\documentclass[a4paper,12pt]{extarticle}
\usepackage{/home/eddy/ed, verbatim}
\title{Практикум \No3: погрешности, метод наименьших квадратов}
\author{}\date{}\nocolon

\long\def\task#1{\noindent\leavevmode\refstepcounter{sect}\llap{\textbf{\thesect}\;}\indent\textit{#1}}
\def\t#1{{\upshape\ttfamily #1}}

\begin{document}
\maketitle
\section{Погрешности}
\subsection{}
Найдем общую среднюю совокупности, состоящей из следующих трех групп:
$$\renewcommand{\arraystretch}{0}
\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|}
    \hbox to 5cm{}&\hbox to 1.3cm{}& \hbox to 1.3cm{}& \hbox to 1.3cm{}&
    \hbox to 1.3cm{}& \hbox to 1.3cm{}& \hbox to 1.3cm{}\\
    \hline
    \strut Группа& \multicolumn{2}{|c|}{I} & \multicolumn{2}{|c|}{II} &
    \multicolumn{2}{|c|}{III} \\
    \hline
    \strut Значение признака&1&3&2&4
    &3&6\\
    \strut Частота признака&11&34&22&28&31&14\\\hline
    \strut Объем выборки&\multicolumn{2}{|c|}{$11+34=45$}&\multicolumn{2}{|c|}{$22+28=50$}&
    \multicolumn{2}{|c|}{$31+14=45$}\\
    \hline
\end{tabular}
$$

Для начала найдем групповые средние: $\aver{x_1}$, $\aver{x_2}$ и~$\aver{x_3}$:
\begin{verbatim}
x1 = (11*1 + 34*3)/45
x2 = (22*2 + 28*4)/50
x3 = (31*3 + 14*6)/45
\end{verbatim}

Теперь найдем их среднее:
\begin{verbatim}
X = (x1*45 + x2*50 + x3*45)/(45 + 50 + 45)
\end{verbatim}

Однако, при работе с большими массивами данных лучше использовать преимущества
матричной алгебры:
\begin{verbatim}
xi = [1 3 2 4 3 6];
ni = [11 34 22 28 31 14 ];
N = sum(ni)
X = sum(xi.*ni/N)
\end{verbatim}

Найдем\к генеральную дисперсию\н и генеральное среднеквадратичное отклонение
данной выборки:
\begin{verbatim}
D = sum(ni.*(xi-X).^2)/N
sigma=sqrt(D)
\end{verbatim}
Кроме того, определить среднеквадратичное отклонение ряда~$x$ можно при помощи
команды \verb'std(x)'.

\subsection{}
Рассмотрим ряд измерений некоторой физической величины~$x$. Результаты
серии измерений заданы таблицей ($\nu_i$~-- частота соответствующего значения~$x_i$):
$$
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    $x_i$&   31 & 28 & 34 & 26 & 35 & 30 & 34 & 32 & 40 & 20 \\
    $\nu_i$& 20 & 12 & 10 &  5 &  7 & 20 & 12 & 19 &  4 & 2 \\
    \hline
\end{tabular}
$$
Известно, что некоторые результаты могут быть заведомо ошибочными.
Нам необходимо оценить среднее значение данной величины, исключив ошибочные
результаты.
Составим массивы величины~$x$ и соответствующих частот~$n$:
\begin{verbatim}
x = [ 31 28 34 26 35 30 34 32 40 20];
n = [ 20 12 10  5 7 20 12 19 4 2];
\end{verbatim}
Отобразив данные на графике (\verb"plot(x,n,'o')") можно заметить, что действительно
некоторые значения сильно отклоняются от положения, которое они занимали бы при
нормальном распределении.

