mirror of
https://github.com/eddyem/lectures.git
synced 2025-12-06 10:45:09 +03:00
583 lines
15 KiB
TeX
583 lines
15 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,12pt]{extarticle}
|
||
\usepackage{/home/eddy/ed, verbatim}
|
||
\title{Практикум \No4: системы уравнений, интегралы, производные}
|
||
\author{}\date{}\nocolon
|
||
|
||
\long\def\task#1{\par\noindent\leavevmode\refstepcounter{sect}\llap{\textbf{\thesect}\;}\indent\textit{#1}\par}
|
||
\def\t#1{{\upshape\ttfamily #1}}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
\maketitle
|
||
|
||
\section{Системы уравнений}
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Решить систему уравнений}
|
||
$$\left\{
|
||
\begin{aligned}
|
||
-x_1+x_2+2x_3&=10;\\
|
||
3x_1-x_2+x_3&=-20;\\
|
||
-x_1+3x_2+4x_3&=40.
|
||
\end{aligned}
|
||
\right.
|
||
$$
|
||
|
||
Представим ее в виде $\B{Ax=b}$.
|
||
Инициализируем постоянные:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
A=[-1 1 2; 3 -1 1; -1 3 4];
|
||
b=[10; -20; 40];
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Нам необходимо проверить на вырожденность матрицу~$\B A$:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
det(A)
|
||
ans = 10.000
|
||
\end{verbatim}
|
||
Теперь решить данную систему можно несколькими способами.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Через обратную матрицу.
|
||
$$\B A^{-1}\B{Ax}=\B A^{-1}\B b,\quad \Arr \quad
|
||
\B x=\B A^{-1}\B b.$$
|
||
В Octave это примет вид:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
x = inv(A)*b
|
||
x =
|
||
1.00000
|
||
19.00000
|
||
-4.00000
|
||
\end{verbatim}
|
||
Проверим решение:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
A*x
|
||
ans =
|
||
10.000
|
||
-20.000
|
||
40.000
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
\item Метод Гаусса. Приведем к верхней треугольной форме расширенную
|
||
матрицу~$(\B A:\B b)$:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
rref([A b])
|
||
ans =
|
||
1.00000 0.00000 0.00000 1.00000
|
||
0.00000 1.00000 0.00000 19.00000
|
||
0.00000 0.00000 1.00000 -4.00000
|
||
\end{verbatim}
|
||
Слева мы получили единичную матрицу, что значительно упрощает вычисления.
|
||
Однако, если бы матрица не имела нулей в правом верхнем углу, мы все равно
|
||
могли бы найти корни системы (обратный ход метода Гаусса).
|
||
|
||
\item Автоматический метод Гаусса. В данном случае необходимо лишь воспользоваться
|
||
уже известным вам оператором <<левого>> (или обратного) деления:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
x = A\b
|
||
x =
|
||
1.0000
|
||
19.0000
|
||
-4.0000
|
||
\end{verbatim}
|
||
Далее мы будем использовать именно этот способ решения линейных систем уравнений.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Решить систему уравнений, заданную вырожденной матрицей}
|
||
$$\left\{
|
||
\begin{aligned}
|
||
x_1+3x_2+7x_3&=5;\\
|
||
-x_1+4x_2+4x_3&=2;\\
|
||
x_1+10x_2+18x_3&=12.
|
||
\end{aligned}
|
||
\right.
