\subsection*{Деформации и напряжения в твердых телах}
\index{Деформации и напряжения|(textbf}
Под действием приложенных сил все твердые тела меняют свою форму или объем. Такие
изменения называются\ж деформациями\н\index{Деформация}. Различают два предельных
случая деформаций:\к упругие\н, исчезающие после прекращения действия приложенных
сил, и\к пластические\н, сохраняющиеся в теле после снятия воздействия.
Тела, претерпевающие лишь упругие деформации, называют\к идеально упругими\н.
Ограничимся рассмотрением малых деформаций, при которых величина деформации
пропорциональна первой степени приложенной силы~(\bf закон Гука\index{Закон!Гука}\rm).

\bf Напряжением\н\index{Напряжение} называют силу, действующую на единицу площади
бесконечно малой площадки, расположенной внутри тела. Ориентацию площадки~$dS$
можно задать вектором нормали,~$\vec n$. Тогда напряжение обозначим как~$\vec\sigma_n$.
Вектор напряжений можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, а
также его можно характеризовать компонентами $\sigma_{nx}$, $sigma_{ny}$
и~$\sigma_{nz}$. Здесь первый индекс указывает направление нормали к площадке, а
второй~--- направление оси, на которую проецируется напряжение~$\vec\sigma_n$.

Рассмотрим треугольную пирамиду, являющуюся сечением первого октанта наклонной
плоскостью. Второй закон Ньютона для нее примет вид
$$m\vec a=\vec f+\sigma_nS+\vec\sigma_{-x}S_x+\vec\sigma_{-y}S_y+\vec\sigma_{-z}S_z.$$
Здесь $\vec f$~-- равнодействующая объемных сил (например, силы тяжести),
действующих на пирамиду. Стягивая данную пирамиду в точку, в результате предельного
перехода получим:
$$\vec\sigma_n=\vec\sigma_xn_x+\vec\sigma_yn_y+\vec\sigma_znz.$$
Таким образом,\к напряжение в каждой точке упруго деформированного тела можно
характеризовать тремя векторами~$\sigma_\aleph$ или девятью
проекциями~$\sigma_{\aleph\beth}$\н.
Совокупность этих величин называется\ж тензором упругих
напряжений\н\index{Тензор!напряжений}.

Рассматривая момент сил, действующих на элементарный объем, получим:
$$(\sigma_{xy}-\sigma_{yx})\,dV=I_z\frac{d\omega_z}{dt},$$
или, т.к. момент инерции, $I_z$,~--- бесконечно малая более высокого порядка,
чем~$dV$ (т.к. $I_z\propto\rho\,dV\,l^2$), получим:
$\boxed{\sigma_{\aleph\beth}=\sigma_{\beth\aleph}}$, т.е.\к тензор упругих
деформаций симметричен\н.

Можно выбрать систему координат так, чтобы свести тензор деформаций к диагональному
виду. Такая СК называется\ж главной\н\index{Система!координат!главная}, а
соответствующие координатные оси~--- главными осями тензора напряжений.
\index{Деформации и напряжения|)textbf}


\subsection*{Модуль Юнга}
\index{Модуль!Юнга|(textbf}
Напряжения, получаемые стержнем в результате сжатия или растяжения называют,
соответственно,\ж давлением\н\index{Давление},~$P$, и\ж
натяжением\н\index{Натяжение},~$T$. $P=-T=F/S$. Полученное изменение длины
стержня, $\Delta l$, называют\ж абсолютным\н удлинением или сжатием, кроме того
вводят понятие\ж относительного\н удлинения (сжатия): $\epsilon=\Delta l/l_0$.

Для малых деформаций справедлив\ж закон Гука\н\index{Закон!Гука}:\к натяжение
(давление) при малых деформациях пропорционально относительному удлинению
(сжатию)\н: $T=E\epsilon$. Постоянная $E$, зависящая лишь от материала и
физического состояния стержня, называется\ж модулем Юнга\н.

Более общая форма закона Гука:\к в случае упругих деформаций натяжение является
однозначной функцией  относительного удлинения:
$$T=\E\epsilon+A\epsilon^2+B\epsilon^3+\cdots.$$
Таким образом, расчеты с использованием закона Гука верны лишь с относительной
ошибкой порядка~$\epsilon$, т.е. для вычисления~$\epsilon$ можно пользоваться
и формулой $\epsilon=\Delta l/l$.

\it Принцип суперпозиции малых деформаций\н гласит, что деформацию, полученную
в результате действия нескольких сил, можно вычислить как сумму деформаций от
каждой силы в отдельности.