Найдем среднее значение величины~$x$ и ее среднеквадратичное отклонение:
\begin{verbatim}
X = sum(x.*n)/sum(n)
sigma = sqrt(sum(n.*(x-X).^2)/sum(n))
\end{verbatim}
Определим границы доверительного интервала $[a,b]$ в пределах трех~$\sigma$:
\begin{verbatim}
a = X-3*sigma
b = X+3*sigma
\end{verbatim}
Теперь исключим из выборки значения, выходящие за пределы интервала. При помощи
функции \verb'find' можно найти индексы членов массива, удовлетворяющих заданному
условию. Исключить лишние элементы можно так:
\begin{verbatim}
idx = find(x < a);
x(idx) = []; n(idx) = [];
idx = find(x > b);
x(idx) = []; n(idx) = [];
\end{verbatim}

Теперь повторим вычисление \verb'X' и \verb'sigma', \verb'a' и \verb'b'.\к
Для того, чтобы вызвать из истории команд строку, начинающуюся с определенных
символов, наберите один--два первых символа и нажмите клавишу <<вверх>>\н.
Таким образом можно быстро вызвать из истории команд нужную вам команду, не
перебирая все промежуточные.

Теперь проверим, не влияет ли <<подозрительное>> значение $x=40$ на точность
измерения. Найдем медиану нашего ряда и оценим доверительный интервал по медиане.
Для этого нам необходимо построить новый вектор~\verb'newx', в котором значения
величины~$x$ будут содержаться столько раз, какова их частота:
\begin{verbatim}
newx = []; for a = [1:length(n)]
newx = [newx ones(1,n(a)).*x(a)];
endfor
med = median(newx)
a = med-3*sigma
b = med+3*sigma
\end{verbatim}
Действительно, значение $x=40$ выбивается из доверительного интервала.
Удалим его:
\begin{verbatim}
idx = find(x==40);
x(idx) = []; n(idx) = [];
\end{verbatim}
и найдем~$\aver{x}$, близкое к истинному:
\begin{verbatim}
X = sum(x.*n)/sum(n)
sigma = sqrt(sum(n.*(x-X).^2)/sum(n))
a = X-3*sigma
b = X+3*sigma
find(x>b)
find(x<a)
\end{verbatim}
Итак, все оставшиеся значения~$x_i$ удовлетворяют критерию
<<трех сигм>>, следовательно, можно записать ответ: $x=31.3\pm2.3$.

\subsection{}
Теперь определим доверительный интервал величины $\aver{x}$ с
надежностью~95\% при помощи распределения Стьюдента. Для этого в Octave существует
функция~\verb'ttest'. В простейшем случае вида \verb'h=ttest(x)' она возвращает
вероятность отклонения гипотезы о нормальном распределении величины~$x$ с
математическим ожиданием $\mean{x}=0$. Проверка даст результат:~1. Действительно,
математическое ожидание нашей величины далеко не равно нулю. Второй аргумент
функции \verb'ttest' задает предполагаемое математическое ожидание. Проверим:
\verb'h=ttest(x,X)'. Получаем: \verb'h=0'. Т.е., можно принять гипотезу
о гауссовой форме распределения величины~$x$ около ее среднего значения.
Оценить 95\%-й доверительный интервал величины~$x$ можно при помощи расширенного
вывода функции \verb'ttest' в форме \verb'[h,p,ci]=ttest(x,X)'. В этом случае
параметр \verb'h' сообщает о степени ненадежности гипотезы, \verb'p' равен
вероятности совпадения величины~\verb'X' с математическим ожиданием ряда~\verb'x',
\verb'ci' сообщает границы 95\%-го доверительного интервала.
Определим доверительный интервал для нашего ряда без исключения заведомо ложных
результатов и с их исключением:
\begin{verbatim}
x = [ 31 28 34 26 35 30 34 32 40 20];
n = [ 20 12 10  5 7 20 12 19 4 2];
newx = []; for a = [1:length(n)]
newx = [newx ones(1,n(a)).*x(a)];
endfor

[h,p,ci] = ttest(newx, X)
newx = []; for a = 1:8
newx = [newx ones(1,n(a)).*x(a)];
endfor
[h,p,ci] = ttest(newx, X)
\end{verbatim}

Итак, в обоих случаях гипотеза о соответствии распределения величины~$x$
нормальному распределению принимается, однако, во втором случае вероятность
определения математического ожидания~$\mean{x}$ выше, и доверительный интервал
уже, что явно свидетельствует о большей надежности вычислений.

