z-S(Y)$ разместить адроны в виде точек, проявятся
симметричные группы~---\ж супермультиплеты\н\index{Супермультиплеты}
размерностью 1, 8 и~10.
Такие диаграммы называют\ж весовыми\н\index{Диаграмма!весовая}.

\begin{pict}
\small
$$\xymatrix{
&&&&&\\
&&&&&\\
&&&&&\\
&n&\ar[u]_Y&p&&\\
&&&&&\\
\Sigma^-\ar@{.}'[uur]'[uurrr]|{+1}'[rrrr]
\ar@{.}'[ddr]'[ddrrr]|{-1}'[rrrr]&&0\ar@{-}[uu]\ar@{-}[dd]\ar@{-}[ll]
\ar@{-}[rr]&&
\Sigma^+\ar[r]^{T_z}&\\
&&&&&\\
&\Xi^-&&\Xi^0&&\\
}\hspace*{-2cm}
\xymatrix{
&&&&&&\\
\Delta^-\ar@{.}[rr]\ar@{.}[rdd]&&\Delta^0\ar@{.}[r]&1\ar@{.}[r]\ar[u]
_Y&\Delta^+\ar@{.}[rr] &&
\Delta^{++}\ar@{.}[ldd]\\
&&&&&&\\
{}_{-3/2}\ar@{-}[r]&\Sigma^{*-}\ar@{-}[rr]\ar@{.}[rdd]&&\;\Sigma^{*0}\!\!
\ar@{-}[rr]\ar@{-}[uu]\ar@{-}[dd]&&\Sigma^{*+}\ar[r]^{T_z}\ar@{.}[ldd]&\\
&&&&&&\\
&&\Xi^-\ar@{.}[rdd]&-1\ar@{-}[dd]&\Xi^{*0}\ar@{.}[ldd]&&\\
&&&&&&\\
&&&\;\Omega^-\!\!&&&\\
}$$
\caption{Весовые диаграммы}
\end{pict}

Для объяснения супермультипликативности адронов были предложены новые
фундаментальные частицы:\ж кварки\н\index{Кварки}. Вначале ввели три кварка:
u~--- верхний ($Y=1/3$, $T=1/2$), d~--- нижний ($Y=1/3$, $T=-1/2$) и s~
--- странный ($Y=-2/3$, $T=0$, $S=1$). Спин кварков, $I=1/2$, четность,
$\eta_p=+1$, бозонный заряд, $B=1/3$, для всех кварков.
Например, нейтрон состоит из одного u- и двух d-кварков: $n=udd$; $p=uud$,
$\Lambda^0=uds$ и т.д. Однако, три таких кварка не позволили объяснить состояния
с одинаковыми спинами, например, $\Omega^-=sss$, поэтому ввели понятие\ж
цвета\н\index{Цвет кварков}: R, G, B. Антикварки, соответственно,
обладают антицветами: \~R, \~G и \~B.
Кроме цвета ввели ограничение: т.к. все адроны~--- белые, составляющие их
кварки должны в сумме давать <<белый>> цвет (т.е. R+G+B или кварк + антикварк).
Сами кварки стали рассматриваться как одна и та же частица с разным значением
квантового числа\ж аромата\н\index{Аромат кварков}.

В последствии выяснилось, что трех кварков <<не хватает>>: был введен четвертый
кварк: c~--- очарование ($I=1/2$, $\eta_p=1$, $B=1/3$, $T=0$, $S=0$, $C=1$,
$Y=B+S+C=4/3$). Затем ввели кварк b~--- красота с новым квантовым числом,
$b=1$, $Y=B+S+C-b=-2/3$. Далее последовал кварк t~--- правда с новым квантовым
числом, $t=1$. В свободном виде кварки не наблюдались.

Для объяснения межкваркового взаимодействия были введены частицы~---\ж
глюоны\н\index{Глюоны}, передающие цвет от кварка к кварку.

Итак, согласно кварковой теории, барионы состоят из трех кварков, мезоны~--- из
кварка и антикварка. В свою очередь, кварки <<конструируют>> из других частиц
(например, хромоны: R, G и B; флэйвоны: $\alpha$ и $\kappa$; фамилоны: $f_I$,
$f_{II}$, $f_{III}$ и пр.). Несмотря на чисто гипотетический характер,
кварковая теория позволила предсказывать новые, впоследствии обнаруженные,
элементарные частицы.

