\thispagestyle{empty}
\chapter{Механика}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Кинематика Материальной точки и Абсолютно твердого тела]{Кинематика Материальной точки и Абсолютно твердого тела (АТТ)}
%{Кинематика МТ и АТТ}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Способы описания движения}
\index{Движение}
\index{Движение!описание}
\ж Естественный\н~--- использует траекторию. Движение характеризуется
координатой $S: S=S(t)$ (скаляр). {\bf Траектория}\index{Траектория}~--- линия,
вдоль которой перемещается тело. Необходимы: тело отсчета, прибор отсчета
времени, система координат.

\ж Координатный\н~--- 3 координаты: прямоугольная и криволинейная системы
координат. Переход от одной системы к другой~--- по формулам
$x=\phi (q_1)$, $y=\psi (q_2)$, $z=\xi (q_3)$.

\ж Радиус-векторный\н~--- выбирается точка отсчета~--- полюс, из которого к
нашей материальной точке (МТ)%\footnote{Здесь и далее: список сокращений
%приведен в конце книги, стр.{\pageref{sokrasch}}
 проводится радиус-вектор (РВ).
$\vec r=x\vec\imath +y\vec\jmath  +z\vec k$,
$|\vec r\,|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
Аналогично в сферической системе координат ($r, \phi, \theta$).


\subsection*{Закон движения}
\index{Движение!закон}
Движение МТ полностью определено, если законы движения: $\vec r = \vec r (t)$
($s=s(t)$; $x,y,z=x,y,z(t)$)~--- кинематические уравнения движения.

Закон движения МТ может быть задан аналитически, графически или в виде
таблицы. Ан.~-- в виде уравнений, гр.~-- график, табл.~-- расписание.


\subsection*{Линейные и угловые скорости и координаты}
\index{Скорость}
\index{Скорость!линейная}
\ж Скорость\н~--- производная РВ МТ по времени ее движения:
$\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}=\dot{\vec r}$, или
$\vec v=v_x\vec\imath+v_y\vec\jmath+v_z\vec k$~--- линейная скорость.

\index{Скорость!угловая}
Угловой координате $\vec\phi$ соответствует угловая скорость
$\vec\omega=\dfrac{d\vec\phi}{dt}$ ($\vec\phi$~-- псевдовектор).
Т.к. $dS=Rd\phi$, то $\omega=\dfrac{v}{R}$, $v=\omega R$.
В общем случае $\vec v=\left[ \vec\omega\times\vec R\right] $.

Скорость тела в любой момент можно разложить на поступательную составляющую
центра тяжести ($\vec v_C$) и вращательную вокруг некоего мгновенного центра
вращения ($\vec\omega\times\vec R$): $\vec v = \vec v_C + \vec\omega
\times\vec R$.

\index{Скорость!представление}
Скорость в различных способах представления:

\ж Естественный: $v=\dfrac{dS}{dt}$; координатный: $v_i =\dfrac{dx_i}{dt}$;
радиус-векторный: $\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}$.\н

\ж Ускорением\н называют величину, определяющую быстроту изменения скорости.
\index{Ускорение}

\к Естественный: $a=\dfrac{dv}{dt}$; координатный: $a_i =\dfrac{dv_i}{dt}=
\dfrac{d^2 x_i}{dt^2}$; радиус-векторный: $\vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}=
\dfrac{d^2 \vec r}{dt^2}$.\н

В любой точке траектории ускорение можно разложить на нормальную и касательную
составляющие:

$\vec a=a_\tau \vec\tau + a_n \vec n$ \Arr
$\vec v=v\vec\tau$, $\vec a=\dot{v}\vec\tau +v\dot{\vec\tau} = \dot{v}\vec\tau
+v\dot{\theta}\vec n$.

Следовательно, $a_\tau = \dot{v}$, $a_n =\dfrac{v^2}{R}$,
$\left( \dot{\theta} =\dfrac{d\theta}{ds}\cdot v =\dfrac{v}{R} \right)$.

$$\boxed{a = \sqrt{a^2_t + a^2_n} = \sqrt{(\dot v)^2 +
\Bigl(\dfrac{v^2}{R}\Bigr)^2}.}$$

Преобразование координат:
$\left\{\begin{array}{rcl}
x & = & R\cos{\phi}\sin{\theta},\\
y & = & R\sin{\phi}\sin{\theta},\\
z & = & R\cos{\theta}.\\
\end{array}\right.$

Угловое ускорение: $\vec\beta =\dfrac{d\vec\omega}{dt}=\ddot{\vec\phi}$, т.к.
$v=\omega R$, то $a_n =\omega^2 R; a_\tau
=R\cdot\dfrac{dv}{Rdt}=R\cdot\dot\omega
=\beta R \Rightarrow a=R\cdot\sqrt{\omega^4 + \beta^2}$.

\subsection*{Система МТ (СМТ)}
\index{Система!материальных точек}
СМТ~--- совокупность МТ, связанных силами внутреннего взаимодействия и
рассматриваемая как единое целое.

Характеристики системы: масса,
$M=\sum_{i=1}^n m_i$, скорость, $\vec v_i =\dotvec r_i$,
ускорение, $\vec a_i =\ddotvec r_i $.

РВ, скорость и ускорение центра масс (ЦМ):
$\vec R_c =\dfrac{1}{m}\sum\vec r_i m_i$; $\vec v_c=\dotvec R_c$;
$\vec a_c =\ddotvec r_c$

Действующая на систему сила:
$\vec F =\sum\vec F_i^{\,ext}+\sum\vec F_{ij}^{\,int}=\sum\vec F_i^{\,ext}=\sum
m_i
\ddotvec r_i$;

$M\sum \vec a_c =\sum m_i \vec a_i \Rightarrow$
$\vec a_c =\dfrac{1}{M}\sum m_i \vec a_i$.


\subsection*{Теорема о движении центра масс}
\index{Теорема!о движении центра масс}
В нерелятивистской механике ввиду независимости массы от скорости, импульс
системы может быть выражен через скорость ее центра масс.\ж Центр масс\н~--
воображаемая точка, чей РВ выражается формулой $\vec R=\dfrac{\sum m_i\vec
r_i}{m}$.
Где m~-- общая масса системы. Дифференцируя, получим\ж теорему о движении ЦМ\н:
$m\vec V=\sum m_i\vec v_i$
и $\boxed{m\dfrac{d^2\vec R}{dt^2}=\vec F^{ext}}$.


\subsection*{Степени свободы АТТ}
\index{Связи}
Тело, положение и движение которого ничем не определено, называется
\ж свободным\н (в противном случае~--- несвободным).
\ж Связи\н~--- наложенные на положение и движение тела ограничения.
\к Внутренние связи\н не накладывают ограничения на движение системы как
целого. Свобода системы определяется лишь\к внешними\н связями.

\index{Сила!реакции связи}
Любую связь можно заменить соответствующей силой (\bf сила реакции связи\н).
Эти силы пассивны. Полное число независимых величин (координат), которые нужно
задать для определения состояния системы~--- число\ж степеней свободы\н, $i$.

Для любой системы $n$ точек,
$i\ind{сист} =\sum i_j~-N\ind{св} =3n-N\ind{св}$.\к Для любого ТТ\н $i \le 6$.

\subsection*{Разложение движения на слагаемые. Углы Эйлера}
Пусть нам даны неподвижная система $XYZ$ и подвижная $X'Y'Z'$.
\float{l}{\includegraphics[width=4cm]{pic/Eiler_angl1}}
Положение АТТ можно
задать, зная положение точки $O'$ и 9 углов: $(\lvec{OX}, \lvec{O'X'})$,
$(\lvec{OX}, \lvec{O'Y'})$ ,\ldots Но, т.к. направляющие косинусы связаны между
собой, необходимо знать лишь\к три угла\н (совместим условно $O$ и $O'$):\\
ON~---\к линия узлов\н (прямая пересечения плоскостей $XOY$ и $X'O'Y'$),
$O'$~--- \к полюс\н;
$\phi=\angle XOX'$~---\ж угол прецессии\н (изменяется при повороте
вокруг\index{Углы Эйлера} $OZ$),\\
$\psi=\angle NOX'$~---\ж угол собственного вращения\н (при вращении вокруг
$O'Z'$),\\
$\theta=\angle ZOZ'$~---\ж угол нутации\н (вращение вокруг $O'Z'$).

Таким образом, 6 независимых величин: $x_0, y_0, z_0$ и $\phi, \psi, \theta$
однозначно определяют положение твердого тела. Если при движении эти углы не
изменяются, тело движется поступательно.

\float{r}{\includegraphics[width=4cm]{pic/Eiler_angl2}}
Так как $\vec v =\vec\omega\times\vec r\,'$, то $v_{x'}=\omega_{y'}z'-
\omega_{z'}y'$, \ldots, $\omega_\phi=\dot\phi$, $\omega\theta=\dot\theta$,
$\omega\psi=\dot\psi$.
$\omega_{\phi x'}=\dot{\phi}\sin{\theta}\sin{\psi};\,
\omega_{\phi y'}=\dot{\phi}\sin{\theta}\sin{\phi};$
$\omega_{\phi z'}=\dot{\phi}\cos{\theta};\,
\omega_{\psi x'}=\omega_{\psi y'}=0;\,
\omega_{\psi z'}=\dot\psi;$
$\omega_{\theta x'}=\dot{\theta}\cos{\psi};\,
\omega_{\theta y'}=-\dot{\theta}\sin{\psi};\,
\omega_{\theta z'}=0;$
$\Rightarrow$
$$\left\{\begin{array}{rcl}
\omega_{x'}&=&\dot{\phi}\sin{\theta}\sin{\psi}+\dot{\theta}\cos{\psi},\\
\omega_{y'}&=&\dot{\phi}\sin{\theta}\cos{\psi}-\dot{\theta}\sin{\psi},\\
\omega_{z'}&=&\dot{\phi}\cos{\theta}+\dot{\psi}.
\end{array}\right.$$


\subsection*{Поступательное, вращательное и плоское движение ТТ, мгновенная
ось вращения}
\index{Движение!твердого тела}
При поступательном движении любая плоскость, проведенная в теле, остается
параллельной себе. Эйлеровы углы остаются постоянными, изменяется лишь
$\vec{r_c}$.

Таким образом, $\vec{v_i}=\vec{v_c}(t);\, \vec{a_i}=\vec{a_c}(t);\,
i\ind{пост}=3.$

При плоском движении $i=2$, все точки тела движутся параллельно какой-либо
плоскости, поэтому удобно связать систему координат (СК) с ней, направив ось
OZ перпендикулярно этой плоскости. Тогда при движении изменяются лишь координаты
$x_i$ и $y_i$. При вращательном движении постоянными остаются координаты $x_c,\,
y_c$ и $z_c$, изменяются $\phi, \psi, \theta (i=3)$. Удобно вводить угловые
координаты, скорости и ускорения. Любое движение можно разложить на
поступательное
и вращательное.

\bf Теорема:\к в любой момент времени распределение скоростей между точками тела
таково, каким оно было бы при вращении тела вокруг неподвижной оси вращения\н.

Или: в любой момент времени можно провести прямую, проходящую через неподвижную
точку тела так, что все точки прямой в данный момент времени имеют нулевую
скорость. (\it мгновенная ось вращения\н тела).

Мгновенной осью можно пользоваться лишь для описания мгновенного распределения
скоростей, но не ускорений. Так как $v=\omega \cdot R$, то $R=\dfrac{v}{\omega}$
-- радиус-вектор точки от мгновенной оси.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Динамика материальной точки}%{Динамика МТ}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Понятие массы, импульса и силы в механике Ньютона. Законы Ньютона}
\index{Система!отсчета!инерциальная}
Механика Ньютона работает с инерциальными СО.\ж Инерциальной\н называется такая
СО,
в которой изолированная МТ находится в состоянии покоя или равномерного
прямолинейного движения.

\index{Закон!инерции}
Т.к.\ж закон инерции\н выполняется не во всех СО, то его формулируют так:\к
существуют такие СО, в которых МТ находится в состоянии покоя или равномерного
прямолинейного движения\н. Такие СО называются\к инерциальными\н.

\index{Закон!Ньютона!первый}
\ж Первый закон Ньютона:\к
всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного
прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами
это состояние изменить\н.

\index{Масса}
\index{Сила}
Инертность имеет меру~--\ж массу\н. Вводится понятие\ж силы\н~-- векторной
физической величины, характеризующей действие на тело других тел, в результате
чего тело получает ускорение или деформируется.

\index{Закон!Ньютона!второй}
\ж Второй закон Ньютона\н (динамическое уравнение движения):\к
изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и
происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует\н,
$\Delta\vec k =\C\vec F \Delta t$, удобно положить $\C=1$, т.е.
$\Delta\vec k =\vec F \Delta t$.

\index{Движение!количество}
\index{Импульс!тела}
Вводится понятие\ж количества движения\н (\it импульс тела\н):
$\vec k =\vec p =m\vec v$.

Итак, $\vec F =\dfrac{\Delta(m\vec v)}{\Delta t}$, переходя к бесконечно малым:
$\vec F =\dfrac{d(m\vec v)}{dt}=m\dfrac{d\vec v}{dt}=m\vec a$ (в
нерелятивистских
СО !!!). Т.о. получаем, что для двух тел, испытывающих действие одной и той же
силы: $\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{a_1}{a_2}\,\Rightarrow\,
m_2=\dfrac{a_1}{a_2}m_1$,
т.е., положив $m_1$ за эталон, можем определить $m_2$.

\index{Масса!инертная}
\index{Масса!гравитационная}
Такая масса называется\ж инертной\н, $m\ind{ин}$. Если же определить массу при
помощи взвешивания, она получит название\ж гравитационной\н, $m\ind{грав}$.

\index{Принцип!эквивалентности}
\ж Принцип эквивалентности\н гласит, что $m\ind{грав}=m\ind{ин}$.

\index{Импульс!силы}
Кроме импульса тела вводится понятие\ж импульса силы\н:
$\veci =\Int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt$, т.о., $\vec p_2~-\vec p_1 =\veci$,
или, в дифференциальной форме, $\lvec{dp}=\vec F dt$, т.е.
$\lvec{dp}=\lvec{dI}$.

\index{Закон!Ньютона!третий}
\ж Третий закон Ньютона:\к действию всегда есть равное и противоположное
противодействие\н. Иначе: силы взаимодействия двух тел друг с другом равны и
направлены в противоположные стороны, $\vec F_{12}=-\vec F_{21}$

\index{Принцип!суперпозиции!сил}
Необходимым дополнением законов Ньютона является\ж принцип суперпозиции\н сил:
ускорение, полученное МТ при одновременном действии на нее нескольких сил,
равно геометрической сумме ускорений, полученных МТ при действии каждой из этих
сил в отдельности. Или: существует\ж равнодействующая сила\н, равная
геометрической сумме приложенных сил:
$\vec a =\rev{m}\sum\limits_{i=1}^N F_i$.

Связь законов Ньютона со свойствами ПВ: 1) однородность и изотропность
пространства и однородность
времени, 2) однородность, изотропность и зеркальная симметрия пространства.


\subsection*{Уравнения движения. Начальные условия}
\index{Движение!уравнения}
Запишем основное уравнение динамики в дифференциальной форме:
$\vec F =m\ddot{\vec r}$. В механике рассматриваются 2 рода задач:

\index{Задача!механики}
1) по заданному
кинематическому уравнению движения $\vec r =\vec r (t)$ определить приложенную
к телу силу. Разложим $\vec r (t)$ на компоненты: $x(t), y(t), z(t)$
$\Rightarrow$ $m\ddot x =F_x$,\ldots Дифференцируя дважды по t уравнения
движения,
получим силу $\vec F (t)$. Эта задача всегда имеет решение и не требует сложных
математических методов.

2) По известному силовому полю $\vec F (r)$ определить закон движения точки.
Здесь получаются уравнения вида $m\ddot{x_i}=F_i(x,y,z,\dot x,\dot y,\dot z,t)$.
Имея три уравнения второго порядка, получим 6 постоянных интегрирования:
$x_i\,=x_i(t,c_1,\ldots,c_6)$.

Чтобы вторая задача имела определенное решение, необходимы\к начальные
условия\н:
$x_i|_{t=0}=x_{i_0}$; $\dot x_i|_{t=0}=\dot x_{i_0}$.
Тогда получим две системы уравнений: $x_{0_i}=x_{0_i}(0,c_1,\ldots,c_6)$,
$\dot x_{0_i}=\dot x_{0_i}(0,c_1,\ldots,c_6)$. Из этих систем находим постоянные
$c_1,\ldots,c_6$. Уравнение движения МТ получим  в виде
$x_i=f_i(t,x_{i_0},\dot x_{i_0})$.Таким образом, вторая задача динамики является
полностью решаемой.

В некоторых случаях можно ограничится нахождением неполного уравнения движения,
т.е. ограничиться некоторыми первыми интегралами движения:
$c_{1,\ldots,5}=\phi_{1,\ldots,5}(x,y,z,\dot x,\dot y,\dot z)$;
$c_6=\phi_6(x,y,z,\dot x,\dot y,\dot z,t)$.
В первых пяти от времени избавились. Знание хотя бы одного интеграла движения
позволяет понизить на один порядок системы ДУ.


\subsection*{Центральные силы}
\index{Сила!центральная}
Сила называется\ж центральной\н, если она направлена к одной и той же точке
(\ж{}центру сил\н или\к силовому центру\н) и зависит только от расстояния до
него.
Например, гравитационная сила.

\input{adddd/08}
\subsection*{Функции и уравнения Лагранжа}
\index{Уравнение!Лагранжа|(textbf}\index{Функция!Лагранжа|(textbf}
\index{Обобщенная координата}
\index{Сила!обобщенная}
Для получения уравнения равновесия физических систем Лагранж предложил\ж метод
обобщенных координат\н: исходя из условий задачи выбирают систему из $n$
независимых параметров $q_i$~-- обобщенных координат для данной задачи и,
применяя
формулы преобразования декартовых координат, преобразуют уравнения к обобщенным
координатам.\ж Обобщенными силами\н называют коэффициенты вида
$$
Q_i=\sum_{k=1}^n\left(
F_{kx}\partder{x_k}{q_i}+F_{ky}\partder{y_k}{q_i}+F_{kz}\partder{z_k}{q_i}
\right).
$$
\index{Принцип!виртуальных перемещений}
Запись $\sum\limits_{i=1}^nQ_i\delta q_i=0$ выражает\ж принцип виртуальных
перемещений:\к виртуальная работа заданных сил, приложенных к системе с
идеальными связями и находящихся в равновесии, равна 0\н.

\index{Принцип!д'Аламбера--Лагранжа}
Дифференциальные уравнения движения системы сводятся к\к обобщенному уравнению
механики\н (\ж{}принцип д'Аламбера--Лагранжа\н):
$\sum\vec{F_i}\delta\vec{r_i}=\sum m_i\ddot{\vec{r_i}}\delta\vec{r_i}$.
Отсюда получаются\ж уравнения Лагранжа\н (уЛ):
$$
\dfrac{d}{dt}\partder{T}{\dot{q_k}}-\partder{T}{q_k}=Q_k .
$$
Если система находится в поле потенциальных сил, то $Q_k=-\partder{U}{q_k}$,
$U=U(q_i,t)$, причем $\partder{U}{\dot{q_k}}=0$, следовательно, уЛ можно
привести к виду:
$$
\dfrac{d}{dt}\partder{L}{\dot{q_k}}-\partder{L}{q_k}=0,
$$
\index{Функция!Лагранжа}
$L=T-U$~--\ж функция Лагранжа системы\н (лагранжиан).


