%\thispagestyle{empty}
%\chapter{Колебания и волны}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Колебательное движение}
\index{Колебания|(textbf}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Собственные одномерные колебания. Гармонические колебания}
\bf Колебания\н\index{Колебания}~--- процессы, в той или иной степени
повторяющиеся во времени (механические, электромагнитные, электромеханические).\ж
Свободные\н (собственные) колебания\index{Колебания!свободные}~--- колебания,
происходящие в отсутствие переменных внешних воздействий и возникающие вследствие
отклонения системы от положения равновесия.\ж Периодические\н колебания~---
колебания, происходящие с повторением всех характеризующих систему величин
через определенные равные промежутки времени $T$.\ж Гармонические\н
колебания\index{Колебания!гармонические}~--- подчиняющиеся гармоническому
закону $S(t)=A\sin(\omega t+\phi_0)$.

Одномерным называется движение с одной степенью свободы. Если точка
движется в одномерной потенциальной яме, ее движение является
финитным, причем\к одномерное финитное движение является колебательным\н.

Рассмотрим случай, когда на точку действует квазиупругая сила
$F=-kx$, возвращающая ее в положение равновесия. Тогда $m\ddot x+kx=0$~\Arr
$x=\C_1\cos\omega_0t+\C_2\sin\omega_0t$, $\omega_0=\sqrt{k/m}$.

Пусть $\C_1=A\sin\alpha$, $\C_2=A\cos\alpha$, получим\ж уравнение
колебания\н гармонического осциллятора (ГО)\index{Уравнение!колебаний!гармонического осциллятора}:
$\boxed{x=A\sin(\omega_0t+\alpha)}\,$.

Фазовой траекторией ГО является\ж эллипс\н:
$$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}2;\quad\frac{p^2}{2mE}+\frac{x^2}{2E/k}=1\quad\Arr
\quad \frac{p^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1.$$
Полуоси эллипса равны $a=\sqrt{2mE}$, $b=\sqrt{2E/k}$.
Площадь эллипса: $\pi ab=2\pi E/\omega_0=E/\nu$~--- функция энергии
и частоты системы.

Гармонические колебания удобно изображать графически:\ж метод
векторных диаграмм\н\index{Диаграмма!векторная}. Введем на плоскости
$XOY$ вектор $\vec A$, составляющий с осью $OX$ угол $\phi=\omega t+\phi_0$
(фаза в данный момент времени), модуль которого равен амплитуде колебаний.
Тогда $A_y=S=A\sin(\omega t+\phi_0)$. Т.е. колебания $S$ можно
рассматривать как колебания проекции $A_y$ вектора,
вращающегося против часовой стрелки в плоскости $XOY$ с угловой
скоростью $\omega$.

\subsection*{Сложение гармонических колебаний}
\bf Сложение колебаний\н~--- это нахождение
закона результирующих колебаний системы в случаях, когда она одновременно
участвует в нескольких колебательных процессах.

В сложении колебаний интересны два предельных случая: одинаково
направленные колебания и взаимно перпендикулярные колебания.

\subsubsection*{Сложение одинаково направленных колебаний}
\float{O}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Sum_kol}}
Пусть $S_1=A_1\sin(\omega_1t+\phi_1)$, $S_2=A_2\sin(\omega_2t+\phi_2)$,
$S=S_1+S_2=A(t)\sin\Phi(t)$. Пусть $\Phi_i=\omega_it+\phi_i$, $i=\overline{1,2}$.
Рассмотрим сумму на фазовой диаграмме: $\vec A(t)=\vec A_1(t)+\vec A_2(t)$.
По теореме косинусов, $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Phi_2-\Phi_1)$.
Тогда $$\tg\Phi=\frac{A_1\sin\Phi_1+A_2\sin\Phi_2}{A_1\cos\Phi_1+A_2\cos\Phi_2}.$$

\bf Когерентными\н\index{Колебания!когерентные} называют такие колебания,
у которых $\dfrac{d}{dt}(\Phi_2-\Phi_1)\equiv0$, т.е. у них
должны быть равными собственные частоты $\omega_1=\omega_2=\omega$.~\Arr
$$S=A\sin(\omega t+\phi_0),$$ где $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\phi_2-\phi_1)$,
$\tg\phi_0=\dfrac{A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2}$.