Частицы, с очарованием ($C$), отличным от  нуля, называются\к очарованными\н.
Очарование подобно странности сохраняется при сильных и электромагнитных
взаимодействиях, но не сохраняется при слабых. Распады очарованных адронов
происходит за счет слабого взаимодействия. При этом очарование меняется на
единицу. Однако, в некоторых случаях при распадах частиц с $C=0$ могут
возникать очарованные частицы. В этом случае частицы-прообразы называют
частицами со скрытым очарованием (например, $J/\psi$-мезон, состоящий из кварка
c и антикварка \~c). По своей структуре квантовая система c\~c (\it
чармоний\н) напоминает атом водорода, однако, в отличие от последнего, ее
различные возбужденные состояния условились считать различными частицами.

Веским  аргументом в пользу кварковой модели адронов явились опыты по прямому
просвечиванию адронов высокоэнергетическими электронами. Происходящий при этом
процесс (\it глубоконеупругое рассеяние\н) показал, что внутри адронов
электроны рассеиваются на частицах с зарядами $+2/3$ и $-1/3$ и полуцелым
спином. О конечных размерах кварков эти опыты ничего не говорят. Однако,
возможно, что и кварки не являются истинно элементарными частицами.
<<Заключение>> кварков внутри адронов (т.е. отсутствие возможности
существования отдельных свободных кварков) подтверждает эту теорию, т.к.
согласно современной квантовой теории, при получении дополнительной энергии
кварк преобразуется в систему кварк--антикварк, т.е. в новый мезон. Еще одной
теорией неосуществимости получения свободных кварков является теория, согласно
которой межкварковые взаимодействия являются дальнодействующими, т.е. для
отделения их друг от друга требуются сверхбольшие (в идеале~--- бесконечные)
энергии (чему, отчасти, соответствует гипотеза существования кварковых звезд).
До сих пор единственной лабораторией, позволяющей исследовать взаимодействия
частиц при сверхвысоких энергиях является окружающий нас макрокосмос, и поэтому
проблемы наблюдения сильно удаленных объектов все еще не позволяют нам сколь
нибудь конкретно доказать или опровергнуть теории квантовой хромодинамики и
других теорий сверхинтенсивных взаимодействий.

\subsection*{Лептоны}\index{Лептоны}
Все лептоны являются фермионами, т.е. обладают полуцелым спином. Лептонам
приписывается лептонный заряд, $L=1$,  антилептонам~--- $L=-1$. Полный
лептонный заряд складывается из частичных: $L=L_e+L_\mu+L_\tau$. Лептоны
разделяют на три дублета: электронный (электрон, позитрон, электронные нейтрино
и антинейтрино), мюонный и таонный. Взаимное превращение лептонов
осуществляется под воздействием слабого взаимодействия. Так, например,
$\mu^+\to e^++\nu_e+\nu_\mu$, $\mu^-\to e^-+\nu_\mu+\tilde\nu_e$.

\subsection*{Слабые и электрослабые взаимодействия}
\paragraph*{Промежуточные бозоны.}
Согласно теории электрослабого взаимодействия, электромагнитное и слабое
взаимодействия являются частями одного целого взаимодействия. Переносчиками
этого вида взаимодействия являются\ж промежуточные
бозоны\н\index{Промежуточные бозоны}. До своего открытия промежуточные бозоны
были предсказаны экспериментально.
Каждый промежуточный бозон может распадаться на лептон и соответствующее
нейтрино, например, $W^+\to e^++\nu_e$ или $W^+\to \mu^++\nu_\mu$. Являясь
переносчиками электрослабого взаимодействия, промежуточные бозоны участвуют,
например, и в $\beta$-распаде: $n\to p+W^-\to p+e^-+\tilde\nu_e$.

\paragraph{Законы сохранения.}\index{Взаимодействие!слабое}
Т.к. слабое взаимодействие является сильно несимметричным, при нем выполняются
только универсальные законы сохранения: четырехимпульса, момента импульса,
заряда (в т.ч. барионного и лептонного зарядов). При этом выполняется
ограничение на суммарное изменение спина: $|\Delta S|\le1$.

