\thispagestyle{empty}
\chapter{Электричество и магнетизм}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Электростатическое поле}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Закон Кулона}
Экспериментально Кулон установил, что сила взаимодействия зарядов
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, а силы взаимодействия
заряда~$A$ с зарядами~$B$ и~$C$ пропорциональны зарядам: $F_{AB}/F_{AC}=q_B/q_C$.
Таким образом,\ж закон Кулона\н:\index{Закон!Кулона}
$$F=f\frac{q_1q_2}{r^2},\qquad\vec F=f\frac{q_1q_2}{r_{12}^3}\,\vec r_{12}.$$
В СГСЭ $f=1$, в СИ $f=\dfrac1{4\pi\epsilon_0}$.

\subsection*{Потенциал. Вектор напряженности электрического поля}
\bf Напряженность\н\index{Напряженность!электрического поля} электрического поля (ЭП)
$E$~--- сила, действующая на единичный положительный пробный заряд со
стороны другого заряда. Т.е.\к напряженность~--- силовая характеристика
поля\н. $$\vec E=\rev{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^3}\,\vec r,\qquad \vec
F=q\vec E.$$

Работа по перемещению заряда из точки~$(1)$ в точку~$(2)$ равна
разности потенциальных энергий заряда в этих точках:
$$A_{12}=\Int_{(1)}^{(2)}\vec F(r)\,d\vec l=
\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0}\Int_{r_1}^{r_2}\vec r\,\frac{d\vec r}{r^3}=
\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0}\left(\rev{r_1}-\rev{r_2}\right)
=W_{p1}-W_{p2}.$$

Потенциальная энергия $W_p=\dfrac1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{qq'}{r}+\const$.
Полагая $\const=0$, получим: $W_p=\dfrac1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{qq'}{r}$.\ж
Потенциал\н\index{Потенциал!электрического поля}~--- потенциальная энергия единичного положительного
заряда в ЭП:
$$\phi=\frac{W_p}{q'}=\dfrac1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r}.$$
Потенциал численно равен работе, совершенной по перемещению единичного
положительного заряда из данной точки в бесконечность. Потенциал связан
с напряженностью посредством оператора градиента:
$$\vec F=-\grad W_p,\;\Arr\;q\vec E=-\grad W_p,\;\Arr\;
\boxed{\vec E=-\grad\phi}.$$

Напряженность ЭП удовлетворяет\ж принципу суперпозиции
электрического поля\н\index{Принцип!суперпозиции!электрического поля}:
$\vec E=\sum_{n=1}^N\vec E_n$.

\subsection*{Поток напряженности электрического поля}
\bf Индукция\н (смещение) ЭП\index{Индукция!электрического поля}, $D$~---
еще одна характеристика ЭП. Она равна $\vec D=\epsilon_0\vec E=\dfrac1{4\pi}\dfrac{q}{r^2}$.
В СГСЭ индукция и напряженность ЭП в вакууме равны.

\bf Поток\н\index{Поток} векторной величины~$\vec a$ есть величина,
равная $\Phi_{\vec a}=\Oint_{S}\vec a\,d\vec S$. Очевидно, что
$\Phi_E=\rev{\epsilon_0}\Phi_D$.

Вычислим поток электрической индукции через замкнутую сферическую
поверхностью радиуса~$R$ вокруг точечного положительного заряда~$q$:
$$\Phi_D=\Oint_{S}D\,dS=4\pi R^2D=\rev{4\pi}\frac{q}{R^2}4\pi R^2=q.$$
Таким образом, поток электрической индукции через замкнутую
поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.
Это утверждение справедливо и для поверхностей любой формы
и называется\ж теоремой Остроградского--Гаусса для электростатического
поля\н\index{Теорема!Остроградского--Гаусса}:~$\boxed{\Phi_D=\sum q_i}$

Т.к. $\Oint\vec a\,d\vec S=\Int\diver\vec a\,dV$, поток индукции
равен $\Phi_D=\Int_V\diver\vec D\,dV$. Сумма зарядов $\sum q_i=\Int_V\rho\,dV$,
где $\rho$~--\ж объемная плотность заряда\н\index{Плотность!заряда!объемная}.
Для любого объема~$V$ справедливо соотношение
$\Int_V\diver\vec D\,dV=\Int_V\rho\,dV$. Отсюда получим\ж
уравнение Пуассона\н\index{Уравнение!Пуассона}:
$$\boxed{\diver\vec D=\rho}\,,\quad\text{или}\quad\boxed{\diver\vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0}}\,.$$

Для электрических зарядов справедлива\ж теорема Ирншоу\н\index{Теорема!Ирншоу}:\к
система зарядов, расположенных в пространстве на любом расстоянии друг
от друга, не может находиться в покое в отсутствии внешних сил\н.
Доказательство этой теоремы очевидно, т.к. между любыми зарядами
действуют кулоновские силы притяжения или отталкивания, т.е.
в отсутствии внешних сил заряды всегда будут двигаться.

\subsection*{Электрический диполь. Поле диполя}
\bf Диполь\н\index{Диполь} электрический~--- система, состоящая из положительного
и отрицательного зарядов~$q$, расположенных на расстоянии~$l$ друг
от друга.
Характеристика диполя~---\ж дипольный момент\н\index{Момент!дипольный}:
$\vec p=q\vec l$ ($\vec l$~направлен от отрицательного заряда к
положительному). В электрическом поле на диполь действует момент
силы $\vec M=q\vec l\vec E=\vec p\times\vec E$.

Энергия диполя $W=\Int_{\pi/2}^\alpha pE\sin\alpha\,d\alpha=-pE\cos\alpha=
-\vec{\vphantom{E}p} \vec E$, где $\alpha$~-- угол между~$p$ и~$E$.

В неоднородном поле на диполь помимо момента сил действует
сила, смещающая его из положения равновесия: $F=qE+qE'=
q(E+l\dfrac{dE}{dx}-E)=p\dfrac{dE}{dx}$, таким образом,
$\boxed{\vec F=p\grad E}$. В однородном поле $\grad E=0$,
следовательно, и~$F=0$.

Найдем напряженность и потенциал поля диполя.
$$\phi=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\rev{r_2}-\rev{r_1}\right)=
\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{r_1-r_2}{r_1r_2}=\frac{q\,\vec l\,\vec{\vphantom{l}r}}
{4\pi\epsilon_0\,r^3}=\rev{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec p\vec r}{r^3}.$$
Т.к. $\vec E=-\grad\phi$, получим:
$$\vec E=-\rev{4\pi\epsilon_0}\grad\frac{\vec p\vec r}{r^3}=
\rev{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{3(\vec p\vec r)\vec r}{r^5}-
\frac{\vec p}{r^3}\right).$$

\subsection*{Квадрупольный момент}
Пусть заряд $q$ распределен в некоторой области пространства. Поле вне
области распределения заряда удобно представить в виде бесконечного
ряда с быстро убывающими членами:
$$\phi(\vec r)=\rev{4\pi\epsilon_0}\Int_{V}\frac{\rho(\vec r)}
{|\vec r-\vec r'|}\,dV',\qquad |\vec r|\gg|\vec r'|;$$
\begin{equation*}\begin{split}
\rev{|\vec r-\vec r'|}&=\sum_{n=0}^\infty\rev{n!}
\left(x'\partder{}{x'}+y'\partder{}{y'}+z'\partder{}{z'}\right)^n
\rev{|\vec r-\vec r'|}=\\&=\rev{r}+\rev{r^3}\vec r'\vec r+
\rev{2r^5}\sum_{\substack{\aleph=\overline{x,y,z}\\
\beth=\overline{x,y,z}}}(3\aleph'\beth'-r'^2\delta_{\aleph,\beth})\aleph\beth+\cdots.
\end{split}\end{equation*}

$$\phi(\vec r)=\rev{4\pi\epsilon_0}\biggl(\frac{q}{r}+\frac{pr}{r^3}+
\rev2\sum_{\substack{\aleph=\overline{x,y,z}\\
\beth=\overline{x,y,z}}} Q_{\aleph\beth}\frac{\aleph\beth}{r^5}+\cdots\biggr).$$
Благодаря быстрой сходимости этого ряда, обычно ограничиваются
первыми несколькими членами:
$q=\Int_V\rho(r')\,dV'$~--\ж полный заряд\н;
$\vec p=\Int_V\vec r'\rho(\vec r')\,dV'$~--\ж дипольный момент\н;
$Q_{\aleph\beth}=\Int_V(3\aleph'\beth'-r'^2\delta_{\aleph,\beth})\rho(r')\,dV'$~--\ж
квадрупольный момент\н.\index{Момент!квадрупольный}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Потенциальность электрического поля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Калибровочная инвариантность}\index{Калибровочная инвариантность}
К.и. имеет место в тех случаях, когда не все поля, участвующие в формулировке
теории, отвечают наблюдаемым величинам. С помощью к.и. строится калибровочное
поле.
Например, уровни энергии и сечения различных процессов, вычисленные при использовании
к.и., и с помощью исходных полей совпадают.

К.и. можно рассматривать, как переход к другому базису в пространстве--времени.
К.и. используется для описания взаимодействий фотонных и электрон--позитронных
полей. К.и. означает, что существует возможность независимого выбора <<направлений>>
заряда в различных точках пространства--времени. Чтобы этот выбор был
однозначным,
вводятся граничные условия, задающие начальное (в момент времени равным 0) и
граничное (на бесконечности) состояние системы (поля, отдельных его частей).

На часть компонент калибровочного поля, которые меняются произвольным образом при
калибровочных преобразованиях, накладывают дополнительное условие~--- условие калибровки.
Наиболее используемые условия калибровки: кулоновская калибровка,
$\partial_iA_i=0$, $i=\overline{1,2,3,\ldots}$ и лоренцова калибровка.

К.и. позволяет на основе единого принципа объяснить всю иерархию существующих в
природе взаимодействий.

\subsection*{Уравнение Лапласа}
\bf Общая задача электростатики\н: имеется система зарядов
и известны их потенциалы, требуется определить потенциал в
произвольной точке пространства. Эта задача решается
при помощи уравнения Лапласа.

Электрическое поле является потенциальным, т.е.
циркуляция ЭП в любой его точке равна нулю:
$$\rot\vec E=\lim_{S\to0}\rev{S}\Oint\vec E\,d\vec l=0.$$

Дифференциальной формой уравнения Остроградского--Гаусса является
уравнение Пуассона~$\diver E=\rho/\epsilon_0$.
Так как $\vec E=-\grad\phi$, то $\diver\grad\phi=-\rho/\epsilon_0$.
А т.к. $\diver\grad\phi=\Delta\phi$, где $\Delta$~--\ж оператор
Лапласа\н\index{Оператор!Лапласа} (лапласиан), получим\ж уравнение
Лапласа\н\index{Уравнение!Лапласа}:
$\boxed{\Delta\phi=-\rho/\epsilon_0}$. Если в системе отсутствуют
свободные заряды, то $\Delta\phi=0$.

\subsection*{Роль граничных условий}
Рассмотрим некоторую поверхность с распределенным по ней
зарядом. Электрическое поле по разные стороны поверхности
направлено в противоположных направлениях, т.е. напряженность
поля испытывает скачек у рассматриваемой поверхности.

Уравнения, связывающие напряженность ЭП по разные стороны
поверхности, называются\ж граничными условиями\н\index{Граничные условия}.
$\diver\vec E=\rho/\epsilon_0$,~\Arr $\Phi_E=\Int_V\diver\vec E\,dV=
q/\epsilon_0=S(E_{2n}-E_{1n})$. На боковой поверхности $\Phi=0$, т.к. ее
площадь исчезающе мала. Следовательно,\ж граничные условия для
нормальной составляющей ЭП\н $E_n$:
$$\boxed{E_{2n}-E_{1n}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}},\qquad \boxed{D_{2n}-D_{1n}=\sigma}\,,$$
где $\sigma$~--\ж поверхностная плотность заряда\н\index{Плотность!заряда!поверхностная}.

$\Int_{S}\rot\vec E=\Oint_{L1}E\,d\vec l+\Oint_{L2}E\,d\vec l=0$, следовательно,
$\Oint_{L1}E\,d\vec l=-\Oint_{L2}E\,d\vec l$, а т.к. $\Oint_{L}E\,d\vec l=
-E_\tau L$, получим\ж граничные условия для касательной
составляющей ЭП\н $E_\tau$:
$$\boxed{E_{2\tau}=E_{1\tau}},\qquad\boxed{D_{2\tau}=D_{1\tau}}.$$

\subsection*{Энергия системы зарядов}
Для одного заряда $W=\rev2\phi q$, для системы $N$ зарядов $W=\rev2
\sum q_i\phi_i$.\ж Сила электрического тока\н\index{Сила!тока}:
$I=\dfrac{dq}{dt}$,\ж плотность тока\н\index{Плотность!тока}:
$j=\dfrac{dI}{dS}$. $\Oint_S j\,dS=-\Int\partder{\rho}{t}\,dV$,~\Arr
$\diver j+\partder{\rho}{t}=0$. Т.к. $\rho=\epsilon_0\diver E$,
получим: $\boxed{j=-\epsilon_0\partder{E}{t}}$.

Мощность ЭП: $P=\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{q\vec E\,d\vec r}{dt}=q\vec E\vec v=
\Int_V\vec E\vec j\,dV=-\epsilon_0\Int_V E\partder{E}{t}\,dV=-\dfrac{\epsilon_0}2
\partder{}{t}\Int_V E^2dV$. Тогда\ж энергия ЭП\н\index{Энергия!электрического поля}
$\boxed{W=\dfrac{\epsilon_0}2\Int_V E^2dV}$.

\bf Плотность энергии\н ЭП\index{Плотность!энергии ЭП}:
$w=\dfrac{dW}{dV}=\dfrac{\epsilon_0}2E^2$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Проводники в электростатическом поле}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Напряженность электрического поля у поверхности и внутри
проводника}
Если заряды проводника находятся в равновесии, то напряженность ЭП внутри
него должна быть равна нулю, иначе под ее влиянием заряды пришли бы
в движение.

Из уравнения Пуассона $\diver\vec E=\rho/\epsilon_0$ следует, что
внутри проводника заряды отсутствуют:~$\rho^{(i)}=0$, т.е.
они расположены только на его поверхности. Из условия симметрии
следует, что  $\vec E=\vec E_n$, а поверхность проводника
является\ж эквипотенциальной\н (на ней $\grad\phi=0$).

Если проводник~--- бесконечная плоскость, то по теореме Гаусса
$E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$, где $\sigma$~--\ж поверхностная
плотность заряда\н\index{Плотность!заряда!поверхностная}.
На поверхности проводника $E=\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$.
Т.к. весь заряд расположен по поверхности проводника равномерно,
$\boxed{\sigma=q/S}\,$.

Если из проводника вынуть внутреннюю часть, заряды все равно
будут расположены по поверхности, внутри~$E=0$.

Если замкнутый полый проводник внести во внешнее ЭП, то на нем появятся
индуцированные заряды, сосредоточенные на поверхности, напряженность ЭП
внутри проводника так и останется равной нулю. Т.е. такой проводник
является экраном от внешних электрических полей (\bf электростатическая
защита\н).
Для защиты чувствительных приборов их помещают в замкнутые
металлические ящики, которые заземляют.

Однако, следует учитывать, что замкнутая проводящая поверхность
не экранирует внешнюю среду от зарядов, размещенных внутри нее.

\subsection*{Переменные поля и токи в массивных проводниках. Скин--эффект}
В случае постоянного тока его плотность,~$j$, одинакова в любой точке
проводника, однако переменный ток имеет б\'ольшую плотность у
поверхности и меньшую в центре проводника~---\ж
скин--эффект\н\index{Скин--эффект}.

Согласно\ж уравнениям Максвелла\н\index{Уравнение!Максвелла},
$\rot\vec E=-\mu\partder{\vec H}{t}$ и $\rot\vec H=\vecj=\gamma\vec E$.\ж
Дифференциальный закон Ома\н\index{Закон!Ома!дифференциальный}:
$\vecj=\gamma\vec E$.
Следовательно, $-\dfrac1{\mu}\rot\rot\vec E=\gamma\partder{\vec E}{t}$,
т.к. $\rot\rot\vec A=\grad\diver\vec A-\Delta\vec A$, получим:
$\Delta\vec E=\gamma\mu\partder{\vec E}{t}$,
$\Delta\vec H=\gamma\mu\partder{\vec H}{t}$.

Пусть ток течет вдоль оси $OX$. Тогда $j=j_x$, $E=E_x(y,t)$,
$\dpartder{E_x}{y}=\gamma\mu\partder{E_x}{t}$. Если $\omega$~--
частота переменного тока, то $E_x=E_{x0}\exp(i\omega t)$,
следовательно, $\dpartder{E_x}{y}=2ip^2E_x$,
$p^2=\mu\gamma\omega/2$,~\Arr
$E_{x0}=A_0\exp(kx)+B_0\exp(-kx)$, $k^2=2ip^2$,
$k=p(1+i)$. Т.о., $E_{x0}=A_0\e^{py}\e^{ipy}+B_0\e^{-py}\e^{-ipy}$,
т.к. $\lim_{y\to\infty}\e^{py}=\infty$,
то $A_0=0$, $E_x=B\e^{-py}\e^{i(\omega t-py)}$
или $E_x=B\e^{-py}\cos(\omega t-py)$, т.е.
$j_x(y)=\e^{-py}j_0\cos(\omega t-py)$.

На расстоянии $\Delta=1/p$ от поверхности проводника
плотность тока в $\e$ раз меньше, чем на поверхности. $\Delta=\sqrt{2/(\omega\gamma\mu)}$.
Таким образом, высокочастотный переменный ток <<вытесняется>>
на поверхность проводника.
При наличии сильного скин--эффекта внутри проводника отсутствует
и МП.

Скин--эффект позволяет собирать линии СВЧ из полых труб (волноводов),
покрытых тонким слоем серебра.

\subsection*{Связь заряда и потенциала. Электроемкость. Конденсаторы}
Для точечного заряда $\phi=\rev{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$, для системы
зарядов $\phi=\sum\phi_i$, следовательно, для протяженных тел
$$\phi=\rev{4\pi\epsilon_0}\Int_V\frac{\rho\,dV}{r}.$$
Очевидно, что $\phi\propto q$: $\boxed{q=C\phi}$, где $C$~--\ж
электрическая емкость тела\н\index{Емкость}.
Для одиночного заряда $C=q/\phi=4\pi\epsilon_0r$.
Если заряд расположен в какой-либо среде, то $C=4\pi\epsilon\epsilon_0r$,
где $\epsilon$~--\ж диэлектрическая проницаемость среды\н\index{Проницаемость!диэлектрическая}.

\bf Конденсатор\н\index{Конденсатор}~-- система двух одинаково и
противоположно заряженных тел.

Плоский конденсатор. $\phi=\Int_0^d E\,dx=\frac{\sigma}{\epsilon\epsilon_0}
\Int_0^d dx=\frac{\sigma d}{\epsilon\epsilon_0}$, где $d$~--
расстояние между пластинами конденсатора. Следовательно,
$\boxed{C=\epsilon\epsilon_0\dfrac{S}{d}}$

Шаровой конденсатор. $\phi=\frac{q}{4\pi\epsilon\epsilon_0}\left(\rev{a}-\rev{b}
\right)$, где~$a$ и~$b$~-- внутренний и внешний радиус конденсатора соответственно.
$\boxed{C=\dfrac{4\pi\epsilon\epsilon_0}{1/a-1/b}}$. В случае, когда
$b-a\ll b$, $C=\epsilon\epsilon_0\dfrac{S}{d}$.

Цилиндрический конденсатор. $\phi=\frac{q}{2\pi\epsilon\epsilon_0}\ln\frac{b}{a}$,
$\boxed{C=\dfrac{2\pi\epsilon\epsilon_0}{\ln(b/a)}}$.
При $d=b-a\ll b$, $\ln(b/a)\approx d/a$.
Тогда $\boxed{C=\dfrac{\epsilon\epsilon_0 S}{d}}$, где $S$~--
площадь единицы длины конденсатора.

Т.о., в случае малого расстояния между обкладками конденсатора,
его емкость $C=\epsilon\epsilon_0 S/d$ не зависит от формы
конденсатора.

Для системы $N$ проводников $q_i=\sum_{k=1}^N C_{ik}\phi_k$,
где $C_{ik}$~-- взаимная емкость $i$-го и $j$-го проводников.

Энергия заряженного конденсатора. $W=\Int_0^q\phi\,dq=q^2/C$,
или $W=\Int_0^U C\phi\,d\phi=CU^2/2=qU/2$, где $U$~-- напряжение
на обкладках конденсатора.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Диэлектрики в электрическом поле}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Вектор поляризации. Свободные и связанные заряды}
На нейтральных диэлектриках в ЭП появляются\ж поляризационные
заряды\н\index{Заряд!поляризационный} за счет смещения электронных
оболочек молекул или их разворота (\bf поляризация\index{Поляризация}\н).
Материалы приобретают электрический момент~$p=ql$.\ж
Вектор поляризации\н\index{Вектор!поляризации}~--- электрический
момент единицы объема: $\vec P=\rev{V}\sum\vec p_i$,
или $\vec P=\dfrac{d\vec p}{dV}$.

Для изотропных диэлектриков $\vec P=\kappa\epsilon_0\vec E$,
где $\kappa$~--\ж диэлектрическая восприимчивость\н\index{Диэлектрическая
восприимчивость}. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика,
называются связанными.

Поле в диэлектрике $\vec E\ind{микро}=\vec E\ind{стор}+\vec E\ind{связ}$.
Микроэлектрическое поле сильно меняется внутри диэлектрика,
среднее поле: $E=\aver{\vec E\ind{стор}}+\aver{\vec E\ind{связ}}=\vec E_0+
\vec E'$.

В плоском диэлектрике $E_0=\sigma/\epsilon_0$, где $\sigma$~--
поверхностная плотность заряда. $E'=-\sigma'/\epsilon_0$, где
$\sigma'$~-- поверхностная плотность связанных зарядов.
$E=(\sigma-\sigma')/\epsilon_0$. Т.о., внутри диэлектрика
напряженность ЭП такая, как у конденсатора с $\sigma=\sigma-\sigma'$.
Величина $q=(\sigma-\sigma')S$ называется\ж свободным
зарядом\н\index{Заряд!свободный}.

\subsection*{Вектор электрической индукции}
$\diver E=(\rho+\rho')/\epsilon_0$, $\Int_V\diver\vec p\,dV=-
\Oint_S\vec p\,d\vec S=\Int_V\rho'\,dV$.
Т.е. $\diver\vec P=-\rho'$. $\diver(\epsilon_0\vec E+\vec P)=\rho$.
Вектор $\boxed{\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P}$ называют\ж электрической
индукцией\н\index{Индукция!электрическая} (смещением).

Для изолированного проводника $\vec D=\epsilon_0\vec E+
\epsilon_0\kappa\vec E=\epsilon_0(1+\kappa)\vec E=\epsilon\epsilon_0 E$,
где $\epsilon=1+\kappa$~--\ж диэлектрическая
проницаемость\н\index{Диэлектрическая проницаемость}
вещества.

\subsection*{Термодинамическое описание диэлектриков}
$\delta Q=dU+\sum A_ida_i=dU+\delta A$, $dA=-\sum\phi_i\vec E\,d\vec r_i=
\vec E\,d\vec P=-d\left(\dfrac{EP}2\right)$.
$\delta Q=TdS$,~\Arr $TdS=dU-E\,dP$ или $dU=TdS+E\,dP$.

\subsection*{Тензор диэлектрической восприимчивости}
В анизотропных диэлектриках: $P_\aleph=\epsilon_0(\kappa_{\aleph x}E_x+
\kappa_{\aleph y}E_y+\kappa_{\aleph z}E_z)$, $\aleph=\overline{x,y,z}$.
$\kappa_{\aleph\beth}$~-- симметричный тензор второго ранга,\ж
тензор диэлектрической восприимчивости\н\index{Тензор!диэлектрической
восприимчивости}.

Т.к. $\epsilon=1+\kappa$, то\ж тензор диэлектрической проницаемости\н:
$$\hat\epsilon=\begin{pmatrix}
\epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\
\epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\
\epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1+\kappa_{xx}&1+\kappa_{xy}&1+\kappa_{xz}\\
1+\kappa_{yx}&1+\kappa_{yy}&1+\kappa_{yz}\\
1+\kappa_{zx}&1+\kappa_{zy}&1+\kappa_{zz}
\end{pmatrix};\quad
D_\aleph=\sum_{\beth=\overline{x,y,z}}\epsilon_{\aleph\beth}E_\beth.$$

\subsection*{Энергия диэлектрика во внешнем электрическом поле}
Плотность энергии ЭП в среде $w=\epsilon\epsilon_0E^2/2=ED/2=D^2/(2\epsilon
\epsilon_0)=\vec E\vec D/2$. $\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P$,
$w=\epsilon_0\vec E^2/2+\vec E\vec P/2=w\ind{вак}+\vec E\vec P/2$.
Где $w\ind{вак}$~-- плотность энергии ЭП в вакууме.\index{Плотность!
энергии ЭП}

Работа по поляризации единицы объема $dA=\sum q_i\vec E\,d\vec r_i=
\vec E\,d(\sum q_i\vec r_i)=\vec E\,d\vec P=d(\vec E\vec P/2)$.
Значит, $A=\vec E\vec P/2$~-- работа по поляризации единицы объема
диэлектрика. Т.о., $w=w\ind{вак}+w\ind{поляр}$,
$w=\rev2\sum\epsilon_{ij}E_iE_j$.

\subsection*{Пондеромоторные силы в электрическом поле}
На любое тело в ЭП действуют\ж пондеромоторные
силы\н\index{Сила!пондеромоторная}
(силы, которые действуют на тело в целом, а не только на заряды внутри него).
Вычислим силу притяжения пластин конденсатора, отключенного от
источника питания:
$\delta A=F\,dx$, $dW=-\rev2\epsilon\epsilon_0E^2S\,dx$,~\Arr
$F=\rev2\epsilon\epsilon_0E^2S$, на единицу площади действует
сила $f=\rev2\epsilon\epsilon_0E^2=w$.

Т.о., пондеромоторные силы легко вычислить при помощи ЗСЭ:
$\delta A=-dW$, $F\ind{понд}dx=-dW$.

В общем случае поверхностная пондеромоторная сила $f$~-- тензор второго
ранга, который называют\ж тензор натяжений\н\index{Тензор!натяжений}:
$$\hat f=\begin{pmatrix}
f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}
\end{pmatrix}.$$

Величины $f_{\aleph\beth}$ характеризуют поверхностные силы,
приложенные к поверхности объема $V$. Т.к. $f=\rev2\epsilon\epsilon_0E^2$,
$\hat f=\rev2\epsilon_0E^2\hat\epsilon$,~\Arr
$f_{\aleph\beth}=\rev2\epsilon_0\epsilon_{\aleph\beth}E^2$.

Если заряд распределен по объему~$V$ с объемной плотностью~$\rho$,
то в электрическом поле~$Е$ на него действует сила: $\vec F=\Int\rho\vec E\,dV$.
Сила, действующая на диполь, является суммой сил, действующих на заряды
диполя. Учитывая, что $p=ql$, сила, действующая на диполь, равна:
$\vec F=(\vec p\nabla)\vec E$.

На диполь действует пара сил, момент которой относительно центра диполя
равен $\vec M=\vec p\times\vec E$. Он стремится повернуть момент диполя,~$\vec
p$,
до совпадения с направлением поля,~$\vec E$. Поскольку дипольный момент
элемента объема~$dV$ поляризованного диэлектрика, находящегося в
электрическом поле,~$\vec E$, равен $d\vec p=\vec P\,dV$, на этот элемент
объема действует сила $d\vec F=(d\vec p\nabla)\vec E\,dV$.

На элементарные объемы диэлектрика действуют силы, стремящиеся сдвинуть
эти объемы в направлении максимальной скорости возрастания напряженности~ЭП.
Иначе говоря, элемент объема диэлектрика увлекается в сторону больших полей:
$\vec F\propto\grad E^2$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Электронная теория поляризации диэлектриков}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Локальное поле. Полярные и неполярные диэлектрики}
Диэлектрики можно разделить на полярные (полярная молекулярная связь) и
неполярные (ковалентная связь).

У полярных\index{Диэлектрик} диэлектриков все молекулы~--- диполи,
и в отсутствие внешнего ЭП существует собственное локальное поле. Но,
вследствие теплового движения, молекулы располагаются хаотично, следовательно,
суммарное поле (макрополе) у диэлектрика равно нулю, хотя микрополе
резко изменяется от точки к точке.

При внесении диэлектрика в ЭП, диполи ориентируются параллельно
полю~---\ж ориентационная\н (диполярная)\ж
поляризация\н.
У молекулярных кристаллов во внешнем поле происходит сдвиг решеток
положительных и отрицательных ионов~---\ж ионная
поляризация\н.

У многих веществ молекулы нейтральны. В грубом приближении будем считать
молекулу совокупностью двух противоположно заряженных сфер с совпадающими
центрами. В ЭП они смещаются, образуя диполь. В слабых ЭП
$\vec p=\alpha\epsilon_0\vec E'$~---\ж электронная поляризация
смещения\н ($\alpha$~-- молекулярная
диэлектрическая восприимчивость).

\subsection*{Функция Ланжевена. Формула Клаузиуса--Моссотти}
\bf Формула Ланжевена--Дебая\н\index{Формула!Ланжевена--Дебая}
выражает зависимость диэлектрической проницаемости~$\epsilon$\ж
полярного диэлектрика\н от поляризуемости~$\alpha$ составляющих его частиц
и от их концентрации~$n$:
$$\epsilon=1+n\left(\alpha+\frac{p^2}{3kT\epsilon_0}\right),\qquad
\text{или}\qquad\kappa=n\alpha+\frac{p^2n}{3kT\epsilon_0},$$
где $n$~-- концентрация. $\kappa_e=\alpha n$~-- диэлектрическая
восприимчивость\index{Диэлектрическая восприимчивость} за счет
электронной поляризации; $\kappa_0=\frac{p^2n}{3kT\epsilon_0}$~--
\ldots за счет ориентационной поляризации.
Действительно, у неполярных диэлектриков $\vec p=\alpha\epsilon_0\vec E'$,
$\vec P=n\vec p=\alpha n\epsilon_0\vec E'$, а т.к.
$\vec P=\kappa\epsilon_0\vec E'$, получим: $\boxed{\kappa=\alpha n}$.

У\ж полярных диэлектриков\н внутренняя энергия $W=-\vec p\vec E$. Т.к. минимум
энергии соответствует параллельной ориентации $\vec p$ и~$\vec E$,
диполи ориентируются параллельно полю, однако, тепловое движение
в равновесном состоянии несколько расстраивает их ориентацию.
Пусть $\theta$~-- угол между~$\vec p$ и~$\vec E$, $\vec E$
ориентирован вдоль~$OZ$. Тогда $W=-pE\cos\theta=-p_zE$.
Согласно распределению Больцмана, получим число молекул,
чьи вектора поляризации~$\vec p$ лежат в конусе~$d\Omega$:
$dN=A_0\exp(\frac{pE\cos\theta}{kT})\,d\Omega=A_0\exp(\frac{pE\cos\theta}{kT})
\,d\alpha\sin\theta\,d\theta$, т.е.
$$\aver{p_z}=\frac{\Int p_zdN}{\Int dN}=\frac{p\Int_0^\pi\e^{\beta\cos\theta}
\cos\theta\sin\theta\,d\theta}{\Int_0^\pi\e^{\beta\cos\theta}\sin\theta\,d\theta
},
\quad\beta=\frac{pE}{kT}.$$

Пусть $\I=\Int_0^\pi\e^{\beta\cos\theta}\sin\theta\,d\theta$.
Числитель предыдущей формулы есть $\partder{\I}{\beta}$.
$\I=\Int_{-1}^1\e^{\beta x}dx=\rev\beta\e^{\beta
x}|_{-1}^1=\frac2\beta\sh\beta$,
$\;\partder{\I}{\beta}=\frac2\beta(\ch\beta-\frac{\sh\beta}{\beta})$,~\Arr
$$\aver{p_z}=pL(\beta),\quad\text{где}\quad\boxed{L(\beta)=
\cth\beta-\rev\beta}\;\text{---\ж функция Ланжевена.}\index{Функция!Ланжевена}$$

\float{L}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Langeven}}
В слабых полях ($pE\ll kT$, т.е.~$\beta\ll1$)
$\cth\beta\approx\rev\beta+\frac\beta3$,~\Arr
$L\approx\frac\beta3$. $\aver{p_z}=\frac{p\beta}3=\frac{p^2E}{3kT}$,~\Arr
$\kappa_0=\frac{\aver{\;p_z\;}n}{\epsilon_0E}=\frac{p^2n}{3kT\epsilon_0}$.

В очень сильных полях $\beta\gg1$, т.е. $L\sim1$: $\aver{p_z}\approx p$.
Следовательно, происходит насыщение внутреннего поля до величины
$\boxed{E\ind{нас}=\dfrac{kT}{p}}$, и оно перестает расти.

\bf Формула Клаузиуса--Моссотти\н\index{Формула!Клаузиуса--Моссотти}\к
приближенно\н выражает зависимость~$\epsilon$\ж
неполярного диэлектрика\н от~$\alpha$ и~$n$:
$$\frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}=\frac{4\pi}3n\alpha,\quad\text{или}\quad
\frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}\frac{M}\rho=\frac{4\pi}3N_A\alpha,$$
где $M$~-- молекулярная масса вещества, $\rho$~-- его плотность,
$N_A$~-- число Авогадро.
Данная формула справедлива для всех неполярных диэлектриков, для
которых выполняется соотношение $E\ind{микро}=E\ind{макро}+\frac{4\pi}3P$,
где $E\ind{микро}$~-- локальное микрополе, $E\ind{макро}$~-- среднее
макрополе, $P$~-- поляризация диэлектрика (дипольный момент единицы
его объема).

Если в диэлектрике содержится $k$ сортов частиц, производится суммирование
по всем сортам:
$$\frac{\epsilon-1}{\epsilon+2}=\frac{4\pi}3\sum n_k\alpha_k.$$

Формула Клаузиуса--Моссотти носит приближенный характер ввиду невозможности
в общем случае дать рациональное объяснение понятию частиц, из которых
состоит диэлектрик.