При деформации внешняя сила расходует энергию, переходящую в\ж упругую
энергию\н\index{Энергия!упругая} деформации. При квазистатическом удлинении
стержня на~$\Delta l$ под действием переменной силы $F$, упругая энергия,~$U$,
и ее объемная плотность,~$u$, равны
$$U=\rev2F\Delta l=\rev2k(\Delta l)^2,\qquad
u=\rev2E\epsilon^2=\frac{T^2}{2E}=\frac{P^2}{2E}.$$
где $k$~--\ж коэффициент упругости\н\index{Коэффициент!упругости}, выражающийся
через модуль Юнга, а $F=k\Delta l$ по закону Гука.
\index{Модуль!Юнга|)textbf}


\subsection*{Коэффициент Пуассона}
\index{Коэффициент!Пуассона|(textbf}
Под действием силы $F$ изменяются не только продольные, но и поперечные размеры
стержня: при растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются, а при сжатии~---
увеличиваются.

\bf Относительным поперечным сжатием\н (растяжением) называется аналогичная~$\epsilon$
величина $-\Delta a/a$. Отношение относительного поперечного сжатия к
соответствующему продольному удлинению называется\ж коэффициентом
Пуассона\н:
$$\mu=-\frac{\Delta a}{a}:\frac{\Delta l}{l}=-\frac{\Delta a}{\Delta l}\cdot\frac{l}{a}.$$

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства
изотропного материала. Все прочие упругие коэффициенты можно выразить через~$E$
и~$\mu$.
\index{Коэффициент!Пуассона|)textbf}


\subsection*{Частные случаи упругих деформаций}
\subsubsection*{Сдвиг}
\index{Сдвиг}
Деформация сдвига приводит к плоскопараллельному перемещению одной поверхности
тела относительно другой на угол~$\gamma$. Малый сдвиг ($\gamma\ll1$) характеризуется
законом $\tau=G\gamma$, где $\tau$~-- касательное напряжение на сдвигаемой
поверхности, $G$~--\ж модуль сдвига\н\index{Модуль!сдвига}. $G$~можно выразить
через модуль Юнга и коэффициент Пуассона, т.к. сдвиг эквивалентен одновременному
растяжению и сжатию тела в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Тогда, т.к. $u=\rev2\tau\gamma=\tau^2/(2G)=(1+\mu)\tau^2/E$, получим:
$\boxed{G=E/[2(1+\mu)]}$.
\subsubsection*{Кручение}
\index{Кручение}
Кручение~--- поворот выбранной плоскости в теле относительно другой плоскости
на угол~$\phi$.
Деформации растяжения, сжатия и сдвига однородны. Однако, при кручении деформация
внутри тела меняется от точки к точке. Закон Гука при кручении выглядит так:
$M=f\phi$, где $M$~-- вращающий момент, $f$~--\ж модуль
кручения\н\index{Модуль!кручения}.

Т.к. $M=2\pi r\delta r\cdot\tau r$, где $\tau$~-- касательное напряжение,
получим:
$$u=\rev2\frac{M\phi}{V}=\rev2\frac{2\pi r\delta r\tau r\phi}{2\pi rl\delta r}=\frac{\pi\tau^2 r^3\delta r}{fl}.$$

Выражая энергию через модуль сдвига, получим:
$$f=\frac{2\pi Gr^3\delta r}{l},\quad\Arr\quad\text{для трубки:}\quad
f=\frac{\pi G}{2l}(r_2^4-r_1^4).$$
\subsubsection*{Изгиб}
\index{Изгиб}
Изгиб является осесимметричной деформацией, при которой ближняя к оси изгиба
поверхность сжимается, а дальняя~--- растягивается. При этом в теле существует
поверхность, вдоль которой деформация равна нулю. Она называется\ж нейтральной\н.

Пусть $R$~-- радиус кривизны нейтральной линии, $\alpha$~-- центральный угол,
опирающийся на дугу деформации. Тогда $l_0=R\alpha$. Пусть некоторое волокно расположено
на расстоянии~$\xi$ от нейтрального сечения. Если брус не слишком толст
($|\xi|\ll R$), то длина волокна $l=(R+\xi)\alpha$, а удлинение, $\Delta l=\xi\alpha$.
Следовательно, натяжение вдоль него, $\tau=E\xi/R$.

В данном случае момент сил натяжения, $M_\tau=EI/R$, где $I=\Int\xi^2,dS$~--
\ж момент инерции\н\index{Момент!инерции}. Интегрируя общее выражение для
момента инерции, можно получить частные выражения для конкретных тел.

Если учесть, что $R=(1+y'^2)^{3/2}/y''$, то при $y'\ll1$ квадратом производной
можно пренебречь. В этом случае $\boxed{M_\tau=EIy''}$.