\subsection*{Уравнение Дирака}
\index{Уравнение!Дирака|(textbf}
\bf Уравнением Дирака\н называют квантовое уравнение для частиц с полуцелым
спином, полученное из следующих требований:
\begin{enumerate}
	\item уравнение для волновой функции частицы $\psi(x,t)$ должно быть
		линейным, чтобы выполнялся принцип суперпозиции состояний;
	\item в уравнение должна входить первая производная $\psi$ по времени,
		чтобы задание $\psi$ в начальный момент определяло волновую
		функцию в любой другой момент времени;
	\item уравнение должно быть инвариантным относительно преобразований
		Лоренца;
	\item величина $\psi^*\psi$ должна иметь смысл плотности вероятности
		нахождения частицы в точке~$x$ в момент времени~$t$;
	\item уравнение для свободной частицы должно быть построено так, чтобы
		состояние с импульсом~$\vec p$ и энергией~$E$ было его решением только
		в случае выполнения соотношения $E^2=\hbar^2p^2+m^2c^4$, или, в системе
		$\hbar=1$, $c=1$: $E^2=p^2+m^2$.
\end{enumerate}
Всем этим требованиям удовлетворяет система решений четырехмерной волновой
функции $\psi=(\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi+_4)$.

Ковариантный вид уравнений Дирака зависит от выбора метрики пространства-времени.
Если $x^2=g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}=t^2-\vec x^2$, где $g_{\mu\nu}$~-- метрический
тензор, то уравнение имеет вид:
$$i\gamma^{\mu}\partder{\psi(x)}{x^\mu}-m\psi(x)=0,\qquad
\mu=1,2,3,4.$$
где $\gamma$~--\ж матрицы Дирака\н\index{Матрица!Дирака}. Для четырехмерного
вектора тока $j^{\mu}=\psi^*\gamma^{\mu}\psi$ вытекает уравнение непрерывности:
$\partder{j^{\mu}}{x^{\mu}}=0$.

Для данного импульса $\vec p$ уравнение Дирака имеет четыре линейно независимые
решения: два с положительной энергией $E=p_0=\sqrt{\vec p^2+m^2}$ и два с
отрицательной энергией $E=-p_0$. Их можно записать в ковариантном виде
$$\psi_{\pm p}(x)=\rev{(2\pi)^{3/2}}u(\pm p)\exp(\mp ipx),$$
где $u(p)$ удовлетворяет уравнениям $(\hat p\mp m)u(\pm p)=0$,
$\hat p=\gamma^\mu p_\mu=\gamma^0p^0-\gamma^\alpha p^\alpha$, $\alpha=1,2,3$;
$u^*(\pm p)(\hat p\mp m)=0$.

Для каждой пары $u$--$u^*$ в качестве независимых могут быть выбраны решения
с определенной спиральностью (проекцией спина на направление импульса)
$\lambda=0,\pm1/2$. Для $\lambda=0$ решения свободного уравнения Дирака являются
собственными функциями матрицы $\gamma^5=-i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$:
$$\gamma^5u_\lambda(\pm p)=\mp2\lambda u_\lambda(\pm p).$$

Решения уравнения Дирака с отрицательной энергией показались лишенными смысла.
Для устранения неопределенности их смысла Дирак предположил, что состоянием
с минимальной энергией (вакуумным состоянием) является состояние, в котором
все уровни с отрицательной энергией заполнены. Если из вакуума <<вырвать>>
одно состояние (т.е. образовать в нем <<дырку Дирака>>), полученное состояние
будет иметь положительную энергию. Эта частица будет иметь массу, равную массе
электрона и заряд~$+e$ (позитрон). По существу, решения с отрицательной энергией
требуют выхода за рамки одночастичного уравнения и осуществляются только в
квантовой теории поля.
\index{Уравнение!Дирака|)textbf}