\subsection*{Функция Лагранжа заряженной частицы во внешнем ЭП}
\index{Сила!Лоренца}
На заряд, движущийся во внешнем ЭМП, действует сила Лоренца
$\vec F=q\vec E+q[\vec v\times\vec B]$. Она является обобщенно--потенциальной
силой
(зависит от скорости, т.е. удовлетворяет условию
$Q_k=\dfrac{d}{dt}\partder{U}{\dot{q_k}}-\partder{U}{q_k}$).
В данном случае уЛ тоже справедливо: $L=T-U(q_k,\dot{q_k},T).$

\index{Потенциал!обобщенный}
Обобщенный потенциал имеет вид
$$
U=\sum_{k=1}^S a_k(q_k,t)\dot{q_k}+U_0(q_k,t)=U_1+U_0,
$$
где $U_1$ зависит от $\dot q$, а $U_2$~-- обычная потенциальная энергия.

Тогда $L=T-(U_1+U_0)$, $T=\dfrac{mv^2}{2}$, $U_0=q\phi$, $U_1=-q\vec{A}\vec{v}$
\Arr $\boxed{L=\dfrac{mv^2}{2}-q[\phi-\vec{A}\vec{v}].}$
($\vec E=\grad\phi-\partder{\vec A}{t}$; $\vec B=\rot\vec A$).
\index{Функция!Лагранжа|)textbf}\index{Уравнение!Лагранжа|)textbf}
\input{adddd/05}

\section{Канонические уравнения Гамильтона}
\input{adddd/10}
\input{adddd/11}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\section{Законы сохранения}%{Законы сохранения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\index{Закон!сохранения}
\subsection*{Замкнутые СО}
\index{Система!отсчета!замкнутая}
Все законы сохранения выполняются лишь для\ж замкнутых СО\н~--
таких СО, которые не взаимодействуют с внешними телами. Все тела замкнутой СО
взаимодействуют лишь друг с другом, и внешняя сила, приложенная к ним,
равна нулю.

\subsection*{Закон сохранения и изменения импульса МТ и СМТ}
\index{Закон!сохранения!импульса}
\index{Теорема!об изменении импульса}
\ж Теорема об изменении импульса\н получается путем преобразования 2ЗН:
$$ \vec F =\dfrac{d}{dt}\left( m\vec v \right)\,\Rightarrow\, d\left( m\vec v
\right)
= \vec F dt,\,$$ $\vec p =m\vec v$~-- импульс МТ.
$\vec F dt$~-- элементарный импульс силы, отсюда:\к дифференциал импульса МТ
равен элементарному импульсу силы, приложенной к ней.\н\\
Если равнодействующая всех приложенных к МТ сил равна $0$, то $\vec p$ остается
постоянной
величиной во все время движения (\жЗакон сохранения импульса\н):
$ \vec F =0, \,\Rightarrow\, d\vec p=0;\, \vec p=\lvec{\const}$.

Законы сохранения объединяют три первых интеграла движения:
$\dot x=C_1, \dot y=C_2, \dot z=C_3$.

Рассмотрим теперь систему $n$ МТ. $\vec F_i=\vec F_i^{(e)}+\sum\limits_{j=1,j\ne
i}^n
\vec F_{ji}^{(i)}$~--- сила, действующая на $i$--ю точку (сумма внешних и
внутренних сил).
Отсюда, $d\vec p_i=\Bigl( \vec F_i^{(e)} + \sum\limits_{i\ne j}\vec
F_{ji}^{(i)}\Bigr)dt$;
$d\vec p=\sum d\vec p_i=\sum\Bigl(\vec F_i^{(e)} + \sum\vec
F_{ji}^{(i)}\Bigr)dt=
\sum F_i^{(e)}\,dt$, т.к. $\sum\sum F_{ji}^{(i)}=0$. Или:
$d\vec p=\vec F^{(e)}dt$, где $\vec F^{(e)}=\sum\limits_{i=1}^n F_i^{(e)},\,
\Rightarrow$
если главный вектор внешних сил равен нулю, то $\vec p=\vec\const$.

\subsection*{Теорема о движении центра масс}
\index{Центр!масс}
\index{Теорема!о движении центра масс}
\ж Центр масс\н~--- воображаемая точка с РВ
$\vec r_c=\dfrac{\sum m_i\vec r_i}{\sum m_i}=\rev{M}\sum m_i\vec r_i$,
$\dot{\vec{r}}_c=\rev{M}\sum m_i\dot{\vec{r}}_i,\,\Rightarrow\, M
\dot{\vec{r}}_c=
\sum m_i\dot{\vec{r}}_c$
или $\vec P=\sum\vec p_i$; $d\vec p=\sum d\vec p_i=\vec F^{(e)}dt$
$\Rightarrow\, \dfrac{d\vec p}{dt}=\vec F^{(e)}$.

ЦМ СМТ движется как МТ, масса которой равна суммарной массе системы, а
действующая сила~--
геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

\subsection*{Движение тел с переменной массой, уравнения Мещерского и
Циолковского}
\index{Масса!переменная}
В случае точки с переменной массой, на нее, кроме внешних сил, действуют еще и
силы,
вызванные отделением частицы массой $\delta M$.

Будем считать, что изменение $d\vec v=d\vec v_1 +d\vec v_2$, где первое
слагаемое~---
от действия силы при постоянной массе, а второе~--- за счет изменения массы в
отсутствие действия силы.

$d\vec v_1=\rev m\vec F dt$. $d\vec v_2$ находим из ЗСИ:
$M\vec v=\bigl(M-\delta M\bigr)\bigl(\vec v+d\vec v_2\bigr)+\vec u\delta M$,
где $\vec u$~-- скорость частицы $\delta M$ в неподвижной СК. Пренебрегая малыми
второго порядка, получим:
$d\vec v_2=-\dfrac{\delta M}{M}\bigl(\vec u-\vec v\bigr)$, а т.к.
$dM=-\delta M$, то $d\vec v_2=\dfrac{dM}{M}\Bigl(\vec u-\vec v\bigr)$.
Следовательно, $d\vec v=\dfrac{\vec F}{M}\,dt+\dfrac{dM}{M}\bigl(\vec u-\vec
v\bigr),$
получим\ж дифференциальное уравнение Мещерского (уМ)\н:
$\boxed{M\dfrac{d\vec v}{dt}=\vec F+\dfrac{dM}{dt}\bigl(\vec u-\vec v\bigr).}$

\index{Уравнение!Мещерского}

Другое выражение уМ:
$M\dfrac{d\vec v}{dt}=\vec F+\vec\Phi_R$, где
$\vec\Phi_R=\dfrac{dM}{dt}\cdot\vec v_R$~--
\к реактивная сила\н, а \hbox{$\vec v_R$~--\к скорость}\к истечения газов\н.

\index{Задача!Циолковского}
\ж Первая задача Циолковского\н: рассмотрим ракету, движущуюся в свободном
пространстве
в отсутствие каких-либо внешних сил. Тогда:
$M\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{dM}{dt}\vec v_R$, или, проецируя на оси:
$M\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{dM}{dt}v_R$.

Будем считать, что $v_R=\const$, тогда
$$\rev{v_R}\Int_{v_0}^v dv=-\Int_{M_0}^M\dfrac{dM}{M}\quad\Rightarrow
\quad v=v_0 +v_R\ln{\dfrac{M_0}{M}}.$$

\index{Число!Циолковского}
Пусть $m$~-- масса топлива, $m_P$~-- масса ракеты, \к$z=\dfrac{m}{m_P}$~--~число
Циолковского\н.

Следовательно, после выгорания\к всего\н топлива:
$$\boxed{v_1=v_0+v_R\ln{(1+z)}}\,\text{~--\ж формула Циолковского\н.}$$

Таким образом,\к скорость в конце горения топлива не зависит от закона изменения
массы\н.

Для нахождения\к уравнения движения\н необходимо учесть закон изменения массы:\\
1) линейный: $M=M_0(1-\alpha t);\, x=v_0 t+\dfrac{v_R}{\alpha}\bigl[(1-\alpha
t)%
\ln{(1-\alpha t)}+\alpha t\bigr]$.\\
2) показательный: $M=M_0 e^{-\alpha t};\, x=v_0 t+\dfrac{\alpha v_R t^2}{2}$.

\ж Вторая задача Циолковского\н: рассмотрим движение ракеты в поле тяжести
планеты, считая
его направленность постоянной: $g=\const$,

$M\dfrac{dv}{dt}=-M_g-\dfrac{dM}{dt}v_R,\,\Rightarrow\,
v=v_0-gt+v_R\ln{\dfrac{M_0}{M}}.$

И уравнения движения:\\
1) $x=v_0 t-\dfrac{gt^2}{2}+\dfrac{v_R}{\alpha}\bigl[(1-\alpha t)\ln{(1-\alpha
t)}+\alpha t\bigr]$\\
2) $x=x_0-\dfrac{gt^2}{2}+\dfrac{\alpha v_R t^2}{2}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Законы изменения и сохранения механической энергии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\index{Закон!сохранения!энергии}
\subsection*{Работа Силы}
\index{Работа!силы}
\ж Работа постоянной силы $\vec F$\н на прямолинейном перемещении $\Delta\vec
r$, образующим
с направлением силы угол $\alpha$, определяется формулой
$$A=F\Delta r\cos\alpha=\vec F\cdot\Delta\vec r.$$

Криволинейный участок можно разбить на бесконечно малые элементы, которые можно
рассматривать как
прямолинейные. Тогда для элементарной работы получим:
$\delta A=F_x dx+F_y dy+F_z dz=\vec F\,d\vec r$.

Т.к. работа не является в общем случае полным дифференциалом какой-либо функции
координат,
то используется частный дифференциал. Для нахождения работы на каком-то участке
$AB$
траектории, необходимо просуммировать элементарные работы:
$A_{12}=\Int_{AB}\vec F\,d\vec r=\Int_{AB}\bigl(F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz\bigr).$
То есть, $A$~-- криволинейный интеграл от силы, взятый вдоль траектории движения
точки.

В общем случае для нахождения работы необходимо знать уравнения движения $\vec
r(T)$:
$A_{12}=\Int_{t_1}^{t_2}\Phi(t)\,dt$, где $\Phi(t)=\vec F\,d\vec r$.


\subsection*{Консервативные силы}
\index{Сила!консервативная}
\bf Консервативными силами\н называются силы, работа которых не зависит от
траектории частицы,
а зависят лишь от ее начального и конечного положений. Примером КС являются\ж
потенциальные
силы\н (силы, не зависящие от скорости движения точки): $\vec F=\vec
F(x,y,z,t)$.

Можно подобрать скалярную функцию, удовлетворяющую условию $\vec F=-\grad U$
($U$~--\ж
потенциальная энергия\н). Иногда условие потенциальности записывают как
$\rot{\vec F}=0$.

\index{Сила!потенциальная}
Рассмотрим\к стационарные\н потенциальные силы:
$$\vec{dF}=\vec F\,d\vec r=-\grad{U} d\vec
r=-\bigl(\partder{U}{x}dx+\partder{U}{y}dy+\partder{U}{z}dz\bigr)=
-dU$$
 или $A_{12}=\Int_{(1)}^{(2)}\vec F\,d\vec r=-\Int_{U_1}^{U_2}dU=U_2-U_1$.
Таким образом, мы доказали, что стационарные потенциальные силы являются
консервативными.


\subsection*{Кинетическая и потенциальная энергии МТ и СМТ}
\index{Энергия!кинетическая}
Преобразуем основное уравнение динамики $m\frac{d\vec v}{dt}=\vec F$:
$m\frac{d\vec v}{dt}d\vec r=\vec F\,d\vec r\,\Rightarrow$
$\left[m\,d\vec v\cdot\frac{d\vec r}{dt}\right.=m\vec v\,d\vec v=\left.
d\bigl(\rev{2}mv^2\bigr)\right]\,\Rightarrow\,$
$$d\bigl(\rev{2}mv^2\bigr)=\vec F\,d\vec r.$$

Таким образом, элементарная работа силы, действующей на МТ, равна элементарному
приращению
величины $\rev{2}mv^2=T$~---\ж кинетической энергии МТ\н. Т.е. $dT=\delta A$,
или
$\boxed{A=T_2-T_1}$~---\к теорема об изменении кинетической энергии\н.

\index{Энергия!потенциальная}
Почти аналогично и для потенциальной энергии: \fbox{$A=-(U_2-U_1)$}.

Рассмотрим теперь СМТ:
$d\bigl(\rev{2}m_i v_i^2\bigr)=\bigl(\vec F_i^{(e)}+\sum
F_{ij}^{(i)}\bigr)\,d\vec r\,
\Rightarrow\, dT=d\bigr(\sum\rev{2}m_i v_i^2\bigr)=\sum\vec F_i^{(e)}\,d\vec r+
\sum\sum\vec F_{ij}^{(i)}\,d\vec r$, то есть здесь подключаются еще и внутренние
силы:
\fbox{$dT=\delta A^{(e)}+\delta A^{(i)}$.}%$

Аналогично для потенциальной энергии:
$\delta A_U^{(e)}=-d\sum U_i^{(e)}(\vec r_i)=-dU^{(e)}(\vec r_1,\ldots,\vec
r_n)$,
где $U$~--~потенциальная энергия системы во внешнем силовом поле.
$\delta A_{U_i}^{(i)}=-\grad_i U^{(i)}\,d\vec r_i\,\Rightarrow\,
\delta A_U^{(i)}=-\sum\grad_i U^{(i)}\,d\vec r_i=-dU^{(i)}$.

Т.о., \fbox{$\delta A_U=-\left(dU^{(e)}+dU^{(i)}\right)$.} %$

\subsection*{Закон сохранения механической энергии системы (ЗСЭ)}
\index{Закон!сохранения!энергии}
Для МТ $d\bigl(\frac12mv^2\bigr)=\vec{F}d\vec{r}=-dU$ \Arr
$d(T+U)=0,$ или $T+U=\const.\Arr E=\const.$ (т.к. $E=T+U$).

Для СМТ: $d\bigl(\frac12\sum m_i v_i^2\bigr)=-dU^{(i)}-dU^{(e)}$
$\Arr d\left(T+U^{(i)}+U^{(e)}\right)=0,$ или $T+U^{(e)}+U^{(i)}=\const.$
Отсюда, $E=\const,\;E=T+U^{(e)}+U^{(i)}.$

\index{Система!консервативная}
Системы с сохраняющейся энергией называются\ж консервативными\н.

\subsection*{Соударение тел. Абсолютно упругий и неупругий удар}
\index{Соударение тел}
При соударении тела деформируются. При этом частично или полностью кинетическая
энергия тел переходит в потенциальную.\ж Абсолютно неупругий удар\н~---
при котором не возникает потенциальная энергия упругой деформации.
После удара тела образуют одно целое и либо двигаются вместе, либо покоятся.\ж
Абсолютно упругий удар\н сохраняет полную механическую энергию тел, т.е.
кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию
упругой деформации, затем тела возвращаются к первоначальной форме и
потенциальная
энергия переходит в кинетическую.

В обоих случаях выполняется ЗСИ. Ограничимся рассмотрением\к центрального
удара\н
(когда шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры).

\subsubsection*{Абсолютно неупругий удар}
\index{Удар}
$$m_1 \lvec{v_1}+m_2\lvec{v_2}=(m_1+m_2)\vec u,~\Arr
u=\dfrac{m_1 \lvec{v_1}+m_2\lvec{v_2}}{m_1+m_2}.$$

\subsubsection*{Абсолютно упругий удар}
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
m_1\lvec{v_1}+m_2\lvec{v_2}& =& m_1\lvec{u_1}+m_2\lvec{u_2},\\
\dfrac{m_1 v_1^2}2+\dfrac{m_2 v_2^2}2 &=& \dfrac{m_1 u_1^2}2+\dfrac{m_2
u_1^2}2;\\
\end{array}
\right.\quad\Arr$$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
m_1\left(\lvec{v_1}-\lvec{u_1}\right) &=&
m_2\left(\lvec{u_2}-\lvec{v_2}\right),\qquad (*)\\
m_1\left(\lvec{v_1}-\lvec{u_1}\right)\left(\lvec{v_1}+\lvec{u_1}\right) &=&
m_2\left(\lvec{u_2}-\lvec{v_2}\right)\left(\lvec{v_2}+\lvec{u_2}\right).\\
\end{array}
\right.
$$

Отсюда, $\lvec{u_1}+\lvec{v_1}=\lvec{u_2}+\lvec{v_2}$, умножая это выражение на
$-m_2$,
а затем на $m_1$ и складывая с ($*$), получим:

$$\lvec{u_1}=\frac{2m_2\lvec{v_2}+(m_1-m_2)\lvec{v_1}}{m_1+m_2};\quad
\lvec{u_2}=\frac{2m_1\lvec{v_1}+(m_2-m_1)\lvec{v_2}}{m_1+m_2}$$

\subsection*{Рассеяние частиц. Эффективное сечение}
\index{Рассеяние!частиц}
Рассмотрим рассеяние частиц с зарядом $Z_1e$ на силовом центре $Z_2e$.
Пусть $m$~--- масса частицы. Массу ядра будем считать бесконечно большой.

\float{l}{\includegraphics[width=7cm]{pic/Scatter}}
$U=k\dfrac{Z_1Z_2e^2}{r}$; $E_0>0$. Угол рассеяния~--- $\theta$,
прицельное расстояние~--- $b$ (расстояние от ядра, на котором частица
пролетела бы в отсутствии отталкивания).

Из ЗСЭ следует, что $\dfrac{mv^2}2=\dfrac{mv_0^2}2+\dfrac{2kZe^2}q$, где
$q$~--- фактическое минимальное расстояние до ядра ($EF_1$).
ЗСМИ: $mvb=mv_0q$.

По рисунку: $a=EO$; $b=CF_1$; $q=EF_1$; $\theta=COB$; $\phi=F_1OC$.

$\epsilon=\sqrt{a^2+b^2}$~--- эксцентриситет гиперболы; $F$~--- ее фокус.

