lectures/Komp_obr/homeworks.tex

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage{/home/eddy/ed,verbatim,lineno}
\title{Задания для самостоятельной работы по дисциплине <<Компьютерная обработка результатов
измерений>>}
\makeatletter
\renewcommand{\@oddfoot}{\vbox{\hbox to\textwidth{\hfil\thepage\hfil}}}
\renewcommand{\@evenfoot}{\vbox{\hbox to\textwidth{\hfil\thepage\hfil}}}
\def\V{\ensuremath{\mathfrak{N}}\xspace}
\makeatother
\begin{document}
\maketitle
Внимание! Во всех заданиях вместо $\V$  необходимо вставить число, соответствующее номеру вашего варианта.

Для решения заданий может использоваться любая привычная вам среда обработки данных. В качестве отчета
требуется предоставить архив с исходным файлом в формате \LaTeX и сопутствующими файлами (графика,
собственный стилевой файл и т.п.). В отчете привести полученные графики, изображения и численные результаты,
при необходимости сделать  краткий вывод.

\section{Статистика и вероятность. Случайные величины и распределения}
\begin{enumerate}
\item Найдите сумму, разность, произведение и частное матриц
$$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\6&\V&4\\9&8&7\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}9&8&7\\5&\V&1\\0&2&6\end{pmatrix}.$$
Найдите определители исходных и получившихся матриц (команда \verb'det(A)').

\item
\label{noicy_AM}
Получите сигнал с амплитудной модуляцией (из примера). Добавьте к нему гауссов
белый шум с SNR $15+5\cdot\V$~дБ. Постройте отдельно графики всех
полученных сигналов.

Для полученного сигнала найдите следующие характеристики: математическое ожидание
(\verb'mean'), среднее квадратичное отклонение (\verb'std'), медиану (\verb'median')
и моду (\verb'mode'). Найдите аналогичные величины для разности между зашумленным
и оригинальным сигналом. Сравните полученные величины с теоретическими.
\end{enumerate}

\section{Теория физических измерений. Систематические и случайные погрешности}
\begin{enumerate}
\item
Известно, что некоторая зависимость (см. таблицу ниже) имеет вид
$y=ax\sin(x)-b\ln(x)$. Определите коэффициенты~$a$ и~$b$ и постройте
данную кривую с более детальным отображением (на векторе \verb'[1:0.05:10]').
Подсказка: сразу же задайте вектора~$x$ и~$y$ как столбцы; матрица~$X$ задается
командой \verb'X=[x.*sin(x)  -log(x)]'.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\bf x&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
\bf y&-0.68 & 8.41  &  -23.0 &  -37.2 &  -73.2 & -39.7 &  9.14 &  21.0 &
7.97 & -72.5\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
($a=7.72$, $b=14.8$).

\item
Промоделируйте эксперимент измерения ста значений функции $y=\V x^3+3.4x^2-1.1\V x+9.2$
и восстановления коэффициентов зависимости. Для этого создайте вектор аргумента
\verb'x=[1:100]', получите по формуле соответствующий вектор функции \verb'y_ideal',
а из него~--- зашумленный результат \verb'y' с SNR=25\,дБ.

Методом \verb'polyfit'~---~\verb'polyval' получите значения коэффициентов.
Отобразите на графике точками исходные данные и непрерывной линией полученный
аппроксимацией результат.

\item
Аналогично предыдущему заданию составьте модель эксперимента по измерению
амплитуды напряжения в контуре, испытывающем колебания с основной частотой
$\Omega=1000\,$Гц и двумя гармониками $\Omega\pm\omega$, где $\omega=74\,$Гц.
Известно, что суммарное колебание описывается приближенной
формулой $U=100\V\sin(\Omega t)+50\V\sin(\omega t)-33\V\cos(\omega t)$.
Создайте интервал времен {\tt t=[0: 0.06: 120]}. Для получения идеальных
значений~$U$ положите $a=361$, $b=117$, $c=92$. Отношение сигнал/шум при
получении зашумленного сигнала выберите равным~20\,дБ.

Восстановите значения коэффициентов~$a$, $b$ и~$c$.
\end{enumerate}

\section{Теория оценок}
\begin{enumerate}
\item
Определите давление в цилиндре с газом, исходя из закона Менделеева--Клапейрона:
$pV=mRT/\mu$, если известно, что масса газа $m=2\V\,$грамм, $\mu=29\,$г/моль, $R=8.31$, а объем и
температуру газа измеряли в течение минуты, получив следующие значения:
\begin{center}\small
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Величина &\multicolumn{10}{|c|}{Значение}\\
\hline
$V$, л&2.27&2.27&2.26&2.25&2.26&2.27&2.29&2.28&2.25&2.28\\
$T$, К&399.4&399.1&399.3&396.8&399.5&400.2&400.6&403.0&399.2&401.3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Считайте, что за это время давление газа не успело сколь-нибудь значительно измениться.
Определите погрешности измерения величин~$V$ и~$T$. Считая, что остальные величины являются
постоянными, определите косвенную погрешность измерения~$p$.

Для удобства вычислений\к создайте скрипт, позволяющий для заданного ряда данных
получить математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение и относительную
ошибку\н.

Запишите результат в виде $p=\mean{p}\pm\sigma_p$.

