\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
%\usepackage{ed}
\usepackage{lect}

\title[Компьютерная обработка. Лекция 6]{Компьютерная обработка результатов измерений}
\subtitle{Лекция 6. Обработка изображений, часть 1}
\date{}

\begin{document}
% Титул
\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}
% Содержание
\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Цифровые изображения}
\begin{frame}{Цифровые изображения}
\begin{defin}
\ж Изображение\н представляет собой двумерную функцию $f(x,y)$, где~$x$ и~$y$~---
пространственные координаты, а уровень~$f$ называется\ж
интенсивностью\н изображения в данной точке (цветное изображение является
совокупностью по крайней мере трех функций $r(x,y)$, $g(x,y)$ и~$b(x,y)$).
Если величины~$x$, $y$ и~$f$ принимают дискретные значения, говорят о\к цифровом
изображении\н. Элементарная единица цифрового изображения называется\ж
пикселем\н.
\end{defin}
\begin{block}{Дискретизация}
Процедуру квантования (\bf дискретизации\н) квазинепрерывного изображения $I_0(X,Y)$  можно представить в виде:
$$
I(x,y)=\mathrm{round}\Bigl(\frac{2^N-1}{I_{max}}\Int_{S_{x,y}}I_0(X,Y)
\,dXdY\Bigr)+\delta_{x,y}.
$$
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{RGB-модель}
\only<1>{
\img[0.6]{RGB}
\centering{Аддитивная RGB-модель}
}\only<2>{
\img[0.6]{sRGB}
}
\end{frame}

\begin{blueframe}{CMYK-модель}
\only<1>{
\img[0.5]{CMYK}
\centering{Субстрактивная CMYK-модель}
}\only<2>{
\img[0.6]{colormodels}
}
\end{blueframe}

\begin{frame}{}
\img[0.6]{Bayer_pattern}
\centering{Маска Байера}
\end{frame}

\section{Математический аппарат}
\begin{frame}{Математический аппарат}
\only<1>{\img[0.7]{neighbourhoods}
\centering{Соседство}}
\only<2>{\img[0.6]{connregs}
\centering{Связность}
}
\only<3>{\img[0.6]{msquare}
\centering{Границы, контуры}
}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\begin{block}{Расстояние}
\begin{itemize}
\item Евклидово: $D_{e(p,q)}=\sqrt{(x_p-x_q)^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}}$.
\item Метрика $L_{1}$: $D_{4}(p,q)=|x_{p}-x_{q}|+|y_{p}-y_{q}|$.
\item Метрика $L_{\infty}$: $D_{8}(p,q)=\max\bigl(|x_{p}-x_{q}|,|y_{p}-y_{q}|\bigr)$.
\end{itemize}
\end{block}
\begin{block}{Поэлементные и матричные операции}
$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix},\quad{}
B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}.$$
Поэлементное произведение:
$$A\cdot B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}\\a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}\end{bmatrix}.$$
Матричное произведение:
$$A\times B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}.$$
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{}

\begin{block}{Аффинные преобразования}
$$\begin{pmatrix}x'&y'&1\end{pmatrix}^T=\B{A}\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}^T.$$
\end{block}

\begin{block}{}
\begin{columns}\column{0.5\textwidth}
Тождество: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
Масштаб: $\B{A}=\begin{pmatrix}c_{x} & 0 & 0\\ 0 & c_{y} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
Поворот: $\B{A}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 &
1\end{pmatrix},$\\
Сдвиг: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\

\column{0.45\textwidth}

Скос $y$: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ s_v & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
Скос $x$: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & s_h & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
Отражение $x$: $\B{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
Отражение $y$: $\B{A}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},$\\
\end{columns}
\end{block}
\begin{block}{}Комбинация пребразований: $\B{M}=\prod_{i}\B{T_{i}}$ (зависит от
порядка!).\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\only<1>{
\begin{block}{Операции над множествами}
Множества и дополнения: $A\cup A^C = \Omega$, $A\cap A^C=\emptyset$. ($A^C\equiv\overline{A}$).

Множество через операцию:  $A^C=\{a\,|\,a\not\in A\}$. Подмножества: $A\subset B$ или $B \supset
A$.

Операции: $A-B=A\backslash B=A\cap B^C$, $A+B=A\cup B$.

Ассоциативность: $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$, $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$.

Дистрибутивность: $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$, $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup
C)$.