\subsection{}
Octave предоставляет огромный набор инструментальных средств. Однако, при работе с большим
количеством однообразных данных приходится много раз повторять одни и те же команды. Эту задачу
можно упростить, создав\ж скрипт\н (или m-файл). Скрипт представляет собой описание и реализацию
пользовательской функции, которая вызывается из командной строки Octave аналогично
любой команде, однако может содержать значительное количество инструкций,
облегчающих работу пользователя.

M-файл может содержать любые инструкции. Если он не начинается со слова
\verb'function', выполняется все его содержимое. Удобнее,
однако, создать m-файл в виде функции, принимающей в качестве аргументов
необходимые переменные и возвращающей определенные величины.

Заголовок файла функции имеет вид
\begin{verbatim}
    %
    % Комментарий, отображающийся при введении команды help имя_функции
    %
    function [возвращаемые величины] = имя_функции(входные, аргументы)
\end{verbatim}

Далее следуют операторы, выполняемые в теле функции. Если после команды вы
пропустите символ точки с запятой, ее вывод будет отображен на экране.

Итак, создадим m-файл, осуществляющий проверку выборки на корректность
при помощи критерия <<трех сигм>>:
\verb'three_s.m'.
{\small
    \verbatiminput{Materials4Pract/03/three_s.m}
}

При запуске скрипта по умолчанию Octave его ищет в текущей директории. Однако, можно добавить любую
директорию со скриптами в список поиска (\t{path}) при помощи команды \t{addpath}.

Запустить данный скрипт можно командой \verb'[X sigma] = three_s(x,n)'.

\subsection{}
Зачастую физику-экспериментатору приходится проверять нулевую гипотезу о
равенстве средних двух независимых наборов данных.
Пусть в результате одного измерения некоторой физической величины~$x$ был
получен ряд данных:
\begin{verbatim}
x1 = [ 47.78 36.40 35.66 8.93 40.42 54.16 51.76 44.32 46.19 50.75];
\end{verbatim}
Затем было произведено независимое измерение этой же физической величины
при других условиях эксперимента. При этом был получен ряд:
\begin{verbatim}
x2 = [ 44.09 46.75 44.20 7.99 47.74 75.07 62.48 44.43 34.73 55.26];
\end{verbatim}
Требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий
данных величин.

Для проверки данной гипотезы существует функция Octave \verb'ttest2',
\verb'ttest2(x1,x2)' даст ответ: \verb'ans=0', т.е.
гипотеза о неравенстве математических ожиданий наших двух рядов отклонена
на 95\%-м уровне. Для определения доверительного интервала и вероятности
равенства математических ожиданий воспользуемся расширенным выводом команды:
\begin{verbatim}
[h p ci] = ttest2(x1, x2)
\end{verbatim}
Таким образом, вероятность того, что математические ожидания выборок равны,
составляет лишь~$p=51\%$, при этом доверительный интервал математического
ожидания разности $x_1-x_2$ достаточно широк: $c_i=[-19.2,9.9]$, т.е.
математические ожидания данных рядов могут разниться на~$4.6$ со среднеквадратичным
отклонением~$\sigma=14.6$.

Большая ширина доверительного интервала говорит о том, что данные в рядах~$x_1$
и~$x_2$ получены с низкой надежностью. Однако, найдя медианы рядов~$x_1$,
$x_2$ и совмещенного ряда $(x_1;x_2)$ можно попытаться с достаточно высокой
степенью вероятности оценить математическое ожидание величины~$x$.


\section{Метод наименьших квадратов}
\subsection{}
Случайная погрешность физического измерения имеет природу, аналогичную белому шуму,
поэтому для начала рассмотрим простейшие методы очистки одномерных сигналов вида
$y=y(t)$ от шумов.