|
||
$$
|
||
|
||
\begin{verbatim}
|
||
A = [ 1 3 7; -1 4 4; 1 10 18];
|
||
b = [5; 2; 12];
|
||
det(A)
|
||
ans = 0
|
||
\end{verbatim}
|
||
Так как определитель матрицы коэффициентов равен нулю, невозможно найти обратную
|
||
матрицу. Однако, можно воспользоваться способом решения через\к псевдообратную
|
||
матрицу\н:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
x = pinv(A)*b
|
||
x =
|
||
0.38498
|
||
-0.11033
|
||
0.70657
|
||
% check
|
||
A*x
|
||
ans =
|
||
5.0000
|
||
2.0000
|
||
12.0000
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Однако, изменим вектор $\B b$:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
b = [3;6;0];
|
||
x = pinv(A)*b
|
||
x =
|
||
-1.08920
|
||
1.25117
|
||
-0.52347
|
||
% check
|
||
A*x
|
||
ans =
|
||
-1.0000
|
||
4.0000
|
||
2.0000
|
||
\end{verbatim}
|
||
В этом случае решение не будет точным (точнее, оно вообще не является решением
|
||
данной системы). Проверим, возможно ли найти общее решение данной системы уравнения,
|
||
приведя к верхней треугольной форме расширенную матрицу $(\B A:\B b)$:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
rref([A b])
|
||
ans =
|
||
1.00000 0.00000 2.28571 0.00000
|
||
0.00000 1.00000 1.57143 0.00000
|
||
0.00000 0.00000 0.00000 1.00000
|
||
\end{verbatim}
|
||
Последняя строка содержит ненулевой элемент лишь в столбце свободных членов, что
|
||
однозначно свидетельствует об отсутствии решений данной системы уравнений.
|
||
|
||
|
||
\section{Степенные уравнения}
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Найти решение уравнения $2x^2-4x+5=0$.}
|
||
|
||
Для этого необходимо инициализировать полином набором коэффициентов и найти корни
|
||
командой~\verb'roots'.
|
||
\begin{verbatim}
|
||
p = [2 -4 5];
|
||
x = roots(p)
|
||
x =
|
||
1.0000 + 1.2247i
|
||
1.0000 - 1.2247i
|
||
\end{verbatim}
|
||
Итак, корни нашего уравнения: $x=1\pm1.2247i$. Точность вычислений Octave можно
|
||
задать явно командой~\verb'format'. Для отображения результата в виде рациональных
|
||
дробей можно указать следующее.
|
||
\begin{verbatim}
|
||
format rat
|
||
x =
|
||
1 + 4801/3920i
|
||
1 - 4801/3920i
|
||
\end{verbatim}
|
||
Вернуться к прежнему виду результатов можно командой~\verb'format short'.
|
||
|
||
\task{Найти корни полинома $p(x)=x^4+2x^3-3x^2+4x+5$ и получить его график на отрезке $[-4, 2]$.}
|
||
\begin{verbatim}
|
||
p = [1 2 -3 4 5];
|
||
x = roots(p)
|
||
x =
|
||
-3.18248 + 0.00000i
|
||
0.95560 + 1.11480i
|
||
0.95560 - 1.11480i
|
||
-0.72873 + 0.00000i
|
||
|
||
x=[-4:.05:2]; y=polyval(p,x);
|
||
plot(x,y)
|
||
\end{verbatim}
|
||
Нарисуем ось Х:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
hold on
|
||
plot([-4 2], [0 0],'k')
|
||
\end{verbatim}
|
||
Команда \verb'hold on' позволяет <<дорисовать>> что-либо на уже имеющемся
|
||
графике. Буква~\verb"'k'" в параметре означает рисование черным цветом. Отключить
|
||
вывод на один и тот же график можно командой~\verb'hold off'.
|
||
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Найти решение уравнения $y=x^3+x^2-3x-3$.}
|
||
|
||
Зададим функцию:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
f = inline("x^3+x^2-3*x-3");
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Функция \t{fsolve} позволяет решать нелинейные уравнения, и ее можно применить в т.ч. к решению
|
||
степенных уравнений. Необходимо задать начальное приближение для поиска. Задавая разные значения,
|
||
получим разные корни:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
fsolve (f, 1)
|
||
ans = 1.7321
|
||
fsolve (f, 0)
|
||
ans = -1
|
||
fsolve (f, -2)
|
||
ans = -1.7321
|
||
\end{verbatim}
|
||
Можем проверить корни:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
p=[1 1 -3 -3]
|
||
p =
|
||
1 1 -3 -3
|
||
roots(p)
|
||
ans =
|
||
1.7321
|
||
-1.7321
|
||
-1.0000
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
А теперь попробуем решить этим же методом систему уравнений:
|
||
$$\begin{cases}
|
||
\e^{-\e^{-(x+y)}} = y(1+x^2),\\
|
||
x\cos y + y\sin x = 1/2.
