\documentclass[10pt,pdf,hyperref={unicode}]{beamer}
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}
\usepackage{ed}
\usepackage{lect}

\title[Компьютерная обработка. Лекция 3.]{Компьютерная обработка результатов измерений}
\subtitle{Лекция 3. Систематические и случайные погрешности. Теория оценок.}
\date{22 марта 2021 года}

\begin{document}
% Титул
\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}
% Содержание
\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Погрешность}
\begin{frame}{Погрешность}
\only<1>{
\begin{defin}
\ж Погрешность\н --- отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного)
значения.
\end{defin}
\begin{block}{}
Абсолютная погрешность, $\Delta x$ (напр., RMS); относительная погрешность, $\delta x=\Delta
x/\mean{x}$; приведенная погрешность $\gamma x=\Delta x/N_x$ (нормировочный коэффициент).
\end{block}
\begin{block}{По причине возникновения}
\begin{description}
\item[Инструментальные] определяются погрешностями применяемых средств измерений.
\item[Методические] обусловлены  несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу
методики.
\item[Субъективные] обусловлены качествами экспериментатора.
\end{description}
\end{block}}
\only<2>{
\begin{block}{По характеру проявления}
\begin{description}
\item[Случайные] обусловлены совокупностью внешних факторов, влияющих на результат эксперимента.
\item[Систематические] связаны с влиянием прибора на измеряемую величину или методическими
ошибками, выявляются лишь сменой прибора\slash метода\slash экспериментатора.
\item[Промахи] наиболее сильно себя проявляют и связаны с неисправностью прибора или
экспериментатора.
\end{description}
\end{block}
\begin{block}{Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического}
$$
\sigma_{\aver{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}=
\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n(\mean{x_i}-\aver{x})^2}{n(n-1)}}.
$$
\end{block}
}\only<3>{
\img{pogr}
Примеры погрешностей: а) случайная, б) случайная и систематическая, в) случайная и промахи.
}
\end{frame}

\begin{frame}{Правила вычисления погрешностей}
    \begin{block}{}
        \begin{enumerate}
            \item
            $$\Delta\bigl(\sum a_n\bigr)=\sum\Delta a_n.$$
            \item
            $$\prod(a_i\pm\Delta a_i)=\prod a_i\prod(1\pm\delta a_i)\approx
            \prod a_i(1\pm\sum\delta a_i),$$
            $$\bigl(a[1\pm\delta a]\bigr)^n\approx a^n(1\pm n\delta a).$$
            \item\ж В сложных функциях\н вида $y=f(x_1,\ldots,x_n)$ можно оценить
            погрешность, воспользовавшись приближением:
            $$
            \delta y\approx\Bigl|\frac{dy}{y}\Bigr|=\Bigl|
            \frac{d f(x_1,\ldots,x_n)}{f(x_1,\ldots,x_n)}\Bigr|,
            $$
            в котором следует заменить $\frc{dx_i}{x_i}=\delta x_i$~-- относительная
            погрешность
            измерения величины~$x_i$, $d x_i=\Delta x_i$~-- абсолютная погрешность. Все
            слагаемые необходимо суммировать по абсолютной величине.
        \end{enumerate}
    \end{block}
\end{frame}

\section{Теория оценок}
\begin{frame}{Правило <<трех сигм>>}
    \begin{block}{}
        При гауссовом распределении случайной величины вероятность
        $$P(|x-\mean{x}|<3\sigma)=2\Phi(3)=0.9973.$$
        ($\Phi$~-- нормальное интегральное распределение).
    \end{block}
    \begin{defin}
        \ж Правило трех сигм\н: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее
        отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.
    \end{defin}
    \begin{defin}
        \ж Теорема Ляпунова\н: случайная величина, являющаяся суммой большого числа взаимно независимых
        случайных величин, имеет нормальное распределение.
    \end{defin}
\end{frame}