Используем массив из десяти сигналов, зашумленных с одинаковым уровнем~SNR:
\begin{verbatim}
x=[0:0.05:20];
y=sin(x*10).*(0.5+sawtooth(x*pi/5)/2);
for a=[1:10]
    y1(a,:)=awgn(y,1,'measured');
endfor
\end{verbatim}

Вид цикла \verb'for' отличается от языков программирования вроде C: цикл
поочередно перебирает все значения переменной \verb'a'. Если бы мы заранее
инициализировали ее массивом, можно было бы просто написать \verb'for a'.
Цикл \verb'for' заканчивается командой \verb'endfor'. Двоеточие в адресации \verb'y(a,:)' означает,
что мы выбираем\ж все\н элементы по второй координате (т.е. приравнивание производится к целой
строке). Еще одним отличием от языков программирования является динамическое
расширение матриц: нет необходимости в начале работы с ней сообщать ее предельный
размер.

Итак, мы получили массив \verb'y1', в строках которого содержатся зашумленные
варианты одного и того же сигнала. Можно отобразить их все графически командой
\verb'plot(x,y1)', а можно и с оригиналом: \verb'plot(x,y,"linewidth",2, x, y1)'.
Оценить зашумленность сигнала можно командой \verb"plot(y,y1,'.')". Если бы
сигналы в \verb'y1' совпадали с \verb'y', мы увидели бы отрезок с коэффициентом
наклона~1. Чем дальше форма полученной фигуры от такого отрезка, тем больше
зашумленность сигнала.

Для восстановления сигнала из десяти измерений попробуем усреднить наборы сигналов
и найти их медиану:
\begin{verbatim}
y_mean = mean(y1);
y_med = median(y1);
plot(x,[y;y_mean;y_med]);
legend("original", "mean", "median");
\end{verbatim}

Оба восстановленных сигнала имеют примерно одинаковые величины
и довольно близки к реальной функции (особенно на участках с большой амплитудой
сигнала). Однако, как мы увидим впоследствии, если к сигналу добавлен шум
типа <<соль/перец>>, медианная фильтрация будет работать намного эффективнее
фильтрации по среднему арифметическому.

\subsection{}
Рассмотрим линейную зависимость $y=ax+b$, заданную таблично в виде~$y=y(x)$.
Для определения методом наименьших квадратов коэффициентов линейной (а также высших степеней)
зависимости служит функция \verb'polyfit(x,y,n)'. Она содержит три аргумента: $x$~-- вектор
аргумента, $y$~-- вектор функции, $n$~-- степень аппроксимирующего полинома. Ее результат в
простейшем случае представляет собой вектор коэффициентов (начиная со старшей степени).
Если функцию вызвать как \verb'[p,S] = polyfit(x,y,n)', вектор~$p$ будет содержать коэффициенты,
а в структуре~$S$ будут содержаться такие данные, как степени свободы~(df) и норма отклонений
данных от аппроксимирующей кривой (normr). Для восстановления полученной зависимости
используется функция \verb'polyval(p,x)', где $p$~-- полученный функцией \verb'polyfit'
вектор коэффициентов, $x$~-- вектор аргумента. В таком виде функция возвращает вектор
восстановленной функции. В виде \verb'[y, delta] = polyval(p,x,S)' функция возвращает массив
погрешностей (т.е. в каждой точке восстановленные значения функции можно представить в
виде $y=y\pm delta$, т.е. оценить абсолютную погрешность восстановления можно при помощи
команды \verb'mean(delta)'.

Найдем коэффициенты модельной зависимости. Пусть $y=7.15x+4.22$. Построим
векторы, соответствующие аргументу и функции:
$$
\verb'x = [0:100]; y = 7.15*x + 4.22;'
$$
Зашумим сигнал для получения разброса точек~$y_i$:
$$
\verb"y1 = awgn(y,10,'measured');"
$$
Отобразим на экране оба ряда: \verb"plot(x,y,x,y1,'o')" (запись \verb"'o'"
означает, что график будет отображаться кружк\'ами). Разброс данных
достаточно велик. Определим коэффициент корреляции: \verb'corr(x,y1)'.
Он довольно близок к единице, следовательно, мы можем попытаться получить
коэффициенты линейной зависимости и восстановить функцию:
\begin{verbatim}
    [p,S] = polyfit(x,y1,1);       % коэффициенты a и b
    [y2, delta] = polyval(p,x,S);  % восстановленный вектор
    plot(x,y1,'o',x,[y;y2])        % все три графика
    legend("noicy", "original", "fitted");
    mean(delta)                    % абсолютная ошибка
    mean(delta)/mean(y)            % относительная ошибка
\end{verbatim}