$a=\epsilon\cos\phi$; $b=\epsilon\sin\phi$; $q=(1+\cos\phi)\epsilon$ \Arr
$\dfrac bq=\dfrac{v_0}v=\dfrac{\sin\phi}{1+\cos\phi}$. Из ЗСЭ:
$$\dfrac{v_0^2}{v^2}=1-k\dfrac{Z_1Z_2e^2}q\cdot\dfrac2{mv^2}=
1-\dfrac{2kZ_1Z_2e^2}{mv^2b}\cdot\dfrac{\sin\phi}{1+\cos\phi}.$$

Так как $\dfrac{v_0^2}{v^2}=\left(\dfrac{\sin\phi}{1+\cos\phi}\right)^2=
\dfrac{1-\cos\phi}{1+\cos\phi}$, то
$$\dfrac{1-\cos\phi}{1+\cos\phi}=1-\dfrac{2kZ_1Z_2e^2}{mv^2b}\cdot\dfrac{
\sin\phi}{1+\cos\phi},$$
\Arr $\tg\phi=\dfrac{mv^2}{kZ_1Z_2e^2}b$. $\phi=90\degr-\dfrac{\theta}2$ \Arr
$$\fbox{$b=\dfrac{kZ_1Z_2e^2}{mv^2}\ctg\dfrac{\theta}2.$}$$ %$

\index{Сечение!рассеяния}
\ж Эффективным дифференциальным сечением\н рассеяния называется отношение числа
частиц, рассеянных в данный элемент телесного угла, к числу частиц, падающих на
единичную
площадку перпендикулярно скорости падения, в единицу времени:
$$d\sigma=\dfrac{dN}{J\ind{пад.}}=\dfrac{J\ind{расс.}}{J\ind{пад.}}dS=
\dfrac{J\ind{расс.}}{J\ind{пад.}}r^2d\Omega.$$

Пусть $j$~--- плотность потока падающих частиц. Чтобы угол рассеяния лежал в
диапазоне $(\theta,\theta+d\theta)$, прицельное расстояние должно изменяться
от $b$ до $b+db$. Число частиц $dN=-j\,ds=2\pi jb\,db$. Тогда
$d\sigma=-2\pi b\,db=-2\pi b\dfrac{db}{d\theta}\,d\theta$.
$d\Omega=2\pi\sin\theta\,d\theta$ \Arr
$d\sigma=-\dfrac1{\sin\theta}b\dfrac{db}{d\theta}
\,d\Omega$.
$\dfrac{db}{d\theta}=-\dfrac{kZ_1Z_2e^2}{mv^2}\cdot\dfrac1{2\sin^2\dfrac{\theta}
2}$ \Arr\\
получим\ж формулу Резерфорда\н:
\index{Формула!Резерфорда}
$$\boxed{d\sigma=\left(\dfrac{kZ_1Z_2e^2}{2mv^2}\right)^2
\dfrac{d\Omega}{\sin^4\frc{\theta}2}}\,.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Законы изменения и сохранения момента импульса]{Законы
изменения и сохранения момента импульса (ЗСМИ)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\index{Закон!сохранения!момента импульса}
\subsection*{Момент импульса и силы. Уравнение моментов}
Возьмем какую-либо точку, относительно которой будем рассматривать моменты силы
(импульса). Ее называют\ж началом\н (полюсом). Пусть $\vec r$~--- радиус-вектор
точки приложения силы $\vec F$.\ж Моментом силы\н $\vec F$ относительно точки
$O$
называется векторное произведение \fbox{$\vec M=\vec r\times\vec F.$}
\Arr при перенесении точки приложения силы в любую другую точку, лежащую на
линии действия силы, момент не изменится.
\index{Момент!силы}

Если сил несколько, то $\vec M=\vec r\times\sum\vec F_i=\sum\vec r\times\vec
F_i=
\sum\vec M_i$ (аддитивность моментов силы).
Если есть две равные антипараллельные силы $\vec F_1$ и $\vec F_2$, получим так
называемую\ж пару сил\н\index{Пара сил}: $\vec M=\vec r_1\times\vec
F_1+\vec r_2\times\vec F_2=
(\vec r_1-\vec r_2)\times\vec F_1=(\vec r_2-\vec r_1)\times\vec F_2$.

Т.е.\к момент пары сил равен моменту одной из этих сил относительно точки
приложения
другой\н.

\index{Момент!импульса}
\ж Моментом импульса\н называют векторное произведение $\vec L=\vec r\times\vec
p$.
Для СМТ $\vec L=\sum\vec L_i$.

\index{Уравнение!моментов}
$\vec L$ и $\vec M$ связаны\к уравнением моментов\н: $\dotvec L=\dotvec r\times
\vec p+\vec r\times\dotvec p$. Если $O$ неподвижно, то $\dotvec r\equiv\vec v$,
т.е. $\dotvec r\parallel\vec p$.~\Arr $\dotvec L=\vec r\times\dotvec p=\vec r
\times\vec F=\vec M$ \Arr получили\ж уравнение моментов\н:
$$\fbox{$\dot{\lvec L}=\lvec M.$}$$%$

\ж Для СМТ\н $\vec F_i=\sum\vec F_{ij}^{(i)}+\vec F_i^{(e)}$; $\vec F=\sum\vec
F_i=
\sum\!\sum\vec F_{ij}^{(i)}+\sum\vec F_i^{(e)}=\sum\vec F_i^{(e)}$.~\Arr
\fbox{$\dotvec L=\vec M^{(e)}$}.%$

\subsection*{Закон изменения и сохранения момента импульса}
Уравнение моментов есть закон изменения момента импульса:
$\dotvec L=\vec M$ \Arr если $\vec M=0$, то $\dotvec L=0$ и, следовательно,
$\vec L=\vec\const$.

\ж Закон сохранения момента импульса\н:
если момент сил, действующих на МТ, равен $0$, то вектор момента импульса
остается
постоянным на протяжении всего движения.

ЗСМИ объединяет три \bi первых интеграла движения\н (\it интегралы площадей\н):

$$\C_4=y\dot z-z\dot y;\, \C_5=z\dot x-x\dot z;\, \C_6=x\dot y-y\dot x.$$

\index{Скорость!секторная}
Иначе говоря, это\ж закон постоянства секторной скорости\н: $\rev2\vec
r\times\vec v.$\к
Из постоянства секторной скорости вытекает второй закон Кеплера\н.

\subsection*{Движение в поле центральных сил. Основные законы движения планет}
\index{Движение!в центрально-симметричном поле|(textbf}
Рассмотрим движение изображающей точки с приведенной массой $m'$ в
центрально-симметричном
 поле (эта масса совпадает с массой тела $m$, если $m\ll M$). В данном случае
$\vec M=\vec r\times\vec F=0$, т.к. $\vec F\parallel\vec r$,~\Arr
$$\vec L=m'\vec r\times\vec v\;;\quad L=m'r^2\phi\quad
(v_{\perp}=r\dot\phi)\;;\quad E=T+U\;;$$
$$T=\frac{m}2\left(v^2_{\perp}+v^2_{r}\right)=\frac{m}2\left(r^2\dot\phi^2+\dot
r^2\right)\quad
\Arr\quad E=U(r)+\frac{m}2\left(\dot r^2+r^2\dot\phi^2\right).$$
Эффективный потенциал, $U_e=U+\dfrac{L^2}{2m'r^2}$,~\Arr $\dot
r^2=2\dfrac{E-U_e}{m'}$,
$\dot r=\sqrt{\dfrac{r}{m'}(E-U_e)}$,
$$t=t_0+\Int\dfrac{dr}{\sqrt{r/m'(E-U_e)}}.$$
$$\phi=\phi_0+\frac{L}{m'}\Int\frac{dt}{r^2}=\phi_0+\Int\frac{L/r^2\,dr}{\sqrt{
r/m'(E-U_e)}}.$$
Последнее является уравнением траектории тела.

\index{Закон!Кеплера}
Рассмотрим центральное поле тяжести: $\vec F=-\gamma\dfrac{m}{r^3}\vec r$,
$\gamma=GM$~---\ж
постоянная Гаусса\н. В таком поле справедливы\ж законы Кеплера\н:
\begin{enumerate}
\item \к Каждая из планет движется по эллипсу, в одном из фокусов которого
находится Солнце\н.
Если учесть массу Солнца $M_{\odot}$, следует сделать поправку: фокус совпадает
с центром
масс системы.
\item \к За равные промежутки времени РВ планеты заметает равные площади
траектории\н (постоянство секторной скорости планет).
\item \к Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы
больших полуосей
их орбит\н: $\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\dfrac{a_1}{a_2}\right)^3$.
Этот закон
является верным лишь в случае, когда $m'\ll M$ (т.е. для планет), иначе:
$$\frac{T_1^2(M_1+m_1)}{T_2^2(M_2+m_2)}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3.$$
\end{enumerate}

\subsection*{Финитное и инфинитное движение под действием сил притяжения}
Составим лагранжиан
$$\Lambda=T-U=\frac12m'\left(\dot r^2+r^2\dot\phi^2\right)+\gamma\frac{m}{r},$$
где $m'=\dfrac{mM}{m+M}$~--- приведенная масса точки, изображающей систему,\\
$r^2\dot\phi=c$~--- удвоенная секторная скорость ($\const$)~\Arr
$\quad\dot\phi=\dfrac{c}{r^2}$.

УЛ: $\dfrac{d}{dt}\partder{\Lambda}{\dot r}-\partder{\Lambda}{r}=0$,~\Arr
$\ddot r-r\dot\phi^2+\dfrac{m}{m'}\dfrac{\gamma}{r^2}=0.$

Пусть $k=\dfrac{m}{m'}=\dfrac{m(m+M)}{mM}=\left(1+\dfrac{m}{M}\right)\eqsim1$,
т.к. обычно $m\ll M$. Далее, т.к. $\dot\phi=\dfrac{c}{r^2}$, то
$$\ddot r-\frac{c^2}{r^3}+\frac{k\gamma}{r^2}=0.$$

$\dot r=\dfrac{dr}{d\phi}\dot\phi=\dfrac{c}{r^2}\dfrac{dr}{d\phi}$, отсюда
$\ddot
r=\dfrac{c}{r^2}\dfrac{d}{d\phi}\left(\dfrac{c}{r^2}\dfrac{dr}{d\phi}\right)$
и
$$\frac{c^2}{r^2}\frac{d}{d\phi}\left(\rev{r^2}\frac{dr}{d\phi}\right)-\frac{c^2
}{r^3}
=-\frac{k\gamma}{r^2}.$$

Пусть $x=1/r$, тогда
получим:
$\dfrac{dr}{d\phi}=-\dfrac1{x^2}\dfrac{dx}{d\phi}$;
$\dfrac1{r^2}\dfrac{dr}{d\phi}=
-\dfrac{dx}{d\phi}$;~\Arr $\quad \dfrac{d^2x}{d\phi^2}+x=\dfrac{k\gamma}{c^2}$.
Его решение: $x=x_1+x_2=\dfrac{k\gamma}{c^2}+A\cos(\phi+\alpha)$.
$$r=\left[\frac{k\gamma}{c^2}+A\cos(\phi+\alpha)\right]^{-1}=
\frac{\frc{c^2}{k\gamma}}{1+\dfrac{Ac^2}{k\gamma}\cos(\phi+\alpha)}.$$

\index{Движение!спутников}
Получили\ж уравнение
движения\н $\boxed{r=\dfrac{p}{1+e\cos(\phi+\alpha)}}$
, где $p=\dfrac{c^2}{k\gamma}$ и $e=\dfrac{Ac^2}{k\gamma}$~--- параметр и
эксцентриситет орбиты соответственно.
Тогда, если $e<1$ орбита тела будет эллиптической, $e=1$~--- параболической,
$e>1$~--- гиперболической.

Рассмотрим гравитационный потенциал и виды движения при разных энергиях тела
\hbox{$E=T+U_e$}, где $U_e=-\dfrac{\gamma m'}{r}+\dfrac12\dfrac{mc^2}{r^2}$.

\hbox to\textwidth{\includegraphics[width=5cm]{pic/Centr_mass_U}\hss
\parbox{12cm}{\vspace*{-3.5cm}\begin{minipage}{11cm}
\begin{enumerate}
\item $E_1>0$: $r_1\le r\le\infty$~--- бесконечное гиперболическое движение;
\item $E_2=0$: $r_4\le r\le\infty$~--- бесконечное параболическое движение;
\item $E_3<0,\; T\ne0$: $r_2\le r\le r_3$~--- конечное эллиптическое движение;
\item $E_4<0,\; T=0$: $r=r_5=\const$~--- конечное движение по окружности.
\end{enumerate}\end{minipage}}}
\index{Движение!в центрально-симметричном поле|)textbf}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Неинерциальные системы отсчета]{Неинерциальные системы отсчета (НИСО)}
\index{Система!отсчета!неинерциальная}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Движение МТ в НИСО. Силы инерции}
В некоторых случаях оказывается более удобным пользоваться НИСО. В общем случае
СО может быть связана с телом, произвольно движущимся в некоторой ИСО.

Для преобразования координат, скоростей и ускорений, необходимо пользоваться
формулами
для сложного движения точки.

\float{r}{{\includegraphics[width=5cm]{pic/NISO}}}
$\vec r=\vec r_0+\vec r\,'$ \Arr
$\displaystyle\vec v=\frac{d\vec r_0}{dt}+\sum_{\alpha =x,y,z}
x'_{\alpha}\frac{d\veci_{\alpha}}{dt} + \sum_{\alpha =x,y,z}
\frac{dx'_{\alpha}}{dt}\,\veci\,'_{\alpha}.$

\index{Скорость!переносная}
\index{Скорость!относительная}
Обозначим второе слагаемое $\vec v\ind{п}$~--- переносная скорость,
$\vec v\ind{от}$~--- относительная скорость.

Т.к. $\vec v=\vec\omega\times\vec r$,~\Arr
$\boxed{\dot\veci\,'_\alpha=\vec\omega\times\veci\,'_\alpha}\;(*)$.

Тогда $\vec v\ind{п}=\dfrac{d\vec r_0}{dt}+\vec\omega\times\vec r\,'$,
$$\vec a=\left(\ddot{\vec r}_0+\sum
x'_\alpha\frac{d^2\veci\,'_\alpha}{dt^2}\right)+
2\sum\frac{dx'_\alpha}{dt}\frac{d\veci\,'_\alpha}{dt}+\sum\frac{d^2
x'_\alpha}{dt^2}
\veci\,'_\alpha.$$

\index{Ускорение!переносное}
\index{Ускорение!Кориолисово}
Здесь первое слагаемое в скобках~--- переносное ускорение $\vec a\ind{п}$,
второе~--- кориолисово ускорение $\vec a_k$, третье~--- относительное ускорение
$\vec a\ind{от}$. Из $(*)$ получаем:
$$\vec a\ind{п}=\ddotvec r_0+\frac{d\vec\omega}{dt}\times\vec r\,'+
\vec\omega\times[\vec\omega\times\vec r\,'],\quad
\vec a_k=2\vec\omega\times\vec v\ind{от}.$$

\index{Формула!сложения ускорений}
Формула сложения ускорений: $\vec a=\vec a'+\vec a\ind{п}+\vec a_k$.
Где $\vec a$~--- ускорение МТ в неподвижной системе, $\vec a'$~--- ускорение в
движущейся системе, $\vec a\ind{п}$~--- переносное ускорение, $\vec a_k$~---
кориолисово ускорение.
$$\vec a\ind{п}=\frac{d^2\vec r_0}{dt^2}+\vec\epsilon\times\vec
r\,'+\vec\omega\times
\left[\vec\omega\times\vec r\,'\right];\quad
\vec a_k=2\vec\omega\times\dotvec r\,'=2\vec\omega\times\vec v\ind{от}.$$
Т.к. $\vec F=m\vec a$, то $\vec F=m\vec a'+m\vec a\ind{п}+m\vec a_k$.

В подвижной НИСО это уравнение имеет подобие 2ЗН:
$$m\vec a'=\vec F+(-m\vec a\ind{п})+(-m\vec a_k).$$
Второе и третье слагаемые удобно рассматривать как особые силы~---\ж силы
инерции\н:
\hbox{$\veci_k=-m\vec a_k$}~--- кориолисова сила и $\veci\ind{п}=-m\vec
a\ind{п}$~---
переносная сила, кроме того, для несвободной МТ добавится сила реакции $\vec R$
\Arr
$$m\vec a'=\vec F+\vec R+\veci\ind{п}+\veci_k.$$

Если МТ покоится в ИСО, то $v\ind{от}=0$, $a'=0$, $a_k=0$ \Arr
$$\vec F+\vec R+\veci\ind{п}=0.$$

\subsection*{Принцип д'Аламбера (ПдА)}
\index{Принцип! д'Аламбера}
ПдА для свободной МТ эквивалентен основному закону динамики, а для
несвободной~---
основному закону вместе с аксиомой связи.

\к При движении МТ активные силы и реакции связей вместе с силой инерции точки
образуют
равновесную систему сил\н:
$$\vec F+\vec R+\veci=0, \quad\mbox{или}
\quad \{\vec F,\vec R,\veci\}\sim0.$$
Т.о., ПдА есть условие относительного равновесия для сил в собственной СО.

Для СМТ ПдА формулируется так:\к при движении механической системы сила и
реакция связей
вместе с силой инерции составляют равновесную для каждой точки систему\н:
$$\{\vec F_k,\vec R_k,\veci_k\}\sim0,\quad k=\overline{1,N}.$$

\subsection*{Лагранжиан частиц в НИСО}
\index{Уравнение!Лагранжа!для НИСО}
Рассмотрим МТ $m$, находящуюся в потенциальном поле. Тогда в неподвижной ИСО:
$$L=\frac{mv^2}2-U(\vec r),$$
в движущейся НИСО:
$$\vec v=\vec v'+\vec v_0+\vec\omega\times\vec r\,';\quad U(\vec r)=U(\vec
r\,')\;\Arr$$
$$L'=\frac{mv^2}2+\frac{m}2[\vec\omega\times\vec r\,']^2+m\vec v'\cdot
[\vec\omega\times\vec r\,']+\frac12m \vec v_0^2+
m\vec v_0(\vec v'+\vec\omega\times\vec r\,')-U(\vec r\,').$$

$m\vec v_0(\vec v'+\vec\omega\times\vec r\,')=\dfrac{d}{dt}(m\vec r\,'\vec v_0)-
m\vec r\,'\vec a_0$, т.к. $\dfrac{d\vec r\,'}{dt}=\vec v'+\vec\omega\times\vec
r\,'$.

Отбросив слагаемые, не зависящие от $r\,'$ и $v'$, а также полную производную
по времени (она не влияет на уЛ), получим:
$$L'=\frac{mv'^2}2+\frac{m}2[\vec\omega\times\vec r\,']^2-m\vec r\,'\vec a_0-
U(\vec r\,')+m\vec v'[\vec\omega\times\vec r\,'].$$

Запишем уЛ: $\displaystyle\frac{d}{dt}\partder{L'}{\vec v'}-
\partder{L'}{\vec r\,'}=0$. Отсюда
$$m\frac{d\vec v}{dt}=-\partder{U}{\vec r\,'}-m\vec a_0-m\vec\omega\times
[\vec\omega\times\vec r\,']-m\dot{\vec\omega}\times\vec r\,'
-2m\vec\omega\times\vec v'.$$

\index{Сила!обобщенно-потенциальная}
Таким образом, уЛ инвариантны по отношению к переходам между НИСО и силы инерции
принадлежат к\к обобщенно-потенциальным силам\н.

\subsection*{Маятник Фуко}
\index{Маятник!Фуко}
\ж Маятник Фуко\н~--- маятник большой длины со сферическим подвесом. Рассмотрим
уравнение его движения:
$$m\vec a=\vec G+\vec R-2m\vec\omega\times\dot{\vec r},$$
где $\vec G$~--- сумма силы тяжести и центробежной силы инерции. Обозначим
$\phi$~--- широта места, $\theta$~--- угол, характеризующий плоскость вращения.
Расположим начало отсчета в центре неподвижно висящего подвеса.