\begin{frame}{Распределение $\chi^2$}
\only<1>{
\begin{block}{}
Распределение суммы квадратов~$n$  нормальных независимых случайных величин ($x_i$, $i=\overline{1,n}$,
$\mean{x}=0$, $\sigma_x=1$): $\chi^2=\sum_{i=1}^n x_i^2\;$  с~$k=n$ степенями свободы.
Каждое линейное соотношение уменьшает количество степеней свободы на единицу.
Плотность распределения <<хи квадрат>>:
$$
f(x)=\begin{cases}
    0,& x\le0,\\
    \dfrac{\e^{-x/2}x^{k/2-1}}{2^{k/2}\Gamma(k/2)},& x>0,\\
\end{cases}
$$
где $\Gamma(x)=\Int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}dt$~-- гамма-функция, в частности,
$\Gamma(n+1)=n!$. $\mean{\chi^2}=k$, $\sigma^2_{\chi^2}=2k$.
Из закона больших чисел при $k\to\infty$ это распределение приближается к нормальному.
\end{block}
}\only<2>{
\begin{block}{}
В общем случае для любых нормальных независимых случайных величин
$$\chi^2=\sum \left(\frac{x_i-\mean{x}}{\sigma_x}\right)^2.$$
При $k=2$ распределение совпадает с экспоненциальным.

\ж Квантили\н распределения $\chi^2$ вычисляются при помощи функции \t{chi2inv} пакета \t{statistics}. Например:

{\texttt chi2inv([0.990:0.001:0.999], 10)
\\
ans =
\\
23.209   23.514   23.853   24.235   24.673   25.188   25.813   26.611   27.722   29.588
}

Само распределение можно отобразить при помощи \t{chi2pdf(x, N)}. \t{chi2cdf}~-- интегральное распределение.
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}{Распределение Стьюдента (t-распределение)}
\only<1>{
\begin{block}{}
Строится наподобие $\chi^2$ для $n+1$ независимой нормальной величины $Y_i$:
$$t=\frac{Y_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i^2}}.$$
Плотность  распределения:
$$
f(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\, \Gamma(\frac{n}{2})}
\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}.
$$
Распределение симметрично. $\mean{t}=0$ при $n>1$, $\sigma^2_t=\frc{n}{(n-2)}$ при $n>2$.

\end{block}
}\only<2>{
\begin{block}{}
Можно представить $T$ с $k$ степенями свободы через нормальное и $\chi^2$: если $Z$ распределено нормально, а
$V$~-- по закону $chi^2$, то
$$T=Z\sqrt{\dfrac{k}{V}}.$$

Распределение возникает из распределения выборочных среднего, $\aver{X}$ и дисперсии, $S$:
$$\frac{\aver{X}-\mean{X}}{S/\sqrt{n}}\propto t(n-1).$$

Аналогичные функции из пакета \t{statistics}: \t{tinv}, \t{tpdf}, \t{tcdf}:

{\texttt
    tinv([0.990:0.001:0.999], 100)
\\
    ans =
\\
    2.3642   2.4052   2.4506   2.5012   2.5589   2.6259   2.7064   2.8077   2.9464   3.1737
}
\end{block}
}
\end{frame}

\section{Ковариационная матрица}
\def\cov#1{\ensuremath{\mathrm{cov}(#1)}}
\begin{frame}{Ковариационная матрица}
\only<1>{
\begin{block}{}
\ж Ковариация\н, $\sigma_{xx}=\sigma_x^2=D(x)=\mean{(x-\mean{x})^2}$:
$$\cov{x,y}=\sigma_{xy}=\sigma_{yx}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N (x-\mean{x})(y-\mean{y})=
\mean{(x-\mean{x})(y-\mean{y})}.$$