Законы де-Моргана: $(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$, $(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$.
\end{block}
\begin{block}{Логические (булевы) операции}
$\cup\Arr \vee$ (дизъюнкция, <<или>>, \t{|}), $\cap\Arr\wedge$ (конъюнкция, <<и>>, \t{\&}),
$A^C\Arr\overline{A}$
(отрицание).
\end{block}
}\only<2>{
\img{SETS}
}
\end{frame}

\section{Пространственные и градационные преобразования}
\begin{frame}{Пространственные и градационные преобразования}
\begin{defin}
\ж Преобразования в пространственной области\н работают непосредственно с пикселями изображения:
$$T(u,v)=\Sum_{x=0}^{M-1}\Sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)r(x,y,u,v),\qquad\text{где $r$~-- ядро
преобразования.}$$
\end{defin}
\begin{block}{Градационные преобразования ($I\in[0, I_{max}]$, $I'=f(I)$)}
\begin{itemize}
 \item негатив: $I' = I_{max} - I$;
 \item логарифмическое: $I' = \C\ln(1+I)$;
 \item гамма-коррекция: $I'=\C I_{max}\cdot i^\gamma$, $i=\dfrac{I}{I_{max}}$;
 \item кусочно-линейные преобразования (усиление контраста).
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\only<1>{
\img[0.8]{hystotransf}
}\only<2>{
Логарифмическое преобразование.
\img{logtransf}
}\only<3,4,5>{
\only<3>{Степенное преобразование (гамма-коррекция).\img[0.8]{gammacorrt}}
\only<4>{\img[0.85]{gammacorr}}
\only<5>{\img[0.8]{gammacorr1}}
}
\only<6>{Кусочно-линейные преобразования.
    \img[0.7]{piecewise}
}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\only<1>{
\img[0.8]{bitplanes}
\centering{Битовые плоскости}
}\only<2>{
\img[0.4]{graycode}
\centering{Битовые плоскости в кодах Грея}
}
\end{frame}

\begin{frame}{Гистограмма}
\only<1>{
\img[0.9]{histogram}
}\only<2>{
\img{histograms}
}
\end{frame}
\begin{frame}{}
\only<1>{
Неоднозначное (необратимое) и однозначное (возможно, обратимое) отображения:
\img{badhisto}
}\only<2>{
Эквализация гистограммы
\img[0.8]{histeq}
}
\only<3>{
$N_i$~-- количество пикселей на $i$-м уровне, $L$~-- максимальная интенсивность,
$M=\Sum_0^L N_i$~общее количество пикселей.

Эквализация: $i' = \frac{\Sum_{j=0}^i N_j}{M}L$.

Если $n_i$~-- доля с $i$-м уровнем, то: $i' = L\Sum_{j=0}^i n_j$.

\img{HEscheme}
}
\only<4>{
\begin{block}{Приведение гистограммы $p_r\arr p_z$}
\begin{enumerate}
 \item Получение эквализованной гистограммы, $s_k$.
 \item Вычисление функции преобразования $G(z_q)=L\Sum_{j=0}^{q}p_z(z_j)$.
 \item Нахождение для каждого $s_k$ соответствующего значения $z_q$, для которого $G(z_q)$ наиболее
близко		к~$s_k$.
 \item Формирование приведенного изображения.
\end{enumerate}
\end{block}
}
\only<5,6,7>{
\begin{block}{Локальная гистограммная обработка}
\only<5>{\img[0.8]{h1}}
\only<6>{\img[0.8]{h2}}
\only<7>{\img{localheq}}
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}{Эквализация гистограммы}
\only<1>{M13: без и с эквализацией:\\
\smimg[0.48]{M13_nohisteq}\hfil\smimg[0.48]{M13_histeq}
}
\only<2>{M29: без и с эквализацией:\\
    \smimg[0.48]{M29_nohisteq}\hfil\smimg[0.48]{M29_histeq}
}
\end{frame}