\subsection{}
Можно найти приближение методом наименьших квадратов и другим способом. Пусть
$Y$~-- вектор--столбец значений функции, $A=(a,b)^{\rm Tr}$~-- вектор--столбец
коэффициентов
разложения. Тогда условие $y_i=ax_i+b$ можно представить в виде матричного
произведения $Y=XA$. Второй столбец матрицы~$X$ целиком состоит из единиц, а
в первом находится последовательность значений~$x_i$. В этом случае нахождение
коэффициентов сводится к решению системы линейных уравнений $y_i=ax_i+b$,
дающему минимальную невязку. Такое решение находится при помощи операции
левостороннего матричного деления: $X\backslash Y$. Решим предыдущий пример таким
способом.
\begin{verbatim}
    X = [x' ones(size(x'))]; % создаем матрицу аргумента
    % (т.к. x и y1 - строки, транспонируем их)
    A = X\y1'                % находим коэффициенты
    % и отображаем их на экране
\end{verbatim}

Полученные значения должны быть примерно равны найденным предыдущим способом.
Как мы увидим далее, такой способ нахождения корней аппроксимации пригоден не
только для полиномиальных, но и для многих других функций.

\subsection{}
Попробуем создать квадратичную зависимость и аппроксимировать ее методом наименьших квадратов.
Пусть зависимость на отрезке $[0,100]$ имеет вид $y=2.4x^2-0.87x+2.13$. Создадим соответствующие
массивы данных, добавим шум с SNR=20\,дБ и отобразим оба сигнала на графике:
\begin{verbatim}
x = [1:100];
y = 2.4*x.^2-0.87*x+2.13;
y1 = awgn(y,20,'measured');
plot(x,[y;y1]);
\end{verbatim}

Теперь создадим вектор коэффициентов аппроксимации полиномом второй степени
восстановим функцию и отобразим на графике:
\begin{verbatim}
[p, S] = polyfit(x, y1, 2);
[y2, DELTA] = polyval(p, x, S);
plot(x,[y;y2]);
legend("original", "restored")
\end{verbatim}

Отобразим на экране найденные коэффициенты:
\verb'p'. Рассчитаем среднее квадратичное отклонение аппроксимации (\verb'mean(DELTA)').
Также рассчитаем относительную ошибку аппроксимации \verb'mean(DELTA)/mean(y1)'.

И второй способ:
\begin{verbatim}
X = [(x.^2)' x' ones(size(x'))];
A = X\y1'
\end{verbatim}

\subsection{}
Однако, чаще всего функциональные зависимости имеют иные виды зависимости. Допустим, нам
известно, что измеряемая величина изменяется по закону
\begin{equation}
y=a_0+a_1\e^{-t}+a_2te^{-t}.
\label{exp_y}
\end{equation}
Для аппроксимации такой функцией можно представить уравнение~\eqref{exp_y} в матричном
виде $Y=TA$, где $T$~-- функциональная матрица, у которой в первом столбце
размещены единицы (соответствует умножению на~$a_0$), во втором~--- функция
$\e^{-t}$, а в третьем~--- $t\e^{-t}$. Найти коэффициенты~$A$ можно при помощи
оператора левого деления: $A=T\backslash Y$.
\begin{verbatim}
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';      % сразу вводим данные в столбцах
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';
T = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)];
A = T\y
\end{verbatim}
Теперь отобразим данные на графике:
\begin{verbatim}
x = [0:0.1:2.5]';
Y = [ones(size(x))  exp(-x)  x.*exp(-x)]*A;
plot(x,Y, t,y,'o')
\end{verbatim}