Сила тяжести $\vec G=-mg\vec k$, сила реакции $\vec R=-N\left(\dfrac{x}{l}\veci+
\dfrac{y}{l}\vecj+\dfrac{z-l}{l}\veck\right)$, угловая скорость
$\vec\omega=-\omega\cos\phi
\veci+\omega\sin\phi\vec k$, кориолисова сила
$$\vec I_k=2m\omega\left[
\dot y\sin\phi\veci-(\dot z\cos\phi+\dot x\sin\phi)\vecj+\dot y\cos\phi\vec
k\right].$$
Тогда, применяя принцип д'Аламбера, получим систему уравнений:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
m\ddot x& =&~-N\dfrac{x}{l}+2m\omega\dot y\sin\phi,\\[4mm]
m\ddot y& =&~-N\dfrac{y}{l}-2m\omega\left(\dot z\cos\phi+\dot
x\sin\phi\right),\\
m\ddot z& =&~-mg+N\dfrac{l-z}{l}+2m\omega\dot y\cos\phi.
\end{array}\right.$$

Рассмотрим малые колебания маятника. Вычисления будем проводить с точностью до
$x/l$, $y/l$. Т.к.
$z=l-\sqrt{l^2-x^2-y^2}=l\bigl(1-\sqrt{1-(x/l)^2-(y/l)^2}\bigr)
\approx0$, то $\dot z=\ddot z=0$, следовательно, получим:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
m\ddot x& =&~-N\dfrac{x}{l}+2m\omega\dot y\sin\phi,\\[4mm]
m\ddot y& =&~-N\dfrac{y}{l}-2m\omega\dot x\sin\phi,\\
0& =&~-mg+N+2m\omega\dot y\cos\phi.
\end{array}\right.$$
Из-за малости $\omega$ и $\dot y$, получим из третьего уравнения: $N=mg$ \Arr
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\ddot x& =&~-g\dfrac{x}{l}+2\omega\dot y\sin\phi,\\[4mm]
\ddot y& =&~-g\dfrac{y}{l}-2\omega\dot x\sin\phi.\\
\end{array}\right.\Arr$$
$$x\ddot y-y\ddot x=-2\omega\sin\phi(x\dot x+y\dot y),\quad\mbox{или}$$
$$\frac{d}{dt}\left(x\dot y-y\dot
x\right)=-2\omega\sin\phi\,\frac{d}{dt}\left(\frac{x^2+y^2}2\right).$$
Преобразуем:
$\dfrac{d}{dt}\left(r^2\dot\theta\right)=-2\omega\sin\phi\,\dfrac{d}{dt}
\left(\dfrac{r^2}2
\right)$. Тогда получим уравнение движения маятника:
$$r^2\dot\theta=-\omega\sin\phi\, r^2+\C.$$
\index{Маятник!Фуко!уравнение движения}

При НУ $r|_{t=0}=0$ получим наиболее простой характер движения:
$$\dot\theta\equiv\frac{d\theta}{dt}=-\omega\sin\phi.$$

\subsection*{Теорема Лармора}
\index{Теорема!Лармора}
Пусть $\alpha$~--- угол между осью гироскопа и отвесной линией.
Момент силы $\vec M=\dot{\vec L}$, а т.к. $\vec M=m\vec g\times\vec r$,
получим, что $\dot{\vec L}\perp\vec L$. Т.о., приложенный момент силы не
изменяет
круговую частоту $\omega$, а лишь придает системе прецессию с частотой $\Omega$.

\float{o}{\includegraphics[height=3.5cm]{pic/Larmor}}
По аналогии с $\dot r=\omega r$ получим: $\dot L=\Omega L$ \Arr
$\Omega L=M=mg\frac{l}2\sin\alpha$, а т.к. $L=J\omega$, получим выражение для\ж
Ларморовой частоты\н:
\index{Частота!Лармора}
$$\Omega=\frac{mgl\sin\alpha}{2J\omega}.$$

В случае, когда гироскоп~--- цилиндр, насаженный на бесконечно тонкую ось,
имеем:
$J=\frac12mR^2$,~\Arr
$$\Omega=\frac{gl\sin\alpha}{R^2\omega}.$$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Основы Специальной Теории Относительности]{Основы Специальной Теории
Относительности (СТО)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Принцип относительности и постулат постоянства скорости света}
\index{Теория!относительности}
Принцип относительности Галилея испытал многократные проверки. показывающие, что
он применим не во всех случаях.

\index{Опыт!Майкельсона}
\float{o}{\includegraphics[width=6cm]{pic/Interfero}}
\bf Опыт Майкельсона\н (проверка существования эфира). Плечо $AC$ интерферометра
совпадает с направлением вектора скорости Земли. В результате интерференционная
картина сдвигается. Если же повернуть интерферометр на $90\degr$, полосы
сдвигаются
в другую сторону. Это имело бы место, если бы вращение Земли влияло бы на
скорость света.
В действительности же смещение не было обнаружено. Таким образом, этот опыт
доказал
отсутствие привилегированной СО.

\index{Принцип!относительности}\bf Принцип относительности:\к любое
физическое явление протекает одинаково во всех ИСО\н. Т.о., законы физики
инвариантны по отношению к переходам между ИСО.

\ж Принцип постоянства скорости света:\к во всех ИСО по всем возможным
направлениям скорость распространения света в пустоте имеет  одно и то же
значение, равное $c$\н.
Или же: существует предельная скорость распространения взаимодействий, равная
$c$.

\index{Преобразования!Лоренца}
\subsection*{Преобразования Лоренца и их инварианты}
Согласно модели СТО, геометрическое пространство трехмерно и
евклидово,
непрерывно, однородно и изотропно. Время одномерно, непрерывно, однородно и
однонаправленно.

Рассмотрим две СК $K$ и $K'$, причем $K'$ движется относительно $K$ со скоростью
 $V=v_x$ ($v_y=v_z=0$). Совместим часы СК в некоторый момент времени $t=t'=0$.
 Нештрихованная система движется в $K'$ со скоростью $v'_x=-V$ ($v'_y=v'_z=0$).
Часы в системах синхронизируем по импульсу, распространяющемуся со скоростью
света $c$.
По сигналу, испущенному в $K$ при $t=0$, часы, расположенные на расстоянии $r$
от
начала координат, будут выставлены на время $t=r/c$, а в $K'$~--- на время
$t'=r\,'/c$.

\float{O}{\includegraphics[width=7cm]{pic/SK}}%23
Пусть в момент $t=t'=0$ центры систем ($O$ и $O'$) совпадают. Искомые
преобразования
должны быть линейными, т.к. пространство и время однородны,~\Arr $y'=\epsilon
y$,
$z'=\epsilon z$ (один и тот же коэффициент взят в силу изотропности
пространства).

Т.к. обе системы равноправны, то $y=\epsilon y'$, $z=\epsilon z'$.~\Arr
$\epsilon=
\pm1$. Направления осей СК совпадают,~\Arr $\epsilon=1$. Т.е. \fbox{$y'=y,\;
z'=z$}

Граничные условия для $x$: $\displaystyle\left\{{x'=0,}\atop{x=vt;}\right.$
(координаты~$K$)
$\displaystyle\left\{{x'=-vt',}\atop{x=0;}\right.$ (координаты~$K'$).~\Arr

$$x'=\gamma(x-Vt),\;x=\gamma(x'+Vt').$$

Пусть теперь в момент $t=t'=0$ из начала координат посылается световой сигнал,
который
фиксируется в обеих системах. Этому событию соответствуют координаты $x=ct$ и
$x'=ct'$.~\Arr
$ct'=\gamma(c-V)t,\; ct=\gamma(c+V)t'.$~\Arr

$$\gamma=\frac{\pm1}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}$$

Т.к. обе системы правовинтовые, выбираем $+1$.~\Arr

$$\fbox{$\displaystyle x'=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}},\quad
x=\frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}$,}\qquad
\fbox{$\displaystyle
t'=\frac{t-\dfrac{V}{c^2}x}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}},\quad
t=\frac{t'+\dfrac{V}{c^2}x'}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}$,}$$%$

$$\Delta x'=\Delta x\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}},\quad
\Delta t=\dfrac{\Delta t'}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}.$$
\index{Время!собственное}
$\Delta t'\equiv\Delta\tau$ называется\ж собственным
временем\н\index{Время!собственное}, $\Delta\tau=\Delta
t\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}$.

\index{Преобразования!Галилея}
Если положить $c=\infty$, эти формулы переходят в Галилеевы:
$$t'=t,\;x'=x-Vt,\;y'=y,\;z'=z.$$

В классической механике $V/c\ll 1$, так что выполняются преобразования Галилея.
\index{Принцип!соответствия}
\ж Принцип соответствия\н: более общие теории содержат менее общие в качестве
предельных случаев.

\subsection*{Неевклидова метрика пространства-времени. Следствия преобразований
Лоренца. Сложение скоростей}
Из формул преобразований Лоренца получим:
$$dt=\frac{dt'+\dfrac{V}{c^2}dx}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}};\qquad
dx=\frac{dx'+V\,dt'}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}},\quad
dy=dy',\quad dz=dz'.$$

Т.к. $v_{\alpha}=\dfrac{dx_{\alpha}}{dt}$, получим:
$$v_x=\frac{v_{x'}+V}{1+\dfrac{v_{x'}V}{c^2}};\quad
v_y=\frac{v_{y'}\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}{1+\dfrac{v_{x'}V}{c^2}};\quad
v_z=\frac{v_{z'}\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}{1+\dfrac{v_{x'}V}{c^2}}.$$

Преобразования скорости переходят в классический вид $v_x=v_{x'}+V$,
$v_y=v_{y'}$,
$v_z=v_{z'}$ при $c=\infty$.


Помимо $c$ существует еще один инвариант. Пусть при $t=t'=0$ в начале координат
систем
произошла вспышка света. В обеих СК будет распространяться сферическая волна с
уравнением
$x^2+y^2+z^2-c^2t^2=0$ (в системе $K$) и $x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=0$ (в системе
$K'$).
Следовательно, для всех ИСО существует единый\ж интервал\н:\index{Интервал}
$$(\Delta S)^2=-c^2(\Delta t)^2+(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2.$$

Трехмерное пространство оказывается в тесной связи с временем, образуя единое
четырехмерное пространство.

Если $(\Delta S)^2>0$, интервал называют\ж пространственноподобным\н, при
$(\Delta S)^2<0$~---\ж времениподобным\н.

Интервал можно интерпретировать как расстояние между двумя точками в
четырехмерном пространстве
с координатами $x_0=ict$, $x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=z$. Т.о., любую точку можно
определить
4-вектором $\hat x=(ict,x,y,z)$. Причем длина этого вектора не изменяется при
переходе между
ИСО. От евклидова такое пространство отличается комплексностью первой
координаты. Такое
пространство называется\ж вещественным псевдоевклидовым пространством
индекса~1\н.
Также его называют\ж пространством Минковского\н.

Переход от одной ИСО к другой сводится, т.о., к повороту осей прямоугольной
4-мерной
системы координат.

\subsection*{Относительность одновременности. Причинность. Сокращение длин
движущихся
отрезков и замедление темпа времени}
События, разделенные пространственноподобным интервалом, отстоят друг от друга
на таком
расстоянии или (и) следуют друг за другом так быстро, что свет не успевает дойти
от 1-го
до 2-го. Т.о., можно найти такую третью ИСО, в которой оба события наступят
одновременно: $t_2'=t_1'$ (или $\Delta S=\Delta l$).

Причинно связанные события не могут быть разделены пространственноподобным
интервалом,
т.е. связаны времениподобным интервалом (иначе бы скорость света должна была
быть
бесконечной). В этом случае можно найти такую ИСО, в которой оба события
произойдут в
одной точке, т.е. в этом случае интервал играет роль времени, протекающего между
событиями в собственной СК.

\index{Парадокс!близнецов}
Из формул $\Delta x'=\Delta x\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}$ и
$\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}$ следует, что в движущейся СК
сокращаются длины отрезков и замедляется темп времени (\bf парадокс
близнецов\н).
Человек, движущийся в ракете с довольно большой скоростью, медленнее стареет.

\subsection*{Релятивистское уравнение движения. Соотношения $m-E$}
Рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух частиц $m_1=m_2=m$.
$K'$~свяжем с центром масс системы, $K$~--- с одной из частиц.
В системе~$K'$ суммарный импульс до и после соударения равен нулю. В
системе~$K$:
$$v_{1_x}=\frac{v'_{1_{x'}}+V}{1+\dfrac{Vv'_{1_{x'}}}{c^2}}=\frac{2V}{1+\dfrac{
V^2}{c^2}};\quad
v_{2_x}=\frac{-V+V}{1-\dfrac{V^2}{c^2}}=0.$$

Т.о., до соударения в $K$ суммарный импульс равен
$\dfrac{2mV}{1+\frac{V^2}{c^2}}$
После соударения он равен $2mV$. Перейдем к собственному времени:
$p=m\dfrac{dr}{d\tau}$.
\index{Импульс!в СТО}
\Arr получим\ж релятивистское выражение для импульса\н:
$$p=m\frac{dr}{d\tau}\frac1{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\frac{mv}{\sqrt{1-\dfrac{
v^2}{c^2}}}.$$

\index{Масса!в СТО}
Таким образом, нельзя считать массу образовавшейся частицы равной $M=2m$. Для
массы
также необходимо использовать релятивистское выражение:
$$M=\frac{2m}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$

Получим теперь 2 закон Ньютона для СТО:
\index{Закон!Ньютона!второй для СТО}
\index{Сила!в СТО}
$$\vec F=\frac{\vec p}{dt}\quad\Arr\quad \vec F=\frac{d}{dt}\biggl(\frac{m\vec
v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\biggr).$$

Найдем кинетическую энергию тела. $dA=dT$ \Arr т.к. $dA=F\,ds$, а $ds=v\,dt$,
получим:
$$\vec v\frac{d}{dt}\biggl(\frac{m\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\biggr)=\vec
F\,d\vec s,\quad\Arr\quad
dT=v\,d\biggl(\frac{m\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\biggr)\quad\Arr\quad
dT=d\biggl(\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\biggr).
$$
$$T=\Int_0^v dT=mc^2\biggl(\frac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\biggr).$$

\index{Энергия!покоя}
Т.о., ЗСЭ оказывается инвариантным, лишь если свободной частице помимо
кинетической энергии
приписать дополнительную энергию $E_0=mc^2$ (\ж энергия покоя\н). В общем случае
$$\fbox{$E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$}$$%$

Сравнивая выражения для энергии и импульса, получим, что $\vec
p=\dfrac{E}{c^2}\vec v$,
отсюда получим еще один инвариант СТО:

$$\fbox{$-\dfrac{E^2}{c^2}+p^2=-m^2c^2=\mathrm{inv}.$}$$%$
Т.е. существует еще и четырехвектор энергии-импульса $\hat
p=\left(-i\dfrac{E}{c},p_x,p_y,p_z\right)$,
также являющийся инвариантом.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Динамика абсолютно твердого тела]{Динамика абсолютно твердого тела
(АТТ)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Момент силы. Момент импульса тела.}
\index{Момент!силы}
\float{O}{\includegraphics[width=3.5cm]{pic/Moments}}%27
\bf Момент силы\н $\vec M=\vec r\times\vec F$ (относительно точки).

\index{Плечо силы}
Момент силы относительно оси есть проекция на эту ось момента силы, взятого
относительно
какой-либо точки на этой оси: $M=rF\sin\phi$, где $r\sin\phi$~---\ж плечо
силы\н.

\index{Момент!импульса}
\ж Момент импульса точки\н $\vec L=\vec r\times\vec p=m\vec r\times\vec v$.

Для тела: $d\vec L=\vec r\times\vec v\,dm$,~\Arr $\vec L=\Int_V\vec r\times\vec
v\,dm$.
Т.к. $\vec v=\vec{v_0}+\vec\omega\times\vec r\,'$, где $\vec{v_0}$~-- скорость
полюса, $\vec\omega$~-- угловая скорость тела, получим:
$$\vec L=\Int_V \vec r\,'\times\vec{v_0}\,dm+\Int_V\vec
r\,'\times[\vec\omega\times\vec r\,']dm=
m\vec{r_c}'\times\vec{v_0}+\vec\omega\Int_V {r\,'}^2dm-\Int_V\vec
r\,'(\vec\omega\cdot
\vec r\,')dm,$$
где $r_c$~-- РВ ЦМ в собственной СК.

Совместим полюс с ЦМ ($\vec{r_c}=0$), выражение для $L$ упростится:
$$\vec L=\vec\omega\Int_V {r\,'}^2dm-\Int_V\vec r\,'(\vec\omega\cdot\vec
r\,')dm.$$

\subsection*{Момент инерции}
\index{Момент!инерции}
Раскроем скобки в последнем выражении для $L$:
$$\vec
L=(\omega_{x'}\veci+\omega_{y'}\vecj+\omega_{z'}\veck)\Int_V({x'}^2+{y'}^2+{x'}
^2)dm-
\Int_V(x'\veci+y'\vecj+z'\veck)(\omega_{x'}x'+\omega_{y'}y'+\omega_{z'}z')dm.$$
Тогда, например, проекция момента импульса на ось $X'$:
$$L_{x'}=\omega_{x'}\Int_V({y'}^2+{z'}^2)dm-\omega_{y'}\Int_V x'y'dm-
\omega_{x'}\Int_V x'z'dm.$$

Обозначим $\I_{\aleph\beth}=\Int_V[({x'}^2+{y'}^2+{x'}^2)\delta_{\aleph\beth}-
\aleph\beth]dm$~---\ж тензор момента инерции\н,\index{Тензор!момента инерции}
где $\aleph,\beth=\overline{x',y',z'}$: $\boxed{\vec L=\I\cdot\vec\omega}$.

Величину $H=\Int_V({x'}^2+{y'}^2+{z'}^2)dm=\const$ называют\ж полярным моментом
инерции\н.\index{Момент!инерции!полярный}

\bf Теорема Штейнера\н\index{Теорема!Штейнера}:
$\I_s=\I_c+md^2$, где $\I_s$~-- момент инерции относительно оси, проходящей
через ЦМ, $\I_s$~-- относительно другой параллельной оси, $d$~-- расстояние
между этими осями.

Диагональные элементы тензора $\I$ являются моментами инерции относительно осей
$x'$, $y'$ и $z'$. Остальные компоненты называются\ж центробежными моментами\н
инерции.\index{Момент!инерции!центробежный}

Момент инерции относительно любой оси $S$ есть:
$$\I_s=\I_{11}\alpha^2+\I_{22}\beta^2+ \I_{33}\gamma^2+
2(\I_{12}\alpha\beta+\I_{13}\alpha\gamma+\I_{23}\beta\gamma),$$
где $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1$~-- направляющие косинусы оси $S$.

Как и любой другой, тензор $\I$ можно привести к собственной СК, где
он примет диагональный вид:

\float{l}{$\I=\begin{pmatrix}I_1&0&0\\
0&I_2&0\\ 0&0&I_3\end{pmatrix},$}
\noindent компоненты $I_1$, $I_2$ и $I_3$ называются\ж главными центральными
моментами
инерции\н.

Т.к. $\alpha\beta=\beta\alpha$, то $\I$ является симметричным тензором и имеет
всего 6 различных компонент.

\index{Волчок}Если у тела $I_1\ne I_2\ne I_3$, его называют\ж асимметричным
волчком\н, если $I_1=I_2\ne I_3$~---\ж симметричным волчком\н, если же
$I_1=I_2=I_3$~--- шаровым.

Найдем геометрическое место отрезков длиной $r=(I_s)^{-1/2}$:
$$I_{xx}x^2+I_{yy}y^2+I_{zz}z^2+2I_{xy}xy+2I_{xz}xz+2I_{yz}yz=1,$$
получили уравнение эллипсоида. В собственной СК оно примет вид:
$$I_1x_0^2+I_2y_0^2+I_3z_0^2=1.$$
Оси $X_0$, $Y_0$ и $Z_0$ называют\ж главными осями инерции\н.
Итак, главные оси инерции~--- три взаимно перпендикулярных направления,
проходящих через данную точку, относительно которых моменты инерции
тела имеют экстремальные значения (минимум для большой оси, максимум
для малой и минимакс для средней).

