\subsection*{Вариационный принцип Гамильтона}
\index{Принцип!Гамильтона вариационный|(textbf}
Одним из основных понятий механики является понятие\ж материальной
точки\н\index{Материальная точка}~(МТ)~--- тела, размерами которого можно пренебречь
при описании его движения. Для определения положения системы из~$N$ МТ~(СМТ)
в пространстве необходимо задать~$3N$ координат. Вообще, число независимых
величин, задание которых однозначно определяет состояние системы, называется\ж
степенями свободы\н\index{Степени свободы} этой системы.

Любые $s$ величин $q_1,\ldots,q_s$, вполне характеризующие положение системы,
называют ее\ж обобщенными координатами\н\index{Обобщенные координаты}, а производные
$\dot q_1,\ldots,\dot q_s$~---\ж обобщенными скоростями\н. Соотношения, связывающие
ускорения частиц с их координатами и скоростями, называют\ж уравнениями
движения\н\index{Уравнение!движения}.

Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается\к принципом
наименьшего действия\н (\bf принцип Гамильтона\н):\к
каждая механическая система характеризуется определенной функцией обобщенных
координат, скоростей и времени, $L=L(q;\dot q; t)$, а движение системы удовлетворяет
наименьшему значению интеграла\н
$$S=\Int_{t_1}^{t_2}L(q;\dot q;t)\,dt.$$
Функция $L$ называется\ж функцией Лагранжа\н\index{Функция!Лагранжа} данной системы,
а величина~$S$~---\ж действием\н\index{Действие}.

Пусть $q(t)$ и есть функция, для которой $S$ имеет минимум. Тогда для любой другой
функции $q(t)+\delta q(t)$ действие будет иметь большее значение. Для удовлетворения
граничным условиям ($t=t_1$ и~$t=t_2$) должно выполняться: $\delta q(t_1)=
\delta q(t_2)=0$.

Принцип Гамильтона можно формализовать (произведя варьирование и интегрирование
по частям):
\begin{equation}
\delta S=\underbrace{\partder{L}{\dot q}\,\delta q\Bigr|_{t_1}^{t_2}}_{=0}+
\Int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\partder{L}{q}-\frac{d}{dt}\partder{L}{\dot q}\Bigr)\,
\delta q\, dt=0.
\label{MinAction}
\end{equation}
Оставшийся интеграл должен быть равным нулю при произвольных значениях~$\delta q$,
что возможно лишь при тождественном равенстве нулю подынтегрального выражения.
Таким образом, вариационный принцип привел нас к\ж уравнениям
Лагранжа\н\index{Уравнение!Лагранжа} для системы с~$s$ степенями свободы:
$$\frac{d}{dt}\partder{L}{\dot q_i}-\partder{L}{q_i}=0,
\qquad(i=\overline{1,s}).$$

Следует заметить, что функция Лагранжа определена лишь с точностью до прибавления
к ней полной производной любой функции обобщенных координат и времени. Действительно,
при вычислении действия (интегрировании лагранжиана) эта функция даст некую
аддитивную постоянную, исчезающую после варьирования действия.

\index{Принцип!Гамильтона вариационный|)textbf}