\subsection*{Теорема Остроградского--Гаусса применительно к диэлектрикам}
В отсутствие диэлектрика поток напряженности ЭП равен $\Phi_E=q/\epsilon_0$,
$D=\epsilon_0E$,~\Arr $\Phi_D=q$.

В диэлектрике поток индукции $\Phi_D=\Oint_S\epsilon\epsilon_0\vec E\,d\vec S=
\epsilon\epsilon_0\Phi_E$.

$\Phi_E=\dfrac1{4\pi\epsilon\epsilon_0}\dfrac{q}{R^2}\cdot4\pi R^2=\dfrac{q}
{\epsilon\epsilon_0}$,~\Arr $\boxed{\Phi_D=q}$.

Т.о. в диэлектриках теорема
Остроградского--Гаусса\index{Теорема!Остроградского--Гаусса}
имеет тот же вид, что и в их отсутствии (для потока индукции ЭП),
для потока напряженности $\Phi_D=\epsilon\epsilon_0q$.
Аналогично и для дифференциальной формы теоремы О--Г:
$\Oint\vec D\,d\vec S=\Int_V\diver\vec D\,dV$,~\Arr $\Int_V\diver\vec D\,dV=
\Int_V\rho\,dV$,~\Arr $\boxed{\diver\vec D=\rho}$,
$\diver\vec E=\rev{\epsilon\epsilon_0}\rho$.

\subsection*{Граничные условия в кусочно-однородной среде}
В кусочно-однородной среде для напряженности и индукции ЭП существует
два граничных условия: $\rot\vec E=0$, $\diver\vec D=\rho$.
$\Oint\vec E\,d\vec l=0$ (т.к.~$\rot\vec E=0$), значит,
вдоль замкнутого контура, проведенного вокруг границы раздела сред,
$E_{1\tau}l-E_{2\tau}l+\aver{E\ind{бок}}\cdot2h=0$.
Максимально приближая контур к границе, получим: $\aver{E\ind{бок}}=0$,~\Arr
$\boxed{E_{1\tau}=E_{2\tau}}$. Аналогично, $\frac{D_{1\tau}}{\epsilon_1
\epsilon_0}=\frac{D_{2\tau}}{\epsilon_2\epsilon_0}$,~\Arr
$\boxed{\dfrac{D_{1\tau}}{D_{2\tau}}=\dfrac{\epsilon_1}{\epsilon_2}}$~---\ж
граничные условия\н для касательных составляющих $E$ и~$D$
для поверхности раздела диэлектриков.

ГУ для нормальных составляющих получим из условия $\Phi_D=\Phi_E=0$
в случае отсутствия сторонних зарядов на границе радела диэлектриков.

Рассмотрим цилиндрический участок поверхности раздела с площадью
основания $S$ и исчезающе малой высотой: $D_{1n}S+D_{2n}S+
\underbrace{\aver{D\ind{бок}}S\ind{бок}}_{\to0}=0$,~\Arr
проектируя составляющие индукции на одну и ту же нормаль,
получим: $\boxed{D_{1n}=D_{2n}}$.
И аналогично $\boxed{\dfrac{E_{1n}}{E_{2n}}=\dfrac{\epsilon_2}{\epsilon_1}}$.

Т.о., при переходе через границу диэлектриков $D_n$ и~$E_\tau$
меняются непрерывно, а $D_\tau$ и~$E_n$ преломляются.
Пусть $\alpha_1$~-- угол между электрическим полем и нормалью
к границу раздела сред в первой среде, $\alpha_2$~-- \ldots~во
второй среде. Тогда
$$\frac{\tg\alpha_1}{\tg\alpha_2}=\frac{D_{1\tau}/D_{1n}}{D_{2\tau}/D_{2n}}=
\frac{D_{1\tau}}{D_{2\tau}}=\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}=\epsilon_{12},$$
где $\epsilon_{12}$~--\ж относительная диэлектрическая проницаемость\н
двух сред.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Постоянный электрический ток}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Сила и плотность тока}
\bf Электрический ток\н\index{Ток!электрический}~--- любое движение
электрических зарядов.\ж Линия тока\н\index{Линия тока}~--- траектории
движения зарядов.\ж Трубка тока\н\index{Трубка тока}~--- воображаемая
трубка, боковая поверхность которой состоит из линий тока.

\bf Плотность тока\н\index{Плотность!тока}~--- заряд, проходящий
через единицу поверхности трубки тока за единицу времени. Она равна
количеству заряда в трубке тока единичной площади и длины, равной
средней скорости движения зарядов~$v$:
$\vecj=ne\vec v$, где $e$~-- заряд одной частицы.

За время $dt$ через трубку пройдет заряд $dq=\vecj\,d\vec S\,dt$.\ж
Сила тока\н\index{Сила!тока}~--- заряд, проходящий за единицу времени
через поперечное сечение проводника: $I=dq/dt$,~\Arr $I=\Int_S\vecj\,d\vec S$.

\subsection*{Уравнения непрерывности и стационарности}
Рассмотрим замкнутую поверхность. Количество втекающих в нее зарядов
равно количеству вытекающих, получим\ж уравнение
непрерывности\н\index{Уравнение!непрерывности}:
$$\boxed{-\frac{dq}{dt}=\Oint_S\vecj\,d\vec S}\,.$$
Т.к. $\Oint_S\vecj\,d\vec S=\Int_V\diver\vecj\,dV$,
а $q=\Int_V\rho\,dV$, получим дифференциальную форму уравнения
непрерывности:
$$\diver\vecj=-\frac{d\rho}{dt}.$$

Если токи стационарны, то все характеризующие их элементарные
величины не зависят от времени, т.е. $\rho=\const$, $I=\const$.
Получим\ж уравнение стационарности\н:\index{Уравнение!стационарности}
$\boxed{\diver\vecj=0}$.

\subsection*{Электрическое напряжение. Сопротивление. Закон Ома}
\bf Напряжение\н, $U$, между точками $A$
и~$B$\index{Напряжение!электрическое}~---
работа по перемещению единичного положительного заряда из точки~$A$
в точку~$B$: $U=\phi_B-\phi_A$.

Для любого проводника существует зависимость между напряжениями и токами,
которая однозначна и линейна (получена экспериментально):
$\boxed{I=\Lambda U}$~---\ж закон Ома\н\index{Закон!Ома}, здесь
$\Lambda$~--\ж
электропроводимость\н\index{Электропроводимость}\index{Проводимость}
проводника. Если ввести\ж сопротивление\н\index{Сопротивление}
$R=\Lambda^{-1}$, закон Ома примет вид: $I=U/R$.

Экспериментально установлено, что для проводников выполняется
зависимость $R=\rho\,\dfrac{l}{S}$, где $\rho$~--\ж удельное
сопротивление\н проводника,
$l$~-- его длина, $S$~-- поперечная площадь.
Можно записать и так: $\Lambda=\lambda\,\dfrac{S}{l}$, где
$\lambda$~--\ж удельная проводимость\н\index{Проводимость!удельная}
проводника. Очевидно, $\lambda=\rho^{-1}$.

Проводимость при нормальных условиях линейно зависит от температуры:
$\rho=\rho_0(1+\alpha[T-T_0])$, где $\alpha=\dfrac1\rho\dfrac{d\rho}{dT}$~--\ж
температурный коэффициент
сопротивления\н\index{Коэффициент!сопротивления}.
В небольших интервалах температур $\alpha\approx\const$.

Получим\ж дифференциальный вид закона Ома\н. $dI=\Lambda\,dU$,
а т.к. $dI=j\,dS=E\,dl$,~\Arr $j\,dS=\Lambda E\,dl$,
$\Lambda=\lambda dS/dl$,~\Arr $\boxed{j=\lambda E}$.

\subsection*{Работа и мощность тока. Закон Джоуля--Ленца}
\bf Работа\н\index{Работа!тока} по перемещению единичного положительного заряда
из одной
точки в другую равна напряжению между этими точками, следовательно,
работа по перемещению заряда~$q$ равна
$dA=q\,dU$, $dA/dt=I\,dU$, $dA=I\,dU\,dt$,~\Arr
$\boxed{A=UIt}$.\ж Мощность\н\index{Мощность тока} электрического
тока $P=dA/dt=IU=U^2/R=I^2R$.

При прохождении тока через проводник выделяется тепловая энергия,
количество которой можно рассчитать по\ж закону
Джоуля--Ленца\н\index{Закон!Джоуля--Ленца}: $\boxed{Q=UIt}$.
Тепло, выделяемое переменным током, рассчитывается по
формуле $Q=\Int_0^tRI^2dt$.

$dQ=RI^2dt=\dfrac{\rho\,dl}{dS}(j\,dS)^2dt=\rho j^2dV\,dt$. Величина
$Q\ind{уд}=\rho j^2$ называется\ж удельной тепловой мощностью тока\н.

Аналогично, $dQ=\Lambda U^2dt=\dfrac{\lambda\,dS}{dl}(E\,dl)^2dt=\lambda
E^2dV\,dt$, $Q\ind{уд}=\lambda E^2$.

\bf Закон Джоуля--Ленца\н в дифференциальной форме:
$Q\ind{уд}=\rho j^2=\lambda E^2$.

\subsection*{Сторонние силы. Электродвижущая сила}
Для получения постоянного тока на заряды должны действовать силы,
отличные от электростатических~---\ж сторонние силы\н\index{Сила!сторонняя}:
$\vec F\ind{стор}=\vec E^*q$, где $\vec E^*$~-- напряженность
поля сторонних сил.

\bf Электродвижущая сила\н\index{Сила!электродвижущая}\index{ЭДС} (ЭДС)~---
работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда:
$\E=dA/dq$, $A=\Int\vec F\ind{стор}d\vec l=q\Int\vec E^*d\vec l$,~\Arr
$$\boxed{\E_{AB}=\Int_{(AB)}\!\!\!\vec E^*d\vec l}\,.$$
Для замкнутой цепи $\E=\oint\vec E^*d\vec l$.


Кроме сторонних сил на заряд действуют электростатические силы $\vec F_e=q\vec
E$.
Суммарная сила $\vec F=\vec F_e+\vec F\ind{стор}=q(\vec E+\vec E^*)$,
$A_{12}=q\Int(\vec E+\vec E^*)\,d\vec l=q(\Delta\phi_{12}+\E_{12})$.
$\boxed{U_{12}=\Delta\phi_{12}+\E_{12}}$~--\ж напряжение на
участке цепи\н\index{Напряжение!на участке цепи}~1--2.

Участок, на котором не действуют сторонние силы, называется\ж однородным\н.
Для него $U=\Delta\phi$.

\subsection*{Разветвление цепей. Правила Кирхгофа}
Правила Кирхгофа\index{Правила!Кирхгофа} для разветвляющихся участков
электрических цепей
являются следствием законов сохранения.

\bf Первое правило\н:\к сумма токов, втекающих в разветвляющийся
участок проводников, равна нулю\н, $\sum I_k=0$ (закон сохранения заряда).
При этом за направление тока выбирается направление движения положительных
зарядов,
втекающие в узел токи считаются со знаком <<плюс>>, вытекающие~---
со знаком <<минус>>.

Рассмотрим некоторый замкнутый контур. Для каждого участка~$ab$ справедливо
$U_{ab}=I_{ab}R_{ab}-\E_{ab}$. Так как суммарное напряжение на
замкнутом контуре равно нулю, получим\ж второе правило Кирхгофа\н:\к
сумма падений напряжения на участках замкнутого контура равна сумме
ЭДС, действующих на этом участке\н, $\sum I_kR_k=\sum\E_k$.

Первое правило Кирхгофа называют еще условием стационарности токов, а
второе~--- следствием основного свойства электростатического поля
($\oint\vec E\,d\vec l=0$).

\subsection*{Пондеромоторные силы}
На тело в электрическом поле действуют\ж пондеромоторные
силы\н\index{Сила!пондеромоторная}.
При перемещении проводников изменяется их взаимная емкость. Следовательно,
чтобы напряжение между этими телами оставалось постоянным, к ним необходимо
подводить заряды. Каждый источник тока совершает работу $\E\,dq=\E I\,dt$.
при этом проводники будут выделять тепло Джоуля--Ленца~$Q=RI^2dt$.
Работа источников тока идет на тепло Джоуля--Ленца, компенсацию
работы пондеромоторных сил~$\delta A$ и изменение электрического поля.
Значит, для них можно написать ЗСЭ:
$$\sum\E I\,dt=\delta A+dW+\sum RI^2dt.$$
В случае, если все проводники и диэлектрики неподвижны, работа
источников тока полностью превращается в тепло.

В случае, когда $q=\const$, $\delta A+dW+\sum RI^2dt=0$,
но тепло Джоуля--Ленца, связанное с перераспределением зарядов внутри проводника
становится исчезающе мало. Значит, $\delta A+dW=0$~--- механическая работа
сил ЭП идет на уменьшение его внутренней энергии.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Квазистационарное приближение в электродинамике}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Постоянное магнитное поле. Взаимодействие токов}
Электрический ток отклоняет магнитную стрелку; рамки с противоположно
направленными токами, взаимно отталкиваются, следовательно, взаимодействие
токов подобно действию токов на магнит и проявляется в\ж магнитном
взаимодействии\н.

Экспериментально установлено, что между двумя проводниками с током
возникает сила $\dfrac{dF}{dl}=k\dfrac{I_1I_2}{r}$, где $r$~-- расстояние
между проводниками, $dF/dl$~-- удельная сила на единицу длины проводника.

Векторной характеристикой магнитного поля (МП) является\ж магнитная
индукция\н\index{Индукция!магнитная}~$\vec B$. Магнитное поле
удовлетворяет условию\ж суперпозиции\н:~$\vec B=\sum\vec B_i$.

\bf Закон Ампера\н\index{Закон!Ампера}: $\boxed{d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B=
dq\vec v\times\vec B}$.

Магнитная индукция есть сила, действующая со стороны магнитного
поля на единицу длины проводника с единичным током.

Магнитное поле, создаваемое участком проводника с током длины~$dl$
на расстоянии~$r$ от проводника, определяется согласно\ж закона
Био--Савара--Лапласа\н\index{Закон!Био--Савара--Лапласа}:
$$d\vec B=k\frac{I\,d\vec l\times\vec r}{r^3},\qquad k=\frac{\mu_0}{2\pi},$$
где $\mu_0$~--\ж магнитная постоянная\н\index{Постоянная!магнитная}.

Согласно закона Био--Савара--Лапласа, сила взаимодействия
между двумя проводниками с током определится формулой:
$$d\vec F=k\frac{I_1I_2}{r_{12}^3}\left(
d\vec l_2(d\vec l_1\vec r_{12})-\vec r_{12}(d\vec l_1d\vec l_2)\right).$$

Следует заметить, что, согласно СТО, $\vec E$ и~$\vec B$ взаимно
переходят друг в друга в различных СК.

\subsection*{Теорема о циркуляции индукции магнитного поля. Вихревой
характер МП}
Введем по аналогии с электрической индукцией вектор\ж магнитной
напряженности\н\index{Напряженность!магнитная}~$H$.
В вакууме $\vec H=\vec B/\mu_0$,
$$d\vec H=\rev{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\vec r}{r^3}\text{ (А/м)}.$$

В природе не существует магнитных зарядов (хотя Дирак высказал
предположение о возможном существовании магнитных монополей),
значит, $\boxed{\diver\vec B=0}$, т.е. поток вектора~$\vec B$
через замкнутую поверхность, равен нулю: $\Phi_B=0$.

$\Oint\vec B\,d\vec l=\Int_S\rot\vec B\,d\vec S$;
$\vec B\,d\vec l=B\,dl_B=\dfrac{\mu_0}{2\pi}I\,d\alpha$,
где $\alpha$~-- угловая ширина отрезка~$d\vec l$ со стороны проводника.
Тогда $\Oint\vec B\,d\vec l=\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Oint d\alpha=\mu_0I$.
Следовательно, $\rot\vec B=\mu_0\vecj$, или $\boxed{\rot\vec H=\vecj}$.

Сравнивая с соответствующими уравнениями для ЭП ($\diver\vec D=\rho$,
$\rot\vec E=0$), можно понять, что силовые линии МП непрерывны, т.е.\ж
МП носит вихревой характер\н.

По аналогии с электрическим напряжением, можно ввести\ж магнитное
напряжение\н\index{Напряжение!магнитное}:
$\Oint\vec H\,d\vec l=U_m$.

\subsection*{Векторный потенциал}
Т.к. $\diver\vec B=0$, удобно ввести функцию $\vec A$, такую, что $\vec
B=\rot\vec A$ (т.к. $\diver\rot\equiv0$). Величину~$\vec A$ называют\ж векторным
потенциалом\н\index{Потенциал!векторный}. Следует отметить, что
векторный потенциал не имеет физического смысла. Он определен с
точностью до $\grad\chi$, где $\chi$~-- некоторая произвольная функция
координат (т.к. $\rot\grad\equiv0$), поэтому введем дополнительное
условие: $\diver\vec A=0$.

$\rot\rot\vec A=\mu_0\vecj$, а т.к. $\rot\rot\equiv\grad\diver-\Delta$,
получим\ж уравнение Пуассона\н\index{Уравнение!Пуассона}:
$\boxed{\Delta\vec A=-\mu_0\vecj}$.

Решим уравнение Пуассона. $\vec A=\frac{\mu_0}{4\pi}\Int\frac{\vecj\,dV}{r}$,
$\vec B=\rot\vec A=\frac{\mu_0}{4\pi}\Int\rot(\vecj/r)\,dV=
\frac{\mu_0}{4\pi}\Int\frac{\vecj\times\vec r}{r^3}\,dV$~---
закон Био--Савара--Лапласа.

\subsection*{Основные уравнения квазистационарного приближения}
\bf Квазистационарными\н\index{Квазистационарные явления} называются явления,
меняющиеся достаточно медленно со временем.

Согласно уравнениям Максвелла, $\rot\vec H=\vecj$, $\rot\vec E=-\partder{\vec
B}{t}$,
$\diver\vec B=0$, $\diver\vec D=\rho$.

ЭП не является потенциальным, т.к. $-\partder{\vec B}{t}\ne0$,
значит, напряженность~$\vec E$ не может быть представлена как~$\grad\phi$.

$\rot\vec E=-\partder{}{t}\rot\vec A=-\rot\partder{\vec A}{t}$,~\Arr
$\rot(\vec E+\partder{\vec A}{t})=0$. Заменим $\grad\phi=\vec E+\partder{\vec
A}{t}$.
Тогда $\vec E=-\grad\phi-\partder{\vec A}{t}$.

$\diver\vec D=\epsilon_0\diver\vec E=\rho$,~\Arr
$\diver(-\grad\phi-\partder{\vec A}
{t})=\rho/\epsilon_0$, тогда, т.к.~$\diver\grad=\Delta$ и~$\diver\partder{\vec
A}{t}=0$,
получим: $\Delta\phi=-\rho/\epsilon_0$ (как и в статическом случае).

Аналогично получим: $\Delta\vec A=-\mu_0\vecj$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Магнитное поле квазистационарных токов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Элементарный ток и его магнитный момент}
\float{L}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Elem_tok}}
\bf Элементарный ток\н\index{Ток!элементарный}~--- замкнутый ток с размерами,
значительно меньшими расстояния до наблюдателя. Вычислим МП в точке,
лежащей на оси э.~тока на расстоянии~$r$.

$$\rev{4\pi}\frac{I\,dl\,\sin\beta}{\rho^2}=\rev{4\pi}\frac{I\,dl\,R}{\rho^3}.$$
$$H=\frac{IR}{4\pi\rho^3}\Int dl=\frac{IS}{2\pi\rho^3}\approx\frac{IS}{2\pi
r^3}=
\frac{p_m}{2\pi r^3},$$
где $p_m$~--\ж магнитный момент\н\index{Момент!магнитный} э.~тока,
вводимый по аналогии с\к дипольным моментом\н.
$\vec p_m=IS\vec n=I\vec S$, где $\vec n$~-- вектор нормали к э.~току.

Если э.~ток поместить в МП, на него начинает действовать момент сил,
совершающий элементарную работу $\delta A=M\,d\phi$, $\delta A=
F\,dx=IlB\,dx=IB\,dS$. Магнитный поток $\Phi=\Int B\,dS$,~\Arr
$\delta A=I\,d\Phi$, $A=I\Delta\Phi$.
Тогда $M\,d\phi=I\,d\Phi=ISB\sin\alpha\,d\alpha$,~\Arr
$M=p_mB\sin\alpha$. Значит, момент сил стремится повернуть
виток с током перпендикулярно МП: $\boxed{\vec M=\vec p_m\times\vec B}$.

Если МП неоднородно, то $F\,dx=I\,d\Phi$, $d\Phi=\partder{B_n}{x}\,dx\,dS$,~\Arr
$F=p_m\partder{B_n}{x}$ или $\boxed{\vec F=(\vec p_m\cdot\grad)\vec B}$,
что в записи аналогично $\vec F=(\vec p_m\cdot\nabla)\vec B$.\\
{\small($\vec
p_m\cdot\grad=p_{mx}\partder{}{x}+p_{my}\partder{}{y}+p_{mz}\partder{}{z}$).}

\subsection*{Дипольный магнитный момент тока. Магнитное поле в дипольном
приближении}
Векторный потенциал МП: $\vec A=\frac{\mu_0}{4\pi}\Int_V\frac{\vecj\,dV}{\rho}$,
$\rho=|\vec r-\vec R|$. Разложим в ряд выражение~$\rev\rho$:
$$\rev{|\vec r-\vec
R|}=\sum_0^\infty\rev{n!}\Bigl(\sum_{\aleph=\overline{x,y,z}}
\aleph\partder{}{\aleph}\Bigr)\when{\rev{|\vec r-\vec R|}}{R=0},$$
$$\rev{|\vec r-\vec R|}=\rev{r}+\rev{r^3}\sum x_\aleph x_\beth+
\rev{2r^5}\sum(3x_\aleph x_\beth-R^2\delta_{\aleph\beth})x_\aleph x_\beth+
\cdots,$$
$$\vec A\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\rev{r}\Int_V\vecj\,dV+
\rev{r^3}\Int_V\vecj\,dV+\rev{2r^5}\Int_V\sum(3x_\aleph x_\beth-
R^2\delta_{\aleph\beth})x_\aleph x_\beth\vecj\,dV\right).$$
В последнем уравнении второе слагаемое~--\ж дипольная составляющая МП\н,
третье~--\ж квадрупольная составляющая\н.

$\vecj\,dV=I\,d\vec l$, $\Int_V\vecj\,dV=\oint I\,dl$.
Квадрупольный момент э. тока близок к нулю. Тогда:
$$\vec A=\frac{\mu_0}{4\pi}\rev{r^3}\Int\vecj(\vec R\vec r)\,dV.$$
$$\vec A=\frac{\mu_0}{8\pi}\Int_V\vec r\times(\vec I\times\vec R)\,dV=
\rev{8\pi}\Int_V(\vec R\times\vecj)\vec r\,dV.$$
$$p_m=\rev2\Int_V\vec r\times\vecj\,dV=\rev2I\oint\vec R\times d\vec l=I\Int
d\vec S=I\vec S.$$

\subsection*{Сила Лорентца}
Сила, действующая на проводник с током в МП: $\vec F=I\vec l\times\vec B$.
Но $I\vec l=Nq\vec v$, где $N$~-- полное число движущихся зарядов
через поперечное сечение провода, $\vec v$~-- скорость их движения.
Тогда $\vec F=Nq\vec v\times\vec B$. Сила, действующая на одну частицу,
равна $F/N$: $\vec F_1=q\vec v\times\vec B$.

Если помимо МП на заряды действует ЭП, полная сила, действующая
на один заряд, равна $\boxed{\vec F=q\vec E+q\vec v\times\vec B}$~---\ж
сила Лорентца\н\index{Сила!Лорентца}.

\subsection*{Эффект Холла}
\bf Эффект Холла\н\index{Эффект!Холла}~--- возникновение в проводниках
поперечной разности потенциалов под воздействием МП. Э.~Холла
возникает за счет действия силы Лорентца на электроны, движущиеся
в проводнике.

\float{L}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Hall_eff}}
В слабом МП э.~Холла линеен: $\boxed{U=R_HhjB}$, где $R_H$~--\ж постоянная
Холла\н\index{Постоянная!Холла} (зависит от рода вещества),
$h$~-- толщина пластинки из проводника, $j$~-- плотность тока.
Сила Лорентца $\vec F=-e\vec v\times\vec B$ перераспределяя электроны,
приводит к возникновению у граней пластинки из проводника противоположных
зарядов. За счет этого возникает поперечное ЭП~$\vec E$.

В равновесии $Ee=evB$, $E=vB$,~\Arr $\boxed{U=vBh}$.
$j=nev$, $U=jhB/(ne)$,~\Arr $\boxed{R_H=\dfrac1{ne}}$.
Таким образом, измеряя при помощи э.~Холла $R_H$, можно
определить концентрацию свободных электронов в веществе.

\subsection*{Поток вектора магнитной индукции}
\bf Магнитный поток\н\index{Поток!магнитный}~--- $d\Phi=\vec B\,d\vec S$,
$\Phi=\Int_S\vec B\,d\vec S$.

$\delta A=F\,dx=IlB\,dx=IB\,dS=I\,d\Phi$,~\Arr
$A=\Int_SI\,d\Phi=I\Delta\Phi$~--- работа по перемещению проводника в~МП.

Если проводник движется на МП, на его концах возникает разность
потенциалов~---\ж ЭДС электромагнитной индукции\н\index{ЭДС!магнитной индукции}
(движение электронов за счет силы Лорентца).

ЭДС индукции~$\E_i$ равна работе по перемещению единичного положительного
заряда в проводнике~$A_0$, работа по перемещению всех свободных зарядов
равна: $\delta A=I\,d\Phi=dq\dfrac{d\Phi}{dt}$.
Тогда $\delta A_0=\dfrac{\delta A}{|dq|}=-\dfrac{d\Phi}{dt}$, т.к.
$dq<0$ (зарядами являются электроны).

Тогда $\boxed{\E_i=-\dfrac{d\Phi}{dt}}$~---\ж основной закон электромагнитной
индукции\н\index{Закон!электромагнитной индукции}. Знак <<$-$>> соответствует\ж
закону Ленца\н\index{Закон!Ленца}:\к индукционный ток во всех случаях
направлен так, что его действие противоположно действию причины,
этот ток вызывающей\н.

\subsection*{Коэффициент самоиндукции (индуктивность) контура. Коэффициент
взаимоиндукции}
Т.к. в контуре $B\propto I$, можно написать: $\Phi=LI$, где коэффициент~$L$
называют\ж индуктивностью контура\н\index{Индуктивность}.\ж
Самоиндукция\н\index{Самоиндукция}~--- явление возникновения в контуре
экстратоков, препятствующих изменению протекающего через контур тока:
$\boxed{\E_{si}=-L\dfrac{dI}{dt}}$.

Для катушки длины~$l$, содержащей~$N$ витков, $B=\mu_0NI/l$,
поток, создаваемый одним витком $N_1=\mu_0NIS/l$. Суммарный поток
$\Phi=N\Phi_1=\mu_0N^2SI/l$,~\Arr $L=\boxed{\mu_0\dfrac{N^2S}{l}}$.

Рассмотрим два взаимодействующих контура: $\Phi_{12}=L_{12}I_1$~--
магнитный поток, возникающий во втором контуре под воздействием
первого, $L_{12}$~--\ж коэффициент взаимной
индукции\н\index{Коэффициент!взаимной индукции} контуров 1 и~2.
Аналогично, $\Phi_{21}=L_{21}I_2$.

Очевидно, что для любых двух контуров $L_{12}=L_{21}$:
$\E_2=-\dfrac{d\Phi_{12}}{dt}=-L_{12}\dfrac{dI_1}{dt}$,
$\E_1=-L_{21}\dfrac{dI_2}{dt}=-L_{12}\dfrac{dI_2}{dt}$.

Индукция МП первого контура $B=\mu_0I_1N_1/l$,
$\Phi_{12}=N_2BS=\mu_0N_1N_2SI_1/l$,~\Arr
$L_{12}=\mu_0N_1N_2S/l$.
$\Phi_{21}=\mu_0N_1N_2SI_2/l$,~\Arr
$L_{21}=\mu_0N_1N_2S/l=L_{12}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Магнитное поле в сплошной среде}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Вектор намагниченности и его связь с молекулярными токами}
\bf Молекулярный ток\н\index{Ток!молекулярный}~--- элементарный ток,
замыкающийся в пределах данного атома (будем считать, что он возникает
за счет вращения валентных электронов). Таким образом, атомы обладают
магнитным моментом $\vec p_m=I\vec S$. Из-за этого магнетик приобретает
общий магнитный момент $\boxed{\vec J=\sum\dfrac{\vec p_m}{\tau}}$~---\ж
вектор намагничения\н\index{Вектор!намагничения},
где $\tau$~-- физически малый объем, по которому производится суммирование.
Т.о., вектор\к намагничения является магнитным моментом единицы
объема вещества\н.

За счет молекулярных токов возникает молекулярная индукция $B'$, тогда
суммарное МП $\vec B=\vec B_0+\vec B'$, где $\vec B_0$~-- внешнее МП.
$\rot\vec B=\rot\vec B_0+\rot\vec B'$; $\rot\vec B_0=\mu_0\vecj$,
где $\vecj$~-- плотность макротока.

Аналогично можно написать:
$\boxed{\rot\vec B'=\mu_0\vecj\ind{мол}}$, где $\vecj\ind{мол}$~--\ж
плотность молекулярных токов\н\index{Плотность!тока!молекулярного}.

Рассмотрим совокупность молекулярных токов внутри косого цилиндра
$S\ind{мол}\times dl$. Будем считать, что все $\vec p_m$ коллинеарны.
Тогда суммарный ток равен $I=I\ind{мол}n\vec S\ind{мол}d\vec l=
\vec p_mn\,d\vec l=\vec J\,d\vec l$.

$I=\Int_S\vecj\ind{мол}d\vec S$, $\Int_S\vecj\ind{мол}d\vec S=\Oint_\Gamma
\vec J\,d\vec l=\Int_S\rot\vec J\,d\vec S$,~\Arr
$\boxed{\vecj\ind{мол}=\rot\vec J}$.

\subsection*{Вектор напряженности МП}
$\rot\vec B=\mu_0\vecj+\mu_0\rot\vec J$; $\rot(\vec B/\mu_0-\vec J)=\vecj$.
Введем величину~$\vec H$~---\ж напряженность магнитного
поля\н\index{Напряженность!магнитного поля}:
$\boxed{\vec H=\vec B/\mu_0-\vec J}$. $\rot\vec H=\vecj$,
$\oint\vec H\,d\vec l=\Int\vecj\,dS$,~\Arr
$\oint\vec H\,d\vec l=\sum I_k$~---\к циркуляция напряженности
МП равна сумме охватываемых контуром токов\н.

В слабых МП намагничение пропорционально напряженности МП:
$J=\chi H$, где $\chi$~--\ж магнитная восприимчивость\н\index{Магнитная
восприимчивость}
материала.
$\vec H=\vec B/\mu_0-\chi\vec H$, $\vec H=\dfrac{\vec B}{\mu_0(1+\chi)}=
\dfrac{\vec B}{\mu\mu_0}$,
где $\mu=1+\chi$~--\ж магнитная проницаемость\н\index{Проницаемость!магнитная}.

\subsection*{Тензор магнитной проницаемости}
В анизотропных средах вектора $\vec J$ и~$\vec H$ не коррелируют,
следовательно $\vec J=\hat\chi\vec H$, где $\hat\chi$~--\ж тензор
магнитной восприимчивости\н. Аналогично можно ввести\ж тензор
магнитной проницаемости\н: $\hat\mu=\hat 1+\hat\chi$,
где $\hat 1$~-- тензор-единица, все элементы которого равны~1.
Получим: $\vec B=\mu_0\hat\chi\vec H$.

\subsection*{Магнитное поле в сплошных и кусочно-однородных средах}
\subsubsection*{Граничные условия в кусочно-однородной среде}
Т.к. $\diver\vec B=0$, то $\oint\vec B\,d\vec S=0$,~\Arr
получим ГУ для нормальных составляющих индукции и напряженности МП
в кусочно-однородных средах:
$\boxed{B_{n1}=B_{n2}}$,~\Arr
$\boxed{\dfrac{H_{n1}}{H_{n2}}=\dfrac{\mu_2}{\mu_1}}$.

Если на границах однородных участков отсутствуют токи, то $\rot\vec H=0$,
$\oint\vec H\,d\vec l=0$,~\Arr получим ГУ для касательных составляющих:
$\boxed{H_{\tau1}=H_{\tau2}}$,~\Arr $\boxed{\dfrac{B_{\tau1}}{B_{\tau2}}
=\dfrac{\mu_1}{\mu_2}}$.

Из полученных ГУ можно вывести\ж закон преломления МП\н на границах
однородных сред:
$\boxed{\dfrac{\tg\alpha}{\tg\beta}=\dfrac{\mu_1}{\mu_2}}$.

\subsubsection*{Магнитное поле в полостях}
Если в МП поместить тело с магнитной проницаемостью~$\mu$,
превосходящей магнитную проницаемость окружающей среды~$\mu\ind{окр}$,
то линии МП будут сгущаться в этом теле, иначе~--- разрежаться.

Если же тело полое, и у него $\mu>\mu\ind{окр}$, то линии
индукции МП будут сгущаться внутри тела, что приведет к уменьшению
индукции в полости.

Таким образом можно защитить чувствительные приборы от воздействия
внешних магнитных полей (но, следует иметь в виду, что, в отличие от
электростатической защиты, магнитная защита не избавляет от МП
полностью, лишь уменьшая его величину).

\subsubsection*{Методы измерения магнитного поля}
На явлении электромагнитной индукции основаны простые методы измерения
напряженности магнитных полей.
Простейшим прибором, измеряющим напряженность МП,
является\ж флюксметр\н\index{Флюксметр}, представляющий собой катушку,
соединенную с баллистическим гальванометром. Если катушку быстро повернуть
в МП, отклонение стрелки гальванометра покажет прошедший через
него индукционный заряд. Откалибровав гальванометр, можно таким образом
измерять напряженность МП.

