\subsection*{Принцип неопределенности}
\index{Принцип!неопределенности|(textbf}
\bf Соотношения неопределенностей\н\index{Соотношения!неопределенностей}~(С.н.)~---
фундаментальные соотношения квантовой физики, устанавливающие предел точности
одновременного определения канонически-сопряженных динамических переменных,
характеризующих квантовую систему: координата~--- импульс, действие~--- угол и~т.п.
Математически С.н. имеют вид неравенств, например,
$\Delta x\Delta p_x\ge\hbar/2$.

С.н. были установлены Гайзенбергом в ходе мысленного эксперимента, поэтому зачастую их
называют <<соотношения Гайзенберга>>. Робертсон показал, что С.н. являются следствием\ж
коммутационных соотношений\н\index{Соотношения!коммутационные}
$[\hat A,\hat B]=i\hbar$ между операторами соответствующих физических величин,
причем $\Delta A$ и~$\Delta B$ являются среднеквадратичными отклонениями.

Шр\"едингер предложил более общую форму С.н.:
$$\Delta x^2\Delta p^2_x\ge\frac{\hbar^2}{4(1-r^2)},$$
где $r$~-- коэффициент корреляции операторов $\hat A$ и~$\hat B$. Для сильно
коррелированных состояний <<эффективная постоянная Планка>>, $\hbar/
\sqrt{1-r^2}$ может существенно превышать~$\hbar$.

С.н. имеют место для любых физических величин $f$ и~$g$, которым соответствуют
некоммутирующие эрмитовы операторы. Если коммутатор $[\hat f,\hat g]=i\hbar\hat c$,
то С.н. имеют вид
$$\Delta f^2\Delta g^2\ge\frac{\hbar^2}{4}\bigm|\mean{\hat c}\bigm|^2.$$

Среди физических толкований Н.с. можно выделить по крайней мере три уровня.
Наиболее часто Н.с. трактуют как\к ограничение на экспериментально достижимую
точность измерения характеристик квантовых объектов, обусловленное неадекватностью
классических приборов целям квантовых измерений\н.
Другое толкование исходит из того, что С.н. есть следствие внутренних свойств
квантовых объектов (корпускулярно--волновой дуализм):\к для полного описания
квантовой системы равно необходимо учесть как ее корпускулярные, так и волновые
свойства\н.

Второе толкование значительно шире и представляет собой общий\к принцип неопределенности\н.
Этот принцип является предпосылкой\ж принципа
дополнительности\н\index{Принцип!дополнительности} Бора:\к получение экспериментальной
информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект, неизбежно
связано с потерей информации о некоторых других величинах, канонически сопряженных
с первыми\н. С.н. с этой точки зрения можно трактовать как способ сохранения
классических понятий для описания квантовых систем путем взаимного ограничения
области их совместного применения.

Третья трактовка С.н. связана с соотношением $\Delta E\Delta t\gtrsim\hbar$.
Можно утверждать, что\к за ограниченный интервал времени невозможно точно
определить энергию системы\н, или же:\к неопределенность энергии состояния
возбужденной квантовой системы тесно связана с ее временем жизни\н.

Из С.н. можно оценить, например, <<скорость вращения>> электрона вокруг
ядра атома водорода в основном состоянии:
$$v\ge\Delta p/m\sim \hbar/mr_0\sim e^2/\hbar,\quad\Arr\quad
v/c\approx e^2/\hbar c\approx\alpha\approx1/137.$$
\index{Принцип!неопределенности|)textbf}