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
Для начала конвертируем их к виду $F(x)=0$:
|
||
$$\begin{cases}
|
||
\e^{-\e^{-(x+y)}} - y(1+x^2) = 0,\\
|
||
x\cos y + y\sin x - 1/2 = 0.
|
||
\end{cases}
|
||
$$
|
||
|
||
Запишем функцию, позволяющую вычислить обе компоненты:
|
||
\verbatiminput{Materials4Pract/04/F.m}
|
||
|
||
Теперь попробуем найти решение, начиная с $(0,0)$:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
fsolve(@F, [0 0])
|
||
ans =
|
||
0.35325 0.60608
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
\section{Численное интегрирование, дифференциальные уравнения}
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Найти интеграл $\Int_0^3 x(\sin\frac{1}{x})\sqrt{|1-x|}\,dx$.}
|
||
|
||
Для вычисления подынтегральной функции в каждом узле интегрирования, нам необходимо задать функцию
|
||
\t{i1.m}:
|
||
\verbatiminput{Materials4Pract/04/i1.m}
|
||
Для интегрирования с оптимальным расчетом квадратур можно использовать функцию \t{quad}:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
[q, ier, nfun, err] = quad (@i1, 0, 3)
|
||
ABNORMAL RETURN FROM DQAGP
|
||
q = 1.9819
|
||
ier = 1
|
||
nfun = 5061
|
||
err = 0.00000011522
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
\t{q}~-- результат интегрирования, \t{ier}~-- код ошибки интегрирования (при нормальной процедуре
|
||
равен 0), \t{nfun}~-- количество узлов интегрирования, \t{err}~-- оценка ошибки интегрирования.
|
||
|
||
Здесь и во многих других функциях первым аргументом является либо строка с именем функции, либо
|
||
ссылка на нее (как в данном случае), либо inline-функция.
|
||
|
||
Еще примеры интегрирования. Квадратурная формула Гаусса--Конрода:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
f = inline ("x.^3");
|
||
quadgk (f, 0, 1)
|
||
ans = 0.25000
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Квадратура Кленшоу--Куртиса (и бесконечный предел интегрирования):
|
||
\begin{verbatim}
|
||
f = @(x) x.^3 .* exp (-x);
|
||
quadcc (f, 0, Inf)
|
||
ans = 6.0000
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Квадратура Симпсона:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
f = inline ("x.^3");
|
||
quadv(f, 0, 1)
|
||
ans = 0.25000
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Автоматический выбор квадратуры:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
integral(f, 0, 1)
|
||
ans = 0.25000
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Найти интеграл $\Int_0^5 (x^4+2x^2-1)dx$}
|
||
|
||
Можно посчитать интеграл и другим способом, если задан полином: определим коэффициенты полинома,
|
||
вычислим новый полином, являющийся интегралом нашего, а затем, вычитая первообразные, найдем
|
||
искомый интеграл:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
c = [1 0 2 0 -1];
|
||
i = polyint(c);
|
||
I = polyval(i, 5) - polyval(i, 0)
|
||
I = 703.33
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Аналогичным образом мы можем вычислять производные:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
d = polyder(c);
|
||
polyval(d, [1:5])
|
||
ans =
|
||
8 40 120 272 520
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Вычислить интеграл $\Int_0^1 dx\Int_{-1}^1 \cos(\pi xy)\sqrt{x|y|}\,dy$}
|
||
Для двухмерного интегрирования воспользуемся функцией \t{dblquad}
|
||
\begin{verbatim}
|
||
I = dblquad(@(x, y) cos (pi*x.*y) .* sqrt (x.*abs(y)), 0, 1, -1, 1)
|
||
I = 0.30892
|
||
% OR
|
||
I = quad2d(@(x, y) cos (pi*x.*y) .* sqrt (x.*abs(y)), 0, 1, -1, 1)
|
||
I = 0.30892
|
||
% OR
|
||
[I err] = integral2(@(x, y) cos (pi*x.*y) .* sqrt (x.*abs(y)), 0, 1, -1, 1)
|
||
I = 0.30892
|
||
err = 0.00000030870
|
||
\end{verbatim}
|
||
Тройные интегралы~--- \t{triplequad} или \t{integral3}.