Для измерения магнитного напряжения~$\Int\vec B\,d\vec S$ применяется\ж
пояс Роговского\н\index{Пояс Роговского}, который представляет собой
гибкий ремень, на который навита проводящая спираль в два слоя,
идущие навстречу друг другу. Концы проводов выводят в одном месте.
Для измерения магнитного напряжения пояс располагают между
нужными точками вдоль заданной кривой. Затем выключают ток, создающий
МП. Отброс баллистического гальванометра, к которому подсоединены
проводники пояса, пропорционален искомому магнитному напряжению.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Магнетики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Классификация магнетиков}
\bf Магнетики\н\index{Магнетик}~-- вещества, способные изменять внешнее
магнитное поле.
Магнетики делятся на следующие виды:\ж диамагнетики\н\index{Диамагнетик}~---
вещества с~$\chi<0$ ($\mu<1$), уменьшающие внешнее МП;
\bf парамагнетики\н\index{Парамагнетик}~--- вещества с~$\chi>0$,
увеличивающие внешнее МП;\ж ферромагнетики\н\index{Ферромагнетик}~---
с~$\chi\gg0$, значительно увеличивающие внешнее МП и длительное время
сохраняющие собственное поле после отключения внешнего МП.

\subsection*{Классическое описание диамагнетизма. Ларморова
прецессия}\index{Диамагнетизм}
Рассмотрим вещество, собственные магнитные моменты атомов которого
направлены в пространстве хаотически, не создавая собственного макроскопического
магнитного поля.
Будем рассматривать атом как круговой ток с магнитным моментом
$\vec p_m=-e\omega\vec S/(2\pi)$, где $\omega$~-- круговая частота вращения
электрона~$e$.
Момент импульса электрона $\vec L=m\vec\omega r^2=m\vec\omega S/\pi$.

Введем\ж гиромагнитное отношение\н\index{Гиромагнитное отношение}:
$\Gamma=p_m/L=-e/(2m)$.

Механический момент изменяется со скоростью, равной $\dotvec L=\vec
L\times\vec\omega_L$,
где $\omega_L$~--\ж частота ларморовой прецессии\н (ларморова
частота)\index{Частота!Лармора}.

Т.к. $\vec\mu=\vec P_m\times\vec B$, а $\dotvec L=\vec M$, то
$\vec p_m\times\vec B=\vec L\times\vec\omega_L$, а т.к. магнитный момент
направлен противоположно моменту импульса, $p_mB=-L\omega_L$,~\Arr
$$\omega_L=\frac{p_mB}{L}=|\Gamma|B=\rev2\frac{eB}{m}.$$

\bf Теорема Лармора\н\index{Теорема!Лармора}:\к действие МП на движущиеся
электроны заключается в наложении на первоначальное движение равномерного
вращения
вокруг вектора напряженности внешнего МП\н.

За счет прецессии появляется дополнительный круговой ток~$I'$.
$p_m'=I'S'=-e\frac{\omega_L}{2\pi}\pi r'^2=-\frac{e\omega_L}{2}r'^2$~--\ж
наведенный магнитный момент\н\index{Момент!магнитный!наведенный}.

Итак, в диамагнетиках $\chi=J/H<0$. Обусловленный ларморовым вращением
диамагнетизм есть универсальное явление, наблюдающееся во всех средах.
Однако, в тех случаях, когда атомы обладают собственными магнитными
моментами, которые, к тому же, могут выстраиваться коллинеарно,
диамагнетизм перекрывается более мощными парамагнетизмом и ферромагнетизмом.

\subsection*{Объяснение парамагнетизма по Ланжевену}\index{Парамагнетизм}
\bf Закон Кюри\н\index{Закон!Кюри} (получен экспериментально):\к
молярная магнитная восприимчивость вещества обратно зависит от его
температуры\н, $\boxed{\chi_m=\C T^{-1}}$.

Классическую теорию парамагнетизма развил Ланжевен. Атом в МП обладает
потенциальной энергией $W=-\vec p_m\vec B$, зависящей от угла между
$\vec p_m$ и~$\vec B$. Равновесное распределение молекул подчиняется
закону Больцмана,~\Arr
$$f(\theta)=\exp\left(\frac{p_mB\cos\theta}{kT}\right),\qquad\theta=
\angle(\widehat{\vec{\vphantom{B}p}_m,\,\vec B}).$$
Обозначим $a=\frac{p_mB}{kT}$.

При $B=0$,
$dP_\theta|_{B=0}=\frac{d\Omega_\theta}{4\pi}=\frac{2\pi\sin\theta\,d\theta}
{4\pi}=\rev2\sin\theta\,d\theta$~--- вероятность того, что угол~$\theta$
лежит в интервале $(\theta,\theta+d\theta)$; $d\Omega$~-- телесный угол
$(\theta,\theta+d\theta)$.

При $B\ne0$, $dP_\theta=A\exp(a\cos\theta)\cdot\rev2\sin\theta\,d\theta$.
При малых $B$, учитывая малость~$p_m$, получим: $a\ll1$,~\Arr
$dP_\theta=A(1+a\cos\theta)\rev2\sin\theta\,d\theta$;
$1=\int_0^{\pi}A(1+a\cos\theta)\rev2\sin\theta\,d\theta=A$,~\Arr
$dP_\theta=\rev2(1+a\cos\theta)\sin\theta\,d\theta$.
Пусть $n$~-- концентрация атомов, $dn_\theta=n\,dP_\theta$.
Каждый атом вносит свой вклад $p_m\cos\theta$ в общую намагниченность,
следовательно,
$$J=\Int_0^\pi p_m\cos\theta\,dn_\theta=
\rev2 np_m\Int_0^\pi(1+a\cos\theta)\cos\theta\sin\theta\,d\theta=
\frac{np_ma}3,\quad\boxed{J=\frac{np_m^2B}{3kT}}\,;$$
$$\chi=\frac{J}{H}=\frac{np_m^2B}{3kTH},\quad\boxed{\chi=
\frac{\mu_0np_m^2}{3kT}}\,.$$
Молярная магнитная восприимчивость:
$$\chi_m=\frac{\mu_0N_Ap_m^2}{3kT}>0,\quad\Arr\quad
\boxed{\C=\frac{\mu_0N_Ap_m^2}{3k}}\,.$$

\subsection*{Квантовая теория парамагнетизма}
Теория Ланжевена не применима к металлам, так как у них электроны
проводимости образуют электронный газ, обладающий собственным
парамагнетизмом.

По Ланжевену, $\aver{p_m}=p_{m0}L(a)$, $L=\cth a-\rev{a}$~--\ж
функция Ланжевена\н\index{Функция!Ланжевена}. Но Ланжевен не учел,
что значение $\cos\theta$ изменяется дискретно: проекция
магнитного момента на силовые линии МП $p_{m_H}=m_j\Gamma\mu\ind{Б}$,
где $m_j$~--\ж магнитное квантовое число\н\index{Квантовое число!магнитное},
$\mu\ind{Б}$~--\ж магнетон Бора\н\index{Магнетон Бора}.
Следовательно,
$$\aver{p_m}=g\mu\ind{Б}jB_j(\alpha),\qquad\alpha=
\frac{j\Gamma\mu\ind{Б}B}{kT},$$
где $B_j$~--\ж функция Бриллюэна\н\index{Функция!Бриллюэна}
(обобщенная функция Ланжевена), которая переходит в функцию Ланжевена
при~$j\to\infty$.  Тогда
$$J=Ng\mu\ind{Б}jB_j(\alpha).$$

Парамагнетизм обнаруживают атомы с неспаренными спинами (т.е. атомы
с нечетным количеством электронов). Если электронные оболочки атома
полностью заполнены, его собственный магнитный момент равен нулю,
т.е. такое вещество будет проявлять диамагнетизм.

\subsection*{Гиромагнитные опыты Эйнштейна и де-Хааса, Барнета}
\bf Гиромагнитное отношение\н\index{Гиромагнитное отношение}:
$\Gamma=p_m/L$. Вследствие вращения вокруг ядра, электрон подобен
волчку, т.е. возникают гиромагнитные явления: намагничивание
проводника приводит к его вращению  и наоборот.
\subsubsection*{Опыт Эйнштейна и де-Хааса}
Если намагничивать стержень из магнетика, то магнитные моменты~$p_m$
электронов выстраиваются вдоль  поля, а момент импульса $L$~--
против. Следовательно, суммарный механический момент электронов
$\sum L\ne0$. При этом из ЗСМИ $L\ind{стержня}+\sum L=0$,~\Arr
стержень приходит во вращение.

Эйнштейн и де-Хаас в своем опыте подвесили тонкий железный стержень
на упругой нити, к нему прикрепили зеркальце для контроля угла
поворота стержня и поместили стержень внутрь соленоида.
Так как угол поворота стержня очень мал, для его обнаружения
пользовались явлением резонанса: к соленоиду подводили переменный
ток с частотой, равной частоте собственных колебаний стержня.
В результате опыта получили, что гиромагнитное отношение
$\Gamma=-e/m$, что в два раза больше теоретического.
\subsubsection*{Опыт Барнета}
Барнет  в своем опыте наоборот, быстро раскручивал стержень и
измерял создаваемое им магнитное поле. Результаты опыта совпали
с результатами Эйнштейна и де-Хааса.

В последствии результаты опытов были объяснены тем, что в них измерялось
спиновое гиромагнитное отношение $p_{mS}/L_{S}=-e/m$.

\subsection*{Ферромагнетики. Гистерезис}\index{Ферромагнетизм}
\float{L}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Ferro}}
У ферромагнетиков наблюдается сложная зависимость $J$ от $H$
(см. рис.). Кривая намагничения такого типа (т.е. при $J_0=0$)
называется\ж основной (нулевой)\н.
\subsubsection*{Гистерезис}
При последовательном намагничивании и размагничивании ферромагнетиков
наблюдается такое явление, как\ж гистерезис\н\index{Гистерезис}: Даже
при полном уменьшении напряженности МП ферромагнетик остается намагничен
(\bf остаточная индукция\н~$B_r$)\index{Индукция!остаточная}. Для
полного размагничивания ферромагнетика необходимо внести его в магнитное
поле с противоположно направленной индукцией (\bf коэрцитивная
сила\н~$H_c$)\index{Сила!коэрцитивная}.

\float{R}{\includegraphics[width=4cm]{pic/Hysteresis}}
Если $H$ такова, что намагничение ферромагнетика достигает
величины насыщения ($J=J\ind{нас}$), петля гистерезиса
называется максимальной. Все другие петли называются частными
циклами.
Ферромагнетик с большим значением $H_c$ называют жестким, с
малым значением~$H_c$~-- мягким.

Основы теории гистерезиса заложили Френкель и Хайсенберг.
При определенных условиях в кристаллах возникают обменные
силы, разворачивающие магнитные моменты электронов
коллинеарно. Образуются области спонтанного намагничивания
(\bf домены\н)\index{Домен}. В пределах каждого домена ферромагнетик
обладает определенной намагниченностью. Обычно домены ориентированы
так, что взаимно компенсируют намагниченность, в результате
чего общая намагниченность металла равна нулю.

Под действием МП домены разворачиваются вдоль поля. При этом
значения намагничения меняются скачком~---\ж эффект
Баркгаузена\н\index{Эффект!Баркгаузена}.

\subsubsection*{Магнитная анизотропия}
Анализ кривых намагничивания показывает, что существуют т.н.\ж оси
легкого\н и\ж трудного намагничения\н\index{Оси намагничения},
из-за того, что существуют взаимодействия, ориентирующие
в кристалле намагниченности вдоль определенного направления.
К этому приводит перекрытие электронных орбит: спиновые моменты
взаимодействуют с орбитальными, а те, в свою очередь, со всей
кристаллической решеткой.

\subsection*{Ферромагнетизм как следствие обменных сил}
Энергия взаимодействия электронов складывается из\ж обменной
энергии\н\index{Энергия!обменная} и энергии кулоновского взаимодействия.
Обменная энергия возникает из-за взаимодействия спинов электронов:
$E\ind{об}=-A\vec\sigma_i\vec\sigma_r$, где $\sigma$~-- единичный
спиновый вектор, $A$~--\ж обменный интеграл\н\index{Интеграл!обменный}.

При $A>0$ минимальной энергии соответствует одинаковое направление
спинов, при $A<0$ спины должны быть направлены противоположно.
Для всего ТТ $E\ind{об}=-\sum A_{ij}\vec S_i\vec S_j$,
где $S$~-- результирующие спины атомов.

\float{R}{\includegraphics[width=4cm]{pic/Obm_integral}}
Величина обменного интеграла зависит от межатомного расстояния.

В пространственном случае двухэлектронной системы $A=\rev2(E_S-E_T)$,
где $E_S$~-- энергия синглетного состояния ($S=0$), $E_T$~-- энергия
триплетного состояния ($S=1$). При $A>0$ $E_T<E_S$ и основным состоянием
будет триплетное, спины атомов направлены противоположно
(ферромагнетизм). При $A<0$ $E_S<E_T$~--\ж
антиферромагнетизм\н\index{Антиферромагнетизм} или\ж
ферримагнетизм\н\index{Ферримагнетизм}.

Антиферромагнетизм наблюдается при противоположном направлении спинов
атомов, когда их величины полностью совпадают ($J=0$).
Ферримагнетизмом называют антиферромагнетизм с неполной компенсацией
спиновых моментов.

\subsection*{Температурная зависимость намагничения. Точка Кюри}
\bf Закон Кюри--Вейсса\н\index{Закон!Кюри--Вейсса}:\к
магнитная восприимчивость ферромагнетиков зависит от температуры
по закону:\н~$\boxed{\chi=\C(T-T_K)^{-1}}$. Температура
$T_K$ называется\ж температурой (точкой) Кюри\н\index{Температура!Кюри}.

При $T=T_K$ ферромагнетик превращается в парамагнетик. При этой
температуре за счет теплового движения области спонтанного намагничивания
разрушаются, и у вещества остаются лишь парамагнитные свойства.
При охлаждении ниже точки Кюри вновь возникает доменная структура
и вещество опять становится ферромагнетиком.

Для антиферромагнетиков существует особая температура $T_N$~---\ж
температура (точка) Нееля\н\index{Температура!Нееля},
при которой исчезает антиколлинеарность спинов. У некоторых
антиферромагнетиков существует две точки Нееля:
ниже меньшей ($T_{Nmin}$) они являются ферримагнетиками, от $T_{Nmin}$
до $T_{Nmax}$~-- антиферромагнетиками, выше $T_{Nmax}$~--
парамагнетиками.

С повышением температуры энергия ферромагнетика возрастает за счет
<<переворачивания>> спина атома. Обменные взаимодействия приводят к
обратному <<переворачиванию>> спина, но при этом <<переворачивается>>
спин соседнего атома. Возникают\ж спиновые волны\н\index{Волна!спиновая}
(теория Бл\'оха).\ж Магноном\н\index{Магнон} называют
квант энергии спиновой волны. Магнонный газ подчиняется статистике
Бозе-Эйнштейна. Число магнонов растет пропорционально~$T^{3/2}$.
\bf Закон Блоха\н:\index{Закон!Блоха}
$$J(T)=J\ind{нас}\bigl(1-\beta\Bigl(\frac{T}{\theta}\Bigr)^{3/2}\bigr),$$
где $J\ind{нас}$~-- намагничение насыщения; $\theta$~-- некоторая
температура ($T\ll\theta$); $\beta\approx1$~-- коэффициент.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Явление электромагнитной индукции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Закон Фарадея. Правило Ленца}
\bf Закон электромагнитной индукции\н\index{Закон!электромагнитной индукции}
(ЭМИ): $\boxed{\E_i=-\dfrac{d\Phi}{dt}}$. Знак <<$-$>> в этом законе~---
согласно\ж правила Ленца\н\index{Правило!Ленца}:\к индукционный
ток направлен так, чтобы противодействовать вызывающей его
причине\н. Приведенную форму закона ЭМИ называют формой
Максвелла (дифференциальная форма закона Фарадея).

\bf Закон Фарадея\н\index{Закон!Фарадея}:\к величина заряда,
прошедшего по цепи, пропорциональна полному числу линий магнитной
индукции, пересекаемых проводником, и обратно пропорциональна
сопротивлению цепи\н: $\boxed{q=\dfrac{\Phi}{R}}$.
Действительно, $q=\Int_0^t I\,dt=\Int_0^t\E/R\,dt=-1/R\Int_\Phi^0\,
d\Phi=\Phi/R$.
Из закона Фарадея следует определение величин магнитного
потока (вебер, Вб) и магнитной индукции (тесла, Тл).

Формулировка Максвелла закона ЭМИ:\к ЭДС индукции равна скорости
пересечения проводником линий магнитной индукции\н.

\subsubsection*{Токи Фуко}
Индукционные токи могут возбуждаться не только в замкнутых
проводниках, но и в массивных незамкнутых. Их называют\ж
токами Фуко\н\index{Ток!Фуко}. Так как вихревые токи Фуко
противятся внешней причине, движущиеся внутри МП массивные
проводники затормаживаются (на этом эффекте основано
демпфирование стрелок измерительных приборов), а также
нагреваются в переменных ЭМП (индукционные печи).

Токи Фуко являются также причиной скин-эффекта.

\subsection*{Явление само- и взаимоиндукции}
\bf Самоиндукция\н\index{Самоиндукция}~--- возникновение
ЭДС индукции в электрической цепи вследствие изменения
тока, протекающего в ней. Аналогично закону ЭМИ, ЭДС
самоиндукции равна $\E_{Si}=-\dfrac{d\Psi}{dT}$, где
$\Psi$~--\ж потокосцепление\н\index{Потокосцепление}
самоиндукции (поток через все витки рассредоточенной
катушки).

При самоиндукции $I\propto\Psi$,~\Arr $I=LI$, где
$L$~--\ж индуктивность\н\index{Индуктивность}
контура. В центре длинного соленоида $L=MM_0n^2V$,
где $n$~-- количество витков проводника на единицу
длины соленоида, $V$~-- объем внутри соленоида.
$\E_{Si}=-L\dfrac{dI}{dt}$.

\bf Взаимоиндукция\н\index{Взаимоиндукция}~--
возбуждение ЭДС индукции в одной цепи при изменении тока,
протекающего по другой, или же изменении их взаимного
расположения.
$$\E_{12}=-\frac{d\Psi_{12}}{dt},\quad\Psi_{12}=M_{12}I_2,\quad
\Psi_{21}=M_{21}I_1.$$
$\Psi{ik}$ называют\ж потокосцеплением\н
взаимной индукции $i$-й и $k$-й цепей, $M_{ik}$~--- взаимной
индуктивностью.

Если контуры находятся в неферромагнитной среде, то $M_{12}=M_{21}$.

\subsection*{Магнитная энергия контура с током}
ЭДС является работой по перемещению единичного положительного
заряда, следовательно, работа по преодолению ЭДС самоиндукции
равна $A=\Int_0^t\E_{Si}I\,dt=\Psi I/2=LI^2/2$,~\Arr
по ЗСЭ, $\boxed{W=\frac{LI^2}2}$. Для соленоида $L=\mu\mu_0n^2V$,
$H=nI$~\Arr
$$W=\frac{\mu\mu_0H^2}2V=\rev2HBV,\qquad w=\rev2HB.$$

Суммарная энергия нескольких контуров $W=\sum\Psi_iI_i/2$,
$\Psi_i=\Psi_{Si_i}+\sum_{j\ne i}\Psi_{ij}$.
Таким образом, энергия складывается из собственной энергии токов
$W_0$ и энергии взаимодействия токов $W\ind{вз}$:
$$W=\rev2\sum_i L_iI_i^2+\rev2\sum_i\sum_{j\ne i}M_{ij}I_iI_j=
W_0+W\ind{вз}.$$
Если обозначить $L_i=M_{ii}$, получим:
$$W=\rev2\sum\sum M_{ij}I_iI_j.$$

Энергия МП~--- не что иное, как собственная энергия тока в цепи.
Таким образом, энергия МП в веществе:
$$W=\rev2\Int_{V\ind{поля}}\!\!BH\,dV=\frac{\mu\mu_0}2\Int_V
H^2dV=\rev{2\mu\mu_0}\Int_VB^2dV.$$
$$w=\rev2BH=\rev2\mu\mu_0H^2=\frac{B^2}{2\mu\mu_0}.$$



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Электромагнитные колебания в контуре}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Квазистационарные поля. Критерии квазистационарности}
\bf Квазистационарными\н\index{Квазистационарные поля} называют поля,
изменяющиеся со временем достаточно медленно.

\subsubsection*{Первый критерий квазистационарности}
Изменение ЭМП столь медленное, что внутри проводящих сред можно
пренебречь током смещения $\vecj\ind{см}=\epsilon\epsilon_0\partder{\vec E}{t}$
по сравнению с током проводимости: $j_{\text{см}\,max}\ll j_{max}$.

Если ЭМП меняется с частотой $\omega$, ток смещения
$j\ind{см}=i\omega\epsilon\epsilon_0E_0\exp(i\omega t)$,
$j=\gamma E=\gamma E_0\exp(i\omega t)$. $j\ind{см}/j=\omega\epsilon
\epsilon_0/\gamma\ll1$,~\Arr первый критерий квазистационарности:
$\boxed{\omega\ll\dfrac{\gamma}{\epsilon\epsilon_0}}$,
где $\gamma$~-- удельная проводимость.

В металлах $\epsilon\approx1$,~\Arr $\omega\ll\gamma/\epsilon_0$,
что выполняется для частот до $\sim10^{18}$\,Гц (ультрафиолет).

Если учесть инерционные свойства среды, предельная частота несколько
уменьшится.

\subsubsection*{Второй критерий квазистационарности}
Можно пренебречь запаздыванием ЭМВ ($c\ll\infty$):
$$E(x,t)=E_0\e^{i\omega(t-x/c)}=E_0\e^{i\omega t}\e^{-i\omega x/c};\qquad
\e^{-i\omega x/c}=1-i\omega\frac{x}{c}+\cdots.$$
Эффектом запаздывания можно пренебречь, если $\omega x/c\ll1$;
т.к. $\omega/c=2\pi/\lambda$, получим: $\boxed{x\ll\lambda}$.
Таким образом, линейные размеры области должны быть значительно меньше
длины волны. Для промышленного переменного тока $\lambda\sim10^7\,$м,
т.е. эффектами запаздывания можно пренебречь для довольно значительных
областей.

Следовательно, к квазистационарным полям относится большинство полей
электротехники и многие поля радиотехники.

Т.к. мы пренебрегли током смещения, уравнения Максвелла примут
вид:
$$\rot\vec H=\vecj;\quad\rot\vec E=-\partder{\vec B}{t};\quad
\diver\vec B=0;\quad\diver\vec D=\rho.\quad\vecj=\gamma(\vec E+
\vec E\ind{стор}).$$

\subsection*{Переходные процессы в RC и LC цепях. Колебательный контур}
\subsubsection*{Цепь LC~--- колебательный контур}
Замкнем колебательный контур с заряженным конденсатором. ЭП
\float{L}{\includegraphics[width=2cm]{pic/LC_kontur}}
конденсатора начнет уменьшаться. Ток, протекающий по катушке,
вызовет в ней МП. Через четверть периода колебаний конденсатор
полностью разрядится, а МП в катушке достигнет максимума.
Далее поле в катушке начинает уменьшаться, возбуждая
экстраток самоиндукции, который направлен так, чтобы
поддержать разряд конденсатора (правило Ленца). Конденсатор
начинает заряжаться, причем направление ЭП в нем теперь
противоположно первоначальному. Через половину периода
после начала колебаний конденсатор полностью заряжен,
МП в катушке отсутствует. Далее начинается процесс разрядки
конденсатора. В контуре устанавливаются гармонические
колебания ЭП в конденсаторе и МП в катушке.

Применим к контуру второе правило Кирхгофа: $\sum U=\sum\E$,
$U_C=-L\frac{dI}{dt}$. $I=\frac{dq}{dt}$, $U_C=\frac{q}{C}$,~\Arr
$L\ddot q+\frac{q}{C}=0$. Получим\ж уравнение гармонических
незатухающих колебаний\н:\index{Колебания!гармонические!в контуре}
$$\ddot q+\omega_0^2q=0,\qquad \omega_0=\sqrt{\frac1{LC}};\quad
q=q_0\sin(\omega_0t+\phi),$$
$$\quad I=I_0\cos(\omega_0t+\phi),\quad
U_c=U_0\sin(\omega_0t+\phi),\quad I_0=q_0\omega_0,\;
U_0=q_0/C.$$
Таким образом,\к между колебаниями тока и напряжения существует
сдвиг фаз\н, ток отстает от напряжения по фазе на $\Delta\phi=\pi/2$.

\subsubsection*{Цепь RC}
\float{O}{\includegraphics[width=4cm]{pic/RC_koleb}}
Рассмотрим RC контур с неоновой лампой. В отсутствии лампы
конденсатор заряжается по закону $U=\E[1-\exp(-\frac{t}{RC})]$.
Однако, если в контур включить неоновую лампу, играющую
роль разрядника, при достижении напряжения зажигания лампы $U\ind{З}$,
она вспыхивает, что приводит к разряду конденсатора до
напряжения гашения лампы $U\ind{Г}$. Если пренебречь
временем разряда конденсатора, получим для периода\ж релаксационных
колебаний\н в контуре RC:
$$T=T\ind{З}+T\ind{Г}=RC\ln\frac{\E-U\ind{Г}}{\E-U\ind{З}},
\qquad T\approx\frac{U\ind{З}-U\ind{Г}}{\E}RC.$$

\subsubsection*{Энергия, запасенная в контуре}
Энергия контура складывается из энергии ЭП и МП:
$E=E_C+E_L$, $E_C=U^2C/2$, $E_L=I^2L/2$,~\Arr
$E_C=U_0^2C/2\cdot\cos^2\omega_0t$,
$E_L=I_0^2L/2\cdot\sin^2\omega_0t$.
$\aver{E_C}=U_0^2C/4$, $\aver{E_L}=I_0^2L/4$.
$I_0=q_o\omega_0=U_0C\omega_0$, $I_0^2=U_0^2C/L$,~\Arr
$\aver{E_C}=\aver{E_L}$,
$$E=U_0^2C/2=I_0^2L/2.$$

\subsection*{Затухающие колебания в контуре и их уравнение}
\float{l}{\includegraphics[width=3.5cm]{pic/LRC_kontur}}
В реальном контуре происходят потери тока на внутреннем
сопротивлении элементов, т.е. в цепь идеального контура
необходимо ввести дополнительный элемент~--- сопротивление~R.

Применяя к этому контуру второе правило Кирхгофа, получим:
$IR+U_C=-L\frac{dI}{dt}$, $L\ddot q+R\dot q+q/C=0$.
Пусть $\omega_0^2=1/(LC)$, $2\beta=R/L$, тогда:
$$\ddot q+2\beta\dot q+\omega_0^2q=0.$$

Решая данное уравнение, получим (при $\beta<\omega_0$):
$$q=\exp(-\beta t)[A\exp(i\omega t)+B\exp(-i\omega t)],$$
$$q=q_0\exp(-\beta t)\cos(\omega t+\phi),\;
\text{где }\omega^2=\omega_0^2-\beta^2.$$
$$U=U_0\exp(-\beta t)\cos(\omega t+\phi);$$
$$I=I_0\exp(-\beta t)\cos(\omega t+\phi+\psi),\qquad
\tg\psi=-\frac{\omega}{\beta}.$$

\subsection*{Время релаксации}
Первый критерий квазистационарности можно переписать так:
$\omega\epsilon\epsilon_0\ll\gamma$; $\omega=2\pi\nu=2\pi/T$,~\Arr
$2\pi\epsilon\epsilon_0\ll T\gamma$ или $\epsilon\epsilon_0\ll T\gamma$,
$\epsilon\epsilon_0/\gamma\ll T$. Время
$\boxed{\tau_m=\dfrac{\epsilon\epsilon_0}{\gamma}}$
называют\ж временем релаксации Максвелла\н\index{Время!релаксации}.
Таким образом, критерий квазистационарности примет вид
$\boxed{\tau_m\ll T}$.

Физический смысл времени релаксации~--- это время, за которое заряд
уменьшается в $\e$ раз. Для реального контура время релаксации
$\tau_m=1/\beta$, где $\beta$~--\ж коэффициент
затухания\н\index{Коэффициент!затухания}.

\subsection*{Логарифмический декремент затухания. Добротность}
Рассмотрим два соседних колебания $q_n(t)$ и $q_{n+1}(t+T)$;
$q_n/q_{n+1}=\exp(\beta t)$.\ж Логарифмическим декрементом
затухания\н\index{Декремент затухания} называют величину
$\delta=\ln\frac{q_n}{q_{n+1}}=\beta T$.

Т.к. $\tau=1/\beta$,  то $\delta=T/\tau=1/N$:\к логарифмический
декремент затухания есть обратное число колебаний, совершающихся в контуре
за время релаксации\н (т.е. за время, когда амплитуда колебаний
уменьшается в $\e$ раз).

\bf Добротность\н\index{Добротность} контура~--- это помноженное
на~$\pi$ число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в~$\e$
раз: $Q=\pi/\delta=\pi\tau/T=\pi N$.

\subsection*{Вынужденные колебания. Ширина резонансной кривой}
Пусть внешняя ЭДС изменяется по гармоническому закону:
$\E=\E_0\cos\Omega t$. Тогда $IR+U_C=-L\frac{dI}{dt}+\E(t)$,~\Arr
$$\ddot q+2\beta\dot q+\omega_0^2q=\frac{\E_0}{L}\cos\Omega t.$$
При $\beta^2\ll\omega^2$ частота установившихся колебаний
будет равна частоте внешней ЭДС:
$$q=q_0\cos(\Omega
t-\psi),\;
q_0=\frac{\E_0}{L\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2}},\;
\tg\psi=-\frac{2\beta\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}=\frac{R}{\Omega
L-\frac1{\Omega C}}.$$
$$\qquad U_C=U_0\cos(\Omega t-\psi),\quad I_L=I_0\sin(\Omega t-\psi).$$

\float{o}{\vspace*{-2\baselineskip}\includegraphics[width=4cm]{pic/Resonans}}
Видно, что при $\Omega=\omega_0$ амплитуды резко возрастают, а фаза
$\psi$ испытывает скачек: наблюдается\ж резонанс\н\index{Резонанс}.

Добротность контура определяет остроту резонансных кривых.
Рассмотрим отношение $I_0/I\ind{0рез}=0.7$ ($0.7^2\approx0.5$,
что соответствует половине резонансной мощности).
Тогда ширина резонансной кривой на этом уровне $\Delta\omega/\omega_0=1/Q$.
$$I_0=\frac{\E_0}{\sqrt{R^2+(\Omega L-\rev{\Omega C})^2}}=
\Omega
q_0=\frac{\E_0\Omega}{L\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\beta^2\Omega^2}}.$$
$$I\ind{0рез}=\frac{\E_0}{2\beta L}=\frac{\E_0TQ}{2\pi L}.$$

\subsubsection*{Процесс установления вынужденных колебаний. Нормальные
колебания}
Вынужденные колебания устанавливаются по прошествии некоторого
времени после включения вынуждающей ЭДС. При замыкании цепи
кроме вынужденных колебаний появляются еще и собственные затухающие
колебания
$$q_C=q_0\exp(-\beta t)\cos(\omega t+\psi),\quad
\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}.$$
С течением времени $\exp(-\beta t)\to0$, и остаются только вынужденные
колебания.

Время установления вынужденных колебаний зависит от времени
релаксации: чем оно больше, тем дольше будут устанавливаться
колебания. Амплитуда колебаний медленно возрастает, частота
колебаний в контуре постепенно приближается к частоте вынуждающей ЭДС.

В связанных контурах колебания аналогичны вынужденным, но здесь роль
вынуждающей ЭДС играет ЭДС взаимоиндукции
$\E_{12}=-M_{12}\frac{dI_1}{dt}$. Индукционные токи, возникающие
под воздействием $\E_{12}$ во втором контуре, создают в
первом контуре ЭДС взаимоиндукции, уменьшающую амплитуды
колебания тока и напряжения. Во втором контуре устанавливаются
колебания с частотой вынуждающей ЭДС. Если $\Omega=\omega_0$
наблюдается резонанс.

\bf Нормальные колебания\н\index{Колебания!нормальные}~--- гармонические
собственные колебания, которые могли бы существовать в линейных
системах при отсутствии в них потерь энергии. В каждом
нормальном колебании все точки колеблются с одной и той же
частотой. Число нормальных колебаний оказывается равным числу
СС
контура.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%
\section{Механизмы электропроводности твердого тела}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{\sloppy Проводники. Основные положения классической теории
Друде--Лоренца}
\bf Проводники\н\index{Проводник}~--- тела, в которых могут двигаться заряды,
создавая электрический ток. Высокая проводимость металлов обусловлена
существованием свободных электронов проводимости.

В классической\ж теории Друде--Лоренца\н\index{Теория!Друде--Лоренца}
электроны в металлах рассматриваются как электронный газ. Плотность электронного
газа 1-валентного металла $n_0=\rho N_A/A$, где $A$~-- атомная масса металла,
$\rho$~-- его плотность. Средняя кинетическая энергия электронов
$\aver{E_k}=\rev2 m\aver{v^2}=\frac32kT$.

Ток возникает под действием внешнего электрического поля, вызывающего
упорядоченное
движение электронов. Плотность тока $\vecj=-n_0e\aver{\vec v}$, где $\aver{\vec
v}$~--
средняя скорость упорядоченного движения электронов.
$\aver{v}\approx\rev2v_{max}$
(при равноускоренном движении),~\Arr $\boxed{\aver{v}=\dfrac{eE\tau}{2m}=bE}$,
где $b=\rev2\frac{e}{m}\tau$~--\ж подвижность электронов\н\index{Подвижность
электронов},
$\tau$~--\ж время свободного пробега\н. $\tau$ различно для разных электронов,
поэтому $\boxed{b=\frac{e}{m}\aver{\tau}}$.

\subsection*{Законы Ома и Джоуля--Ленца в классической теории}
В классической теории $j=\frac{n_0e^2\aver{\tau}}{2m}E$.
Введем коэффициент $\boxed{\lambda=\dfrac12\dfrac{ne^2}{m}\aver{\tau}}$~--\ж
электропроводимость\н\index{Электропроводимость} металла, тогда получим\ж
закон Ома\н\index{Закон!Ома}: $\boxed{j=\lambda E}$. Таким образом,\к
сопротивление проводников обусловлено столкновениями электронов проводимости
с кристаллической решеткой\н.