Видно, что в зависимости от сдвига фаз $\Delta\phi$:
$$A=\{|A_1-A_2|,\;\Delta\phi=\pm(2m+1)\pi;\quad A_1+A_2,\;\Delta\phi=\pm2\pi m\}.$$

\bf Некогерентные\н колебания можно приближенно считать когерентными лишь в
течение промежутков времени, за которые $\Delta\Phi$ не успевает значительно
измениться: $|\omega_1-\omega_2|\Delta t\ll2\pi$,
или $\Delta t\ll\tau\ind{ког}$, где $\tau\ind{ког}=\dfrac{2\pi}{|\omega_2-\omega_1|}$~--\ж
время когерентности\н\index{Время!когерентности}.

\subsubsection*{Биения}
Если $|\omega_1-\omega_2|\ll\omega_1$, наблюдаются\ж биения\н\index{Биения}.

\begin{pict}
\includegraphics[width=12cm]{pic/Bienie}
\end{pict}
Начнем отсчитывать время от момента $\phi_1=\phi_2=\phi_0$:
$S_1=A_1\sin(\omega_1t+\phi_0)$, $S_2=A_2\sin(\omega_2t+\phi_0)=
A_2\sin(\omega_1t+\phi_0+\phi(t))$, где $\phi(t)=(\omega_2-\omega_1)t$.

В этом случае $S=A(t)\sin(\omega_1t+\phi_0+\psi(t))$, где
$A^2(t)=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\phi(t)$, $\tg\psi(t)=\dfrac{A_2\sin\phi(t)}{A_1+A_2\cos\phi(t)}$
($\psi$~-- угол между векторами $A_1$ и $A_2$).

В частности, при $A_1=A_2=A_0$: $A(t)=2A_0\cos\dfrac{\omega_2-\omega_1}2t$;
$\psi(t)=\dfrac{\omega_2-\omega_1}2t$. Так что
$$S=2A_0\cos\left(\frac{\omega_2-\omega_1}2t\right)\sin\left(
\frac{\omega_2-\omega_1}2t+\phi_0\right).$$

$A(t)$ изменяется от $|A_2-A_1|$ до $A_1+A_2$ с частотой
$\Omega=|\omega_2-\omega_1|$~---\ж циклическая частота
биений\н\index{Частота!биений}.
Т.к. $\Omega\ll\omega$, то $A$ условно называют\ж амплитудой биений\н.
Период биений: $T=2\pi/\Omega=(|T_2^{-1}-T_1^{-1}|^{-1})$,
частота биений $\nu=|\nu_2-\nu_1|$.

\paragraph{Гармонический анализ}\index{Гармонический анализ}
Любое сложное периодическое колебание можно представить в виде
разложения в ряд Фурье\index{Ряд Фурье} с основной циклической частотой
$\omega$:
$$S(t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(n\omega t+\phi_n),
\quad\text{ или }\quad
S(t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t);$$
$$a_n=\frac2{T}\Int_{-T/2}^{T/2}S\cos n\omega t\,dt,\qquad
b_n=\frac2{T}\Int_{-T/2}^{T/2}S\sin n\omega t\,dt.$$

Негармонические же колебания можно представить в виде интеграла
Фурье\index{Интеграл!Фурье}:
$$S\Int_{-\infty}^{\infty}(A(t)\cos\omega t+B(t)\sin\omega t)d\omega.$$

\subsubsection*{Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу}
Рассмотрим два перпендикулярных колебания $x=A_1\sin(\omega t+\phi_1)$
и $y=A_2\sin(\omega t+\phi_2)$.
Их траектория~--- эллипс, причем колеблющаяся точка описывает его
за период $T=2\pi/\omega$. Данный вид колебаний является\ж эллиптически
поляризованным\н\index{Колебания!поляризованные}. Траектория
колебаний в общем случае описывается уравнением\index{Уравнение!колебаний!перпендикулярных}:
$$\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1A_2}\cos(\phi_2-\phi_1)=
\sin^2(\phi_2-\phi_1).$$

Если $\phi_2-\phi_1=\dfrac{2m+1}2\,\pi$, то уравнение колебаний
примет вид $\dfrac{x^2}{A_1^2}+\dfrac{y^2}{A_2^2}=1$, т.е. размеры
его полуосей равны амплитудам импульсов.