|
||
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Решить дифференциальное уравнение $\dot{x}=-\e^t x^2$ при $x(0)=2$.}
|
||
Запишем функцию, вычисляющую $\dot{x}$:
|
||
\verbatiminput{Materials4Pract/04/ode1.m}
|
||
Заданим аргумент $t\in[0,5]$ как вектор в 50 экземпляров
|
||
\begin{verbatim}
|
||
t = linspace(0,5,50);
|
||
x = lsode(@ode1, 2, t);
|
||
plot(t,x)
|
||
\end{verbatim}
|
||
\t{lsode} решает простейшее уравнение $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ при начальных условиях $y(0)$ по
|
||
заданному вектору~$x$.
|
||
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Решить методом Рунге--Кутты дифференциальное уравнение ван~дер~Поля}
|
||
$y''+\mu(1-y^2)y'+y=0$, $\mu>0$.
|
||
|
||
Для начала перепишем это уравнение с заменой $y_1=y$, $y_2=y_1'$:
|
||
$y_2'=\mu(1-y_1^2)y_2-y_1$. Для простоты примем~$\mu=1$.
|
||
Введем функцию, описывающую наше уравнение (ее необходимо ввести как новый
|
||
m-файл и сохранить под именем \t{vdp1.m}):
|
||
\verbatiminput{Materials4Pract/04/vdp1.m}
|
||
|
||
Теперь найдем решение уравнения и отобразим графики функции~$y$ и ее первой
|
||
производной:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
[t, y] = ode45(@vdp1, [0 20], [2; 0]);
|
||
plot(t, y(:,1), '-', t, y(:,2), '--')
|
||
\end{verbatim}
|
||
Функция \verb'ode45' в качестве первого параметра требует имя функции, в которой
|
||
описано дифференциальное уравнение; второй параметр~--- интервал, в котором
|
||
изменяется аргумент искомой функции; третий аргумент~--- начальные условия для
|
||
функции и ее производной.
|
||
Возвращаемое значение~$y$ содержит два столбца: в первом находится искомая
|
||
функция, а во втором~--- ее первая производная.
|
||
|
||
Итак, для численного решения дифференциального уравнения в Octave необходимо
|
||
сначала представить это уравнение в виде линейной системы
|
||
$$\left\{\begin{aligned}
|
||
y_1'&=f_1(x,y_1,\ldots,y_n),\\
|
||
y_2'&=f_2(x,y_1,\ldots,y_n),\\
|
||
\cdots\\
|
||
y_n'&=f_n(x,y_1,\ldots,y_n).
|
||
\end{aligned}
|
||
\right.
|
||
$$
|
||
Затем функции $f_1$, \ldots, $f_n$ следует определить как строки специальной
|
||
функции, которая будет играть роль первого параметра функции, решающей данное
|
||
уравнение.
|
||
|
||
|
||
\section{Численное дифференцирование}
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Для ряда данных вычислить производную и построить график функции и производной}
|
||
\begin{verbatim}
|
||
x = [0:0.01:10];
|
||
y = y=x.^2.*sin(x)+sin(x/11)-tan(x*222)/cos(x);
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Простейший способ найти производную~--- воспользоваться методом разделенных разностей. Функция
|
||
\t{diff} вычисляет разность $y(x_{i+1})-y(x_i)$. Производную $y'(x)$ мы можем рассчитать в нулевом
|
||
приближении либо как $\frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{x_{i+1}-x_i}$, либо как
|
||
$\frac{y(x_i)-y(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}$.