К концу пробега электрона
$\dfrac12mv^2_{max}=\dfrac12\dfrac{e^2\aver{\tau}^2E^2}{m}$.
Согласно предположению Друде, эта энергия переходит в энергию кристаллической
решетки (тепловая энергия). За секунду каждый электрон испытывает в среднем
$1/\aver{\tau}$ соударений, при которых сообщается энергия кристаллической
решетке. Тогда в единице объема за секунду выделяется $Q_1=\dfrac12
\dfrac{n_0e^2\aver{\tau}}{m}E^2$ тепла. Тогда получим\ж закон Джоуля--Ленца\н:
$\boxed{Q_1=\lambda E^2}$\index{Закон!Джоуля--Ленца}.

\subsection*{Зонная теория твердого тела. Принцип Паули. Статистика
Ферми--Дирака}
Согласно квантовой теории ТТ, движение электронов в ТТ определяется
\bf уравнением Шр\"едингера\н\index{Уравнение!Шр\"едингера}
$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi=E\Psi$, где $\Psi$~--\ж
волновая функция\н\index{Функция!волновая} электрона, $E$~-- его энергия.
Решения уравнения дают дискретные значения энергии электрона, т.е. в металлах
энергия электрона квантуется. Уровни энергии свободных электронов являются
вырожденными.

\bf Принцип Паули\н\index{Принцип!Паули}:\к в одном и том же энергетическом
состоянии не может быть более одного фермиона с заданной комбинацией квантовых
чисел $s$, $l$, $n$, $m$\н. При $T=0$ все энергетические состояния с энергиями
меньше некоторого значения $E_F$ вследствие запрета Паули заняты. Энергия
$E_F=\max(E)|_{T=0}$ называется\ж уровнем Ферми\н\index{Уровень Ферми}.
Состояния с $E>E_F$ при абсолютном нуле оказываются вакантными.

Т.к. электроны~--- фермионы, они подчиняются\ж статистике
Фер\-ми--Ди\-ра\-ка\н\index{Статистика!Ферми--Дирака}:
$$f(E)=\left(\exp\frac{E-E_F}{kT}+1\right)^{-1}.$$
Независимо от температуры $f(E_F)=1/2$, т.е. уровень Ферми можно еще
определить как энергию электронов с функцией распределения $f=1/2$.
Уровень энергии Ферми металлов очень высок, поэтому при всех разумных
температурах электронный газ металлов вырожден.

Т.к. на валентные электроны влияет периодическое электрическое поле
решетки, спектр значений энергии электронов разбивается на ряд
разрешенных и запрещенных зон~(\bf{}зонная структура\н).

Рассмотрим процесс объединения $N$ атомов в кристалл. Запрет Паули
приводит к тому, что электроны занимают $N$ близко расположенных
энергетических уровней, образующих\ж зону\н. Сильнее всего расщепляются
внешние энергетические уровни, в то время как внутренние практически не
расщепляются.

Решение уШ для электрона в кристалле получено Блохом:
$\Psi=U_k(r)\e^{ikr}$~---\ж
функция Блоха\н\index{Функция!Блоха}. $U_k(r)$~-- периодическая функция
распределения потенциальной энергии с периодом, равным периоду кристаллической
решетки, $k=p/\hbar$~--\ж волновой вектор\н\index{Вектор!волновой} электрона.

Область $k$ пространства, внутри которой энергия электрона в кристалле
изменяется квазинепрерывно, называется\ж зоной Бриллюэна\н\index{Зоны
Бриллюэна}.
\begin{pict}
\includegraphics[height=4cm]{pic/elec_cryst}
\includegraphics[height=4cm]{pic/Sp_elec}
\caption{Распределение энергии свободных электронов и электронов в кристалле}
\end{pict}

Существование энергетических зон помогает объединить свойства проводников,
полупроводников и диэлектриков.

\subsubsection*{Зонная структура проводников}\index{Проводник}
В металлах верхние энергетические уровни валентной зоны связаны,
следовательно, она является зоной проводимости. Высокая проводимость
металлов объясняется тем, что электрону нет необходимости преодолевать
энергетический барьер между зоной проводимости и валентной зоной,
достаточно лишь <<перескочить>> на свободный валентный уровень.

\subsubsection*{Зонная структура полупроводников}\index{Полупроводник}
В полупроводниках валентная зона полностью заполнена, для возникновения
проводимости электронам необходимо преодолеть запретную зону, которая
у полупроводников не очень велика ($\sim1\,$эВ). Если энергии теплового движения
достаточно для преодоления запрещенной зоны, такое вещество называют
собственным полупроводником.

Т.к. при уменьшении температуры максимальная энергия электронов
падает до уровня Ферми, проводимость полупроводников при уменьшении
температуры падает (в отличие от проводников).

\subsubsection*{Зонная структура диэлектриков}\index{Диэлектрик}
В диэлектриках валентная зона, как и в полупроводниках, полностью
заполнена. Однако, ширина их запретной зоны значительно больше
($\sim5\div10\,$эВ). Это приводит к тому, что очень малое количество
электронов диэлектрика способно покинуть валентную зону, чем и
объясняется их низкая проводимость.

\subsection*{Собственная и примесная проводимость полупроводников}
У полупроводников в валентной зоне находится 4 электрона. При повышении
температуры происходит разрыв некоторых валентных связей и образуется
пара\ж электрон--дырка\н\index{Дырка}. Т.о.,\ж собственная
проводимость\н\index{Проводимость!собственная} обусловлена переносом
зарядов электронами и дырками и является совокупной электронно-дырочной
проводимостью.

Для увеличения проводимости в полупроводники добавляют примеси:
трехвалентные (\bf{}акцепторные\н)\index{Акцептор} и пятивалентные
(\bf{}донорные\н)\index{Донор}.

Акцепторы, замещая атом полупроводника, приводят к появлению в нем
дополнительных дырок. Доноры же выполняют вклад в увеличение числа
свободных электронов. Если в полупроводнике количество электронов
превышает количество дырок, в нем возникает\к электронная проводимость\н
(n-типа), иначе~---\к дырочная проводимость\н (p-типа).

Проводимость примесного полупроводника зависит от температуры: при
ее повышении вклад примеси резко падает и проводимость становится
собственной.

Примесь создает в энергетическом барьере полупроводника дополнительный
уровень (уровень Ферми): донорная~--- ближе к зоне проводимости, акцепторная~---
ближе к валентной зоне. Благодаря этому становится легче проникновение
электронов в зону проводимости у доноров и переход электронов в валентную
зону у акцепторов.

\subsection*{P--N переход. Контактные явления}
\float{O}{\includegraphics[width=6cm]{pic/pn_perehod}} %p156
В случае контакта полупроводников p- и n-типа, в области контакта их
уровни Ферми выравниваются, т.к. они обмениваются свободными носителями,
следовательно, энергетические зоны искривляются, образуя\ж
контактную разность потенциалов\н
и потенциальный барьер $\phi=eU$.

В области контакта образуется двойной слой объемных зарядов, создающих
поле, направленное противоположно первоначальному, и препятствующее
дальнейшему передвижению носителей через\ж p--n~переход\н\index{P--N переход}.
При этом существуют слабые токи:\ж дифференциальный ток\н $I\ind{Д}$ основных
носителей заряда (хвост распределения Максвелла) и\ж дрейфовый ток\н $I_0$
неосновных носителей заряда, для которых потенциальный барьер p-n~перехода
оказывается открытым. В равновесном состоянии $I_0=I\ind{Д}$, т.е. суммарный
ток через p-n~переход равен нулю.

Если приложить к p-n~переходу внешнее напряжение, оно раздвигает уровни Ферми.
Если источник включен прямо (<<+>> к p-области), то $\phi=e(U-U\ind{прям})$,
т.е. высота барьера падает (в p-области $E_F$ уменьшается, в n-области~--
увеличивается). Следовательно, при этом проводимость p-n~перехода
возрастает. Если же приложить обратное напряжение, $\phi=e(U+U\ind{обр})$,
и проводимость падает за счет того, что величина дифференциального
тока уменьшается, а дрейфовый ток остается. Величина обратного тока,
протекающего через полупроводник, определяется величиной дрейфового
тока:  $I=I\ind{Д}-I_0\to I_0$, т.к. $I\ind{Д}\to0$.

\float{R}{\includegraphics[width=5cm]{pic/pn_VAH}}
Концентрация основных носителей подчиняется распределению
Больцмана\index{Распределение!Больцмана}: $n=n_0\exp(-\frac{\phi-eU}{kT})$
(если приложено обратное напряжение, $U=-U\ind{обр}$).
Тогда для вольт-амперной характеристики p-n~перехода
получим:
$$I=I_0\left(\exp\frac{eU}{kT}-1\right).$$
При прямом подключении p-n~перехода $I\to I_0\exp\frac{eU}{kT}$, при обратном же
$I\to-I_0$, т.е.\к p-n~переход обладает выпрямительными свойствами\н
(полупроводниковый\ж диод\н)\index{Диод}.

Существование объемных зарядов приводит к появлению\ж барьерной
емкости\н\index{Емкость!барьерная} $C\ind{бар}=\epsilon\epsilon_0S/x$, где
$S$~-- площадь p-n~перехода, $x$~-- его толщина. При увеличении обратного
напряжения ширина p-n~перехода уменьшается, что приводит к увеличению
емкости. На этом свойстве p-n~перехода основано действие\ж
варикапов\н\index{Варикап}.

Кроме того, существует\ж диффузионная емкость\н\index{Емкость!диффузионная}
$C\ind{диф}=\Delta Q/\Delta U$ при прямом подключении диода: инжектируемые
электроны и
дырки вносят в области p и n избыточный заряд, который исчезает за счет
рекомбинации с основными носителями. Т.к. время рекомбинации
$\tau\ind{рек}\ne0$,
то эти заряды существуют в течение некоторого времени в припереходной зоне.
Из-за того, что эта зона очень тонкая, а накопленный заряд достаточно большой,
диффузионная емкость велика.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Основы квантовой теории твердого тела}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Модели твердого тела. Квазичастицы}
В\ж адиабатном приближении\н\index{Приближение!адиабатное} ядра атомов
считаются неподвижными, вокруг них двигаются электроны. Основная задача~---
определение энергетических состояний электронов. Адиабатное приближение
используется лишь для расчета этих состояний.

Одним из основных результатов квантового подхода к исследованию свойств ТТ
явилась концепция\ж квазичастиц\н\index{Квазичастицы}. Энергию возбужденного
состояния кристалла можно представить как сумму энергий квазичастиц.
Это позволяет ввести понятие газа квазичастиц и использовать представления
кинетической теории газов.

Атомы ТТ при любой температуре совершают колебания около положения равновесия.
Эти колебания вызывают звуковые волны в кристаллической решетке. Эти
звуковые волны удобно описывать при помощи квазичастиц~---\ж
фононов\н\index{Фонон}~---
квантов звуковых колебаний. Фононы являются бозонами.

В ТТ могут существовать как оптические, так и акустические фононы. При
абсолютном
нуле температуры возбуждаются только акустические фононы. ТТ можно рассматривать
как емкость, внутри которой заключен фононный газ. Фононы могут рождаться
и исчезать в результате взаимодействия. Число фононов непостоянно и возрастает
с ростом температуры.

При поглощении атомом света возможно образование водородоподобной пары
электрон--дырка, которую называют\ж экситоном\н\index{Экситон}.
Энергия экситона меньше ширины запрещенной зоны, иначе электрон покинет
атом. Экситоны легко возникают в диэлектриках (там велико притяжение
между электронами и дырками). В полупроводниках энергия экситонов значительно
ниже. В металлах же вероятность экситонного поглощения излучения практически
нулевая.

\subsection*{Электрон--фононный гамильтониан}
\bf Электрон--фононное
взаимодействие\н\index{Взаимодействие!электрон--фононное}~---
взаимодействие между двумя подсистемами квазичастиц в ТТ, а именно:
носителями заряда (блоховскими электронами или дырками) и тепловыми колебаниями
кристаллической решетки (фононами). Конкретный вид электрон--фононного
гамильтониана зависит от структуры кристалла, числа носителей заряда,
характера зонного спектра и особенностей колебания кристаллической решетки.

\subsubsection*{Модель Блоха}\index{Модель!Блоха}
Квантовомеханическая теория Блоха движения электрона в идеальной
<<замороженной>>
кристаллической решетке сводит сложную многоэлектронную проблему к задаче
о движении отдельного электрона в строго периодическом потенциале, создаваемом
узлами кристаллической решетки. Волновая функция Блоха представляет
собой модулированную с периодом идеальной решетки плоскую волну:
$\psi_{nk}(\vec x)=u_{nk}(\vec x)\exp(-i\veck\vec x)$, где
$n$~-- дискретный номер энергетической зоны, $\veck$~-- квазиволновой вектор,
определенный с точностью до вектора обратной решетки $\vec K$. Если
кристалл имеет ограниченные размеры, векторы $\veck$ будут квазидискретными.

Поведение электронов или дырок в кристалле имеет особенно простой вид
на краю изотропных зон, когда возможно использование т.н. приближения
эффективной массы:
$E_n(\veck)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2\veck^2}{2m}$, величина $\hbar\veck$
является квазиимпульсом и законы ее сохранения выполняются лишь с точностью
до $\hbar\vec K$.

Т.о., в строго периодическом поле кристалла электроны и дырки ведут
себя как свободные заряженные частицы с эффективной массой~$m$.

Методы описания колебаний кристаллической решетки основаны на разложении
в ряд Тейлора потенциальной энергии решетки по степеням малых смещений
$\vec u_{nj}$ ионов из их положения равновесия: $\vec R_{nj}=\vec R_{nj}^0+
\vec u_{nj}$. Здесь $\vec n=n_1\vec a+n_2\vec b+n_3\vec c$~--- вектор,
определяющий положение элементарной ячейки в кристалле. Предполагается,
что в кристалле $N$ таких ячеек, в каждой расположено $v$ ионов, положение
которых определяется векторами~$\vecj$.

Простейшее приближение является квадратичным, оно диагонализируется
в нормальных координатах, что позволяет определить $3v$ ветвей частот
$\omega_\alpha(\veck)$ и ортов, определяющих направление нормальных
колебаний. В гармоническом приближении имеем дело с~$3vN$ независимыми
гармоническими осцилляторами с энергией
$$H=U_0+\sum_{\alpha\veck}\hbar\omega_\alpha(\veck)(a_{\alpha\veck}^{+}
a_{\alpha\veck}^{\phantom{+}}+1/2),$$
где $\alpha$ нумерует $3v$ ветвей спектра колебаний решетки,
$\hbar\omega_\alpha(\veck)$~-- энергия фонона, $a_\veck^+$ и
$a_\veck^{\phantom{+}}$~-- амплитуды рождения и уничтожения фононов.

Гармоническое приближение не учитывает теплового расширения кристалла, т.к.
среднее смещение ионов в нем равно нулю.

\bf Блоховское взаимодействие\н\index{Взаимодействие!Блоховское}~---
простейший вид электрон--фононного взаимодействия в металлах, согласно
которому решетка металла рассматривается как статическое
пространственно--периодическое поле $V(\vec x)=V(\vec x+n_1\vec a+n_2\vec
b+n_3\vec c)$, а все электроны движутся независимо, подчиняясь уравнению
Шр\"едингера:
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi_k(\vec x)+V(\vec
x)\psi_k(\vec x)= E_k\psi_k(\vec x),$$
где $\psi_k(\vec x)$ и $E_k$~-- собственное состояние и соответствующая
собственная энергия электрона. Согласно Блоху, действующий на
электрон потенциал в линейном по смещению ионов приближении равен
$$V_1(\vec x)\approx-\vec u(\vec x)\nabla V(\vec x).$$

\subsubsection*{Метод потенциала деформации
Бардина--Шокли}\index{Потенциал!Бардина--Шокли}
Электрон--фононное взаимодействие в ковалентном полупроводнике
можно найти, если считать концентрацию носителей заряда малой
и пренебречь их взаимодействием между собой. Если в таком кристалле
возникает небольшая статическая деформация, описываемая вектором
смещения $\vec u(\vec x)$, то соответствующий тензор деформации
имеет компоненты: $u_{\mu\nu}=\dfrac12\left(\partder{u_\mu}{x_\nu}+
\partder{u_\nu}{x_\mu}\right)$, зависящие от координаты~$\vec x$
элемента объема.

Обозначим $E_0(\veck)$ зонную энергию электрона до деформации
среды. В присутствии пространственно-неоднородной деформации
энергия электрона приобретает плавную зависимость от~$\vec x$:
$$E(\veck,\vec x)=E_0(\veck)+\C\diver\vec u(\vec x),$$
при условии, что $E_0$ имеет сферически-симметричный вид.
Величина $\diver\vec u(\vec x)$ описывает относительное
изменение объема системы, возникающее только при деформациях,
обусловленных акустическими фононами.

\bf Гамильтониан электрон--фононного взаимодействия\н примет вид:
$$H_{e-ph}=\Int\sum_\sigma\psi^+_\sigma(\vec x)\psi^{\phantom{+}}_\sigma(\vec x)
\C\diver\vec u(\vec x) \,dx,$$
где $\sigma$~-- спиновые индексы, $\psi^+_\sigma(\vec x)$ и
$\psi^{\phantom{+}}_\sigma(\vec x)$~-- электронные операторы рождения
и уничтожения соответственно. Разложив гамильтониан по блоховским
функциям с учетом того, что вклад в него дает лишь продольная фононная
мода, получим:
$$H_{e-ph}=\sum_{\veck\veck'\vec q}\sum_\sigma A_q\C^+_{\vec k'\sigma}
\C^{\phantom{+}}_{\vec k\sigma}(a^{\phantom{+}}_{\vec q}-a^+_{\vec q}),\qquad
A^+_{-\vec q}=-A^{\phantom{+}}_{\vec q}.$$
Квазиволновые векторы электронов и фононов связаны между собой законами
сохранения $\veck'=\veck+\vec q$ для нормальных процессов рассеяния
и $\veck'=\veck+\vec q+\vec K$ для процессов переброса Пайерлса
(в которых участвуют векторы обратной решетки).

Электрон--фононный гамильтониан описывает процессы рассеяния, при
которых происходит уничтожение электрона и фонона с квазиимпульсами
$\hbar\veck$ и $\hbar\vec q$ соответственно и рождается электрон
с квазиимпульсом $\hbar\veck'$. Второй член гамильтониана описывает
уничтожение электрона с квазиимпульсом $\hbar\veck$ и рождения
электрон--фононной пары с квазиимпульсами $\hbar\veck'$ и
$-\hbar\vec q$ соответственно. Таким образом, реальной частицей
является не свободный блоховский носитель заряда, а носитель,
окруженный облаком продольных акустических фононов. Эта квазичастица
называется\ж поляроном\н\index{Полярон}.

Поляронная проводимость характерна для диэлектриков и ионных
решеток. Поляроны делятся на два вида: ПБР (поляроны большого
радиуса) характеризуются слабым взаимодействием с электронами,
у ПМР (поляронов малого радиуса) такое взаимодействие значительно
сильнее. ПМР перемещаются в кристалле за счет тепловых флуктуаций
скачкообразно.

Процессы столкновения квазичастиц также характеризуются законом
сохранения энергии: $E(\veck)-E(\veck')\pm\hbar\omega_{\vec q}=0$.

\subsubsection*{Модель Бардина--Пайнса}\index{Модель!Бардина--Пайнса}
Простая модель Блоха для электрон--фононного взаимодействия в металле
нуждается в уточнении ввиду значительной концентрации электронов проводимости
и межэлектронного взаимодействия. Помимо экранирования кулоновского
взаимодействия и замены закона $1/r$ на $\exp(-kr)/r$ существенно
меняется величина матричных элементов электрон--фононного взаимодействия
и характер закона дисперсии фононов.

Согласно\ж модели Бардина--Пайнса\н, электроны проводимости двигаются
в непрерывной положительно заряженной среде и взаимодействуют как
между собой по закону Кулона, так и с продольными фононами. Гамильтониан
такой системы состоит из гамильтониана свободных блоховских электронов~$H_e^0$,
свободных фононов~$H_{ph}^0$ и двух слагаемых взаимодействия:
электрон--фононного~$H_{e-ph}$ и электрон--электронного~$H_{e-e}$:
$$H=H_e^0+H_{ph}^0+H_{e-ph}+H_{e-e}.$$

\subsection*{Сверхпроводимость. Эффект Мейснера. Модель БКШ}
\bf Сверхпроводимость\н\index{Сверхпроводимость}~--- явление,
при котором наблюдается устойчивое к нарушениям решетки квантовое
макроскопическое движение электронов. В нормальном состоянии этому
движению препятствует колебание узлов кристаллической решетки, существенно
увеличивающееся с ростом температуры.

Сверхпроводимость была обнаружена Камерлинг-Оннесом. Оказалось, что
сопротивление большинства чистых металлов (кроме благородных, щелочноземельных и
ферромагнитных) при снижении температуры плавно падает, и при достижении
некоторой критической температуры $T_C$  скачком обращается в нуль.

Сверхпроводники обладают следующими свойствами.
\subparagraph{Эффект Мейснера--Оксенфельда} (идеальный диамагнетизм)
присущ всем сверхпроводникам. Действительно, т.к. $\vec E=\rho\vecj$,
и т.к. $j<\infty$, $\rho=0$, то $\vec E=0$ и $\rot\vec E=-\partder{\vec
H}{t}=0$,
т.е. магнитная индукция внутри сверхпроводника постоянна и равна нулю
(сверхпроводник вытесняет из себя МП).

Исчезновение МП связано с возникновением незатухающих поверхностных
токов, которые создают внутри образца сверхпроводника МП, равное
и противоположно направленное внешнему. МП проникает в сверхпроводник
только в тонком приповерхностном слое, в котором и протекают экранирующие
токи.

Из идеального диамагнетизма следует, что\к ток не может протекать
внутри сверхпроводника, а проходит только в тонком приповерхностном
слое\н.

\float{O}{\includegraphics[width=3cm]{pic/KritMP}}
\subparagraph{Критическое МП.} Если напряженность внешнего МП превосходит
некоторое критическое значение $H_C$, то сверхпроводник переходит в
обычное состояние. При критической температуре~$H_C=0$, при приближении
к абсолютному нулю~$H_C$ имеет полученную экспериментально зависимость:
$$H_C(T)=H_{C0}\Bigl(1-\Bigl(\frac{T}{T_C}\Bigr)^2\Bigr).$$

По отношению к МП сверхпроводники делят на два рода: в сверхпроводники
первого рода МП не проникает вплоть до достижения внешним полем
критической величины; у сверхпроводников второго рода существует
два значения критического поля:~$H_{C1}$ и~$H_{C2}$. При $H<H_{C1}$
МП не проникает в образец, при $H_{C1}<H<H_{C2}$ поле проникает
в образец в виде тонких вихревых нитей (т.е. происходит чередование
нормальных и сверхпроводящих областей), а при $H>H_{C2}$ образец
теряет сверхпроводящие свойства. Смешанные состояния сверхпроводников
второго рода называют\ж фазой Шубникова\н\index{Фаза!Шубникова}.

\float{O}{\includegraphics[width=5cm]{pic/SP-teploem}}
\subparagraph{Изотопный эффект.} Критическая температура сверхпроводника
зависит от массы изотопа: $T_C\sim m^{-1/2}$, где $m$~-- масса изотопа.

\subparagraph{Скачек теплоемкости.} У сверхпроводника теплоемкость
зависит от температуры: $C=AT^3+BT$, постоянная $B$ описывает вклад
электронов в теплоемкость. Т.о., при близких к абсолютному нулю температурах
теплоемкость должна иметь прямую зависимость от температуры, однако,
наблюдается скачек теплоемкости вверх при~$T=T_C$, а затем экспоненциальный
спад до нуля. Такое поведение сверхпроводников означает, что\к переход
вещества в сверхпроводящее состояние является фазовым переходом
второго рода\н и связан с коренными изменениями свойств электронов.

\subsubsection*{Теория БКШ}\index{Теория!БКШ}
Согласно теории БКШ (Бардин, Купер и Шриффер) микроскопический механизм
сверхпроводимости характеризуется притяжением электронов вблизи
поверхности Ферми.

Под действием электронов решетка поляризуется (атомы смещаются к электронам),
вследствие такого смещения, вызванного одним электроном, второй электрон
также сместится. Можно говорить о межэлектронном притяжении, осуществляемом
посредством узлов кристаллической решетки.

При таком взаимодействии электроны обмениваются фононами, для них имеет
место закон сохранения энергии. Электроны рассеиваются друг на друге.
Если притяжение двух электронов превосходит кулоновское отталкивание,
образуется электронная пара. Фононы, которыми обмениваются электроны,
являются виртуальными, связанными с поляризацией решетки и не
существующими независимо от электронов. Пара взаимодействующих
электронов называется\ж куперовской парой\н\index{Куперовские пары}.

Т.к. критическая температура зависит от изотопной массы, то важную роль
в сверхпроводимости играет динамика ионов, расположенных в узлах решетки.

Согласно принципу запрета Паули, взаимодействовать могут не все
электроны, а лишь те, чья энергия лежит в узкой полосе около уровня Ферми.
За счет образования электронных пар суммарная энергия системы
снижается.

Куперовские пары являются бозонами, т.к. взаимодействуют только электроны
с противоположно направленными спинами. Т.о., происходит бозе-кон\-ден\-са\-ция
куперовских пар (все пары находятся в одинаковых состояниях).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Уравнения Максвелла}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла как обобщение
экспериментальных данных}
ЭП и МП связаны, они могут превращаться друг в друга, изменение МП вызывает
изменение ЭП и наоборот. Эти свойства ЭМП были открыты Максвеллом.

ЭМП характеризуется четырьмя уравнениями Максвелла
(УМ).\index{Уравнения!Максвелла}
\begin{enumerate}
\item\bf Теорема Гаусса\н: $\Oint_l E\,dS=\rev{\epsilon_0}\Int_V\rho\,dV$,~\Arr
$\boxed{\diver\vec E=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}}$.
\item\bf Теорема Гаусса для МП\н: $\Oint_l\vec B\,d\vec l=\mu_0\sum I_i$,
$I=\Int_S\vecj\,d\vec S$,~\Arr $\rot\vec B=\mu_0\vecj$.
Однако, МП создается не только током проводимости, но и током смещения
$\vecj\ind{см}=\epsilon_0\partder{\vec E}{t}$,~\Arr
$\boxed{\rot\vec B=\mu_0\vecj+\mu_0\epsilon_0\partder{\vec E}{t}}$.
\item Из\ж второго закона ЭМИ,\н $\E_i=-\partder{\Phi}{t}$,
$\Oint_l\vec E\,d\vec l=-\dfrac{d}{dt}\Int_S\vec B\,d\vec S$,~\Arr
$\boxed{\rot\vec E=-\partder{\vec B}{t}}$.
\item $\diver\rot\vec E=-\diver\partder{\vec B}{t}$,~\Arr
$\diver\partder{\vec B}{t}=0$, $\partder{}{t}\diver\vec B=0$.
Т.о., $\diver\vec B=\const$, т.е. $\boxed{\diver\vec B=0}$.
\end{enumerate}
УМ связывают шесть величин~--- проекций векторов~$\vec E$ и~$\vec B$.
Заданными считаются~$\rho$ и~$\vecj$.

\subsection*{Сила Лоренца. Ток смещения}
Уравнение непрерывности: $\partder{\rho}{t}+\diver\vecj=0$.
Из первого УМ $\rho=\epsilon_0\diver\vec E$,~\Arr $\partder{\rho}{t}=\epsilon_0
\diver\partder{\vec E}{t}$.
$$\diver\Bigl(\epsilon_0\partder{\vec E}{t}\Bigr)-\partder{\rho}{t}=
\diver\Bigl(\epsilon_0\partder{\vec E}{t}+\vecj\Bigr)=0.$$
Следовательно, линии полного тока $\vecj\ind{полн}=\epsilon_0\partder{\vec E}{t}
+\vecj$ всегда замкнуты. Ток $\vecj\ind{см}=\epsilon_0\partder{\vec E}{t}$
называется\ж током смещения\н\index{Ток!смещения}.

В ЭМП на проводники действует\ж сила Ампера\н\index{Сила!Ампера}
$\vec F=I\vec l\times\vec B$, где $l$~-- длина проводника. Т.к.~$\vec l$
и~$\vec v$ коллинеарны, можно написать: $I\vec l=Nq\vec v$. Следовательно,
на один электрон действует сила $\vec F=q\vec v\times\vec B$.
Если к действию МП добавляется ЭП, результирующая сила называется\ж
силой Лоренца\н\index{Сила!Лоренца} и равна
$\boxed{\vec F=q\vec E+q\vec v\times\vec B}$.

\subsection*{Вихревое электрическое поле}
Т.к. $\rot\vec E=-\partder{\vec B}{t}$, то любое изменение МП вызывает вихревое
ЭП. Это поле не является электростатическим, т.к. у последнего силовые линии
всегда разомкнуты.
Т.о., появляется ЭП, связанное с МП аналогично тому, как вокруг
проводника с током появляется вихревое МП.

\subsection*{Взаимное превращение электрического и магнитного полей}
Магнитное поле имеет релятивистскую природу. Связь МП и ЭП определяется
уравнениями преобразования (штрихом отмечена движущаяся система):
$$E_x=E'_x;\qquad B_x=X'_x;\qquad
E_y=\frac{E'_y+vB'_z}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};$$
$$B_y=\frac{B'_y-\frac{v}{c^2}E'_z}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};\quad
E_z=\frac{E'_z-vB'_y}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};\quad
B_z=\frac{B'_z+\frac{v}{c^2}E'_y}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$
Т.о., если в движущейся системе существует ЭП, то в неподвижной
будет наблюдаться еще и МП.

\subsection*{Уравнения Максвелла в интегральном виде}
Проинтегрировав дифференциальные УМ, получим:
$$\Oint_l\vec E\,d\vec l=-\partder{\vec\Phi}{t};\quad
\Oint_l\vec H\,d\vec l=\vecj\ind{макро}+\vecj\ind{смещ};$$
$$\Oint_S\vec D\,d\vec S=\sum q_i;\quad
\Oint_S\vec B\,d\vec S=0.$$

\subsection*{Волновое уравнение. ЭМВ в вакууме}
Т.к. $\rot\vec B=\mu_0\vecj+\mu_0\epsilon_0\partder{\vec E}{t}$,
можно ввести векторный потенциал $\vec B=\rot\vec A$:
$$\rot\rot\vec A=\mu_0\vecj+\epsilon_0\mu_0\partder{\vec E}{t}.$$
$\rot\vec E=-\partder{\vec B}{t}=-\rot\Bigl(\partder{\vec A}{t}\Bigl)$,~\Arr
$\vec E=-\partder{\vec A}{t}-\grad\phi$. Т.к. $\rot\rot=\grad\diver-\Delta$,
$\rot\rot\vec A=\mu_0\vecj+\epsilon_0\mu_0\partder{}{t}\Bigl(
-\grad\phi-\partder{\vec A}{t}\Bigr)$,~\Arr
$$\Delta\vec A-\epsilon_0\mu_0\dpartder{\vec A}{t}=
-\mu_0\vecj+\grad\Bigl(\diver\vec A+\epsilon_0\mu_0\partder{\phi}{t}\Bigr).$$
{\sloppy Введем калибровку по Лоренцу\index{Калибровка Лоренца} (положим равным
нулю выражение при
градиенте). Тогда получим совокупность\ж волновых уравнений\н
(\bf уравнений
д'Алам\-бе\-ра\н):\index{Уравнение!волновое}\index{Уравнение!д'Аламбера}

}
$$\Delta\vec A-\epsilon_0\mu_0\dpartder{\vec A}{t}=-\mu_0\vecj;\quad
\Delta\phi-\epsilon_0\mu_0\dpartder{\phi}{t}=-\frac{\rho}{\epsilon_0}.$$
Они описывают движение электромагнитной волны в пространстве.
Гармонические колебания ЭМВ описываются уравнениями
$E=E_0\sin[\omega(t-x/v)]$ и $H=H_0\sin[\omega(t-x/v)]$. Колебания~$H$
и~$E$ синфазны.

Длина волны $\lambda=vt$\index{Длина!волны}, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$~--
волновое число,\index{Число!волновое} т.о. $E=E_0\sin(\omega t-kx)$.

Т.к. в вакууме отсутствуют токи и объемные заряды, то волновые уравнения
примут вид:
$$\Delta\vec H-\epsilon_0\mu_0\dpartder{\vec H}{t}=0;\qquad
\Delta\vec E-\epsilon_0\mu_0\dpartder{\vec E}{t}=0.$$
Величина $\mu_0\epsilon_0=1/c^2$, где~$c$~-- скорость распространения
ЭМВ в вакууме (\bf скорость света\н)\index{Скорость!света},
тогда:
$$\Delta\vec H=\rev{c^2}\dpartder{\vec H}{t};\qquad
\Delta\vec E=\rev{c^2}\dpartder{\vec E}{t}.$$

\subsection*{Поперечность ЭМВ. Вектор Умова--Пойнтинга}
ЭМВ поперечны: вектора $\vec H$ и $\vec E$ перпендикулярны друг
другу и направлению распространения волны. Плоскость, в которой
колеблется вектор $\vec E$, называется\ж плоскостью
поляризации\н\index{Плоскость поляризации}.

Энергия ЭМВ $w=\rev2\epsilon_0E^2+\rev2\mu_0H^2$. Т.к. $\rot\vec
E=-\mu_0\partder{\vec H}{t}$, $\rot\vec H=\epsilon_0\partder{\vec E}{t}$,
получим: $\sqrt{\epsilon_0}E=\sqrt{\mu_0}H$ или: $w_E=w_H$,
т.е.\к энергии магнитного и электрического поля в ЭМВ равны\н.
Тогда
$$w=\epsilon_0 E^2=\mu_0 H^2=\sqrt{\epsilon_0\mu_0}EH=\frac{EH}{c}.$$
Вектор плотности потока энергии ЭМВ называется\ж вектором
Умова--Пойнтинга\н\index{Вектор!Умова--Пойнтинга}:
$$\vec P=w\vec c=\vec E\times\vec H.$$

\subsection*{Вибратор Герца. Электрическое дипольное излучение}
Простейшим излучателем ЭМВ является\ж вибратор Герца\н\index{Вибратор Герца}
и рамка с током. Вибратор герца (элементарный вибратор)~--- это
совокупность двух металлических шариков, соединенных проводником.
Если шарики зарядить противоположно, то они начинают перезаряжаться,
излучая ЭМВ.

