\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
\usepackage{lect}

\title[Компьютерная обработка. Лекция 7.3.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
\subtitle{Лекция 7.3. Обработка астрономических изображений}
\date{5 апреля 2021 года}

\begin{document}
% Титул
\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}
% Содержание
\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Сигнал--шум}
\begin{blueframe}{}
\only<1>{
\begin{block}{SNR}
$$\SNR = \frac{N}{\sqrt{N}}= \sqrt{N},\qquad N=N_{star}+N_{sky}\quad\Arr$$
$$\SNR\approx\frac{N_{star}}{\sqrt{N_{star}+2N_{sky}}},\qquad N=t_{exp}\cdot R\quad\Arr$$
$$\SNR\approx\frac{R_{star}\sqrt{t_{exp}}}{\sqrt{R_{star}+2R_{sky}}}\quad\Arr\quad
	\SNR\propto\sqrt{t_{exp}}$$
$$R=R_0\cdot S_{mirror}\propto D_{mirror}^2\quad\Arr\quad \SNR\propto D_{mirror}$$
$$N_{meas}\text{ коротких экспозиций вместо
одной:}\quad\sigma_{mean}=\frac{\sigma_{individ}}{\sqrt{N_{meas}}}\propto\frac{\sqrt{S}}{N_{meas}}$$
$$\SNR_{mean}=\frac{S/N_{meas}}{\sigma_{mean}}\propto\sqrt{S}=\SNR_{long}\quad\text{только если }
\sigma\approx\sigma_{phot}!!!$$
\end{block}
}
\only<2>{
    \begin{block}{Коррекция апертуры} % CCDPhotometryBook.pdf
        Почему изображение яркой звезды шире: несмотря на совершенно одинаковую PSF у обеих звезд, при сечении
        одинаковым порогом яркая звезда всегда <<больше>>. Увеличение апертуры \Arr увеличение шумов, необходимо
        использовать как можно меньшую апертуру.
        $$\Delta_N^{bright} = m(N\cdot \FWHM) - m(1\cdot\FWHM)\quad\Arr\quad
        m^{faint} = m(1\cdot\FWHM) + \Delta_N^{bright},$$
        $m(x)$~-- звездная величина на апертуре~$x$.
    \end{block}\vspace*{-1em}
    \img[0.6]{fwhm}
}
\end{blueframe}

\section{Деконволюция}
\begin{frame}{Деконволюция}
\only<1>{
\begin{block}{}
$$I(x,y) = P(x,y)*O(x,y)+N(x,y),\quad\text{$P$~-- PSF}\quad\text{или}$$
$$\FT{I}=\FT{O}\cdot\FT{P}+\FT{N}\quad\Arr\quad
\FT{O}=\frac{\FT{I} - \FT{N}}{\FT{P}}$$
$$\text{Наименьшие квадраты:}\quad
\FT{O}=\frac{\FT{P}^*\FT{I}}{|\FT{P}|^2}$$
$$\text{Регуляризация Тихонова, $\min(J_T)$ ($H$~-- HPF):}\quad
\quad J_T=||I-P*O|| - \lambda||H*O||,$$
$$\FT{O}=\frac{\FT{P}^*\FT{I}}{|\FT{P}|^2+\lambda|\FT{H}|^2}$$
\end{block}
}\only<2>{
\begin{block}{Регуляризация по Байесу}
$$p(O|I)=\frac{p(I|O)\cdot p(O)}{p(I)}$$
$$\text{Maximum likelihood:}\quad \mathrm{ML}(O)=\max_O p(I|O)$$
$$\text{Maximum-a-posteriori solution:}\quad
\mathrm{MAP}(O)=\max_O p(I|O)\cdot p(O)$$
\end{block}
\begin{block}{}
\begin{itemize}
\item Итерационная регуляризация
\item Вейвлет-регуляризация
\item \dots
\end{itemize}
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}{Функция рассеяния точки}
\only<1>{\img[0.6]{moffat}}
\only<2>{\begin{block}{}
\begin{itemize}
\item Гаусс: $f(x) = f_0\exp\Bigl(\dfrac{-(x-x_0)^2}{2\sigma^2}\Bigr)$, $\FWHM\approx2.355\sigma$
\item Моффат: $f(x) = f_0\Bigl(1+\dfrac{(x-x_0)^2}{\alpha^2}\Bigr)^{-\beta}$,
$\FWHM\approx2\alpha\sqrt{2^{1/\beta}-1}$
\item Фрид: $\FT{f} \propto \exp\Bigl[-(bu)^{5/3}\Bigr]$,
$\FWHM\approx 2.921 b$ (Моффат с $\beta=4.765$, типичные же $\beta=2.5\cdots4.5$).
\end{itemize}
\end{block}
}
\end{frame}

