\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
\usepackage{ed}
\usepackage{lect}

\title[Компьютерная обработка. Лекция 5.]{Компьютерная обработка результатов 
измерений}
\subtitle{Лекция 5. Системы уравнений}
\date{29 сентября 2016 года}

\begin{document}
% Титул
\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}
% Содержание
\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Системы уравнений}
\begin{frame}{Системы уравнений}
\begin{defin}
\ж Система линейных уравнений\н для $n$ неизвестных имеет вид:
$$
\left\{
\begin{aligned}
a_{11}x_1+a_{12}x_2&+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1;\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2&+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2;\\
\cdots\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2&+\cdots+a_{nn}x_n&=b_n.
\end{aligned}
\right.
$$
\end{defin}
\begin{defin}
Если существует вектор--столбец~$\B x$, обращающий выражение~$\B{Ax=b}$ в тождество, говорят, 
что~$\B x$ является\ж решением\н данной системы уравнений.
$|\B A|\ne0$. 
\end{defin}
\end{frame}

\begin{frame}{Методы решений}
\only<1>{\begin{block}{}
$\delta=\B{Ax-b}$.
Приближенные методы: $\mathrm{min}(\delta)$. Точные методы: $\delta=0$.\\
\end{block}
\begin{block}{Метод простой итерации}
$\B{x=Bx+c}$, $\B x_{n+1}=\B B\B x_n+\B c$.\\
Сложностью метода простой итерации при решении матриц больших размерностей является особое свойство 
таких матриц~--- существование\к почти собственных значений\н, $\lambda$: 
$||\B{Ax}-\lambda\B x||\le\epsilon||\B x||$ при $||\B x||\ne0$.\\
\end{block}
\begin{block}{Матричный метод}
$\B x = \B A^{-1}\B b$
\end{block}
}
\only<2>{
\begin{block}{Метод Гаусса}
$$
\B A_d\B{x} = \pmb\beta,\quad
\B A_d=\begin{pmatrix}
\alpha_{11}&\alpha_{12}&\alpha_{13}&\cdots&\alpha_{1m}\\
0&\alpha_{22}&\alpha_{23}&\cdots&\alpha_{2m}\\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
0&0&0&\cdots&\alpha_{mm}
\end{pmatrix}.
$$
Прямой ход~--- преобразование к диагональной форме:
$$
\left(\begin{matrix}
\alpha_{11}&\alpha_{12}&\alpha_{13}&\cdots&\alpha_{1m}\\
0&\alpha_{22}&\alpha_{23}&\cdots&\alpha_{2m}\\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
0&0&0&\cdots&\alpha_{mm}
\end{matrix}\middle|
\begin{matrix}\beta_1\\\beta_2\\\cdot\\\beta_m\end{matrix}\right).
$$
Обратный ход~--- последовательное нахождение $x_m$, $x_{m-1}$, \dots, $x_1$.

$N\propto n^3$~--- прямой, $N\propto n^2$~--- обратный ход.
\end{block}
}
\only<3>{
\begin{block}{}
\ж Метод Зейделя\н: \\
$$\B{Bx}_{n+1}+\B{Cx}_n=\B b,$$
где
$$\B B=\begin{pmatrix}
a_{11}&0&0&\cdots&0\\
a_{21}&a_{22}&0&\cdots&0\\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mm}
\end{pmatrix},\qquad
\B C=\begin{pmatrix}
0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1m}\\
0&0&a_{23}&\cdots&a_{2m}\\
\cdot&\cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\
0&0&0&\cdots&0
\end{pmatrix}.
$$
Отсюда получаем
$$\B x_{n+1}=-\B B^{-1}\B{Cx}_n +\B B^{-1}\B b.$$
\end{block}
}
\only<4>{
\begin{block}{}
Если $\B A$ содержит~$m$ строк и~$n$ столбцов, то:
\begin{description}
\item[$m=n$] квадратная матрица, возможно существование точного решения;
\item[$m<n$] недоопределенная система, решение возможно лишь в общем виде
с по крайней мере~$n-m$ свободных коэффициентов;
\item[$m>n$] переопределенная система, приближенное решение которой находится
при помощи метода наименьших квадратов (в случае линейной зависимости строк
данной системы может существовать и точное решение).
\end{description}
\end{block}
\begin{block}{Приближенные решения}
МНК ($\B{x=A\backslash b}$), псевдообратная матрица, \dots
\end{block}
}
\end{frame}

