\subsection*{Уравнение Гамильтона--Якоби}
\index{Уравнение!Гамильтона--Якоби|(textbf}
Положим в выражении~\eqref{MinAction} $\delta q(t_1)=0$, а $\delta q(t_2)=\delta q$.
Заменив $\delta L/\delta\dot q=p$, получим (т.к. траектории удовлетворяют
уравнению Лагранжа): $dS=\sum p_i\,\delta q_i$.

Из определения действия, $dS/dt=L$. Расписав полную производную действия по времени,
получим:
$$\partder{S}{t}=L-\sum_i p_i\dot q_i=-H,\quad\text{либо}\quad
dS=\sum_ip_i\,dq_i-H\,dt.$$

Если заменить в функции Гамильтона импульсы производными $\delta S/\delta q$,
получим уравнение
$$\partder{S}{t}+H(q;\partder{S}{q};t)=0,$$
которому должна удовлетворять функция $S(q;t)$. Это уравнение называется\ж
уравнением Гамильтона--Якоби\н. Решение уравнения для системы с~$s$ степенями
свободы содержит $s+1$ произвольных постоянных, при этом, т.к. $S$ входит
в уравнение только через свои производные, одна из произвольных постоянных
содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл
Гамильтона--Якоби имеет вид
$$S=f(t;q_1,\ldots,q_s;\C_1,\ldots,\C_s)+\const.$$

Из найденного решения уравнения Гамильтона--Якоби можно, составив $s$~равенств
$\delta S/\delta\C_i=\alpha_i$, найти вид функций $q_i=q_i(t,\C_i,\alpha_i)$.
Из уравнений $p_i=\delta S/\delta q_i$ найдем значения функций~$p_i$.

Метод решения задач механики при помощи уравнения Гамильтона--Якоби имеет важную
роль в оптике и квантовой механике. В частности,\ж уравнение
эйконала\н\index{Уравнение!эйконала}, известное в геометрической оптике, можно
рассматривать как аналог уравнения Гамильтона--Якоби. Роль эйконала (поверхности
движущихся волн) играют поверхности $S(q_i)=\const$, а роль световых лучей~---
ортогональные к этим поверхностям траектории движения.
\index{Уравнение!Гамильтона--Якоби|)textbf}