Если же $\phi_2-\phi_1=m\pi$, то эллипс вырождается в отрезок:
$y=(-1)^m\,\dfrac{A_1}{A_2}\,x$.

Пусть теперь $\omega_1=p\omega$, $\omega_2=q\omega$, где $p$ и $q$~---
целые числа. Тогда траекторией колебаний будет замкнутая кривая, форма
которой зависит от отношения $p/q$~---\ж фигуры Лиссажу\н\index{Фигуры Лиссажу}.
Значения координат повторяются через равные промежутки времени $T_0$,
являющиеся наименьшим общим кратным периодов $T_1=\dfrac{2\pi}{p\omega}$
и $T_2=\dfrac{2\pi}{q\omega}$.

Отношение $p/q$ равно отношению числа касаний соответствующей фигуры
Лиссажу со сторонами прямоугольника, в которую она вписана,
параллельными осям $x$ и $y$ соответственно.
\begin{pict}
\includegraphics[height=4cm]{pic/Lissazhu1}\hfil
\includegraphics[height=4cm]{pic/Lissazhu2}\hfil
\includegraphics[height=3.5cm]{pic/Lissazhu3}
\end{pict}

\subsection*{Затухающие колебания}
\subsubsection*{Колебания под действием потенциальных сил}
Рассмотрим потенциальную обобщенную силу $Q(q)$, действующую на осциллятор.
Т.к. действующая сила $\vec F$~--- потенциальная, то $\vec F=-\grad U$, и
в положении равновесия $q=q_0$, $Q=-\partder{U}{q}=0$. Если равновесие
устойчивое,
то $\dpartder{U}{q}>0$. Пусть $U(q)=U(q_0+x)$.

Разложим $U(q)$ в ряд Тейлора:
$$U(q_0+x)=U(q_0)+\when{\partder{U}{q}}{q=q_0}\cdot x+
\rev2\when{\dpartder{U}{q}}{q=q_0}\cdot x^2+\cdots\;;
\qquad U(q_0)=0,\quad\when{\partder{U}{q}}{q=q_0}=0.$$
Пренебрежем членами выше $x^2$, тогда
$$U(q_0+x)\approx\rev2\when{\dpartder{U}{q}}{q=q_0}\cdot x^2;\qquad
\when{\dpartder{U}{q}}{q=q_0}=k>0\quad\Arr\quad
U(q_0+x)=\frac{kx^2}2,\quad q=kx.$$
Таким образом, получили частоту колебаний:
$\omega_0=\sqrt{k/m}$.

\subsubsection*{Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания}\index{Колебания!затухающие}
Если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе
физические свойства системы, не изменяются со временем, такая система
называется\ж линейной\н\index{Система!линейная}. Будем рассматривать для
простоты именно линейные системы.

Пусть на систему действует сила вязкого трения, пропорциональная $\dot x$:
$F\ind{тр}=-\gamma\dot x$. Тогда колебания системы будут описываться
уравнением\index{Уравнение!колебаний!затухающих}
$$\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0,$$
где $2\beta=\gamma/m$, $\omega_0^2=k/m$ (считаем, что систему приводит
в колебание квазиупругая сила $F\ind{упр}=-kx$).