|
||
Попробуем оба способа. Учитывая то, что мы имеем равномерно распределенный ряд, вычисления
|
||
упрощаются.
|
||
\begin{verbatim}
|
||
dy1=[0 diff(y)]/0.01;
|
||
dy2=[diff(y) 0]/0.01;
|
||
plot(x,[y;dy1;dy2])
|
||
\end{verbatim}
|
||
Благодаря гладкости функции и большому шагу, мы практически не видим разницы. Однако, если мы в
|
||
10~раз уменьшим шаг, сдвиг уже будет иметь значение.
|
||
|
||
Кстати, мы можем и простейшим образом (трапециями) вычислить интеграл:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
iy = [cumsum(y)];
|
||
plot(x,[y;dy1;iy])
|
||
legend("F", "dF", "iF")
|
||
\end{verbatim}
|
||
Если добавить ось X (\t{plot(x,[y;dy1;iy], x, zeros(size(x)))}), поведение интегральной кривой
|
||
отлично отразится на оригинальной функции.
|
||
|
||
%
|
||
%
|
||
%
|
||
\task{Найти производную зашумленного ряда данных.}
|
||
(не удалять предыдущие данные!)
|
||
|
||
О функции \t{polyder} мы уже упоминали. Она отлично подходит для тех наборов данных, которые можно
|
||
аппроксимировать полиномом. Давайте повторим предыдущие вычисления \t{y}, но добавим шум в 10дБ:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
yn = awgn(y, 10, "measured");
|
||
plot(x,[y;yn], x, zeros(size(x)))
|
||
\end{verbatim}
|
||
Естественно, функции \t{diff} и \t{cumsum} в данном случае будут давать ужасный результат:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
plot(x,[yn;[0 diff(yn)]/0.01])
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Попробуем аппроксимировать нашу кривую полиномом десятой степени и сравнить на графике (а потом
|
||
сравним с оригиналом):
|
||
\begin{verbatim}
|
||
p=polyfit(x,yn, 10);
|
||
plot(x,[yn; polyval(p,x)])
|
||
plot(x,[y; polyval(p,x)])
|
||
\end{verbatim}
|
||
Естественно, в самом начале (в районе нуля) шумы настолько велики, что аппроксимация получается,
|
||
мягко говоря, не очень. Но это все равно лучше, чем начальный зашумленный ряд.
|
||
|
||
Теперь вычисляем производную и сравним с предыдущей.
|
||
\begin{verbatim}
|
||
dp = polyder(p);
|
||
dyp=polyval(dp, x);
|
||
plot(x,[dy1;dyp])
|
||
\end{verbatim}
|
||
И еще:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
plot(x,[y;yn;dy1;dyp])
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
Можно попробовать разные степени полинома для аппроксимации этой функции, сравнив результаты.
|
||
|
||
Еще одним вариантом вычисления производной является функция \t{gradient}. Здесь можно
|
||
<<автоматически>> учесть шаг:
|
||
\begin{verbatim}
|
||
plot(x,[y;dy1;gradient(y,0.01)])
|
||
\end{verbatim}
|
||
А в случае неравномерно распределенных данных, мы можем задать вектор \t{x}.
|
||
\begin{verbatim}
|
||
x = [0 0.1 0.5 1 1.1 1.5 7 7.1 7.2 7.5 10 10.5 12 15 20 20.1 25 45 47 56 100];
|
||
y = x.^2.*sin(x)+sin(x/11)-tan(x*222)/cos(x);
|
||
dyy = gradient(y, x);
|
||
x1 = [0:0.1:100];
|
||
y1 = x1.^2.*sin(x1)+sin(x1/11)-tan(x1*222)/cos(x1);
|
||
plot(x, dyy, x1, [0 diff(y1)])
|
||
% и сравним с ходом оригинальной функции
|
||
plot(x, [y; dyy], x1, [y1; [0 diff(y1)]])
|
||
% who is who
|
||
legend("bad", "dbad", "ori", "dori")
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
\task{Вычислите вторую производную предыдущей функции}
|
||
Для этого можно воспользоваться функцией \t{del2} (дискретный Лапласиан):
|
||
\begin{verbatim}
|
||
plot(x,[y;del2(y)*1e4])
|
||
\end{verbatim}
|
||
Не забываем, что т.к. мы вычисляем вторую производную, то интервал необходимо возвести в квадрат!
