\subsection*{Деформации и напряжения в твердых телах} \index{Деформации и напряжения|(textbf} Под действием приложенных сил все твердые тела меняют свою форму или объем. Такие изменения называются\ж деформациями\н\index{Деформация}. Различают два предельных случая деформаций:\к упругие\н, исчезающие после прекращения действия приложенных сил, и\к пластические\н, сохраняющиеся в теле после снятия воздействия. Тела, претерпевающие лишь упругие деформации, называют\к идеально упругими\н. Ограничимся рассмотрением малых деформаций, при которых величина деформации пропорциональна первой степени приложенной силы~(\bf закон Гука\index{Закон!Гука}\rm). \bf Напряжением\н\index{Напряжение} называют силу, действующую на единицу площади бесконечно малой площадки, расположенной внутри тела. Ориентацию площадки~$dS$ можно задать вектором нормали,~$\vec n$. Тогда напряжение обозначим как~$\vec\sigma_n$. Вектор напряжений можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, а также его можно характеризовать компонентами $\sigma_{nx}$, $sigma_{ny}$ и~$\sigma_{nz}$. Здесь первый индекс указывает направление нормали к площадке, а второй~--- направление оси, на которую проецируется напряжение~$\vec\sigma_n$. Рассмотрим треугольную пирамиду, являющуюся сечением первого октанта наклонной плоскостью. Второй закон Ньютона для нее примет вид $$m\vec a=\vec f+\sigma_nS+\vec\sigma_{-x}S_x+\vec\sigma_{-y}S_y+\vec\sigma_{-z}S_z.$$ Здесь $\vec f$~-- равнодействующая объемных сил (например, силы тяжести), действующих на пирамиду. Стягивая данную пирамиду в точку, в результате предельного перехода получим: $$\vec\sigma_n=\vec\sigma_xn_x+\vec\sigma_yn_y+\vec\sigma_znz.$$ Таким образом,\к напряжение в каждой точке упруго деформированного тела можно характеризовать тремя векторами~$\sigma_\aleph$ или девятью проекциями~$\sigma_{\aleph\beth}$\н. Совокупность этих величин называется\ж тензором упругих напряжений\н\index{Тензор!напряжений}. Рассматривая момент сил, действующих на элементарный объем, получим: $$(\sigma_{xy}-\sigma_{yx})\,dV=I_z\frac{d\omega_z}{dt},$$ или, т.к. момент инерции, $I_z$,~--- бесконечно малая более высокого порядка, чем~$dV$ (т.к. $I_z\propto\rho\,dV\,l^2$), получим: $\boxed{\sigma_{\aleph\beth}=\sigma_{\beth\aleph}}$, т.е.\к тензор упругих деформаций симметричен\н. Можно выбрать систему координат так, чтобы свести тензор деформаций к диагональному виду. Такая СК называется\ж главной\н\index{Система!координат!главная}, а соответствующие координатные оси~--- главными осями тензора напряжений. \index{Деформации и напряжения|)textbf} \subsection*{Модуль Юнга} \index{Модуль!Юнга|(textbf} Напряжения, получаемые стержнем в результате сжатия или растяжения называют, соответственно,\ж давлением\н\index{Давление},~$P$, и\ж натяжением\н\index{Натяжение},~$T$. $P=-T=F/S$. Полученное изменение длины стержня, $\Delta l$, называют\ж абсолютным\н удлинением или сжатием, кроме того вводят понятие\ж относительного\н удлинения (сжатия): $\epsilon=\Delta l/l_0$. Для малых деформаций справедлив\ж закон Гука\н\index{Закон!Гука}:\к натяжение (давление) при малых деформациях пропорционально относительному удлинению (сжатию)\н: $T=E\epsilon$. Постоянная $E$, зависящая лишь от материала и физического состояния стержня, называется\ж модулем Юнга\н. Более общая форма закона Гука:\к в случае упругих деформаций натяжение является однозначной функцией относительного удлинения: $$T=\E\epsilon+A\epsilon^2+B\epsilon^3+\cdots.$$ Таким образом, расчеты с использованием закона Гука верны лишь с относительной ошибкой порядка~$\epsilon$, т.