\ж Ковариационная матрица\н для двух и $M$~одинаковых величин ($\cov{X}$):
$$C_{xy}=\begin{pmatrix}\sigma_x^2 & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_y^2 \\ \end{pmatrix},\quad
C_{x_M} = \begin{pmatrix}
\sigma_1^2 & \sigma_{12} & \sigma_{13} & \dots & \sigma_{1M} \\
\sigma_{21} & \sigma_{2}^2 & \sigma_{23} & \dots & \sigma_{2M} \\
\hdotsfor{5}\\
\sigma_{M1} & \sigma_{M2} & \sigma_{M3} & \dots & \sigma_{M}^2 \\
\end{pmatrix},\quad
C=C^{T}.
$$
\end{block}}\only<2>{
\begin{block}{}
Пусть $\Delta x=\mean{x-\mean{x}}$, тогда $C$ можно определить как $C=\mean{\Delta x\cdot\Delta x^T}$,
где $\Delta x$~-- вектор-столбец.  В общем случае $C_{xy}=\mean{\Delta x\Delta y^T}$ для векторов~$X$ и~$Y$ любой
длины.\ж  Свойства\н:
\begin{itemize}
\item для независимых $X$ и $Y$, $C_{XY}=C_X+C_Y$;
\item $\cov{AX + B}= A\cov{X}A^T$ ($A$~-- произвольная квадратная матрица);
\item $\cov{X,Y} = \cov{Y,X}^T$;
\item $\cov{\sum X_i, Y}=\sum\cov{X_i, Y}$, $\cov{X, \sum Y_i}=\sum\cov{X, Y_i}$;
\item для независимых $X$ и $Y$ $\cov{X,Y}=0$.
\end{itemize}
\end{block}
}\only<3>{
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}\begin{block}{}
Вектор данных: $X=\binom{x_i}{y_i}$; $\Sigma=C_{xy}$. $\sigma_x$ и~$\sigma_y$ характеризуют разброс данных по осям.
$\sigma_{xy}$ отражает линейную зависимость $y(x)$. В данном случае удобней было бы использовать\ж
корреляционную матрицу\н, где $\rho_{xy}=\frc{\mean{(x-\mean{x})(y-\mean{y})}}{\sigma_x\sigma_y}$. При $\rho_{xy}=0$
эллиптичное облако точек, при $\rho_{xy}=1$ расположение точек вдоль отрезка.
\end{block}
\column{0.55\textwidth}\img{covarianceXY}
\end{columns}
}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{}
\begin{block}{}
        \ж Собственные значения\н ковариационной матрицы характеризуют дисперсию вдоль направления, заданного ее\ж
        собственными векторами\н. $C_{xy}v=\lambda v$.
        \begin{verbatim}
            [v, lambda]=eig([3 2; 2 3], "vector")
        \end{verbatim}
        Получили два собственных значения:~1 и~5, которым соответствуют вектора
        $v(1)=\binom{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}$ и
        $v(5)=\binom{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}$.
    \end{block}
\img[0.8]{covarmatr}
\end{frame}


\section{Доверительные интервалы}
\begin{frame}{Доверительный интервал}
\only<1>{
\begin{block}{Доверительная вероятность}
$p = P(X_0 \le x \le X_1)$
\end{block}
\begin{block}{Математическое ожидание}
Если известен закон распределения (мат. ожидание и дисперсия: $\mu$ и $\sigma$), то
$$P\Bigl(\aver{X}-z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le
	\aver{X}+z_{1-\frac{\alpha}2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
где $z_\alpha$~-- $\alpha$--квантиль нормального распределения

В Octave: \t{norminv(x)}. Например, для $1-\alpha=0.95$, $1-\frac{\alpha}{2}=0.975$.
\end{block}
}
\only<2>{
    \begin{defin}\ж $\alpha$--квантилем\н называется число $x_\alpha$:
        $P(X\le x_\alpha)\ge\alpha$ и $P(X\ge x_\alpha)\ge1-\alpha$. Т.е. по интегральной функции распределения
        $F(x_\alpha)=\alpha$. А т.к. $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$, получаем:
        $$P(x_{\frac{1-\alpha}2}\le X\le x_{\frac{1+\alpha}2})=\alpha.$$
    \end{defin}
\begin{block}{Пример}
В 64 наблюдениях получено: $S_1=\sum x=600$, $S_2=\sum (x-\mean{x})^2=3800$. Вычислить 95\% доверительный
интервал матожидания.