\subsection{}
Для коррекции наведения и сопровождения телескопов используется СКН~--- система коррекции
наведения, которая учитывает различного рода ошибки (гнутие осей и неперпендикулярность осей и
т.п.). У БТА данные ошибки выражаются полиномами:
$$dA = K_0 + K_1\frac{1}{\tg Z} + K_2\frac{1}{\sin Z} - K_3\frac{\sin A}{\tg Z}
+K_4\frac{\cos\delta\cos P}{\sin Z},$$
$$dZ = K_5 + K_6\sin Z + K_7\cos Z + K_3\cos A + K_4 \cos\phi\sin A.$$

Здесь:
\begin{description}
\item[$dA$, $dZ$] погрешности наведения по азимуту и зенитному расстоянию;
\item[$K_x$] коэффициенты ошибок;
\item[$\phi$] широта места наблюдения;
\item[$t$] часовой угол;
\item[$P$] параллактический угол.
\end{description}

Для получения этих коэффициентов необходимо провести наблюдение в нескольких десятках равномерно
распределенных по небесной полусфере точек (за исключением областей запрета, $Z<5\degr$, и около
горизонта, $Z>70\degr$). Далее в каждом поле вычисляется астрометрия и определяется погрешность
наведения. Составляется таблица (например, \t{2015\_09\_30\_pf.tab}, по которой и необходимо
вычислить коэффициенты. Вычислять коэффициенты будем следующим скриптом:

\verbatiminput{Materials4Pract/03/getSKNcoeff.m}

Запускаем: \t{SKN = getSKNcoeff('2015\_09\_30\_pf.tab')}. Строятся графики остаточных невязок и
выводятся значения всех коэффициентов.

Из-за линейной зависимости коэффициентов задача их вычисления является некорректной, а ввиду
малости объема экспериментального материала, решать задачу будем итерациями, на каждом шаге
избавляясь от выбросов.

\section{Задания для самостоятельного выполнения}
\begin{enumerate}
\item Некоторая совокупность состоит из трех групп:~$X_1$, $X_2$, и~$X_3$. Группы
имеют следующие значения:
\begin{verbatim}
    X1 =  35.04 35.45 35.01 34.94 34.63 35.11 34.41 35.29 35.69
    34.69 35.36 35.53 34.30 34.36 35.23
    X2 =  34.30 34.80 34.86 34.81 35.08 34.79 35.04 33.93 34.48
    34.41 33.74 34.60 34.00
    X3 =  35.17 34.21 34.78 34.65 34.16 33.62 34.53 34.12 34.82
    34.77 35.29 34.81 34.28 34.72 34.12 34.55 34.53 34.55
\end{verbatim}
Найдите: групповые средние (35,00, 34.53, 34.54), общее среднее (34.69), групповые
дисперсии (0.19, 0.19, 0.16), генеральную дисперсию (0.22).

\item Усовершенствуйте скрипт \verb'three_s.m' так, чтобы помимо основных
вычислений на экране отображались среднее арифметическое значение массива с
данными, а также 95\%-й доверительный интервал по критерию Стьюдента.

\item Определите давление в цилиндре с газом, исходя из закона Менделеева--Клапейрона:
$pV=mRT/\mu$, если известно, что масса газа $m=2\,$грамма, $\mu=29\,$г/моль, $R=8.31$, а объем и
температуру газа измеряли в течение минуты, получив следующие значения:
\begin{center}\small
    \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        Величина &\multicolumn{10}{|c|}{Значение}\\
        \hline
        $V$, л&2.27&2.27&2.26&2.25&2.26&2.27&2.29&2.28&2.25&2.28\\
        $T$, К&399.4&399.1&399.3&396.8&399.5&400.2&400.6&403.0&399.2&401.3\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}
Считайте, что за это время давление газа не успело сколь-нибудь значительно измениться.
Определите погрешности измерения величин~$V$ и~$T$. Считая, что остальные величины являются
постоянными, определите косвенную погрешность измерения~$p$.

Для удобства вычислений\к создайте скрипт, позволяющий для заданного ряда данных
получить математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение и относительную
ошибку\н.