\def\svec#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\smat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\pb#1#2{\parbox{0.4\textwidth}{\centering{#1}\par\noindent\centering{\includegraphics{#2}}}}
\begin{frame}{Пространственная фильтрация}
\only<1>{
\begin{block}{}
$w(s,t)$~-- ядро преобразования размера $m\times n$ ($m=2a+1$, $n=2b+1$),
$f(x,y)$~-- исходное изображение, $g(x,y)$~-- результат. Преобразование:
$$g(x,y) = \sum_{s=-a}^{a}\sum_{t=-b}^{b}w(s,t)f(x+s,y+t),$$
что является расширением одномерного преобразования:
$$g(x)=\sum_{s=-a}^{a}w(s)f(x+s).$$
\end{block}
}\only<2>{
\begin{block}{}
$$f=\svec{0&0&0&1&0&0&0&0},\qquad w=\svec{1&2&3&4&5}.$$
\end{block}
\begin{columns}
\column{0.48\textwidth}
\begin{block}{Корреляция, $v=f\star w$}
$$0:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&2&3&4&5\\}$$
$$3:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&2&3&4&5\\}$$
$$7:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&2&3&4&5\\}$$
$$a:\qquad\svec{0&0&0&5&4&3&2&1&0&0&0&0}$$
$$v:\qquad\svec{0&5&4&3&2&1&0&0}$$
\end{block}
\column{0.48\textwidth}
\begin{block}{Свертка, $v=f*w$}
$$0:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\5&4&3&2&1\\}$$
$$3:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&5&4&3&2&1\\}$$
$$7:\qquad\svec{0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&5&4&3&2&1\\}$$
$$a:\qquad\svec{0&0&0&1&2&3&4&5&0&0&0&0}$$
$$v:\qquad\svec{0&1&2&3&4&5&0&0}$$
\end{block}
\end{columns}
}\only<3>{
\img[0.65]{imconv}
}\only<4>{
\begin{columns}
\column{0.48\textwidth}
\begin{block}{}
\pb{Идентичность}{Vd-Orig} $\smat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$\\[2pt]
\pb{$f'(x,y)$}{Vd-Edge1} $\smat{1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1}$\\[2pt]
\pb{Лапласиан}{Vd-Edge2} $\smat{0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0}$\\[2pt]
\pb{Лапласиан}{Vd-Edge3} $\smat{1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1}$
\end{block}
\column{0.48\textwidth}
\begin{block}{}
\pb{Резкость}{Vd-Sharp} $\smat{0&-1&0\\-1&5&-1\\0&-1&0}$\\[2pt]
\pb{Размытие}{Vd-Blur2} $\dfrac{1}{9}\smat{1&1&1\\1&1&1\\1&1&1}$\\[2pt]
\pb{Гаусс}{Vd-Blur1} $\dfrac{1}{16}\smat{1&2&1\\2&4&2\\1&2&1}$\\[2pt]
\pb{LoG}{Vd-LOG} $\dfrac{1}{64}\smat{11&27&11\\27&-202&27\\11&27&11}$
\end{block}
\end{columns}
}
\end{frame}


\begin{frame}{Пространственная фильтрация FITS}
\only<1>{Оригинал:\\
    \smimg[0.5]{objFull}\;\smimg[0.5]{objCrop}
}
\only<2>{Фильтр Гаусса $1\times1$ пиксель:\\
    \smimg[0.5]{gaussFull}\;\smimg[0.5]{gaussCrop}
}
\only<3>{Фильтр лапласиана гауссианы $1\times1$ пиксель:\\
    \smimg[0.5]{lapgaussFull}\;\smimg[0.5]{lapgaussCrop}
}
\only<4>{Фильтр Прюитта (горизонтальный):\\
    \smimg[0.5]{prewitthFull}\;\smimg[0.5]{prewitthCrop}
}
\only<5>{Фильтр Прюитта (вертикальный):\\
    \smimg[0.5]{prewittvFull}\;\smimg[0.5]{prewittvCrop}
}
\only<6>{Простой градиент (через фильтры Прюитта):\\
    \smimg[0.5]{gradientFull}\;\smimg[0.5]{gradientCrop}
}
\end{frame}



\begin{frame}{}
\only<1>{
\begin{block}{Медианная фильтрация}
\centering{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{image020} \hspace{3em}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{image021}}
\end{block}
}\only<2>{
\begin{block}{Адаптивный медианный фильтр}
Зона $K\times K$ пикселей, $I_{min}$, $I_{max}$, $I_{med}$, $I_{xy}$ (интенсивность в данной
точке), $K_{max}$~-- максимальный размер зоны.
\begin{enumerate}
\item $A_1=I_{med}-I_{min}$, $A_2=I_{med}-I_{max}$; если $A_1>0$ и $A_2<0$ переход на 2, иначе
$++K$; если $K<K_{max}$, повторить, иначе вернуть $I_{xy}$.
\item $B_1=I_{xy}-I_{min}$, $B_2=I_{xy}-I_{max}$; если $B_1>0$ и $B_2<0$, вернуть $I_{xy}$, иначе
вернуть $I_{med}$.
\end{enumerate}