\subsection*{Момент инерции относительно оси}
В общем случае, $L_s=\I_c\omega_c$ ($\omega_c=\omega_{x'}^2\alpha^2+
\omega_{y'}^2\beta^2+\omega_{z'}\gamma^2$). Если оси координат совместить
с главными осями инерции тела, получим: $L_{x'}=I_1\omega_{x'}$,
$L_{y'}=I_2\omega_{y'}$, $L_{z'}=I_3\omega_{z'}$.
Т.е. в общем случае $\vec L$ не совпадает по направлению $\vec\omega$.
Совпадение наблюдается лишь в случае, когда осью вращения служит одна из
осей инерции: $\omega_{x'}=\omega$, $\omega_{y'}=\omega_{z'}=0$.
Тогда $L_{x'}=I_1\omega$, $L_{y'}=L_{z'}=0$.
Для этого случая справедливо векторное равенство: $\vec L=I_1\vec\omega$.

\subsection*{Физический маятник. Теорема Гюйгенса}
\index{Маятник!физический}\index{Теорема!Гюйгенса}
\bf Теорема Гюйгенса\н (частный случай теоремы Штейнера):
\к если маятник подвесить за центр качания $A'$, то его период
не изменится; прежняя точка подвеса $A$ сделается новым центром
качания\н.
Эта теорема справедлива для любого физического маятника.

\float{I}{\includegraphics[width=3.5cm]{pic/Phys_pendulum}}
\bf Физический маятник\н~--- ТТ, которое может вращаться вокруг неподвижной
горизонтальной оси.\ж Точка подвеса\н~--- точка пересечения горизонтальной
оси вращения и прямой, проходящей через ЦМ тела.

Уравнение движения: $\I\dot\omega=-mga\sin\phi$. При малых
углах $\phi$: $\I\dot\omega=-mga\phi$ или
$\I\ddot\phi+mga\phi=0$ \Arr\\
$\phi=\Phi\sin\bigl(t\sqrt{mga/I}+\phi_0\bigr)$.
Т.о., малые колебания физического маятника происходят по гармоническому
закону с периодом
$$T\ind{Физич.М.}=2\pi\sqrt{\frc{I}{mga}},\qquad
T\ind{Матем.М.}=2\pi\sqrt{\frc{l}{g}}.$$ %$

\index{Длина!приведенная}\bf Приведенной длиной\н физического маятника
называется величина $l=\frac{I}{ma}=AA'$. Эта величина является длиной
подвеса математического маятника с таким же периодом колебаний.
\index{Центр!качания}Точка $A'$ называется\ж центром качания\н
(математическая точка, в которой надо сосредоточить всю массу маятника, чтобы
период его колебаний остался без изменения.

По теореме Штейнера $I=I_c+ma^2$ \Arr $l=\frac{I_c}{ma}+a$.
Следовательно, $l>a$ и периоды колебаний относительно любой точки подвеса,
удаленной от центра на расстояние $a$, одинаковы.

\it Доказательство теоремы Гюйгенса\н. Пусть теперь $A'$~--- центр
качания. Тогда $l'=a'+\frac{I_c}{ma'}=l-a+\frac{I_c}{ma'}$;
$a'=l-a=\frac{I_c}{ma}$ \Arr $\frac{I_c}{ma'}=a$ \Arr
$l=l'$, что и требовалось доказать.

\subsection*{Уравнение движения и уравнение моментов. Плоское движение}
Для ТТ справедлива теорема о движении ЦМ системы: $m\vec a=\vec F$, т.е.
ЦМ системы движется как точка, в которой сосредоточена вся масса тела, а
к ней приложен главный вектор сил, действующих на тело.
Координаты центра масс:
$$\aleph_c=\rev m\Int_V\rho\aleph\,dV,\qquad \aleph=\overline{x,y,z}.$$

В проекциях имеем: $m\ddot\aleph_c=F_\aleph$. В случае плоского движения
тела $\omega=0$ и все тело можно рассматривать как материальную точку (ЦМ).
В данном случае $M=0$.

Найдем теперь уравнения движения в случае сложного движения ТТ.
В общем случае, $(\dotvec{L})_{\aleph'}\ne\dot{L}_\aleph$.
Вид теоремы об изменении $L$ совпадает с теоремой для МТ:
$\dotvec{L}=\vec M$.

Пусть $\vec V$~--- скорость движения конца вектора $\vec L$, тогда получим:
$\vec V=\vec L$.\ж Теорема Резаля\н\index{Теорема!Резаля}:\к скорость движения
конца вектора момента импульса ТТ по величине и направлению совпадает с
вектором главного момента сил, приложенных к телу\н.

По теореме о сложении скоростей: $\vec V=\vec V\ind{Отн}+\vec V\ind{Пер}$.
Пусть $\vec V\ind{Отн}=\dotvec L^{*}$. Переносную скорость получим, считая $\vec
L$
неподвижным относительно тела. Тогда скорость конца вектора совпадет со
скоростью точки с РВ $\vec r=\vec L$: $\vec V\ind{Пер}=\vec\omega
\times\vec L$. Т.о., для производной $\vec L$ имеем общую формулу:
$$\frac{d\vec L}{dt}=\frac{d\vec L^{*}}{dt}+\vec\omega\times\vec L,\quad
(\,(\dotvec L^{*})_{x,y,z}=\dot L_{x,y,z}\,)\quad\Arr\quad
\vec M=\frac{d\vec L^{*}}{dt}+\vec\omega\times\vec L.$$

Проецируя последнее уравнение на оси СК, совпадающей с положением главных
осей инерции, получим:
$$M_{x'}=\frac{d\vec
L_{x'}}{dt}+\omega_{y'}L_{z'}-\omega_{z'}L_{y'},\quad\ldots$$
Так как $L_\aleph=I_{\aleph\aleph}\omega_\aleph$, получим систему\ж
динамических уравнений Эйлера\index{Уравнения!Эйлера!динамические}\н:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
I_1\dfrac{d\omega_{x'}}{dt}+(I_3-I_2)\omega_{y'}\omega{z'}&=&M_{x'},\\[3mm]
I_2\dfrac{d\omega_{y'}}{dt}+(I_1-I_3)\omega_{z'}\omega{x'}&=&M_{y'},\\[3mm]
I_3\dfrac{d\omega_{z'}}{dt}+(I_2-I_1)\omega_{x'}\omega{y'}&=&M_{z'}.
\end{array}\right.$$

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси, $\vec M=\dotvec L^{*}$,
$\vec L=I\vec\omega$ \Arr $\vec M=\I\dotvec\omega=\I\ddotvec\phi$.

\subsection*{Закон сохранения момента импульса}
\index{Закон!сохранения!момента импульса ТТ}
Если $\vec M=0$, то, естественно, $\dot L=0$, следовательно, $\vec
L=\vec\const$.
Т.о., в отсутствии внешних моментов МИ остается постоянной величиной.

\subsection*{Кинетическая энергия ТТ}
\index{Энергия!кинетическая!ТТ}
Будем исходить из\ж теоремы К\"енига\н\index{Теорема!Кенига@К\"енига}:
$$T=\frac12mv_c^2+\frac12\sum_{i=1}^n m_i(v_i')^2.$$

Движение элементов ТТ относительно системы, движущейся поступательно
вместе с ЦМ, имеет место только вследствие вращения вокруг мгновенной
оси, проходящей через ЦМ: $\vec v=\vec\omega\times\vec r$. Следовательно,
кинетическая энергия вращательного движения
$$T\ind{Вращ}=\frac12\Int_V[\vec\omega\times\vec r]^2dm=\frac12\omega^2\Int_V
R^2dm=\frac12\I_s\omega^2,$$
т.к. $r\sin(\vec\omega\times\vec r)=R$ \Arr полная кинетическая энергия
ТТ:
$$T=\frac12mv_c^2+\frac12\I_s\omega^2.$$

Эта формула имеет место лишь в случае, когда $\vec\omega=\vec\const$,
иначе $\omega_{x'}=\omega\alpha$,  $\omega_{y'}=\omega\beta$,
$\omega_{z'}=\omega\gamma$;
$$T_B=\frac12\left(I_1\omega_{x'}^2+I_2\omega_{y'}^2+I_3\omega_{z'}^2\right)=
\frac12\left(\frac{L_x^2}{I_1}+\frac{L_y^2}{I_2}+\frac{L_z^2}{I_3}\right).$$

Если ось вращения неподвижна, то $T_B=\frac12I\omega^2=\frac12\frac{L^2}{I}$.

\subsection*{Движение тела с закрепленной точкой. Уравнения Эйлера}
\float{O}{\includegraphics[width=7cm]{pic/Eiler_SK}}
Т.к. $\vec L=\I\vec\omega$, то в главных осях
$$T=\frac12\left(I_x\omega_x^2+I_y\omega_y^2+I_z\omega_z^2\right),\quad\text{
т.к. }T_c=0$$

\bf Кинематические уравнения Эйлера\н:\index{Уравнения!Эйлера!кинематические}

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\omega_x&=&\dot\psi\sin\theta\sin\phi+\dot\theta\cos\phi,\\
\omega_y&=&\dot\psi\sin\theta\cos\phi-\dot\theta\sin\phi,\\
\omega_z&=&\dot\psi\cos\theta+\dot\phi.
\end{array}\right.$$
Здесь $\psi$~---\ж угол прецессии\н\index{Угол!прецессии},
$\theta$~---\ж угол нутации\н\index{Угол!нутации},
$\phi$~---\ж угол собственного вращения\н\index{Угол!собственного вращения}.

\bf Теорема Эйлера\н:\index{Теорема!Эйлера}\к
любое движение ТТ, имеющего одну неподвижную точку, можно рассмотреть как
вращение
вокруг мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку\н.

\subsection*{Гироскопы. Прецессия и нутация}
\bf Гироскоп\н\index{Гироскоп}~--- симметричное ТТ, совершающее движение вокруг
неподвижной точки О, расположенной на оси симметрии OZ. Эллипсоид инерции
гироскопа является эллипсоидом вращения с главной осью вдоль оси вращения.

\float{O}{\includegraphics[width=7cm]{pic/Hyroskope}}
\bf Астатический гироскоп\н~--- гироскоп
с неподвижной точкой в ЦМ, если на него действуют только силы тяжести и
реакции неподвижной точки.

Ось гироскопа $AA'$. Пусть $\vec\omega=\vec\omega_\parallel+
\vec\omega_\perp$, где $\omega_\parallel$ параллелен оси $AA'$,
а $\omega_\perp$ перпендикулярен ей.
Тогда $\vec L=\vec L(\vec\omega_\parallel+\vec\omega_\perp)=
I_\parallel\omega_\parallel+I_\perp\omega_\perp$,~\Arr
$T=\frac12\left(I_\parallel\omega_\parallel^2+I_\perp\omega_\perp^2\right)$.

Согласно уравнению моментов, $\dotvec L=\vec M$. Если $M=0$ (\bf свободный\н
гироскоп), получим: $\vec L=\vec\const$, $T=\const$.

Возведем $L$ в квадрат:
$I_\parallel^2\omega_\parallel^2+I_\perp^2\omega_\perp^2=\const$
\Arr модули компонент $\vec L$ и $\vec\omega$ будут постоянными,~\Arr
остается постоянным угол между $\vec L$ и $\vec\omega$, а также между
$\vec L$ и осью $AA'$.

Т.к. $\vec L=\vec\const$, то ось фигуры гироскопа ($AA'$) и мгновенная
ось вращаются равномерно вокруг $\vec L$ с некоторой угловой скоростью
$\vec\omega_L$ (вообще говоря, не равной $\vec\omega$). Наблюдается\ж
регулярная прецессия гироскопа\н\index{Прецессия}.

Под действием внешних сил возникает\ж вынужденная
прецессия\н.
Ее проще объяснить приближенной теорией.

Рассмотрим случай, когда вращение гироскопа вокруг $AA'$ намного быстрее
вращения
вокруг перпендикулярной оси, т.е. $L_\parallel\gg L_\perp$.
Тогда $\vec L\approx I_\parallel\vec\omega_\parallel\approx I_\parallel
\vec\omega$. $\vec M=\vec a\times\vec F$~--- момент внешних сил,
$\vec a$~--- РВ точки приложения силы.

Найдем $\vec\Omega$~--- вектор угловой прецессии:
$\dotvec L=\vec\Omega\times\vec L$ \Arr $\vec\Omega\times\vec L=\vec M$.
Если $M$ обусловлен только действием силы тяжести, то
$|\vec\Omega\times\vec L|=\Omega L\sin\alpha$;
$|\vec M|=mgl\sin\alpha$ \Arr
$$\Omega=\frac{mgl}{\I_\parallel\omega}.$$

Т.к. угол между $L$ и $AA'$ постоянен, то $\theta=\const$ \Arr
$\dot\theta=0$. Т.о., угловая скорость нутации равна нулю и кинематические
уравнения Эйлера примут вид:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\omega_x&=&\dot\psi\sin\theta_0\sin\phi,\\
\omega_y&=&\dot\psi\sin\theta_0\cos\phi,\\
\omega_z&=&\dot\psi\cos\theta_0+\dot\phi.
\end{array}\right.$$

\subsection*{Гироскопические силы}
Вычислим момент сил, вызывающих прецессию.

\float{I}{\includegraphics[width=6cm]{pic/Hyro_F}}
По теореме Резаля, $\vec M^{(e)}=\vec V\equiv\dotvec L$,~\Arr
$\vec V=\vec\Omega\times\vec L$, $\vec L=\I_\parallel\vec\omega$,
$$\vec M^{(e)}=\vec\Omega\times\vec
L=\I_\parallel[\vec\Omega\times\vec\omega].$$

Применим одно из следствий ПдА: $\vec M^{(e)}+
\vec M=0$, где $\vec M$~--- момент всех сил инерции гироскопа
относительно его неподвижной точки~---\ж гироскопический
момент\н\index{Момент!гироскопический}.
Тогда
$$M=\I_\parallel\omega\Omega\sin\theta,$$
где $\theta$~--- угол нутации.

Видно, что гироскопический момент равен нулю, если $\Omega=0$ или же
ось гироскопа перпендикулярна оси прецессии.

\bf Правило Жуковского\н\index{Правило!Жуковского}:\к если быстро вращающемуся
гироскопу сообщают вынужденное прецессирующее движение, то возникает
гироскопическая пара сил, стремящаяся сделать ось гироскопа параллельной
оси прецессии, причем так, чтобы после совпадения направления этих
осей оба вращения вокруг них имели одинаковое направление\н.

\section{Деформации}
\input{adddd/12}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Механика жидкостей и газов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Основы гидро- и аэростатики. Закон Паскаля. Сжимаемость
жидкостей и газов. Основное уравнение гидростатики}
Сжимаемость веществ характеризуется\ж коэффициентом
сжимаемости\н\index{Коэффициент!сжимаемости}:
$\gamma=-\rev V\frac{dV}{dp}$ и\ж модулем вектора сжатия\н\index{Вектор!сжатия}:
$K=\gamma^{-1}$.

Для газов $K=\frac{RT}{V}=p$.

У жидкостей сжимаемость чрезвычайно мала, поэтому часто вводят
модель\к абсолютно несжимаемой жидкости\н.\ж Уравнением
состояния\н\index{Уравнение!состояния}
называется характеристическое уравнение $p=f(\rho,T)$.

Действующие на вещество силы делятся на поверхностные и
объемные.\index{Сила!поверхностная}\index{Сила!объемная}
Например, объемной является сила тяжести $F=\rho gV$, поверхностной~---
давление $F=pS$.

Покоящиеся среды изучают\ж гидро- и
аэростатика\н.\index{Аэростатика}\index{Гидростатика}

На единицу объема покоящейся жидкости действует сила $\vec F_V=-\grad p$:
$$\vec F_V=\partder{\vec F}{V}=-\partder{(p\vec S)}{V}=-\vec S\partder{p}{V}=
-\grad\vec p.$$
\bf Основным уравнением гидростатики\н\index{Уравнение!гидростатики!основное}
называют уравнение равновесного состояния ($\vec F_V+\vec f=0$):
$$\boxed{\vec f=\grad p.}$$
Аналогично, основным уравнением гидродинамики является уравнение
Эйлера\index{Уравнение!Эйлера}
$\rho\partder{\vec W}{t}=\vec f-\grad p$.

\bf Закон Паскаля\н\index{Закон!Паскаля}:\к при отсутствии объемных сил в случае
равновесия давление во всех точках жидкости одинаково\н. Действительно:
если $f=0$, то $\grad p=$, откуда $p=\const$. В частности, при
отсутствии внешних сил жидкость находится в равновесии лишь в случае
постоянства давления на ее поверхность; давление на поверхность
возбуждает такое же давление во всех точках жидкости.

\subsection*{Распределение давления в покоящейся среде в поле силы тяжести}
В данном случае $\vec f=\frac{\vec P}{V}=\rho\vec g$.
Пусть $OZ$~--- вертикальная ось, тогда $\partder{p}{x}=\partder{p}{y}=0$,
$\partder{p}{z}=-\rho g$. Т.о., получаем совокупность эквибарных\index{Эквибара}
плоскостей, параллельных $OZ$.

Т.е. при механическом равновесии $p$, $T$ и $\rho$ являются функциями только
$z$ и не зависят от $x$ и $y$. Считая жидкость несжимаемой, получим:
$p=p_0-\rho gz$.

\bf Закон Архимеда\н\index{Закон!Архимеда}:\к на любой элемент жидкости,
находящейся в состоянии равновесия, действует равнодействующая сила
давления, направленная вверх и равная весу выделенного объема жидкости\н.
На погруженное в жидкость тело действует направленная против силы
тяжести сила, равная весу вытесненной телом жидкости.

\bf Гидростатический парадокс\н\index{Парадокс!гидростатический}:\к
сила давления жидкости на дно сосуда не зависит от формы сосуда,
а только от площади дна, разности уровней поверхности жидкости и дна,
а также плотности жидкости\н.

\subsection*{Барометрическая формула}
Обратимся теперь к гидростатике сжимаемой жидкости (или газа).
Наибольший интерес здесь представляет атмосфера Земли.
Предположим, что состав атмосферы не зависит от высоты (что не совсем
верно). На элемент объема атмосферы действует сила тяжести:
$\frac{dp}{dz}=-\rho g$. Для атмосферы выполняется уравнение
Менделеева--Клапейрона\index{Уравнение!Менделеева--Клапейрона}:
$p=\frac{RT}{\mu}\rho$.

В результате получим: $p'=-\frac{\mu g}{RT}p$. Считая атмосферу
изотермической (что также неверно), получим: $\frac{dp}{p}=-
\frac{\mu g}{RT}dz$. Получим\ж барометрические
формулы\н:\index{Формула!барометрическая}
$$\boxed{p=p_0\exp\left(-\frac{\mu
gz}{RT}\right)}\qquad\boxed{\rho=\rho_0\exp\left(-\frac{\mu gz}{RT}\right)}.$$

При подъеме на высоту $H=RT/(\mu g)$ давление убывает в $e$ раз. Эту высоту
называют\ж высотой однородной атмосферы\н (высота атмосферы с постоянной
плотностью, дающая то же давление $p_0$). Таким образом,
$$p=p_0\exp\left(-\frac{z}{H}\right).$$

\subsection*{Стационарное течение жидкости. Линии тока}
\bf Поле скоростей\н\index{Поле!скоростей}~--- картина распределения
скоростей жидкости в любой ее точке.
Если поле скоростей не меняется с течением времени, жидкость
движется стационарно. Линии тока при стационарном движении жидкости
совпадают с траекториями частиц.\ж Линия тока\н\index{Линия тока}~---
траектория движения частиц жидкости.
%годограф векторов скоростей жидкости.
%(\bf Годограф\р\index{Годограф}~--- кривая, являющаяся геометрическим местом
%концов вектора, изменяющегося с течением времени, значения которого
%в разные моменты времени отложены от некоторой общей точки.)