Воспользовавшись законами сохранения, можно, например, определить каналы
распада мюона:
\begin{enumerate}
	\item т.к. $\mu^-$~--- лептон, он распадается под воздействием слабого
	взаимодействия;
	\item закон сохранения заряда: $\mu^-\to e^-+\cdots$;
	\item закон сохранения электронного лептонного заряда:
	$\mu^-\to e^-+\tilde\nu_e+\cdots$;
	\item закон сохранения мюонного лептонного заряда:
	$\mu^-\to e^-+\tilde\nu_e+\nu_\mu$;
	\item законы сохранения не запрещают и такие каналы, как:
	$\mu^-\to e^-+\tilde\nu_e+\nu_\mu+\gamma$,
	$\mu^-\to \tilde e^-+\tilde\nu_e+\nu_\mu+e^-+e^+$, однако,
	согласно правилу <<алгебры реакций>>, наибольшую вероятность будет
	иметь реакция с наименьшим числом частиц.
\end{enumerate}

\paragraph*{Взаимодействие нейтрино с веществом.}\index{Нейтрино}
Нейтрино были <<изобретены>> для того, чтобы удовлетворить законам сохранения
при $\beta$-распаде. Затем они были обнаружены с помощью реакций K-захвата,
$\tilde\nu +p\to n+e^+$, в сцинтилляторе с раствором $Cd\,Cl$ в воде.

Нейтрино обладают\ж спиральностью\н, $\vec s\cdot\vec p$, где $\vec p$~--
импульс. Спиральность позволила предположить, что если нейтрино~--- частицы с
нулевой массой, спиральность является их внутренним свойством, однако, если
масса нейтрино ненулевая, в разных СК спиральность должна быть разная.
Проведенные опыты позволили определить массу нейтрино, составившую у $\nu_e$
около 30\,эВ.

Спиральность нейтрино правовинтовая, у антинейтрино~--- левовинтовая. Из-за
крайне малого сечения реакций взаимодействия нейтрино с веществом требуются
установки с огромным количеством реагента для обнаружения одного--двух нейтрино
в час. Нейтринные телескопы представляют собой камеры, заполненные реагентом
(например, хлоридом кадмия), и расположенные глубоко под землей для исключения
влияния космических частиц. Камера окружена сцинтилляционными счетчиками,
регистрирующими возникающие в результате K-захвата частицы. Помимо электронных
нейтрино, $\nu_e$, были открыты таонное, $\mu_\tau$, и мюонное, $\nu_\mu$.
Опыты показали, что нейтрино~--- проявления одной и той же частицы (за время
своей жизни нейтрино осциллирует, т.е. испущенное в результате реакции мюонное
нейтрино через некоторое время становится мюонным, затем, например, таонным и
т.д.).

\paragraph*{Электрослабое взаимодействие.}\index{Взаимодействие!электрослабое}
Общие черты электромагнитного и слабого взаимодействия:
\begin{itemize}
	\item ЭМ взаимодействие осуществляется посредством фотонов, слабое~---
	посредством промежуточных бозонов;
	\item ЭМ ток является четырехвектором, так же как и слабый ток (поток
	комплексов $e^-\nu_e$, $\mu\nu_\mu$, $\tau\nu_\tau$);
	\item ЭМ и слабое взаимодействия универсальны, их интенсивность
	полностью определяется электрическим и лептонным зарядами.
\end{itemize}

Различия данных взаимодействий:
\begin{itemize}
	\item радиус ЭМ взаимодействия, $R=\infty$, у слабого взаимодействия
	$R\sim10^{-18}\,$м, $m_\gamma=0$, $m\ind{бозона}>0$;
	\item из-за большой массы бозонов к слабым взаимодействиям невозможно
	применить теорию возмущений;
	\item ЭМ взаимодействие сохраняет все квантовые числа, кроме $T$,
	слабое не сохраняет даже четность.
\end{itemize}

Однако, с точки зрения квантовой физики, различия взаимодействий проявляются в
большей степени лишь на больших расстояниях, на расстояниях порядка
характерного размера адрона и меньше данные взаимодействия проявляют себя
одинаково. Наиболее успешной теорией электрослабого взаимодействия является
теория\ж Вейнберга\н и\ж Салама\н. Переносчиками электрослабого взаимодействия
являются промежуточные бозоны: $W^+$, $W^-$ и $Z^0$.

\section{Нуклеосинтез}
\input{adddd/79}

\section{Взаимодействие частиц с веществом}
\input{adddd/80}
\input{adddd/81}
\input{adddd/82}