\subsection*{Интегралы движения}
\index{Интеграл!движения|(textbf}
При движении механической системы~$2s$ величин (обобщенных координат, $q_i$
и~$\dot q_i$), определяющих ее состояние, изменяются со временем. Однако, существуют
функции этих величин, сохраняющих при движении постоянное значение, зависящее
лишь от граничных условий. Эти функции называют\ж интегралами
движения\н. Число независимых интегралов движения для
замкнутой системы с~$s$ степенями свободы равно~$2s-1$. Если из общего решения
уравнения движения исключить постоянную, определяющую начальный момент времени,
получим интегралы движения:
$$q=q(t+t_0,\C_1,\ldots,\C_{2s-1});\qquad
\dot q=\dot q(t+t_0,\C_1,\ldots,\C_{2s-1}).
$$

В механике некоторые интегралы движения связаны с однородностью и изотропностью
пространства и времени, причем они обладают свойствами аддитивности. Так, с\к
однородностью времени\н связана\ж энергия\н\index{Энергия!механическая} системы.
Действительно, в силу однородности времени лагранжиан замкнутой системы от
времени не зависит. Продифференцировав уЛ по времени, получим:
$$\frac{d}{dt}\Bigl(\sum_i\dot q_i\partder{L}{\dot q_i}-L\Bigr)=0.$$
Величина в скобках (один из интегралов движения) и является энергией, а предыдущее
уравнение описывает\ж закон сохранения энергии\н\index{Закон!сохранения!энергии}.

Другой закон сохранения связан с однородностью пространства. В силу этой однородности
механические свойства замкнутой системы не изменяются при ее параллельном переносе
в пространстве. Формализуя сказанное, получим:
$$\delta L=\sum_a\partder{L}{\vec r_a}\delta r_a=\C\sum_a\partder{L}{\vec r_a}=0.$$
В силу уЛ, получим:
$$\sum_a\frac{d}{dt}\partder{L}{\vec v_a}=\frac{d}{dt}\sum\partder{L}{\vec v_a}=0;\qquad
\vec p=\sum_a\partder{L}{\vec v_a}=\sum_a m_a\vec v_a=\const.$$
Вектор $\vec p$ называется\ж импульсом\н\index{Импульс} системы, а предыдущее
выражение~--- не что иное, как\ж закон сохранения импульса\н\index{Закон!сохранения!импульса}. Из закона сохранения импульса,
$\frac{d\vec p}{dt}=0$ вытекает, также, что сумма сил, действующих на частицы
замкнутой системы, равна нулю.

Если движение описывается обобщенными координатами, $q_i$, то производные
лагранжиана по обобщенным скоростям, $\partder{L}{\dot q_i}$, называют\ж
обобщенными импульсами\н\index{Импульс!обобщенный}, а производные по обобщенным
координатам, $\partder{L}{\dot q_i}$~---\ж обобщенными силами\н\index{Сила!обобщенная}.
\index{Интеграл!движения|)}
