\subsection*{Уравнения Гайзенберга}
\index{Уравнения!Гайзенберга|(textbf}
Если $\ket{\Psi_0}$~--- вектор состояния системы в начальный момент времени,
то в представлении Шр\"едингера вектор состояния в произвольный момент
времени примет вид: $\ket{\Psi(t)}=\hat U(t,t_0)\ket{\Psi_0}$, где $\hat U$~--\ж
унитарный оператор эволюции\н\index{Оператор!эволюции} системы:
$\hat U\hat U^*=1$. Если гамильтониан системы, $\hat H$, не зависит от времени,
среднее значение любой величины~$F$ можно представить в виде среднего значения
некоторого оператора $\hat F_0$, взятого по начальному вектору состояния:
$$\mean{F}=\bra{\Psi(t)}\hat F\ket{\Psi(t)}=\bra{\Psi_0}\hat F_0\ket{\Psi_0}.$$
Оператор $\hat F_0=\hat U^*\hat F\hat U$ называется оператором физической величины
в представлении Гайзенберга.
Для любой физической величины, $G$, оператор которой коммутирует с гамильтонианом,
$[\hat G,\hat H]=0$, $G=G_0$.

Используя уравнения для оператора эволюции
$$i\hbar\partder{\hat U}{t}=\hat H\hat U,\qquad
-i\hbar\partder{\hat U^*}{t}=\hat U^*\hat H,$$
можно найти производную по времени оператора $\hat F_0$:
$$\partder{\hat F_0}{t}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat F_0]+\partder{\hat F_0}{t}.$$
Это уравнение и правила коммутации операторов физических величин служат основой
квантовомеханического описания динамической системы в представлении Гайзенберга.

Если в качестве векторов состояния выбраны состояния $\bra{n}$ и~$\bra{m}$ с
определенной энергией $E_n$ и~$E_m$, то между матрицами операторов в представлении
Шр\"едингера и Гайзенберга существует связь:
$$\bra{m}\hat F\ket{n}=\bra{m}\hat F\ket{n}\exp(i\omega_{mn}t),\qquad
\omega_{mn}=(E_m-E_n)/\hbar.$$

Для динамических переменных (например, координат, $q_i$, и импульсов, $p_i$)
операторные уравнения с учетом коммутационных соотношений, $[\hat p_i,
\hat q_i]=i\hbar\delta_{ij}$ принимают вид, аналогичный классическим
уравнениям Гамильтона (\bf теорема Эренфеста\н\index{Теорема!Эренфеста}):
$$\frac{d\hat q_i}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat q_i]=\partder{\hat H}{\hat p_i},\qquad
\frac{d\hat p_i}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat p_i]=\partder{\hat H}{\hat q_i}.$$
\index{Уравнения!Гайзенберга|)textbf}