Решение: $\sigma=\sqrt{S_2/(n-1)}=7.72$; $\aver{x}=S_1/n=9.375$. $F(0.975)=1.96$, отсюда найдем границы интервала
$\aver{x}\pm F(0.975)\sigma/\sqrt{n}$: $\mean{x}\in[7.484, 11.266]$ с точностью 95\%.
\end{block}
}
\only<3>{
\begin{block}{Математическое ожидание}
Если закон распределения неизвестен, то
$$P\Bigl(\aver{X}-t_{1-\frac{\alpha}2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le
	\aver{X}+t_{1-\frac{\alpha}2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\Bigr) = 1 - \alpha,$$
где $S$~-- несмещенный RMS. Величина
$$T=\frac{\aver{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$ имеет распределение Стьюдента, а $t_{\alpha, n-1}$~-- его
квантили.

Пример: $\aver{X}=10$, $S_n=2$, $n=11$ (10~степеней свободы), по таблице для двухстороннего
распределения Стьюдента с вероятностью~95\% $T_{10}^{95}=2.228$. Тогда доверительный интервал есть
$\mean{X}\pm TS_n/\sqrt{n}$, т.е. $\mu\in(8.6565, 11.3440)$.

В Octave \t{t=tinv(0.975, 10)}, т.к. $1-\alpha=0.95$ \Arr $\alpha=0.05$ \Arr $1-\frac{\alpha}{2}=0.975$.
\end{block}
}
\only<4>{
\begin{block}{Дисперсия}
Если известно среднее, можно воспользоваться распределением $\chi^2$.
$$
P\Biggl(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n}}\le\sigma^2\le
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n}}\Biggr)=\alpha.
$$
Если же среднее неизвестно, то
$$
P\Bigl(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1+\alpha)/2,n-1}}\le\sigma^2\le
\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{(1-\alpha)/2,n-1}}\Bigr)=\alpha.
$$
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}{Алгоритм обработки результатов измерений}
\only<1>{
\begin{block}{Прямые измерения}
    \begin{enumerate}
        \item Заполнить  таблицу с результатами $N$~измерений $x_i$.
        \item Вычислить среднее арифметическое измеренной величины: $\mean{x} = \dfrac{1}{n}\sum
        x_i$.
        \item Определить стандартный доверительный интервал:
        $S_x=\sqrt{\dfrac{1}{n(n-1)}\sum(x_i-\mean{x})^2}$.
        \item Задать значение коэффициента надежности~$\alpha$, и по нему определить значение
        коэффициента Стьюдента~$t_{\alpha,N}$.
        По паспортным данным определить абсолютную погрешность измерительного прибора, $\Delta
        x_\text{пр}$. Если $\Delta x_\text{пр}>4t_{\alpha,N}S_x$, представить результат в виде
        $x=\mean{x}\pm\Delta x_\text{пр}/2$, обработка окончена.
        \item Если $\Delta x_\text{пр}<t_{\alpha,N}S_x$ считаем, что $\Delta x=t_{\alpha,N}S_x$;
        иначе вычисляем результирующую среднеквадратичную погрешность как
        $\Delta x = \sqrt{(t_{\alpha,N}S_x)^2+(\Delta x_\text{пр}/2)^2}$.
        \item Результат записываем как $x=\mean{x}\pm\Delta x,\quad \alpha=\ldots$
    \end{enumerate}
\end{block}
}\only<2>{
\begin{block}{Косвенные измерения}
    \begin{itemize}
        \item Вычислить для всех измеряемых величин среднее значение и погрешность прямого
        измерения. При этом для всех величин выбирается одно и то же значение доверительной
        вероятности~$\alpha$.
        \item По формуле вычислить среднее значение измеряемой величины: $\mean{w}=f(\mean{x},
        \mean{y}, \cdots)$.
        \item Оценить погрешность косвенно измеряемой величины:
        $$(\Delta w)^2 =
        \left.\Bigl(\partder{w}{x}\Bigr)^2\right|_{\tiny\begin{smallmatrix}
        x=\mean{x};\\y=\mean{y};\\
        \cdots\end{smallmatrix}}(\Delta x)^2 +
        \left.\Bigl(\partder{w}{y}\Bigr)^2\right|_{\tiny\begin{smallmatrix}
        x=\mean{x};\\y=\mean{y};\\
        \cdots\end{smallmatrix}}(\Delta y)^2 +
        \cdots.$$
        \item Записать результат в виде $w=\mean{w}\pm\Delta w, \quad \alpha=\ldots$.
    \end{itemize}
\end{block}
}
\end{frame}

