\subsection*{Канонические уравнения Гамильтона}
\index{Уравнения!Гамильтона|(textbf}
\bf Уравнениями Гамильтона\н\index{Уравнения!Гамильтона} называют дифференциальные
уравнения движения замкнутой системы в канонических переменных: обобщенных
координатах, $q_i$, и обобщенных импульсах, $p_i$. Для составления уравнений
Гамильтона необходимо знать характеристическую функцию системы:\ж функцию
Гамильтона\н\index{Функция!Гамильтона}, $H(q,p,t)$. Тогда, если все действующие
на систему силы потенциальны, получим уравнения Гамильтона:
$$\partder{q_i}{t}=\partder{H}{p_i},\qquad
\partder{p_i}{t}=-\partder{H}{q_i}.$$

Значение функции Гамильтона получим, исходя из первого дифференциала лагранжиана,
учитывая, что $\partder{L}{\dot q_i}=p_i$, а $\partder{L}{q_i}=\dot p_i$:
$$dL=\sum \dot p_i\,dq_i+\sum p_i\,d\dot q_i,$$
что можно переписать в виде:
$$d\Bigl(\sum p_i\dot q_i-L\Bigr)=-\sum\dot p_i\, dq_i+\sum\dot q_i\, dp_i.$$
Величина, стоящая под знаком дифференциала, имеет смысл энергии системы,
т.е. и является функцией Гамильтона. Тогда из уравнения
$dH=-\sum\dot p_i\, dq_i+\sum\dot q_i\, dp_i$ можно получить уравнения Гамильтона.

Подставив уравнения Гамильтона в выражение для полной производной функции Гамильтона
по времени, получим: $\dfrac{dH}{dt}=\partder{H}{t}$. В частности, если функция
Гамильтона не зависит от времени явно, придем к закону сохранения энергии:
$dH/dt=0$.

Если лагранжиан $L$ содержит малую добавку к функции~$L_0$: $L=L_0+L'$, то
соответствующую добавку к функции Гамильтона, $H'$, можно найти, исходя из
полных дифференциалов $dL$ и~$dH$:
$$(H')_{p,\,q}=-(L')_{\dot q,\,q},\quad\text{аналогично,}\quad
\Bigl(\partder{H}{t}\Bigr)_{p,\,q}=-\Bigl(\partder{L}{t}\Bigr)_{\dot q,\,q}.$$
\index{Уравнения!Гамильтона|)textbf}

\subsection*{Скобки Пуассона}
\index{Скобки Пуассона|(textbf}
Пусть $f(p,q,t)$~--- некоторая функция. Подставив в ее полную производную по времени
выражения для $\dot p_i$ и~$\dot q_i$ из уравнений Гамильтона, получим:
$$\frac{df}{dt}=\partder{f}{t}+\{H,f\},$$
где введено обозначение
$$\{H,f\}=\sum_i\Bigl(\partder{H}{p_i}\partder{f}{q_k}-\partder{H}{q_k}
\partder{f}{p_k}\Bigr).$$
Выражение $\{H,f\}$ называют\ж скобками Пуассона\н для величин $H$ и~$f$.
Аналогично можно определить скобки Пуассона для двух любых других функций.

Из определения скобок Пуассона следуют их\к свойства\н:
$$\{g,f\}=-\{f,g\};\quad\{\C_1f+\C_2g,h\}=\C_1\{f,h\}+\C_2\{g,h\};$$
$$\{fg,h\}=g\{f,h\}+f\{g,h\};\quad \partder{}{t}\{f,g\}=\{\dot f,g\}+
\{f,\dot g\};$$
$$\{f,q_i\}=\partder{f}{p_i};\quad\{f,p_i\}=-\partder{f}{q_i};\quad
\{p_i,q_k\}=\delta_{ik}.$$
$$\bigl\{f,\{g,h\}\bigr\}+\bigl\{h,\{f,g\}\bigr\}+\bigl\{g,\{h,f\}\bigr\}\equiv0.$$
Последнее свойство называют\ж тождеством Якоби\н\index{Тождество Якоби}.
Из тождества Якоби получим, что если $f$ и~$g$~--- два интеграла движения, то
составленные из них скобки, $\{f,g\}$, тоже являются интегралом движения.
\index{Скобки Пуассона|)textbf}