\item
Для определения емкости~$C$ неизвестного конденсатора при помощи осциллографа исследовали
затухающий импульс, возникающий при разрядке конденсатора через резистор~$R=\V\,$кОм.
По показаниям осциллографа были записаны следующие значения тока:
\begin{center}\small
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$t$, с&0.0&0.1&0.2&0.3&0.4&0.5&0.6&0.7&0.8&0.9&1.0\\
$I$, А&1.00&0.72&0.52&0.37&0.26&0.19&0.14&0.10&0.07&0.04&0.03\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Известно, что погрешность считывания значений тока с экрана осциллографа составляет
$\sigma_I=(0.01/\V)\,$А. Кроме того, известно что сопротивление резистора известно с точностью~5\%.
Из формулы $I=I_0\exp(-t/[RC])$ определите погрешность измерения емкости конденсатора.

Методом наименьших квадратов определите значение емкости конденсатора, исходя из
уравнения $t=-RC\ln I$ (составьте матрицу \verb"X=-R*log(I')" и найдите решение:
\verb'C=X\t'. Запишите ответ в виде $C=\mean{C}\pm\sigma_C$.

Для увеличения точности эксперимента было проведено еще одно измерение, результаты
которого несколько отличались от предыдущих:
\begin{center}\small
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$t$, с&0.0&0.1&0.2&0.3&0.4&0.5&0.6&0.7&0.8&0.9&1.0\\
$I$, А&1.00&0.75&0.56&0.41&0.30&0.23&0.17&0.12&0.10&0.07&0.05\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Проверьте нулевую гипотезу о равенстве средних в обоих опытах. Определите величину емкости
во втором случае.

Столь большое различие емкостей, полученных в результате двух независимых экспериментов,
заставило предположить, что в результате длительной эксплуатации резистор~$R$ нагрелся, что
вызвало увеличение его сопротивления. Считая емкость конденсатора прежней, определите сопротивление
резистора во втором случае.

\end{enumerate}

\section{Системы линейных уравнений. Степенные уравнения. Дифференциальные уравнения}
\begin{enumerate}
\item
Решите систему уравнений
$$\left\{\begin{aligned}
x_1+2x_2+3x_3&=\V;\\
2x_1-x_2+4x_3&=2;\\
x_1-3x_2+\V x_3&=3.
\end{aligned}\right.
$$

\item
Решите (аналитически) уравнение $x^3+ax^2+bx+c=0$.

Найдите решение этого уравнения при $a=\V$, $b=2$, $c=3$ двумя способами:
при помощи функции~\verb'subs' и функции~\verb'roots'.

\item
Найдите решение уравнения
$$
(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+12y=0
$$
с начальными условиями $y(0)=0$, $y'(0)=\V$. Попробуйте решить, используя преобразования Лапласа.

\end{enumerate}


\section{Анализ временных рядов. Фурье и вейвлет-анализ}
\begin{enumerate}
\item
Затабулируйте функцию $y=10^x$ на отрезке $[2,4]$ с шагом~0.05.
Вычислите теперь при помощи этой таблицы значение произведения $X=1097\cdot(2500+100\V)$
(воспользуйтесь свойством логарифмов). Для нахождения
значений $\ln1097$ и $\ln1013$ воспользуйтесь аппроксимацией сплайнами.
Аналогично, при помощи аппроксимации сплайнами вычислите~$X$.

\item
Создайте вектор--сигнал, представляющий собой сумму двух синусоид с~$\nu_1=(50+\V)$\,Гц
и~$\nu_2=(170-2\V)\,$Гц на промежутке $t\in[0,0.25]\,$с с периодом
дискретизации~$0.001\,$с. Добавьте к нему аддитивного нормального шума:
\begin{verbatim}
y = y + 2*randn(size(t));
\end{verbatim}
Постройте спектр итогового сигнала, определите по спектру частоты исходных
сигналов.

\item
Создайте зашумленную копию лабораторного сигнала с $S/N=-10\,$дБ. Выделите полезный сигнал при
помощи вейвлет-фильтрации (подходящий базис подберите самостоятельно).
\end{enumerate}


\section{Обработка изображений}
\begin{enumerate}
\item Для пробного изображения постройте преобразования методом эквализации
гистограммы с функциональными зависимостями для функции $f(x)$ (\verb'x = [1:256]').

Значения $f(x)$ по вариантам:  $\sin(x)$~(1, 6), $\cos(x)$~(2, 7), $\exp(x)$~(3, 8), $\ln(x)$~(4, 9), $\exp(-x^2)$~(5, 10).

\item Создайте изображение шахматной доски с размером ячейки $20\times20$
пикселей. Смажьте изображение на 2\V~точек под углом~$45\degr$. Добавьте
гауссова шума с математическим ожиданием~0 и среднеквадратичным отклонением~$0.01$.
Отфильтруйте изображение при помощи простого винеровского фильтра и винеровского
фильтра с учетом автокорреляционных функций.
Сравните результаты.

\item Для пробного изображения постройте маску, выделяющую протяженные объекты (туманности, ядра галактик и
скоплений) при помощи морфологических преобразований. Определите количество найденных объектов методом
поиска 8-связных областей. Умножьте исходное изображение на маску и сохраните результат.

\item Постройте фильтр лапласиана гауссианы $50\times50\,$ пикселей с полушириной \V пикселей. Сравните
производительность свертки пробного изображения с этим фильтром непосредственной реализацей свертки и
реализацией свертки через преобразование Фурье.

Примените к пробному изображению наиболее подходящий с вашей точки зрения фильтр в частотной области для
улучшения его визуализации.

\end{enumerate}

\end{document}