Рассмотрим излучение системы неподвижного заряда $+q$ и колеблющегося
около него по гармоническому закону заряда $-q$. Дипольный момент
системы $\vec p=-q\vec r=\vec p_m\cos\omega t$. Пусть амплитуда колебаний
$l\ll\lambda$.

В каждой точке пространства~$E$ и~$H$ будут изменяться по гармоническому
закону $\propto\cos(\omega t-\vec k\vec r)$. Амплитуды колебания~$E$
и~$H$ убывают по закону $\propto\rev{r}\sin\theta$, где $\theta$~--
угол между $\vec p$ и $\vec r$. Мощность излучения $\aver{P}\propto
\rev{r^2}\sin^2\theta$.

\float{L}{\includegraphics[width=5.5cm]{pic/Diagr-napr}}
\bf Диаграмма
направленности\н\index{Диаграмма!направленности} излучения
элементарного вибратора изображена на рисунке слева. Мощность излучения
определяется выражением:
$$P\propto\ddotvec{p}\,^2=p_m^2\omega^4\cos^2\omega t;\quad\aver{P}\propto
p_m^2\omega^4.$$
Следовательно, при малых~$\omega$ излучение незначительно. Т.к.
$\ddotvec p=-q\ddotvec r=-q\vec a$, где $\vec a$~-- ускорение движущегося
заряда, то мощность $\aver{P}\propto q^2\vec a^2$. Т.о., если электрон
движется в среде равномерно, он не излучает ЭМВ. Излучение появляется
лишь в случае ускоренного движения электрона (торможение, движение
по окружности, ускорение).

% сюда же вопрос 37 (нов)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Релятивистская динамика и кинематика]{Релятивистская динамика и
кинематика. Четырехмерный формализм}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Преобразования Лоренца}
Согласно специальной теории относительности, скорость света $c<\infty$.
Скорость тела и время связаны между собой. Пусть тело движется вдоль
оси $X$ со скоростью $V$.\ж Преобразования
Лоренца\н:\index{Преобразования!Лоренца}
$$x'=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad
t'=\frac{t-\frac{Vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};$$
$$x=\frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\quad y=y',\quad z=z',\quad
t=\frac{t'+\frac{Vx'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$
Согласно преобразованиям Лоренца, при переходе между СК меняются
не только пространственные координаты, но и время.

Однако, существует инвариант: $s^2=x^2+y^2+z^2-c^2t^2$~---\ж релятивистский
интервал\н\index{Интервал!релятивистский}.

Размеры движущихся тел сокращаются (\bf лоренцево сокращение\н):
$l=x_2(t)-x_1(t)=l_0\sqrt{1-v^2/c^2}$. Поперечные размеры при этом остаются
прежними.

\bf Собственное время\н\index{Время!собственное} $\tau_0$~-- время
в собственной СК. $\tau=\tau_0\sqrt{1-v^2/c^2}$, т.е. в движущейся СК
время протекает медленнее.

Выделяют два типа интервала: при $s^2>0$ интервал называют\ж
пространственно-подобным\н,
при $s^2<0$~---\ж времениподобным\н.

Из преобразований Лоренца следуют преобразования:
$$v'_{x'}=\frac{v_x-V}{1-\frac{Vv_x}{c^2}},\quad v'_{y',z'}=
\frac{v_{y,z}\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1-\frac{Vv_x}{c^2}};$$
$$v_{x}=\frac{v'_{x'}+V}{1-\frac{Vv'_{x'}}{c^2}},\quad v_{y,z}=
\frac{v'_{y',z'}\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1-\frac{Vv'_{x'}}{c^2}};$$
$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};\quad
\vec p=\frac{m_0\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$

\subsection*{Формализм Минковского}
Для более полного отражения связи времени и пространства удобно ввести
четвертую координату $x_4=ict$. Тогда преобразования Лоренца можно
задать в тензорном виде: $\hat X'=\hat K\hat X$, где~$\hat X$ и~$\hat X'$~--\ж
четырехвекторы
координат\н\index{Четырехвектор},
\begin{equation*}
\hat K=\begin{vmatrix}
\rev{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}& 0& 0& \frac{iv^2}{c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
0& 1& 0& 0\\
0& 0& 1& 0\\
\frac{-iv^2}{c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}& 0& 0& \rev{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{vmatrix}.
\end{equation*}

И обратно: $\hat X=\hat K'\hat X'$. Т.к. $\hat K\hat K'=\hat I$, $\hat K'$
получается из $\hat K$ заменой координат $K_{\alpha\beta}\to K'_{\beta\alpha}$.
Следовательно, интервал также будет обычным четырехвектором.


Пусть $u_\alpha=\dfrac{dx_\alpha}{dt}$, тогда $\hat U=(u_1,u_2,u_3,u_4)$~--
четырехвектор скорости. $d\tau=dt\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$,~\Arr
$u_{1,2,3}=\dfrac{u_{x,y,z}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$,
$u_4=\dfrac{ic}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$, $u^2=u_x^2+u_y^2+u_z^2$.\к
Квадрат четырехвектора скорости равен $-c^2$\н.

Тензорный вид преобразований Лоренца справедлив и для четырехвектора
скорости: $\hat U'=\hat K\hat U$.

\subsection*{Ковариантная запись закона сохранения заряда и уравнений для
потенциалов}
Инвариантами являются\ж четырехмерные дивергенция\н,\ж
градиент\н и\ж ротор\н:
$$\diver\hat A=\partder{A_1}{x_1}+\partder{A_2}{x_2}+
\partder{A_3}{x_3}+\partder{A_4}{x_4};\qquad
\widehat{\grad\phi}=\Bigl(\partder{\phi}{x_1},\partder{\phi}{x_2},
\partder{\phi}{x_3},\partder{\phi}{x_4}\Bigr).$$
Удобно ввести\ж четырехмерный оператор набла\н:
$$\widehat\nabla=\Bigl(\partder{}{x_1},\partder{}{x_2},\partder{}{x_3},\partder{
}{x_4}\Bigr),$$
тогда $\diver\hat A=\widehat\nabla\hat A$,
$\widehat{\grad\phi}=\widehat\nabla\phi$,
$\rot\hat A=\{\widehat\nabla\times\hat A\}$ (будем обозначать\ж
тензорное произведение векторов\н как $\{\hat A\times\hat B\}$).
Оператор четырех-ротора будет являться тензором, его компоненты:
$(\rot\hat A)_{ij}=\partder{\hat A_j}{x_i}-\partder{\hat A_i}{x_j}$.

Преобразуем теперь в четырехмерный вид уравнения, выражающие закон
сохранения энергии,
$$\nabla^2\vec A-\rev{c^2}\dpartder{\vec A}{t}=-\mu_0\rho\vec v\quad
\text{и}\quad
\nabla^2\phi-\rev{c^2}\dpartder{\phi}{t}=-\frac{\rho}{\epsilon_0},$$
условие Лоренца и уравнение непрерывности,
$$\diver\vec A+\rev{c^2}\dpartder{\phi}{t}=0,\qquad
\diver\rho\vec v+\partder{\rho}{t}=0.$$
Условие Лоренца легко преобразовать, если ввести\ж четырехмерный
векторный потенциал\н\index{Потенциал!векторный!четырехмерный}:
$\hat\Phi=\bigl(A_x,A_y,A_z,\frac{i\phi}{c}\bigr)$.
Тогда оно примет вид: $\boxed{\diver\hat\Phi=0}$, или
$\widehat\nabla\hat\Phi=0$.

Введем теперь\ж четырехвектор плотности тока\н $\hat S=(\rho v_x,\rho v_y,
\rho v_z,ic\rho)$. Если подействовать оператором четырех-дивергенции
на четырех-градиент, получим\ж оператор д'Аламбера\н:
$\boxed{\square=\widehat\nabla^2}$. Этот оператор, также как и градиент,
дивергенция и ротор, является инвариантом в пространстве Минковского.
Волновое уравнение примет вид $\boxed{\square\hat\Phi=-\mu_0\hat S}$. И,
наконец, уравнение непрерывности: $\boxed{\diver\hat S=0}$, или
$\widehat\nabla\hat S=0$.

Пусть в штрихованной СК $K'$ заряд покоится и его плотность равна~$\rho_0$.
Тогда $\hat S'=(0,0,0,ic\rho_0)$, а в движущейся СК:
$\hat S=\bigl(\gamma\rho_0 v,0,0,\gamma ic\rho_0\bigr)$, где
$\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$. Следовательно, в подвижной СК
плотность заряда возрастает в~$\gamma$ раз по сравнению с неподвижной
СК.

Т.к. элемент объема $dV=dV_0/\gamma$, то $dq=\rho\,dV=\rho_0 dV_0=dq_0$:\к
заряд является еще одним инвариантом в пространстве Минковского\н
(закон сохранения заряда: $\boxed{dq'=dq}$). Тогда можно записать:
$\boxed{\hat S=\rho_0\hat U}$, где $\hat U$~-- четырех-скорость.

\subsection*{Тензор энергии--импульса электромагнитного поля}
Выразим в четырехмерном виде уравнения $\vec E=-\grad\phi-\partder{\vec A}{t}$
и $\vec B=\rot\vec A$. Получим:
$E_{x,y,z}=ic\Bigl(\partder{\hat\Phi_4}{x_{1,2,3}}-
\partder{\hat\Phi_{1,2,3}}{x_4}\Bigr)$,
$B_{x,y,z}=\partder{\hat\Phi_{3,1,2}}{x_{2,3,1}}-
\partder{\hat\Phi_{2,3,1}}{x_{3,1,2}}$. Совокупность этих уравнений удобно
представить в виде тензора $\hat
H_{\mu\nu}=c\Bigl(\partder{\hat\Phi_\nu}{x_\mu}-
\partder{\hat\Phi_\mu}{x_\nu}\bigr)$: $\boxed{\hat
H=c\rot\hat\Phi=c\{\widehat\nabla
\times\hat\Phi\}}$. Компоненты тензора $\hat H$:
\begin{equation*}
\hat H=\begin{pmatrix}
0&	cB_z&	-cB_y&	-iE_x\\
-cB_z&	0&	cB_x&	-iE_y\\
cB_y&	-cB_x&	0&	-iE_z\\
iE_x&	iE_y&	iE_z&	0\\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}

Введем также тензор $\hat F$:
\begin{equation*}
\hat F=\begin{pmatrix}
0&	H_z&	-H_y&	-icD_x\\
-H_z&	0&	H_x&	-icD_y\\
H_y&	-H_x&	0&	-icD_z\\
icD_x&	icD_y&	icD_z&	0\\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}

Несложно получить преобразования $\hat H$ и $\hat F$ между СК.
Пусть тензор $\hat T=\{\hat A\times\hat B\}$~--- тензорное произведение
векторов $\hat A$ и $\hat B$. Тогда $\hat T'=\{\hat A'\times\hat B'\}=
\{(\hat K\hat A)\times(\hat K\hat B)\}$,~\Arr $\boxed{\hat T'_{\alpha\beta}=
\sum_{\mu,\nu}\hat K_{\alpha\mu}\hat K_{\beta\nu}\hat T_{\mu\nu}}$.

\bf Сила Лоренца\н $\vec f=\rho(\vec E+\vec v\times\vec B)$ в пространстве
Минковского примет вид $\hat f_\mu=\rev c\sum_{\nu=1}^4H_{\mu\nu}S_\nu$,
что позволяет записать: $\boxed{\hat f=\rev c\hat H\hat S}$.
$\vec F=\Int\vec f\,dV$. Пусть $\widehat{dV}=dx_1\,dx_2\,dx_3\,dx_4$.
$\widehat{dV}'=|D|\widehat{dV}$, где
$D_{\alpha\beta}=\partder{x'_\beta}{x_\alpha}$~--
якобиан (определитель) преобразования координат. Т.к. $|D|=1$,
получим: $\widehat{dV}'=\widehat{dV}$, т.е.\к четырехмерный объем
инвариантен в пространстве Минковского\н.

Аналогичными инвариантами являются четырех-импульс
$\widehat{dP}_\nu=f_\nu\,dx_1\,dx_2\,dx_3\,dt$ и
четырех-сила
$\hat K_\nu=\Int\frac{dP_\nu}{d\tau}=\Int f_\nu \gamma dV$,
$\hat K=(\gamma F_x,\gamma F_y,\gamma F_z,\gamma\frac{i}{c}e\vec v\vec E)$.

Плотность энергии ЭМП $w=\rev2\vec E\vec D+\rev2\vec B\vec H$, вектор
Умова $\vec S=\vec E\times\vec H$ и импульс ЭМП $\vec g=\rev{c^2}\vec
E\times \vec H$ можно также представить в виде одного четырехмерного\ж
тензора энергии--импульса\н:
\begin{equation*}
\hat F=\begin{pmatrix}
T_{xx}&	T_{xy}&	T_{xz}&	-icg_x\\
T_{yx}&	T_{yy}&	T_{yz}&	-icg_y\\
T_{zx}&	T_{zy}&	T_{zz}&	-icg_z\\
-\frac{i}{c}S_x&	-\frac{i}{c}S_y&	-\frac{i}{c}S_z&	w\\
\end{pmatrix},
\end{equation*}
где $\displaystyle T_{\mu\nu}=\rev{c}\sum_{\alpha}H_{\mu\alpha}
F_{\alpha\nu}+\delta_{\mu\nu}\rev{4c}\sum_{\alpha,\gamma}
F_{\alpha\gamma}H_{\alpha\gamma}$.
Главная диагональ тензора энергии--импульса\к является тензором
натяжений\н, характеризуя поверхностные силы.

\subsection*{Ковариантная запись уравнений Максвелла. Инварианты магнитного
поля}
\subsubsection*{$\rot\vec H=\rho\vec v+\partder{\vec D}{t}$; $\diver\vec
D=\rho$.}%$
$0+\partder{H_z}{x_2}-\partder{H_y}{x_3}-\partder{(icD_x)}{x_4}=\rho v_x$;
$-\partder{H_z}{x_1}+0+\partder{H_z}{x_3}-\partder{(icD_y)}{x_4}=\rho v_y$;\\
$\partder{H_y}{x_1}-\partder{H_x}{x_2}+0-\partder{(icD_z)}{x_4}=\rho v_z$;
$\partder{(icD_x)}{x_1}+\partder{(icD_y)}{x_2}+\partder{(icD_z)}{x_3}
+0=ic\rho$.\\
Эти уравнения удобно записать с помощью тензора $\hat F$:
$$\sum_\nu\partder{\hat F_{\mu\nu}}{x_\nu}=S_\mu.$$

\subsubsection{$\rot\vec E=-\partder{\vec B}{t}$; $\diver\vec B=0$.}%$
$\partder{(cB_x)}{x_4}+\partder{(-iE_z)}{x_2}+\partder{(iE_y)}{x_3}=0$;
$\partder{(-iE_z)}{x_1}+\partder{(iE_x)}{x_3}+\partder{(-cB_y)}{x_4}=0$;\\
$\partder{(iE_x)}{x_2}+\partder{(cB_z)}{x_4}+\partder{(-iE_y)}{x_1}=0$;
$\partder{(cB_z)}{x_3}+\partder{(cB_x)}{x_1}+\partder{(cB_y)}{x_2}=0$.\\
Здесь удобно использовать тензор $\hat H$:
$$\partder{\hat H_{\mu\nu}}{x_\lambda}+\partder{\hat H_{\nu\lambda}}{x_\mu}+
\partder{\hat H_{\lambda\mu}}{x_\nu}=0,\qquad\mu\ne\nu\ne\lambda.$$

\subsubsection*{$\vec D=\epsilon_0\vec E$; $\vec B=\mu_0\vec H$.}
$\displaystyle\rev{c}\sum_\nu\hat F_{\mu\nu}\hat U_\nu^{(0)}=\epsilon_0
\sum_\nu\hat H_{\mu\nu}\hat U_\nu^{(0)}$;\\
$\displaystyle\rev{c}(\hat H_{\mu\nu}\hat U_\lambda^{(0)}+
\hat H_{\nu\lambda}\hat U_\mu^{(0)}+\hat H_{\lambda\mu}\hat U_\nu^{(0)})=
\mu_0(\hat F_{\mu\nu}\hat U_\lambda^{(0)}+\hat F_{\nu\lambda}\hat U_\mu^{(0)}+
\hat F_{\lambda\mu}\hat U_\nu^{(0)})$.\\
Здесь $\hat U^{(0)}=(0,0,0,ic)$~-- скорость покоящейся СК.

Однако, эти уравнения справедливы и для любой ненулевой скорости:\\
$\displaystyle\rev{c}\sum_\nu\hat F_{\mu\nu}\hat U_\nu=\epsilon_0
\sum_\nu\hat H_{\mu\nu}\hat U_\nu$;\\
$\displaystyle\rev{c}(\hat H_{\mu\nu}\hat U_\lambda+
\hat H_{\nu\lambda}\hat U_\mu+\hat H_{\lambda\mu}\hat U_\nu)=
\mu_0(\hat F_{\mu\nu}\hat U_\lambda+\hat F_{\nu\lambda}\hat U_\mu+
\hat F_{\lambda\mu}\hat U_\nu)$.

Таким образом, получим\к связь электрического и магнитного полей\н:
$$\vec D+\rev{c^2}\vec v\times\vec H=\epsilon_0(\vec E+\vec v\times \vec B),$$
$$\vec B+\rev{c^2}\vec v\times\vec E=\mu_0(\vec H+\vec v\times \vec D).$$

Преобразование этих величин между СК:
$E'_{x'}=E_x$, $E'_{y'}=\gamma(E_y-vB_z)$, $E'_{z'}=\gamma(E_z+vB_y)$
(аналогично для~$\vec D$). $\vec B'_{x'}=B_x$, $\vec
B'_{y'}=\gamma(B_y+\frac{v}{c^2}E_z)$,
$B'_{z'}=\gamma(B_z-\frac{v}{c^2}E_y)$ (аналогично для~$\vec H$).

Преобразования между СК удобно записывать в векторном виде для проекций
векторов на вектор скорости ($\vec X_\parallel$) и перпендикулярно ему
($\vec X_\perp$):
$\vec D'_\parallel=\vec D_\parallel$, $\vec D'_\perp=\gamma(\vec D+
\vec v\times\vec H/c^2)_\perp$ (аналогично для $\vec E$).
$\vec H'_\parallel=\vec H_\parallel$, $\vec H'_\perp=
\gamma(\vec H-\vec v\times\vec D)_\perp$ (аналогично для $\vec B$).

Получим следующие инварианты:
$$\boxed{I_1=c^2B^2-E^2},\qquad\boxed{I_1'=H^2-c^2D^2};$$
$$\boxed{I_2=\vec B\vec E},\qquad\boxed{I_2'=\vec H\vec D};$$
$$\boxed{I_3=\vec H\vec B-\vec D\vec E}.$$

\bf Следствия:\н
\begin{enumerate}
\item если $c^2B^2>E^2$ и $\vec B\perp\vec E$, то возможно выбрать
СК, в которой ЭП равно нулю при ненулевом МП ($E=0$ при $H\ne0$),
если же вектора~$\vec B$ и~$\vec E$ не перпендикулярны, такой СК не существует;
\item если $c^2B^2<E^2$ и $\vec B\perp\vec E$, то существует СК,
в которой отсутствует МП при ненулевом ЭП, однако, если МП и ЭП не
перпендикулярны, такой СК не существует;
\item если в какой-либо СК существует только ЭП или только МП, то при
переходе к другой СК возможно существование как ЭП, так и МП,
причем эти поля будут перпендикулярны друг другу;
\item если $c^2B^2=E^2$ и $\vec B\perp\vec E$, то данная волна
будет оставаться плоской во всех СК.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Электродинамика движущихся сред}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Материальные уравнения для движущихся
сред}\index{Уравнения!материальные}
Необходимо сформулировать уравнения Максвелла (УМ) для движущихся сред.
Для этого нужно записать известные для неподвижных сред УМ в ковариантном
виде (в виде тензорных уравнений). Кроме того, т.к. известны формулы
преобразования тензоров при смене СК, легко получить преобразования векторов
поля.

УМ в вакууме пригодны и для описания полей в других средах, если умножить
их на $\epsilon$ и $\mu$:
$$\sum_{\nu=1}^4\partder{F_{\mu\nu}}{x_\nu}=S_\mu;\qquad
\partder{H_{\mu\nu}}{x_\lambda}+\partder{H_{\nu\lambda}}{x_\mu}+
\partder{H_{\lambda\mu}}{x_\nu}=0;$$
$$\rev{c}\sum_{\nu=1}^4F_{\mu\nu}U_\nu=\epsilon\epsilon_0\sum_{\nu=1}^4
H_{\mu\nu}U_\nu;$$
$$\rev{c}\left(H_{\mu\nu}U_\lambda+H_{\nu\lambda}U_\mu+
H_{\lambda\mu}U_\nu\right)=\mu_0\mu\left(F_{\mu\nu}U_\lambda+
F_{\nu\lambda}U_\mu+F_{\lambda\mu}U_\nu\right).$$

Здесь $U=(\gamma v_x,\gamma v_y,\gamma v_z,\gamma ic)$~--- четырехвектор
скорости; $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$; $S=(\rho v_x,\rho v_y,\rho
v_z,ic\rho)$~---
четырех-плотность тока;
\begin{equation*}
\hat F=\begin{pmatrix}
0&	H_z&	-H_y&	-icD_x\\
-H_z&	0&	H_x&	-icD_y\\
H_y&	-H_x&	0&	-icD_z\\
icD_x&	icD_y&	icD_z&	0\\
\end{pmatrix};\quad
\hat H=\begin{pmatrix}
0&	cB_z&	-cB_y&	-iE_x\\
-cB_z&	0&	cB_x&	-iE_y\\
cB_y&	-cB_x&	0&	-iE_z\\
iE_x&	iE_y&	iE_z&	0\\
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Материальные уравнения можно записать и так:
$$\vec D+\rev{c^2}\vec v\times\vec H=\epsilon\epsilon_0(\vec E+
\vec v\times\vec B);\quad
\vec B-\rev{c^2}\vec v\times\vec E=\mu\mu_0(\vec H-\vec v\times\vec D).$$

\subsection*{Законы преобразования $\vec E$, $\vec H$, $\vec B$,
$\vec D$, $\vec P$, $\vec M$}
При переходе от одной СК к другой тензоры преобразуются по
формуле: $F_{\mu\nu}'=\sum_{\alpha,\gamma}a_{\mu\gamma}a_{\nu\gamma}
F_{\alpha\gamma}$, где $\hat a$~--- матрица перехода:
\begin{equation*}
\hat a=\begin{pmatrix}
\rev{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}& 0& 0& \frac{iv^2}{c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
0& 1& 0& 0\\
0& 0& 1& 0\\
\frac{-iv^2}{c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}& 0& 0& \rev{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}

Таким образом, получим следующие формулы.
$$E'_{x'}=E_x,\quad E'_{y'}=\gamma(E_y-vB_z),\quad E'_{z'}=\gamma(E_z+vB_y);$$
$$D'_{x'}=D_x,\quad D'_{y'}=\gamma(D_y-\frac{v}{c^2}H_z),\quad
D'_{z'}=\gamma(D_z+
\frac{v}{c^2}H_y);$$
$$B'_{x'}=B_x,\quad B'_{y'}=\gamma(B_y+\frac{v}{c^2}E_z),\quad
B'_{z'}=\gamma(B_z-
\frac{v}{c^2}E_y);$$
$$H'_{x'}=H_x,\quad H'_{y'}=\gamma(H_y+vD_z),\quad H'_{z'}=\gamma(H_z-vD_y).$$
Инварианты: $I_1=c^2B^2-E^2$, $I_1'=H^2-c^2D^2$,
$I_2=\vec B\vec E$, $I_2'=\vec H\vec D$, $I_3=\vec H\vec B-\vec D\vec E$.

Т.к. при $v=0$, $\vec D=\epsilon_0(\vec E+\vec P)$, $\vec B=\mu_0(\vec H+\vec
M)$,
получим формулы для поляризованности и намагничения:
$$P'_{x'}=P_x,\quad P'_{y'}=\gamma(P_y+\frac{v}{c^2}M_z),\quad
P'_{z'}=\gamma(P_z-
\frac{v}{c^2}M_y);$$
$$M'_{x'}=M_x,\quad M'_{y'}=\gamma(M_y-vP_z),\quad M'_{z'}=\gamma(M_z+vP_y).$$

\subsection*{Основные уравнения электродинамики медленно движущихся проводников}
Четырехвектор тока: $\hat S=(j_x,j_y,j_z,ic\rho)$. Пусть в СК $K'$ заряд
неподвижен:
$\hat S'=(0,0,0,ic\rho')$. Преобразуя, получим: $\hat S=\hat a\hat S$,~\Arr
$\hat S=(\gamma\rho'v,0,0,\gamma ic\rho')$.
Т.о., как и ожидалось, движение заряда порождает электрический ток
$j_x=\gamma\rho'v$.

Рассмотрим теперь движущийся проводник с током: в $K'$ имеется ток
проводимости, но отсутствует плотность заряда: $\hat S'=(j'_x,j'_y,j'_z,0)$,
тогда в СК $K$ появится плотность заряда:
$\hat S=(\gamma j'_x,j'_y,j'_z,\gamma ij'_x v/c)$,~\Arr
$\rho=j_x v/c^2$ или $\rho=\vec v\vecj/c^2$.
Однако, согласно закона сохранения заряда, $\rho\,dV=\vec v/c^2\Int\vecj\,dV=0$.
Т.о., возникновение объемной плотности заряда в движущемся
проводнике~--- релятивистский эффект, объясняющийся тем, что ионы
кристаллической решетки неподвижны относительно проводника, а электроны
движутся.

Движущаяся рамка с током приобретает дипольный момент, т.к. разные ее стороны
приобретают разные по знаку заряды. $p=vIll'/c^2=vIS/c^2=vp_m/c^2$,
или $\vec p=\vec v\times\vec p_m/c^2$.
Т.о., при движении магнитный момент порождает электрический. Этот
факт объясняет появление тонкой структуры у излучающих атомов.

Закон Ома можно записать в тензорной форме по аналогии:
$\vecj=\alpha\vec E$, $S_\mu=\alpha/c\sum_\nu H_{\mu\nu}U_\nu$ или
$\hat S=\hat H\hat U$. Это уравнение можно разложить на два:
$\vecj=\gamma\alpha(\vec E+\vec v\times\vec B)$ и $\rho=\vecj\vec v/c^2$.

\subsection*{Основные уравнения магнитной гидродинамики в идеальной
проводящей жидкости}

Если проводящая жидкая (или газообразная) среда находится в магнитном
поле, то при ее гидродинамических движениях в этой среде индуцируются
электрические поля и возникают электрические токи. Но на токи в
магнитном поле действуют силы, которые могут существенно повлиять на
движение жидкости. С другой стороны, эти токи меняют и само магнитное
поле. Т.о., возникает сложная картина магнитных и гидродинамических
явлений, которая должна рассматриваться на основе совместной системы
уравнений поля и уравнений движения жидкости.

В качестве уравнений поля в движущейся проводящей среде мы будем
пользоваться уравнениями
$$\partder{\vec H}{t}-\rot(\vec v\times\vec H)=\frac{c^2\Delta
H}{4\pi\sigma\mu},\qquad
\diver H=0.$$
Магнитная проницаемость сред, о которых может идти речь в магнитной
гидродинамике, мало отличается от единицы, и это отличие не имеет
значения для изучаемых здесь явлений. Поэтому будем полагать $\mu=1$.
Т.о., имеем уравнения
$$\diver H=0,\qquad
\partder{\vec H}{t}=\rot(\vec v\times\vec H)+\frac{c^2\Delta H}{4\pi\sigma}.$$

Гидродинамические уравнения содержат, прежде всего, уравнение
непрерывности
$\partder{\rho}{t}+\diver\vecj=0$\index{Уравнение!непрерывности} и
уравнение Навье--Стокса\index{Уравнение!Навье--Стокса} $$\partder{\vec
v}{t}+(\vec v\times\nabla)\vec v=-\frac{\nabla p}{\rho}+
\frac{\eta\Delta v}{\rho}+\rev{\rho}\Bigl(\xi+\frac{\eta}3\Bigr)
\grad\diver\vec v+\frac{\vec f}{\rho},$$
где $\eta$, $\xi$~-- два коэффициента вязкости жидкости,
а $f$~-- объемная плотность сторонних, в данном случае
электромагнитных, сил. Имеем $\vec f=\rev c\vecj\times\vec H=
\rev{4\pi}\rot\vec H\times\vec H$.
Т.о., уравнение движения жидкости принимает вид
$$\partder{\vec v}{t}+(\vec v\times\nabla)\vec v=-\frac{\nabla p}{\rho}-
\rev{4\pi\rho}\vec H\times\rot\vec H
+\frac{\eta\Delta v}{\rho}+\rev{\rho}\Bigl(\xi+\frac{\eta}3\Bigr)
\grad\diver\vec v.$$

К этим уравнениям надо еще присоединить уравнение состояния
$p=p(\rho,T)$, связывающее между собой давление, плотность и температуру
жидкости, и уравнение переноса тепла. В <<обычной>> гидродинамике
последнее имеет вид:
$$\rho T\Bigl(\partder{s}{t}+v\nabla s\Bigr)=\sigma'_{ik}\partder{v_i}{x_k}
+\diver(\chi\nabla T).$$
Здесь $s$~-- энтропия единицы массы жидкости, выражение в левой стороне
равенства представляет собой количество тепла (отнесенное к ед. объема),
выделяющееся за ед. времени в движущемся элементе жидкости. Выражение в
правой стороне равенства есть энергия, диссипируемая в том же объеме за
ед. времени.

Уравнение переноса тепла в магнитной гидродинамике:
$$\rho T\Bigl(\partder{s}{t}+v\nabla s\Bigr)=\sigma'_{ik}\partder{v_i}{x_k}
+\diver(\chi\nabla T)+\frac{c^2}{16\pi^2\sigma}(\rot\vec H)^2.$$
Уравнение сохранения энергии:
$$\partder{}{t}\Bigl(\frac{\rho
v^2}2+\rho\epsilon+\frac{H^2}{8\pi}\Bigr)=-\diver
q.$$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
\section{Плоские электромагнитные волны в прозрачном веществе}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Волновое уравнение. Скорость света в однородных изотропных телах}
\bf Электромагнитные волны\н (ЭМВ)~---\index{Электромагнитные волны}
возмущения ЭМП (т.е. переменное ЭМП), распространяющиеся в пространстве.
Утверждение о существовании ЭМВ следует из уравнений Максвелла для
ЭМП вдали от свободных электрических зарядов и
макротоков:\index{Уравнения!Максвелла}
$\rot\vec E=-\partder{\vec B}{t}$; $\rot\vec H=\partder{\vec D}{t}$;
$\diver\vec D=0$; $\diver\vec B=0$~--- и материальных
уравнений:\index{Уравнения!материальные}
$\vec D=\epsilon\epsilon_0\vec E$; $\vec B=\mu\mu_0\vec H$
(в однородных изотопных средах). Следовательно, $\rot\vec
E=-\mu\mu_0\partder{\vec H}{t}$;
$\rot\vec H=\epsilon\epsilon_0\partder{\vec E}{t}$; $\diver\vec E=0$;
$\diver\vec H=0$.

Тогда $\rot\rot\vec E=-\mu\mu_0\partder{}{t}\Bigl(\epsilon\epsilon_0
\partder{\vec E}{t}\Bigr)$. Т.к. $\rot\rot=\grad\diver-\Delta$, а
$\diver\vec E=\rho=0$, получим\ж волновое уравнение\н\index{Уравнение!волновое}:
$$\boxed{\Delta\vec H-\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0\dpartder{\vec H}{t}=0}\,,\qquad
\boxed{\Delta\vec E-\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0\dpartder{\vec E}{t}=0}\,,$$
$\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0=1/v^2$, где $v$~-- скорость распространения ЭМВ.
$v=c(\epsilon\mu)^{-1/2}$, где $c$~-- скорость распространения ЭМВ
в вакууме (\bf скорость света\н)\index{Скорость!света},
$c=(\epsilon_0\mu_0)^{-1/2}$. Т.к. у диэлектриков $\mu\sim1$,
записывают $v=c/\sqrt{\epsilon}$.

ЭМВ являются плоскими, т.е. у них $\vec E\vec H=0$, $\vec E\vec v=0$,
$\vec H\vec v=0$. Напряженности ЭП и МП в ЭМВ связаны:
$\sqrt{\epsilon\epsilon_0}E=\sqrt{\mu\mu_0}H$.

\subsection*{Плотность энергии и импульса ЭМВ. Вектор Умова--Пойнтинга}
В линейной изотропной среде плотность энергии ЭМВ
$w=\rev2\epsilon\epsilon_0E^2+\rev2\mu\mu_0H^2$, или:
$$w=\epsilon\epsilon_0E^2=\mu\mu_0H^2=\sqrt{\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0}EH=
\frac{\sqrt{\epsilon\mu}}{c}EH.$$
В случае плоской линейно поляризованной волны $\vec E=\vec E_0\sin(\omega t-
\vec k\vec x)$ ($\vec k=2\pi/\lambda$), $\vec H=\vec H_0\sin(\omega t-\vec k\vec
x)$,~\Arr
$w=\epsilon\epsilon_0E_0\sin^2(\omega t-\vec k\vec x)$;
$\aver{w}=\rev2\epsilon\epsilon_0E^2$. Для произвольно поляризованного
излучения $\vec E=\vec E_1\sin(\omega t+\vec k\vec x)+\vec E_2
\sin(\omega t+\vec k\vec x+\phi)$, $\aver{w}=\rev2\epsilon\epsilon_0(E_1^2+
E_2^2)$.

\bf Вектором Умова--Пойнтинга\н\index{Вектор!Умова--Пойнтинга}
называют вектор плотности потока энергии ЭМВ:
$$\boxed{\vec P=\omega\vec v=\vec E\times\vec H}\,.$$
Для линейно поляризованной волны $P=\sqrt{\frac{\epsilon\epsilon_0}{\mu\mu_0}}
E^2\sin^2(\omega t-kx)$.