\section{Обнаружение}
\begin{frame}{Обнаружение}
\begin{block}{Простейший алгоритм}
\begin{enumerate}
\item Вычисление и вычитание фона
\item Свертка с маской и бинаризация
\item Обнаружение связных областей
\item Уточнение фона, goto 1
\item Классификация, фотометрия и т.п.
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}

\begin{blueframe}{}
\img{objdet}
\end{blueframe}

\begin{blueframe}{Изофоты}
\only<1>{\begin{block}{Метод шагающих квадратов}
Бинаризуем изображение по заданному порогу. По соседям каждого пикселя вычисляем битовую маску
($0\div15$). От точки $1\div14$ строим изолинию, соответственно меняя значения в пикселях маски. Каждый узел
изолинии~--- линейная или другая интерполяция интенсивности в пикселях оригинала.
\end{block}
\img[0.5]{isophotes}
}
\only<2>{\img{Marching_squares_algorithm}}
\end{blueframe}

\begin{frame}{WCS-привязка}
\only<1>{
\img[0.6]{WCS_triangles}
\centerline{A.~P\'al, G.\'A.~Bakos. PASP {\bf 118}: 1474--1483, 2006. }}
\only<2>{
\img[0.65]{WCS_quad}
\centerline{\url{astrometry.net}}}
\only<3>{\begin{block}{}
\begin{itemize}
\item Положение нескольких звезд характеризуется параметром, инвариантным к зеркалированию, масштабированию,
вращению и переносу. Устойчивым к шуму.
\item Квадрату ABCD соответствует четырехмерный код в относительных координатах точек C и D.
\item Проблема вырождения: при смене порядка A, B или C, D код <<отражается>>.
\item На небе строится сетка с масштабируемым шагом, по каталожным данным в ее ячейках определяются квадраты
с ниспадающей яркостью звезд.
\item Полученный набор кодов позволяет идентифицировать участки неба вплоть до самых мелких масштабов (нужны
хотя бы четыре звезды в кадре).
\item Чем больше звезд на кадре, тем надежней будет идентификация.
\end{itemize}
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{blueframe}{Триангуляция Делоне}
\img[0.6]{delaunay}
\end{blueframe}

\begin{blueframe}{Диаграммы Вороного}
\only<1>{\img[0.6]{voronoi}}
\only<2>{\img[0.6]{delvor}}
\end{blueframe}

\begin{frame}{Свойства триангуляции Делоне}
\begin{block}{}
\begin{itemize}
\item ТД взаимно однозначно соответствует диаграмме Вороного для того же множества точек.
Как следствие: если никакие четыре точки не лежат на одной окружности, ТД единственна.
\item ТД максимизирует минимальный угол среди всех углов всех построенных треугольников, тем
самым избегаются <<тонкие>> треугольники.
\item ТД максимизирует сумму радиусов вписанных окружностей.
\item ТД минимизирует максимальный радиус минимального объемлющего шара.
\item ТД  на плоскости обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около
треугольников, среди всех возможных триангуляций.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

\begin{blueframe}{K-nearest}
\begin{columns}
\column{0.5\textwidth}
\begin{block}{}
Классификация объекта по $k$~ближайшим соседям. В случае первой выборки~--- треугольник, в случае второй~---
квадрат.