Запишите результат в виде $p=\mean{p}\pm\sigma_p$ ($p=101\pm1\,$кПа).

\item Для определения емкости~$C$ неизвестного конденсатора при помощи осциллографа исследовали
затухающий импульс, возникающий при разрядке конденсатора через резистор~$R=3\,$кОм.
По показаниям осциллографа были записаны следующие значения тока:
\begin{center}\small
    \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        $t$, с&0.0&0.1&0.2&0.3&0.4&0.5&0.6&0.7&0.8&0.9&1.0\\
        $I$, А&1.00&0.72&0.52&0.37&0.26&0.19&0.14&0.10&0.07&0.04&0.03\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}
Известно, что погрешность амперметра составляет
$\sigma_I=0.01\,$А. Кроме того, известно что сопротивление резистора известно с точностью~5\%.
Из формулы $I=I_0\exp(-t/[RC])$ определите погрешность измерения емкости конденсатора.

Методом наименьших квадратов определите значение емкости конденсатора, исходя из
уравнения $t=-RC\ln I$ (97\,мкФ). Запишите ответ в виде $C=\aver{C}\pm\sigma_C$.

Для увеличения точности эксперимента было проведено еще одно измерение, результаты
которого несколько отличались от предыдущих:
\begin{center}\small
    \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        $t$, с&0.0&0.1&0.2&0.3&0.4&0.5&0.6&0.7&0.8&0.9&1.0\\
        $I$, А&1.00&0.75&0.56&0.41&0.30&0.23&0.17&0.12&0.10&0.07&0.05\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}
Проверьте нулевую гипотезу о равенстве средних в обоих опытах. Определите величину емкости
во втором случае (112\,мкФ).

Столь большое различие емкостей, полученных в результате двух независимых экспериментов,
заставило предположить, что в результате длительной эксплуатации резистор~$R$ нагрелся, что
вызвало увеличение его сопротивления. Считая емкость конденсатора прежней, определите сопротивление
резистора во втором случае (3.5\,кОм).

\item Найдите\к обоими способами\н коэффициенты $a$ и~$b$ для таблично представленной
зависимости $y(x)$, предполагая, что она имеет линейный вид. Найдите коэффициент корреляции~$x$
и~$y$,
Данные представлены в таблице:
% a=5.15, b=2.74
% должно получиться: a=5.0644, b=3.4020
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        \bf x&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
        \hline
        \bf y&7.7 &  13.7 &  22.0 &  23.1 &  23.7 &  36.7 &  35.6 &  47.8 &
        50.2 & 52.1\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}
($a=5.1$, $b=3.4$).

\item Известно, что некоторая зависимость (см. таблицу ниже) имеет вид
$y=ax\sin(x)-b\ln(x)$. Определите коэффициенты~$a$ и~$b$ и постройте
данную кривую с более детальным отображением (на векторе \verb'[1:0.05:10]').
Подсказка: сразу же задайте вектора~$x$ и~$y$ как столбцы; матрица~$X$ задается
командой \verb'X=[x.*sin(x)  -log(x)]'.
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        \bf x&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
        \hline
        \bf y&-0.68 & 8.41  &  -23.0 &  -37.2 &  -73.2 & -39.7 &  9.14 &  21.0 &
        7.97 & -72.5\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}
($a=7.72$, $b=14.8$).

\item Составьте модель эксперимента по измерению
амплитуды напряжения в контуре, испытывающем колебания с основной частотой
$\Omega=1000\,$Гц и двумя гармониками $\Omega\pm\omega$, где $\omega=74\,$Гц.
Известно, что суммарное колебание описывается приближенной
формулой $U=a\sin(\Omega t)+b\sin(\omega t)-c\cos(\omega t)$.
Создайте интервал времен {\tt t=[0: 0.06: 120]}. Для получения идеальных
значений~$U$ положите $a=361$, $b=117$, $c=92$. Отношение сигнал/шум при
получении зашумленного сигнала выберите равным~20\,дБ.

Восстановите значения коэффициентов~$a$, $b$ и~$c$.


\end{enumerate}
\end{document}