\bf Интенсивность\н ЭМВ $I=|\aver{\vec P}|=\aver{w}v$. Под интенсивностью
света обычно понимают $E^2$.
Для линейно поляризованных волн
$I=\rev2\sqrt{\frac{\epsilon\epsilon_0}{\mu\mu_0}}E^2$,
для эллиптически поляризованных:
$I=I_x+I_y=\rev2\sqrt{\frac{\epsilon\epsilon_0}{\mu\mu_0}}
(E_1^2+E_2^2)$.

\subsection*{Плотность импульса ЭМВ. Давление света. Опыты Лебедева}
На объем $V$ со стороны ЭМП действует сила $\vec F=\Int_V\vec f\,dV$, где
$\vec f=\rho\vec E+\rho\vec v\times\vec B$~--\ж плотность силы
Лоренца\н\index{Сила!Лоренца}.
Уравнения Максвелла: $\rho\vec v=\rot\vec H-\partder{\vec D}{t}$,
$\rho=\diver\vec D$,~\Arr
$$\vec f=\vec E\diver\vec D+(\rot\vec H)\times\vec B-\partder{\vec
E}{t}\times\vec B.$$
Т.к. $\diver\vec B=0$ и $\rot\vec E=-\partder{\vec B}{t}$,~\Arr
$$\vec f=\vec E\diver\vec D+\vec H\diver\vec D+(\rot\vec H)\times\vec B+
(\rot\vec E)\times\vec D-\partder{}{t}(\vec D\times\vec B),$$
$$f_x=\diver\Phi-\partder{}{t}(\vec D\times\vec B)_x,$$
$$\Phi_x=D_xE_x+H_xB_x-\frac{\vec D\vec E+\vec H\vec B}2,\quad
\Phi_y=D_yE_y+H_yB_y,\quad \Phi_z=D_zE_z+H_zB_z.$$
Т.к. $\vec D\times\vec B=\vec E\times\vec H/c^2$, получим:
$$F_x=\Int_V f_xdV=\Int_V\diver\Phi\,dV-\partder{}{t}\Int_V
\rev{c^2}(\vec E\times\vec H)_xdV,\qquad\vec F=\frac{d\vec G^\text{част}}{dT},$$
где $\vec G^\text{част}$~-- импульс частиц в объеме~$V$,~\Arr
$$\frac{d}{dt}\Bigl(G^\text{част}_x+\Int\rev{c^2}(\vec E\times\vec
H)_x\,dV\Bigr)=
\Int_S\Phi\,dS\equiv F_x^\text{пов}.$$

Импульс ЭМП: $\displaystyle G_x=\Int\rev{c^2}(\vec E\times\vec H)_xdV$,
$\vec G=\Int_V\vec g\,dV$, где $\vec g$~--\ж плотность импульса
ЭМП\н\index{Плотность!импульса},
$\vec g=\rev{c^2}\vec E\times\vec H=\vec P/c^2$.

Таким образом, можно вычислить давление, оказываемое ЭМП при нормальном
падении на некоторую поверхность: $p=cg=EH/c=\epsilon_0E^2=w$. Согласно
теории Максвелла, $p=I(1+R)\cos^2 i/v=\aver{w}(1+R)\cos^2 i$,
где $R$~-- коэффициент отражения, $i$~-- угол падения ЭМВ.

\subparagraph{Опыты Лебедева:}
\
\begin{enumerate}\index{Опыты Лебедева}
\item Исследование прохождения ЭМВ с длиной волны $\lambda=6\,$мм в
кристаллах (результат опыта: открытие двойного лучепреломления ЭМВ).
\item Измерение светового давления на твердые тела и газы
(результат: подтверждение теории Максвелла).
\end{enumerate}

\subsection*{Поглощение электромагнитных волн}
\bf Поглощение света\н\index{Поглощение света}~--- явление уменьшения
энергии ЭМВ при ее распространении в веществе (вследствие преобразования
энергии волны во внутреннюю энергию вещества, либо в энергию
вторичного излучения).

\bf Закон Бугера--Ламберта\н\index{Закон!Бугера--Ламберта}:
интенсивность прошедшего через слой вещества толщиной~$x$
изменяется по закону $I=I_0\exp(-a'x)$, где $a'$~--\ж
натуральный показатель поглощения среды\н\index{Показатель!поглощения}.
Для разбавленных растворов справедлив\ж закон Бэра\н\index{Закон!Бэра}:
$a'=bc$, где $c$~-- концентрация раствора. В сильно концентрированных
растворах закон Бэра нарушается вследствие взаимодействия молекул
вещества.

Согласно закону Бугера--Ламберта, $E=E_0\exp(-\rev2a'x)\cos(\omega t-
\vec k\vec x)$, или $E=E_0\exp(i\omega[t-\tilde n x/c])$.
Величину $\boxed{\tilde n=n-i\kappa}$ называют\ж комплексным
показателем преломления\н\index{Показатель!преломления} вещества,
$\boxed{n=\sqrt{\epsilon\mu}}$~--\ж показатель преломления\н,
$\boxed{\kappa=\frac{a'c}{2\omega}=\frac{a'\lambda_0}{4\pi}}$~--\ж
главный показатель поглощения\н\index{Показатель!поглощения},
$\lambda_0=n\lambda$~-- длина волны света в вакууме.

\subsection*{Модулирование волны. Волновые пучки и пакеты}
\bf Модуляция\н~---\index{Модуляция} изменение по какому-либо
закону одного из параметров периодического колебания (амплитуды,
частоты или фазы).

\bf Амплитудная модуляция\н: $A=A_0b(t)\sin(\omega_0t+\phi_0)$,
где $A$~-- напряженность магнитного, либо электрического поля в волне.
$b(t)$~-- закон модуляции волны. Если $b(t)=b_0\cos\Omega t$, то
такую волну можно характеризовать как суперпозицию трех волн
с частотами~$\omega_0$ и~$\omega_0\pm\Omega$. Волну с частотой~$\omega$
называют\ж несущей\н, а~$\omega_0\pm\Omega$~--- боковыми составляющими.

\bf Частотная модуляция\н: $A=A_0\sin(\omega_0[1+b(t)]t+\phi_0)$,
$b(t)<1$, $\Omega\ll\omega_0$. При гармоническом законе модуляции
$A=A_0\sin(\omega_0[1+b_0\cos\Omega t]t+\phi_0)$.

\bf Фазовая модуляция\н: $A=A_0\sin(\omega_0t+b(t))$,
$b(t)=\Delta\phi\cos\Omega t$, $\Omega\ll\omega_0$.

В общем случае могут сочетаться разные виды модуляции (например,
биения).

\bf Волновой пакет\н\index{Волновой пакет}~--- суперпозиция волн, с частотами,
мало отличающимися друг от друга (от $\omega_0-\Delta\omega/2$ и до
$\omega_0-\Delta\omega/2$,
где $\Delta\omega$~--\ж ширина волнового пакета\н):
$$E(x,t)=\Int_{\omega_0-\Delta\omega/2}^{\omega_0+\Delta\omega/2}
A_\omega\cos(\omega t-k_\omega x+\phi_\omega)\,d\omega.$$

Согласно принципу суперпозиции волн и основам Фурье-анализа, любую
несинусоидальную волну можно заменить суммой синусоидальных, эквивалентной
ей, т.е. представить волну в виде группы волн (волнового пакета). Совокупность
частот данного волнового пакета называется\ж спектром частот\н\index{Спектр}
рассматриваемой несинусоидальной волны.

Простейшей группой волн является квазисинусоидальная плоская волна,
получающаяся в результате суммирования двух распространяющихся вдоль оси $X$
волн с равными амплитудами и близкими частотами:
$$A=A_0[\sin(\omega t-kx)+\sin((\omega+d\omega)t-(k+dk)x)=
2A_0\cos\rev2(t\,d\omega-x\,dk)\sin(\omega t-kx).$$
Эта волна характеризуется переменной амплитудой $A_1=2A_0\cos\rev2(
t\,d\omega-x\,dk)$, медленно изменяющейся с изменением времени
и расстояния.

За\ж скорость распространения\н несинусоидальной волны принимают
скорость перемещения точки~$M$ с фиксированной амплитудой,
т.е. из условия~$A_1=\const$, получим: $t\,d\omega-x\,dk=\const$,~\Arr
$u=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d\omega}{dk}$~---\ж групповая
скорость\н\index{Скорость!групповая},
в отличие от\ж фазовой скорости\н\index{Скорость!фазовая}:
$v=\omega/k$.
Групповая и фазовая скорости связаны между собой:
$\boxed{u=v-\lambda\dfrac{dv}{d\lambda}}\,$.

\subsection*{Монохромные и квазимонохромные волны.}
\bf Монохромная световая волна\н\index{Волна!монохромная}~--- ЭМВ одной
определенной частоты~$\omega$, т.е. синусоидальная ЭМВ. Т.о.,\ж
квазимонохромной\н
можно назвать квазисинусоидальную волну~--- волновой пакет.

Если ширина волнового пакета~$\Delta\omega$ значительно меньше основной
частоты~$\omega_0$, волну называют\ж узкополосной\н. Соответственно,
при $\Delta\omega\gtrsim\omega_0$ ее называют\ж широкополосной\н.

\subsection*{Фурье--анализ и Фурье--синтез волновых полей}
Рассмотрим комплексную амплитуду плоской волны $E=\rev2\E(\vec r)\exp(i\omega
t)$,
удовлетворяющую\ж уравнению Гельмгольца\н\index{Уравнение!Гельмгольца}:
$\Delta\E+k^2\E=0$ ($k=\omega/c$).
Найдем решение уравнения, удовлетворяющее ГУ $\E(x,y,z)|_{x=y=z=0}=\E_0(x,y)$,
волна распространяется вдоль оси~$OZ$.

Разложим двумерное поле $\E_0(x,y)$ в интеграл Фурье:
$$\E_0(x,y)=\Bigl(\rev{2\pi}\Bigr)^2\Int_{-\infty}^\infty\E_0(k_x,k_y)
\exp(-i[k_xx+k_yy])\,dk_x\,dk_y.$$
Из уравнения Гельмгольца
$\E(k_x,k_y,z)=\E_0(k_x,k_y)\exp(-iz\sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2})$
получим:
$$\E(x,y,z)=\Int_{-\infty}^\infty\E_0(x',y')H(x-x',y-y',z)\,dx'\,dy',$$
где $H(x,y,z)=\dfrac1{(2\pi)^2}\Int_{-\infty}^\infty\exp
\bigl[-i(k_xx+k_yy+z\sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2})\bigr]\,dk_x\,dk_y$~--\ж функция
Грина\н\index{Функция!Грина}. Если световой пучек расходится слабо, т.е.
$k_x^2\ll k^2$ и $k_y^2\ll k^2$, то
$H=\dfrac{i}{\lambda z}\exp(-ik[z+\rev{2z}\{x^2+y^2\}])$, тогда
$$\E(x,y,z)=\frac{i}{\lambda z}\exp(-ikz)\Int_{-\infty}^\infty
\E_0(x',y')\exp\Bigl(-\frac{ik}{2z}\bigl[(x-x')^2+(y-y')^2\bigr]\Bigr)\,dx'\,
dy'.$$

Таким образом,\к волновая картина в любом участке преобразования
является преобразованием Фурье начальной плоской волны\н.
Преобразователем Фурье можно выбрать, например, линзу~--- распределение
света в ее фокальной плоскости приобретает форму\ж пространственного
спектра\н\index{Спектр!пространственный} поля, падающего на линзу (\bf
Фурье--анализ изображения\н\index{Фурье--анализ}). Так получают
Фурье--спектры оптических изображений.

Можно провести и обратную операцию~---\ж Фурье--синтез\н
изображения\index{Фурье--синтез}. При построении объекта линзой мы
сначала проводим Фурье--анализ объекта (область от линзы до ее фокальной
плоскости), получая в задней фокальной плоскости Фурье--образ поля,
испущенного объектом, затем в пространстве между задней фокальной
плоскостью и плоскостью изображения происходит Фурье--синтез
изображения.

Кроме линзы преобразователями Фурье являются дифракционные
приборы: дифракционные решетки, интерферометр Фабри--Перо и т.п.

\subsubsection*{Фурье--фильтрация изображений}
\bf Опыты Аббе--Поттера\н\index{Опыт!Аббе--Поттера}
основывается на свойствах двумерного преобразования фурье. Так, если в
передней фокальной плоскости линзы поместить щель, на изображении будут
размыты элементы, параллельные щели. При этом если наблюдать изображение
решетки, помещая щель параллельно одной из ее сторон, получим
изображение только полос, перпендикулярных щели.

\bf Метод темного поля\н\index{Метод!темного поля} применяется
в микроскопии прозрачных объектов: в фокусе микроскопа помещается
непрозрачный диск, что приводит к уменьшению общей освещенности
фона и протяженных объектов (малые пространственные частоты,
граница которых определяется размером диска) и повышению контраста
мелких деталей. Т.е. в этом случае задерживаются прямые лучи,
не несущие информации о структуре объекта.

\bf Метод фазового контраста\н\index{Метод!фазового контраста}:
при прохождении через объект с варьирующимся показателем преломления,
свет приобретает фазовый рельеф, который при помощи фазовой
пластинки, размещенной в фокусе микроскопа, можно превратить в
амплитудный рельеф (фоновая волна сдвигается на половину периода,
что позволяет еще лучше увеличить контраст изображения, чем метод
темного поля).

\bf Голография\н\index{Голография}~--- наиболее полный метод Фурье--анализа,
записи и синтеза изображения, основанный на явлении\ж интерференции\н.

\subsection*{Спектральная плотность мощности}
\bf Спектральная плотность излучения\н\index{Плотность!спектральная}:
$\rho(\omega,T)=\dfrac{dw}{d\omega}$, где $T$~--- температура
излучающего абсолютно черного тела~(АЧТ), $w$~--- плотность мощности
излучения. Тогда плотность излучения $w=\Int_0^\infty\rho\,d\omega$.
Равновесное излучение АЧТ является изотропным\index{Изотропия}
(т.е. оно не поляризовано и равновероятно распространяется во
всех направлениях).

Энергия излучения, падающего за единицу времени на единицу
площади какого-либо тела, определяется выражением
$dW=\dfrac{c}4\rho(\omega,T)\,d\omega$. Функцию $r^*_\omega=
\dfrac{c}4\rho(\omega,T)$ называют\ж функцией
Кирхгофа\н\index{Функция!Кирхгофа},
она определяется как отношение коэффициента излучения АЧТ на данной
частоте к коэффициенту поглощения данным телом.
Согласно Планку,\index{Формула!Планка}
$$\rho(\omega,T)=\frac2{\pi c^3}\frac{\hbar\omega^3}
{\exp\Bigl(\frac{\hbar\omega}{kT}\Bigl)-1}.$$

\input{adddd/37}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Явление интерференции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Интерференция монохроматических волн. Получение интерференционной
картины делением фронта (Юнг) и амплитуды (Френель)}
\bf Интерференция\н\index{Интерференция}~--- явление усиления или
ослабления света при наложении световых волн. При сложении двух волн
$E=E_0\cos(\omega t-kx)$ результирующая интенсивность равна
$I=\rev2I_0(1+\cos\delta)$, где $\delta$~-- разность фаз волн в
данной точке.

Максимальная интенсивность наблюдается в случае, когда $\delta=2\pi k$,
минимальная~--- при $\delta=(2k+1)\pi$.

Получить интерференционную картину можно, разделяя волновой фронт на
части (метод Юнга~--- интерференция на двух щелях, дифракционной решетке),
или  же деля амплитуду волны (Френель~--- дифракция в ближней зоне).

Метод Юнга заключается в делении волнового фронта двумя узкими
щелями, играющими роль когерентных вторичных источников.
Метод Френеля состоит в делении амплитуды волны двумя зеркалами,
расположенными под углом, близким к $180\degr$ друг к другу.
Роль вторичных когерентных источников играют изображения
входной щели.

\subsection*{Полосы равных толщин и наклона}
\subsubsection*{Полосы равного наклона}
При интерференции в плоскопараллельной пластинке наблюдается наложение
\float{L}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Interfer_v_parall_plast}}
волн, отраженных от передней и задней стенок. Разность хода волн равна
$\Delta=2ABn-AD$, где $n$~--- показатель преломления плоскопараллельной
пластины. $AD=AC\sin\alpha$, $AC=2AB\sin\beta$, $AB=h/\cos\beta$,~\Arr
$\boxed{\Delta=2hn\cos\beta}$.

Т.е. $\Delta$ зависит от угла падения света (по закону
Снеллиуса\index{Закон!Снеллиуса},
$\sin\alpha=n\sin\beta$). Таким образом, при интерференции на плоскопараллельной
пластине в дальнем поле наблюдаются полосы равного наклона.

\subsubsection*{Полосы равной толщины}
Данная интерференционная картина наблюдается при интерференции
на клине. Разность фаз $\Delta\approx2hn\cos\beta$ зависит в данном
случае от толщины~$h$, т.е. интерференционная картина наблюдается в
ближнем поле, и, в отличие от полос равного наклона, полосы равной
толщины являются действительным изображением.

\subsection*{Интерферометр Майкельсона}\index{Интерферометр!Майкельсона}
\float{R}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Interferometr_Maik}}
На схеме обозначены: $P_1$~-- полупрозрачное зеркало, $P_2$~--
компенсатор (сделанный из того же материала, что и $P_1$ и
имеющий ту же толщину, но лишенный зеркального покрытия).

В случае, когда на вход интерферометра Майкельсона попадает параллельный
пучек света, наблюдаются интерференционные полосы, в случае
расходящегося пучка~--- кольца равного наклона (как и в случае,
когда $M_1$ и~$M_2$ не перпендикулярны).

\subsection*{Когерентность волн}
\float{L}{\includegraphics[width=4cm]{pic/Vidnost}}
\bf Когерентность\н\index{Когерентность}~--- упорядоченность структуры света,
близость ее к идеальной гармонической волне.
\subparagraph{Временн\'ая когерентность.} Для характеристики интерференционной
картины вводят величину~---\ж видность\н\index{Видность}
$\gamma=\dfrac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}$.
На рисунке представлена экспериментальная зависимость видности
от относительной задержки лучей в интерферометре~$\tau$.
Величину~$\tau_k$ называют\ж временем когерентности\н,
а~$l_k=c\tau_k$~---\ж длиной когерентности\н.

Можно доказать, что $\gamma$ является коэффициентом автокорреляции
комплексной амплитуды излучения $E(t)=\rev2\E(t)\exp(i\omega_0t)$:
$$\gamma(\tau)=\frac{\aver{\E(t)\E^*(t+\tau)}}{\aver{\E\E^*}}.$$
Это обосновывает интерференцию на тонких пленках и ее отсутствие
в толстых пластинах.

\subparagraph{Пространственная когерентность.}
\float{R}{\includegraphics[width=4cm]{pic/Vidnost2}}
Опыт показывает, что видность зависит и от расстояния между
щелями в опыте Юнга. Назовем пространственной когерентностью способность
света давать интерференционную картину в интерферометре Юнга.
Параметр~$r_k$ называют\ж радиусом когерентности\н. Его легко
измерить экспериментально при помощи интерферометра
Юнга.

\subsection*{Фурье--спектроскопия}
Интерферометр Майкельсона можно использовать для прямого измерения
автокорреляционной функции $B(\tau)=\aver{E(t)E(t+\tau)}$. Согласно\ж
теореме Винера--Хинчина\н\index{Теорема!Винера--Хинчина},
$B(\tau)$ связана со спектром мощности~$G(\omega)$ Фурье--преобразованием:
$$G(\omega)=\rev{\pi}\Infint B(\tau)\e^{-i\omega\tau}\,d\tau.$$

Фурье--спектрометры осуществляют непрерывное кодирование длин волн
с помощью интерференционной модуляции, представляющей собой интерферометр
Майкельсона. При равномерном перемещении зеркала~$M_2$ в интерференционной
картине возникает периодическое мерцание от каждой монохроматической
составляющей входного излучения. Суперпозиция таких вкладов от всего
поступающего на вход интерферометра спектра регистрируется в функции
разности хода, при преобразовании которой с помощью ЭВМ
получают искомый спектр.

Фурье--спектрометры одновременно реализуют два выигрыша: за счет
многоканальности и за счет увеличения входного отверстия.
Они наиболее эффективны при регистрации спектров слабых
излучений (особенно в ИК области, где уменьшаются требования
к точности изготовления интерферометра).
Разрешение таких спектрографов в ИК области достигает величины~$3\cdot10^6$.

\subsection*{Интерферометр Юнга. Звездный интерферометр Майкельсона}
\subsubsection*{Интерферометр Юнга}\index{Интерферометр!Юнга}
\float{O}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Interferometr_Yunga}}
Интерферометр Юнга представляет собой две щели, разнесенные на
расстояние~$S$ друг от друга и представляющие собой вторичные
когерентные источники. Обычно~$L\gg x\gg S$.
Суммарная освещенность экрана $E=E_1+E_2$, где $E_1=\rev2\E_1\exp
(i\omega_0[t-l_1/c])$, $E_2=\rev2\E_2\exp(i\omega_0[t-l_2/c])$.
Интенсивность $I=2I_0(1+R)$, где $R=\aver{E_1E_2}/\aver{E^2}$.

Положим для простоты $\aver{\E_1\E_2^*}=\aver{\E_1^*\E_2}$.
Тогда $\aver{E_1E_2}=\rev2\aver{\E_1\E_2}\cos(k_0\Delta)$, где
$k_0=\omega_0/c$, $\Delta=l_1-l_2$~-- разность хода между лучами.

Пусть $\vec r_1=\vec r$, $\vec r_2=\vec r+\vec S$, $\vec S=\lvec{O_1O_2}$,
тогда $R=b(\vec S)\cos(k_0\Delta)$, $b=\dfrac{\aver{\E(\vec r)\E(\vec r+\vec
S)}}
{\E\E^*}$; $\Delta=Sx/L$. Пусть $q=Sk_0/L$, тогда
$\boxed{\aver{I}=2I_0[1+b(\vec S)\cos qx]}$.

Период интерференционной картины $\delta x=\lambda L/S$. Таким
образом, по интерференционной картине можно определить длину
волны входящего излучения.

\subsubsection*{Звездный интерферометр
Майкельсона}\index{Интерферометр!Майкельсона!звездный}
\float{I}{\includegraphics[width=7cm]{pic/Interferometr_Maik_star}}
Для измерения угловых размеров близких звезд используется звездный интерферометр
Майкельсона. Зеркала~$M_3$ и~$M_4$ неподвижны, а~$M_1$ и~$M_2$ симметрично
смещаются, удаляясь или сближаясь.

Видность картины зависит от расстояния~$l$ между зеркалами~$M_1$ и~$M_2$.
Определим значение~$l$, при которой видность равна нулю. Это расстояние
имеет порядок длины когерентности $r\ind{ког}$. Т.к. $r\ind{ког}=\lambda/\phi$,
получим: $\phi=\lambda/l$, где $\phi$~-- угловой размер звезды.
Более точный расчет дает $\phi=1.22\lambda/l$.

\subsubsection*{Оценка длины когерентности}
%\float{O}{\includegraphics[width=5cm]{pic/L_koger}}
Рассмотрим неточечный источник диаметра~$a$. Очевидно, размер
источника не будет влиять вид интерференционной картины в
случае, когда разности хода лучей от краев источника
$|\Delta_1-\Delta_2|\ll\lambda$.

Очевидно, в интерференционных экспериментах выполняется
условие $a\ll s\ll z$, $|\Delta_1-\Delta_2|\approx as/z$.
Следовательно, источник можно считать точечным при
$as/z\ll\lambda$,~\Arr $\boxed{r\ind{ког}=\lambda z/a}$:
длина когерентности увеличивается при увеличении~$z$
(в этом случае сферические волны от щелей сближаются).

Для Солнца $z=150$\,млн.\,км., $a=0.7$\,млн.\,км.
Считая $\lambda=5000\Ang$, получим:
$r\ind{ког}=10^{-4}$\,м. Для рассеянного солнечного света
можно считать~$a\approx z$, тогда $r\ind{ког}\approx10^{-6}$\,м.

Для лазера свет может быть когерентным по всему поперечному
сечению пучка. Для получения крупных голограмм используются
лазеры с сечением пучка порядка~1\,м.

Длина когерентности определяется и шириной спектра излучателя:
$r\ind{ког}=2\pi c/\Delta\omega$~\Arr чем уже спектр, тем
большей будет длина когерентности и время когерентности.
Так, для лазеров длина когерентности может достигать нескольких
километров.

\subsection*{Многолучевая интерференция}
\float{O}{\includegraphics[width=7cm]{pic/IFP}}
Для исследования тонкой структуры спектра необходимы спектральные
приборы с высоким разрешением. Одним из таких приборов является
интерферометр Фабри--Перо~(ИФП),\index{Интерферометр!Фабри--Перо}
состоящий из двух клиновидных пластин с параллельными
внутренними сторонами, покрытыми светоотражающим слоем
(например, алюминием). Пространство между пластинами может
быть заполнено инертным газом.

Для изучения входного излучения снимаются последовательно
интерференционные картины (представляющие собой кольца),
полученные посредством изменения расстояния между
пластинами, либо изменения давления в пространстве между
ними. Благодаря значительному количеству интерферирующих
лучей (десятки тысяч), ИФП дает очень резкую интерференционную
картину.

Картина представляет собой резкие главные максимумы, между которыми находится
$N-1$ побочный максимум ($N$~-- количество интерферирующих лучей).
Чем большим будет~$N$, тем меньшей будет интенсивность побочных
максимумов и тем уже будут главные максимумы.

\bf Резкостью интерферометра\н называют величину $\mathfrak F=2\pi/\epsilon$,
где $\epsilon$~--\ж полуширина\н\index{Полуширина} главного максимума
(ширина на уровне $I=0.5I_0$), $\pi$~-- расстояние между главными
максимумами. При известном коэффициенте отражения ИФП, $R$, резкость
вычисляется по формуле $\boxed{\mathfrak F=\dfrac{\pi}{1-R}}$.

\float{I}{\includegraphics[width=5cm]{pic/3ray-interfer}}
Рассмотрим интерференцию трех лучей. В точке~$0$ разности фаз
лучей относительно луча~$B$, $\Delta_A=\Delta_C=2\pi$, эта
точка~--- нулевой главный максимум. В точках $-1$ и $+1$
$\Delta_A=0,4\pi$, $\Delta_C=4\pi,0$~--- точки первого
главного максимума. В точках $\pm0.5$ $\Delta_A=\pi/2,3\pi/2$,
$\Delta_C=3\pi/2,\pi/2$, $\Delta=\Delta_A+\Delta_C=2\pi$~---
максимум интерференции лучей~$A$ и~$C$, луч~$B$ несколько уменьшает
результирующую яркость, в результате чего в данных точках
наблюдаются побочные максимумы.

Если рассматривать интерференцию~$N$ источников, между главными
максимумами будет наблюдаться~$N-1$ побочный с разностью фаз
$\Delta=2\pi/N$, $n=\overline{1,N-1}$. Побочные максимумы
образованы попарной интерференцией источников, поэтому, естественно,
что при увеличении~$N$ будет уменьшаться яркость побочных
максимумов по сравнению с главными. Интенсивность главных
максимумов пропорциональна~$N^2$, ширина~--- обратно
пропорциональна~$N$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Явление дифракции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Принцип Гюйгенса--Френеля}
\bf Дифракция\н\index{Дифракция}~--- явление нарушения
прямолинейности распространения света (иногда используют такое
определение: явление огибания световыми волнами препятствий).
Положение волнового фронта в классической оптике определяется\ж принципом
Гюйгенса\н\index{Принцип!Гюйгенса}:\к каждая точка фронта волны является
источником вторичных волн, положение волнового фронта в любой момент
времени определяется огибающей вторичных волн\н.

\float{O}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Huehens_principle}}
Френель дополнил принцип Гюйгенса.\ж Принцип
Гюйгенса--Френеля\н\index{Принцип!Гюйгенса--Френеля}~---\к
вторичные волны интерферируют между собой, световое поле
является результатом интерференции элементарных вторичных волн,
испущенных каждым элементом волновой поверхности\н.

Рассмотрим поверхность~$\Sigma$, окружающую источник света, и некоторую
точку~$M$ на этой поверхности. Будем считать элемент~$\vec{d\sigma}$
вокруг точки~$M$ источником света. Предположим, что испускаемые им
волны~--- монохроматические, $E=\rev2\E\exp(i\omega t)$. Тогда суммарная
интенсивность в некоторой точке~$P$ определяется\ж интегралом
Гюйгенса--Френеля\н\index{Интеграл!Гюйгенса--Френеля}:
$$\E(P)=\Int_\Sigma\E(M)\frac{\exp(-ik\rho)}{\rho}K(\phi)\,d\sigma,$$
где $\rho=MP$, $k=\omega/c=2\pi/\lambda$~-- волновой вектор,
$K(\phi)$~-- <<коэффициент наклона>>, учитывающий зависимость
результирующего поля от угла~$\phi$. Интеграл Гюйгенса--Френеля
позволяет учесть фазы пришедших в точку~$P$ волн и рассчитать итоговую
интерференционную картину.

\subsection*{Зоны Френеля}
\float{O}{\includegraphics[width=4cm]{pic/Frehnel_zone}}
Выделим на волновой поверхности~(см. рис.), имеющей вид сферы с центром
в точке~$S$, кольцевые зоны так, чтобы расстояния от границ
этих зон до точки наблюдения изменялись на~$\lambda/2$:
$M_0P=OP+\lambda/2$, \ldots~, $M_nP=M_{n-1}P+\lambda/2$.
Такие кольцевые зоны называются\ж зонами Френеля\н\index{Зоны Френеля}.

Каждую зону Френеля можно рассматривать как источник двух волн,
имеющих определенную фазу: $r_0^2=a^2-(a-x)^2$,
$r_0^2=(b+\lambda/2)^2-(b+x)^2$,~\Arr $2ax=b\lambda-2bx+(\lambda/2)^2$.
Обычно $a,b\gg\lambda,x$, поэтому
$$x=\frac{b\lambda}{2(a+b)},\quad r_0\approx\sqrt{2ax},\qquad
\boxed{r_0=\sqrt{\frac{\lambda ab}{a+b}}}\,.$$
$$r_n=\sqrt{(n+1)\frac{\lambda ab}{a+b}}=r_0\sqrt{n+1},\qquad
\boxed{S_n=\pi(r_n^2-r_{n-1}^2)=\pi r_0^2=\const}\,.$$

Число открытых зон Френеля называется\ж числом Френеля\н\index{Число!Френеля}.
Для определения амплитуды и фазы колебания, получающегося путем
сложения нескольких других колебаний, используются\ж
векторные диаграммы\н\index{Диаграмма!векторная} в
комплексной фазовой плоскости $\Re A$, $\Im A$.
Фаза волны $\phi=\arctg\frac{\Im A}{\Re A}=\arctg(y/x)$,
амплитуда $|A|=\sqrt{\Re^2 A+\Im^2 A}=\sqrt{x^2+y^2}$,
где $x,y$~-- координаты искомой точки на диаграмме.

\float{O}{\includegraphics[width=5cm]{pic/Vec-diagram}}
Для анализа\ж дифракции Френеля\н\index{Дифракция!Френеля}
(дифракция на малых отверстиях или препятствиях)
используется\ж спираль Френеля\н\index{Спираль Френеля}:
все зоны разбиваются на множество подзон с одинаковым
сдвигом фаз (в идеале~--- на бесконечное количество подзон).
Интерференционная картина отображается на векторной
диаграмме в виде спирали~(см. рис.). Для получения значения интенсивности
излучения, полученного в результате дифракции на~$N$ открытых
зонах, проводят вектор из начала координат фазовой
диаграммы в точку на спирали Френеля, отображающую данное
количество зон.

\index{Дифракция!на отверстии}
При дифракции на отверстии максимум интенсивности наблюдается при
открытой нулевой зоне ($I\lessapprox4I_0$),
минимум~-- при открытых нулевой и первой зоне ($I\gtrapprox0$).

\index{Дифракция!на экране}
Для получения интенсивности в случае дифракции на экране,
искомый вектор нужно проводить из точки~$I_0$, соответствующей
бесконечному числу открытых зон Френеля. В этом случае наибольшей
интенсивности ($I=I_0$) соответствует отсутствие экрана.
При открытой первой зоне~$I\lessapprox I_0$. Итоговая интенсивность
будет равна нулю только при полном экранировании падающего
излучения, в остальных случаях в центре дифракционной
картины всегда будет наблюдаться главный максимум (в отличие
от дифракции на отверстии, где в случае четного количества
открытых зон в центре картины наблюдается минимум).

\subsection*{Зонные пластинки}
\bf Зонная пластинка\н\index{Зонная пластинка} представляет
собой пластинку с затемненными участками, соответствующими
четным или нечетным номерам зон Френеля. Зонная пластинка
работает как линза, перераспределяя излучение в пространстве.
Внесение зонной пластинки между точками~$S$ и~$P$ многократно
увеличивает интенсивность излучения в~$P$. Зонная
пластинка обладает несколькими фокусами. Действительно,
$r_n=\sqrt{(n+1)\lambda F}$, $F=r_n^2/([n+1]\lambda)$
(т.к. $F=ab/(a+b)$).

Помимо зонных, распространены также\ж фазовые
пластинки\н\index{Фазовая пластинка}, представляющие собой
пластинки из прозрачного материала, на поверхности которой
нанесены кольцевые утолщения так, чтобы излучение от четных
и нечетных зон Френеля отличалось по фазе на~$\lambda/2$.
Фазовая пластинка имеет большую светопроницаемость по
сравнению с зонной.

\subsection*{Дифракция на краю полубесконечного экрана. Спираль Корню}
\index{Дифракция!на краю экрана}
Разобьем плоскую волновую поверхность, падающую на экран,
на параллельные краю экрана зоны. Ширина $n$-й зоны
$d_n^2=(l+n\lambda/2)^2-l^2\approx nl\lambda+(n\lambda/2)^2$,~\Arr
$d_n\approx\sqrt{nl\lambda}$, где $l$~-- расстояние от края экрана до
внутренней границы зоны.
Площадь зон $S_n=(d_{n+1}-d_n)L\approx L/2\sqrt{\lambda l/n}$,
где $L$~-- длина края экрана. Т.о., в данном случае площадь зон
убывает пропорционально~$n^{-1/2}$.