Возьмем произвольный замкнутый контур $C$, через каждую точку которого
проведем линии тока~---\ж трубку тока\н\index{Трубка тока}. Естественно,
жидкость не может пересечь боковую поверхность трубки тока.

За время $dt$ через полное сечение трубки тока пройдет масса жидкости
$dm=\rho vS\,dt$. Для двух поперечных сечений трубки тока $S_1$
и $S_2$ выполняется уравнение: $\rho_1v_1S_1=\rho_2v_2S_2$.
Для несжимаемой жидкости получим уравнение:
$$\frac{v_1}{v_2}=\frac{S_2}{S_1}.$$

\subsection*{Уравнение Бернулли}
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в поле силы тяжести.
\float{O}{\includegraphics[width=7cm]{pic/Bernulli}}%35
Вычислим работу, совершаемую силами давления при перемещении бесконечно
малого объема жидкости вдоль трубки тока.

При перемещении верхней границы $B$ на $l_1$ совершается работа
$A_1=p_1S_1l_1=p_1\Delta V_1$, или же $A_1=p_1\Delta m_1/\rho_1$.
При перемещении границы $C$ на $l_2$ совершается работа против
сил давления $p_2$: $A_2=p_2\Delta m_2/\rho_2$.

Если движение стационарно, то $\Delta m_1=\Delta m_2=\Delta m$~\Arr
$A=A_1-A_2=\left(\frac{p_1}{\rho_1}-\frac{p_2}{\rho_2}\right)\Delta m$.

Пусть $\mathcal E$~--- полная энергия единицы массы жидкости.
Тогда $\Delta E=(\mathcal E_2-\mathcal E_1)\Delta m$.
Приравнивая эту величину работе, получим: $\mathcal E_1+\frac{p_1}{\rho_1}=
\mathcal E_2+\frac{p_2}{\rho_2}$, или же:
$$\boxed{\mathcal E+\frac{p}{\rho}=\const}\quad\text{\ж--- уравнение
Бернулли}.$$

Для несжимаемой жидкости $E=T+U=mv^2/2+mgh$~\Arr $\mathcal E=v^2/2+gh$.
Тогда уравнение Бернулли примет вид\index{Уравнение!Бернулли}:
$$\boxed{\frac{v^2}2+gh+\frac{p}{\rho}=\const}$$

В случае горизонтальной трубки тока: $v^2/2+p/\rho=\const$~\Arr
давление будет больше там, где меньше скорость, и наоборот.

\bf Несжимаемой\н\index{Несжимаемая жидкость} жидкость можно считать
в случае, когда $|\Delta\rho|\ll\rho$. В этом случае, т.к.
$\Delta p=\frac{\rho}2(v_1^2-v_2^2)$, $\Delta\rho=\frac1{c^2}\Delta p$
(здесь $c$~--- скорость звука), получим\ж критерий несжимаемости\н
жидкости в горизонтальной трубке: $|v_2^2-v_1^2|\ll c^2$.
Для вертикальных трубок: $g\Delta h\ll c^2$.

\subsection*{Парадокс д'Аламбера}
На любое тело со стороны потока жидкости действует сила $\vec F=\vec
F_x+\vec F_y$ ($\vec F_x$ параллельна потоку, $\vec F_y$ перпендикулярна
ему).

Если рассмотреть стационарное течение несжимаемой жидкости,
огибающей тело, получается, что\к импульсы жидкости до и после тела
остаются постоянными, следовательно, лобовое сопротивление
равно нулю\н~---\ж парадокс д'Аламбера\н\index{Парадокс!д'Аламбера}.
Т.о., при определении $\vec F_x$ нельзя считать жидкость идеально
несжимаемой.

Рассматриваемое действие идеальной жидкости не распространяется
на $\vec F_y$ и момент, действующий на тело.

Если тело движется неравномерно, оно захватывает с собой\ж
присоединенную массу\н жидкости, оказывающей сопротивление движению
тела, что не приводит к парадоксу д'Аламбера.

\subsection*{Циркуляция}
Все движение жидкостей делится на потенциальное (ламинарное)
и вихревое (турбулентное).
Пусть $\Gamma=\Oint_C\vec v d\vec s$~--- циркуляция скорости
по контуру $C$. Если $\Gamma=0$, движение будет потенциальным,
иначе~--- вихревым.

В случае потенциального течения можно ввести функцию $\phi$~---\ж
потенциал скоростей\н\index{Потенциал!скоростей}:
$\vec v=\grad\phi$.

\bf Ротор (циркуляция) скорости\н:
$$\rot\vec v=\lim_{\Delta S\to0}\rev{\Delta S}\Oint_C\vec vd\vec s.$$

Произвольное движение жидкости можно разложить на вращение и
потенциальное течение. Пусть жидкость вращается с частотой $\omega$
по окружности. Тогда $\Gamma=2\pi rv=2\pi r^2\omega$~\Arr
$\boxed{\rot\vec v=2\omega}$. Т.е. циркуляцию скорости можно
рассматривать как удвоенную угловую скорость вращения жидкости
около данной точки.

\subsection*{Подъемная сила. Формула Жуковского}
Для возникновения подъемной силы, естественно, необходима несимметричная
форма крыла (иначе силы давления сверху и снизу компенсируются).

При огибании воздухом крыла за ним образуются вихри. Эти вихри регулярно
отрываются от крыла и возникают вновь (благодаря силам вязкости, линия
отрыва перемещается вверх, затем вихрь усиливается и возвращается
обратно).

Зависимость подъемной силы от циркуляции поля скоростей воздуха была
установлена независимо друг от друга Жуковским и Куттом. Их формула
относится к крылу бесконечного размаха и относится к единице длины
такого крыла.

Благодаря вязкости, циркуляция является однозначной функцией скорости и
угла атаки.

\float{O}{\includegraphics[width=6cm]{pic/Zhukovsky}}
Рассмотрим совокупность крыльев, расположенных так далеко друг от друга,
что введение дополнительных крыльев пренебрежимо мало влияет на
искажение течения воздуха вблизи другого крыла. Пусть $v_\infty$~---
скорость невозмущенного потока, $v'$~--- скорость, обусловленная
циркуляцией.

Через время $dt$ газ переместиться из плоскости $ABCD$ в $A'B'C'D'$.
Рассчитаем приращение импульса $d\veci$.

Так как слева и справа $v_\infty=v_\infty$, то приращение получит
лишь вертикальная компонента импульса: $dI_y=I_{C'CDD'}-I_{A'ABB'}=
-2lv_\infty\rho v'dt$ (т.к. $l=AB=CD$; $C'CDD'=A'ABB'=lv_\infty dt$).
$2lv'=\Gamma_{ABCD}(\vec v')$. В то же время, $\Gamma=\Gamma(\vec v)$,
т.к. $v_\infty$ не вносит вклада в циркуляцию, следовательно,
$$dI_y=-\Gamma\rho v_\infty dt,\quad \frac{dI}{dt}=F,\quad\boxed{
F_y=\Gamma\rho v_\infty}.$$
Последняя формула называется\ж формулой
Жуковского--Кутта\н\index{Формула!Жуковского--Кутта}.

Здесь $\Gamma$~--- циркуляция вектора скорости вдоль любого замкнутого
контура вокруг крыла; $v_\infty$~--- скорость невозмущенного потока.

\subsection*{Эффект Магнуса}
\float{r}{\vspace*{-3\baselineskip}\includegraphics[width=4cm]{pic/Magnus}}
Если вращающийся цилиндр обтекается равномерным потоком воздуха,
возникает подъемная сила, перпендикулярная направлению внешнего
потока~---\ж эффект Магнуса\н\index{Эффект!Магнуса}.

При вращении тела захватывается приповерхностный слой воздуха.
Обдувающий воздух, взаимодействуя с потоком приповерхностного
слоя, образует вихри (столкновение противоположно
направленных потоков приводит к тому, что вихрь образуется против
направления вращения цилиндра).

Подъемная сила в этом случае также определяется формулой
Жуковского-Кутта.




\section{Движение вязкой жидкости}
\subsection*{Вязкая жидкость. Течение вязкой жидкости по трубе}
В реальных жидкостях, помимо сил нормального давления, действуют еще
и касательные силы вязкости на границах движущихся элементов жидкости.

Для стационарного течения жидкости в трубе необходимо поддерживать
разность давлений в начале и в конце трубы, компенсирующую
силы вязкого трения.

\float{i}{\includegraphics[width=5cm]{pic/viscous}}
Рассмотрим 2 параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми
находится слой жидкости. Пусть пластинка $AB$ неподвижна, а пластинка
$CD$ движется с постоянной скоростью.

Чтобы поддерживать равномерное движение пластины $CD$, к ней
необходимо приложить силу $F$ в сторону движения, а на пластину
$AB$ должна действовать такая же сила, направленная противоположно,
чтобы удержать ее в покое.

Сила $F$ была экспериментально установлена Ньютоном:
$$F=\eta S\frac{v_0}{h},$$
где $\eta$~---\ж вязкость\н\index{Вязкость} жидкости (не зависит
от материала пластины), $S$~--- площадь пластины, $h$~--- расстояние
между пластинами.

За счет трения в трубе скорость зависит от расстояния трубки
тока от центра трубы: $\vec v=\vec v(r)$.

\subsection*{Уравнение Навье--Стокса}
\float{r}{
$\B T=\begin{pmatrix}
\tau_{xx}&\tau_{yx}&\tau_{zx}\\
\tau_{xy}&\tau_{yy}&\tau_{zy}\\
\tau_{xz}&\tau_{yz}&\tau_{zz}\end{pmatrix}$}
Введем тензор напряжений, $\B T$, действующих на элементарный объем
жидкости.

На произвольную наклонную площадку с нормалью $\vec n$ действует напряжение
$\vec\tau_n=\vec\tau_x\alpha+\vec\tau_y\beta+\vec\tau_z\gamma$,
где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$~--- направляющие косинусы нормали.
В проекциях:
$$\left\{
\begin{aligned}
\tau_{nx}=&\tau_{xx}\alpha+\tau_{yx}\beta+\tau_{zx}\gamma;\\
\tau_{ny}=&\tau_{xy}\alpha+\tau_{yy}\beta+\tau_{zy}\gamma;\\
\tau_{nz}=&\tau_{xz}\alpha+\tau_{yz}\beta+\tau_{zz}\gamma;
\end{aligned}\right.,\quad\text{или}\quad\vec\tau_n=\B T\cdot\begin{pmatrix}
\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}.$$

Для жидкости выполняется\ж уравнение
неразрывности\н\index{Уравнение!неразрывности}:
$$\partder{\rho}{t}+\diver(\rho\vec v)=0$$
(для несжимающейся жидкости $\rho=\const$~\Arr $\diver\vec v=0$).

На элемент $dS$ выделенной части сплошной поверхности действует
поверхностная сила $\vec\tau_n dS$, на замкнутый объем $V$ действует
сила $\Int_S\vec\tau_n dS$. Исходя из принципа д'Аламбера, получим:
$$\Int_V(\vec F-\vec a)\rho\,dV+\Int_S\vec\tau_n dS=0,$$
где $\vec F$~-- плотность объемной силы: $\vec F=\frac{d\vec
F\ind{об}}{\rho\,dV}$,
$\vec a$~-- ускорение за счет сил инерции $\vec a\rho\,dV$
($\vec F\ind{об}+\vec am-\veci=0$, $\veci$~-- сила инерции).

\bf Формула Остроградского--Гаусса\н:\index{Формула!Остроградского--Гаусса}
$$\Int_S\vec\tau_ndS=\Int_S(\vec\tau_x\alpha+\vec\tau_y\beta+\vec\tau_z\gamma)dS=
\Int_V\left(\partder{\vec\tau_x}{x}+\partder{\vec\tau_y}{y}+\partder{\vec\tau_z}{z}\right)dV.$$
Получим:$\qquad\displaystyle\Int_V\left(-\vec a\rho+\vec F\rho+\partder{\vec\tau_x}{x}+\partder{\vec\tau_y}{y}+\partder{\vec\tau_z}{z}\right)dV=0$.

Из последнего отношения получим уравнение движения сплошной среды в
напряжениях:
$$\rho\vec a=\rho\vec F+\partder{\vec\tau_x}{x}+\partder{\vec\tau_y}{y}+\partder{\vec\tau_z}{z}.$$
При равновесии $\vec a=0$~\Arr
$\displaystyle\quad\rho\vec F+\partder{\vec\tau_x}{x}+\partder{\vec\tau_y}{y}+\partder{\vec\tau_z}{z}=0$.

Для упругих сплошных сред тензор $\B T$ зависит от тензора скоростей деформации
$\B S$. Экспериментально установлено, что в простейших случаях
$\B T$ линейно зависит от $\B S$ (\bf реологическое уравнение\н)\index{Уравнение!реологическое}:
$\displaystyle\boxed{\B T=a\B S+b\B I}\,,\quad\text{где}\;\B I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\;$%
-- единичный тензор, $a$, $b$~-- скалярные компоненты. Коэффициент
$a$ должен характеризовать жидкость.

Пусть $a=2\eta$, где $\eta$~--\ж коэффициент динамической
вязкости\н\index{Коэффициент!вязкости}.

Коэффициент $b$ может линейно зависеть лишь от линейных инвариантов
тензоров $\B T$ и $\B S$. Для этого подставим в реологическое уравнение
эти инварианты ($\B I$~-- инвариант себя самого):
$$\tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz}=2\eta(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})+3b.$$
Обозначим для краткости $\theta=\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}=
\partder{v_x}{x}+\partder{v_y}{y}+\partder{v_y}{y}=\diver\vec v$
(\bf относительная скорость объемного расширения\н\index{Скорость!объемного расширения}),~\Arr
$b=\rev3(\tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz})-\frac23\eta\theta.$

На рассматриваемый элемент $V$ действует давление $p=-\frac13(\tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz})$
(среднее арифметическое нормальных напряжений с обратным знаком),~\Arr
$b=-p-\frac23\eta\theta$. Для некоторых жидкостей $p$ еще и линейно
зависит от $\theta$: $p=-\rev3(\tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz})+\lambda'\tau$,
где $\lambda'$~--\ж второй коэффициент
вязкости\н.
Тогда $b=-p+\lambda\theta$, где $\lambda=\lambda'-\frac23\eta$ (это
более общий случай, т.к. при $\lambda'=0$ получим $\lambda=-\frac23\eta$).
Окончательно получим реологическое уравнение в виде:
$$\boxed{\B T=2\eta\B S+(\lambda\theta-p)\B I}\,,$$
которое эквивалентно шести\ж уравнениям Навье--Стокса\н\index{Уравнение!Навье--Стокса}:
$$\left\{\begin{aligned}
\tau_{xx}=&-p+\lambda\theta+2\eta\sigma_{xx},\\
\tau_{yy}=&-p+\lambda\theta+2\eta\sigma_{yy},\\
\tau_{zz}=&-p+\lambda\theta+2\eta\sigma_{zz};
\end{aligned}\right.\quad
\left\{\begin{aligned}
\tau_{xy}=&\tau_{yx}=2\eta\sigma_{xy},\\
\tau_{zy}=&\tau_{yz}=2\eta\sigma_{yz},\\
\tau_{xz}=&\tau_{zx}=2\eta\sigma_{xz}.
\end{aligned}\right.$$
Здесь $\sigma_{_{\aleph\beth}}=\rev2(\partder{v_{_\aleph}}{\beth}+\partder{v_{_\beth}}{\aleph})$,
$\aleph,\beth=\overline{x,y,z}$; $\theta=\diver\vec v$.

В частном случае движения несжимаемой жидкости ($\theta=0$) параллельно
оси $OX$ получим: $\tau_{xy}=\tau_{yz}=\eta\partder{v}{y}$,
$\tau_{yz}=\tau_{zy}=0$.
Пусть $\tau=\tau_{xy}$, тогда получим\ж закон Ньютона\н\index{Закон!Ньютона!для напряжений}
для касательных напряжений в несжимаемой жидкости:
$$\boxed{\tau=\eta\frac{dv}{dy}}.$$

\subsection*{Формула Пуазейля}
\float{I}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Puazeil}}
Выделим в трубе произвольную бесконечно короткую часть длины $dx$ и
радиуса $r$. На ее боковую поверхность действует сила вязкости $dF=-2\pi r\eta\frac{dv}{dr}dx$.
На основания цилиндра действует сила разности давлений:
$$dF_1=\pi r^2(p(x)-p(x+dx))=-\pi r^2\frac{dp}{dx}dx.$$

При стационарном течении $dF=dF_1$~\Arr $2\eta\frac{dv}{dr}=r\frac{dp}{dx}$.
Т.к. $\frac{dv}{dr}$ не зависит от $x$, то $\frac{dp}{dx}=\const=\frac{p_2-p_1}{l}=\Delta p/l$,
где $l$~-- длина трубы, $p_1$~-- давление на входе трубы, $p_2$~-- на выходе.~\Arr
$\frac{dv}{dr}=-\frac{\Delta p}{2\eta l}r$~\Arr $v=-\frac{\Delta p}{4\eta
l}r^2+\C$.
При $r=R$ $v=0$~\Arr $\C=\frac{\Delta p}{4\eta l}$~\Arr
$v=\frac{\Delta p}{4\eta l}(R^2-r^2)$.
В цилиндре $v_0=\frac{\Delta p}{4\eta l}R^2$.

Расход жидкости $dQ=2\pi r\rho v\,dr$~\Arr
$Q=\pi\rho\frac{\Delta p}{2\eta l}\Int_0^R(R^2-r^2)r\,dr$, откуда получим\ж
формулу Гагена--Пуазейля\н\index{Формула!Гагена--Пуазейля}:
$\displaystyle\boxed{Q=\pi\rho\frac{\Delta p}{8\eta l}R^4}\,$.

Кроме того, ее можно записать как $Q=\pi\rho R^2v_0/2$. С другой
стороны, если $\aver{v}$~-- средняя скорость потока, то $Q=\pi\rho R^2\aver{v}$~\Arr
$\boxed{\aver{v}=\dfrac{v_0}2}$. Формула Гагена--Пуазейля\к применима
только для ламинарных течений\н жидкости.

\subsection*{Закон подобия}
Рассмотрим поток жидкости, обтекающей систему тел. Наряду с ним
можно ввести бесконечное множество подобных и подобно расположенных
тел, обтекаемых другими жидкостями. Тогда необходимо определить параметры
потока и постоянные, характеризующие эти жидкости, чтобы оба потока были
механически подобными. Это играет роль в судо- и самолетостроении
для изучения аэродинамических свойств на моделях.

Пусть $\vec r$~-- РВ жидкости в подобных точках, $\vec v$~-- скорость
в этих точках, $l$~-- характерный размер, $\vec v_0$~-- характерная
скорость потока, $\rho$~-- плотность, $\eta$~-- вязкость, $c$~-- скорость
звука, $g$~-- ускорение свободного падения (если существенно влияние
силы тяжести), $\tau$~-- характерное время изменения течения.