\end{block}
}\only<3>{
\centering{\includegraphics[width=0.35\textwidth]{imf_ori} \hspace{3em}
\includegraphics[width=0.377\textwidth]{imf_mean}}
\centering{\includegraphics[width=0.377\textwidth]{imf_median} \hspace{3em}
\includegraphics[width=0.35\textwidth]{imf_adpmed}}
}
\only<4>{Медианная фильтрация $r=1$\,пиксель и $r=5$\,пикселей:\\
    \smimg[0.5]{median1}\;\smimg[0.5]{median5}
}
\only<5>{Оригинал, адаптивная медиана ($r=1$) и медиана ($r=1$):\\
    \img{oriadpmed}
}
\end{frame}


\section{Частотные преобразования}
\begin{frame}{Частотные преобразования}
\begin{block}{Двумерное ДПФ}
$$F(u,v)=\Sum_{x=0}^{M-1}\Sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) \exp\Bigl(-2\pi
i\bigl(\frc{ux}{M}+\frc{vy}{N}\bigr)\Bigr).$$
$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\Sum_{u=0}^{M-1}\Sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) \exp\Bigl(2\pi
i\bigl(\frc{ux}{M}+\frc{vy}{N}\bigr)\Bigr).$$

Частотные преобразования:
$$g(x,y)=\Re\left(\IFT{H(u,v)\cdot F(u,v)}\right),$$
где $g$~-- результат, $H$~-- \ж передаточная функция фильтра\н, $F$~-- Фурье-образ исходного
изображения.
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{}
Ложные частоты (aliasing, муар)
\only<1>{\img{aliasing1}}
\only<2>{\img[0.8]{aliasing2}}
\only<3>{\img[0.8]{aliasing3}}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\begin{block}{Связь пространственных и частотных преобразований}
Пусть $f(x,y)$~--- изображение размера $M\times N$, а $F(u,v)=\FT{f}$~--- его Фурье-образ. Тогда
шаг по $u$ и $v$ определяется выражениями:
$$\Delta u=\frac{1}{M\Delta x}, \quad \Delta v = \frac{1}{N\Delta y}.$$
\ж Смещение\н изображения (не оказывает эффекта на модуль БПФ):
$$f(x,y)\exp[2\pi i (u_0x/M+v_0y/N)]\Leftrightarrow F(u-u_0, v-v_0),$$
$$f(x-x_0,y-y_0)\Leftrightarrow F(u,v)\exp[-2\pi i(x_0u/M+y_0v/M)].$$
В полярных координатах $f(r,\theta+\theta_0)\Leftrightarrow F(\omega, \phi+\theta_0)$, т.е.
вращение изображения приводит к повороту Фурье-образа на тот же угол.

Фурье-образ~--- периодическая функция, возможны краевые эффекты!
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
\only<1>{
\begin{block}{Спектр и фаза}
$F(u,v)=\Re(u,v)+\Im(u,v)=|F(u,v)|\e^i\phi(u,v)$, где $|F(u,v)|$~-- \ж спектр\н изображения, а
$\phi(u,v)$~-- его\ж фаза\н (фазовый угол, $\phi(u,v)=\arctan\dfrac{\Im(u,v)}{\Re(u,v)}$).

Зная компоненты образа, можно в Octave вычислить угол как \t{atan2(I,R)}.

\ж Спектр мощности\н $P(u,v)=|F(u,v)|^2=\Re^2(u,v)+\Im^2(u,v)$. Спектры и фаза обладают симметрией:
$|F(u,v)|=|F(-u,-v)|$, $R(u,v)=R(-u,-v)$, $\phi(u,v)=-\phi(-u,-v)$.