Если отодвигать экран назад, будут открываться новые зоны Френеля,
симметричные относительно начала координат на векторной диаграмме.
В данном случае векторная диаграмма носит название\ж
спирали Корню\н\index{Спираль Корню}. Правая ветвь спирали Корню
позволяет рассчитать результирующую интенсивность при дифракции
на краю экрана.

\subsection*{Теория дифракции Кирхгофа. Приближения Френеля и Фраунгофера}
\float{O}{\includegraphics[width=8cm]{pic/Spiral_Kornyu}}
\bf Дифракционной длиной светового пучка\н\index{Длина!дифракционная}, $Z_d$,
называют расстояние, на котором отверстие совпадает с нулевой
зоной Френеля. Область расстояний $Z\ll Z_d$ называют\ж ближней
зоной\н\index{Ближняя зона}, а $Z\gg Z_d$~--\ж дальней зоной\н\index{Дальняя
зона}.
В дальней зоне интенсивность пучка на оси значительно меньше интенсивности
исходной волны, наблюдается явление дифракционного расширения
светового пучка.

$Z-d=r^2/\lambda$; количество зон Френеля, помещающихся в
отверстии, $N-F=r^2/(\lambda Z)=Z_d/Z$,~\Arr в ближней зоне
$N_F\gg1$, а в дальней $N_F\gtrapprox0$.

Естественно допустить, что положение границы светового пучка определяется
из условия~$\Delta=\lambda/2$, тогда, т.к. $\Delta\approx\sin(
\theta_d/2)$, получим выражение для\ж угла расходимости
светового пучка\н: $\boxed{\theta_d=\lambda/d}$,
а диаметр пучка можно определить по выражению
$d(Z)=\lambda Z/d_0$.

Общий метод решения дифракционной задачи предложил Кирхгоф. Из волнового
уравнения, $\Delta E-\dfrac1{c^2}\dpartder{E}{x}=0$, получим:
$\boxed{\Delta\E+k^2\E=0}$ (\bf уравнение
Гельмгольца\н\index{Уравнение!Гельмгольца}). Его решения:
$\E=\E_0\exp(-i\veck\vec r)$
и $\E=A\exp(-i\veck\vec r)/r$, соответствующие плоской и сферической
волнам соответственно.

%\float{O}{\includegraphics[width=6cm]{pic/Kirhgoff}}
Теория Кирхгофа рассматривает дифракцию сферической волны.
Граничные условия Кирхгофа: на теневой стороне экранов~$\E=0$,
$\partder{\E}{\vec n}=0$ ($\vec n$~-- нормаль к волновой поверхности);
в пределах отверстия~$\E$ и~$\partder{\E}{\vec n}$ таковы, как если
бы экраны отсутствовали.
Решение задачи Кирхгофа называют\ж интегралом
Кирхгофа--Гельмгольца\н\index{Интеграл!Кирхгофа--Гельмгольца}:
$$\E(P)=\Int_\Sigma\E(M)\frac{\exp(-i\veck\vec\rho)}{\rho}K(\phi)\,d\sigma,$$
где интегрирование ведется по поверхности волнового фронта,
$K(\phi)=\dfrac{i}{\lambda}(1+\cos\phi)/2$ имеет отличную
от ядра интеграла Гюйгенса--Френеля форму.

Теория Кирхгофа основывается на\ж теореме
Кирхгофа--Гельмгольца\н\index{Теорема!Кирхгофа--Гельмгольца}:
$$\E(P)=\rev{4\pi}\Oint_S\left(G\partder{\E}{\vec n}-\E
\partder{G}{\vec n}\right)\,dS,\quad\text{где }
G=\frac{\exp(-i\veck\vec\rho)}{\rho}
\text{ ---\ж функция Грина.\index{Функция!Грина}}$$

Приближения теории Кирхгофа для ближней и дальней зоны называют
приближениями Френеля и Фраунгофера, соответственно.

\paragraph{Приближение Френеля.}\index{Приближение!Френеля}
В случае ближней зоны $K(\phi)\approx i/\lambda$,~\Arr
$$\E(P)=\frac{i}{\lambda}\Int_\Sigma\E(M)\frac{\exp(-i\veck\vec\rho)}{\rho}\,
d\sigma.$$
На практике расчеты по этой формуле сводятся к нахождению
интегралов $C(\alpha)=\Int_0^\alpha\cos(\pi t^2/2)\,dt$ и
$S(\alpha)=\Int_0^\alpha\sin(\pi t^2/2)\,dt$ при помощи
спирали Корню. $\rho^2(\alpha_1,\alpha_2)=
(C(\alpha_1)-C(\alpha_2))^2+(S(\alpha_1)+S(\alpha_2))^2$.

\paragraph{Приближение Фраунгофера.}\index{Приближение!Фраунгофера}
Для дальней зоны $K(\phi)\approx i/\lambda$, $d\sigma=dx\,dy$,
$\rho=\sqrt{Z^2+(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$. Если $Z\gg x,y,x_0,y_0$,
то $P=(x_0,y_0,Z)$, $M=(x,y,0)$, $\rho=b+\frac{x^2+y^2}{2b}-
\frac{xx_0+yy_0}{b}$. Пусть $\sin\theta=x_0/b$, тогда
$$\E(\theta,Z)=\frac{i+1}{\sqrt{2\lambda b}}\e^{-ikb}\Infint
\E_0(x)\exp\left(-\frac{ikx^2}{2b}\right)\exp(ikx\sin\theta)\,dx.$$

При $kd^2/(2b)\ll1$ ($d$~-- начальный диаметр пучка),
\begin{equation}
\E(\theta)=\frac{i+1}{\sqrt{2\lambda b}}\e^{-ikb}\Infint
\E_0(x)\exp(ikx\sin\theta)\,dx.
\label{VintFourier}
\end{equation}
Данное предположение справедливо, т.к. $Z\gg Z_d$, где
$Z_d=kd^2/r$~-- дифракционная длина пучка.

Т.о., в дальней зоне формируется устойчивое угловое распределение
интенсивности, не меняющееся с расстоянием.

\subsection*{Дифракция в дальней зоне как Фурье--образ объекта}
Интеграл~\ref{VintFourier} является пространственным интегралом
\float{O}{\includegraphics[width=7cm]{pic/Difr_far_zone}}
Фурье, где $k\sin\theta$ играет роль пространственной частоты.
Т.к. $k\sin\theta=k_x$~--- поперечная компонента волнового вектора,
между~$k_x$ и~$\theta$ имеется взаимно однозначное соответствие:
$$\E(P)=\frac{i+1}{\sqrt{2\lambda b}}\e^{-ikb}\E_0(k_x),\quad
\E_0(k_x)=\Infint\E_0(x)\e^{ik_xx}dx.$$

Интенсивность в дальней зоне:
$$I(P)=\frac{\const}{8\pi}|\E(P)|^2=\frac{\const}{8\pi}\rev{\lambda
b}S_0(k_x),$$
где $S_0(k_x)=|\E_0(k_x)|^2$~--\ж угловой спектр излучения\н\index{Спектр!
излучения}.

Т.о., дифракция Фраунгофера является пространственным разложением
ограниченного светового пучка на плоские волны.

\paragraph{Дифракция на щели.}
$$\E_0(x)=\E_0\begin{cases}
1,&|x|\le d/2,\\
0,&|x|\ge d/2.\end{cases}$$
Введем функцию\ж интегрального синуса\н\index{Синус интегральный}
$\sinc x=\dfrac{\sin x}{x}$. Тогда
$$I(\theta)=I_{max}\sinc^2\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right),\qquad
I_{\max}=I_0\frac{d^2}{\lambda b}.$$
Дифракционная расходимость пучка $\Delta\theta=\lambda/d$.

Дифракционная картина представляет собой резкий главный максимум
в центре, сопровождающийся побочными максимумами с быстро
падающей амплитудой.

\paragraph{Дифракция на прямоугольном отверстии.}
Дифракционная картина представляет собой суперпозицию
дифракционных картин от двух расположенных поперек
щелей с шуринами $d_1$ и~$d_2$. Помимо угла~$\theta$
введем угол~$\psi$~--- угол дифракции относительно стороны~$d_2$.

Итоговая картина распределения интенсивности описывается
выражением:
$$I(\theta,\psi)=I_{max}\sinc^2\left(\frac{\pi d_1\sin\theta}{\lambda}\right)
\sinc^2\left(\frac{\pi d_2\sin\psi}{\lambda}\right),\qquad
I_{max}=I_0\frac{d_1d_2}{\lambda b}.$$

\paragraph{Дифракция на круглом отверстии.}
В данном случае наблюдается кольцевая дифракционная картина с
угловым распределением интенсивности:
$$I(\theta)=I_{max}\left(\frac{J_1(2\pi\theta k/\lambda)}{2\pi\theta k/\lambda}
\right)^2,$$
где $J_1$~--\ж функция Бесселя первого порядка\н\index{Функция!Бесселя},
$I_{max}=I_0\frac{\pi R^2}{\lambda b}$, $R$~-- радиус отверстия,
$I_0$~-- как и ранее, интенсивность падающего излучения.

Наблюдающуюся дифракционную картину называют\ж картиной Эйри\н\index{Картина
Эйри}.
Угловая ширина главного максимума $\Delta\theta_0=1.22\lambda/R$
является пределом углового разрешения изображений при наблюдении
в телескоп или микроскоп.

\subsection*{Дифракционные решетки. Акустооптические
модуляторы}\index{Дифракционная решетка}
Дифракционная решетка представляет собой прозрачную пластинку,
на которую нанесены непрозрачные штрихи (пропускающая решетка),
либо металлическую пластинку, на которой вырезаны клиновидные
углубления (отражающая решетка). Перечисленные виды решеток
относятся к\к амплитудным дифракционным решеткам\н. Основными
характеристиками решеток являются\ж период\н $d$ и\ж разрешающая
способность\н $R=\lambda/\delta\lambda$, зависящая от количества
штрихов решетки и некоторых других характеристик.

При многолучевой интерференции прошедшего решетку излучения
образуется дифракционная картина, представляющая собой набор
главных максимумов, разделенных побочными максимумами. При большом
количестве штрихов решетки можно считать, что интенсивность
побочных максимумов близка к нулю.

Главные максимумы наблюдаются при условии $d(\sin\theta-\sin\psi)=m\lambda$,
где $\theta$~--\к угол дифракции\н, $\psi$~--\к угол падения\н,
$m$~--\к порядок дифракции\н.

В\к фазовых решетках\н штрихи формируют так, чтобы образовать
зоны с постоянной разностью фаз.

Дифракция на акустических волнах связана с тем, что под
воздействием стоячих ультразвуковых волн в прозрачной среде
образуется пространственная фазовая решетка. Если ультразвуковые
волны не являются стоячими, дифракционная картина искажается\ж
эффектом Допплера\н\index{Эффект!Допплера}:
частота дифрагированного излучения равна $\omega_m=\omega\pm m\Omega$,
где $\omega$~-- частота падающего излучения, $\Omega$~-- частота
звука.

Для низкочастотного звука наблюдается\ж дифракция
Рамана--Ната\н\index{Дифракция!Рамана--Ната}:
$\sin\theta=m\lambda/\Lambda$, где $\Lambda$~-- длина волны звука.

Дифракция на ультразвуке называется\ж дифракцией
Брэгга\н\index{Дифракция!Брэгга}.
Она происходит, если свет падает на прозрачную пластинку под\ж
углом Брэгга\н\index{Угол!Брэгга}
$\theta_B=\arcsin\left(\dfrac{\lambda}{2\Lambda}\right)$.
Существует предельная звуковая частота, выше которой брэгговская дифракция
невозможна: $\Omega_{lim}=4\pi c\ind{звука}/\lambda$.

Дифракция света на акустических волнах позволяет определять
характеристики звуковых полей, не внося в них изменения.
Этими характеристиками являются, например, модули упругости,
упругооптические свойства материалов, поглощение и скорость звука.
Кроме того, при помощи акустооптических модуляторов возможна
передача полезных многомодовых сигналов при помощи оптических
волокон.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Дифракция в оптических приборах и спектральный анализ}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Спектральный анализ}
\bf Спектральный анализ\н\index{Спектральный анализ}
позволяет вычислить такие характеристики веществ, как химический
состав, концентрацию растворов, температуру и т.д.

Спектральный анализ делится на два вида: анализ излученного
веществом света (эмиссионный анализ) и анализ поглощенного
света, испущенного широкополосным источником (абсорбционный
анализ). В обоих случаях используются такие
приборы, как дифракционная решетка, интерферометр Фабри--Перо,
призма.

Помимо того, существует спектральный анализ оптических изображений
(\bf голография\н\index{Голография})~--- запись на толстую фотопластинку
пространственного Фурье--спектра объекта.

В подавляющем большинстве случаев спектроскопия основана на разложении
исходного излучения в пространственный спектр при помощи различных
спектральных приборов.

\subsection*{Спектральные приборы и их характеристики}
Зависимость коэффициента поглощения и преломления вещества от
длины волны падающего излучения несет информацию о структуре
и свойствах атомов и молекул среды. Дисперсию вещества можно
измерить методом Ньютона (метод скрещенных призм).

\paragraph{Дисперсия.}\index{Дисперсия}
$D_*=\dfrac{dn}{d\lambda}$. Обычно у веществ $D_*<0$,
однако, у некоторых веществ наблюдается\ж аномальная
дисперсия\н, когда $D_*>0$.

\bf Фазовая скорость\н\index{Скорость!фазовая} света
$$u=\frac{d\omega}{dl}=\frac{d(2\pi\nu)}{d(2\pi
n\nu/c)}=\frac{c}{n+\nu\frac{dn}{d\nu}}=
\frac{v}{1+\frac{\nu}{n}D_*},$$
где $v=c/n$~--\ж групповая скорость\н\index{Скорость!групповая} света.

Т.о., при нормальной дисперсии $u<v$, а при аномальной $u>v$.
За счет зависимости фазовой скорости света от его частоты
и возникает способность призм разлагать спектр в пространстве.

Дифракционная решетка осуществляет разложение света в спектр
за счет явления многолучевой интерференции дифрагирующих лучей.
Аналогично возникает интерференционная картина в интерферометрах
Фабри--Перо.

\paragraph{Аппаратная функция, разрешающая способность.}
\bf Аппаратной функцией\н\index{Функция!аппаратная} дифракционного прибора
называется его реакция на идеально монохромное излучение ($\delta$-функцию),
поданное на вход прибора. Идеальной является аппаратная функция
в форме $\delta$-функции, однако, за счет конечного числа интерферирующих
лучей и неидеальности дифракционных приборов она имеет вид,
близкий к функции интегрального синуса.

\bf Разрешающая способность\н\index{Разрешающая способность}
(разрешение) спектрального прибора определяется отношением
$R=\lambda/\delta\lambda$, где $\delta\lambda$~-- разность
длин волн двух соседних линий в данном участке спектра,
которые способен разрешить раздельно спектральный прибор.
Для дифракционной решетки $R=mN$, где $m$~-- порядок
дифракции, $N$~-- количество штрихов, нанесенных на решетку.

\paragraph{Дисперсия.}
\bf Областью дисперсии\н, $G$, (свободным спектральным интервалом, $FSR$)
называется ширина спектра в данном порядке дифракции,
на который не накладываются соседние порядки. Для решетки
$G=\lambda/m$.

\bf Угловой дисперсией\н\index{Дисперсия!угловая} называется
величина $D_\phi=\dfrac{\delta\phi}{\delta\lambda}$,
где $\delta\phi$~-- расстояние между двумя спектральными линиями
с разностями длин волн~$\delta\lambda$. Из уравнения решетки
получим: $d\cos\phi\delta\phi=m\delta\lambda$,~\Arr
$D_\phi=\dfrac{m}{d\cos\phi}$. При малых углах дифракции
$D_\phi\approx m/d$.

\bf Линейной дисперсией\н\index{Дисперсия!линейная}
называют величину $D_l=\dfrac{\delta l}{\delta\lambda}$,
где $\delta l$~-- расстояние между линиями на светоприемнике
спектрального прибора. $D_l$ зависит от фокусного расстояния~$F$
объектива спектрального прибора: $D_l=FD_\phi\approx Fm/d$.

\subsection*{Дифракционная теория формирования изображения}
Данная теория была разработана Аббе и поэтому, обычно,
носит его имя\index{Теория!Аббе}.

Согласно теории Аббе, процесс формирования изображения
линзой заключается в следующем. В области от самой линзы
до ее задней фокальной поверхности происходит Фурье--анализ
волнового поля, испущенного объектом. В области между
передней фокальной поверхностью линзы и плоскостью
изображения происходит Фурье--синтез изображения.

Вводя различные щели и экраны в область передней
фокальной плоскости линзы можно изменять вид изображения
за счет коррекции его пространственного Фурье--спектра.

Оптические приборы рассматриваются как дифракционные,
т.е. их корпуса играют роль дифракционных приборов
(например, дифракция излучения на входном зрачке
телескопа ограничивает его разрешающую способность).
Сами же оптические приборы выполняют операции
прямого и обратного Фурье--преобразования излучения,
проходящего сквозь них.

\subsection*{Роль дифракции в приборах: линзе, телескопе, микроскопе}
В формировании изображения большую роль играет число зон
Френеля $N_F=r^2/(\lambda Z)$, открываемых прибором.
При $N_F\gg1$ дифракцией можно пренебречь. В данном случае
будет справедливо рассматривать оптические явления, используя
геометрическую оптику.
При $N_F>1$ наблюдается дифракция Френеля, а при
$N_F\le1$~-- дифракция Фраунгофера.

При построении изображения в простой линзе $N_F\gg1$, поэтому в данном
случае можно не учитывать дифракционные явления. Однако, при
получении изображения в телескопах и микроскопах их
необходимо учитывать.

При очень малых угловых размерах объекта наблюдается дифракция
Фраунгофера, изображение объекта имеет вид дифракционного
кружка Эйри. Угловой диаметр главного максимума,
$\phi_{min}=1.22\lambda/D$, где $D$~-- диаметр входного
зрачка. $\phi_{min}$ ограничивает разрешение телескопа,
являясь его предельным разрешением.

При наблюдении в микроскоп наблюдается дифракция
Френеля. Из уравнения $d\sin\theta=m\lambda$
получим минимальный линейный размер, разрешаемый
микроскопом: $d_{min}=\lambda$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Дисперсия диэлектрической проницаемости}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Физический смысл комплексной диэлектрической проницаемости}
Уравнения Максвелла для среды имеют вид:
$$\rot\vec E=-\partder{\vec H}{t};\quad\diver\vec D=0;\quad
\rot\vec H=-\partder{\vec D}{t};\quad\diver\vec H=0.$$

Удобно ввести комплексную амплитуду для напряженностей
электрического и магнитного поля, электрической индукции и
поляризованности, обозначив ее соответственно $\E$,
$\H$, $\D$ и $\P$. Тогда, например, напряженность ЭП
будет выражаться через комплексную амплитуду так:
$\vec E=\rev2\vec\E\exp(i[\omega t-\veck\vec r])$,
где $\veck$~-- волновой вектор.
Аналогично запишутся выражения для остальных величин.
В этом случае уравнения Максвелла также будут записываться
через комплексные амплитуды. Волновое
уравнение примет вид: $\veck\times[\veck\times\vec\E]+\omega^2\vec\D=0$.

В изотропных средах $\vec E\parallel\vec P\parallel\vec D$,
следовательно, их комплексные амплитуды также будут параллельны
друг другу.

Для выражения электрической индукции через напряженность
ЭП необходимо ввести\ж комплексную диэлектрическую
проницаемость\н\index{Проницаемость!диэлектрическая!комплексная}
$\tilde\epsilon(\omega)$: $\vec\D=\tilde\epsilon(\omega)\vec\E$.
Кроме того, справедливо соотношение
$\tilde n(\omega)=n(\omega)-i\kappa(\omega)$, где $\kappa(\omega)$~--
коэффициент поглощения.

Т.к. $\veck\times\vec\D=0$, получим:
$$-k^2\vec\E+\omega^2\tilde\epsilon(\omega)\vec\E=0,\quad\Arr\quad
k=\omega\tilde n(\omega),$$
где $\tilde n(\omega)=\sqrt{\tilde\epsilon(\omega)}$~--\ж комплексный показатель
преломления среды\н\index{Показатель!преломления!комплексный}.

\subsection*{Формула Крамерса--Кронига}\index{Формула!Крамерса--Кронига}
Соотношения Крамерса--Кронига являются дисперсионными соотношениями,
связывающими показатель преломления среды $n(\omega)$
с коэффициентом поглощения $\kappa(\omega)$.\ж Прямое соотношение
Крамерса--Кронига\н:
$$n(\omega)=1+\rev{\pi}\iint\limits_0^\infty\frac{\kappa(x)\,dx^2}{x^2-\omega^2}
=
n(0)+\frac{\omega^2}{\pi}\iint\limits_0^\infty\frac{\kappa(x)\,dx^2}{
x^2(x^2-\omega^2)}.$$
\bf Обратное соотношение Крамерса--Кронига\н:
$$\kappa(\omega)=-\frac{2\omega}{\pi}\Int_0^\infty\frac{n(x)\,dx}{x^2-\omega^2}
.$$

Физически соотношения Крамерса--Кронига выражают существование
жесткой связи дисперсии световой волны и ее поглощения.
Они справедливы для большинства немагнитных сред со слабой
пространственной дисперсией.

\subsection*{Микроскопическая картина распространения света в веществе.
Классическая электронная теория дисперсии}
Нелокальность отклика поляризованности среды на изменение внешнего
электрического поля приводит к пространственной дисперсии (зависимости
фазовой скорости света от его частоты), а инерционность этого
отклика приводит к временн\'ой дисперсии.

Согласно классической осцилляторной модели атома, под воздействием
внешнего электрического поля электронные орбиты атомов вытягиваются,
вещество поляризуется. Классическое уравнение колебания гармонического
осциллятора имеет вид: $\ddotvec r+2\gamma\dotvec r+\omega_0^2\vec
r=\frac{e}{m}\vec E'$, где $r$~-- амплитуда колебания электрона,
$2\gamma=g/m$, $g$~-- коэффициент затухания, $m$~-- масса электрона,
$e$~-- его заряд, $E'$~-- напряженность внешнего электрического поля.
Если пренебречь различием между полем волны в вакууме, $E$,
и межатомным внешним полем, $E'$, получим:
$$\vec r=\frac{e/m}{\omega_0^2-\omega^2+2i\omega\gamma}\vec E,$$
где $\omega$~-- частота падающей волны. Таким образом, атом
поляризуется, приобретая дипольный момент $\vec p=e\vec r=\beta\vec E$,
где $\beta$~--\ж поляризуемость атома\н\index{Поляризуемость}.

Если среда состоит из $N$ атомов, ее поляризованность
$\vec P=N\vec p$, а индукция $\vec D=\vec E+4\pi\vec P=\epsilon\vec E$,
где
$$\epsilon=1+\frac{4\pi Ne^2/m}{\omega_0^2-\omega^2+2i\omega\gamma}E.$$

Вдали от собственной частоты $\omega_0$ наблюдается нормальная
дисперсия, мнимой частью в выражении для диэлектрической проницательности
можно пренебречь:
$$\epsilon=n^2=1+\frac{4\pi Ne^2/m}{\omega_0^2-\omega^2}E.$$
Формула для $n$ такого вида впервые была получена Зельмейером
в механической теории Эфира.

Для сложных атомов необходимо суммировать воздействие всех
линейных осцилляторов, моделирующих поведение данного атома.
При этом возникнет весовой коэффициент, обозначающий вклад~$i$-го
осциллятора в результирующее колебание~---\ж сила осциллятора\н\index{Сила!
осциллятора}.
Для каждого осциллятора вблизи его собственной частоты
будет наблюдаться скачек дисперсии (область аномальной
дисперсии), когда при увеличении частоты внешнего возмущения
показатель преломления среды сначала быстро возрастает,
а затем скачкообразно спадает.

Если учесть взаимодействие молекул в веществе, необходимо
заменить $\vec E'$ на $\vec E+\frac{4\pi}3\vec P$.
В этом случае получим\ж формулу
Лорентца--Лоренца\н\index{Формула!Лорентца--Лоренца}:
$$\frac{n^2-1}{n^2+2}=\frac{4\pi}3\frac{Ne^2/m}{\omega_0^2-\omega^2}.$$
Из этой формулы следует, что при неизменной частоте~$\omega$
$$r\equiv\rev{\rho}\frac{n^2-1}{n^2+2}=\const,$$
т.к. концентрация~$N$ молекул пропорциональна плотности
вещества. Величина~$r$ называется\ж удельной
рефракцией\н\index{Удельная рефракция}.
Т.о., согласно формуле Лорентца--Лоренца,\к удельная рефракция вещества
не должна изменяться при изменении его плотности\н.

\subsection*{Фазовая и групповая скорости света}
\bf Фазовая скорость волны\н,\index{Скорость!фазовая} $v=\omega/k$,
является скоростью распространения переднего фронта волны.\ж
Групповая скорость\н\index{Скорость!групповая},
$u=\dfrac{d\omega}{dk}$, является скоростью распространения
волнового пакета, как единого целого.
$$u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{d(vk)}{dk}=v+k\frac{dv}{dk}.$$
Т.к. $\dfrac{dv}{dk}=\dfrac{dv}{d\lambda}\dfrac{d\lambda}{dl}$,
$\lambda=2\pi/k$, получим: $\dfrac{d\lambda}{dk}=-\dfrac{2\pi}{k^2}=
-\dfrac{\lambda}{k}$,~\Arr
$\dfrac{dv}{dk}=-\dfrac{dv}{d\lambda}\dfrac{\lambda}{k}$.
Получим\ж формулу Рэлея\н\index{Формула!Рэлея}:
$$u=v-\lambda\frac{dv}{d\lambda},\qquad\text{или}\qquad
u=\frac{v}{1+\frac{\nu}{n}\frac{dn}{d\nu}},$$
которая связывает фазовую и групповую скорости света.

За счет дисперсии происходит <<расплывание>> волновых
пакетов, имеющих разные частоты: пакеты с б\'ольшими
групповыми скоростями <<обгоняют>> пакеты с меньшими
скоростями. При выходе такого сигнала из диспергирующей
среды наблюдается пространственное разделение волновых
пакетов, имеющих разные частоты.

\subsection*{Поглощение света. Закон Бугера--Ламберта--Бэра}
Пусть $S$~-- поперечное сечение светового пучка, проходящего
через некоторую среду. При прохождении элементарного участка $dl$
за счет поглощения (абсорбции) в среде интенсивность
излучения в пучке уменьшится на величину
$dI=-I_0\delta\,dl$, где $I_0$~-- начальная интенсивность,
$\delta$~-- коэффициент поглощения. Интегрируя полученное
выражение, получим\ж закон Бугера--Ламберта\н\index{Закон!Бугера--Ламберта--Бэра}:
$I(l)=I_0\exp(-\delta l)$.

Бэр заметил, что коэффициент поглощения в растворах
пропорционален концентрации раствора: $\delta=\sigma n$,
где $\sigma$~-- сечение поглощения. Поглощение в жидкостях происходит
согласно\ж закону Бугера--Ламберта--Бэра\н:
$$\boxed{I(l)=I_0\exp(-\sigma nl)}\,.$$

\subsection*{Особенности распространения света в металлах}
Оптические свойства металлов определяются, в основном, наличием
в них свободных электронов, у которых $\omega_0=0$, $\gamma=0$.
Тогда получим: $\epsilon(\omega)=1-\dfrac{Ne^2}{m\omega^2}$,~\Arr
$\boxed{\epsilon(\omega)=1-\dfrac{\omega^2_p}{\omega^2}}$,
где $\omega_p=\sqrt{\dfrac{Ne^2}{m}}$~--\ж плазменная
частота\н\index{Частота!плазменная}.

Для свободных электронов плазменная частота соответствует
обычно ультрафиолетовому диапазону, следовательно, в
диапазоне видимого света $\epsilon<0$, и показатель
преломления является чисто мнимым числом.

Т.к. коэффициент отражения $R=\left|\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right|^2$,
где $n_{1,2}$~-- комплексные показатели преломления сред,
то для границы воздух\,--\,металл: $n_1=1$, $n_2=in_2''$
($n''$~-- действительное число),~\Arr $R=1$, т.е.
глубоко внутрь металлов волны с частотами $\omega<\omega_p$ не
проникают.

Благодаря тому, что для различных металлов плазменные
частоты различаются, металлы, у которых $\omega_p$
находится в диапазоне видимого света, за счет частичного
поглощения света принимают ту или иную окраску.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Поляризация света, граничные эффекты}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Математическое описание состояния поляризации. Поляризация естественного света}
Линейно (плоско-) поляризованная волна математически описывается
уравнением $\vec E(t,z)=\vec E_0\cos(\omega t-\veck\vec z)$,
т.е. для нее плоскость колебаний вектора~$\vec E$ в пространстве
не изменяется.\ж Плоскостью поляризации\н\index{Плоскость поляризации}
называют плоскость колебаний вектора~$\vec H$.

В естественном свете присутствует огромное число волновых
пакетов с различно ориентированными плоскостями поляризации.
При прохождении через некоторые среды естественный свет может
частично поляризоваться (т.е. в нем начинают преобладать пакеты
с одинаковой плоскостью поляризации).\ж Степенью поляризации\н\index{Степень поляризации}
называют величину $P=\dfrac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}$,
где $I_{max}$ и~$I_{min}$~-- максимальная и минимальная интенсивности
излучения, разложенного по двум взаимно перпендикулярным плоскостям
поляризации. Степень поляризации естественного света равна нулю.

Электромагнитное колебание можно представить в виде
$$\vec E(t,z)=\veci E_x\cos(\omega t-\veck\vec z+\phi_x)+
\vecj E_y\cos(\omega t -\veck\vec z+\phi_y).$$
Тогда, в зависимости от соотношения $\phi_x$ и~$\phi_y$, а также
$E_x$ и~$E_y$ возможны следующие\ж виды поляризации\н\index{Виды поляризации}:
\begin{itemize}
	\item $\phi_x=\phi_y$~--- линейная поляризация;
	\item $\phi_x-\phi_y=\pm\pi/2$~--- эллиптическая поляризация;
	\item $\phi_x-\phi_y$ хаотически меняется~--- естественный свет ($P=0$).
\end{itemize}

Для получения поляризованного света используют\ж поляризаторы\н\index{Поляризатор},
а для определения вида поляризации~---\ж анализаторы\н (обычно это
те же самые устройства, что и поляризаторы).

При прохождении плоскополяризованного света через анализатор,
его интенсивность меняется по\ж закону Малюса\н\index{Закон!Малюса}:
$$I=I_0\cos^2\alpha,$$
где $\alpha$~-- угол между плоскостями поляризации света и анализатора.

\subsection*{Оптические явления на границе раздела изотропных диэлектриков.
Формулы Френеля}
Рассмотрим падение электромагнитной волны на плоскость раздела двух
изотропных диэлектриков. Разложим напряженность ЭП падающей волны на
две составляющие: $E_\parallel$, лежащую в плоскости падения
волны (плоскость, проходящая через падающий луч и перпендикуляр
к границе раздела сред), и $E_\perp$, перпендикулярную плоскости
падения.

Обозначим комплексные амплитуды падающей, отраженной и преломленной
волны, соответственно, $A_\parallel$, $A_\perp$; $A'_\parallel$, $A'_\perp$;
$A''_\parallel$, $A''_\perp$; угол падения: $\theta_1$,
угол преломления: $\theta_2$.\ж Формулы
Френеля\н\index{Формулы Френеля} выражают амплитуды отраженной
и преломленной волн через амплитуду падающей волны и угол падения:
$$A_\parallel'=A_\parallel\frac{\tg(\theta_1-\theta_2)}{\tg(\theta_1
+\theta_2)};\qquad
A_\perp'=-A_\perp\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\sin(\theta_1
+\theta_2)};$$
$$A_\parallel''=A_\parallel\frac{2\sin\theta_2\cos\theta_1}{\sin(\theta_1
+\theta_2)\cos(\theta_1-\theta_2)};\qquad
A_\perp''=A_\perp\frac{2\sin\theta_2\cos\theta_1}{\sin(\theta_1
+\theta_2)}.$$

В данном случае также вводят\ж коэффициенты отражения и
преломления\н: $r=A'/A$, $t=A''/A$.

Если обозначить показатели преломления первой и второй сред,
соответственно, $n_1$ и~$n_2$, углы падения и преломления
окажутся связаны между собой\ж законом Снеллиуса\н\index{Закон!Снеллиуса}:
$\boxed{n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2}$.

\subsection*{Поляризация отраженной и преломленной волн. Угол Брюстера}
При попадании на границу двух сред, естественный свет испытывает
преломление и отражение. При этом отраженный свет является частично
поляризованным в плоскости падения, а преломленный~--- в перпендикулярной
плоскости.

Угол, при котором степени поляризации преломленного и отраженного
лучей оказываются максимальными, называют\ж углом
Брюстера\н\index{Угол!Брюстера}, $\tg\theta\ind{Бр}=n_1/n_2$.
В случае падения излучения под углом Брюстера, отраженный луч
оказывается полностью поляризованным в плоскости падения,
а преломленный~--- в плоскости, перпендикулярной плоскости
падения. Отраженный и преломленный лучи при этом перпендикулярны
друг другу.

\subsection*{Распределение света в анизотропных средах. Двойное лучепреломление}
В анизотропных средах (кристаллы) происходит двойное лучепреломление:
наблюдаются <<обыкновенный>> и <<необыкновенный>> лучи со
взаимно перпендикулярной плоскостью поляризации. Для обоих
типов лучей показатель преломления анизотропного вещества
окажется различным ($n_o$ для обыкновенного и~$n_e$ для
необыкновенного лучей).

Для таких
веществ вводятся понятия тензоров оптической восприимчивости
и диэлектрической проницаемости.
Обозначим тензор диэлектрической проницаемости $\hat\epsilon_{\alpha\beta}$.
В главной системе координат он примет диагональный вид,
с ненулевыми элементами $\epsilon_{xx}$, $\epsilon_{yy}$ и~$\epsilon_{zz}$.