Решением уравнения движения является функция $x=A\e^{s_1t}+B\e^{s_2t}$,
где $s_{1,2}$~--- корни уравнения $s^2+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0$,
для которого дискриминант $D_1=\beta^2-\omega_0^2$. Следовательно,
вид колебаний зависит от соотношения $\omega_0$ и $\beta$.
Возможны три варианта:
\begin{enumerate}
\item $\beta<\omega_0$. В этом случае затухание невелико. $s=-\beta\pm i\omega$,
    где $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$~---\ж условная
частота\н
    затухающих колебаний. Колебания имеют вид:
    $$X=x_0\e^{-\beta t}\sin(\omega t+\phi_0).$$
    Период колебаний: $T=2\pi/\omega=2\pi(\omega_0^2-\beta^2)^{-1/2}$,
    $X=x_0\e^{-\beta t}$~--- амплитуда затухающих колебаний.\ж

    Логарифмический декремент затухания\н\index{Декремент затухания!
логарифмический}:
    $\delta=\ln X(t)-\ln X(t+T)=\beta T=T/\tau=1/N$,
    где $N$~--- число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшилась в е раз,
    $\tau=\beta^{-1}$~---\ж время релаксации\н\index{Время!релаксации}.
    $\omega=2\pi\beta/\delta$.\ж

    Добротность\н\index{Колебания!добротность} колебательной системы
    является функцией ее энергии $W(t)$:
    $Q=2\pi W(t)[W(t)-W((t+T)]^{-1}$. Т.к. $W\propto X^2$,
    получим:
    $$Q=\frac{2\pi}{1-\e^{2\beta t}}=\frac{2\pi}{1-\e^{-2\delta}},$$
    при малых $\delta$ $Q=\pi/\delta=\omega_0/(2\beta)=\gamma^{-1}\sqrt{km}$.
\item $\beta=\omega_0$. Условный период, $T=\infty$, $\omega=0$. Колебания
    чисто экспоненциальные: $X=x_0\e^{-\beta t}$.
\item $\beta>\omega_0$: $X=A\e^{-\alpha_1 t}+B\e^{-\alpha_2 t}$, $\alpha_{1,2}=
    \beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$. Колебание в данном случае будет\ж
    апериодическим\н\index{Колебания!апериодические}.
\end{enumerate}
% \begin{pict}
% \includegraphics[height=4cm]{pic/Kolebaniya}
% \end{pict}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Вынужденные колебания}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Установление вынужденных колебаний. Амплитудные и фазовые траектории}

Пусть на систему действует сила $F(t)$ и $F_x(t)$~--- ее проекция на
прямую, вдоль которой происходят колебания. Тогда в общем случае
$$\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=\rev mF_x(t).$$

Общее решение данного уравнения ищем в виде $x=x_1(t)+x_2(t)$,
где $x_2$~--- одно из частных решений неоднородного уравнения,
$x_1$~--- решение однородного уравнения $\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0$.
$x_1=x_0\e^{-\beta t}\sin(\omega t+\phi_0)$, $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$.

За время релаксации $\tau$ амплитуда уменьшится в е раз, еще
через некоторое время она будет пренебрежимо мала, следовательно,
при $t\to\infty$ система совершает колебания, обусловленные только
составляющей $x_2(t)$. Он переходит в\ж состояние установившихся
вынужденных колебаний\н\index{Колебания!вынужденные}
с частотой вынуждающей силы.

Пусть $F_x=f_0\cos\Omega t$, тогда $x=A\cos(\Omega t+\phi_0)$.
Решая уравнение движения, получим:
$\tg\phi_0=-\dfrac{2\beta\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}$~---\ж сдвиг фаз\н
между колебаниями и вынуждающей силой;
$A=f_0[m^2(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2]^{-1/2}$~---
амплитуда вынужденных колебаний.

\subsection*{Резонанс}

Пусть $\beta=0$. Тогда $A=f_0[m|\omega_0^2-\Omega^2|]^{-1}$.
При $\omega_0=\Omega$, $A\to\infty$~--- наблюдается\ж
резонанс\н\index{Резонанс}.

При резонансе фаза $\phi_0$ испытывает скачек.