$F(0,0)=\sum\sum f(x,y)=MN\left(\frac{1}{MN}\sum\sum f(x,y)\right)=MN\aver{f}$~--- пропорциональна
среднему значению изображения. Удаление $F(0,0)/MN$ эквивалентно вычитанию среднего.
\end{block}
}\only<2>{\begin{columns}\column{0.3\textwidth}
Изображение, спектр, центрированный спектр (\t{fftshift}) и логарифмическое преобразование
центрированного спектра.
\column{0.7\textwidth}\img{fft1}
\end{columns}
}\only<3>{
\img[0.7]{fft2}
}\only<4>{Фазы центрированного, смещенного и повернутого прямоугольников
\img{fftphases}
}
\end{frame}

\begin{frame}{}
НЧ-фильтр, ВЧ-фильтр, ВЧ-фильтр со смещением:
\img{lphpfilter}
\end{frame}

\begin{frame}{}
Краевые эффекты: изображение, НЧ-фильтр Гаусса без дополнения изображения нулями, НЧ-фильтр Гаусса
с дополнением нулями. При расширении изображения симметричным дополнением края не будут так
изменяться.
\img{lpfilt.png}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\vspace*{-1em}
\begin{columns}
\column{0.4\textwidth}
Изображение с муаром (скан газетного рисунка),\\
его спектр,\\
спектр после фильтрации,\\
изображение  после фильтрации.
\column{0.6\textwidth}
\img[0.9]{ftfilt}
\end{columns}
\end{frame}

\section{Сигнал--шум}
\begin{blueframe}{}
    \only<1>{
        \begin{block}{SNR}
            $$\SNR = \frac{N}{\sqrt{N}}= \sqrt{N},\qquad N=N_{star}+N_{sky}\quad\Arr$$
            $$\SNR\approx\frac{N_{star}}{\sqrt{N_{star}+2N_{sky}}},\qquad N=t_{exp}\cdot
            R\quad\Arr$$
            $$\SNR\approx\frac{R_{star}\sqrt{t_{exp}}}{\sqrt{R_{star}+2R_{sky}}}\quad\Arr\quad
            \SNR\propto\sqrt{t_{exp}}$$
            $$R=R_0\cdot S_{mirror}\propto D_{mirror}^2\quad\Arr\quad \SNR\propto D_{mirror}$$
            $$N_{meas}\text{ коротких экспозиций вместо
                одной:}\quad\sigma_{mean}=\frac{\sigma_{individ}}{\sqrt{N_{meas}}}\propto\frac{\sqrt{S}}{N_{meas}}$$
            $$\SNR_{mean}=\frac{S/N_{meas}}{\sigma_{mean}}\propto\sqrt{S}=\SNR_{long}\quad\text{только
             если }
            \sigma\approx\sigma_{phot}!!!$$
        \end{block}
    }
    \only<2>{
        \begin{block}{Коррекция апертуры} % CCDPhotometryBook.pdf
            Почему изображение яркой звезды шире: несмотря на совершенно одинаковую PSF у обеих
            звезд, при сечении
            одинаковым порогом яркая звезда всегда <<больше>>. Увеличение апертуры \Arr увеличение
            шумов, необходимо
            использовать как можно меньшую апертуру.
            $$\Delta_N^{bright} = m(N\cdot \FWHM) - m(1\cdot\FWHM)\quad\Arr\quad
            m^{faint} = m(1\cdot\FWHM) + \Delta_N^{bright},$$
            $m(x)$~-- звездная величина на апертуре~$x$.
        \end{block}\vspace*{-1em}
        \img[0.6]{fwhm}
    }
\end{blueframe}

\begin{frame}{}
\only<1>{
Функции плотности вероятности разных шумов.
\img{noicepdf}
}\only<2>{
Гистограммы с шумами: нормальный, Рэлея, гамма:
\img{difnoice}
}\only<3>{
Гистограммы с шумами: экспоненциальным, равномерным, импульсным (<<соль--перец>>):
\img{difnoice1}
}
\end{frame}

\begin{frame}{}
Фильтры: среднее арифметическое, гауссов, минимум по области, максимум по области, медианный,
адаптивный медианный и т.п. Пример: медианный и адаптивный медианный фильтры по области $7\times7$
пикселей.
\img{adpmed}
\end{frame}

\begin{frame}
Удаление гармонических шумов частотными фильтрами. Изображение, спектр, маска фильтра, итог.
\img[0.7]{filterft}
\end{frame}


\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
\centering
\begin{minipage}{5cm}
\begin{block}{mailto}
eddy@sao.ru\\
edward.emelianoff@gmail.com
\end{block}\end{minipage}
\end{frame}
\end{document}