\section{Степенные уравнения}
\begin{frame}{Степенные уравнения}
\begin{defin}
\ж Степенное уравнение\н имеет вид $p_n(x)=0$, где $p_n(x)$~-- полином~$n$~-й степени вида 
$p_n(x)=\sum_{i=0}^n C_nx^n$.
\end{defin}
\begin{block}{Методы решения}
Точные~--- до третьей степени включительно (в общем случае) и итерационные:
\begin{description}
\item[бисекция] деление пополам отрезка, где находится корень;
\item[метод хорд] замена полинома хордой, проходящей через точки $(x_1, p_n(x_1)$ и $(x_2, 
p_n(x_2)$;
\item[метод Ньютона] имеет быструю сходимость, но требует знакопостоянства $f'(x)$ и $f''(x)$ на 
выбранном интервале $(x_1, x_2)$.
\end{description}
\end{block}
\end{frame}

\begin{blueframe}{Метод Ньютона}
\img[0.7]{Newton_iteration}
\end{blueframe}

\section{Численное интегрирование и дифференцирование}
\begin{frame}{Численное интегрирование и дифференцирование}
\only<1>{
\begin{block}{Численное интегрирование}
Для численного решения уравнения $\displaystyle I=\Int_a^b f(x)\,dx$ наиболее популярны:
\begin{description}
\item[метод прямоугольников] $I\approx\sum_{i=1}^n f(x_i)[x_i-x_{i-1}]$;
\item[метод трапеций] $I\approx\sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}[x_i-x_{i-1}]$;
\item[метод Симпсона] $\Int_{-1}^1 f(x)\,dx\approx\frac13\bigl(f(-1)+4f(0)+f(1)\bigr)$ \so
$I\approx\frac{b-a}{6n}\Bigl(f(x_0)+f(x_n)+2\sum_{i=1}^{n/2-1}
f(x_{2i}) + 4\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})\Bigr)$.
\end{description}
и многие другие.
\end{block}}
\only<2>{
\begin{block}{Численное дифференцирование}
Аппроксимация функции интерполяционным многочленом (Ньютона, Стирлинга и т.п.), разделенные 
разности.

В нулевом приближении можно заменить производную $f^{(n)}$ разделенной разностью $n$-го порядка:
$$f(x_0; x_1; \ldots; x_n) = \sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)}{\displaystyle
\prod_{j=0, j\ne i}^n\!\!(x_i - x_j)}.$$
\end{block}}
\end{frame}

\section{Дифференциальные уравнения}
\begin{frame}{Дифференциальные уравнения}
\only<1>{
\begin{defin}
\ж Обыкновенные дифференциальные уравнения\н~(ОДУ) порядка~$n$ задаются в виде
функции $f(x,y,y',\ldots,y^{(n)})=0$.
\end{defin}
\begin{block}{}
Разделение переменных:\vspace{-2em}
$$y'=f(x,y) \so \phi(y)\,dy=\psi(x)\,dx \so y=y_0+\Int_0^{x}\psi(x)\,dx.$$

ОДУ второго порядка:
$$Ay''+By'+Cy+Dx=0.$$
Если $D\equiv0$, а множители $A$, $B$ и~$C$~--- константы, имеем однородное ОДУ. 
$y=\C_1\exp(k_1x)+\C_2\exp(k_2x)$, где~$k_1$ и~$k_2$~-- корни\к
характеристического уравнения\н $Ak^2+Bk+C=0$.
\end{block}}
\only<2>{
\begin{defin}
\ж Дифференциальные уравнения в частных производных\н~(ЧДУ) для функции
$y=y(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ имеют вид
$$f(y,x_1,\ldots,x_n;\partder{y}{x_1},\ldots;\dpartder{y}{x_1},\ldots;\cdots;
\frac{\partial^m y}{\partial x_1^m},\ldots)=0.$$
\end{defin}
\begin{block}{}
Однако, наиболее часто встречаются ЧДУ первого порядка для функции двух
переменных $z=z(x,y)$ вида
$$f(z,x,y,\partder{z}{x},\partder{z}{y})=0.$$
\end{block}}
\only<3>{
\begin{block}
\ж Нелинейные\н дифференциальные уравнения содержат некоторые производные
функции~$y$ не как простые множители, а как аргументы функций (чаще всего~---
степенных), например: $(y'')^3-\sin y'=\tg(xy)$. Обычные физические задачи
никогда не приводят к таким уравнениям, однако, и их решения вполне можно
найти при помощи численных методов.
\end{block}
\begin{block}{Методы решения}
Рунге--Кутты, Эйлера, Адамса, конечных разностей и т.п.

Дифференциальные уравнения высших порядков сводят путем замены переменных к системе ОДУ первого 
порядка.
\end{block}
}
\end{frame}


\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
\centering
\begin{minipage}{5cm}
\begin{block}{mailto}
eddy@sao.ru\\
edward.emelianoff@gmail.com
\end{block}\end{minipage}
\end{frame}
\end{document}