|
||
|
||
Естественно, N-ю производную мы можем вычислить и многократным вызовом функции \t{diff}, если
|
||
данные распределены равномерно.
|
||
|
||
|
||
\section{Задания для самостоятельного выполнения}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item
|
||
Решите систему уравнений
|
||
$$\left\{\begin{aligned}
|
||
x_1+2x_2+3x_3&=1;\\
|
||
2x_1-x_2+4x_3&=2;\\
|
||
x_1-3x_2+x_3&=3.
|
||
\end{aligned}\right.
|
||
$$
|
||
%(1,$\pi$,0)
|
||
|
||
\item Решите систему уравнений
|
||
$$\left\{\begin{aligned}
|
||
x_1+x_2/2+x_3/3&=1;\\
|
||
x_1/2+x_2/3+x_3/4&=0;\\
|
||
x_1/3+x_2/4+x_3/5&=0.
|
||
\end{aligned}\right.
|
||
$$
|
||
Обратите внимание, что определитель матрицы коэффициентов {\tt det(A) = 4.6296e-04}.
|
||
Такие системы называются\ж плохо обусловленными\н. Их решения сильно осциллируют
|
||
при малейших изменениях коэффициентов матрицы.
|
||
|
||
\item
|
||
Решите уравнение $x^7-2x^5+3x^3-4x=0$.
|
||
%( $0$,
|
||
%$\pm1.2848$,
|
||
%$0.9304 \pm 0.8313i$,
|
||
%$-0.9304 \pm 0.8313i$).
|
||
|
||
\item
|
||
Решите систему уравнений
|
||
$$
|
||
\left\{\begin{aligned}
|
||
\e^{x+y} &= \sin x;\\
|
||
\cos x &= \ln y - 1.
|
||
\end{aligned}\right.
|
||
$$
|
||
|
||
\item
|
||
Вычислите $\Int_0^1 \ln (x+1)\sin x\, dx$.
|
||
|
||
\item
|
||
Вычислите $\Int_{-1}^2 dx\Int_{-\pi}^0 dy\Int_0^1\frac{ln(xyz)}{\cos(xy)}dz$.
|
||
|
||
\item
|
||
Найдите решение уравнения ван~дер~Поля при $\mu=5$.
|
||
% (1.2350)
|
||
|
||
\item
|
||
Постройте график решения задачи Коши методом Рунге--Кутты на интервале
|
||
$[0,1]$ для уравнения $y'=x^3\sin y+1$ при $y(0)=0$.
|
||
|
||
\item
|
||
Найдите решение системы уравнений:
|
||
$$
|
||
\left\{\begin{aligned}
|
||
2(x-4)^2 + 7(y-8)^2 &= z^2;\\
|
||
5(x-1)^2 +1 + 2z^2 &= 4(y+3)^2;\\
|
||
x^2 + y^2 + z^2 &= 0.\\
|
||
\end{aligned}\right.
|
||
$$
|
||
|
||
\item Вычислите производную и интеграл для ряда данных $y=y(t)$.
|
||
|
||
\begin{verbatim}
|
||
t = [0 1 3 5 9 10 11 15 20 21 23 25 50 52 57 59 60 73 94 96 99 100];
|
||
y = [41.6 -0.4 7.6 -25.8 5.3 23.1 636.7 -46.7 -3.7 -29.1 96.6 3.3 -9.4 56.7
|
||
17.5 -17.1 17.4 4.3 -0.3 12.3 85.9 44.2];
|
||
\end{verbatim}
|
||
|
||
\item Вычислить производную и интеграл для функции $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$ с отношением
|
||
сигнал-шум 10дБ на
|
||
промежутке $[-10,10]$.
|
||
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{document}
|