\section{Метод наименьших квадратов}
\begin{frame}{Метод наименьших квадратов}
\begin{block}{}
Пусть имеется функция $f(x|a)$, зависящая от аргумента $x$ и набора параметров~$a$. Данной функции
соответствует набор пар данных $(x_n,y_n)$, причем $y_n=f(x_n|a)+\epsilon_n$, где $\epsilon_n$~--
случайная ошибка. Математическое ожидание ошибки $\mean{\epsilon}=0$, ее среднеквадратическое
отклонение равно~$\sigma_n$. Для оценки~$a$ (аппроксимации набора данных заданной функцией)
необходимо минимизировать выражение
$$\Phi=\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{y_n-f(x_n|a)}{\sigma^2_n}\Bigr)^2.$$
При этом подразумевается, что  число измерений превышает число параметров~$a$.
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Пример: линейная зависимость}
\begin{block}{}
Пусть $y=ax+b$, $x_n$ известны с пренебрежимо малой погрешностью, $y_n$~-- результаты измерений
с нормальным распределением, $\mean{y_i}=ax_i+b$. Минимизируем величину $Y=\sum(y_i-\mean{y_i})^2$,
$\partder{Y}{a}=0$, $\partder{Y}{b}=0$:
$$
a=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x^2_i-\Bigl(\sum x_i\Bigr)^2}=
\frac{\mean{xy}-\mean{x}\,\mean{y}}{\mean{x^2}-(\mean{x})^2},
$$
$$
b=\frac{\sum x_i^2\sum y_i-\sum x_i\sum x_i y_i}{n\sum x^2_i-\Bigl(\sum
x_i\Bigr)^2}=
\frac{\mean{x^2\strut}\,\mean{\strut
y}-\mean{x}\,\mean{xy}}{\mean{x^2}-(\mean{x})^2}.
$$
$$
\sigma^2=\frac{n}{n-2}\Bigl(\mean{y^2}-(\mean{y})^2-a^2\bigl[
\mean{x^2}-(\mean{x})^2\bigr]\Bigr),\qquad
\sigma^2_a=\frac{\sigma^2}{n\bigl(\mean{x^2}-(\mean{x})^2\bigr)},\quad
\sigma_b^2=\sigma_a^2\mean{x^2}.
$$
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Аппроксимация МНК}
\only<1>{\img{lesssquare}}
\only<2>{
\begin{block}{}
Некоторые зависимости, можно свести к линейным. Например, $y=\e^{ax+b}$ \so $\ln y=ax+b$.

Возможно также сведение зависимостей к системам линейных уравнений $A\vec{x}=\vec{b}$, ранг матрицы
$A$ должен быть больше количества искомых переменных. Минимизируем
$(A\vec{x}-\vec{b})^T(A\vec{x}-\vec{b})$, что приводит к системе уравнений
$$
A^TA\vec{x}=A^T\vec{b}\quad\so\quad
\vec{x}=(A^TA)^{-1}A^T\vec{b}.
$$
Или $\vec{x}=A^{+}\vec{b}$ (псевдообратная матрица), в Octave~--- <<левое деление>> $A\backslash
b$.
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{}
\begin{block}{Пример}
Пусть некоторая величина изменяется по закону $y=a_0+a_1\e^{-t}+a_2te^{-t}$.
В матричном виде $Y=TA$, где $T$~-- функциональная матрица, у которой в первом столбце
размещены единицы (соответствует умножению на~$a_0$), во втором~--- функция
$\e^{-t}$, а в третьем~--- $t\e^{-t}$. Коэффициенты~$A$ найдем при помощи МНК:
$A=T\backslash Y$.
\begin{verbatim}
t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';
T = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)];
A = T\y
\end{verbatim}
\end{block}
\end{frame}