Теперь пусть $\beta\ne0$. Найдем резонансную частоту из условия
$\partder{A}{\Omega}=0$: $\boxed{\Omega\ind{Рез}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}}$.
При этом $A=f_0[2m\beta\Omega\ind{Рез}]^{-1}$.

\begin{pict}
\includegraphics[width=\textwidth]{pic/Rezona}
%\includegraphics[height=4cm]{pic/Rezona2}
\end{pict}
Пусть $A_0\equiv A(\omega_0)$. Тогда получим, что $A_0<A\ind{рез}$.
С ростом сопротивления $\beta$ максимальная амплитуда уменьшается и
смещается влево:
$$\frac{A\ind{рез}}{A_0}=\frac{\omega_0}{\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}}=
\rev{\sqrt{1-\rev{2Q^2}}}.$$

\subsection*{Параметрическое возбуждение. Автоколебания}
\bf Автоколебательная система\н\index{Система!автоколебательная}~---
генератор незатухающих колебаний. Состоит из источника энергии и
колебательного контура, периодически подпитывающегося от источника.
Для поддержания колебаний не требуется внешних воздействий.
Автоколебания начинаются самопроизвольно под воздействием
флуктуаций.

\bf Параметрический резонанс\н\index{Резонанс!параметрический}
наблюдается при изменении параметров системы так, что частота
внешних воздействий $\omega\ind{Внеш}=2\omega_0$.

Подвесим маятник на блок и будем поднимать его в среднем
положении и опускать в крайних. Тогда по ЗСМИ МИ в среднем
положении маятника будет сохраняться, следовательно, при
поднятии маятник будет двигаться с большей скоростью и
отклоняться на больший угол. Опуская его в крайних положениях
мы не уменьшаем амплитуды колебаний (в этих положениях
$L=0$), но уменьшаем потенциальную энергию маятника,
что приводит к увеличению энергии колебательного движения.

Аналогично можно доказать, что если таким же образом изменять
длину подвеса маятника, находящегося в состоянии покоя,
причем соблюдать условие $\omega\ind{Внеш}=2\omega_0$,
за счет флуктуаций положения маятника он придет в колебательное
движение.
\index{Колебания|)textbf}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Волны в сплошной среде и элементы акустики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Волны. Распространение колебаний давления и плотности в среде}
\index{Волны|(textbf}
Процесс распространения колебаний в пространстве называется\ж
волной\н. Если в каком-либо месте упругой среды возбудить
колебания частиц, либо изменить ее плотность, то вследствие
взаимодействия между частицами это возмущение будет распространяться в
среде от частицы к частице с некоторой скоростью $c$.

Если, например, на одном из концов металлического стержня создать
деформацию сжатия или растяжения (ударив молотком по торцу или
резко оттянув его), то из-за взаимодействия атомов решетки
между собой граница возмущения начнет двигаться к
противоположному концу стержня.

Это явление легко обобщить на случай действия переменной силы
$\vec F$ с периодом $T$ и частотой $\nu$.

\subsection*{Длина волны, период, фаза и скорость волны}
Если на тело действует переменная сила $\vec F$, изменяющаяся по
гармоническому закону, в нем будут распространяться волны с\ж
периодом\н\index{Период волны} $T_0$, равным периоду
действующей силы и\ж частотой\н\index{Частота!волны},
равной частоте этой силы.

\bf Длина волны\н\index{Длина!волны} есть расстояние, на которое
распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц в
среде. Таким образом, $\boxed{\lambda=cT}$, где $c$~--- скорость
распространения колебаний.

Определим $c$. Пусть $m$~-- масса деформируемой части среды в момент
времени $t$, $v$~-- скорость движения частиц. Тогда $d(mv)=F\,dt$. Т.к.
за время $t$ возмущение проходит путь $l=ct$, то $m=\rho Sct$, где
$\rho$~-- плотность среды, $S$~-- поперечное сечение стержня;
$p=FS$~-- давление в возмущенной области, следовательно,
$d(\rho Sctv)=pS\,dt$~\Arr $\boxed{p=\rho cv}$.

Давление связано с относительным сжатием стержня $\epsilon=\Delta l/l$
соотношением $p=E\epsilon$, где $E$~--\ж модуль Юнга\н\index{Модуль Юнга}.
Рассмотрим случай $v\ll c$ (малые возмущения). К моменту $t$ удлинение
$\Delta l=vt$, т.к. невозмущенная часть стержня покоится, а
возмущенная двигалась со скоростью $v$~\Arr $\epsilon=v/c$~\Arr
$$\left\{
\begin{aligned}
p&=Ev/c,\\
p&=\rho cv;
\end{aligned}\right.\qquad
\Arr\qquad
\boxed{c=\sqrt{E/\rho}}.$$

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости $x=0$, имеют вид
$A=a\cos(\omega t+\alpha)$, где $\omega$~-- частота колебаний,
$\alpha$~-- величина, зависящая от $x$. Выражение $\phi=\omega t+\alpha$
называется\ж фазой волны\н\index{Фаза!волны}.