Ввиду наличия уравнений движения, между перечисленными характеристиками
должна наблюдаться функциональная связь. Из них можно составить шесть независимых
безразмерных комбинаций:
$\dfrac{\vec v}{v_0}$, $\dfrac{\vec r}{l}$, $\mathrm{Re}=\dfrac{\rho lv_0}{\eta}=
\dfrac{lv_0}{\nu}$~--\ж число Рейнольдса\н\index{Число!Рейнольдса} (здесь
$\nu=\eta/\rho$~--\ж кинематический коэффициент вязкости\н);
$\mathrm{F}=\dfrac{v_0^2}{gl}$~--\ж число
Фруда\н\index{Число!Фруда}; $\mathrm{M}=\dfrac{v_0}{c}$~--\ж число
Маха\н\index{Число!Маха};
$\mathrm{S}=\dfrac{v_0\tau}{l}$~--\ж число Струхаля\н\index{Число!Струхаля}.

Согласно правилу размерностей, одна из этих комбинаций должна являться
функцией остальных, например, $\vec v/v_0=f(r/l,\mathrm{Re},\mathrm{F},
\mathrm{M},\mathrm{S})$.

Т.о.,\к если для двух течений пять из шести комбинаций совпадают,
то будут совпадать и шестые\н. Это~--- общий\ж закон подобия
течений\н\index{Закон!подобия течений}. Такие течения называются\ж
гидродинамически подобными\н\index{Подобные течения}.

Число Рейнольдса по порядку величин есть отношение кинетической
энергии жидкости к ее потере, обусловленной работой сил вязкости
на характерной длине: $T\propto\rev2\rho v_0^2l^3$, $A\ind{вяз}\propto
F\ind{вяз}l=\eta\frac{v_0}{l}l^2l=\eta v_0l^2$~\Arr
$T/A\ind{вяз}\propto\rho v_0l/\eta$.

Следовательно, это число определяет роль инерции и вязкости жидкости при
течении. При больших значениях числа Рейнольдса главную роль играет
инерция, а при малых~--- вязкость.

Число Фруда определяет отношение кинетической энергии к ее приращению,
обусловленному работой силы тяжести на пути, равном $l$.

В случае несжимаемых жидкостей $c\to\infty$~\Arr число Маха будет
равно нулю.

Для стационарных течений $\tau\to\infty$~\Arr число Струхаля также будет
стремиться к бесконечности, откуда:
$$\vec v=v_0\cdot f(\vec r/l,\mathrm{Re},\mathrm{F}).$$
Т.о., стационарные течения несжимаемых жидкостей подобны, если они имеют
равные числа Рейнольдса и Фруда.
В некоторых частных случаях достаточно лишь равенства одной из
пар:
\begin{enumerate}
\item\ж критерий Рейнольдса\н:\index{Критерий!Рейнольдса} равенство чисел
Рейнольдса у двух жидкостей выполняется в случае малых значений
$\mathrm{Re}$ и больших $\mathrm{F}$, когда изменение числа Фруда
слабо сказывается на течении жидкости;
\item\ж критерий Фруда:\н\index{Критерий!Фруда} аналогично, равенство
чисел Фруда достигается при малых $\mathrm{F}$ и больших $\mathrm{Re}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Ламинарные и турбулентные течения}
\bf Ламинарные\н течения\index{Течение} характеризуются регулярностью,
траектории частиц жидкости параллельны оси трубы.\ж Турбулентные\н
течения происходят при больших скоростях
и являются неустойчивыми, сопровождаются возникновением вихрей.

При возрастании $v_0$ ламинарное течение переходит в турбулентное
при некотором значении скорости $v\ind{кр}$~--\ж критической скорости\н\index{Скорость!критическая}.
В гидродинамически подобных системах переход от ламинарного
течения к турбулентному должен происходить при равных значениях
числа Рейнольдса: $\mathrm{Re}=\mathrm{Re}\ind{кр}$.
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса происходит турбулентность.
$\mathrm{Re}\ind{кр}\sim10^3\div10^4$.

В данном случае формула Пуазейля примет вид:
$Q=c(\mathrm{Re})\frac{\Delta p}{l\eta}\rho S^2$, где
$S=\pi a^2$, $a$~-- радиус трубы.

При ламинарном течении $c$ зависит лишь от форму трубы,
а при турбулентном~--- и от значения числа Рейнольдса,
$\mathrm{Re}=\aver{v}a/\nu=\aver{v}a\rho/\eta$.
$$\frac{\Delta p}{l}=\frac{Q\eta}{\rho S^2c(\mathrm{Re})}=
\frac{Q\eta}{\rho\pi a^2c(\mathrm{Re})}=\frac{2Q\eta}{\pi\aver{v}a\rho}
\frac{\aver{v}}{2ac(\mathrm{Re})}=\frac{2Q\rho\aver{v}^2}{\pi\mathrm{Re}c(\mathrm{Re})\aver{v}\rho2a},$$
или $\dfrac{\Delta p}{l}=\dfrac{\lambda(\mathrm{Re})}{a}\cdot\dfrac{\rho\aver{v}^2}2$.
Здесь $\lambda(\mathrm{Re})=\dfrac2{\pi c(\mathrm{Re})\mathrm{Re}}$~--\ж коэффициент
сопротивления трубы\н.
При турбулентном течении коэффициент сопротивления имеет экспоненциальную
зависимость от числа Рейнольдса.

\subsection*{Лобовое сопротивление. Формула Стокса}
Вязкая жидкость действует на тело, движущееся в ней, с силой~$\vec F$.
Свойства жидкости характеризуются величинами $\rho$, $v$ и $\eta$,
а свойства тела~-- характерным размером $l=\sqrt{S}$, где $S$~-- площадь
поперечного сечения тела.

Из этих величин можно составить две независимые безразмерные комбинации:
число Рейнольдса и $\mathrm{F}/(\rho v^2S)$.
Согласно правилу размерностей, одна из них является функцией второй,~\Arr
$\vec F=\dfrac{\rho v^2}2S\vec R(\mathrm Re)$. Величину $\vec R$ называют\ж
коэффициентом лобового сопротивления\н\index{Коэффициент!лобового сопротивления},
а его проекцию $R_y$~--\ж коэффициентом подъемной
силы\н\index{Коэффициент!подъемной силы}.

$\vec R$ является функцией числа Рейнольдса только при $v<c$,
иначе она будет зависеть и от числа Маха.

При больших $\mathrm{Re}$ $F_x$ будет обусловленной почти исключительно
разностью давлений в трубе.

Рассмотрим теперь случай малых $\mathrm{Re}$. Тогда $F_x$ почти
исключительно определяется вязкостью, т.е. не зависит от $\rho$.
Это может быть лишь если $c_x=A/\mathrm{Re}$, где $A$~-- безразмерная
константа. Тогда:
$$F_x=\frac{\rho v^2}2S\cdot\frac{A\eta}{\rho lv}\propto A\eta lv\qquad(\mathrm{Re}\ll1).$$

$A$ зависит от формы тела и его ориентации относительно потока.
Для шара значение $A$ получено Дж.~Стоксом: $A=6\pi$. Лобовое сопротивление
шара радиуса~$r$ описывает\ж формула Стокса\н:\index{Формула!Стокса}
$$\boxed{F_x=6\pi\eta rv}\,.$$




%\thispagestyle{empty}
%\chapter{Колебания и волны}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Колебательное движение}
\index{Колебания|(textbf}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Собственные одномерные колебания. Гармонические колебания}
\bf Колебания\н\index{Колебания}~--- процессы, в той или иной степени
повторяющиеся во времени (механические, электромагнитные, электромеханические).\ж
Свободные\н (собственные) колебания\index{Колебания!свободные}~--- колебания,
происходящие в отсутствие переменных внешних воздействий и возникающие вследствие
отклонения системы от положения равновесия.\ж Периодические\н колебания~---
колебания, происходящие с повторением всех характеризующих систему величин
через определенные равные промежутки времени $T$.\ж Гармонические\н
колебания\index{Колебания!гармонические}~--- подчиняющиеся гармоническому
закону $S(t)=A\sin(\omega t+\phi_0)$.

Одномерным называется движение с одной степенью свободы. Если точка
движется в одномерной потенциальной яме, ее движение является
финитным, причем\к одномерное финитное движение является колебательным\н.

Рассмотрим случай, когда на точку действует квазиупругая сила
$F=-kx$, возвращающая ее в положение равновесия. Тогда $m\ddot x+kx=0$~\Arr
$x=\C_1\cos\omega_0t+\C_2\sin\omega_0t$, $\omega_0=\sqrt{k/m}$.

Пусть $\C_1=A\sin\alpha$, $\C_2=A\cos\alpha$, получим\ж уравнение
колебания\н гармонического осциллятора (ГО)\index{Уравнение!колебаний!гармонического осциллятора}:
$\boxed{x=A\sin(\omega_0t+\alpha)}\,$.

Фазовой траекторией ГО является\ж эллипс\н:
$$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}2;\quad\frac{p^2}{2mE}+\frac{x^2}{2E/k}=1\quad\Arr
\quad \frac{p^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1.$$
Полуоси эллипса равны $a=\sqrt{2mE}$, $b=\sqrt{2E/k}$.
Площадь эллипса: $\pi ab=2\pi E/\omega_0=E/\nu$~--- функция энергии
и частоты системы.

Гармонические колебания удобно изображать графически:\ж метод
векторных диаграмм\н\index{Диаграмма!векторная}. Введем на плоскости
$XOY$ вектор $\vec A$, составляющий с осью $OX$ угол $\phi=\omega t+\phi_0$
(фаза в данный момент времени), модуль которого равен амплитуде колебаний.
Тогда $A_y=S=A\sin(\omega t+\phi_0)$. Т.е. колебания $S$ можно
рассматривать как колебания проекции $A_y$ вектора,
вращающегося против часовой стрелки в плоскости $XOY$ с угловой
скоростью $\omega$.

\subsection*{Сложение гармонических колебаний}
\bf Сложение колебаний\н~--- это нахождение
закона результирующих колебаний системы в случаях, когда она одновременно
участвует в нескольких колебательных процессах.

В сложении колебаний интересны два предельных случая: одинаково
направленные колебания и взаимно перпендикулярные колебания.

\subsubsection*{Сложение одинаково направленных колебаний}
\float{O}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Sum_kol}}
Пусть $S_1=A_1\sin(\omega_1t+\phi_1)$, $S_2=A_2\sin(\omega_2t+\phi_2)$,
$S=S_1+S_2=A(t)\sin\Phi(t)$. Пусть $\Phi_i=\omega_it+\phi_i$, $i=\overline{1,2}$.
Рассмотрим сумму на фазовой диаграмме: $\vec A(t)=\vec A_1(t)+\vec A_2(t)$.
По теореме косинусов, $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Phi_2-\Phi_1)$.
Тогда $$\tg\Phi=\frac{A_1\sin\Phi_1+A_2\sin\Phi_2}{A_1\cos\Phi_1+A_2\cos\Phi_2}.$$

\bf Когерентными\н\index{Колебания!когерентные} называют такие колебания,
у которых $\dfrac{d}{dt}(\Phi_2-\Phi_1)\equiv0$, т.е. у них
должны быть равными собственные частоты $\omega_1=\omega_2=\omega$.~\Arr
$$S=A\sin(\omega t+\phi_0),$$ где $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\phi_2-\phi_1)$,
$\tg\phi_0=\dfrac{A_1\sin\phi_1+A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1+A_2\cos\phi_2}$.

Видно, что в зависимости от сдвига фаз $\Delta\phi$:
$$A=\{|A_1-A_2|,\;\Delta\phi=\pm(2m+1)\pi;\quad A_1+A_2,\;\Delta\phi=\pm2\pi m\}.$$

\bf Некогерентные\н колебания можно приближенно считать когерентными лишь в
течение промежутков времени, за которые $\Delta\Phi$ не успевает значительно
измениться: $|\omega_1-\omega_2|\Delta t\ll2\pi$,
или $\Delta t\ll\tau\ind{ког}$, где $\tau\ind{ког}=\dfrac{2\pi}{|\omega_2-\omega_1|}$~--\ж
время когерентности\н\index{Время!когерентности}.

\subsubsection*{Биения}
Если $|\omega_1-\omega_2|\ll\omega_1$, наблюдаются\ж биения\н\index{Биения}.

\begin{pict}
\includegraphics[width=12cm]{pic/Bienie}
\end{pict}
Начнем отсчитывать время от момента $\phi_1=\phi_2=\phi_0$:
$S_1=A_1\sin(\omega_1t+\phi_0)$, $S_2=A_2\sin(\omega_2t+\phi_0)=
A_2\sin(\omega_1t+\phi_0+\phi(t))$, где $\phi(t)=(\omega_2-\omega_1)t$.

В этом случае $S=A(t)\sin(\omega_1t+\phi_0+\psi(t))$, где
$A^2(t)=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\phi(t)$, $\tg\psi(t)=\dfrac{A_2\sin\phi(t)}{A_1+A_2\cos\phi(t)}$
($\psi$~-- угол между векторами $A_1$ и $A_2$).

В частности, при $A_1=A_2=A_0$: $A(t)=2A_0\cos\dfrac{\omega_2-\omega_1}2t$;
$\psi(t)=\dfrac{\omega_2-\omega_1}2t$. Так что
$$S=2A_0\cos\left(\frac{\omega_2-\omega_1}2t\right)\sin\left(
\frac{\omega_2-\omega_1}2t+\phi_0\right).$$

$A(t)$ изменяется от $|A_2-A_1|$ до $A_1+A_2$ с частотой
$\Omega=|\omega_2-\omega_1|$~---\ж циклическая частота
биений\н\index{Частота!биений}.
Т.к. $\Omega\ll\omega$, то $A$ условно называют\ж амплитудой биений\н.
Период биений: $T=2\pi/\Omega=(|T_2^{-1}-T_1^{-1}|^{-1})$,
частота биений $\nu=|\nu_2-\nu_1|$.

\paragraph{Гармонический анализ}\index{Гармонический анализ}
Любое сложное периодическое колебание можно представить в виде
разложения в ряд Фурье\index{Ряд Фурье} с основной циклической частотой
$\omega$:
$$S(t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(n\omega t+\phi_n),
\quad\text{ или }\quad
S(t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t);$$
$$a_n=\frac2{T}\Int_{-T/2}^{T/2}S\cos n\omega t\,dt,\qquad
b_n=\frac2{T}\Int_{-T/2}^{T/2}S\sin n\omega t\,dt.$$

Негармонические же колебания можно представить в виде интеграла
Фурье\index{Интеграл!Фурье}:
$$S\Int_{-\infty}^{\infty}(A(t)\cos\omega t+B(t)\sin\omega t)d\omega.$$

\subsubsection*{Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу}
Рассмотрим два перпендикулярных колебания $x=A_1\sin(\omega t+\phi_1)$
и $y=A_2\sin(\omega t+\phi_2)$.
Их траектория~--- эллипс, причем колеблющаяся точка описывает его
за период $T=2\pi/\omega$. Данный вид колебаний является\ж эллиптически
поляризованным\н\index{Колебания!поляризованные}. Траектория
колебаний в общем случае описывается уравнением\index{Уравнение!колебаний!перпендикулярных}:
$$\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1A_2}\cos(\phi_2-\phi_1)=
\sin^2(\phi_2-\phi_1).$$

Если $\phi_2-\phi_1=\dfrac{2m+1}2\,\pi$, то уравнение колебаний
примет вид $\dfrac{x^2}{A_1^2}+\dfrac{y^2}{A_2^2}=1$, т.е. размеры
его полуосей равны амплитудам импульсов.

Если же $\phi_2-\phi_1=m\pi$, то эллипс вырождается в отрезок:
$y=(-1)^m\,\dfrac{A_1}{A_2}\,x$.

Пусть теперь $\omega_1=p\omega$, $\omega_2=q\omega$, где $p$ и $q$~---
целые числа. Тогда траекторией колебаний будет замкнутая кривая, форма
которой зависит от отношения $p/q$~---\ж фигуры Лиссажу\н\index{Фигуры Лиссажу}.
Значения координат повторяются через равные промежутки времени $T_0$,
являющиеся наименьшим общим кратным периодов $T_1=\dfrac{2\pi}{p\omega}$
и $T_2=\dfrac{2\pi}{q\omega}$.

Отношение $p/q$ равно отношению числа касаний соответствующей фигуры
Лиссажу со сторонами прямоугольника, в которую она вписана,
параллельными осям $x$ и $y$ соответственно.
\begin{pict}
\includegraphics[height=4cm]{pic/Lissazhu1}\hfil
\includegraphics[height=4cm]{pic/Lissazhu2}\hfil
\includegraphics[height=3.5cm]{pic/Lissazhu3}
\end{pict}

\subsection*{Затухающие колебания}
\subsubsection*{Колебания под действием потенциальных сил}
Рассмотрим потенциальную обобщенную силу $Q(q)$, действующую на осциллятор.
Т.к. действующая сила $\vec F$~--- потенциальная, то $\vec F=-\grad U$, и
в положении равновесия $q=q_0$, $Q=-\partder{U}{q}=0$. Если равновесие
устойчивое,
то $\dpartder{U}{q}>0$. Пусть $U(q)=U(q_0+x)$.

Разложим $U(q)$ в ряд Тейлора:
$$U(q_0+x)=U(q_0)+\when{\partder{U}{q}}{q=q_0}\cdot x+
\rev2\when{\dpartder{U}{q}}{q=q_0}\cdot x^2+\cdots\;;
\qquad U(q_0)=0,\quad\when{\partder{U}{q}}{q=q_0}=0.$$
Пренебрежем членами выше $x^2$, тогда
$$U(q_0+x)\approx\rev2\when{\dpartder{U}{q}}{q=q_0}\cdot x^2;\qquad
\when{\dpartder{U}{q}}{q=q_0}=k>0\quad\Arr\quad
U(q_0+x)=\frac{kx^2}2,\quad q=kx.$$
Таким образом, получили частоту колебаний:
$\omega_0=\sqrt{k/m}$.

\subsubsection*{Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания}\index{Колебания!затухающие}
Если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе
физические свойства системы, не изменяются со временем, такая система
называется\ж линейной\н\index{Система!линейная}. Будем рассматривать для
простоты именно линейные системы.

Пусть на систему действует сила вязкого трения, пропорциональная $\dot x$:
$F\ind{тр}=-\gamma\dot x$. Тогда колебания системы будут описываться
уравнением\index{Уравнение!колебаний!затухающих}
$$\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0,$$
где $2\beta=\gamma/m$, $\omega_0^2=k/m$ (считаем, что систему приводит
в колебание квазиупругая сила $F\ind{упр}=-kx$).