е. для вычисления~$\epsilon$ можно пользоваться и формулой $\epsilon=\Delta l/l$. \it Принцип суперпозиции малых деформаций\н гласит, что деформацию, полученную в результате действия нескольких сил, можно вычислить как сумму деформаций от каждой силы в отдельности. При деформации внешняя сила расходует энергию, переходящую в\ж упругую энергию\н\index{Энергия!упругая} деформации. При квазистатическом удлинении стержня на~$\Delta l$ под действием переменной силы $F$, упругая энергия,~$U$, и ее объемная плотность,~$u$, равны $$U=\rev2F\Delta l=\rev2k(\Delta l)^2,\qquad u=\rev2E\epsilon^2=\frac{T^2}{2E}=\frac{P^2}{2E}.$$ где $k$~--\ж коэффициент упругости\н\index{Коэффициент!упругости}, выражающийся через модуль Юнга, а $F=k\Delta l$ по закону Гука. \index{Модуль!Юнга|)textbf} \subsection*{Коэффициент Пуассона} \index{Коэффициент!Пуассона|(textbf} Под действием силы $F$ изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня: при растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются, а при сжатии~--- увеличиваются. \bf Относительным поперечным сжатием\н (растяжением) называется аналогичная~$\epsilon$ величина $-\Delta a/a$. Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему продольному удлинению называется\ж коэффициентом Пуассона\н: $$\mu=-\frac{\Delta a}{a}:\frac{\Delta l}{l}=-\frac{\Delta a}{\Delta l}\cdot\frac{l}{a}.$$ Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие коэффициенты можно выразить через~$E$ и~$\mu$. \index{Коэффициент!Пуассона|)textbf} \subsection*{Частные случаи упругих деформаций} \subsubsection*{Сдвиг} \index{Сдвиг} Деформация сдвига приводит к плоскопараллельному перемещению одной поверхности тела относительно другой на угол~$\gamma$. Малый сдвиг ($\gamma\ll1$) характеризуется законом $\tau=G\gamma$, где $\tau$~-- касательное напряжение на сдвигаемой поверхности, $G$~--\ж модуль сдвига\н\index{Модуль!сдвига}. $G$~можно выразить через модуль Юнга и коэффициент Пуассона, т.к. сдвиг эквивалентен одновременному растяжению и сжатию тела в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Тогда, т.к. $u=\rev2\tau\gamma=\tau^2/(2G)=(1+\mu)\tau^2/E$, получим: $\boxed{G=E/[2(1+\mu)]}$. \subsubsection*{Кручение} \index{Кручение} Кручение~--- поворот выбранной плоскости в теле относительно другой плоскости на угол~$\phi$. Деформации растяжения, сжатия и сдвига однородны. Однако, при кручении деформация внутри тела меняется от точки к точке. Закон Гука при кручении выглядит так: $M=f\phi$, где $M$~-- вращающий момент, $f$~--\ж модуль кручения\н\index{Модуль!кручения}. Т.к. $M=2\pi r\delta r\cdot\tau r$, где $\tau$~-- касательное напряжение, получим: $$u=\rev2\frac{M\phi}{V}=\rev2\frac{2\pi r\delta r\tau r\phi}{2\pi rl\delta r}=\frac{\pi\tau^2 r^3\delta r}{fl}.$$ Выражая энергию через модуль сдвига, получим: $$f=\frac{2\pi Gr^3\delta r}{l},\quad\Arr\quad\text{для трубки:}\quad f=\frac{\pi G}{2l}(r_2^4-r_1^4).$$ \subsubsection*{Изгиб} \index{Изгиб} Изгиб является осесимметричной деформацией, при которой ближняя к оси изгиба поверхность сжимается, а дальняя~--- растягивается. При этом в теле существует поверхность, вдоль которой деформация равна нулю. Она называется\ж нейтральной\н. Пусть $R$~-- радиус кривизны нейтральной линии, $\alpha$~-- центральный угол, опирающийся на дугу деформации. Тогда $l_0=R\alpha$. Пусть некоторое волокно расположено на расстоянии~$\xi$ от нейтрального сечения. Если брус не слишком толст ($|\xi|\ll R$), то длина волокна $l=(R+\xi)\alpha$, а удлинение, $\Delta l=\xi\alpha$. Следовательно, натяжение вдоль него, $\tau=E\xi/R$. В данном случае момент сил натяжения, $M_\tau=EI/R$, где $I=\Int\xi^2,dS$~-- \ж момент инерции\н\index{Момент!инерции}. Интегрируя общее выражение для момента инерции, можно получить частные выражения для конкретных тел. Если учесть, что $R=(1+y'^2)^{3/2}/y''$, то при $y'\ll1$ квадратом производной можно пренебречь. В этом случае $\boxed{M_\tau=EIy''}$.