В точке $x\ne0$ колебания имеют вид: $A=a\cos(\omega[t-\tau]+\alpha)$,
где $\tau$~-- время, на которое колебания в точке с координатой $x$
отстают от колебаний в начале координат.
$\tau=x/c$~\Arr $A=a\cos(\omega[t-x/c]+\alpha)$~---\ж
уравнение плоской волны\н\index{Уравнение!плоской волны}.

Зафиксируем фазу: $\omega(t-x/c)=\const$ и предположим,
что $dt-dx/c=0$. Тогда $dx/dt=c$. Т.о., скорость перемещения
волны совпадает с ее\ж фазовой скоростью\н\index{Скорость!фазовая}
(скоростью перемещения фазы).

Пусть $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$~---\ж волновое число\н\index{Число!волновое}
($k=\omega/c$), тогда уравнение волны можно записать в виде
$A=a\cos(\omega t-kx+\alpha)$.

\subsection*{Продольные и поперечные волны в среде}
Рассмотрим примитивную 1-мерную цепочку связанных шариков.
Если колебание будет распространяться только вдоль цепочки в
виде сгущений и разрежений, его называют\ж продольной волной\н\index{Волна!продольная}.
Если же направление колебаний перпендикулярно направлению распространения
волны, ее называют\ж поперечной\н\index{Волна!поперечная}.

В общем случае распространения волны в сплошной среде имеются
как продольная, так и поперечная составляющие.

Для поперечной волны $c_\parallel=\sqrt{E'/\rho}$, где $E'$~--
модуль одностороннего сжатия.

Рассчитаем скорость распространения поперечной волны.
Касательное напряжение $\tau=\rho c_\perp v=G\gamma$,
где $\gamma$~-- угол сдвига, $G$~-- модуль сдвига.
За время $t$ конец стержня сдвигается на угол $\gamma=v/c_\perp$.
Т.к. $v\ll c$, получим: $\boxed{c_\perp=\sqrt{G/\rho}}$.
Справедливо отношение $c_\parallel>c_\perp$.

\subsection*{Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение}
Рассмотрим волну, распространяющуюся в произвольном направлении.\ж
Волновая поверхность\н\index{Волновая поверхность}~---
геометрическое место точек, колеблющихся с одинаковой фазой.

\float{l}{\includegraphics[width=3cm]{pic/Voln_pov}}
Возьмем волновую поверхность, отстающую от начала координат
на расстояние $l$. Колебания в ней имеют вид
$A=a\cos(\omega t-kl+\alpha)$.
Проведем к волновой поверхности произвольный вектор $\vec r$ под
углом $\phi$ к нормали $\vec n$.
$\vec n\vec r=\cos\phi=l$~\Arr уравнение волны
$A=a\cos(\omega t-k\vec n\vec r+\alpha)$. Пусть $\vec k=k\vec n$,
тогда
$$A=a\cos(\omega t-\vec k\vec r+\alpha)\quad\text{--- уравнение бегущей волны.}$$

Продифференцируем теперь это уравнение:
$$\begin{aligned}
\dpartder{A}{t}&=-\omega^2a\cos(\omega t-\vec k\vec r+\alpha)=-\omega^2A;\qquad&
\dpartder{A}{y}&=-k^2_yA;\\
\dpartder{A}{x}&=-k^2_xa\cos(\omega t-\vec k\vec r+\alpha)=-k^2_xA;&
\dpartder{A}{z}&=-k^2_zA;\\
\end{aligned}$$

Таким образом, $\displaystyle\dpartder{A}{x}+\dpartder{A}{y}+\dpartder{A}{z}=-k^2A$;
$\displaystyle\dpartder{A}{t}=-\omega^2A$. Т.к. $\dfrac{\omega}{k}=v$, получим\ж
волновое уравнение\н\index{Уравнение!волновое}:
$$\boxed{\Delta A=\rev{v^2}\dpartder{A}{t}}.$$
Одномерный случай: $A''=v^{-2}\ddot A$.