\section{Ошибка МНК}
\begin{frame}{Ошибка МНК}
\only<1>{
\begin{block}{МНК для линейной зависимости}
Пусть наблюдаемая $l$ имеет линейную зависимость от $a$, $b$ и~$c$:
$$l(t) = x\cdot a(t) + y\cdot b(t) + z\cdot c(t).$$
Из эксперимента получаем $N$ наборов данных $l_k$, $a_k$, $b_k$ и~$c_k$:
$$l_k = xa_k + yb_k + zc_k + \Delta l_k.$$
Найдем $x$, $y$ и $z$, минимизируя $S=\Delta l_k^2=\sum\bigl(l_k-(xa_k + yb_k + zc_k)\bigr)^2$:
$$\partder{S}{\aleph}=\frac{\partial}{\partial\aleph} \sum\bigl(l_k-(xa_k + yb_k + zc_k)\bigr)^2 = 0$$
\end{block}
}\only<2>{
\begin{block}{}
Введем обозначения: $\sum_{k=1}^N \aleph_k\beth_k = [\aleph\beth]$. Тогда после дифференцирования получим систему
из~трех уравнений для нахождения трех неизвестных:
$$
\left\{\begin{aligned}
x[aa] + y[ab] + z[ac] & = [al], \\
x[ba] + y[bb] + z[bc] & = [bl], \\
x[ca] + y[cb] + z[cc] & = [cl]. \\
\end{aligned}\right.\quad\text{или}\quad
\begin{pmatrix}
[aa] & [ab] & [ac]\\
[ba] & [bb] & [bc]\\
[ca] & [cb] & [cc]\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\ y\\ z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
    [al]\\ [bl]\\ [cl]
\end{pmatrix}.
$$
Или $MK=V$, следовательно, $K=M^{-1}V$ (\t{K=M\bsl V}).
Аналогичную систему можно составить для погрешностей:
$$
\begin{pmatrix}
    [aa] & [ab] & [ac]\\
    [ba] & [bb] & [bc]\\
    [ca] & [cb] & [cc]\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
    [a\Delta l]\\ [b\Delta l]\\ [c\Delta l]
\end{pmatrix} \quad\text{или}\quad
M \Delta K = \Delta V.
$$
\end{block}
}\only<3>{
\begin{block}{}
Итак, для погрешностей имеем: $\Delta K=M^{-1}\Delta V$. Если наблюдения~--- равноточные и независимые,
ковариационная матрица ошибок диагональна:
$$
C_L = \begin{pmatrix}
\Delta l_1 \\ \Delta l_2 \\ \cdots \\ \Delta l_N
\end{pmatrix}
\Bigl(\Delta l_1\; \Delta l_2\; \ldots\; \Delta l_N \Bigr) = \sigma_0^2\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
\hdotsfor{5}\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{pmatrix} = \sigma_0^2 E_N.
$$
Аналогично построим ковариационную матрицу ошибок неизвестных:
$$
C_K = \begin{pmatrix}
\sigma^2_x & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\
\sigma_{yx} & \sigma^2_y & \sigma_{yz}\\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma^2_z
\end{pmatrix} = \Delta K \cdot \Delta K^T = M^{-1}\Delta V\cdot \Delta V^T (M^{-1})^T
$$
Т.к. $[\aleph\beth]=[\beth\aleph]$, матрица $M$ симметрична ($M=M^T$).
\end{block}
}\only<4>{
\begin{block}{}
Члены ковариационной матрицы $\Delta V\cdot\Delta V^T$ на примере одного:
$$
\aver{[a\Delta l][a\Delta l]}=\aver{\sum a_i\Delta l_i\sum a_j\Delta l_j}=\aver{\sum\sum a_ia_j\Delta l_i\Delta l_j},
$$
т.е. $\Delta V\cdot\Delta V^T=\sum\sum a_ia_j\aver{\Delta l_i\Delta l_j}$, а т.к. $\aver{\Delta l_i\Delta l_j}$ равны нулю при $i\ne
j$ и равны $\sigma_0^2$ при $i=j$, получим: $\sigma_0^2\sum a_k^2=\sigma_0^2[aa]$. И в итоге:
$$C_K = M^{-1}\sigma_0^2 M M^{-1}=\sigma_0^2 M^{-1}!$$
Вывод: обратная матрица нормальных уравнений является матрицей весов вектора неизвестных.

