\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
%\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
\usepackage{ed}
\usepackage{lect}

\title[Компьютерная обработка. Лекция 6.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
\subtitle{Лекция 6. Анализ временных рядов. Фурье-- и Вейвлет--анализ}
\date{5 октября 2016 года}

\begin{document}
% Титул
\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}
% Содержание
\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Аппроксимация и интерполяция}
\begin{frame}{Аппроксимация и интерполяция}
\only<1>{
\begin{defin}
\ж Аппроксимация\н. Некоторую функцию $f(x)$, $x\in(x_0, x_1)$ требуется приближенно заменить 
некоторой функцией~$g(x)$ так, чтобы отклонение~$g(x)$ от~$f(x)$ в заданной области было наименьшим.
\end{defin}
\begin{block}{}
Точечная (интерполяция, среднеквадратичное приближение и т.п.) и непрерывная аппроксимации.
\end{block}
\begin{defin}
\ж Интерполяция\н является частным случаем аппроксимации, позволяющем вычислить промежуточные 
значения дискретной функции.
\end{defin}}
\begin{block}{Ряд Тейлора}
$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\cdots+\frac{(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0)}{n!}+R_n.$$
\end{block}
\only<2>{
\begin{block}{}
Выбирая первые $N$ членов ряда Тейлора получаем разные виды интерполяции. Линейная:
$$f_n(x)\approx y_n+(x-x_n)\frac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}.$$
Ньютона (для равноотстоящих $x$, $h=x_{n+1}-x_n$):
$$f^k_n(x)\approx y_n + q\Delta y_n + \frac{1(1-q)}{2!}\Delta^2y_n + \cdots
+\frac{q(q-1)\cdots(q-k+1)}{k!}\Delta^ky_n,$$
где  $q=\dfrac{x-x_n}{h}$, $\Delta^i$~-- конечные разности ($\Delta y_n = y_{n+1}-y_n$, \dots,
$\Delta^k y_n = \Delta^{k-1}y_{n+1} - \Delta^{k-1}y_n$).
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\begin{defin}
\ж Сплайн\н~--- кусочная полиномиальная функция, которая на заданном отрезке может принимать очень 
простую форму, в то же время имея гибкость и гладкость.
\end{defin}

\begin{block}{Степенной сплайн}
Набор полиномов степени $k$ со следующими ограничениями:
\begin{itemize}
\item сплайны должны совпадать в узловых точках с задающей функцией: $p_n(x_n) = f(x_n)$;
\item предыдущий сплайн должен переходить в следующий в точках сшивания, 
$p_n(x_n)=p_{n+1}(x_n)$;
\item все производные до $f^{(k-1)}$ должны быть непрерывными и гладкими:
$p^i_n(x_n)=p^i_{n+1}(x_n)$ для $i=\overline{1,k-1}$;
\end{itemize}
$n-1$ полином степени $k$ имеют $(k+1)(n-1)=(k+1)n-k-1$ свободных коэффициентов. Данные ограничения 
дают нам
$n+(n-2)\cdot k=(k+1)n-2k$ уравнений. Чтобы получить еще $k-1$ уравнений, нужны дополнительные 
условия. Чем больше $k$, тем тяжелей. Поэтому обычно дальше $k=3$ не идут.
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\only<1>{
\begin{block}{B--сплайн}
Базисные сплайны менее подвержены влиянию изменения отдельных точек данных (изменение одной вершины 
B--сплайна степени $k$ ведет к изменению лишь $k+1$ соседних сплайнов). При этом, однако, теряются 
точные интерполяционные свойства: $p_n(x_n)\ne f(x_n)$ \so снижается влияние шумов (B--сплайн 
проходит только через первый и последний узлы, повышаем степень~--- улучшаем сглаживание данных). 
Количество узлов: $n\ge k+1$.
\end{block}
\begin{block}{Сплайны Акимы}
Дают меньшие осцилляции.
\end{block}}
\only<2>{
\img[0.7]{1D_Inter_polation}
}
\end{frame}



\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
\centering
\begin{minipage}{5cm}
\begin{block}{mailto}
eddy@sao.ru\\
edward.emelianoff@gmail.com
\end{block}\end{minipage}
\end{frame}
\end{document}