\subsection*{Волны в струне, стержне, газах и жидкостях}
В струне устанавливаются т.н.\ж стоячие волны\н\index{Волна!стоячая}~---
суперпозиция двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
Т.к. стоячие волны возможны лишь при условии $l=\lambda n/2$ (иначе они будут
затухать), то в струне возбуждаются только колебания с длинами волны
$\boxed{\lambda_n=2l/n}$, где $l$~-- длина струны и
$\nu_n=c/\lambda_n=cn/(2l)$~-- собственные частоты струны.
Они кратны частоте $\nu_1=c/(2l)$~--\ж основная
частота\н\index{Частота!основная}
или\ж первая гармоника\н\index{Гармоника}.
Таким образом, в струне происходят только поперечные колебания.

В стержне, в связи с малой $c_\perp$, можно пренебречь поперечными
колебаниями. Следовательно, в нем возникают лишь продольные
колебания, подчиняющиеся тем же ограничениям, что и поперечные
колебания в струне.

В газах колебания представляют собой звуковую волну~--- чередование
областей повышенных и пониженных давлений. Т.о., в газах невозможно
распространение поперечных волн~--- происходит распространение
сферической продольной волны.

На поверхности жидкости возникают как продольные, так и поперечные
волны. В глубине жидкости, в основном, преобладают продольные
волны (как и в газах).
\subsection*{Связь скорости звука с параметрами среды}
Связь скорости звука с параметрами твердой среды уже была показана.
В газах наблюдается аналогия: $c=\sqrt{\gamma p/\rho}$, где
$\gamma$~-- показатель адиабаты газа, $p$ и $\rho$~-- давление и
плотность газа соответственно.

Т.к.  $p=\rho RT/\mu$, то $c=\sqrt{\gamma RT/\mu}$.

\subsection*{Поток энергии в бегущей волне. Вектор Умова-Пойнтинга}
Пусть в некоторой среде распространяется в направлении $OX$
плоская продольная волна $A=a\cos(\omega t-kx+\alpha)$.
Выделим в среде бесконечно малый объем $dV$.
Он обладает кинетической энергией $dT=\dfrac{\rho}2\left(\partder{A}{t}\right)^2dV$
и потенциальной энергией $dU=\dfrac{E\epsilon^2}2dV=\dfrac{E}2\left(\partder{a}{x}\right)^2
\,dV$. Т.к. $c^2=E/\rho$, то $dU=\dfrac{\rho c^2}2\left(\partder{A}{x}\right)^2dV$.
Полная энергия: $dE=dT+dU=\dfrac12\rho\Bigl[\left(\partder{A}{t}\right)^2+
\left(\partder{A}{x}\right)^2c^2\Bigr]\,dV$.

Плотность энергии: $w=\dfrac{dE}{dV}=\dfrac12\rho\Bigl[\left(\partder{A}{t}\right)^2+
\left(\partder{A}{x}\right)^2c^2\Bigr]$.

Таким образом, $w=\rho a^2\omega^2\sin^2(\omega t-kx+\alpha)$.
Средняя плотность энергии $\aver{w}=\rev2\rho a^2\omega^2$.\ж
Поток энергии\н\index{Поток!энергии} $\Phi=\frac{dE}{dt}$.
Плотность потока энергии $j=\frac{d\Phi}{dS_\perp}=\frac{\Delta E}{\Delta S_\perp\Delta t}$.
$dE=w\Delta S_\perp c\Delta t$~\Arr $j=wc$.