Для получения несмещенной оценки $\sigma_0^2$ воспользуемся формулой:
$$\sigma_0^2 = \frac{\sum \Bigl(l_k-(xa_k + yb_k + zc_k)\Bigr)^2}{N-M},$$
где $M$~-- число неизвестных (в нашем случае~--- три).
\end{block}
}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{}
\parbox{0.4\textwidth}{По набору данных получить коэффициенты линейной зависимости и определить их погрешности.}
\leavevmode\hspace{1em}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\bf A & 1 &0& -1& 2& 3& -2& 0& 4\\
\bf B & 0 &3& 2& -1& 2& -1& 3& 1\\
\bf C & 2& -2& 0& 1& -2& 3& -2& 0\\ \hline
\bf L & 7 &1& 3& 2& 1& 6& 1& 5\\ \hline
\end{tabular}
\small
\begin{verbatim}
A=[1 0 -1 2 3 -2 0 4]'; B=[0 3 2 -1 2 -1 3 1]'; C=[2 -2 0 1 -2 3 -2 0]';
L=[7 1 3 2 1 6 1 5]'; T=[A B C]; % T - матрица данных, T*K=L
K=T \ L % искомые коэффициенты
V=T' * L; Mr=K/V; % M*K = V, Mr->M^(-1)
v=L-T*K; sigma0 = sqrt(sum(v.^2)/(8-3));
DK = sigma0 * sqrt(diag(Mr)) % искомые погрешности
for i=1:3;
printf("K%d=%.2f+-%.2f (%.1f%%)\n", i, K(i), DK(i), 100*DK(i)/K(i));
endfor
K1=0.72+-0.06 (7.7%)
K2=2.29+-0.07 (3.3%)
K3=3.06+-0.14 (4.5%)
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Спасибо за внимание!}
    \centering
    \begin{minipage}{5cm}
        \begin{block}{mailto}
            eddy@sao.ru\\
            edward.emelianoff@gmail.com
    \end{block}\end{minipage}
\end{frame}
\end{document}


\section{Иррегулярно распределенные данные}
\begin{frame}{}
\begin{columns}
\column{0.65\textwidth}
\begin{block}{Иррегулярно распределенные данные}
БПФ, корреляция, периодограммы и т.п.
\begin{itemize}
\item Resampling (если данные достаточно плотно расположены).
\item Определение периода как расстояния между минимумами (максимумами) из аппроксимации.
\item Auto Regressive Moving Average (ARMA).
\item Фильтрация Калмана.
\item Метод Ваничека (аппроксимация набора данных рядом синусоид).
\item Периодограмма Ломба-Скаргла (ортогонализация пар синусоид введением задержки во времени,
Scargle, 1981).
\item Irregular Autoregressive Model (IAR).
\item Complex IAR (CIAR).
\end{itemize}
\end{block}
\column{0.32\textwidth}
\vspace*{-2em}\img{irregular}
\end{columns}
\end{frame}