В зависимости от значений элементов тензора $\hat\epsilon$
в главной системе координат, выделяют следующие типы кристаллов:\index{Кристалл}
\begin{itemize}
	\item\ж изотропные\н: $\epsilon_{xx}=\epsilon_{yy}=\epsilon_{zz}=\epsilon$,
	$n=\sqrt{\epsilon}$;
	\item\ж одноосные\н: $\epsilon_{xx}=\epsilon_{yy}\ne\epsilon_{zz}$,
	$n_o=\sqrt{\epsilon_{xx}}=\sqrt{\epsilon_{yy}}$,
	$n_e=\sqrt{\epsilon_{zz}}$;
	\item\ж двухосные\н: $\epsilon_{xx}\ne\epsilon_{yy}\ne\epsilon_{zz}$,
	существует три разных показателя преломления;
	\item\ж положительные\н: $n_o<n_e$;
	\item\ж отрицательные\н: $n_o>n_e$.
\end{itemize}

\bf Главной плоскостью\н\index{Главная плоскость} кристалла называется
плоскость, в которой лежат волновой вектор падающей волны и оптическая ось
кристалла~$\vec z_0$. В обыкновенной волне,~$(o)$, поляризация
перпендикулярна главной плоскости, а у необыкновенной,~$(e)$~---
параллельна ей.

Предположим, что волна распространяется в кристалле с направлением,
не совпадающем ни с одной осью. Дисперсионное уравнение в комплексных
амплитудах примет вид:
$\veck\times[\veck\times\vec\E]+\frac{\omega^2}{c^2}\vec\D=0$,
или $(\veck\vec\E)\veck-k^2\vec\E+\frac{\omega^2}{c^2}\vec\D=0$.

Для обыкновенного луча: $\vec\D=n_o^2\vec\E$, $\veck\vec\E=0$,~\Arr
$v_o=c/n_o$ вне зависимости от направления луча в кристалле.
Для необыкновенного луча: $\veck\vec\E\ne0$, следовательно,
скорость будет лежать в диапазоне $(c/n_o,c/n_e)$.

Пусть $\vec m=\veck/k$, где $k=\omega n/c$. Тогда
$\vec\E-\rev{n^2}\vec\D=(\vec m\vec\E)\vec m$.
Для одноосного кристалла получим:
$\D_x=n_o^2\E_x$, $\D_y=n_o^2\E_y$,
$\D_z=n_e^2\E_z$.~\Arr
$$\D_{x,y}=\frac{(\vec m\vec\E)m_{x,y}}{n_o^{-2}-n^{-2}};\quad
\D_z=\frac{(\vec m\vec\E)m_z}{n_e^{-2}-n^{-2}},$$
а т.к. $\vec m\vec\D=0$, получим\ж уравнение нормалей
Френеля\н\index{Уравнение!нормалей Френеля}:
$$\frac{m_x^2+m_y^2}{\dfrac1{n_o^2}-\dfrac1{n^2}}+
\frac{m^2_z}{\dfrac1{n_e^2}-\dfrac1{n^2}}=0.$$
Это уравнение дает возможность получить значение величины~$n$~---
показателя преломления необыкновенного луча для любого направления
в кристалле, а также скорости его распространения~$v=c/n$.

Пусть $\phi=\angle(\vec{OZ},\veck)$, тогда, т.к. $|\vec m|=1$,
получим: $m_z=\cos\phi$, $m^2_x+m^2_y=\sin^2\phi$,~\Arr
$$\frac{\sin^2\phi}{\dfrac1{n_o^2}-\dfrac1{n^2}}+
\frac{\cos^2\phi}{\dfrac1{n_e^2}-\dfrac1{n^2}}=0,\quad\Arr\quad
\frac{\sin^2\phi}{n_e^2}+\frac{\cos^2\phi}{n_o^2}=\rev{n^2}.$$
Последнее уравнение является\к уравнением эллипсоида показателя
преломления\н. Его решение:
$$n(\phi)=\frac{n_on_e}{\sqrt{n_e^2\cos^2\phi+n_o^2\sin^2\phi}}.$$

Для случая двойного лучепреломления закон Снеллиуса имеет вид:
$$n_1\sin\theta_1=n_2^{(o)}\sin\theta_2^{(o)}=n_2^{(e)}\sin\theta_2^{(e)}.$$

Для объяснения двойного лучепреломления в одноосном кристалле и нахождения
направлений обыкновенного и необыкновенного лучей можно воспользоваться
графическим методом Гюйгенса. Он заключается в графическом построении
волновых поверхностей падающей волны и преломленных обыкновенной и
необыкновенной волн в соответствии с принципом Гюйгенса.

\subsection*{Интерференция поляризованных волн}
В случае сложения двух перпендикулярных колебаний, они не интерферируют
между собой, следовательно, не могут интерферировать и обыкновенная
и необыкновенная волны. Этот факт подтверждается опытами.

Опыт по интерференции поляризованных волн можно провести следующим
образом. Между скрещенными поляризаторами устанавливают двулучепреломляющий
кристалл. Выходная освещенность зависит от ориентации кристалла
и фазового набега между обыкновенной и необыкновенной волнами.
Фазовый набег зависит от длины волны. Разность хода двух волн:
$\Delta=(n_o-n_e)d$, фазовый набег: $\Delta\phi=2\pi\Delta/\lambda_0$.
Если убрать один из поляризаторов, интерференционная картина
не возникнет. В данном опыте две волны, поляризованные перпендикулярно
друг другу, интерферируют за счет того, что второй поляризатор выделяет
из них составляющие, совпадающие по направлению.

\subsection*{Получение и анализ эллиптически поляризованного света}
Для этих целей используют\ж фазовую пластинку\н\index{Фазовая пластинка}
$\lambda/4$, дающую сдвиг фаз~$\pi/2$ между обыкновенным и
необыкновенным лучами. Фазовые пластинки вырезают из двулучепреломляющих
кристаллов в направлении, параллельном оптической оси.

Пластинку устанавливают так, чтобы оптическая ось пластинки составляла
угол~$\pi/4$ с направлением поляризации падающей на нее волны.
В результате свет, выходящий из пластинки, имеет циркулярную
поляризацию. В случае, когда угол между осью пластинки и направлением
поляризации падающего света не равен~$\pi/4$, выходящая волна
будет эллиптически поляризованной.

Четвертьволновой пластинкой можно и анализировать свет на
предмет его циркулярной поляризации. Если скрестить четвертьволновую
пластинку и поляризатор под углом~$\pi/4$, то, в случае, если
на пластинку попадает эллиптически поляризованное излучение,
при определенном угле поворота системы через поляризатор не
будет проходить свет. Если при вращении системы освещенность на выходе
будет постоянной, на входе имеем естественный свет. Изменение
выходной освещенности в процессе вращения свидетельствует о том,
что входной сигнал поляризован линейно.

\subsection*{Анизотропия оптических устройств}
\paragraph{Фотоупругость.}\index{Фотоупругость}При однородном растяжении
или сжатии изотропного тела, оно приобретает оптические свойства
одноосного кристалла. Разница показателей преломления обыкновенного
и необыкновенного лучей в этом случае пропорциональна
напряжению: $\boxed{n_o-n_e\propto\sigma}$.
Явление фотоупругости используют для анализа напряжений в
конструкциях на их моделях, сделанных из прозрачного изотропного
вещества (стекла, плексигласа).
\paragraph{Эффект Керра.}\index{Эффект!Керра} При помещении прозрачного
изотропного диэлектрика (твердого, жидкого или газообразного) во внешнее
ЭП, в нем возникает оптическая анизотропия. Разность показателей
преломления обыкновенной и необыкновенной волн подчиняется\ж
закону Керра\н\index{Закон!Керра}:$\boxed{n_e-n_o=B\lambda_0E^2}$,
где $B$~--\ж постоянная Керра\н, $\lambda_0$~-- длина волны падающего
излучения, $E$~-- напряженность внешнего ЭП. Для большинства
веществ~$B>0$ и они подобны положительным одноосным кристаллам.
\paragraph{Эффект Коттона--Муттона.}\index{Эффект!Коттона--Муттона}
При помещении прозрачного диэлектрика во внешнее МП, в нем
также возникает оптическая анизотропия: $\boxed{n_e-n_o=C\lambda_0H}$.
\paragraph{Эффект Фарадея.}\index{Эффект!Фарадея}
Оптически неактивная среда принимает под действием внешнего магнитного поля
способность вращать плоскость поляризации света, распространяющегося вдоль
направления поля. Угол поворота~$\phi$ плоскости поляризации пропорционален
длине пути света в веществе, $l$, и напряженности, $H$ МП: $\phi=VHl$.
Коэффициент пропорциональности~$V$ называется\ж постоянной
Верде\н\index{Постоянная!Верде}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Оптическое излучение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Классическая модель затухающего дипольного осциллятора}
Уравнение затухающих вынужденных колебаний излучающей дипольной системы имеют вид
$\ddotvec r+\rev\tau\dotvec r+\omega_0^2\vec r=\frac{e}{m}\vec E$, где $\tau$~--
время затухания свободных колебаний электрона.
($X(t)=x_0\exp(-t/(2\tau))\cos\omega_0t=A_0\cos\omega_0t$).
Дипольный момент электрона~$\vec p=\vec re$,~\Arr
$\ddotvec p+\rev\tau\dotvec p+\omega_0^2\vec p=\frac{e^2}{m}\vec E$.
Решение: $\vec E=\rev{r^3}\vec r\times[\vec r\times\ddotvec p(t-r/c)]$.

Интенсивность излучения зависит от угла~$\theta$ между излучением
и перпендикуляром к плоскости колебаний:
$I=A\dfrac{\omega^4}{r^2}\sin^2\theta$, $A=\frac{q^2A_0^2}{8\pi c^3}$,
где $A_0$~-- амплитуда колебаний осциллятора.

Постоянную $\tau$ можно оценить, зная начальную энергию осциллятора, $W$,
и мощность излучения, $P$: $\tau=W/P$.
$W=\rev2m\omega^2A_0^2$, $P=\Int I\,d\sigma=\rev{3c^3}e^2A_0^2\omega^4$,~\Arr
$\tau=\dfrac{3mc^3}{2e^2\omega^2}\sim10^{-8}$\,с. Эксперименты
подтверждают такое значение времени затухания.

\subsection*{Лоренцева форма линии излучения}
Согласно модели Лоренца, $\ddot x+\rev\tau\dot x+\omega_0^2 x=
\frac{e}{m}\vec f\vec E$, где $\vec f$~-- нормаль, характеризующая
направление движения электрона. Решением этого уравнения
является\ж Лоренцева форма\н\index{Лоренцева форма}:
$$S_0(\omega)=\frac{\Omega}{\pi}
\frac{a_0^2/4}{\Gamma^2/4+(\omega-\omega_0)^2},$$
где $\Gamma$~-- ширина спектральной линии, $\Omega=\aver{n}/T$~--
средняя частота следования импульсов от совокупности излучателей.

\bf Естественное уширение\н\index{Естественное уширение} линий
обусловлено затуханием колебаний осцилляторов. Естественный спектр
имеет лоренцеву форму, центральную частоту~$\omega_0$ и ширину
$\Gamma=1/\tau$. Т.к. $\tau\sim10^{-8}$, ширина линии за
счет уширения $\Delta f=\Gamma/(2\pi)\sim10^7$\,Гц.

\subsection*{Термодинамические системы статистически независимых
осцилляторов. Модель абсолютно черного тела}
На каждую СС независимых излучающих осцилляторов приходится
по $\rev2kT$ тепловой энергии.\ж Тепловое излучение\н\index{Излучение!тепловое}~---
электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии
тела. Тепловое излучение является единственным видом излучения,
которое может находиться в состоянии ТД равновесия с веществом.
Расход энергии на излучение компенсируется поглощением внешней
энергии.

\bf Спектральная плотность объемной энергии\н:
$\rho(\nu,T)=\dfrac{dw}{d\nu}$. Равновесное излучение является
изотропным. $dW=\frac{c}4\rho(\nu,T)\,d\nu$.

\bf Испускательная способность\н: $r_\nu=\dfrac{dW}{d\nu}$,
$r_\lambda=\dfrac{dW}{d\lambda}$,~\Arr $r_\lambda=\dfrac{c}{\lambda^2}r_\nu$.
Энергетическая\ж светимость\н тела: $R=\Int_0^\infty r_\nu d\nu=
\Int_0^\infty r_\lambda d\lambda$.\ж Поглощающая способность\н:
$a_\nu=\dfrac{dW\ind{поглощ}}{dW\ind{пад}}\le1$.

\bf Абсолютно черным телом\н (АЧТ) называют тело, полностью поглощающее
падающее на него излучение: $a_\nu^*=1$.

Согласно принципу\ж детального равновесия\н, для АЧТ $dW\ind{изл}=dW\ind{погл}$.
Т.к. $dW\ind{погл}=a_\nu\frac{c}4\rho(\nu,T)\,d\nu$,
$dW\ind{изл}=r_\nu\,d\nu$, получим\ж закон
Кирхгофа\н\index{Закон!Кирхгофа}:
$$\frac{r_\nu}{a_\nu}=r_\nu^*=\frac{c}4\rho(\nu,T).$$
Функция $r_\nu^*$ называется\ж функцией Кирхгофа\н\index{Функция!Кирхгофа}.

\subsection*{Закон Стефана--Больцмана. Закон смещения Вина. Формулы Вина и Рэлея--Джинса}
Согласно\ж закона Стефана--Больцмана\н\index{Закон!Стефана--Больцмана},
энергетическая светимость АЧТ пропорциональна четвертой степени его
температуры: $R_e=\sigma T^4$, где $\sigma=5.67\cdot10^{-8}$~--\ж
постоянная Стефана--Больцмана\index{Постоянная!Стефана--Больцмана}.

Максимум излучения АЧТ, согласно\ж закона смещения
Вина\н\index{Закон!смещения Вина}, зависит от его температуры следующим
образом: $\lambda_{max}=\dfrac{b}{T}$.

Эмпирически для функции Кирхгофа были получены приближения для
длинноволновой и коротковолновой областей излучения:\ж формула
Рэлея--Джинса\н и\ж формула Вина\н соответственно.\index{Формула!Рэлея--Джинса}
\index{Формула!Вина}
Формула Вина: $r_\nu^*=\nu^3\phi(\nu/T)$.
Формула Рэлея--Джинса: $r_\nu^*=\dfrac{2\pi\nu^2}{c^2}kT$.

Данные приближения справедливы лишь для указанных областей длин волн,
В противоположных областях они несправедливы. Кроме того, обе формулы
терпят крах при $\nu\to\infty$: в этом случае светимость АЧТ стремится
к бесконечности (<<\bf ультрафиолетовая катастрофа\н>>)\index{Ультрафиолетовая катастрофа}.

\subsection*{Формула Планка}
Пусть $\aver{\E_\nu}$~-- средняя энергия гармонического осциллятора.
Тогда функция Кирхгофа $r_\nu^*=\dfrac{2\pi\nu^2}{c^2}\aver{\E_\nu}$.
Согласно гипотезе Планка, энергия осцилляторов квантуется:
$\E_{\nu_n}=n\E_{\nu_0}=nh\nu$, где $h$~--\ж постоянная
Планка\н\index{Постоянная!Планка}.

Согласно распределению Больцмана, вероятность нахождения квантовой системы
в $n$-м состоянии равна $p_n=\C\exp(-n\E_{\nu_0}/[kT])$, где
$\C=(\sum\exp\frac{-n\E_{\nu_0}}{kT})^{-1}$~-- нормировочный коэффициент.
Тогда получим:
$$\aver{\E_\nu}=\sum p_nn\E_{\nu_0}=-\E_{\nu_0}
\frac{\frac{d}{d\xi}\sum\exp(-n\xi)}{\sum\exp(-n\xi)}=
-\E_{\nu_0}\frac{d}{d\xi}\ln\sum\exp(-n\xi),$$
где $\xi=\dfrac{\E_{\nu_0}}{kT}$. Т.к. $\sum\exp(-n\xi)=(1-\exp[-\xi])^{-1}$,
$-\ln\sum\exp(-n\xi)=\ln(1-\exp[-\xi])$,~\Arr
$$\aver{\E_\nu}=\frac{\E_{\nu_0}}{\exp(\frac{\E_{\nu_0}}{kT})-1},\quad
\text{и}\quad r_\nu^*=\frac{2\pi\nu^2}{c^2}
\frac{\E_{\nu_0}}{\exp(\frac{\E_{\nu_0}}{kT})-1}.$$
Для спектральной плотности объемной энергии получим\ж
формулу Планка\н\index{Формула!Планка}:
$$\rho=\frac4{c}r_\nu^*=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{\exp(\frac{h\nu}{kT}-1)}.$$

Найдя предельные случаи формулы Планка при $\nu\to0$ и $\nu\to\infty$,
получим формулы Рэлея--Джинса и Вина соответственно.
В частности, можно найти вид не установленной Вином функции
$\phi(\nu/T)$:
$r_\nu^*=\dfrac{2\pi h\nu^3}{c^2}\exp(-\frac{h\nu}{kT})$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Излучение света атомами и молекулами}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Модель двухуровневой системы. Спонтанные и вынужденные
переходы. Коэффициенты Эйнштейна}
Рассмотрим атом с двумя энергетическими уровнями: $W_1$ и~$W_2$.
Пусть $N_i$~--- число атомов на $i$-м энергетическом уровне,
$N_i=C\exp(-W_i/[kT])$. Согласно модели Планка, переход с верхнего
энергетического уровня,~$W_1$, на нижний,~$W_2$, сопровождается
излучением кванта света с энергией $h\nu=W_2-W_1$.

Пусть в нашей двухуровневой системе имеется~$N_1$ атомов,
находящихся на уровне~$W_1$, и~$N_2$ атомов на уровне~$W_2$.
Согласно Эйнштейна, возможны следующие типы энергетических переходов:
\begin{itemize}
	\item\ж спонтанное излучение\н с вероятностью
	$P_{21}^\text{сп}=A_{21}N_2$;
	\item\ж вынужденное поглощение\н с вероятностью
	$P_{12}^\text{вын}=B_{12}N_1\rho(\nu,T)$, где $\rho(\nu,T)$~--
	спектральная плотность внешней энергии;
	\item\ж вынужденное излучение\н с вероятностью
	$P_{21}^\text{вын}=B_{21}N_2\rho(\nu,T)$.
\end{itemize}
Коэффициенты $A$ и $B$ называют\ж коэффициентами
Эйнштейна\н\index{Коэффициент!Эйнштейна}.

В состоянии равновесия $P_{21}^\text{сп}+P_{21}^\text{вын}=P_{12}^\text{вын}$,~\Arr
$A_{21}N_2+B_{21}N_2\rho=B_{12}N_1\rho$. Тогда получим:
$$\rho(\nu,T)=\frac{\dfrac{A_{21}}{B_{21}}}{\dfrac{B_{12}}{B_{21}}
\exp\dfrac{h\nu}{kT}-1}.$$
Используя приближения Рэлея--Джинса получим:
$B_{12}=B_{21}$, $A_{21}/B_{21}=8\pi h\frac{\nu^3}{c^3}$.

Аналогично можно рассмотреть процесс излучения многоуровневыми
системами. В данном случае необходимо ввести коэффициенты Эйнштейна
$A_{nm}$ и~$B_{nm}=B_{mn}$; $A_{mn}/B_{mn}=8\pi h\nu^3c^{-3}$.

\subsection*{Явление люминесценции}
\bf Люминесценция\н\index{Люминесценция}~--- излучение света
телами, превышающее тепловое излучение при той же температуре.
Длительность люминесценции значительно превосходит длительность
излучения атомных систем. Люминесцирующие вещества называют
люминофорами. Люминесцентное излучение является неравновесным:
оно вызывается центрами люминесценции~--- возбужденными атомами
и молекулами.

\bf Флуоресценция\н~--- люминесценция, прекращающаяся сразу после
прекращения действия возбуждающего излучения (флуоресцирующие вещества
излучают более в длинноволновом диапазоне, чем падающее излучение).

\bf Фосфоресценция\н~--- люминесценция, сохраняющаяся длительное
время после прекращения действия возбуждающего излучения.

Для люминесценции существует\ж правило Стокса\н\index{Правило!Стокса}:
$h\nu\ind{падающ}-h\nu\ind{излуч}=W$, где $W$~--- некоторая энергия.
В зависимости от знака~$W$ люминесценцию делят на\ж стоксово\н
и\ж антистоксово\н излучение: при~$W>0$ и~$W<0$ соответственно.
В случае антистоксова излучения дополнительная энергия черпается из
тепловой энергии тела.

\subsection*{Резонансное усиление света. Лазеры}
Явление вынужденного излучения эквивалентно отрицательному поглощению
света. При этом сохраняется частота, направление распространения,
фаза и поляризация возбуждающего излучения. Следовательно, вынужденное
излучение строго когерентно с вызвавшей его причиной.

Однако, если большое число атомов квантовой системы находится на основном
энергетическом уровне, происходит поглощение света, сопутствующееся
переходом атомов в возбужденное состояние.

Если при прохождении через среду интенсивность света возрастает,
среда называется усиливающей (активной) или\к средой с отрицательным
поглощением\н. Для среды с инверсной заселенностью уровней справедлив\ж
закон Бугера--Ламберта--Фабриканта\н\index{Закон!Бугера--Ламберта--Фабриканта}:
$I=I_0\exp(ax)$, $a>0$.

Процесс перехода среды в инверсное состояние называется\ж накачкой\н.
Число актов вынужденного излучения пропорционально количеству атомов,
находящихся в возбужденном состоянии. При $N_2>N_1$ число актов излучения
превосходит число актов поглощения, наблюдается вынужденное излучение,
мощность которого превосходит мощность вынуждающего. При этом активная
(накачанная) среда не нуждается в возбуждающем излучении: при наличии
хотя бы одного акта излучения возникает цепная реакция перехода атомов
в основное состояние, сопровождающаяся излучением плоскополяризованного
высококогерентного излучения (резонансное усиление света).

Устройство, в основе работы которого лежит резонансное усиление света,~---
лазер\index{Лазер},~--- наиболее удобно рассматривать по классической
трехуровневой схеме.
Лампой накачки с частотой $\nu>\nu\ind{лаз}$ атомы переводятся
в возбужденное состояние, откуда они совершают безызлучательные
переходы на квазистабильный уровень, время жизни на котором достаточно
велико для создания инверсной заселенности уровней.
По истечении времени жизни на квазистационарном уровне
хотя бы один атом совершает переход в основное состояние, при котором
излучается квант света.
При попадании данного кванта в любой из возбужденных атомов происходит
вынужденное излучение на той же частоте. В результате лавинообразного
вынужденного излучения возникает мощный кратковременный импульс лазерного
излучения. Для увеличения мощности излучения тело лазера помещается между
двумя стенками, одна из которых является зеркальной, а вторая имеет
коэффициент отражения немногим меньший единицы, через нее и выходит
лазерное излучение.

\subsection*{Моды лазера. Синхронизация мод}
Основными элементами оптических квантовых генераторов (лазеров) являются:
активный элемент с инверсной насыщенностью, резонатор (параллельные зеркала)
и источник накачки. Резонатор играет роль не только усилителя, но и
селектора фотонов, движущихся параллельно оси лазера (в результате
чего лазерный луч обладает малой пространственной расходимостью).
Для самовозбуждения активного элемента необходимо обеспечить баланс
амплитуд и фаз. Баланс амплитуд заключается в том, что
$R_1R_2\exp(GL)\ge1$, где $R$~-- коэффициенты отражения зеркал резонатора,
$G$~-- коэффициент усиления света, $L$~-- длина тела лазера. Баланс
фаз: $L=n\lambda/2$, т.е. в теле лазера должно обеспечиваться условие
возникновения стоячих волн, набег фаз будет составлять~$2\pi$, что в
наилучшей степени способствует усилению света.

Согласно фазового условия, $\nu_n=n\Delta\nu$, где $\Delta\nu\rev2L$~---\ж
собственные моды лазера\н\index{Мода лазера}. Количество  мод зависит
от соотношения~$\Delta\nu$ и ширины спектрального диапазона лазера,
$\Delta\nu_y$: $M=\Delta\nu_y/\Delta\nu$.
$\Delta\nu_y$ определяется допплеровским уширением линий,
$\Delta\nu\sim10^0\div10^3$\,см$^{-1}$, $M\sim10^0\div10^4$.
Таким образом, излучение лазера является\ж многомодовым\н.

Для получения одномодового импульса используют селектор
(призму, дифракционную решетку) и диафрагму.

Если узкополосный одномодовый лазер генерирует колебания синусоидальной
формы, то временной ход излучения зависит от того, каковы амплитуды
и фазы различных мод. Существует два противоположных случая: моды
могут быть полностью независимыми (оптический шум), либо же
синхронизированными.

При синхронизации мод генерируется короткий импульс с интенсивностью
$I_{max}=I_0M^2$. Период следования максимальных импульсов
называется\к межмодовым интервалом\н $T=\Delta\nu^{-1}=2L/c$.
Т.о., в данном случае через одинаковые промежутки времени, $T$,
из резонатора будут выходить короткие мощные импульсы.
Синхронизатором мод может быть\к насыщающийся поглотитель\н,
помещенный внутрь резонатора, прозрачный только для мощных коротких
импульсов (пассивная синхронизация мод).

Предельная длительность импульса, $\Delta t=(c\Delta\nu_y)^{-1}$,
зависит от ширины спектральной полосы усиления лазера.

Характеристиками излучения лазера являются: основная длина волны,
энергия импульса, его длительность, мощность непрерывной работы,
ширина спектральной полосы, диапазон перестройки основной длины волны,
угловая расходимость излучения (которая близка к дифракционному пределу).
Пиковый поток мощности в луче лазера составляет порядка $10^{19}$\,Вт/см$^2$
(напряженность ЭП на мишени достигает $10^{11}$\,В/см~-- больше, чем
внутри атомов).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[Дуализм явлений микромира]{Дуализм явлений микромира. Дискретные
свойства волн. Волновые свойства частиц}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Кванты излучения}
Рассмотрим ЭМ излучение в изолированной полости с изотермическими стенками,
находящееся в состоянии равновесия с веществом. Спектральная плотность
излучения $d\rho_\nu=\rho(\nu,T)\,d\nu$. При равновесии она будет изотропна.
Излучение не будет зависеть от природы стенок. Поток энергии в полости
$dj=\frac{c\rho}{4\pi}d\Omega$.

Согласно гипотезе Планка, излучение распространяется не непрерывно, а
элементарными сгустками энергии~---\ж квантами\н\index{Квант}. Энергия
кванта излучения~$E_\gamma=h\nu$, где $h$~--\ж постоянная
Планка\н\index{Постоянная!Планка}, $\nu$~-- частота излучения.
Спектральная плотность равновесного излучения абсолютно черного тела
распределена согласно\ж формулы Планка\н\index{Формула!Планка}:
$$\rho(\nu,T)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{\exp(\frac{h\nu}{kT})-1}.$$


\subsection*{Фотоэффект}\index{Фотоэффект}
\bf Внешний фотоэффект\н (фотоэмиссия)~--- испускание веществом свободных
электронов под действием электромагнитного излучения.\ж Внутренний
фотоэффект\н~--- перераспределение электронов в веществе по энергетическим
уровням под воздействием внешнего ЭМП.\ж Фотопроводимость\н\index{Фотопроводимость}~---
увеличение электронной проводимости вещества под действием света.

\float{O}{\includegraphics[width=7cm]{pic/VAH_photoeff}}
ВАХ фотоэффекта~(см. рис.) имеет
зону насыщения, когда количество электронов, испускаемых
за единицу времени фотокатодом, достигает постоянного предельного
уровня~$n_{max}$. Ток насыщения $I_{max}=en_{max}$.
Запирающее напряжение~$-U_0$ объясняется существованием некоторой предельной
скорости испускаемых фотоэлектронов: $\rev2mv^2_{max}=eU_0$.

\paragraph*{Законы внешнего фотоэффекта (Столетова):}\index{Закон!Столетова}
\
\begin{enumerate}
	\item\к Фототок насыщения
	при неизменном спектральном составе освещения пропорционален освещенности
	фотокатода\н, $I_{max}\propto E_{cat}$.
	\item\к Максимальная начальная скорость фотоэлектронов зависит от
	частоты падающего на фотокатод излучения и не зависит от его интенсивности\н.
	\item\к Существует\ж красная граница\к фотоэффекта\н (существует
	некоторая минимальная частота внешнего излучения, $\nu_{min}$, при котором
	начинается фотоэффект).
\end{enumerate}

Закон сохранения энергии при фотоэффекте носит название\ж уравнения
Эйнштейна\н\index{Уравнение!Эйнштейна}:
$$h\nu=A+\frac{mv^2_{max}}{2},$$
где $A$~--\ж работа выхода фотоэлектрона\н\index{Работа!выхода},
$A=h\nu_{min}$, где $\nu_{min}$~-- красная граница фотоэффекта.
Уравнение Эйнштейна объясняет все три закона Столетова.

\it Фотоэффект безынерционен\н. Он возникает сразу же, как только ЭМ
волна взаимодействует с поверхностью проводника.

Помимо классического, одноэлектронного, фотоэффекта, возможен\ж
многоэлектронный фотоэффект\н, когда несколько квантов излучения
выбивают один фотоэлектрон. В этом случае уравнение Эйнштейна
примет вид: $Nh\nu=A+\rev2mv^2_{max}$.

\subsection*{Рассеивание ЭМ излучения на свободных зарядах. Тормозное
рентгеновское излучение}
\bf Эффект Комптона\н\index{Эффект!Комптона}~--- изменение длины
волны, $\lambda$, рентгеновских фотонов при их взаимодействии с рассеивающим веществом,
содержащим легкие атомы: $\boxed{\Delta\lambda=2\lambda_K\sin^2\frac{\theta}2}$,
где $\lambda_K=h/(m_ec)$~--\ж комптоновская длина волны электрона\н,
$\theta$~-- угол отклонения рентгеновского кванта.

Кинетическая энергия отдачи, испытываемой электроном при эффекте Комптона,
равна
$$W=h\nu\frac{2a\sin^2\frac{\theta}2}{1+2a\sin^2\frac{\theta}2},\quad
\text{где}\quad a=\frac{\lambda_K}{\lambda}.$$

Следует отметить, что свободные заряды способны лишь изменять энергию
падающих на них квантов ЭМ излучения, тратя часть первоначальной энергии
кванта на увеличение собственной кинетической энергии. Полностью поглощать
квант излучения способны лишь связанные электроны. При этом поглощение
сопровождается переходом электрона на более высокий энергетический
уровень.

При торможении веществом быстрых электронов (или других заряженных частиц)
возникает\ж тормозное излучение\н\index{Излучение!тормозное}, имеющее
сплошной спектр с границей $\nu_{max}=W^{(e)}_k/h$, где $W_k^{(e)}$~--
начальная кинетическая энергия электрона.

\subsection*{Частицы и волны. Гипотеза де~Бройля}
Согласно\ж гипотезе корпускулярно--волнового дуализма\н, электромагнитное
излучение обладает свойствами частиц (это доказывается существованием
фотоэффекта, светового давления).
Де Бройль предположил, что корпускулярно--волновой дуализм имеет и
обратный эффект: все частицы, движущиеся в данной системе отсчета,
обладают волновыми свойствами. Их длина волны (\bf длина волны
де~Бройля\н\index{Волна!де~Бройля}),
$\lambda_{dB}=h/p=h/(mv)$, или $\vec p=\hbar\veck$,
где $\hbar=h/(2\pi)$, $k$~-- волновое число тела.

Выражая через кинетическую энергию, $W_k$, получим:
$\lambda_{dB}=h/\sqrt{2mW_k}$. Для электрона, ускоряющегося под действием
разности потенциалов~$U$, $\lambda_{dB}=12.25/\sqrt{U}\Ang$.

Формула де~Бройля подтверждается опытами по рассеянию электронов и других
частиц на кристаллах, дифракции электронов.

У макротел $\lambda_{dB}\sim0$, поэтому их волновые свойства не
обнаруживаются.

\it Фазовая скорость волн де~Бройля\н $v_p=\omega/k=c^2/v$,
$v_p=c^2m\lambda_{dB}/h$. Т.к. $c>v$, то фазовая скорость волн де~Бройля
превышает скорость света. Зависимость фазовой скорости волн де~Бройля
от длины волны означает, что они испытывают дисперсию.

\it Групповая скорость волн де~Бройля\н $u=\dfrac{d\omega}{dk}=v$
совпадает со скоростью тела (что и следовало ожидать).

Волны де~Бройля имеют статистический смысл: квадрат модуля амплитуды
дебройлевской волны равен вероятности обнаружения частицы в данной точке.

В квантовой физике наблюдаются характерные закономерности. Например,
координата и импульс частицы не могут быть одновременно известны с
доподлинной точностью: $\Delta x\Delta p_x\ge\hbar/2$,
аналогично, $\Delta E\Delta t\ge\hbar/2$. Эти соотношения называются\ж
соотношениями неопределенности Гайзенберга\н\index{Соотношения
неопределенности}.
$\Delta x\Delta v_x\ge\hbar/(2m)$~--- чем больше масса тела, тем
меньше неопределенность измерения его координат и скоростей, т.е.
тем большее право мы имеем применить к нему понятие траектории.

\subsection*{Опыты Девиссона--Джермера и Томсона}
\bf Опыт Девиссона--Джермера\н\index{Опыт!Девиссона--Джермера}
заключается в изучении отражения электронов от монокристалла никеля.
Рассеяние электронов было наиболее эффективным при некотором угле~$\phi$,
соответствующем отражению электронов от атомных плоскостей.
Зная период кристалла, $d$, можно вычислить длину волны, соответствующую
первому дифракционному максимуму для данной длины волны:
$2d\sin\theta=\lambda$. Полученная длина волны (1.65\Ang) совпала с
дебройлевской длиной волны электрона.

\bf Томсон и Тартаковский\н\index{Опыт!Томсона и Тартаковского} (независимо)
получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через
металлическую фольгу.

Штерн показал, что аналогично рассеиваются атомные и молекулярные пучки.

Биберман, Сушкин и Фабрикант провели эксперимент, в котором интенсивность
потока электронов была столь малой, что через узкую щель они проходили по
одиночке (цель опыта~-- избавиться от кулоновского взаимодействия электронов).
При этом также наблюдалась дифракционная картина.

Все эти опыты наглядно доказывают двусторонний характер
корпускулярно--волнового дуализма.

\input{adddd/42}
%##48##