Вводя $j$ как вектор, получим: $\vecj=w\vec c$. Среднее значение
плотности потока энергии волны называется\ж вектором
Умова-Пойнтинга\н\index{Вектор!Умова--Пойнтинга}:
$$\boxed{\aver{\vecj}=\aver{w}\vec c=\rev2\rho a^2\omega^2c}.$$

Зная $j$, можно вычислить $\Phi$: $d\Phi=\vecj\,d\vec S$,
$\Phi=\Int_S\vecj\,d\vec S$, $\aver{\Phi}=\Int_S\aver{j}dS=
\aver{j}S=\aver{j}\cdot4\pi r^2$~\Arr
$\aver{\Phi}=2\pi\rho\omega^2ca_r^2r^2$, где $a_r$~--- амплитуда
колебаний на расстоянии $r$. Если энергия не поглощается средой,
$\Phi=\const$~\Arr $a_r^2r^2=\const$~\Arr $\boxed{a_r\propto1/r}$.

\subsection*{Звуковые волны. Интенсивность и тембр звука}
\index{Акустика|(textbf}
\bf Звуковые волны\н\index{Волна!звуковая} (звук)~--- упругие волны,
распространяющиеся в воздухе с частотой $16\div20000\,$Гц.
Колебания с частотой меньше 16\,Гц называют\ж инфразвуком\н\index{Инфразвук},
а с частотой больше 20\,кГц~---\ж ультразвуком\н\index{Ультразвук}.

Если спектр звука сплошной, его называют\ж шумом\н\index{Шум}.
Если же спектр состоит из дискретных частот (т.е. линейчатый)~---
тональным звуком.

\bf Тембр\н\index{Тембр} звука определяется относительной интенсивностью\ж
обертонов\н\index{Обертон}~--- колебаний с частотами $2\nu$, $3\nu$ и т.д.

\bf Интенсивность\н\index{Интенсивность звука} звука ($I$) определяется средним
по времени значением плотности потока  энергии, которую несет звуковая
волна. Определение интенсивности звука или амплитуды звуковой волны
может быть произведено по величине тех механических сил, с которыми
звуковая волна действует на то или иное тело.

\bf Порог слышимости\н~--- минимальная интенсивность звука, вызывающая
звуковые ощущения.

Субъективно человек ощущает изменение громкости звука медленнее, чем изменяется
его интенсивность (все органы чувств <<работают>> в логарифмическом
масштабе), поэтому\ж уровень громкости\н звука измеряется в логарифмических
величинах~--- децибелах\index{Децибел} (дБ): $L=20\lg(I/I_0)$,
где $I$~--- интенсивность звука, $I_0$~--- условная интенсивность,
соответствующая 0\,дБ (несколько превышает средний порог слышимости).
Для мощности $L=10\lg(W/W_0)$ (следует обратить внимание, что бел~---
логарифм отношения энергии сигнала к энергии, условно считаемой нулем отсчета;
множитель 10~--- результат того, что фактически используется дробная
единица~--- децибел).

При групповом движении частиц со скоростями, большими скорости звука в
среде, возникает\ж ударная волна\н\index{Волна!ударная}. Под ударной
волной понимают распространение в газообразной, жидкой или твердой среде
поверхности, на которой происходит скачкообразное повышение давления,
сопровождающееся изменением плотности, температуры, скорости движения
среды. Эта поверхность называется\ж поверхностью разрыва\н.
Ударная волна возникает при взрывах, движении тел со сверхзвуковой
скоростью, а также в луче мощного лазера.
\index{Акустика|)textbf}
\subsection*{Эффект Допплера}
\index{Эффект!Допплера}
Пусть источник звуковой волны движется со скоростью $v\ind{ист}$ к
наблюдателю. Тогда для наблюдателя испущенные источником за единицу
времени колебания уложатся на длине $c-v\ind{ист}$, тогда если $v\ind{пр}$~---
скорость приемника, получим: $$\lambda=\dfrac{c-v\ind{ист}}{\nu_0},\quad
\nu=\dfrac{c+v\ind{пр}}{\lambda}\quad\Arr\quad
\boxed{\nu=\nu_0\frac{c+v\ind{пр}}{c-v\ind{ист}}}.$$

В системе координат приемника $\Delta\lambda=-\lambda_0\dfrac{v\ind{ист}}{c}$.

\index{Волны|)textbf}