$k$ может быть дробным, если применять взвешенные расстояния.
\end{block}
\column{0.5\textwidth}
\img{knearest}
\end{columns}
\end{blueframe}

\section{Анализ разреженных данных}
\begin{frame}{Анализ разреженных данных}
\only<1>{
\begin{block}{Корреляция}
$$C(\tau)=\frac{[a(t)-\aver{a}][b(t+\tau)-\aver{b}]}{\sigma_a\sigma_b}$$
$$\text{Unbinned: } U_{ij}=\frac{(a_i-\aver{a})(b_j-\aver{b})}{
\sqrt{(\sigma_a^2-e^2_a)(\sigma_b^2-e^2_b)}},\qquad \Delta t_{ij}=t_j-t_i\qquad$$
$$C(\tau)=\frac1{N_\tau}U_{ij,\tau},\qquad
\tau-\Delta\tau/2\le\Delta t_{ij}\le\tau+\Delta\tau/2$$
Не нужна интерполяция!
\end{block}
}\only<2>{
\img[0.8]{scatter_corr}\centerline{Пунктир~--- корреляция через интерполяцию}}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\only<1>{
\begin{block}{Периодограмма Ломба--Скаргла (Lomb--Scargle)}
$$P_{x}(\omega )={\frac  {1}{2}}\left({\frac  {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau
)\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac  {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega
(t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right)$$
$$\tg{2\omega \tau }={\frac  {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}$$
\end{block}
\img{lombscargle}
}\only<2>{
\begin{block}{Преобразование Фурье}
$$ P_m=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i\frac{2\pi}{N}mn}\quad\Arr\quad
P_m=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i\frac{2\pi}{T}mt_n},\quad T=t_N-t_1$$
В octave: \tt{irsa\_dft(X,Y,freq)}:
$\displaystyle P(\nu)=\Sum_{n=1}^N p_n\e^{-i \nu_n\cdot t_n}$
\end{block}}
\only<3>{\img[0.8]{scat01}}
\only<4>{\img[0.8]{scatFFT}}
\only<3,4>{\centerline{$T=111.5\quad\Arr\quad \nu\approx0.00897$}}
\end{frame}

% \begin{frame}{}
% \only<1>{
% \begin{block}{}
% \end{block}
% }\only<2>{
% \img[0.8]{}
% }
% \end{frame}



\section{Робастные методы}
\begin{frame}{Робастные методы}
\begin{block}{}
Робастная надежность МНК~--- 0!

Простейшая робастная оценка~--- медиана (можно <<засорить>> до 50\% данных!).
Оценка <<плохости>>: $MAD=\med(x_i-\med(x))$.

Группировка данных и метод усеченных квадратов.

Метод наименьших медиан квадратов: $\min\bigl(\med(x^2)\bigr)$.

Оценка дисперсии: $\med(|x_i-\med(x)|)\approx0.67\sigma$.

M-, R-, S-, Q- оценки.


\end{block}
\end{frame}




\begin{frame}{Программное обеспечение}
\begin{block}{\url{http://heasarc.gsfc.nasa.gov/docs/heasarc/astro-update/}}
\begin{itemize}
\item ASTROPY: A single core package for Astronomy in Python
\item Aladin: An interactive software sky atlas
\item CFITSIO: FITS file access subroutine library
\item GSL: GNU Scientific Library
\item IDLAUL: IDL Astronomical Users Library
\item IRAF: Image Reduction and Analysis Facility
\item MIDAS: Munich Image Data Analysis System
\item PyRAF: Run IRAF tasks in Python
\item SAOImage ds9: FITS image viewer and analyzer
\item SEXTRACTOR: Builds catalogue of objects from an astronomical image
\item WCSLIB: World Coordinate System software library
\item \dots~\url{http://tdc-www.harvard.edu/astro.software.html}
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Литература}
\begin{itemize}
\item W. Romanishin. An Introduction to Astronomical Photometry Using CCDs.
\item Jean-Luc Starck and Fionn Murtagh. Handbook of Astronomical Data Analysis.
\item E.D.~Feigelson, G.J.~Babu. Modern Statistical Methods for Astronomy With R Applications.
\item R.A.~Edelson, J.H.~Krolik. The discrete correlation function --- A new method for analyzing
unevenly sampled variability data. ApJ, {\bf 333},1988, 646--659.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
\centering
\begin{minipage}{5cm}
\begin{block}{mailto}
eddy@sao.ru\\
edward.emelianoff@gmail.com
\end{block}\end{minipage}
\end{frame}
\end{document}