Решением уравнения движения является функция $x=A\e^{s_1t}+B\e^{s_2t}$,
где $s_{1,2}$~--- корни уравнения $s^2+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0$,
для которого дискриминант $D_1=\beta^2-\omega_0^2$. Следовательно,
вид колебаний зависит от соотношения $\omega_0$ и $\beta$.
Возможны три варианта:
\begin{enumerate}
\item $\beta<\omega_0$. В этом случае затухание невелико. $s=-\beta\pm i\omega$,
    где $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$~---\ж условная
частота\н
    затухающих колебаний. Колебания имеют вид:
    $$X=x_0\e^{-\beta t}\sin(\omega t+\phi_0).$$
    Период колебаний: $T=2\pi/\omega=2\pi(\omega_0^2-\beta^2)^{-1/2}$,
    $X=x_0\e^{-\beta t}$~--- амплитуда затухающих колебаний.\ж

    Логарифмический декремент затухания\н\index{Декремент затухания!
логарифмический}:
    $\delta=\ln X(t)-\ln X(t+T)=\beta T=T/\tau=1/N$,
    где $N$~--- число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшилась в е раз,
    $\tau=\beta^{-1}$~---\ж время релаксации\н\index{Время!релаксации}.
    $\omega=2\pi\beta/\delta$.\ж

    Добротность\н\index{Колебания!добротность} колебательной системы
    является функцией ее энергии $W(t)$:
    $Q=2\pi W(t)[W(t)-W((t+T)]^{-1}$. Т.к. $W\propto X^2$,
    получим:
    $$Q=\frac{2\pi}{1-\e^{2\beta t}}=\frac{2\pi}{1-\e^{-2\delta}},$$
    при малых $\delta$ $Q=\pi/\delta=\omega_0/(2\beta)=\gamma^{-1}\sqrt{km}$.
\item $\beta=\omega_0$. Условный период, $T=\infty$, $\omega=0$. Колебания
    чисто экспоненциальные: $X=x_0\e^{-\beta t}$.
\item $\beta>\omega_0$: $X=A\e^{-\alpha_1 t}+B\e^{-\alpha_2 t}$, $\alpha_{1,2}=
    \beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$. Колебание в данном случае будет\ж
    апериодическим\н\index{Колебания!апериодические}.
\end{enumerate}
% \begin{pict}
% \includegraphics[height=4cm]{pic/Kolebaniya}
% \end{pict}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Вынужденные колебания}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Установление вынужденных колебаний. Амплитудные и фазовые траектории}

Пусть на систему действует сила $F(t)$ и $F_x(t)$~--- ее проекция на
прямую, вдоль которой происходят колебания. Тогда в общем случае
$$\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=\rev mF_x(t).$$

Общее решение данного уравнения ищем в виде $x=x_1(t)+x_2(t)$,
где $x_2$~--- одно из частных решений неоднородного уравнения,
$x_1$~--- решение однородного уравнения $\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x=0$.
$x_1=x_0\e^{-\beta t}\sin(\omega t+\phi_0)$, $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$.

За время релаксации $\tau$ амплитуда уменьшится в е раз, еще
через некоторое время она будет пренебрежимо мала, следовательно,
при $t\to\infty$ система совершает колебания, обусловленные только
составляющей $x_2(t)$. Он переходит в\ж состояние установившихся
вынужденных колебаний\н\index{Колебания!вынужденные}
с частотой вынуждающей силы.

Пусть $F_x=f_0\cos\Omega t$, тогда $x=A\cos(\Omega t+\phi_0)$.
Решая уравнение движения, получим:
$\tg\phi_0=-\dfrac{2\beta\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}$~---\ж сдвиг фаз\н
между колебаниями и вынуждающей силой;
$A=f_0[m^2(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2]^{-1/2}$~---
амплитуда вынужденных колебаний.

\subsection*{Резонанс}

Пусть $\beta=0$. Тогда $A=f_0[m|\omega_0^2-\Omega^2|]^{-1}$.
При $\omega_0=\Omega$, $A\to\infty$~--- наблюдается\ж
резонанс\н\index{Резонанс}.

При резонансе фаза $\phi_0$ испытывает скачек.

Теперь пусть $\beta\ne0$. Найдем резонансную частоту из условия
$\partder{A}{\Omega}=0$: $\boxed{\Omega\ind{Рез}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}}$.
При этом $A=f_0[2m\beta\Omega\ind{Рез}]^{-1}$.

\begin{pict}
\includegraphics[width=\textwidth]{pic/Rezona}
%\includegraphics[height=4cm]{pic/Rezona2}
\end{pict}
Пусть $A_0\equiv A(\omega_0)$. Тогда получим, что $A_0<A\ind{рез}$.
С ростом сопротивления $\beta$ максимальная амплитуда уменьшается и
смещается влево:
$$\frac{A\ind{рез}}{A_0}=\frac{\omega_0}{\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}}=
\rev{\sqrt{1-\rev{2Q^2}}}.$$

\subsection*{Параметрическое возбуждение. Автоколебания}
\bf Автоколебательная система\н\index{Система!автоколебательная}~---
генератор незатухающих колебаний. Состоит из источника энергии и
колебательного контура, периодически подпитывающегося от источника.
Для поддержания колебаний не требуется внешних воздействий.
Автоколебания начинаются самопроизвольно под воздействием
флуктуаций.

\bf Параметрический резонанс\н\index{Резонанс!параметрический}
наблюдается при изменении параметров системы так, что частота
внешних воздействий $\omega\ind{Внеш}=2\omega_0$.

Подвесим маятник на блок и будем поднимать его в среднем
положении и опускать в крайних. Тогда по ЗСМИ МИ в среднем
положении маятника будет сохраняться, следовательно, при
поднятии маятник будет двигаться с большей скоростью и
отклоняться на больший угол. Опуская его в крайних положениях
мы не уменьшаем амплитуды колебаний (в этих положениях
$L=0$), но уменьшаем потенциальную энергию маятника,
что приводит к увеличению энергии колебательного движения.

Аналогично можно доказать, что если таким же образом изменять
длину подвеса маятника, находящегося в состоянии покоя,
причем соблюдать условие $\omega\ind{Внеш}=2\omega_0$,
за счет флуктуаций положения маятника он придет в колебательное
движение.
\index{Колебания|)textbf}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Волны в сплошной среде и элементы акустики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Волны. Распространение колебаний давления и плотности в среде}
\index{Волны|(textbf}
Процесс распространения колебаний в пространстве называется\ж
волной\н. Если в каком-либо месте упругой среды возбудить
колебания частиц, либо изменить ее плотность, то вследствие
взаимодействия между частицами это возмущение будет распространяться в
среде от частицы к частице с некоторой скоростью $c$.

Если, например, на одном из концов металлического стержня создать
деформацию сжатия или растяжения (ударив молотком по торцу или
резко оттянув его), то из-за взаимодействия атомов решетки
между собой граница возмущения начнет двигаться к
противоположному концу стержня.

Это явление легко обобщить на случай действия переменной силы
$\vec F$ с периодом $T$ и частотой $\nu$.

\subsection*{Длина волны, период, фаза и скорость волны}
Если на тело действует переменная сила $\vec F$, изменяющаяся по
гармоническому закону, в нем будут распространяться волны с\ж
периодом\н\index{Период волны} $T_0$, равным периоду
действующей силы и\ж частотой\н\index{Частота!волны},
равной частоте этой силы.

\bf Длина волны\н\index{Длина!волны} есть расстояние, на которое
распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц в
среде. Таким образом, $\boxed{\lambda=cT}$, где $c$~--- скорость
распространения колебаний.

Определим $c$. Пусть $m$~-- масса деформируемой части среды в момент
времени $t$, $v$~-- скорость движения частиц. Тогда $d(mv)=F\,dt$. Т.к.
за время $t$ возмущение проходит путь $l=ct$, то $m=\rho Sct$, где
$\rho$~-- плотность среды, $S$~-- поперечное сечение стержня;
$p=FS$~-- давление в возмущенной области, следовательно,
$d(\rho Sctv)=pS\,dt$~\Arr $\boxed{p=\rho cv}$.

Давление связано с относительным сжатием стержня $\epsilon=\Delta l/l$
соотношением $p=E\epsilon$, где $E$~--\ж модуль Юнга\н\index{Модуль Юнга}.
Рассмотрим случай $v\ll c$ (малые возмущения). К моменту $t$ удлинение
$\Delta l=vt$, т.к. невозмущенная часть стержня покоится, а
возмущенная двигалась со скоростью $v$~\Arr $\epsilon=v/c$~\Arr
$$\left\{
\begin{aligned}
p&=Ev/c,\\
p&=\rho cv;
\end{aligned}\right.\qquad
\Arr\qquad
\boxed{c=\sqrt{E/\rho}}.$$

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости $x=0$, имеют вид
$A=a\cos(\omega t+\alpha)$, где $\omega$~-- частота колебаний,
$\alpha$~-- величина, зависящая от $x$. Выражение $\phi=\omega t+\alpha$
называется\ж фазой волны\н\index{Фаза!волны}.

В точке $x\ne0$ колебания имеют вид: $A=a\cos(\omega[t-\tau]+\alpha)$,
где $\tau$~-- время, на которое колебания в точке с координатой $x$
отстают от колебаний в начале координат.
$\tau=x/c$~\Arr $A=a\cos(\omega[t-x/c]+\alpha)$~---\ж
уравнение плоской волны\н\index{Уравнение!плоской волны}.

Зафиксируем фазу: $\omega(t-x/c)=\const$ и предположим,
что $dt-dx/c=0$. Тогда $dx/dt=c$. Т.о., скорость перемещения
волны совпадает с ее\ж фазовой скоростью\н\index{Скорость!фазовая}
(скоростью перемещения фазы).

Пусть $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$~---\ж волновое число\н\index{Число!волновое}
($k=\omega/c$), тогда уравнение волны можно записать в виде
$A=a\cos(\omega t-kx+\alpha)$.

\subsection*{Продольные и поперечные волны в среде}
Рассмотрим примитивную 1-мерную цепочку связанных шариков.
Если колебание будет распространяться только вдоль цепочки в
виде сгущений и разрежений, его называют\ж продольной волной\н\index{Волна!продольная}.
Если же направление колебаний перпендикулярно направлению распространения
волны, ее называют\ж поперечной\н\index{Волна!поперечная}.

В общем случае распространения волны в сплошной среде имеются
как продольная, так и поперечная составляющие.

Для поперечной волны $c_\parallel=\sqrt{E'/\rho}$, где $E'$~--
модуль одностороннего сжатия.

Рассчитаем скорость распространения поперечной волны.
Касательное напряжение $\tau=\rho c_\perp v=G\gamma$,
где $\gamma$~-- угол сдвига, $G$~-- модуль сдвига.
За время $t$ конец стержня сдвигается на угол $\gamma=v/c_\perp$.
Т.к. $v\ll c$, получим: $\boxed{c_\perp=\sqrt{G/\rho}}$.
Справедливо отношение $c_\parallel>c_\perp$.

\subsection*{Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение}
Рассмотрим волну, распространяющуюся в произвольном направлении.\ж
Волновая поверхность\н\index{Волновая поверхность}~---
геометрическое место точек, колеблющихся с одинаковой фазой.

\float{l}{\includegraphics[width=3cm]{pic/Voln_pov}}
Возьмем волновую поверхность, отстающую от начала координат
на расстояние $l$. Колебания в ней имеют вид
$A=a\cos(\omega t-kl+\alpha)$.
Проведем к волновой поверхности произвольный вектор $\vec r$ под
углом $\phi$ к нормали $\vec n$.
$\vec n\vec r=\cos\phi=l$~\Arr уравнение волны
$A=a\cos(\omega t-k\vec n\vec r+\alpha)$. Пусть $\vec k=k\vec n$,
тогда
$$A=a\cos(\omega t-\vec k\vec r+\alpha)\quad\text{--- уравнение бегущей волны.}$$

Продифференцируем теперь это уравнение:
$$\begin{aligned}
\dpartder{A}{t}&=-\omega^2a\cos(\omega t-\vec k\vec r+\alpha)=-\omega^2A;\qquad&
\dpartder{A}{y}&=-k^2_yA;\\
\dpartder{A}{x}&=-k^2_xa\cos(\omega t-\vec k\vec r+\alpha)=-k^2_xA;&
\dpartder{A}{z}&=-k^2_zA;\\
\end{aligned}$$

Таким образом, $\displaystyle\dpartder{A}{x}+\dpartder{A}{y}+\dpartder{A}{z}=-k^2A$;
$\displaystyle\dpartder{A}{t}=-\omega^2A$. Т.к. $\dfrac{\omega}{k}=v$, получим\ж
волновое уравнение\н\index{Уравнение!волновое}:
$$\boxed{\Delta A=\rev{v^2}\dpartder{A}{t}}.$$
Одномерный случай: $A''=v^{-2}\ddot A$.

\subsection*{Волны в струне, стержне, газах и жидкостях}
В струне устанавливаются т.н.\ж стоячие волны\н\index{Волна!стоячая}~---
суперпозиция двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
Т.к. стоячие волны возможны лишь при условии $l=\lambda n/2$ (иначе они будут
затухать), то в струне возбуждаются только колебания с длинами волны
$\boxed{\lambda_n=2l/n}$, где $l$~-- длина струны и
$\nu_n=c/\lambda_n=cn/(2l)$~-- собственные частоты струны.
Они кратны частоте $\nu_1=c/(2l)$~--\ж основная
частота\н\index{Частота!основная}
или\ж первая гармоника\н\index{Гармоника}.
Таким образом, в струне происходят только поперечные колебания.

В стержне, в связи с малой $c_\perp$, можно пренебречь поперечными
колебаниями. Следовательно, в нем возникают лишь продольные
колебания, подчиняющиеся тем же ограничениям, что и поперечные
колебания в струне.

В газах колебания представляют собой звуковую волну~--- чередование
областей повышенных и пониженных давлений. Т.о., в газах невозможно
распространение поперечных волн~--- происходит распространение
сферической продольной волны.

На поверхности жидкости возникают как продольные, так и поперечные
волны. В глубине жидкости, в основном, преобладают продольные
волны (как и в газах).
\subsection*{Связь скорости звука с параметрами среды}
Связь скорости звука с параметрами твердой среды уже была показана.
В газах наблюдается аналогия: $c=\sqrt{\gamma p/\rho}$, где
$\gamma$~-- показатель адиабаты газа, $p$ и $\rho$~-- давление и
плотность газа соответственно.

Т.к.  $p=\rho RT/\mu$, то $c=\sqrt{\gamma RT/\mu}$.

\subsection*{Поток энергии в бегущей волне. Вектор Умова-Пойнтинга}
Пусть в некоторой среде распространяется в направлении $OX$
плоская продольная волна $A=a\cos(\omega t-kx+\alpha)$.
Выделим в среде бесконечно малый объем $dV$.
Он обладает кинетической энергией $dT=\dfrac{\rho}2\left(\partder{A}{t}\right)^2dV$
и потенциальной энергией $dU=\dfrac{E\epsilon^2}2dV=\dfrac{E}2\left(\partder{a}{x}\right)^2
\,dV$. Т.к. $c^2=E/\rho$, то $dU=\dfrac{\rho c^2}2\left(\partder{A}{x}\right)^2dV$.
Полная энергия: $dE=dT+dU=\dfrac12\rho\Bigl[\left(\partder{A}{t}\right)^2+
\left(\partder{A}{x}\right)^2c^2\Bigr]\,dV$.

Плотность энергии: $w=\dfrac{dE}{dV}=\dfrac12\rho\Bigl[\left(\partder{A}{t}\right)^2+
\left(\partder{A}{x}\right)^2c^2\Bigr]$.

Таким образом, $w=\rho a^2\omega^2\sin^2(\omega t-kx+\alpha)$.
Средняя плотность энергии $\aver{w}=\rev2\rho a^2\omega^2$.\ж
Поток энергии\н\index{Поток!энергии} $\Phi=\frac{dE}{dt}$.
Плотность потока энергии $j=\frac{d\Phi}{dS_\perp}=\frac{\Delta E}{\Delta S_\perp\Delta t}$.
$dE=w\Delta S_\perp c\Delta t$~\Arr $j=wc$.

Вводя $j$ как вектор, получим: $\vecj=w\vec c$. Среднее значение
плотности потока энергии волны называется\ж вектором
Умова-Пойнтинга\н\index{Вектор!Умова--Пойнтинга}:
$$\boxed{\aver{\vecj}=\aver{w}\vec c=\rev2\rho a^2\omega^2c}.$$

Зная $j$, можно вычислить $\Phi$: $d\Phi=\vecj\,d\vec S$,
$\Phi=\Int_S\vecj\,d\vec S$, $\aver{\Phi}=\Int_S\aver{j}dS=
\aver{j}S=\aver{j}\cdot4\pi r^2$~\Arr
$\aver{\Phi}=2\pi\rho\omega^2ca_r^2r^2$, где $a_r$~--- амплитуда
колебаний на расстоянии $r$. Если энергия не поглощается средой,
$\Phi=\const$~\Arr $a_r^2r^2=\const$~\Arr $\boxed{a_r\propto1/r}$.

\subsection*{Звуковые волны. Интенсивность и тембр звука}
\index{Акустика|(textbf}
\bf Звуковые волны\н\index{Волна!звуковая} (звук)~--- упругие волны,
распространяющиеся в воздухе с частотой $16\div20000\,$Гц.
Колебания с частотой меньше 16\,Гц называют\ж инфразвуком\н\index{Инфразвук},
а с частотой больше 20\,кГц~---\ж ультразвуком\н\index{Ультразвук}.

Если спектр звука сплошной, его называют\ж шумом\н\index{Шум}.
Если же спектр состоит из дискретных частот (т.е. линейчатый)~---
тональным звуком.

\bf Тембр\н\index{Тембр} звука определяется относительной интенсивностью\ж
обертонов\н\index{Обертон}~--- колебаний с частотами $2\nu$, $3\nu$ и т.д.

\bf Интенсивность\н\index{Интенсивность звука} звука ($I$) определяется средним
по времени значением плотности потока  энергии, которую несет звуковая
волна. Определение интенсивности звука или амплитуды звуковой волны
может быть произведено по величине тех механических сил, с которыми
звуковая волна действует на то или иное тело.

\bf Порог слышимости\н~--- минимальная интенсивность звука, вызывающая
звуковые ощущения.

Субъективно человек ощущает изменение громкости звука медленнее, чем изменяется
его интенсивность (все органы чувств <<работают>> в логарифмическом
масштабе), поэтому\ж уровень громкости\н звука измеряется в логарифмических
величинах~--- децибелах\index{Децибел} (дБ): $L=20\lg(I/I_0)$,
где $I$~--- интенсивность звука, $I_0$~--- условная интенсивность,
соответствующая 0\,дБ (несколько превышает средний порог слышимости).
Для мощности $L=10\lg(W/W_0)$ (следует обратить внимание, что бел~---
логарифм отношения энергии сигнала к энергии, условно считаемой нулем отсчета;
множитель 10~--- результат того, что фактически используется дробная
единица~--- децибел).

При групповом движении частиц со скоростями, большими скорости звука в
среде, возникает\ж ударная волна\н\index{Волна!ударная}. Под ударной
волной понимают распространение в газообразной, жидкой или твердой среде
поверхности, на которой происходит скачкообразное повышение давления,
сопровождающееся изменением плотности, температуры, скорости движения
среды. Эта поверхность называется\ж поверхностью разрыва\н.
Ударная волна возникает при взрывах, движении тел со сверхзвуковой
скоростью, а также в луче мощного лазера.
\index{Акустика|)textbf}
\subsection*{Эффект Допплера}
\index{Эффект!Допплера}
Пусть источник звуковой волны движется со скоростью $v\ind{ист}$ к
наблюдателю. Тогда для наблюдателя испущенные источником за единицу
времени колебания уложатся на длине $c-v\ind{ист}$, тогда если $v\ind{пр}$~---
скорость приемника, получим: $$\lambda=\dfrac{c-v\ind{ист}}{\nu_0},\quad
\nu=\dfrac{c+v\ind{пр}}{\lambda}\quad\Arr\quad
\boxed{\nu=\nu_0\frac{c+v\ind{пр}}{c-v\ind{ист}}}.$$

В системе координат приемника $\Delta\lambda=-\lambda_0\dfrac{v\ind{ист}}{c}$.

\index{Волны|)textbf}